Tổng hợp kiến thức lớp 9 ôn tập vào lớp 10

1. PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I
CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1). Khái niệm căn bậc hai
Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho 2
x a= .
+ Mỗi số thực dương a ( 0a ³ ) có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau:
- Số dương ký hiệu là: a .
- Số âm ký hiệu là : a- .
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết 0 0= .
+ Số âm không có căn bậc hai.
2). Căn bậc hai số học
Định nghĩa: Căn bậc hai số học của số thực a không âm ( 0a ³ ) là số
không âm x mà 2
x a= .
Với số thực a dương, người ta gọi số a là căn bậc hai số học của a .
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hái số học của 0.
Chú ý: Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không
âm.
Công thức: 2
0a
x a
x a
ìï ³ïï = ±Ûí
ï =ïïî
; 0 0a a³ Þ ³ và ( )
2
0a a a± =³ Þ .
Phương trình 2
x a= với 0a > có hai nghiệm đối nhau là 1
x a= - và
2
x a= .
3). Căn thức bậc hai
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của
A , còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
+ Điều kiện để một căn bậc hai được xác định (hoặc có nghĩa, hoặc tồn tại)
là số a dưới dấu căn (hoặc biểu thức A dưới dấu căn) phải không âm:
A có nghĩa khi 0A ³ .
+ Với mọi số A , ta có AA =2
(hằng đẳng thức AA =2
).
4). Khai phương một tích, một thương
1

2. + Khai phương một tích: . .A B A B= (với , 0A B ³ ).
Nhân hai căn bậc hai: . .A B A B= (với , 0A B ³ ).
+ Khai phương một phương:
A A
B B
= (với 0, 0A B >³ ).
Chia hai căn bậc hai:
A A
BB
= (với 0, 0A B >³ ).
5). Bảng căn bậc hai
+ Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng
căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mười) rồi theo
dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta được giá trị gần đúng
của căn bậc hai cần tìm.
+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải
theo hướng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6 ... chữ
số thì phải dời dấu phẩy trong số N đi 1, 2, 3 ... chữ số sang trái (hoặc
sang phải) và sẽ được N cần tìm.
6). Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
a). Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn
2
.A B A B= (với 0B ³ ).
Minh họa: 2
3 .2 3 2 3 2= = hoặc ( )
2
2 .3 2 . 3 2 3- = - = .
b). Đưa một thừa số vào trong dấu căn
c). Nếu
0
0
A
B
ìï ³ïïí
ï ³ïïî
thì 2
.A B A B= .
d). Nếu
0
0
A
B
ìï <ïïí
ï ³ïïî
thì 2
.A B A B= - .
e). Khử mẫu số trong căn
A AB
B B
= (với . 0, 0A B B³ ¹ ).
1

3. e). Trục căn thức ở mẫu
A A B
BB
= (với 0B > ).
( )
2
C A BC
A BA B
-
=
-+
(với
2
0;A A B³ ¹ ).
và
( )
2
C A BC
A BA B
+
=
--
(với
2
0;A A B³ ¹ ).
( )C A BC
A BA B
-
=
-+
(với , 0;A B A B³ ¹ ).
và
( )C A BC
A BA B
+
=
--
(với , 0;A B A B³ ¹ ).
Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân
thức với lượng liên hợp của mẫu và cần các hằng đẳng thức sau:
( )( ) 2 2
a b a b a b- + = - .
Các dạng liên hợp cơ bản và thường gặp
( )( )A B A B A B- + = - .
( )( ) 2
A B A B A B- + = - .
7). Căn bậc ba
a). Khái niệm về căn bậc ba
Căn bậc ba của một số A là một số x .
Ký hiệu: 3
x A= .
Ghi nhớ:
+ Bất kỳ số thực nào cũng có một căn bậc ba duy nhất.
+ Số dương có căn bậc ba là một số dương
3
0 0A A> >Þ .
+ Số 0 có căn bậc ba bằng 0
3
0 0A A= =Þ .
+ Số âm có căn bậc ba là một số âm
3
0 0A A< <Þ .
1

4. b). Các công thức tính
+ Khai căn bậc ba một tích số:
3 3 3 3
. .ABC A B C= .
+ Phép nhân các căn bậc ba:
3 3 3 3
. .A B C ABC= .
+ Khai căn bậc ba của một thương số:
3
3
3
A A
B B
= (với 0B ¹ ).
+ Chia hai căn bậc ba:
3
3
3
A A
BB
= (với 0B ¹ ).
+ Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:
3 33
A B A B= .
+ Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
33 3
A B A B= .
+ Khử mẫu trong căn:
3 2
3
A AB
B B
= (với 0B ¹ ).
3
3
2
A AB
BB
= (với 0B ¹ ).
+ Trục căn thức ở mẫu:
3 2
3
1 A
AA
= (với 0A ¹ ).
3
3 2
1 A
AA
= (với 0A ¹ ).
( ) ( )
2 2
3 3 3 3
3 332 2
3 3
.1 .A A B B A A B B
A B A BA B
+ +
= =
± ±±
m m (với
0A B± ¹ ).
( )
2
3 32
332 2
3 33
1 A A B B A A B B
A B A BA B
+ +
= =
± ±±
m m (với 3
0A B± ¹ ).
1

5. Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân
thức với lượng liên hợp của mẫu và cần các hằng đẳng thức sau:
( )( )2 2 3 3
a b a ab b a b- + + = - .
( )( )2 2 3 3
a b a ab b a b+ - + = + .
Các dạng liên hợp cơ bản và thường gặp
+ ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 3 3 3 3
.A B A A B B A B
é ù
ê ú- + + = -
ê ú
ë û
( )( )3 33 3 32 2
.A B A A B B A B- + + = -Û .
+ ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 3 3 3 3
.A B A A B B A B
é ù
ê ú+ - + = +
ê ú
ë û
( )( )3 33 3 32 2
.A B A A B B A B+ - + = +Û .
+ ( ) ( )
2
3 3 32 3
A B A A B B A B
é ù
ê ú- + + = -
ê ú
ë û
( )( )33 32 2 3
A B A A B B A B- + + = -Û .
+ ( ) ( )
2
3 3 32 3
A B A A B B A B
é ù
ê ú+ - + = +
ê ú
ë û
( )( )33 32 2 3
A B A A B B A B+ - + = +Û .
1

6. CHƯƠNG II
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Định nghĩa
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với
một và chỉ một số y Î R .
Trong đó:
x được gọi là biến số (đối số).
y được gọi là giá trị của hàm số f tại x .
Ký hiệu: ( )y f x= ; ví dụ: 2y x= + , 3y x= - + ,
3
2
2
y x= - , …
• D được gọi là tập xác định của hàm số.
• { }( ) |y f x x= = ÎT D được gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý: Khi đại lượng x thay đổi mà đại lượng y luôn nhận một giá trị
không đổi thì y được gọi là hàm hằng.
Ví dụ: 1y = , 3y = - , 3y = - là các hàm hằng.
2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng
x 2-
3
2
- 1-
1
2
- 0
1
2
1
3
2
2
2 2y x= + 2- 1- 0 1 2 3 4 5 6
 Cho bằng biểu đồ
 Cho bằng công thức ( )y f x= .
• Hàm hằng: Là hàm số có công thức y m= .
- Trong đó x là biến; m Î R là tham số chưa biết tổng quát.
1

7. • Hàm bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y ax b= + .
Trong đó x là biến; ,a b Î R ; 0a ¹ .
a là hệ số góc, b là tung độ gốc.
Chú ý: Nếu 0b = thì hàm bậc nhất có dạng y ax= ( 0a ¹ ).
Tập xác định của hàm số ( )y f x= là tập hợp tất cả các số thực x sao cho
biểu thức ( )f x có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số ( )y f x= là tập hợp tất cả các điểm ( ; ( ))M x f x trên mặt
phẳng toạ độ Oxy sao cho ,x y thỏa mãn hệ thức ( )y f x= .
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số ( )y f x= là một đường. Khi đó ta
nói ( )y f x= là phương trình của đường đó.
Giá trị của ( )f x tại 0
x ký hiệu là 0
( )f x .
4. Sự biến thiên của hàm số
+ Hàm số ( )y f x ax b= = + đồng biến trên R khi 0a > .
+ Hàm số ( )y f x ax b= = + nghịch biến trên R khi 0a < .
Tổng quát: Cho hàm số f xác định trên R .
• Hàm số ( )y f x= đồng biến (tăng) trên R nếu
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x x x f x f x" < <Î ÞR .
• Hàm số ( )y f x= nghịch biến (giảm) trên R nếu
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )x x x x f x f x" < >Î ÞR .
5). Đồ thị hàm số y ax= ( 0a ¹ ).
Đồ thị của hàm số y ax= là đường thẳng luôn đi qua gốc toạ độ (0; 0)O .
Cách vẽ:
Bước 1: Chọn điểm (1; )A a là điểm thứ hai mà đồ thị hàm số đi qua.
Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và O ta được đồ thị hàm số đã
cho.
1

