Cơ kỹ thuật 2 - Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ.

CHƯƠNG II
§1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
§2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ.

Xét chất điểm có khối lượng m, dưới tác dụng
của hệ lực chuyển động với gia tốc . nFFF

,...,, 21
a
1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Ta có: F ma
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA
CHẤT ĐIỂM.
PT (1) được gọi là PTVP chuyển động (dạng véc
tơ) của chất điểm.
2
2
d r
F m
dt
 (1)

x
y
z
F mx
F my
F mz
 


 



2
0
n
b
F ms
s
F m
F


 




 



Dạng toạ độ tự nhiên:Dạng toạ độ Descarts:
Dạng véc tơ
2
2
d r
F m
dt

(2) (3)
(1)
CHẤT ĐIỂM.

Sơ đồ vật thể
tự do (FBD)
Sơ đồ khối lượng-
gia tốc (MAD)
F ma
CHẤT ĐIỂM.
2. Các bước giải bài toán động lực học chất điểm:

Trong hệ toạ
độ Descartes
CHẤT ĐIỂM.
x x
y y
z z
F ma
F ma
F ma
 







x
y
z
F mx
F my
F mz
 

 






Trong hệ toạ độ quỹ đạo
t t
n n
F ma
F ma
 




Chuyển động
phẳng
2
t
n
dv
a s v
ds
v
a
v 



CHẤT ĐIỂM.
2
t
n
F ms
s
F m

 

 





2. Các bước giải bài toán động lực học chất điểm:
1. Vẽ FBD (thể hiện tất cả các lực t/d lên chất điểm).
2. Chọn hệ trục toạ độ
3. Sử dụng động học phân tích gia tốc a của chất
điểm.
4. Vẽ MAD (thể hiện véc tơ ma hoặc các thành phần của véc
tơ ma).
5. Từ FBD và MAD, viết phương trình chuyển
động cho chất điểm.
6. Giải phương trình tìm các đại lượng được yêu
cầu. Nhận xét kết quả.
CHẤT ĐIỂM.

Ví dụ 1:
Xác định sức căng P
trong dây cáp để
khối hộp 100N dịch
chuyển theo mặt
phẳng nghiêng với
gia tốc ổn định
1.2m/s2 hướng lên.
P
µk =0.25
CHẤT ĐIỂM.

CHẤT ĐIỂM.
100
10.2 ;
9.81
W
m kg
g
  
 Khảo sát khối hộp
 Vẽ FBD, các lực tác dụng gồm:
 1, , , , ;msW N F P T
 Vẽ MAD,
Bài giải:
WmsF
1N
T
1 1
100 ; ;
0.25ms k
W N T P
F N N
 
 
ma
Chọn hệ toạ độ: trục x,y như hình vẽ
xy
1.2 / ;a m s hướng lên

CHẤT ĐIỂM.
 Viết PT chuyển động bằng cách
cân bằng FBD và MAD
1 msW N F P T ma    
 Giải hệ PT, ta tìm được:
Bài giải:
WmsF
1N
T
1
cos30 sin30
sin30 cos30 0
o o
ms
o o
T F P W ma
N P W
    
 
  
ma
xy
42.13P N
Với:
2
1 1
100 ; ; 10.2 ;
0.25 ; 1.2 /ms k
W N T P m kg
F N N a m s
  
  

Ví dụ 2:
Một khối A 12kg trong hình vẽ trượt không ma sát
trong máng nửa đường tròn bán kính 2m. Khối này bắt
đầu chuyển động tại θ = 300 với vận tốc v = 4m/s hướng
xuống đáy máng. Xác định những đại lượng sau theo θ:
(1) Tốc độ của khối
(2) Lực liên kết giữa khối và máng.
CHẤT ĐIỂM.

