1. 量子アニーリング解説
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2012/10
@_kohta

2. アウトライン
• 量子力学入門
– 状態、純粋状態、混合状態
• 古典力学の世界と量子力学の世界
• 量子力学の世界
– 純粋状態と混合状態
• 機械学習への応用
– クラス分類問題
• 量子アニーリングによる最適化
• to
be
con1nued

3. 量子力学入門
background
image
:
h9p://personal.ashland.edu/rmichael/courses/phys403/phys403.html

4. 状態、純粋状態、混合状態
• 古典力学の世界
粒子の状態
(x, p) :
相空間の座標
位置と運動量を決めれば
古典的な粒子の状態は完全に決まる
• 量子力学の世界
粒子の状態
| i ： 状態ベクトル
位置と運動量を同時に決めることができない
（不確定性原理）
物理的に可能な限り情報を指定し尽くしたとき
「指定の仕方」が、あるベクトル空間の元となる
（複素ヒルベルト空間）

5. 状態、純粋状態、混合状態
• 純粋状態
– 前述の「物理的に可能な限り情報を指定し尽くした状態」
を純粋状態と呼ぶ
– 普通の量子力学で扱う対象で、シュレディンガー方程式
H| i = E| i
に従う
系のHamiltonian
エネルギー固有値
– Hamiltonianは状態ベクトルに対する（エルミート）演算子
で、（有限次元の場合）行列で書くこともできる
• 要するに行列Hの固有値問題

6. 状態、純粋状態、混合状態
• 純粋状態
– 具体的に計算するときは、何らかの基底で「表示」する必
要がある
• ベクトルの成分を計算することに対応する
h | :
ブラ・ベクトル （ケットに作用してスカラー複素数を返す）
| i :
ケット・ベクトル
h | i :
2つのケット | i と の内積
| i
• （例えば）「座標」表示 →
シュレディンガー方程式の左から hx| を
作用
hx|H| i = Hx hx| i = Ehx| i
座標表示のHamiltonian
座標表示の状態ベクトル
(微分演算子)
(波動関数)

7. 状態、純粋状態、混合状態
• 純粋状態と確率
– （例えば）座標表示の波動関数 hx| i ⌘ (x) が
わかると、 「粒子が位置x~x+dxにある確率」は
P (x) = | (x)|2 dx
となる（ボルン則／量子力学の確率解釈）
– 状態が「位置演算子」の固有状態になっているときは、確
率密度はδ関数となる
• 可換な演算子の組は同時対角化可能で、それらの値を同時に正
確に決定することができる
• xとpは非可換なので同時に決定できない
– 「非可換の度合い」が不確定性の大きさを決める

8. 状態、純粋状態、混合状態
• 混合状態
– 純粋状態は、具体的な表示で見ると
X X
| i= |xihx| i = (x)|xi
x x
などとなり、固有状態の重ね合わせ（様々な位置にいる
状態が同時に混在している）となっている。
– 一方、複数の純粋状態の「古典的な重ね合わせ」を考え
たい場合もある
• 統計力学では、多数の粒子のあり得る配位についての確率的な
平均を考える
• それぞれの配位は物理的に干渉する訳ではないので、古典的な
重ね合わせとなる
• そのような状態を混合状態と呼ぶ

9. 状態、純粋状態、混合状態
• 混合状態
– 定義から、純粋状態 | 1 i, · · · , | k i を確率的重み
p1 , · · · , pk
で混合した混合状態に対して、物理量Aの
確率分布は
X
P (a) = pi |ha| i i|2
i
となる。
物理量Aが固有値aをとる状態のブラベクトル

10. 状態、純粋状態、混合状態
• 混合状態
– そのような混合状態を表すために、以下の密度演算子を
考えると便利
X X
⇢=
ˆ pi | i ih i | ⇢=
ˆ |xihx|ˆ|x0 ihx0 |
⇢
i x,x0
密度演算子の行列表示（密度行列）
– 密度演算子が与えられると、物理量Aの確率分布は
P (a) = ha|ˆ|ai
⇢
と書け、期待値は
X X X
aP (a) = aha|ˆ|ai =
⇢ ha|ˆA|ai ⌘ Tr(ˆA)
⇢ ⇢
a a a
と書ける

11. 機械学習への応用

12. 量子アニーリング
• 混合状態の量子力学の確率論的な枠組みを応用
– （純粋状態の理論で定式化する流儀もあるらしい）
• クラス分類問題
– N個のデータをK個のクラスに分類する
• kNN法を始めとして色々やり方がある
– 変分ベイズによる方法に量子効果を導入する
• Issei
Sato,
et
al.
“Quantum
Annealing
for
Varia1onal
Bayes
Inference”
– クラスタリング
• Kenichi
Kurihara,
et
al.
“Quantum
Annealing
for
Clustering”