8. x
y
y= ax
a> 0
I
(x> 0; y> 0)
II
(x< 0; y> 0)
III
(x< 0; y< 0)
IV
(x> 0; y< 0)
IV
(x> 0; y< 0)
III
(x< 0; y< 0)
II
(x< 0; y> 0)
I
(x> 0; y> 0)
a< 0
y= ax
y
x OO
6). Đồ thị hàm số y ax b= + ( , 0a b ¹ )
Đồ thị hàm số y ax b= + ( , 0a b ¹ ) là một đường thẳng cắt trục tung tại
điểm (0; )b và cắt trục hoành tại điểm ; 0
b
a
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
.
Chú ý: Đường thẳng y ax b= + ( , 0a b ¹ ) song song với đường thẳng
y ax= .
Cách vẽ:
Cách 1: Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ
Bước 1: Cho 0 (0; )x y b A b Oy= =Þ ÞÎ .
Cho 0 ; 0
b b
y x B Ox
a a
æ ö÷ç ÷= = - -Þ Þ Îç ÷ç ÷çè ø
.
Xác định các điểm ,A B trên hệ trục tọa độ.
Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số đã
cho.
Cách 2: Xác định hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị
Bước 1: Xác định (1; )A a b+ và ( 1; )B a b- - + trên hệ trục tọa độ.
Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số đã
cho.
Chú ý: Chúng ta vẫn có thể chọn các hoành độ khác 1 và 1- , sau đó tự tính
các tung độ rồi biểu diễn các điểm đó lên hệ trục tọa độ (ví dụ minh họa
trong phần bài tập).
1

9. II
(x< 0; y> 0)
x
y
y= ax+ b
a> 0
I
(x> 0; y> 0)
II
(x< 0; y> 0)
III
(x< 0; y< 0)
IV
(x> 0; y< 0)
IV
(x> 0; y< 0)
III
(x< 0; y< 0)
I
(x> 0; y> 0)
a< 0
y= ax+ b
y
x OO
7). Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trường hợp 1. Cho hai đường thẳng 1 1 1
( ) :d y a x b= + ( 1
0a ¹ ) và
2 2 2
( ) :d y a x b= + ( 2
0a ¹ ).
Mối quan hệ Ký hiệu Điều kiện
Cắt nhau 1 2
( ) ( )d dÇ 1 2
a a¹
Song song 1 2
( ) ( )d dP
1 2
1 2
a a
b b
ìï =ïïí
ï ¹ïïî
Trùng nhau 1 2
( ) ( )d dº
1 2
1 2
a a
b b
ìï =ïïí
ï =ïïî
Vuông góc 1 2
( ) ( )d d^ 1 2
. 1a a = -
Trường hợp 2. Cho hai đường thẳng 1 1 1
( ) :d a x b y c+ = ( 1 1 1
, , 0a b c ¹ ) và
2 2 2
( ) :d a x b y c+ = ( 2 2 2
, , 0a b c ¹ ).
Mối quan hệ Ký hiệu Điều kiện
Cắt nhau 1 2
( ) ( )d dÇ 1 1
2 2
a b
a b
¹
Song song 1 2
( ) ( )d dP 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= ¹
Trùng nhau 1 2
( ) ( )d dº 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
Vuông góc 1 2
( ) ( )d d^ 1 2 1 2
. . 0a a b b+ =
1

10. Chú ý: Khi
1 2
1 2
a a
b b
ìï ¹ïïí
ï =ïïî
thì hai đường thẳng có cùng tung độ góc, dó đó chúng
cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ bằng b (hay b¢).
8). Hệ số góc của đường thẳng ( ) :d y ax b= + và trục Ox
Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , góc a tạo bởi đường thẳng
y ax b= + và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT , trong đó A là giao
điểm của đường thẳng y ax b= + với trục Ox , T là điểm thuộc đường
thẳng y ax b= + và có tung độ dương.
(d)
β
α
x
y
a < 0a > 0
(d)y
x
α
A
T
A O O
T
a). Nếu
0
0
a
b
ìï =ïïí
ï ¹ïïî
.
Khi đó đường thẳng sẽ trở thành ( ) :d y b= , đường thẳng ( )d có phương
nằm ngang nên hệ số góc bằng 0.
b). Nếu
0
0
a
b
ìï ¹ïïí
ï =ïïî
.
Khi đó đường thẳng sẽ trở thành ( ) :d y ax= , đường thẳng ( )d có phương
xiên và đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc là a .
c). Nếu
0
0
a
b
ìï ¹ïïí
ï ¹ïïî
. Khi đó đường thẳng sẽ là: ( ) :d y ax b= + .
Như ở định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , góc a tạo bởi đường
thẳng y ax b= + và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AB , trong đó A là
giao điểm của đường thẳng y ax b= + với trục Ox , B là giao điểm của
đường thẳng y ax b= + với trục Oy .
1

