量子アニーリング解説 1

6,571 views

Published on

0 Comments
12 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,571
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
203
Actions
Shares
0
Downloads
50
Comments
0
Likes
12
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

量子アニーリング解説 1

  1. 1. 量子アニーリング解説  1 2012/10   @_kohta  
  2. 2. アウトライン •  量子力学入門   –  状態、純粋状態、混合状態   •  古典力学の世界と量子力学の世界   •  量子力学の世界   –  純粋状態と混合状態  •  機械学習への応用   –  クラス分類問題   •  量子アニーリングによる最適化  •  to  be  con1nued  
  3. 3. 量子力学入門 background  image  :  h9p://personal.ashland.edu/rmichael/courses/phys403/phys403.html
  4. 4. 状態、純粋状態、混合状態 •  古典力学の世界   粒子の状態 (x, p) :  相空間の座標   位置と運動量を決めれば   古典的な粒子の状態は完全に決まる •  量子力学の世界 粒子の状態 | i : 状態ベクトル   位置と運動量を同時に決めることができない   (不確定性原理)     物理的に可能な限り情報を指定し尽くしたとき   「指定の仕方」が、あるベクトル空間の元となる   (複素ヒルベルト空間)  
  5. 5. 状態、純粋状態、混合状態 •  純粋状態   –  前述の「物理的に可能な限り情報を指定し尽くした状態」 を純粋状態と呼ぶ   –  普通の量子力学で扱う対象で、シュレディンガー方程式   H| i = E| i   に従う     系のHamiltonian エネルギー固有値 –  Hamiltonianは状態ベクトルに対する(エルミート)演算子 で、(有限次元の場合)行列で書くこともできる   •  要するに行列Hの固有値問題  
  6. 6. 状態、純粋状態、混合状態 •  純粋状態   –  具体的に計算するときは、何らかの基底で「表示」する必 要がある   •  ベクトルの成分を計算することに対応する   h | :  ブラ・ベクトル (ケットに作用してスカラー複素数を返す) | i :  ケット・ベクトル h | i :  2つのケット | i と    の内積 | i •  (例えば)「座標」表示 →    シュレディンガー方程式の左から hx| を 作用   hx|H| i = Hx hx| i = Ehx| i 座標表示のHamiltonian   座標表示の状態ベクトル   (微分演算子) (波動関数)
  7. 7. 状態、純粋状態、混合状態 •  純粋状態と確率   –  (例えば)座標表示の波動関数 hx| i ⌘ (x) が     わかると、 「粒子が位置x~x+dxにある確率」は     P (x) = | (x)|2 dx            となる(ボルン則/量子力学の確率解釈)     –  状態が「位置演算子」の固有状態になっているときは、確 率密度はδ関数となる   •  可換な演算子の組は同時対角化可能で、それらの値を同時に正 確に決定することができる   •  xとpは非可換なので同時に決定できない   –  「非可換の度合い」が不確定性の大きさを決める
  8. 8. 状態、純粋状態、混合状態 •  混合状態   –  純粋状態は、具体的な表示で見ると   X X | i= |xihx| i = (x)|xi x x          などとなり、固有状態の重ね合わせ(様々な位置にいる            状態が同時に混在している)となっている。     –  一方、複数の純粋状態の「古典的な重ね合わせ」を考え たい場合もある   •  統計力学では、多数の粒子のあり得る配位についての確率的な 平均を考える   •  それぞれの配位は物理的に干渉する訳ではないので、古典的な 重ね合わせとなる   •  そのような状態を混合状態と呼ぶ
  9. 9. 状態、純粋状態、混合状態 •  混合状態   –  定義から、純粋状態 | 1 i, · · · , | k i を確率的重み   p1 , · · · , pk                 で混合した混合状態に対して、物理量Aの          確率分布は   X   P (a) = pi |ha| i i|2   i   となる。   物理量Aが固有値aをとる状態のブラベクトル
  10. 10. 状態、純粋状態、混合状態 •  混合状態   –  そのような混合状態を表すために、以下の密度演算子を 考えると便利   X X ⇢= ˆ pi | i ih i | ⇢= ˆ |xihx|ˆ|x0 ihx0 | ⇢ i x,x0 密度演算子の行列表示(密度行列) –  密度演算子が与えられると、物理量Aの確率分布は   P (a) = ha|ˆ|ai ⇢        と書け、期待値は   X X X   aP (a) = aha|ˆ|ai = ⇢ ha|ˆA|ai ⌘ Tr(ˆA) ⇢ ⇢   a a a        と書ける  
  11. 11. 機械学習への応用
  12. 12. 量子アニーリング •  混合状態の量子力学の確率論的な枠組みを応用   –  (純粋状態の理論で定式化する流儀もあるらしい)  •  クラス分類問題   –  N個のデータをK個のクラスに分類する   •  kNN法を始めとして色々やり方がある   –  変分ベイズによる方法に量子効果を導入する   •  Issei  Sato,  et  al.  “Quantum  Annealing  for  Varia1onal  Bayes   Inference”     –  クラスタリング   •  Kenichi  Kurihara,  et  al.  “Quantum  Annealing  for  Clustering”  
