Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Học - TNUT

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 1
HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
CƠ KỸ THUẬT 2
(PHẦN ĐỘNG HỌC)

Phần I ĐỘNG HỌC (KINEMATICS)
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Mục đích của bài
 Giới thiệu các khái niê ̣m vị trí, dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc.
 Khảo sát chuyển động của chất điểm dọc theo một đường thẳng.
 Khảo sát chuyển động của chất điểm dọc theo đường cong , sử dụng các hê ̣toa ̣
độkhác nhau.
Yêu cầu đối vớ i sinh viên
Nhớ công thứ c xác đi ̣nh vi ̣trí, vâ ̣n tốc, gia tốc dưới da ̣ng véc tơ.
Giải được bài toán động học (xác định các đặc trưng của chuyển động : vị trí,
dịch chuyển, vâ ̣n tốc, gia tốc, quãng đường đi được , xác định tính nhanh chậm
của chuyển động,…) đối với chất điểm chuyển động theo đường thẳng.
Biết lựa chọn hê ̣toa ̣độphù hợp (hê ̣toa ̣độDescartes, hê ̣toa ̣độquỹ đa ̣o , hê ̣toa ̣
độcực, hê ̣toa ̣độtrụ) cho từ ng bài toán và giải được bài toán động học của chất
điểm chuyển động theo đường cong.

I. CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM
1. Vị trí
 tr r
2. Vâ ̣n tốc
d
dt
 
r
v r
3. Gia tốc
d
dt
  
v
a v r
II. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đô ̣ng thẳng
Vị trí
 s s t
Vâ ̣n tốc
v s 
Véc tơ vận tốc v hướng theo chiều chuyển động.
Gia tốc
a v s hay ads vdv   
Véc tơ gia tốc a cùng chiều chuyển động nếu chất điểm chuyển động nhanh dần ,
ngược chiều chuyển động nếu chất điểm chuyển động châ ̣m dần.
III. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đô ̣ng cong
Để khảo sát chuyển động của chất điểm mà quỹ đa ̣o của nó là đường cong , ta có thể sử
dụng hệ toạ độ Descartes , hê ̣toa ̣độtự nhiên (hê ̣toa ̣độtiếp tu yến – pháp tuyến) hoă ̣c
hê ̣toa ̣độcực, hê ̣toa ̣độtrụ.
ĐỘNG
HỌC
CHẤT
ĐIỂM:
hê ̣toa ̣đô ̣
Descartes
Vị trí
x y z  r i j k
Dịch chuyển: s s s  
Quỹ đạo

Vâ ̣n tốc
2 2 2
x y z
x y z
v x v y v z
v x y z
  
  
  
v i j k  
  
  
v tiếp tuyến với quỹ đạo.
Gia tốc
2 2 2
x x
y y
z z
x y z
a v x
a v y
a v z
a x y z
  
  

 

 
  
a i j k  
 
 
 
  
CHUYỂ N
ĐỘNG
PHẲ NG:
hê ̣toa ̣đô ̣
quỹ đạo
(tiếp tuyến –
pháp tuyến)
(thường được
sử dụng khi
đã biết quỹ
đa ̣o chuyển
động của chất
điểm).
 Vị trí: s = s(t)
 Vận tốc:
v tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều chuyển động
tv
v s


v e

 Gia tốc
2 2
t t n n
t t
n
a a
a v s hay a ds vdv
s v
a
 
 
  
 
a e e
 

A
C

na
ta
a
Quỹ đạo
v
C
A
E
A
t
n
te
t
ne
t
C
s
Quỹ đạo

Nếu phương trình của quỹ đạo đã biết thì:
3/23/2 22
2 2
2 2
11
dxdy
dydx
d y d x
dx dy

           
          , ρ được gọi là bán kính cong
của quỹ đạo tại A.
 Gia tốc pháp an luôn hướng về tâm của quỹ đạo.
 TH riêng: điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn tâm C, bán kính R
R 
 TH riêng: điểm chuyển động theo đường thẳng
suyra: 0, .n ta a a v s      
 TH riêng: điểm chuyển động trên đường cong với tốc độ không
đổi
2
0,t n
va v a a
   
CHUYỂ N
ĐỘNG
KHÔNG
GIAN:
Hê ̣toa ̣đô ̣
quỹ đạo
s = s(t)
tv
v s


v e

2 2
0
t t n n
t
t
n
b
a a
a v s
vdv
hay a
ds
s v
a
a
 
 
 

 

a e e
 

Mă ̣t phẳng
mâ ̣t tiếp với
quỹ đạo tại A
Quỹ đạo

CHUYỂ N
ĐỘNG
PHẲ NG:
hệ tọa độ
cực
 Vị trí
 Vận tốc
 Gia tốc
ĐỘNG
HỌC
CHẤT
ĐIỂM:
hệ tọa độ
trụ
R z zR z  r e e e k
2
2
R R
R
a a
a R R
v R R
 


 
 
 
 
a e e

 
R R
R
v v
v R
v R
 
 
 


v e e


Quỹ đạo
RRr e
R zR R z  v e e e 
   2
2R zR R R R z      a e e e    

CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
 Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm (đường thẳng hay đường
cong, chuyển động phẳng hay chuyển động trong không gian ba chiều , đã biết
hay chưa biết).
 Chọn hệ trục toạ độ để khảo sát chuyển động.
 Sử dụng công thứ c liên hê ̣giữa toa ̣độvi ̣trí với vâ ̣n tốc và gia tốc tương ứ ng
với hê ̣trục toa ̣độđã chọn để xác đi ̣nh các đa ̣i lượng được yêu cầu (thực hiê ̣n
phép tính đạo hàm hoặc tích phân, khi tích phân cần chú ý đến điều kiê ̣n đầu).

CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương
trình
2
x 3t 12t 6(m)    , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0
tới t=3s, (1) Vẽ đồ thị vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi
được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm.
Lời giải
Phần 1
Do chuyển động là thẳng, vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:
Các hàm này được vẽ trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s.
Chú ý đồ thị của x là parabol, nên sau khi đạo hàm ta nhận được hàm bậc nhất đối với
vận tốc và hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
có thể được xác định bằng cách cho dx/dt=0, hay sử dụng phương trình v =–6t+12=0.
Ta có kết quả t=2s. Thay t=2s vào phương trình (a), ta tìm được
max 6mx 

Phần 2
Hình (d) cho ta biết chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới
t=3s. Khi t=0, chất điểm dời điểm A (x =–6m) chuyển động sang phải. Khi t =2s, nó
dừng ở B (x = 6m). Sau đó nó chuyển động sang trái, tới C (x =3m) khi t=3s. Do đó,
quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB) cộng
với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta có
md AB BC 12 3 15    
Phần 3
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban
đầu tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này (được chỉ ra là ∆r trong hình (d)) là
9r i 
Quan sát thấy rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) lớn hơn so với độ lớn
của véctơ dịch chuyển (9m) vì hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã
cho.
Bài 2
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong hình (a) trượt dọc theo rãnh cố định
dạng parabol y2
=40x, trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ y của P thay đổi theo
thời gian t (được đo bằng giây) theo phương trình y =4t2
+ 6t mm. Khi y=30mm, tính
toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của P.
Lời giải

