3 bledy pomiarowe

MODELOWANIE PROCESÓW
TECHNOLOGICZNYCH

Robert Aranowski
tel.: 347 23 34
e-mail: aran@chem.pg.gda.pl
http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/03-
htt // t h l i d l/d d kt k /03
04/1/modelowanie/modelowanie.html

Katedra Technologii Chemicznej
Wydział Chemiczny
Politechnika Gdańska

Szacowanie błędów pomiarowych

Błąd pojedynczego pomiaru:
gdzie: xi – wartość zmierzona
zi – błąd pomiaru
zi = μ − xi
μ – wartość rzeczywista

m ⎛m ⎞
≈ P (a < z < b ) lub ⎜ ⎟ = P (a < z < b )
n ⎝ n ⎠n →∞
Rozkład błędu przypadkowego:
gdzie: P – prawdopodobieństwo znalezienia wartość z w przedziale (a,b)
m – ilość pomiarów w których wartość z znajduje się wewnątrz
p ed a u
przedziału (a,b)
n – ilość pomiarów Katedra Technologii Chemicznej

Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.

Gęstość prawdopodobieństwa p(z)
b
P (a < z < b ) = ∫ p (z ) z
d
a
Gęstość prawdopodobieństwa p(z) musi spełniać następujące
warunki:

−∞
dP (z )
P (− ∞ < z < ∞ ) = ∫ p (z )dz =1 = p (z )
∞ dz


cd.

Funkcja rozkładu normalnego (Gauss’a)
(Gauss a)

1 ⎡ (μ − x )2 ⎤ 1 ⎡ (z )2 ⎤
P (z ) = exp ⎢− ⎥= exp ⎢− 2⎥
σ 2π ⎢
⎣ 2σ 2
⎥ σ 2π
⎦ ⎢ 2σ ⎥
⎣ ⎦

Po raz pierwszy wprowadzona przez Moivre’a.
Precyzja pomiaru opisywana jest wielkością σ2 (
P j i i j t i lk ś i (wariancji)
i ji)


cd.

Zależność gęstości prawdopodobieństwa od wartości z:
a) dl różnych wartości wariancji
) dla óż h t ś i i ji
b) dla z wyrażonego poprzez wielokrotność σ


cd.

Wartość średnia w rozkładzie normalnym:
n

∑xi
μ≈x = i
=1
n
Błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru:
ą yp j y g p
n

∑ (x − xi )
2

s = n=1
n −1

cd.

Odchylenie standardowe wartości średniej:

n

∑ (x − xi )
sx = i =1
n (n − 1)


wielkości złożonych
ś

Złożona wielkość zależna od p parametrów

y = f (μ1 ,..., μ p )
y = f (x 1 ,..., x p )
Wartości x ,..., x p obarczone są błędami s x ,..., s x p 1

Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach
można przedstawić w postaci

⎡ ∂f (x 1 ,..., x p )⎤ 2 ⎡ ∂f (x 1 ,..., x p )⎤ 2
2 2

s 2
y =⎢ ⎥ s x 1 + ... + ⎢ ⎥ s xp
⎣ ∂μ1 ⎦ ⎢
⎣ ∂μ p ⎥
⎦

wielkości złożonych – cd.
ś

Przykłady 1:
Określ wariancję pomiaru stałej szybkości reakcji chemicznej, która jest
opisana następującą zależnością:
1
1
k = ln
τ 1−x
Błąd pomiaru czasu τ jest bliski zeru, natomiast pomiar stopnia przemiany
x jest charakteryzowany wielkością s x1


ś

2
⎛ ∂k ⎞ 2 1 1
sk = ⎜ ⎟ sx = sx
⎝ ∂x ⎠ τ 1−x
Im wyższa jest wartość stopnia przemiany tym wyższa jest wartość s x 1

a więc większą dokładność stałej prędkości reakcji uzyskamy dokonując
pomiarów w początkowym etapie reakcji.
reakcji


ś

Przykłady 2:
Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie
z równaniem:
k2
R ln
k1
E =
1 1
−
T1 T2
zakładamy, że pomiar temperatury dokładnym pomiarem


ś

2 2
⎛ const ⎞ 2 ⎛ const ⎞ 2
sE = ⎜
⎜ k
⎟ sk + ⎜
⎟ ⎜ k
⎟ s1
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠
Zakładając, że błąd pomiaru stałej szybkości reakcji jest stały s k / k
to:
sk sE 2 sk
s E = const 2 i =
k E ln k 2 / k 1 k ( )
Zatem błąd względny oceny energii aktywacji jest większy kilkakrotnie od
oceny błędu względnego stałej szybkości reakcji.


