Math Statics

1. $2 : XÁC SUẤT VÀ QUY TẮC CỘNG
QUY TẮC NHÂN.
+ Quy tắc cộng,
+Xác suất có điều kiện
+Quy tắc nhân.

2. 1. QUY TẮC CỘNG XÁC
Nếu A và B là hai bi
phép thử thì
P(A+B) =
NG XÁC SUẤT:
là hai biến cố bất kỳ của cùng m
) = P(A) + P(B) – P(AB).
a cùng một
).

3. Hệ quả 1:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Quy tắc chuyển sang biến cố đối: P( ̅) = 1- P(A)

4. Hệ quả 1:
Nếu 1 2
, ,..., n
A A A là các biến cố đôi một xung khắc
với nhau thì:
       
1 2 1 2
... ...
n n
P A A A P A P A P A
      
Hệ quả 3: Nếu 1 2
, ,..., n
A A A là một phân hoạch của
không gian mẫu S thì:
       
1 1 1 2
... ... ( ) 1
n n
P A A A P A P A P A P S
        

5. Chú ý: Khái niệm một phân hoạch của không gian
mẫu: Hệ biến cố  
1 2
, ,..., k
B B B gọi là 1 phân hoạch
(hệ đầy đủ) của không gian mẫu S nếu thỏa mãn
đồng thời hai điều kiện:
+) Hệ biến cố  
1 2
, ,..., k
B B B đôi một xung khắc, tức là
, , 1, ,
i j
B B i j k i j
      .
+) Hệ biến cố  
1 2
, ,..., k
B B B hợp lại thành không gian
mẫu, tức là 1 2 ... k
B B B S
    .
B1 B2 Bk
…..
S

6. VD1: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54
sinh viên học toán IV, 69 sinh viên học toán V và 35
sinh viên học cả toán IV và toán V. Chọn ngẫu
nhiên một sinh viên. Tính xác suất để:
a) Sinh viên đó học cả toán IV và toán V.
b) Sinh viên đó không học toán IV và không học
toán V.

7. Giải:Phép thử này có không gian mẫu gồm 100 b.c.s.c đồng
khả năng.
a)Đặt A = “sinh viên được chọn, học cả toán IV và toán V”.
Khi đó số biến cố sơ cấp kéo theoA là 35. Nên P(A)=
b) Đặt B = “sinh viên chọn không học cả hai môn”.
E = “sinh viên chọn học toán IV”
F = “sinh viên chon học toán V”
Ta có B’ = “sinh viên được chọn, học ít nhất một môn” = E + F;
EF = A.
Nên P(B) = 1 – P(B’ ) = 1 – (P(E) + P(F) – P(EF))
= 1 - (
54 69 35
100 100 100
  ) =
88 12
1
100 100
 

8. Ví dụ 2: Xác suất để Paula thi đỗ môn toán là 2/3,
thi đỗ môn tiếng anh là 4/9, và xác suất để cô ấy thi
đỗ cả 2 môn là 1/4. Tính xác suất để Paula thi đỗ ít
nhất 1 môn? Không thi đỗ môn nào trong 2 môn
trên?

9. Lời giải:
Gọi A là biến cố “ Paula thi đỗ môn toán”, P(A) = 2/3
B là biến cố “Paula thi đỗ môn tiếng anh”, P(B) = 4/9
AB là biến cố “ Paula thi đỗ cả 2 môn”, P(AB) = 1/4
Xác suất để Pau la thi đỗ ít nhất 1 môn là:
     
2 4 1 31
( )
3 9 4 36
P A B P A P B P AB
       
Xác suất để cô ấy không thi đỗ môn nào trong 2
môn là:
     
31 5
1 1
36 36
P A B P A B P A B
        

10. Ví dụ 3: Trong 1 nhà tù liên bang có 2/3 số tù nhân
dưới 25 tuổi. Biết rằng 3/5 số tù nhân là nam, 5/8 số
tù nhân là nữ hoặc trên 25 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1
tù nhân, tìm xác suất để tù nhân đó là nữ và trên 25
tuổi?

11. Lời giải:
Gọi A là biến cố “ tù nhân đó dưới 25 tuổi ”
P(A) = 2/3 , P(A) = 1/3.
B là biến cố “tù nhân đó là nam”
P(B) = 3/5 , P(B) = 2/5
A B
 là biến cố “ tù nhân đó là nữ hoặc trên 25
tuổi”, P(A B
 ) = 5/8
Xác suất để tù nhân đó là nữ và trên 25 tuổi:
      1 2 5 13
( )
3 5 8 120
P A B P A P B P A B
        

12. 2. XÁC SUẤT CÓ ĐI
Định nghĩa 2.1: Nế
kiện của B khi A
của B với điều kiện A
T CÓ ĐIỀU KIỆN:
ếu P(A)>0 thì xác su
đã xảy ra,  
|
P B A là
n A
xác suất có điều
|
P B A là xác suất

13. VD: Tung hai lần một đồng xu cân
đối và đồng chất. Không gian mẫu
của phép thử là {SS, SN, NS, NN}.
a) Tính xác suất để có ít nhất một mặt sấp xuất
hiện.
b) Nếu đã biết “lần 1 xuất hiện mặt ngửa”, thì xác
suất của biến cố “có ít nhất một mặt sấp xuất
hiện” là bao nhiêu?