11. Giả sử đường thẳng ( ) :d y ax b= + cắt trục Ox tại điểm ; 0
b
A
a
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
và trục
Oy tại (0; )B b .
+ Nếu 0a > thì góc a tạo bởi đường thẳng y ax b= + với trục Ox là góc
nhọn (0 90a< <o o
) và được tính theo công thức:
tan
bOB
a a
OA b
a
a = = = =
-
(vì 0a > ).
(d)
a> 0
x
y
α
B
A O
Lưu ý: Hệ số góc a càng lớn thì góc càng lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn 90o
.
+ Nếu 0a < thì góc a tạo bởi đường thẳng y ax b= + với trục Ox là góc
tù (90 180a< <o o
) và được tính theo công thức 180a b= -o
với:
tan
bOB
a a
OA b
a
b = = = = -
-
(vì 0a < ).
(d)
β
α
y
x
a< 0
A
B
O
1

12. Lưu ý: Hệ số góc a càng lớn thì góc càng lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn 180o
.
Nhận xét:
+ Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng
nhau.
+ Đường thẳng y ax= và y ax b= + có chung hệ số góc là a .
Chú ý:
+ Công thức tìm hệ số góc của đường thẳng ( )d đi qua 2 điểm ( ; )A A
A x y và
( ; )B B
B x y là: A B
AB
A B
y y
k
x x
-
=
-
.
(d) xB xA
yB
yA
α
y
x
C
O
B
A
+ Cho hai đường thẳng 1 1 1
( ) :d y a x b= + ( 1
0a ¹ ) và 2 2 2
( ) :d y a x b= + (
2
0a ¹ ) thì 1 2 1 2
( ) ( ) . 1d d a a^ = -Û (tích hai hệ số góc bằng 1- ).
Chứng minh: Cho hai đường thẳng 1 1
( ) :d y a x= ( 1
0a ¹ ) và 2 2
( ) :d y a x= (
2
0a ¹ ).
Ta thấy khi 1 2
( ) ( )d d^ thì trong hai đường
thẳng 1
( )d và 2
( )d , có một đường (giả sử là 1
( )d
) nằm trong góc vuông phần tư thứ I và III,
đường kia (là 2
( )d ) nằm trong góc vuông phần
tư thứ II và IV, khi đó 1
0a > và 2
0a < .
Qua điểm (1; 0)H kẻ đường thẳng vuông góc
với Ox , cắt 1
( )d và 2
( )d theo thứ tự ở 1
(1; )A a
và 2
(1; )B a .
Ta có ( ) ( )
2 2
1 1 1
1 1 0HA a a a= - + - = = (vì 1
0a > )
1

13. và ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1 0HB a a a= - + - = = - (vì 2
0a < ).
Do H nằm giữa A và B nên điều kiện để tam giác OAB vuông tại O là:
2
1 2 1 2
. .( ) 1 . 1HA HB OH a a a a= - = = -Û Û .
Chú ý: Do đường thẳng 1 1
y a x b= + song song với đường thẳng 1
y a x= ; và
đường thẳng 2 2
y a x b= + song song với đường thẳng 2
y a x= .
Nên hai đường thẳng 1 1
y a x b= + và 2 2
y a x b= + vuông góc với nhau khi
và chỉ khi hai đường thẳng 1
y a x= và 2
y a x= vuông góc với nhau.
Do đó từ bài toán trên ta suy ra: Điều kiện để hai đường thẳng 1 1
y a x b= + (
1
0a ¹ ) và 2 2
y a x b= + ( 2
0a ¹ ) vuông góc với nhau là 1 2
1a a = - .
1

14. CHƯƠNG III
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng
ax by c+ = (1)
trong đó ,a b và c là cấ số đã cho biết ( 0a ≠ hoặc 0b ≠ ).
+ Nếu tại 0x x= và 0y y= mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng
vế phải thì cặp số ( )0 0;x y được gọi là nghiệm của phương trình đó. Đồng
thời mỗi nghiệm ( )0 0;x y của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm
có toạ độ ( )0 0;x y trong mặt phẳng toạ độ Oxy .
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c+ = luôn có vô số nghiệm. Tập
nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax by c+ = , kí hiệu là
đường thẳng (d).
2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
(I)
ax by c
a x b y c
+ =

′ ′ ′+ =
.
Trong đố ax by c+ = và a x b y c′ ′ ′+ = là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) có nghiệm chung ( )0 0;x y thì ( )0 0;x y
được gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I)
vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.
1

15. 3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có
cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là
nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phương
trình của hệ để được một phương trình mới. Phương trình mới này cùng với
một trong hai phương trình của hệ lập thành một hệ tương đương với hệ đã
cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ
phương trình mới rong đó có một phương trình một ẩn; giải phương trình
một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho
các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc
đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải
phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào
thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận.
1