Phần 1
Thay thế
vào phương trình quỹ đạo và giải tìm x, ta có:
Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:
Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm t ta được t=2.090s. Thay giá trị
này vào trong các phương trình (c) và (d) ta nhận được
Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là
Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây và trong hình (b).
Bằng việc tính độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm, dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận
tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo.
Phần 2
Từ các phương trình (c) và (d), chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc
bằng phép tính vi phân:
Thay t=2.090s, ta có:

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:
Hình ảnh véctơ a là:
Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b), chúng ta thấy phương của véctơ a không
tiếp tuyến với quỹ đạo.
Bài 3
Xe ô tô trong hình vẽ chuyển động theo đường thẳng sao cho trong một khoảng thời
gian ngắn vận tốc của nó được xác định bởi  3 12 ft/s2
v t t  , trong đó t được tính
bằng giây. Hãy xác định (1) vị trí và (2) gia tốc của nó khi t = 3s. Khi t =0, s =0.
Lời giải
Hệ tọa độ: Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc cố định O đến xe ô tô, hướng sang phải là
dương.
Phần 1 Xác định vị trí
Vì  v f t , vị trí của ô tô có thể được xác định từ v ds / dt (vì phương trình này liên
quan đến v, s, và t). Chú ý rằng s =0 khi t =0, chúng ta có
2
3 2
ds
v t t
dt
  
 2
0 0
3 2
s t
ds t t dt  
 3 2
0 0
s t
s t t 
3 2
s t t 
Khi t =3s,
   
3 2
3 3 36fts   
Phần 2 Xác định gia tốc
Vì  v f t , gia tốc được xác định từ 6 2a dv / dt t   .
Khi t =3s,   2
6 3 2 20ft/sa    .

Bài 4
Một chiếc xe đua cho trong hình (a) chạy với vận tốc 90km/h khi vào một đoạn đường
cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận tốc
144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B.
Lời giải
Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách
sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo.
Như thể hiện trong hình (b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ đạo
từ A tới C.
Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó, tích
phân ta ds vdv ta có
2
1
2
t
v
a s C  (a)
trong đó C1 là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C1 có thể được xác định bằng việc
sử dụng hai điều kiện của chuyển động:
Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được:
 
2
1
25
0
2
C 
Từ đó hằng số tích phân
C1 =312.5(m/s)2
(b)
Thay điều kiện 2 và giá trị của C1 vào trong công thức (a) ta có
at =1.55m/s2
(c)
(b)(a)

Như trong hình (b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc.
Khi thay giá trị của C1 và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách
s được tìm ra là
2
1.55 312.5
2
v
s  (d)
Để tính tốc độ của ô tô khi tới B, chúng ta thay vào /2 50 ms R   phương trình
(d), kết quả nhận được là
 
2
1.55 50 312.5
2
33.35m/s
v
v
 

Các thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là
hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (b).
Giá trị của gia tốc tại B là
với hướng được chỉ ra trong hình (b).
Bài 5
Một dây đai mềm chạy vòng quanh hai puli đường kính khác nhau. Tại thời điểm như
trong hình vẽ, điểm C trên đai có vận tốc 5m/s và gia tốc 50m/s2
hướng như hình vẽ.
Tính toán giá trị gia tốc của điểm A và B nằm trên đai tại thời điểm đó.
Lời giải
Giả thiết rằng dây đai không giãn, chúng ta kết luận như sau:
1. Mỗi một điểm trên dây đai có cùng vận tốc, đó là vA = vB = vC = 5m/s.
2. Tỉ lệ thay đổi của vận tốc (dv/dt) của mỗi điểm trên dây đai là như nhau.
Do đó (aA)t = (aB)t = aC = 50m/s2.
Đối với điểm A

Đối với điểm B
Bài 6
Một xe goòng trong hình (a) di chuyển với tốc độ không đổi 90km/h dọc theo một
đường ray hình parabol được mô tả bằng phương trình y =x2
/500 trong đó x và y được
tính bằng mét. Tính toán gia tốc của xe goòng khi nó tại (1) điểm O và (2) tại điểm A.
Lời giải
Thảo luận ban đầu:
Bởi vì tốc độ của xe goòng là không đổi, thành phần gia tốc tiếp tuyến của nó bằng 0
tại tất cả các điểm dọc theo đường ray. Do đó, gia tốc chỉ có một thành phần gia tốc
pháp tuyến, được xác định bởi phương trình
2
n
v
a

 a (a)
trong đó  là bán kính cong của đường ray tại điểm khảo sát. Nhắc lại rằng an hướng
vào tâm của quỹ đạo cong.
Bán kính cong ở điểm bất kỳ với tọa độ x và y có thể được tính từ công thức
3/ 22
2
2
1
dy
dx
d y
dx

  
  
    (b)
Đạo hàm liên tục phương trình parabol theo x ta có:
2
2
1
250 250
dy x d y
dx dx
  (c)
(a)

Thay các phương trình (c) vào trong phương trình (b), chúng ta tìm ra bán kính cong
của đường ray là
 
3/ 22
250 1 / 250x   
 
(d)
90 1000
25m/s
60 60
v

 

(e)
Phần 1
Sử dụng phương trình (d), bán kính cong tại điểm O (xO =0) là
Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến trong công thức (a) là
Chú ý răng tiếp tuyến của đường ray tại O nằm trên trục x. Do đó (an)O nằm dọc trên
trục y hướng vào tâm cong của đường ray, như trong hình (b).
Phần 2
Sử dụng công thức (d) bán kính cong tại A (xA =100m) là
Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến là:
Sử dụng công thức đầu tiên trong các công thức ở (c), độ dốc của đường ray tại A là
Do đó, (an)A có hướng như trong hình (b) vuông góc với đường ray và hướng vào tâm
cong.
(b)

Bài 7
Một con trượt A trong hình (a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay
quay là 22
3
t  rad, và khoảng cách của con trượt tính từ O thay đổi theo công thức
4
18 4mR t  , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định vận tốc và gia tốc
của con trượt tại thời điểm t =0.5s.
Lời giải
Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của các tọa độ cực của con trượt A và hai đạo
hàm đầu tiên của nó ở thời điểm t = 0.5s:
Các thành phần của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức
Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t =0.5s là
Kết quả này được thể hiện trong hình (b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa
véctơ v và tay quay được tính toán như sau:
(a)

Các thành phần của gia tốc có được từ công thức
Véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t =0.5s là
Véctơ này được thể hiện trong hình (c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán từ
công thức:
(b)
(c)

Bài 8
Sợi cáp nối tời A với điểm B nằm trên xe goòng trong hình (a) được cuốn đều với vận
tốc 2m/s. Khi 0
60  , xác định (1) vận tốc của B và  ; và (2) gia tốc của B và . Bỏ
qua bán kính của tời.
Lời giải
Từ hình (a) chúng ta thấy rằng chiều dài R của sợi cáp và góc  là các tọa độ cực của
điểm B. Khi 0
60  , chúng ta có:
Theo đề bài thì R được giảm đều với tốc độ hằng 2m/s .
Do đó 2 / 0R m s R   
Chú ý rằng điểm B dịch chuyển theo đường thẳng, quỹ đạo nằm ngang. Do đó véctơ
vận tốc và gia tốc của nó sẽ theo phương nằm ngang.
Phần 1
Hình (b) cho thấy sự phân tích của véctơ vận tốc v của điểm B thành các thành phần
hướng kính và trực kính tại góc 0
60  . Do véctơ vR hướng ngược với véctơ eR
(hướng về A) nên 2 /Rv R m s   . Việc biết véctơ vR và phương của véctơ v (nằm
ngang) giúp chúng ta hoàn thành sơ đồ vận tốc. Từ quan hệ hình học, vận tốc của B tại
thời điểm khi 0
60  là:
(b)
(a)

