1. MODELOWANIE PROCESÓW
TECHNOLOGICZNYCH
Robert Aranowski
tel.: 347 23 34
e-mail: aran@chem.pg.gda.pl
http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/
htt // t h l i d l/d d kt k /
Katedra Technologii Chemicznej
Wydział Chemiczny
Politechnika Gdańska
2. Modele matematyczne
Modele matematyczne stosowane są do:
Obliczeń projektowych, gdzie danymi wejściowymi są warunki pracy
aparatów oraz parametry surowców i produktów a funkcją celu są
dane techniczne aparatów (gabaryty, prędkość mieszadeł,
powierzchnia wymiany ciepła, itp.)
Optymalizacja, gdzie funkcją celu jest najwyższa wydajność procesu,
czystość produktu, czas procesu itp.
Sterowanie, gdzie model matematyczny stosowany jest do
przewidywania odpowiedzi systemu na zmianę parametrów ruchowych
i bodźce zewnętrzne
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
3. Modele matematyczne cd
matematyczne– cd.
Celem tworzenia modeli matematycznych jest znalezienie
funkcji przejścia ze zmiennych wejściowych w wyjściowe.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
4. Rodzaje modeli matematycznych
Modele czarnej skrzynki
to klasa modeli matematycznych, w których nie zajmujemy się opisem
procesów zachodzących w danym aparacie, głównie z uwagi na brak
danych na ten temat, a opisujemy jedynie zależności zachodzące między
y , p j y j y ą ę y
wejściami a wyjściami z danego aparatu. Stworzenie odpowiedniego
modelu czarnej skrzynki umożliwia obliczenie wyjść z aparatu dla danego
zestawu wejść Rolę modelu czarnej skrzynki spełnia np dla układu o
wejść. np.
jednym wejściu i wyjściu i jednej zmiennej badanej tzw. transmitancja
obiektu, dla obiektu o wielu parametrach tzw. równanie korelacyjne,
jednakże uniwersalnego znaczenia jako modele czarnej skrzynki nabierają
ostatnio tzw. sieci neuronowe.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
5. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
Sieć neuronowa
to bió ó
t zbiór równań (
ń (neuronów) b d
ó ) będących f k j i parametrów wejściowych
h funkcjami tó jś i h
obiektu. Funkcje te posiadają odpowiednie współczynniki (wagi) dla
każdego parametru i są ze sobą powiązane w układ równań (sieć) o
odpowiedniej, definiowalnej strukturze. Do sieci wchodzą wszystkie
parametry wejściowe, a na wyjściu uzyskuje się wszystkie parametry
wyjściowe. Tak zbudowana sieć może być modelem wielu procesów. Wagi
yj y p g
neuronów, które stanowią o tym czy dana sieć jest modelem danego
obiektu, są obliczane w tzw. procesie uczenia sieci. Polega on na
wprowadzaniu szeregu par: wektor zmiennych wejściowych - wektor
zmiennych wyjściowych.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
6. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
Sieć neuronowa
Pary te uzyskuje się bądź z eksperymentu bądź z modelu białej
eksperymentu,
skrzynki. W trakcie uczenia obliczane są wagi równań neuronów. Po
nauczeniu sieci będzie ona podawać najbardziej właściwy wektor
wyjść dla danego wektora wejść nawet jeśli nie było go w zestawie
wejść,
wektorów użytych do nauki. Sieci neuronowe występują na rynku w
postaci gotowych programów komputerowych.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
7. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
Modele białej skrzynki
to te, w których znany jest mechanizm procesu zachodzącego
wewnątrz aparatu i jest on opisany odpowiednim modelem
matematycznym.
matematycznym Możemy też posłużyć się modelem czarnej
skrzynki, aby uzyskać zależności służące do opisu części modelu
białej skrzynki, np. w modelu suszarki opisujemy siecią neuronową
tylko kinetykę suszenia - taki model można nazwać modelem
szarej skrzynki lub modelem hybrydowym.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
8. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
Modele deterministyczne
to te, w których dla danego wektora wejściowego uzyskuje się dany
wektor wyjściowy z prawdopodobieństwem równym 1. Jest to
najczęstszy przypadek modelu procesu o którego przebiegu
procesu,
decyduje w całości człowiek. Jeśli na proces wpływają czynniki
losowe jak np. pogoda, to wektor wyjściowy określony zostanie z
pewnym prawdopodobieństwem.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
9. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
Modele stochastyczne
opisują rozkład prawdopodobieństwa wektora wyjściowego. Jeśli
ń ś ś
wszystkie lub część parametrów modelu określona jest rozkładem
prawdopodobieństwa, to zmienne takie nazywamy zmiennymi
rozmytymi (fuzzy sets). Algebra zmiennych rozmytych jest coraz
częściej stosowana do budowy modeli stochastycznych procesów.