16. CHƯƠNG IV
HÀM SỐ 2
y ax= ( 0a ≠ ) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1). Định nghĩa:
Hàm số bậc hai: Là hàm số có dạng công thức 2
y ax bx c= + + .
Trong đó: x là biến; , ,a b c Î R ; 0a ¹ .
Chú ý: Nếu 0c = thì hàm bậc hai có dạng 2
y ax bx= + ( 0a ¹ ).
Nếu 0b = và 0c = thì hàm bậc hai có dạng 2
y ax= ( 0a ¹ ).
2). Tính chất:
+ Tập xác định: =D R .
+ Nếu 0a > thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; )+ ¥ (tức là khi 0x > )
và nghịch biến trên khoảng ( ; 0)- ¥ (tức là khi 0x < ).
+ Nếu 0a > thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0)- ¥ (tức là khi 0x < )
và nghịch biến trên khoảng (0; )+ ¥ (tức là khi 0x > ).
Tóm tắt:
Hàm số
Tập xác
định
Sự biến thiên
0a > 0a <
2
y ax=
( 0a ¹ )
=D R
Đồng biến khi 0x > Đồng biến khi 0x <
Nghịch biến khi
0x <
Nghịch biến khi
0x >
3). Đồ thị hàm số 2
y ax= ( 0a ¹ ).
Đồ thị hàm số 2
y ax= ( 0a ¹ ) là một Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O ,
nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu 0a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, tiếp xúc với trục hoành; O
là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu 0a < thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, tiếp xúc với trục hoành;
O là điểm cao nhất của đồ thị.
Cách vẽ:
Bước 1: Lập bảng giá trị (khoảng 5 cặp giá trị ( ; )x y ):
- Cho biến x một số giá trị xếp theo thứ tự như trên trục số: từ nhỏ đến lớn
và từ trái sang phải.
- Tính các giá trị y tương ứng của hàm số.
1

17. Bước 2: Biểu diễn các điểm có tọa độ ( ; )x y lên mặt phẳng tọa độ, từng cặp
điểm đối xứng nhau qua trục tung.
Vẽ Parabol đi qua các điểm đó; cần nhớ rằng Parabol 2
( ) :P y ax= tiếp xúc
với trục hoành Ox tại đỉnh O .
4). Vị trí tương đối của hai Parabol
Cho hai Parabol 2
1 1
( ) :P y a x= ( 1
0a ¹ ) và 2
2 2
( ) :P y a x= ( 2
0a ¹ ).
+ Hai Parabol 1
( )P và 2
( )P luôn cắt nhau tại gốc tọa độ (0; 0)O .
+ Nếu 1 2
. 0a a > thì hai Parabol 1
( )P và 2
( )P nằm cùng phía nhau so với trục
hoành (cùng trên trục hoành hoặc cùng dưới trục hoành).
+ Nếu 1 2
. 0a a < thì hai Parabol 1
( )P và 2
( )P nằm khác phía nhau so với trục
hoành.
1

18. 5).
a). Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương
trình có dạng 2
0ax bx c+ + = . (1)
b). Có hai cách cơ bản để giải (1):
+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:
( ) ( )– 0
x m
a x m x n
x n
=
− ⇔
=
= 

.
+ Bằng cách biến đổi tương đương để đưa (1) về dạng
2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x
−
=





+ (2)
Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của phương
trình đã cho.
6). Đặt 2
4b ac∆ = − . Gọi ∆ là biệt thức của phương trình (1)
+ Nếu 0∆ > thì (1) có hai nghiệm phân biệt
1
2
b
x
a
− + ∆
= ; 2
2
b
x
a
− − ∆
= .
+ Nếu 0∆ = thì (1) có nghiệm kép 1 2
2
b
x x
a
= = − .
+ Nếu 0∆ < thì (1) vô nghiệm.
1

19. 7). Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:
Nếu đặt
2
b
b′ = và 2
b ac′ ′∆ = − :
+ Nếu 0′∆ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
b
x
a
′ ′− + ∆
= ; 2
b
x
a
′ ′− − ∆
= .
+ Nếu 0′∆ = thì phương trình có nghiệm kép 1 2
b
x x
a
′
= = −
+ Nếu 0′∆ < thì phương trình vô nghiệm.
8). Nếu 1x và 2x là hai nghiệm của phương trình 2
0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) thì
có định lý Vi-ét:
1
1
2
2
b
x
a
c
x
a
x
x

+ = −

 =

.
+ Nếu phương trình 2
0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) có + + =a b c 0 thì phương
trình có một nghiệm 1 1x = và một nghiệm 1x
c
a
= .
Nếu phương trình 2
0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ) có − + =a b c 0 thì phương
trình có một nghiệm 1 1x = − và một nghiệm 1x
c
a
= − .
9).
a). Để giải phương trình trùng phương 4 2
0ax bx c+ + = ( 0a ≠ ), thường đặt
ẩn phụ 2
t x= ( 0t ≥ ) và đưa về phương trình bậc hai ẩn t . Lấy những
nghiệm không âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm của phương
trình đã cho.
1