0
2
4m/s
cos60
v   (hướng sang trái)
Từ sơ đồ vận tốc cũng có được 0
2 60v tan  . So sánh kết quả này với Rv R  chúng
ta tìm ra được:
0
2tan60
0.75rad/s
4.619
v
R

    (ngược chiều kim đồng hồ)
Phần 2
Sơ đồ gia tốc của điểm B khi 0
60  được thể hiện trong hình (c).
Thành phần hướng kính theo công thức:
Dấu âm chỉ ra rằng véctơ aR hướng ngược chiều véctơ eR. Do véctơ gia tốc a được biết
là nằm ngang, sơ đồ gia tốc có thể hoàn thành. Từ sơ đồ gia tốc, giá trị của gia tốc tại
0
60  là:
Tham khảo một lần nữa sơ đồ gia tốc, chúng ta tìm ra được
0
2 598 60a . tan 
so sánh với 2a R R     ta có:
(c)

Bài 9
Một khoang hành khách của một công viên giải trí được nối với một cột thẳng đứng
OC bằng cánh tay AB. Trong suốt một khoảng thời gian, cột quay với tốc độ không
đổi 1 2. rad / s  trong khi cánh tay AB được nâng lên với tốc độ không đổi
0 3. rad / s  . Hãy xác định các thành phần vận tốc và gia tốc của khoang hành khách
theo tọa độ trụ tại thời điểm 0
40  .
Lời giải
Từ hình vẽ, chúng ta thấy rằng tọa độ R và z của khoang
hành khách là R = 4sin (m) và z = 6 – 4sin (m).
Chú ý rằng 0 ( const)    , ta có tại 0
40 
và
Các thành phần vận tốc theo tọa độ trục là:
Nhắc lại rằng  là hằng số, các thành phần gia tốc là:
Hình M3.8

ĐỘNG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM
 Trình bày chuyển động tương đối của hai chất điểm.
 Phân tích chuyển động ràng buộc của hai hay nhiều chất điểm: đưa ra các khái
niê ̣m về ràng buộc động học , số bâ ̣c tự do của cơ hê ̣ ; trình bày cách xác định
các ràng buộc động học, số bâ ̣c tự do.
Nhớ công thứ c liên hê ̣tương đối giữa hai chất điểm về vi ̣trí, vâ ̣n tốc và gia tốc.
Giải được bài toán chuyển động tương đối của hai chất điểm.
Viết được phương trình ràng buộc giữa các chất điểm trong bài toán cụthể , từ
đó đưa ra được liên hê ̣vâ ̣n tốc và gia tốc của chúng.
Xác định được số bậc tự do của hê ̣chất điểm.

Tóm tắt nội dung
ĐỘNG HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM
1. Động học của
chuyển động
tương đối
/B A B A r r r
/B A B A v v v
/B A B A a a a
/ /
/ /
/ /
B A A B
B A A B
B A A B
 
 
 
r r
v v
a a
2. Động học của
chuyển động ràng
buộc
 Ràng buộc động học : các hạn chế hình học đặt lên các chất
điểm.
 Phương trình ràng buộc: Phương trình liên hê ̣giữa các toa ̣độvi ̣
trí của các chất điểm mô tả các ràng buộc động học đặt lên các
chất điểm.
 Toạ độ độc lập về mặt động học : Toạ độ vị trí của các chất điểm
mà không phụ thuộc vào các ràng buộc động học.
 Số bâ ̣c tự do : Số toa ̣độđộc lâ ̣p về mă ̣t động học cần để mô tả
đầy đủ cấu hình của một hê ̣chất điểm.
Quỹ đạo
của A
Quỹ đạo
của B

CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Hai máy bay A và B đang bay với vận tốc không đổi ở cùng độ cao. Vị trí của hai máy
bay tại thời điểm t = 0 được biểu diễn trong hình (a) (hệ quy chiếu xy là cố định trong
không gian). Hãy xác định (1) vận tốc tương đối của máy bay A so với máy bay B; (2)
véc tơ định vị tương đối của A so với B như là hàm của thời gian; và (3) khoảng cách
gần nhất giữa hai máy bay và thời điểm điều đó xảy ra.
Lời giải
Phần 1
Từ hình (a), vận tốc của các máy bay là
40 30
580 464 348 km/h
50
A
 
   
 
i j
v i j
40 30
260 208 156 km/h
50
B
 
   
 
i j
v i j
Vận tốc tương đối của A so với B là
   / 464 348 208 156
256 504 km/h
A B A B     
 
v v v i j i j
i j
Độ lớn và hướng của véc tơ này là
2 2
/ 256 504 565.3km/hA Bv   
1 0256
tan 26.93
504
 
 
Véc tơ vận tốc tương đối này được biểu diễn trong hình (b). Lưu ý rằng /A Bv là vận
tốc của máy bay A khi được nhìn bởi một người quan sát (không quay) trong máy bay
B – tức là, vận tốc của A trong hệ toạ độ không quay x y  gắn với máy bay B. Vì /A Bv
là véc tơ hằng, quỹ đạo tương đối của A đối với hệ toạ độ tính tiến x y  là một đường
thẳng như biểu diễn trong hình (b).
Phần 2
Quỹ đạo
tương đối
của A

Véc tơ định vị tương đối của A so với B có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc
tương đối:
   / / 0256 504 256 504A B A Bdt dt t      r v i j i j r
trong đó t tính bằng giờ và r0 là hằng số tích phân. Từ điều kiện đầu, / 30 kmA B  r j khi
t =0, chúng ta có 0 30 kmr j  . Do đó, véc tơ định vị tương đối trở thành
 / 256 504 30 kmA B t t  r i j
Phần 3
Ký hiệu khoảng cách giữa hai máy bay là s, chúng ta có
   
2 2 22 2
/ 256 504 30 kmA Bs t t   r (a)
Giá trị nhỏ nhất của s xảy ra khi 2
( ) / 0d s dt  , hay
    
2
2 256 2 504 30 504 0t t  
Giải phương trình này chúng ta được
0.04732h=170.3st 
Thay giá trị này của t vào phương trình (a), chúng ta được khoảng cách gần nhất giữa
hai máy bay
   
2 2
256 0.04732 504 0.04732 30 13.59kms          
Chú ý
Các kết quả trong phần 3 cũng có thể nhận được từ hình (b). Khoảng cách gần nhất
giữa hai máy bay xảy ra khi máy bay đến vị trí C. Từ tam giác ABC, chúng ta có
0
min 30sin26.93 13.59kms BC  
Thời gian cần thiết để tới vị trí đó là
0
/
30cos26.93
0.0743h =170.3s
565.3A B
AC
t
v
  
Bài 2
Hình (a) biểu diễn một hệ gồm hai khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây
không giãn vắt qua hai ròng rọc. Xác định liên hệ động học giữa vận tốc và gia tốc của
các khối hộp.