14. VD: Xác suất để 1 chuyến bay khởi hành đúng giờ
là P(A) = 0,83. Xác suất để 1 chuyến bay đến đúng
giờ là P(B) = 0,82. Xác suất để nó khởi hành và đến
đúng giờ là P(AB) = 0,78. Tính xác suất để 1
chuyến bay:
a) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành đúng giờ
b) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó đến đúng giờ
c) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không
đúng giờ

15. a) Xác suất để 1 chuyến bay đến đúng giờ biết rằng nó
khởi hành đúng giờ là:
 
( ) 0,78
| 0,94
( ) 0,83
P AB
P B A
P A
  
b) Xác suất để 1 chuyến bay khởi hành đúng giờ biết
rằng nó đến đúng giờ là:
 
( ) 0,78
| 0,95
( ) 0,82
P AB
P A B
P B
  
c) Xác suất để 1 chuyến bay đến đúng giờ biết rằng nó
khởi hành không đúng giờ là:
( ) ( ) ( ) 0,82 0,78
( | ) 0,24
1 ( ) 1 0,83
( )
P BA P B P BA
P B A
P A
P A
 
   
 

16. Kết quả cho thấy, khi biết máy bay khởi hành đúng giờ
thì xác suất máy bay đến đúng giờ đã tăng lên. Nhưng khi
biết máy bay đã khởi hành không đúng giờ, thì xác suất
máy bay đến đúng giờ đã giảm đi đáng kể.
Khái niệm xác suất có điều kiện giúp ta có thể đánh giá
lại xác suất của 1 biến cố khi biết 1 biến cố khác đã xảy
ra.

17. Định nghĩa 2.2:Hai biến cố A, B được gọi là độc
lập trong một phép thử khi biến cố này xảy ra hay
không không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện
biến cố kia. Nghĩa là P(B/A) = P(B)
Ngược lại, A và B là hai biến cố phụ thuộc.

18. VD: Một túi đựng: 3 quả đỏ, 7 quả xanh. Lấy ra
ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu.Tính xác suất để
lấy lần hai là quả màu đỏ theo phương thức có
hoàn lại.

19. Gọi Đ1 = “Quả rút ra lần thứ nhất là đỏ”
Đ2 = “Quả rút ra lần thứ hai là đỏ”
Xác suất để lấy lần hai là quả màu đỏ theo phương
thức có hoàn lại là:
     
2 2 1 2 1
3
'
10
P D P D D P D D
  

20. 3. QUY TẮC NHÂN:
Định lý 1: Nếu A và B là hai biến cố cùng xảy ra của
một phép thử thì ( ) = ( ) ( | )
Nhận xét:
*) Nếu P(B) > 0 thì P(AB) = P(B)P(A/B).
*) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B).

21. VD :Một thủ kho có một chùm chìa khoá gồm 8
chiếc với bề ngoài giống hệt nhau trong đó có đúng
2 chìa mở được cửa kho. Do đãng trí, người này
không còn nhớ chìa nào có thể mở được khoá cửa
kho. Ông ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào
không mở được thì bỏ ra. Tính xác suất để chỉ
sauhai lần thử, ông ta mở được cửa kho?

22. Đặt Ai = “mở được cửa kho lần thử thứ i”, i =1,..,9.
A = “mở được cửa kho sau hai lần thử”.
Ta có 1 2
A A A

Theo quy tắc nhân
1 2 1 2 1
6 3 3
( ) ( ) ( ). ( / )
8 7 14
P A P A A P A P A A
   

23. VD: Một túi đựng:
ngẫu nhiên lần lượ
lấy lần hai là quả màu đ
hoàn lại.
ng: 3 quả đỏ, 7 quả xanh
ợt hai quả cầu.Tính xác su
màu đỏ theo phương th
xanh. Lấy ra
u.Tính xác suất để
theo phương thức không

24. xác suất để lấy lần hai là quả màu đỏ theo phương
thức không hoàn lại là:
         
2 1 2 1 1 2 1
7 3 3 2
. .
10 9 10 9
P D P X P D X P D P D D
   

25. VD :Có hai túi đựng các quả cầu.
Túi thứ nhất: 4 quả đỏ, 9 quả xanh.
Túi thứ hai: 10 quả đỏ,15 quả xanh.
Từ mỗi túi ta chọn ngẫu nhiên một quả.Tính xác
suất để hai quả cầu lấy ra là cùng màu.

26. Gọi biến cố 1
A là “viên bi lấy từ hộp 1 màu xanh”, B1 là “viên bi
lấy từ hộp 2 màu xanh”
Bc 2
A là “viên bi lấy từ hộp 1 màu đỏ”, B2 là “viên bi lấy từ hộp 2
màu đỏ”
Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu là
       
1 1 2 2 1 1 2 2
P A P A B A B P A B P A B
    , (do 1 1
A B , 2 2
A B
là 2 biến cố xung khắc)
Do 1
A , B1 là hai biến cố độc lập nên
     
1 1 1 1
2 3 1
. .
7 6 7
P A B P A P B
  
Do 2
A , B2 là hai biến cố độc lập nên
     
2 2 2 2
5 3 15
. .
7 6 42
P A B P A P B
   Khi đó: P(A) =
11
42
.