20. b). Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo 4 bước:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình;
+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức;
+ Giải phương trình vừa thu được;
+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
c). Phương trình tích là phương trình có dạng ( ) ( ). 0A x B x = . Để giải ta
giải riêng biệt đối với hai phương trình ( ) 0A x = và ( ) 0B x = . Nghiệm của
phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình trên.
10). Để giải toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các
bước:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.
Bước 3: Kiểm tra để biết nghiệm nào của phương trình ở bước 2 thỏa mãn
điều kiện đặt ra thì giữ lại, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện đề ra thì
loại.
Kết luận bài toán.
1

21. PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG I
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1/ Hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông
* 2
.AB BH BC= ; 2
.AC HC BC= .
* 2
.AH BH HC= .
* . .AB AC AH BC= .
* 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + .
* ABC∆ vuông tại A , ta có
2 2 2
AB AC BC+ = (định lý Py-ta-go
thuận, đảo).
2). Tỷ số lượng giác của góc nhọn
sin
AB
BC
α = ; cos
AC
BC
α = ;
tan
AB
AC
α = ; cot
AC
AB
α = .
Nếu α + β = 900
(α và β là hai góc
phụ nhau) thì:
sin cosα β= ; cos sinα β= ;
tan cotα β= , cot tanα β= .
Tỷ số lượng giác của một số góc đặc biệt
30o
45o
60o
90o
sin
1
2
2
2
3
2
1
cos 3
2
2
2
1
2
0
tan
3
3
1 3 P
cot 3 1
3
3
0
1
H
A
B
C
α
C
B
A

22. 3). Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông
Cho tam giác ABC∆ vuông tại A , ta có:
+ µ µ.sin .cosb a B a C= = ;
+ µ µ.tan .cotb c B c C= = ;
+ µ µ.sin .cosc a C a B= = ;
+ µ µ.tan .cotc b C b B= = .
Theo định lý Pi-ta-go, ta có:
2 2
B ABC AC+= ; 2 2
A BCB AC−= ; 2 2
A BCC AB−= .
4). Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác
+ sin 1α ≤ ; cos 1α ≤ ;
sin
tan
cos
α
α
α
= ;
cos
cot
sin
α
α
α
= .
+
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ = ;
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ = .
1
b
a
c
C
B
A

23. CHƯƠNG II
ĐƯỜNG TRÒN
1). Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đường tròn:
a). Định nghĩa:
+ Tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khỏng R không đổi ( 0R > )
gọi là đường tròn tâm O bán kính R .
Ký hiệu: ( );O R hoặc ( )O .
+ Cung tròn là một phần của đường
tròn được giới hạn bởi hai điểm. Hai
điểm này gọi là hai mút của cung. Chẳng hạn cung AC ( »AC ), cung BC (
»BC ).
+ Dây cung là một đoạn thẳng nối hai mút của một cung. Chẳng hạn dây
cung BC .
+ Đường kính là dây đi qua tâm.
Định lý: Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
b). Sự xác định của đường tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng,
bao giờ cũng chỉ vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi.
c). Vị trí của một điểm đối với đường tròn
+ Điểm M nằm trên đường tròn ( );O R khi OM R= .
+ Điểm M nằm ngoài đường tròn ( );O R khi OM R> .
+ Điểm M nằm trong đường tròn ( );O R khi OM R< .
d). Tính chất đối xứng:
Liên hệ giữa đường kính và dây cung
1
R
A
O
B
C
N
O
I
M
BA

24. Định lý 1: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây
ấy.
Định lý 2: (Đảo của định lý 1). Đường kính đi qua trung điểm của một dây
(dây không là đường kính) thì vuông góc với dây ấy.
Định lý 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm (đường tròn ( )O
có AB CD= , OI AB⊥ tại I , OK CD⊥ tại K ; suy ra
OI OK= ).
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau (đườnng tròn
( )O có OI AB⊥ tại I , OK CD⊥ tại K , OI OK= ;
suy ra AB CD= ).
+ Dây lớn hơn thì gần tâm hơn.
+ Dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
2). Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
a). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn ( ; )O R đến đường
thẳng a , ta có:
Hệ
thức
Số
điểm
chung
Quan hệ Hình vẽ
d R< 2
Đường thẳng a cắt
đường tròn ( ; )O R
tại 2 điểm a
d
BA
O
H
1
K
I
O
D
C
B
A

25. d R= 1
Đường thẳng a tiếp
xúc đường tròn
( ; )O R
a
d=R
O
H
d R> 0
Đường thẳng a
không cắt đường
tròn ( ; )O R
d
a
H
O
b). Tiếp tuyến của đường tròn
Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường
tròn là đường thẳng chỉ có một điểm
chung với đường tròn đó.
Các định lý về tiếp tuyến:
Định lý 1: Nếu một đường thẳng a là
tiếp tuyến của một đường tròn ( ; )O R
thì nó vuông góc với tiếp tuyến qua
tiếp điểm.
1
a
O
I