Lời giải
Cơ hệ trong hình (a) có một bậc tự do vì một toạ độ (yA hoặc xB), xác định cấu hình của
hệ. Để thuận tiện, ta đánh số các ròng rọc và ký hiệu khoảng cách cố định, h, như đã
chỉ ra trên hình (b). Đặt L là chiều dài của dây, chúng ta có
L = yA + (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 1) + (yA – h)
+ (chiều dài đoạn dây cáp quấn quanh ròng rọc 2) + xB
Vì L, h, và chiều dài của đoạn dây cáp quấn quanh mỗi ròng rọc là không đổi, đạo hàm
hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta có
2B Av v 
Đạo hàm phương trình này theo thời gian, ta nhận được
2B Aa a 
Bài 3
Hai vòng khuyên A và B được nối với nhau bởi một sợi dây có chiều dài L. Vòng
khuyên A đang di chuyển sang phải với vận tốc không đổi vA. Xác định vận tốc và gia
tốc của vòng khuyên B như là hàm của vA và góc θ.
Lời giải
Hệ có một bậc tự do vì chỉ một toạ độ (xA, yB, hoặc θ) xác định cấu hình của hệ.
Phương trình ràng buộc thể hiện liên hệ giữa các toạ độ là
2 2 2
A Bx y L  (a)

Đạo hàm phương trình này theo thời gian (lưu ý rằng A Ax v và B By v ) chúng ta có
2 2 0A A B Bx v y v  . Phương trình này được rút gọn thành
0A A B Bx v y v  (b)
Đạo hàm phương trình (b) theo thời gian, ta có
   2 2
0A A A A B Bx a v y a v    (c)
Giải phương trình (b) đối với vận tốc của B, ta được
sin
cos
A
B A A
B
x L
v v v
y L


   
hay
tanB Av v   (d)
Bởi vì aA = 0, gia tốc của điểm B từ phương trình (c) là
2 2
A B
B
B
v v
a
y

 
Thay vB từ phương trình (d) và yB = Lcosθ, chúng ta nhận được
   2 2 22
1 tantan
cos cos
AA A
B
vv v
a
L L

 
 
   
Sử dụng đồng nhất thức  2 2
1 tan 1/cos   , phương trình này rút gọn thành
2
3
cos
A
B
v
a
L 
 

ĐỘNG HỌC PHẲNG VẬT RẮN
 Giới thiệu về các chuyển động phẳng của vật rắn bao gồm chuyển động tịnh
tiến, chuyển động quay quanh trục cố định và chuyển động phẳng tổng quát
(chuyển động song phẳng)
 Khảo sát vật chuyển động tịnh tiến và vật quay quanh một trục cố định .
 Khảo sát vật chuyển động phẳng tổng quát. Trình bày cách xác định tâm vận tốc
tứ c thời và cách xác đi ̣nh vâ ̣n tốc của một điểm sử dụng tâm vâ ̣n tốc tứ c thời.
 Phân tích chuyển động phứ c hợp của chất điểm.
Nhâ ̣n biết được loa ̣i chuyển động của mỗi vâ ̣t rắn trong từ ng bài toán cụthể .
Nhớ tính chất của vâ ̣t chuyển động ti ̣nh tiến.
Nhớ các công thứ c xác đi ̣nh vâ ̣n tốc, gia tốc của điểm thuộc vâ ̣t quay quanh một
trục cố định.
Nhớ công thứ c liên hê ̣vâ ̣n tốc và gia tốc giữa hai điểm thuộc vâ ̣t chuyển động
phẳng tổng quát.
Giải được bài toán động học phẳng vâ ̣t rắn (xác định vận tốc góc và gia tốc góc
của vật, vâ ̣n tốc và gia tốc của điểm thuộc vâ ̣t, …).
Xác định được tâm vận tốc tức thời của vật chuyển động phẳng tổng quát và sử
dụng nó để tìm vận tốc của điểm bất kì thuộc vâ ̣t.
Nhâ ̣n biết được bài toán hợp chuyển động.
Nhớ công thứ c liên hê ̣vâ ̣n tốc và gia tốc của điểm tham gia hợp chuyển động .
Giải được bài toán hợp chuyển động của điểm (xác định vận tốc tuyệt đối , vận
tốc tương đối, vâ ̣n tốc theo, gia tốc tuyê ̣t đối, gia tốc tương đối, gia tốc theo, gia
tốc coriolis của điểm, vâ ̣n tốc góc, gia tốc góc của các vâ ̣t trong bài toán,…).

Tóm tắt nội dung
Bảng tổng hợp các trƣờng hợp chuyển động phẳng của vật rắn
1. Chuyển động
tịnh tiến
Chuyển động tịnh
tiến của vật rắn là
chuyển động trong
đó một đoạn thẳng
bất kỳ vẽ trong vật
luôn luôn song song
với phương ban đầu
của nó.
Trong chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo các điểm giống hệt nhau,
vận tốc và gia tốc của chúng tương ứng bằng nhau.
A B
A B


v v
a a
2. Chuyển động
quay quanh trục cố
định
Chuyển động quay
của vật rắn xung
quanh một trục cố
định là chuyển động
trong đó vật luôn có
2 điểm cố định, do
đó có một đường
thẳng nối hai điểm
đó cũng cố định.
Đường thẳng nối hai
điểm đó gọi là trục
quay của vật.
Phương trình chuyển động của vật:  t 
Vận tốc góc:   
Gia tốc góc:     
Điểm thuộc vật q.q. một trục
cố định có quỹ đạo là đường
tròn (nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục quay và
tâm nằm trên trục quay).
Vận tốc: v vuông góc với
đường bán kính (của đường
tròn quỹ đạo), theo chiều ω.
v R
Tịnh tiến
theo đường cong
Tịnh tiến theo đường thẳng
Quay quanh trục cố địnhTịnh tiến
Tịnh tiến
Chuyển động phẳng tổng quát
ta Rω
α

Gia tốc:
2
2
t n
n
t
v
a R
R
a R


 
 

a a a
t
a vuông góc với đường bán kính, theo chiều α (giả sử nếu
chiều của α chưa biết).
n
a hướng về tâm của đường tròn quỹ đạo.
3. Chuyển động
phẳng tổng quát
(chuyển đô ̣ng song
phẳng)
Chuyển động song
phẳng của vật rắn là
chuyển động trong
đó mỗi điểm của nó
luôn luôn nằm trong
một mặt phẳng.
Như thế, tất cả các
mặt phẳng chuyển
động của các điểm
song song với nhau,
có tính chất chuyển
động giống nhau và
do đó ta chỉ cần khảo
sát một tiết diện
phẳng thuộc vật.
Phương trình chuyển động của vật
 
 
 
O O
O O
x x t
y y t
t 





; O là điểm bất kỳ thuộc vật.
Vận tốc góc:   
Gia tốc góc:     
Liên hệ vận tốc, gia tốc giữa hai điểm
/B A B A v v v
/
/ /
B A B A
t n
A B A B A
 
  
a a a
a a a
Trong đó
/
2
/
/
.
.
.
B A
n
B A
B A
v AB
a AB
a AB






Tâm vận tốc tức thời: điểm mà tại thời điểm khảo sát có vận
tốc bằng không, ký hiệu P.
Tại thời điểm khảo sát:
+ Nếu 0  thì  ! điểm P: 0Pv  .
Khi đó:
.
M
M
MP
v MP



v
+ Nếu 0  thì không tồn tại tâm
vận tốc tức thời, vận tốc mọi điểm (tại thời điểm đó) bằng nhau.
/B Av
/
t
B Aa
/
n
B Aa
A
B