27. QUY TẮC NHÂN TỔNG QUÁT
Định lý 2: Nếu trong một phép thử, các biến cố
1 2
, ,..., k
A A A có thể cùng xảy ra thì
       
1 2 1 2 1 1 2 1
... | .... | ...
k k k
P A A A P A P A A P A A A A 

Nếu các biến cố 1 2
, ,..., k
A A A là độc lập với nhau thì
       
1 2 1 2
... ....
k k
P A A A P A P A P A


28. VD :Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10
phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm và
kiểm tra.Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô
hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được
nhận nếu
a) mỗi lần rút KHÔNG hoàn lại
b) mỗi lần rút CÓ hoàn lại

29. H = “Lô hàng được nhận”,
= “Sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, ( = 1, 2, 3, 4)
- Hoàn lại: = ̃ ( ) = ( ) =
( ) ( ) ( ) ( )
= ∙ 0,6561.
- Không hoàn lại = ̃ ( ) = ( ) =
( ) ( | ) ( | ) ( | )
= ∙ ∙ ∙ 0,6516.

30. 4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG
THỨC BAYES
Cho phép thử với không gian mẫu S và các biến cố
B1
,B2
, …, Bk
là một phân hoạch của S thoả mãn
a) = ∅ với mọi i # j
b) ⋃ = S

31. Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử S là không
gian mẫu. Nếu các biến cố B1
, B2
, …,Bk
là một
phân hoạch, trong đó P(Bi
) ≠ 0 với mọi i = 1, 2, …,
k , và A là biến cố bất kì thì
( ) = ( ) ( | )
       
           
1 2
1 1 2 2
...
| | ... |
k
k k
P A P AB P AB P AB
P B P A B P B P A B P B P A B
   
   

32. VD: Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1
,
B2
, và B3
tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương
ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm được tạo bởi mỗi
máy tương ứng là 2%, 3% và 2%.Chọn ngẫu
nhiên 1 sản phẩm.
a. Tính xác suất để nó là phế phẩm.

33. Lời giải:
Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là phế phẩm ”
B1 là biến cố “sản phẩm được làm bởi máy B1”
B2 là biến cố “sản phẩm được làm bởi máy B2”
B3 là biến cố “sản phẩm được làm bởi máy B3”
Từ giả thiết ta có
P(B1) = 0,3 P(A|B1) = 0,02
P(B2) = 0,45 P(A|B2) = 0,03
P(B3) = 0,25 P(A|B3) = 0,02
Khi đó B1, B2, B3 là hệ đầy đủ của không gian mẫu
Áp dụng định lý xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)
Do đó P(A) = 0,006 + 0,0135 + 0,005 = 0,0245.

35. VD: Có 2 lô sản phẩm, lô 1 có 5 chính phẩm, 5 phế
phẩm; lô 2 có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm. Từ mỗi lô
lấy ra 1 sản phẩm. Sau đó từ 2 sản phẩm thu được
lại lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để
sản phẩm sau cùng là chính phẩm?

36. Lời giải
Gọi A là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng là chính
phẩm”
B1 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng là của lô 1”
B2 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng là của lô 2”
Từ giả thiết ta có: P(B1) = 0,5 , P(A|B1) = 5/10 =0,5
P(B2) = 0,5; P(A|B2) = 6/10 =0,6
Khi đó B1, B2 là hệ đầy đủ của không gian mẫu
Áp dụng định lý xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2)
= 0,5. 0,5 + 0,5. 0,6 = 0,55

37. Công thức BAYES: Giả sử S là không gian mẫu.
Nếu các biến cố B1
, B2
, …,Bk
là một phân hoạch,
trong đó P(Bi
) ≠ 0, với mọi i = 1, 2, …, k , và A là
biến cố bất kì thỏa mãn   0
P A  thì ta có:
=
( )
=
∑ ( ) ( | )

38. VD: Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1
,
B2
, và B3
tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương
ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm được tạo bởi mỗi
máy tương ứng là 2%, 3% và 2%.Chọn ngẫu
nhiên 1 sản phẩm và thấy bị lỗi.
b. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc B3
.

39. Chú ý:
1. Dấu hiệu để nhận biết hệ biến cố  
1 2
, ,..., k
B B B là
phân hoạch (hệ đầy đủ):
+)  
1 2
, ,..., k
B B B là các biến cố xung khắc (tách rời
nhau).
+)      
1 2 ... 1
k
P B P B P B
   

40. 2. Dấu hiệu nhận biết một số biến cố quan trọng:
+) Biến cố giao thường được diễn đạt bởi các
từ: và, đồng thời …
+) Biến cố hợp thường được diễn đạt bởi các
từ: hoặc, ít nhất…
+) Biến cố điều kiện thường được diễn đạt bởi
các từ: biết rằng, với điều kiện…