13. クラス分類問題と密度行列
• クラス分類問題
– データ x = x1 , · · · , xN をK個のクラスに分類する
問題
• 単一データ xk のクラス割り当てを以下のように書く
˜k = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)T
K次元
0 1
• N個のデータ全てに対するある割り当ては
a11 B ··· a1l B
B . .. . C
A⌦B =@ .. . . A
.
N
= ⌦k=1 ˜k ak1 B ··· akl B
クロネッカー積
となる。
T T
– K=N=2のとき、 ˜1 = (1, 0) ˜2 = (0, 1) なら
˜1 ⌦ ˜2 = (0, 1, 0, 0)T

14. クラス分類問題と密度行列
• 例えばK=N=2の場合
– 4通りの状態をとる確率が p1 , p2 , p3 , p4 のとき、次の
ような密度行列を考える
X
diag(p1 , p2 , p3 , p4 ) = pi (i) (i)T
i
(i)
2 {(1, 0, 0, 0)T , (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T , (0, 0, 0, 1)T }
– 量子力学とのアナロジーを考えると
(i)
状態ベクトル（ケット）：
Hamiltonian：
diag( log p1 , · · · , log p4 )

15. クラス分類の量子力学的定式化
• 以下のようなHamiltonianを考える
(1) (N K )
Hc = diag( log p(x, ), · · · , log p(x, ))
Hc
log p(x) = log Tr{e }
– Hamiltonianに量子効果を入れる
N
X
Hq = xi , ⌦ i 1 EK ⌦
j=1 x ⌦ ⌦N
l=i+1 EK
i=1
後の鈴木-­‐Tro9er展開で
x = (EK 1K ) うまく計算できる形になる
H = Hc + Hq
イメージ
0 (1)
1
log p(x, ) 0
B log p(x, (2)
) 0 C
H=B
@ (3)
C
A
0 log p(x, )
(4)
0 log p(x, )

16. 密度行列と古典的確率
• Hamiltonianが対角なら、問題は（通常の）古典的な確率
モデルと完全に一致する
– 密度行列を用いることで、Hamiltonianの非対角項に量子論的
効果を入れることができるようになる
– 量子アニーリングでは、非対角項を使って局所最適解から抜
け出すことを考える
• 一般的な処方箋
– データと状態について、対角要素が古典的確率となる
Hamiltonianを設計する
– 適当な量子効果を入れた相互作用Hamiltonianを追加し、鈴
木-­‐Tro9er展開を用いて対角な（サンプリング可能な）確率モデ
ルの積として近似する
– 量子効果を徐々に弱めるアニーリングを行いながらサンプリン
グし、最適解を求める

17. 変分ベイズ法とクラス分類
• 変分ベイズ法の枠組み
– 隠れ変数σ、パラメータθがある観測変数xの確率分布
P (x, , ✓)
– 観測xに対するσの事後分布
P ( , ✓|x)
を求めたいが、厳密に計算するのは難しい
• クラス分類問題
– 観測変数x（データ）と、隠れ変数σ（データのクラス分類）
に対して、データxに対するσの事後分布を求める問題

18. 変分ベイズ法とクラス分類
• 変分ベイズ法の枠組み
– xについての周辺尤度が
XZ P (x, , ✓)
log P (x) = d✓q( , ✓) log + KL(q||P ( , ✓|x))
q( , ✓)
XZ P (x, , ✓)
d✓q( , ✓) log ⌘ F [q]
q( , ✓)
と書け、等号が q( , ✓) = P ( , ✓|x) のときに成り立つ
ことを利用する
–
F
[q]
を最大化するqを変分的に求め、それを事後分布と
見なすことができる（F[q]を変分自由エネルギーと呼ぶ）
• そのままではqを求めることができない

19. 変分ベイズ以外の方法
• MCMCなどを用いて、なんとか からサン
P ( , ✓|x)
プリングする方法もある
– クラスラベル空間全体から一度にサンプリングするのは
難しい
– 1変数を残して他を固定してサンプリングする過程を繰り
返す、ギブスサンプラーの方法を使える形にしたい

20. 量子的Hamiltonianの取り扱い
• 量子効果を入れたHamiltonianはまともに計算する
ことができない
(Hc +Hq )
log P (x) = log Tr{e }
– 非対角な行列のexp??
• 鈴木-­‐Tro9er展開
! ✓ ◆! m ✓ ◆
X Y Al 1
exp Al = exp +O
m m
l l
• Hamiltonianの非対角部分を計算可能な形に近似し、MCMCサン
プリングなどを行う
• mが一つの独立な対角Hamiltonianに対応する形となり、実装的
にはm個のシミュレーテッドアニーリングを走らせることになる

21. アニーリング
• 温度項の導入
逆温度（物理的には1/kBT）
(Hc +Hq )
log P (x) = log Tr{e }
• アニーリング
– シミュレーテッドアニーリング
• βを徐々に増加（温度を低下）させながらサンプリング
– 量子アニーリング
• βを徐々に増加させ、量子Hamiltonianの係数Γを徐々にゼロに近
づけながらサンプリング
T
SA
SA
SA
QA
QA
QA
Γ

22. 実験結果（文献より）
• 変分ベイズの方法
– 対数尤度値で見て、SAに比べ分類性能が10%程度改善し
たらしい
– SAに比べ、局所解に陥りにくくなる性質があるらしい