Cách xác định tâm vận tốc tức thời
+ Biết vận tốc 1 điểm và phương vận tốc điểm thứ 2
+ Biết vận tốc hai điểm
+ Vật lăn không trượt trên đường cố định: điểm tiếp xúc là tâm vận
tốc tức thời
Ov
R
  và Oa
R

 
Không  P
0 
Bv
Av
P
A
B
ω
Bv
Av
P
A
B
ω
Không  P
0
A B
 
 
v v
Ví dụ, biết Bv và biết phương của Av
Bv
BP
  , chiều của ω theo chiều Bv .
.Av AP  , chiều của Av theo chiều ω.
A
BAv
P
Bv


TRUYỀN ĐỘNG ĐƠN GIẢN
Cơ cấu cam
Cơ cấu cam là cơ
cấu dùng để biến đổi
chuyển động nhằm đạt
được các chuyển động có
dạng đặc biệt: phổ biến
nhất là biến các chuyển
động đều đặn thành các
chuyển động dừng từng
đoạn - chuyển động bước.
Do đó nó thường có mặt
trong các máy tự động.
Bộ phận chính của cơ cấu cam là cam và cần. Cần là
một thanh tỳ trên bề mặt cam và quy luật chuyển động
của nó phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi là biên dạng
cam.
Cơ cấu bánh răng – thanh
răng
Cơ cấu bánh răng, đai
truyền, xích
A

CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Thanh hình chữ L quay cùng chiều kim đồng hồ với vận tốc góc giảm dần với tỷ lệ 4
rad/s2
. Hãy xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của điểm A khi 2rad/s  .
Lời giải
Theo đề bài ta có giá trị của vận tốc và gia tốc góc là
2
4rad/s 2rad/s  
Độ lớn vận tốc của điểm A:
     2 2
0 4 0 3 2 1m/sAv OA . .   
Độ lớn gia tốc của điểm A xác định bởi
   
2 2
n ta a a 
Với       2
0 5 4 2m/sta OA .  
     2 2 2
0 5 2 2m/sna OA .  
Suy ra 2 2 2
2 2 2 83m/sa .   .
Bài 2
Vị trí của thanh OA được xác định bởi góc quay
  3
0 3 1 6 3radt . t . t     , trong đó t được tính bằng
giây. Khi t =2s, (1) xác định vận tốc của điểm A; và
(2) xác định gia tốc của điểm A.
Lời giải
Vận tốc góc và gia tốc góc của thanh OA được xác định bởi
2
2
0 9 1 6rad/s
1 8 rad/s
. t .
. t
 
 
  
 


O
(a)

Khi t = 2s, ta tính được 2
2rad/s, 3 6rad/s.  
Phần 1
Độ lớn vận tốc của điểm A khi t =2s là
  2 2 4m/sAv R  
Khi t =2s thì      3 0
0 3 2 1 6 2 3 2 2rad 126. . .      . Phương chiều của véctơ vA được
thể hiện trên hình (b).
Phần 2
Gia tốc của điểm A gồm hai thành phần: gia tốc tiếp và gia tốc pháp. Khi t =2s
  
  
2
2 2 2
2 3 6 7 2 /s
2 2 8 /s
t
n
a R . . m
a R m


  
  
Do đó    
2 2 2 2 2
7 2 8 10 76 /st na a a . . m     .
Phương chiều của gia tốc tiếp, gia tốc pháp, gia tốc toàn phần của điểm A được thể
hiện trong hình (c).
Bài 3
Puli B được điểu khiển từ pulli A được gắn động cơ. Puli A đang quay với vận
tốc góc B = 20rad/s. Tại thời điểm t = 0, motor bị cắt điện, và lực ma sát tại các vòng
bi làm cho puli dần dần dừng lại. Gia tốc góc của puli A trong suốt quá trình giảm là
αA = –2.5t rad/s2
, trong đó t tính theo giây. Giả thiết rằng đai không trượt trên puli, hãy
xác định: (1) gia tốc góc của puli B như một hàm của thời gian; (2) dịch chuyển góc
của B trong suốt giai đoạn giảm; và (3) gia tốc của điểm C trên phần thẳng của dây đai
như hàm của thời gian.
(c)(b)

Lời giải
Phần 1
Bởi vì dây đai không trượt, tất cả các điểm trên dây đai kết nối với puli có vận
tốc như điểm tiếp giáp với puli. Do đó, tốc độ của một điểm bất kì trên dây đai là
v = RAA = RBB (a)
Suy ra
0.10
0.5
0.20
A
B A A A
B
R
R
     
Đạo hàm theo thời gian t, chúng ta nhận được gia tốc góc của puli B
αB = 0.5αA = 0.5(– 2.5t) = – 1.25t (rad/s2
)
Bởi vì αB = dB/dt , ta có dB = αBdt hay
2
11.25 0.625B Bdt tdt t C       
Điều kiện đầu, B = 20 rad/s khi t = 0, nên C1 = 20rad/s. Do đó, vận tốc góc của puli
B là
B = – 0.625t2
+ 20 rad/s
Phần 2
Chúng ta gọi θB là góc định vị của đường thẳng trong B tính từ một đường thẳng
tham chiếu cố định. Nhắc lại rằng B = dθB/dt chúng ta tích phân dθB = B dt để đạt
được
2 3
2( 0.625 20) 0.2083 20B Bdt t dt t t C         
Lấy θB = 0 khi t = 0, chúng ta có C2 = 0, dẫn đến
θB = - 0.2083t3
+ 20t rad
Puli chuyển động đến trạng thái nghỉ khi B = – 0.625t2
+ 20 = 0, lúc đó t = 5.656s.
Góc định vị của đường thẳng trong B tương ứng là
θBt=5.657s = - 0.2083 (5.657)3
+ 20(5.657) = 112.0 (rad)
Do đó, dịch chuyển góc của puli B khi nó chuyển động chậm dần đến khi dừng lại là
5.657 0
112.0 0 112.0B B Bt s t
rad   
     

Bởi vì hướng của chuyển động là không thay đổi, tổng của góc đã quay bởi puli B
trong suốt quá trình giảm tốc là 112.0 rad.
Phần 3
Thay thế RB = 0.2 m và 2
0.625 20 /B t rad s    vào phương trình (a), tốc độ
của điểm C (cũng như tất cả các điểm trên đai) là
 2 2
0.2 0.625 20 0.125 4 /Cv t t m s      (b)
Bởi vì quỹ đạo của điểm C trên dây đai là đường thẳng, gia tốc của điểm C là
2
0.25 /C Ca v t m s  
Chúng ta cũng đạt được kết quả tương tự bằng việc quan sát thấy rằng aC bằng
với thành phần tiếp tuyến của gia tốc của trên vành của puli B ( puli A cũng có thể
được sử dụng). Vì vậy 2
0.2( 1.25 ) 0.25 /C B Ba R t t m s     .
Quan sát thấy rằng biểu thức của vC trong phương trình (b) là đúng cho toàn bộ quá
trình giảm tốc (0 ≤ t ≤5.657s), trong khi đó câu trả lời cho aC chỉ áp dụng cho những
lúc C không tiếp xúc với một trong hai puli. Những điểm trên đai chuyển động theo
đường tròn khi chúng tiếp xúc với puli.
Bài 4
Cho một cơ cấu bốn khâu như hình vẽ, tại vị trí được chỉ ra vận tốc góc của
thanh AB là AB = 2 rad/s thuận chiều kim đồng hồ. Ở trị trí này, hãy xác định vận tốc
góc của các thanh BC và CD.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng công thức liên hệ vận tốc giữa hai điểm
Phân tích chuyển động:
 AB quay quanh trục cố đi ̣nh qua A.
 CD quay quanh trục cố đi ̣nh qua D.
 BC chuyển động phẳng tổng quát (chuyển động song phẳng).