  13. 13. クラス分類問題と密度行列 •  クラス分類問題   –  データ x = x1 , · · · , xN をK個のクラスに分類する 問題   •  単一データ xk のクラス割り当てを以下のように書く   ˜k = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)T K次元 0 1 •  N個のデータ全てに対するある割り当ては   a11 B ··· a1l B B . .. . C A⌦B =@ .. . . A . N = ⌦k=1 ˜k ak1 B ··· akl B クロネッカー積        となる。   T T –  K=N=2のとき、 ˜1 = (1, 0) ˜2 = (0, 1) なら   ˜1 ⌦ ˜2 = (0, 1, 0, 0)T
  14. 14. クラス分類問題と密度行列 •  例えばK=N=2の場合   –  4通りの状態をとる確率が p1 , p2 , p3 , p4 のとき、次の ような密度行列を考える   X diag(p1 , p2 , p3 , p4 ) = pi (i) (i)T i (i) 2 {(1, 0, 0, 0)T , (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T , (0, 0, 0, 1)T } –  量子力学とのアナロジーを考えると   (i) 状態ベクトル(ケット): Hamiltonian: diag( log p1 , · · · , log p4 )
  15. 15. クラス分類の量子力学的定式化 •  以下のようなHamiltonianを考える   (1) (N K ) Hc = diag( log p(x, ), · · · , log p(x, )) Hc log p(x) = log Tr{e } –  Hamiltonianに量子効果を入れる   N X Hq = xi , ⌦ i 1 EK ⌦ j=1 x ⌦ ⌦N l=i+1 EK i=1 後の鈴木-­‐Tro9er展開で   x = (EK 1K ) うまく計算できる形になる H = Hc + Hq イメージ 0 (1) 1 log p(x, ) 0 B log p(x, (2) ) 0 C H=B @ (3) C A 0 log p(x, ) (4) 0 log p(x, )
  16. 16. 密度行列と古典的確率 •  Hamiltonianが対角なら、問題は(通常の)古典的な確率 モデルと完全に一致する   –  密度行列を用いることで、Hamiltonianの非対角項に量子論的 効果を入れることができるようになる   –  量子アニーリングでは、非対角項を使って局所最適解から抜 け出すことを考える  •  一般的な処方箋   –  データと状態について、対角要素が古典的確率となる Hamiltonianを設計する   –  適当な量子効果を入れた相互作用Hamiltonianを追加し、鈴 木-­‐Tro9er展開を用いて対角な(サンプリング可能な)確率モデ ルの積として近似する   –  量子効果を徐々に弱めるアニーリングを行いながらサンプリン グし、最適解を求める  
  17. 17. 変分ベイズ法とクラス分類 •  変分ベイズ法の枠組み   –  隠れ変数σ、パラメータθがある観測変数xの確率分布     P (x, , ✓)   –  観測xに対するσの事後分布   P ( , ✓|x)                  を求めたいが、厳密に計算するのは難しい    •  クラス分類問題   –  観測変数x(データ)と、隠れ変数σ(データのクラス分類) に対して、データxに対するσの事後分布を求める問題
  18. 18. 変分ベイズ法とクラス分類 •  変分ベイズ法の枠組み   –  xについての周辺尤度が   XZ P (x, , ✓) log P (x) = d✓q( , ✓) log + KL(q||P ( , ✓|x)) q( , ✓) XZ P (x, , ✓) d✓q( , ✓) log ⌘ F [q] q( , ✓)        と書け、等号が q( , ✓) = P ( , ✓|x) のときに成り立つ          ことを利用する     –   F  [q]  を最大化するqを変分的に求め、それを事後分布と             見なすことができる(F[q]を変分自由エネルギーと呼ぶ)   •  そのままではqを求めることができない
  19. 19. 変分ベイズ以外の方法 •  MCMCなどを用いて、なんとか       からサン P ( , ✓|x) プリングする方法もある   –  クラスラベル空間全体から一度にサンプリングするのは 難しい   –  1変数を残して他を固定してサンプリングする過程を繰り 返す、ギブスサンプラーの方法を使える形にしたい
  20. 20. 量子的Hamiltonianの取り扱い •  量子効果を入れたHamiltonianはまともに計算する ことができない   (Hc +Hq ) log P (x) = log Tr{e } –  非対角な行列のexp??   •  鈴木-­‐Tro9er展開   ! ✓ ◆! m ✓ ◆ X Y Al 1 exp Al = exp +O m m l l •  Hamiltonianの非対角部分を計算可能な形に近似し、MCMCサン プリングなどを行う   •  mが一つの独立な対角Hamiltonianに対応する形となり、実装的 にはm個のシミュレーテッドアニーリングを走らせることになる  
  21. 21. アニーリング •  温度項の導入   逆温度(物理的には1/kBT)   (Hc +Hq ) log P (x) = log Tr{e }•  アニーリング   –  シミュレーテッドアニーリング   •  βを徐々に増加(温度を低下)させながらサンプリング   –  量子アニーリング   •  βを徐々に増加させ、量子Hamiltonianの係数Γを徐々にゼロに近 づけながらサンプリング T SA SA SA QA QA QA Γ
  22. 22. 実験結果(文献より) •  変分ベイズの方法   –  対数尤度値で見て、SAに比べ分類性能が10%程度改善し たらしい   –  SAに比べ、局所解に陥りにくくなる性質があるらしい

×