Ví dụ 3:
v0
φ
Vật nặng khối lượng m
nằm trên đỉnh của chỏm
cầu nhẵn bán kính R được
truyền vận tốc ban đầu v0 .
Tìm vị trí vật rời khỏi
mặt cầu.
Thay số: R = 0.5m; v0 = 0.7 m/s.
g = 9.8 m/s2
CHẤT ĐIỂM.

Kết quả:
2
01
cos 2
3
v
gR

 
  
 
  
2
01 0.7
cos 2 0.7 45 35'
3 9.8 0.5
 
 
      
 
Kết quả thay số:
CHẤT ĐIỂM.

• Ví dụ 4. Một sàng vật liệu dao động điều hoà
theo phương thẳng đứng với biên độ b = 5cm. Hãy
xác định tần số góc của dao động để các hạt có
thể bật lên khỏi mặt sàng.
y
CHẤT ĐIỂM.

W N ma N W my    
 cosy b kt 
Bài giải:
 Khảo sát hạt vật liệu.
 Các lực tác dụng: ,W N
 Hệ toạ độ:
trục Oy hướng lên
 Phương trình vi phân chuyển động:
Theo đầu bài:
 2
cosy bk kt    
CHẤT ĐIỂM.
W
N
y
y ma

Vậy có:
 2
cos
my N mg
y bk kt 
 

  
Suy ra:
Điều kiện để hạt bật lên khỏi mặt sàng:
 2
cosmg N mbk kt     
 2
cosN mg mbk kt  
2
0 0,
9.8
k 14
0.05
N mg mbk
g
Hz
b
   
  
CHẤT ĐIỂM.

0v
O
R
z
z
•Ví dụ 5. Một vật nặng được bắn
lên theo phương thẳng đứng với
vận tốc ban đầu v0 . Biết rằng lực
hút của trái đất tỷ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách từ vật
đến tâm quả đất. Bỏ qua sức cản
của không khí. Tìm độ cao cực đại
của vật bắn lên.
CHẤT ĐIỂM.

2
W mg mgR   
2
2
mgR
mz
z
  
Bài giải.
• Khảo sát vật nặng.
• Hệ toạ độ: trục Oz hướng lên.
• Lực tác dụng:
• Phương trình chuyển động
W
W mz 
Theo đầu bài: 2
k,W
z
 

Với z = R:
O
R
z
z
W
ma
CHẤT ĐIỂM.

2
2
z
gR
z 
0)0(,)0( vzRz  
 
2 2
2
2
2 2
1
1
2
.
2
gR d d gR
zz z z
z dt dz z
z gR
C
z
 
     
 
  
gR
v
C 
2
2
0
1
22 2
0
2 2
vv gR
gR
z
   
hay là
Điều kiện ban đầu:
Tích phân phương trình chuyển động:
Thay điều kiện đầu ta được:
CHẤT ĐIỂM.

2
0
2
max
2
2
vgR
gR
z


2
02 vgR  gRv 20 
2 6
9.8 / , 6.4 10 ,g m s R m  
skmv /110 
Độ cao cực đại khi v = 0:
22 2
0
2 2
vv gR
gR
z
  Vậy:
Vật vượt ra khỏi sức hút của trái đất (z = ∞), khi:
hay
Vận tốc gọi là vận tốc vũ trụ cấp 2
Với
0 11000 / 11 /v m s km s Thì:
CHẤT ĐIỂM.

z
O
W
R
m
ma
• Ví dụ 6. Một quả cầu khối lượng m rơi
tự do từ một điểm O không có vận tốc
ban đầu dưới tác dụng của trọng lực. Sức
cản của không khí đối với quả cầu tỷ lệ
bậc nhất với vận tốc với hệ số tỷ lệ β. Hãy
xác định vị trí, vận tốc của quả cầu theo t.
Bài giải:
• Khảo sát quả cầu.
• Các lực :
• Hệ toạ độ: Trục Oz hướng xuống.
• Phương trình chuyển động:
 , ; ,W R W mg R v  
mz mg z  
CHẤT ĐIỂM.

m
nzngz

 ,
0)0()0(,0)0(  zvz 
dt
nvg
dv
nvg
dt
dv
dt
dv
zzv 

 ,
1
1
2
nt
nt
g
v z C e
n
Cgt
z e C
n n



  
 
   

hay là
Điều kiện ban đầu:
Tích phân PTVP chuyển động:
mg nv
Chú ý rằng:
CHẤT ĐIỂM.