Vẽ Bv

: B thuộc AB nên Bv AB

, chiều theo AB ,
60( ).2( / ) 120 /B ABv AB mm rad s mm s   .
Vẽ Cv

: C thuộc CD nên Cv CD

, chiều giả thiết (do CD chưa biết),
80C CD CDv CD  
B và C thuộc thanh BC nên ta có liên hệ vận tốc:
 / 1C B C Bv v v 
  
Với /C Bv CB

, chiều giả thiết (do BC chưa biết), / 50C B BC BCv CB  
Chiếu hai vế của PT (1) lên hai phương vuông góc, ta có:
0
0
80 cos60 0 50
80 sin60 120 0
CD BC
CD
 

  

   
1.732 /
1.386 /
CD
BC
rad s
rad s



 

Kết quả tìm được mang dấu dương chỉ ra rằng chiều của CD và BC đúng như đã giả
thiết trên hình vẽ.
Cách 2: Sử dụng tâm vận tốc tức thời
Phân tích chuyển động:
Vẽ Bv

: Bv AB

, chiều theo AB , 60( ).2( / ) 120 /B ABv AB mm rad s mm s   .
Vẽ Cv

: Cv CD

Xác định tâm vận tốc tức thời của BC:
B và C cùng thuộc BC mà đã biết vâ ̣n
tốc điểm B và phương vâ ̣n tốc điểm C
nên ta xác đi ̣nh được tâm vâ ̣n tốc tứ c
thời của BC bằng cách: Từ B kẻ đường
vuông góc với Bv

Từ C kẻ đường vuông góc với Cv

Suy ra giao điểm O (trên hình vẽ) là tâm
vâ ̣n tốc tứ c thời của BC.

Ta có:
.
.
B BC
C BC
v OB
v OC




Khoảng cách tới B và C từ O, được tìm từ tam giác OBC là
50 / tan30 86,60
50 / sin30 100
o
o
OB mm
OC mm
 
 
Suy ra:
120
1,386 /
86.6
B
BC
v
rad s
OB
   
138,6 /Cv mm s
Mà C CD nên: .C CDv CD
Do đó:
138,6
1,733 /
80
C
CD
v
rad s
CD
    .
Chiều của , ,BC C CDv 

được thể hiện trên hình vẽ.
Bài 5
Khi cơ cấu ở vị trí như hình vẽ, thanh AB đang quay với vận tốc góc
và gia tốc góc , đều ngược chiều kim đồng hồ. Hãy xác định gia tốc
góc của các thanh BC và CD ở vị trí này.
Lời giải
Phân tích chuyển động:
Giải bài toán vận tốc: tìm BC và CD

 Vẽ Bv

: Bv AB

, chiều theo AB ,   80 2.4 192 /B ABv AB mm s   .
 Vẽ Cv

: Cv CD

, C CDv CD
 Xác định tâm vận tốc tức thời của BC:
B và C cùng thuộc BC mà đã biết vận tốc điểm B và phương vận tốc điểm C nên ta
xác định tâm vận tốc tức thời của BC bằng cách: Từ B kẻ đường vuông góc với Bv

Từ C kẻ đường vuông góc với Cv

Các đường vuông góc với Bv

và Cv

song song với nhau nên tâm vận tốc tức thời ở
vô cùng hay không tồn tại tâm vận tốc tức thời. Nên:
192 /
0
192
1.6 /
120
C B
BC
C
CD
v v mm s
v
rad s
CD


 

  
Giải bài toán gia tốc: tìm BC và CD
 B AB : t n
B B Ba a a 
  
,
 
 
2
22 2
80 1.5 120 /
80 2.4 460.8 /
t
B AB
n
B AB
a AB mm s
a AB mm s


  
  
 C CD : t n
C C Ca a a 
  
,
 
22 2
120
120 1.6 307.2 /
t
C CD CD
n
C CD
a CD
a CD mm s
 

 
  
 ,B C BC :  / / 1t n
C B C B C Ba a a a  
   
 
/
22
/
95
95 0 0
t
C B BC BC
n
C B BC
a CB
a CB
 

 
  
PT (1) được viết lại như sau:
 / 2t n t n t
C C B B C Ba a a a a   
    

Chiếu hai vế PT (2) lên hai phương vuông góc: phương ngang và thẳng đứng, ta
được
0
0
120 120 95 sin 24.90
307.2 460.8 95 cos24.90
CD BC
BC
 

  

 
2
2
0.406 /
1.783 /
CD
BC
rad s
rad s


 
 
 
Vậy

CHUYỂ N ĐỘNG PHƢ́ C HỢP CỦ A ĐIỂ M
1. Các
đi ̣nh
nghĩa
cơ bản
Bài toán hợp chuyển động: có một điểm M chuyển động đối với vâ ̣t
A, vâ ̣t A chuyển động đối với vâ ̣t B cố đi ̣nh , ta có bài toán hợp
chuyển động đối với điểm M. Vâ ̣t A được gọi là hê ̣quy chiếu động
(gắn với hê ̣ toạ độ động Oxyz), vâ ̣t B được gọi là hê ̣quy chiếu cố
đi ̣nh (gắn với hê ̣toa ̣độ 0 0 0 0O x y z ).
Các chuyển động:
 Chuyển động tuyệt đối của điểm M: là chuyển động của M đối
với hê ̣quy chiếu cố đi ̣nh.
 Chuyển động tương đối của điểm M : là chuyển động của M
đối với hê ̣quy chiếu động.
 Chuyển động theo: là chuyển động của hệ quy chiếu động đối
với hê ̣quy chiếu cố đi ̣nh. Vâ ̣n tốc góc của hê ̣động được gọi là
vâ ̣n tốc góc theo, được ký hiê ̣u là ωe .
Các đặc trưng động học của điểm M:
 Vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm M : là vâ ̣n tốc,
gia tốc của điểm M tính toán đối với hệ cố định 0 0 0 0O x y z ,
được ký hiê ̣u là va
M , aa
M ( hoă ̣c vM , aM ).
0
va
M
dO M
dt


;
2
0
2
aa
M
d O M
dt


.
 Vận tốc tương đối và gia tốc tương đối của điểm M : là vâ ̣n
tốc, gia tốc của điểm M tính toán đối với hệ động Oxyz, được
ký hiệu là vr
M , ar
M .