Wykorzystanie kryteriów statystycznych do
wyciągania wniosków z badań doświadczalnych
i i i kó b d ńd ś i d l h

Ocena statystyczna wyników doświadczalnych jest
pomocna przy:

1. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych jeśli
były one wykonane w odmiennych warunkach
2. Podejmowaniu decyzji, które z kilku dopuszczalnych
równań (jaka teoria) opisuje najlepiej dany proces


Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych

Do porównania wyników doświadczalnych stosuje się metodę
Fisher a.
Fisher’a W pierwszej kolejności należy określić wariancję z
obu serii i stwierdzić czy różnią się statystycznie. Fischer
wprowadził funkcję:
sx 2

Fe = 2 1

sx 2

Z prawdopodobieństwem P wariancje pomiarów są równe
jeśli
Fe ≤ F (p ,v 1 ,v 2 )
Metoda Fisher’a nadaje się również do odrzucenia wyników
grubych pomiarów.
b h i ó Katedra Technologii Chemicznej

Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych

W przypadku sprawdzania zależności teoretycznych można wykorzystać
metodę Fischer’a zastępując wariancję pomiarów wariancją resztową:
n

∑ (y i − y ie )
2

s r2 = i
−1
n −k
k – liczba współczynników równania teoretycznego ocenianych na
podstawie doświadczeń.
Porównanie wariancji rusztowych obliczonych dla różnych zależności
P ó i i ji h bli h dl óż h l ż ś i
teoretycznych pozwala na określenie równania najdokładniejszego o
najmniejszej wartości wariancji rusztowej

Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów
l k ó

Simpleksem p zmiennych jest
wielościan w p-wymiarowej
przestrzeni o p+1 wierzchołkach
uzyskanych przez przecięcie p-
hiperpłaszczyzn. Przykładem
p p y y
simpleksu w przestrzeni dwu
zmiennych jest trójkąt, a w
przestrzeni trójwymiarowej
czworościan.
Metody planowania simpleksowego
wraz z ich modyfikacjami są oparte na
powszechnie stosowanej
simpleksowej metodzie poszukiwania
ekstremum.
k t

simpleksów – cd.
l k ó d

Metoda postępowania jest następująca:
Początkowo określa się wartość y w punktach określonych zbiorami
wartości x1,...,xp, stanowiących wierzchołki simpleksu. Następnie wybiera
się wierzchołek z najniższą wartością y i określa się nowy wierzchołek
p
położony symetrycznie względem przeciwległej ściany. W nowym
y y y gę p g j y y
simpleksie opierającym się na wszystkich wierzchołkach starego simpleksu
z wyjątkiem tego, który został zastąpiony nowym wierzchołkiem, wybiera
się wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się W
się.
ten sposób następuje posuwanie się w kierunku optimum. Ponieważ przy
dużej liczbie zmiennych do każdego wierzchołka można zbudować wiele
wierzchołków symetrycznych to jako środek symetrii wybiera się środek
symetrycznych,
ciężkości pozostałych punktów początkowego simpleksu.


simpleksów – cd.
l k ó d

Współrzędne środka ciężkości można ocenić, posługując się rachunkiem
wektorowym. Wektor rc środka ciężkości c punktów pozostałych po
odrzuceniu wierzchołka j o najniższej wartości y można przedstawić przez
wektory tych punktów rl:
n

∑ rl
rc = l
=1
(l ≠ j)
p
Wektor rj’ punktu j' symetrycznego do punktu j względem środka
ciężkości c można znaleźć na podstawie wektora rj punktu j wektora c
łączącego punkty j i c
ł k
r j ' = r j − 2c

simpleksów – cd.
l k ó d

Wektor c jest różnicą wektorów rl i rc

c = r j − rc
p

∑ rl
r j ' = 2rc − r j = 2 l=1
− r j (l ≠ j )
p
Zgodnie z tą zależnością, dla zmiennej xi w punkcie j’ symetrycznym do
punktu j , mamy p

∑ ril
x ij ' = 2 l=1
− x ij (l ≠ j)
p

simpleksów – cd.
l k ó d

Przy stosowaniu planów simpleksowych, tak samo jak przy planach
czynnikowych i powtórzeniach ułamkowych, stosuje się zmienne
bezwymiarowe. Pewne trudności sprawia wybór postaci simpleksu
y p y p p
początkowego.
We wczesnych pracach stosowano simpleksy foremne, o równych bokach.
W przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może być
czworościan równoboczny o krawędzi równej jedności (wysokość
czworościanu jest równa ok. 0,82 długości krawędzi).


simpleksów – cd.
l k ó d

Istotną zaletą planowania simpleksowego jest możliwość dołączenia
w trakcie doświadczenia nowego (p+1)-ego czynnika, który wcześniej
nie był uwzględniony (miał ustaloną wartość). Wprowadzenie tego
czynnika, wymaga przeprowadzenia tylko jednego doświadczenia
uzupełniającego, podczas gdy przy planowaniu czynnikowym należałoby
p ją g , p g yp yp y y y
podwoić liczbę doświadczeń.


3 bledy pomiarowe

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

3 bledy pomiarowe