)1(
)1(
2
nt
nt
e
n
g
t
n
g
z
e
n
g
v




1
1
2
nt
nt
g
v z C e
n
Cgt
z e C
n n



  

   

221 ,
n
g
C
n
g
C Thay điều kiện ban đầu, ta được:
(0) 0, (0) (0) 0z v z  
Điều kiện đầu
Vậy:
CHẤT ĐIỂM.

   r e C
ma F ma ma     
; ;a r e C
F ma a a a a a    
3. Phương trình vi phân chuyển động của chất
điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
CHẤT ĐIỂM.
Ta đã biết:
 r e C
F m a a a   

x
z
B
O
Ví dụ 7.Thanh có độ dài l = 0.5m quay đều với vận tốc
góc ω = 2Π (1/s) xung quanh trục z thẳng đứng đi qua
đầu O của thanh. Tại một thời điểm nào đó một vòng
khuyên B đang ở giữa thanh bắt đầu rời khỏi vị trí và
trượt trơn dọc theo thanh. Hãy viết phương trình vi
phân chuyển động của vòng khuyên theo biến x. Tìm
khoảng thời gian để vòng ra tới đầu thanh.
CHẤT ĐIỂM.
3. Phương trình vi phân chuyển động của chất
điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.

( , )W N
2C r
ea v 
3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT
ĐIỂM TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH.
x
z
B
FBD
- Các lực tác dụng lên vòng B
- Phân tích gia tốc của B
Bài giải.
r e C
a a a a  
e en et en
a a a a  
x
z
B
MAD
2e en
a a x 
r
a x
Trong đó:
W
N
e
ma
r
ma
C
ma

W N ma 
- PTVP chuyển động:
Bài giải.
 r e C
W N m a a a    
r e C
ma W N ma ma    
2
mx mx 
  
2
2x x
x
z
B
FBD
x
z
B
MAD
W
N
e
ma
r
ma
C
ma

tt
eCeCx  
 21
2 2
0.125( )t t
x e e 
 
2 2
1,20,       Phương trình đặc trưng:
Vậy có:
2
x x
Suy ra:
Do đó:
- Giải PTVP tìm x:
1 2 1 2 1 20.25 ; 0 0.125C C C C C C      
Sử dụng điều kiện đầu: 0; (0) 0.25 ; (0) 0
2
l
t x m x   
Ta có:

2 2
0.5 0.125( )T T
e e 
 
2
2 3 2 1.732t
e 
   
2
1t
e 

ln3.732
0.21( )
2
T s

 
- Gọi T là thời gian để vòng đạt đến điểm mút
của thanh. Ta có phương trình xác định T:
2 2
0.125( )t t
x e e 
 
Do nên:0T 
Giải hệ trên, ta được:
Vậy:

1 1 1 ,
............
.N N N
m a F
m a F




1. Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
trong hệ quy chiếu quán tính
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CƠ HỆ

§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CƠ HỆ
   
   
1 1 1 1 1 1 1
.......................
r e C
r e C
N N N N N N N
m a F m a m a
m a F m a m a
     



    


2. Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
trong hệ quy chiếu không quán tính

Cơ kỹ thuật 2 - Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ.

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Cơ kỹ thuật 2 - Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ.

Similar to Cơ kỹ thuật 2 - Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ. (20)

More from Minh Đức Nguyễn

More from Minh Đức Nguyễn (9)

Cơ kỹ thuật 2 - Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CƠ HỆ.