/ vatA
vr
M
dOM
dt
 
   
 

;
2
2
/ vatA
ar
M
d OM
dt
 
   
 

.
 Vận tốc theo và gia tốc theo của điểm M : là vận tốc , gia tốc
tuyê ̣t đối của điểm M*
- trùng điểm M*
của điểm M - tính toán
đối với hê ̣cố đi ̣nh, được ký hiê ̣u là ve
M
, ae
M
.
*
*
0
v ve
M M
dO M
dt
 

; *
2 *
0
2
a ae
M M
d O M
dt
 

.
Khái niệm trùng điểm M*
của điểm M: Điểm M*
được gắn với
hê ̣động mà ở thời điểm khảo sát có cùng vi ̣trí với điểm M
được gọi là trùng điểm của điểm M tại thời điểm đó.
2. Công
thƣ́ c
hợp
vâ ̣n tốc
v v vr e
M M M 
3. Công
thƣ́ c
hợp gia
tốc
a a a ar e C
M M M M  
Trong đó:
2a ω vC r
M e M  là gia tốc Côriôlit, với ωe là vận tốc góc theo (vâ ̣n tốc góc
của hệ động).
Phương phá p xá c đi ̣nh gia tốc Côriôlit:
 Nếu hê ̣động Oxyz chuyển động ti ̣nh tiến thì gia tốc Côriôlit bằng
không: 0aC
M  . (Vì 0e  .)
 Nếu ω vr
e M (hình (a))thì quay véc tơ vr
M theo chiều của ωe một
góc 900
ta sẽ nhâ ̣n được phương , chiều của gia tốc Côriôlit ; còn
giá trị của nó là: 2C r
M e Ma v .

Hình (a) Hình (b)
 Nếu ωe tạo với vr
M một góc  (hình (b)) thì trước tiên ta chiếu
véc tơ vr
M lên mă ̣t phẳng vuông góc với ωe để nhận được 'r
vM . Sau
đó quay 'r
vM theo chiều của ωe một góc 900
ta sẽ nhâ ̣n được
phương, chiều của gia tốc Côriôlit ; còn giá trị của nó là :
2 sinC r
M e Ma v  .
CÁC BƢỚC GIÁI BÀI TOÁN HỢP CHUYỂN ĐỘNG
 Nhâ ̣n biết bài toán chuyển động phứ c hợp.
 Phân tích chuyển động:
 Phân tích da ̣ng chuyển động (tịnh tiến, quay quanh trục cố định , song
phẳng, …) của các vật trong cơ hệ.
 Chọn hệ động. Chuyển động của hê ̣động là chuyển động theo . Phân tích
chuyển động tuyê ̣t đối và chuyển động tương đối . Đồng thời xác định
xem các yếu tố động học nào đã biết, chưa biết.
 Tìm các vận tốc, vâ ̣n tốc góc:
 Viết biểu thứ c vâ ̣n tốc: v v vr e
M M M  .
 Vẽ các véc tơ vận tốc . Đối với các véc tơ chỉ biết phương , chưa biết
chiều thì chiều của chúng có thể được giả đi ̣nh . (Nếu kết quả tìm được là
dương thì chiều của chúng đúng như chiều giả đi ̣nh , nếu kết quả tìm
được là âm thì chúng có chiều ngược la ̣i.)
 Chiếu PT véc tơ trên lên hai trục bất kỳ . Xác định các đại lượng chưa
biết.

 Tìm các gia tốc, gia tốc góc:
 Viết biểu thứ c gia tốc: a a a ar e C
M M M M   .
 Vẽ các véc tơ gia tốc . Thực hiê ̣n tương tự như phần vâ ̣n tốc , lưu ý rằng
nếu chuyển động tuyê ̣t đối , chuyển động tương đối của điểm M và
chuyển động tu yê ̣t đối của điểm M *
là chuyển động cong thì các thành
phần gia tốc tuyê ̣t đối , gia tốc tương đối , gia tốc theo của điểm M sẽ
được phân tích thành gia tốc tiếp và gia tốc pháp.
Chú ý thêm rằng các thành phần gia tốc pháp t uyến, gia tốc Côriôlit
không phải là ẩn đối với bài toán gia tốc , vì sau khi giải bài toán vận tốc
những thành phần gia tốc đó sẽ được xác đi ̣nh.
 Chiếu phương trình liên hê ̣gia tốc lên hai trục bất kỳ , sau đó giải tìm các
đa ̣i lượng được yêu cầu.
CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Chốt P, được gắn chă ̣t vào thanh trượt PD , có thể trượt dọc theo rãnh trên tay quay
AB. Thanh PD đang trượt sang trái với vận tốc không đổi 1.2m/s. Xác định vận tốc
góc và gia tốc góc của AB khi θ = 600
.
Bài giải
 Nhâ ̣n biết bài toán hợp chuyển động
Chốt P chuyển động đối với tay quay AB (có thể trượt dọc theo rãnh trên AB ),
tay quay AB chuyển động so với gối cố đi ̣nh . Do đó có bài toán phứ c hợp
chuyển động của chốt P.
 Phân tích chuyển động

 AB quay quanh trục cố đi ̣nh qua A , thanh PD chuyển động ti ̣nh tiến theo
phương ngang.
 Chọn hệ động là tay quay AB . Chuyển động của tay quay so với gối cố
đi ̣nh là chuyển động theo (chưa biết).
Chuyển động của chốt P đối với AB là chuyển động tương đối, là chuyển
động thẳng (Chốt P có thể trượt dọc theo rãnh trên tay quay AB, mà rãnh
trên AB là đường thẳng). Chuyển động này chưa biết.
Chuyển động của chốt P đối với giá cố đi ̣nh là chuy ển động tuyệt đối .
Chuyển động này đã biết vì chốt P gắn chặt trên thanh PB , thanh PB
chuyển động ti ̣nh tiến theo phương ngang sang trá i vớ i vận tốc không
đổi 1.2m/s. Vâ ̣y chuyển động tuyê ̣t đối của chốt P là chuyển động thẳng
đều.
 Tìm vận tốc góc của tay quay AB khi θ = 600
Ta có: v v vr e
P P P  (1)
 Vẽ vP : Như đã phân tích ở trên vP có phương ngang, hướng sang trái và
có độ lớn 1.2 /Pv m s .
 Vẽ vr
P : Chuyển động tương đối của chốt P đối với AB là chuyển động
thẳng, nên vâ ̣n tốc tương đối vr
P có phương theo đường thẳng đó, độlớn
và chiều của nó chưa biết, ta sẽ giả đi ̣nh chiều của nó.
 Vẽ ve
P : Gọi P*
là vị trí trên rãnh mà tại thời điểm khảo sát chốt P đang
chiếm chỗ (trùng điểm của điểm P ). Vâ ̣n tốc của P *
sẽ được tính theo
chuyển động của tay quay AB . AB quay quanh trục cố đi ̣nh nên
*vP
AB , nhưng chiều của *vP
chưa biết và sẽ được giả đi ̣nh vì chuyển
động của AB chưa biết.
*
* 0.4
3
e
P AB AB ABP
v v AP AP     
 Chiếu PT (1) lên hai trục vuông góc x, y
ve
P
vP
vr
P
y
x

cos 0
sin 0
r
P P
e
P P
v v
v v


   

 
0
0
1.2cos60 0.6 /
1.2sin60 0.6 3 /
r
P
e
P
v m s
v m s
  
 
 