26. Định lý 2: Nếu một đường thẳng a đi qua một điểm của đường tròn ( ; )O R
và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của
đường tròn.
3). Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lí 1: (tính chất của tiếp tuyến) Nếu một
đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì
nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
(Nếu a là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
và H là tiếp điểm thì a OH⊥ hay a d⊥ ).
Định lí 2 (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Nếu
một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng
tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường
tròn .
(Đường tròn ( ),O R có OH R= và OH a⊥ thì a là tiếp tuyến của đường
tròn ( )O ).
Định lí 3: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nếu MA và MB là hai tiếp
tuyến của đường tròn ( )O (với A và B là hai tiếp điểm) thì:
+ MA MB= .
+ OM là phân giác của góc ·AOB .
+ MO là phân giác của góc ·AMB .
+ OM AB⊥ tại I ; I là trung điểm của AB (OM là trung trực của AB ).
4/ Vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của
hai đường tròn
( ; )O R và ( ; )O r′ (
R r≥ )
Số
điểm
chung
Hệ thức Hình vẽ
1
M
B
A
O

27. Cắt nhau 2 R r OO R r′− < < +
rR
O O'
Tiếp
xúc
Tiếp xúc
trong
1
0OO R r′ = − >
r
R
O O'
Tiếp xúc
ngoài
OO R r′ = +
R r
O'O
Không
cắt
nhau
Ngoài nhau
0
OO R r′ > +
rR
O O'
Đựng nhau
0 OO R r′≠ < − O'O
0OO′ = O
O'
1

28. Chú ý:
+ Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam
giác hay tam giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội
tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp
tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.
+ Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của
tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia. Tâm của đường tròn
bàng tiếp là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân
giác góc trong còn lại.
+ Hai đường tròn trong nhau không có tếp tuyến chung.
Hai đường tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung.
1

29. nm O
A
B
CHƯƠNG III
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1/ Góc ở tâm. Cung và dây:
a) Định nghĩa:
+ Góc ở tâm
Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Ví dụ: Góc ở tâm ·AOB chắn cung ¼AnB .
Số đo của nửa đường tròn bằng 3600
.
+ Số đo cung
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó:
· ¼AOB sd AnB= .
- Số đo của nửa đường tròn bằng 180o
.
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600
với số đo của cung nhỏ có chung
hai đầu mút với cung lớn đó:
¼ ¼360sd AmB sd AnB= −o
.
b) So sánh hai cung (chỉ so sánh hai cung trên một đường tròn hay hai
đường tròn bằng nhau).
+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng
có số đo bằng nhau:
» » » »sd AB sdCD AB CD= ⇔ = .
+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn
gọi là cung lớn hơn:
» » » »sd AB sdCD AB CD> ⇔ > .
+ Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau,
thì:
» »AB CD AB CD⇔ ==
1
D
C
B
A
O

30. và » »AB CD AB CD⇔ >> .
c) Điểm nằm trên cung
Điểm C nằm trên cung »AB thì số đo cung »AB
bằng tổng số đo cung »AC với số đo cung »CB .
d) Liên hệ giữa cung và dây
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường
tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng nhau.
+ Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.
Trong hình bên: trong đường tròn ( )O
+ » »AB CD AB CD= ⇔ = .
+ » »AB CD AB CD= ⇔ = .
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường
tròn hay hai đương tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Trong hình bên: trong đường tròn ( )O
+ » »CD AB CD AB> ⇔ > .
+ » »CD AB CD AB> ⇔ > .
2). Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và dây cung
a). Góc nội tiếp
1
O
A
B
C
O
D
A
B
C
D
O
A
B
C

31. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn
và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Chẳng hạn góc ·BAC là góc nội tiếp của đường
tròn ( )O , »BC là cung bị chắn bởi góc nội tiếp
·BAC .
Định lý: Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung
bị chắn.
· »1
2
BAC sd BC= .
Hệ quả: Trong một đường tròn
Hệ quả Hệ thức Hình vẽ
Các góc nội tiếp
bằng nhau, chắn các
cung bằng nhau.
· · » »AMB CND AB CD= ⇔ =
D
O
A
B
C
M
N
Các góc nội tiếp
cùng chắn một cung
hoặc chắn các cung
bằng nhau thì bằng
nhau.
» ·
» ·
1
2
1
2
sd BC BAC
sd BC BDC