Do
D modeli stochastycznych zaliczyć można również t w któ h
d li t h t h li ć ż ó i ż te, których
wykorzystano metody Monte-Carlo do przewidywania przebiegu
po u
procesu - klasycznym przykładem są modele molekularne
a y y p y ad ą od o ua
uwzględniające ruchy Browna.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
10. Rodzaje modeli matematycznych – cd
cd.
mikroskopowe - makroskopowe
Rozróżnieniem jest tutaj skala modelu. Modele makroskopowe
obejmują cały aparat bądź system, modele mikroskopowe obejmują
część procesu lub systemu Z uwagi na możliwe różnice w
systemu.
głębokości analizy zawsze nadrzędny model jest makroskopowy w
stosunku mikroskopowego.
p g
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
11. Budowa modelu
MODEL
Równania konstytutywne Zależności bilansowe
Równania określające Równania określające
równowagę międzyfazową właściwości fizykochemiczne
Równania określające
zależności geometryczne
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
12. Budowa modelu
Części składowe typowego modelu deterministycznego
p
procesu:
Zależności bilansowe - są to równania oparte na
podstawowych prawach przyrody, tj zasadzie zachowania
d t h h d tj. d i h i
masy, energii, ładunku elektrycznego itp. W przypadku
bilansów masy bilansowanie może dotyczyć całej masy lub
mas pojedynczych składników. Bilans ma postać:
DOPŁYW-ODPŁYW=AKUMULACJA
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
13. Budowa modelu – cd
cd.
Jeżeli w układzie występują oddzielne fazy, np. ciekła i
gazowa,
gazowa to bilansuje się każdą z faz z osobna
osobna.
Oprócz strumieni związanych z przepływem materii (człony
konwekcyjne lub adwekcyjne związane z polem
prędkości) w układzie mogą występować jeszcze strumienie
wywołane innymi przyczynami, np. dyfuzją w przypadku
ruchu masy, przewodzeniem w przypadku ruchu ciepła lub
tarciem lepkim, w przypadku ruchu pędu (człony
dyfuzyjne). Do ich określenia wymagana jest znajomość tzw.
równań konstytutywnych.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
14. Budowa modelu – cd
cd.
Pozostałe człony mogą być związane z powstawaniem
y gą y ą p
bilansowanej wielkości fizycznej (np. powstawaniem danego
składnika w wyniku reakcji chemicznej) lub jej znikaniem (np.
również w wyniku reakcji chemicznej). Noszą więc
ó k k h )
odpowiednio nazwę członu źródłowego lub upustowego.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
15. Budowa modelu – cd
cd.
Równania konstytutywne - określają naturę fizyczną
strumieni niekonwekcyjnych. Są to najczęściej równanie
yj y ą j ę j
Newton’a dla tarcia lepkiego, równanie Fourier’a dla
przewodzenia ciepła i równanie Fick’a dla dyfuzji. Bywają one
nazywane równaniami ki t
ó i i kinetycznymi.i
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
16. Budowa modelu – cd
cd.
Równania określające równowagę międzyfazową -
bardzo ważne w przypadku ruchu masy gdzie przyjmują
masy,
postać np. równań równowagi ciecz-para, dla ruchu ciepła
mają postać trywialną równości temperatur obu faz na
powierzchni międzyfazowej
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
17. Budowa modelu – cd
cd.
Równania określające własności fizykochemiczne i ich
zależność od temperatury, ciśnienia i stężeń. Są niezbędne w
p y, ę ą ę
przypadku obliczeń dokładnych oraz obejmujących szeroki
zakres zmienności parametrów. W prostych modelach można
zamiast nich użyć stałych wartości fizykochemicznych.
ć ś
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
18. Budowa modelu – cd
cd.
Równania określające zależności geometryczne.
Ró i k śl j l ż ś i t
Ponieważ pole prędkości oraz powierzchnia międzyfazowa
mogą zmieniać się lokalnie w aparacie a wpływają one na
aparacie,
wielkość współczynników wnikania, należy określić ich
zależność od geometrii aparatu.
g p
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
19. Struktura modeli symulacyjnych
O typie modelu decydują zwykle dwa czynniki:
yp y ją y y
1. Rodzaj pracy obiektu - czy jest to praca ciągła w
warunkach ustalonych, np. produkcja papieru w maszynie
papierniczej, czy też praca jest okresowa, jak np. podczas
wypalania cegieł czy wytopu stali. W pierwszym przypadku
w dan m p nkcie urządzenia pa amet
danym punkcie ąd enia parametry p oces nie
procesu
zmieniają się w czasie, w drugim zaś są zmienne.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
20. Struktura modeli symulacyjnych – cd
cd.
2. Sposób zmienności parametrów w przestrzeni - jeżeli w
p p p j
każdym miejscu aparatu dany parametr ma tę samą
wartość, to dany aparat stanowi obiekt o parametrach
skupionych, tak jest w reaktorze zbiornikowym z
k i h k k b k
idealnym mieszaniem - jeśli zaś parametry zmieniają się w
sposób ciągły (istnieją ich rozkłady przestrzenne) to mamy
przestrzenne),
do czynienia z obiektem o parametrach rozłożonych.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
21. Struktura modeli symulacyjnych – cd
cd.
Te dwa czynniki mogą tworzyć cztery kombinacje. Każdej z
y gą y y j j
nich odpowiada pewna matematyczna struktura modelu
matematycznego, który należy stworzyć do jej opisu.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
22. Struktura modeli symulacyjnych – cd
cd.
Stan ustalony Stan nieustalony
Parametry równania różniczkowe
skupione
równania algebraiczne zwyczajne
równania różniczkowe:
1. zwyczajne dla przypadku równania różniczkowe
Parametry jednowymiarowego cząstkowe
rozłożone 2. cząstkowe dla przypadku 2 i 3-
ą p yp ( p
(z pochodną po czasie -
ąp
wymiarowego (bez pochodnej zwykle paraboliczne)
po czasie - zwykle eliptyczne)
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