Các kết quả tìm được là dương có nghĩa là các véc tơ ,v vr e
P P có chiều
đúng như chiều giả đi ̣nh.
Vâ ̣y
0.6 3
4.5 /
0.4
3
e
P
AB
v
rad s
AP
    và có chiều ngược chiều kim đồng hồ.
 Tìm gia tốc góc của tay quay AB khi θ = 600
Ta có: a a a ar e C
P P P P   (2)
 aP : Như đã phân tích ở trên, chuyển động tuyê ̣t đối của chốt P là chuyển
động thẳng đều, nên 0Pa  .
 ar
P : Chuyển động tương đối của chốt P đối với AB là chuyển động thẳng ,
nên gia tốc tương đối ar
P có một thành phần hướng theo đường thẳng đó
và chiều của nó chưa biết, sẽ được giả đi ̣nh.
 ae
P : Gia tốc của P *
sẽ được tính theo chuyển động của tay quay AB . AB
quay quanh trục cố đi ̣nh (P*
có quỹ đạo dạng đường tròn ) nên *aP
gồm
hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến: * * *a a an t
P P P
  . Mà *a ae
P P
 , vâ ̣y
nên:
a a ae en et
P P P 
Trong đó , aen
P hướng từ P về A và  
22 20.4
4.5 4.68 /
3
en
P ABa AP m s
 
   
 
,
còn aet
P có phương vuông góc với AB , chiều chưa biết sẽ được giả đi ̣nh ,
độlớn
0.4
3
et
P AB ABa AP   .
 aC
P : Ta có 2a ω vC r
P e P  . Vâ ̣n tốc góc của AB (hê ̣động) là vận tốc góc
theo 4.5 /e AB rad s   . Véc tơ ωe nằm trên trục quay của AB (xem la ̣i
phần chuyển động quay quanh trục cố đi ̣nh của vâ ̣t ), tứ c là nó vuông góc
với AB . Nên ta có ω vr
e P :       2
2 2 4.5 0.6 5.4 /C r
P e Pa v m s   .
Phương, chiều của aC
P có được bằng cách quay vr
P một góc 900
trong
mă ̣t phẳng giấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (theo chiều e ).

 Phương trình (2) được viết la ̣i thành
0 a a a ar en et C
P P P P    (3)
Chiếu PT (3) lên hai trục vuông góc x, y, ta nhâ ̣n được:
0
0
r en
P P
C et
P P
a a
a a
   

  
2
2
4.68 /
5.4 /
r en
P P
et C
P P
a a m s
a a m s
    
 
 
et
Pa tìm được mang dấu dương có nghĩa là véc tơ aet
P có chiều đúng như
chiều giả đi ̣nh.
Vâ ̣y gia tốc góc của tay quay AB : 25.4
23.38 /
0.4
3
et
P
AB
a
rad s
AP
    và có
chiều ngược chiều kim đồng hồ .
Bài giải ngắn gọn
 Chốt P chuyển động đối với tay quay AB (có thể trượt dọc theo rãnh trên AB ),
tay quay AB chuyển động so với gối cố đi ̣nh . Do đó có bài toán phứ c hợp
chuyển động của chốt P.
 AB quay quanh trục cố đi ̣nh qua A , thanh PD chuyển động ti ̣nh tiến theo
phương ngang.
 Chọn hệ động là tay quay AB . Chuyển động của tay quay so với gối cố đi ̣nh là
chuyển động theo (chưa biết).
 Chuyển động của chốt P đối với AB là chuyển động tương đối (chưa biết).
 Chuyển động của chốt P đối với giá cố đi ̣nh là chuyển động tuyê ̣t đối . Chuyển
động tuyê ̣t đối của P là chuyể n động thẳng đều vớ i vận tốc không đổi 1.2m/s.
 Tìm vận tốc góc của tay quay AB khi θ = 600
Ta có: v v vr e
P P P  (1)
1.2 /Pv m s
*
* 0.4
3
e
P AB AB ABP
v v AP AP     
aet
P
aen
P
ar
P
y
x
aC
P

Chiếu PT (1) lên hai trục vuông góc x, y
cos 0
sin 0
r
P P
e
P P
v v
v v


   

 
0
0
1.2cos60 0.6 /
1.2sin60 0.6 3 /
r
P
e
P
v m s
v m s
  
 
 
Các kết quả tìm được là dương có nghĩa là các véc tơ ,v vr e
P P có chiều đúng như
chiều giả đi ̣nh.
Vâ ̣y
0.6 3
4.5 /
0.4
3
e
P
AB
v
rad s
AP
    và có chiều ngược chiều kim đồng hồ.
 Tìm gia tốc góc của tay quay AB khi θ = 600
Ta có: a a a ar e C
P P P P   (2)
0Pa 
*a a a ae en et
P P PP
  
 
22 20.4
4.5 4.68 /
3
en
P ABa AP m s
 
   
 
0.4
3
et
P AB ABa AP  
4.5 /e AB rad s  
      2
2 2 4.5 0.6 5.4 /C r
P e Pa v m s  
ve
P
vP
vr
P
y
x

Phương trình (2) được viết la ̣i thành
0 a a a ar en et C
P P P P    (3)
Chiếu PT (3) lên hai trục vuông góc x, y, ta nhâ ̣n được:
0
0
r en
P P
C et
P P
a a
a a
   

  
2
2
4.68 /
5.4 /
r en
P P
et C
P P
a a m s
a a m s
    
 
 
et
Pa tìm được mang dấu dương có nghĩa là véc tơ aet
P
có chiều đúng như chiều
giả định.
Vâ ̣y gia tốc góc của tay quay AB : 25.4
23.38 /
0.4
3
et
P
AB
a
rad s
AP
    và có chiều
ngược chiều kim đồng hồ.
Cách giải khác (sử dụng công thức xác định vận tốc , gia tốc của điểm theo toạ độ –
bài động học chất điểm)
 Gắn vào A một hê ̣trục toa ̣độcố đi ̣nh Axy, trong hê ̣toa ̣độnày vi ̣trí của chốt P
được xác đi ̣nh bởi các toa ̣độ  ,P Px y .
 Xét tại thời điểm bất kỳ, ta có
cos
sin 0.2
P
P
x AP
y AP




 
x
y
Px
Py
aet
P
aen
P
ar
P
y
x
aC
P

0.2 0.2
cos
sin tan
Px 
 
  
 2
2 2
0.2 1/ cos 0.2
tan sin
Px
  
 
    
 

     2 2 2
4 4
0.2 sin 0.2 2 sin cos 0.2 sin 0.4 sin cos
sin sin
Px
          
 
    
  
    

 Theo đề bài , thanh PD đang chuyển động sang tr ái với vận tốc không đổi
1.2m/s nên ta có:
1.2
0
P
P
x
x
 



Hay
2
2
0.2
1.2
sin
0.2 sin 0.4 cos 0


   
  
  

 
Suy ra
2
2
6sin
2 cos
sin
 
 







 Vâ ̣y khi θ = 600
, vâ ̣n tốc góc của thanh AB là 4.5rad/s, ngược chiều kim đồng
hồ và gia tốc góc của thanh AB là 23.38rad/s2
, cũng ngược chiều kim đồng hồ.

Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Học - TNUT

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Học - TNUT

Similar to Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Học - TNUT (20)

More from Minh Đức Nguyễn

More from Minh Đức Nguyễn (9)

Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Học - TNUT