=

 =

· ·BAC BDC⇔ = ;
hoặc
» » · ·AB CD AMB CND= ⇔ = .
D
O
A
B
C
M
N
1
O
B
C
A

32. O
B
C
A
D
Góc nội tiếp (nhỏ
hơn 90o
) có số đo
bằng nửa số đo của
góc ở tâm cùng chắn
một cung.
· · »1 1
2 2
BAC BOC sd BC= =
O
B
C
A
Góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn là
góc vuông.
» ·180 90sd BC BAC= ⇔ =o o
O
CB
A
b). Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung
Góc ·CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC
và dây AB .
Định lý: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung băng nửa số đo của cung bị
chắn:
· »1
2
CAB sd AB= .
Hệ quả: Trong một đường tròn góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp
cùng chắn một cung thì bằng nhau:
1
x
O
A
B
C
x
O
A
B
C
D

33. · · »1
2
CAB ADB sd AB= = (cùng chắn cung »AB ).
c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, cung chức góc
+ Góc ·AED là góc có đỉnh ở bên trong đường
tròn.
+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong
đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị
chắn:
·
» »
2
sd AD sd BC
AED
+
= .
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo
hai cung bị chắn.
Trường
hợp
Công thức Hình vẽ
1 ·
¼ ¼
2
sdCmD sd AnB
CED
−
=
m
n
E
O
D
B
A
C
1
E
O
D
B
A
C

34. 2 ·
¼ ¼
2
sd AmC sd AnB
AEB
−
=
n
m
E
O
B
C
A
3 ·
¼ ¼
2
sd AmB sd AnB
AEB
−
=
n
mB
E
O
A
Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới
góc α (0 180α< <o o
) là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB .
3/ Tứ giác nội tiếp. Đường tròn nội ngoại tiếp
a). Tứ giác nội tiếp
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp).
Định lý (tính chất): Trong một tứ giác nội tiếp
tổng hai góc đối diện bằng 1800
.
· · 180ADC ABC+ = o
và · · 180BAD BCD+ = o
.
Định lý đảo (cách nhận biết): Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng
1800
thì nội tiếp được đường tròn.
b). Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
1
D
C
B
A
O

35. Đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại
tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác
nội tiếp đường tròn.
Đường tròn tiếp xác với tất cả các cạnh của
một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp
đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại
tiếp đường tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có
một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có
một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
4). Chu vi, diện tích hình tròn
a). Độ dài đường tròn, cung tròn
+ Độ dài đường tròn:
2C Rπ= hoặc C dπ= .
+ Trên đường tròn bán kính R , một cung có số
đo no
thì độ dài l của cung đó là:
180
Rn
l
π
= .
b). Diện tích hình tròn và quạt tròn
Diện tích hình tròn:
2
S Rπ= .
Diện tích hình quạt tròn bán kính R , cung no
là:
2
360
R n
S
π
= hay
.
2
l R
S = .
1
r
R
M
O
C
D
E
F
A
B
n° l
R
O

36. CHƯƠNG IV: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
I). Hình trụ
Quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD
cố định, hình phát sinh là hình trụ.
+ Đáy là hai hình tròn bằng nhau ( );D AD và
( );C CB thuộc hai mặt phẳng song song.
+ Đường thẳng CD là trục hình trụ .
+ AB là đường sinh ( AB quét nên mặt xung quanh
hình trụ).
1). Diện tích xung quanh của hình trụ
2 .xqS R hπ= .
Trong đó:
+ R là bán kính hình tròn đáy;
+ h là chiều cao hình trụ .
2). Diện tích toàn phần
2tp xqđáyS S S= +
.
3). Thể tích hình trụ
2
.V R hπ= .
II). HÌNH NÓN
Quay hình tam giác ABC vuông tại A một vòng
quanh cạnh AB cố định, hình phát sinh là hình nón.
+ Đáy là hình tròn ( );A AC ; đỉnh là B .
+ BC là đường sinh ( BC quét nên mặt xung quanh
hình nón).
+ Độ dài AB là chiều cao hình nón; đường thẳng AB
là trục hình nón .
1). Diện tích xung quanh hình nón
xqS Rlπ= .
Trong đó:
+ R là bán kính hình tròn đáy.
+ l là độ dài đường sinh.
2). Diện tích toàn phần
tp xqđáyS S S= +
3). Thể tích hình nón
1
A
B
h
R
C
D
A
C
B

37. 21
.
3
V R hπ=
Trong đó: h là chiều cao hình nón.
III). Hình cầu
Quay nửa hình tròn tâm O , bán kính R một vòng
quanh đường kính AB cố định thì hình phát sinh là
hình cầu tâm O , bán kính R .
1). Diện tích mặt cầu
2
4S Rπ=
Trong đó: R là bán kính hình cầu.
2). Thể tích hình cầu
34
3
V Rπ= .
1
O
A
C
R