1. ESEMPI DI FORME GEOMETRICHE NON
EUCLIDEE
Cescon Alessandro, Luong Kim, Stangherlin Chiara

2. IL TRIANGOLO DI REULEAUX
Il triangolo di Reuleaux è una curva convessa disegnata su un
triangolo equilatero, nella quale tutti i punti della curva sono
equidistanti dal vertice opposto.
Il suo ideatore, l’ingegnere e matematico Franz Reuleaux
(1829-1905), sostituì ai lati di un triangolo equilatero archi di
circonferenza, di raggio pari al lato e con centro nel vertice
opposto.
Applicazioni
- Sono comunemente utilizzate punte di trapano a forma di
triangolo di Reuleaux per realizzare fori approssimativamente
quadrati.
- Molti plettri per suonare impiegano il triangolo di Reuleaux.
- Le matite prodotte con questa forma, piuttosto che di sezione
circolare o esagonale, hanno una minore probabilità di
scivolare dai banchi (il baricentro sale e scende maggiormente
rispetto alle altre forme).
- Fa parte del meccanismo dei moderni proiettori.
-Il suddetto triangolo, pressoché invariato nella forma, è anche
la sezione del rotore nel Motore Wankel.
http://www.etudes.ru/it/etudes/koleso/

3. Il motore rotativo di tipo Wankel
Felix Wankel (1902-1988) concepì, negli anni Venti, una variante di motore a
combustione interna.
Questa soluzione utilizza un particolare “pistone” rotante a forma di triangolo di
Reuleaux; non si muove di moto rettilineo alternato ma ruota intorno a un asse;
effettua come un qualsiasi convenzionale motore a pistoni i quattro tempi:
aspirazione, compressione, esplosione-espansione, scarico, ma ne realizza
tre contemporaneamente.
Dal brevetto ai tentativi industriali
Negli anni Cinquanta Wankel realizzò il prototipo per la
tedesca NSU che continuò la sperimentazione
assieme ad altri costruttori (ne uscì un’unica
vettura, la Ro80); alla fine gettò la spugna; non
la Mazda (accordo nel ’60) con cui ha
avuto 45 anni di utilizzo e sviluppo arrivando
alla produzione in serie.
Fonti:
http://www.motori.it/tecnica/13525/mazda-rx-8-fuori-produzione-addio-al-motore-wankel.html
http://www.alfonsomartone.itb.it/vglavh.html
http://www.wroar.net/pages/motore-wankel.html
http://digilander.libero.it/rm001/ing/wankel.htm

4. Difetti di questo motore:
Il regime rotazionale elevato (oltre 9000 giri/min) e la geometria del motore fanno sì che
sulle pareti vadano ad impattare in rapida successione fluido freddo e fluido caldo. Le
prime versioni di questo motore avevano quindi una scarsa affidabilità (il motore andava
sostituito anche dopo meno di 100.000 km) ed una combustione non completa che
portava ad elevate emissioni inquinanti.

5. L’ANELLO DI MOEBIUS
Aspetti tecnici: La cosa singolare di questa strana forma è che se proviamo a
percorrere con un dito la superficie dell’anello, scopriamo che ritorniamo al punto di
partenza senza mai staccare il dito: l’anello di Moebius infatti non ha due facce, una
inferiore e una superiore, a differenza di un normale anello di carta, cioè di un
cilindro, ha una sola superficie. Se una formica percorresse tutto l’anello, alla fine si
ritroverebbe al punto di partenza, senza “salti” o “stacchi”, come accade invece su
un cilindro normale. E questo ha scatenato la fantasia del “pittore matematico”
Mauritius Cornelius Escher che ha introdotto questa forma curiosa in molte sue
opere. La più famosa è proprio un anello di Moebius percorso dalle formiche.
Non solo: il nastro di Moebius è ricco di altre stupefacenti proprietà: se una trottola
gira destrorsa lungo tutta la striscia, al suo ritorno nel punto di partenza avrà
cambiato il senso di rotazione diventando improvvisamente sinistrorsa. Questo è il
motivo per cui le superfici "non orientabili di Moebius hanno spinto in più occasioni la
fantasia degli artisti a soluzioni di fanta-matematica come quella appunto di un treno
che scompare girando all'infinito senza tornare mai più nel punto di partenza.

6. Applicazioni: Il nastro di Moebius è ancora oggi molto popolare: esso è usato per giochi di
prestigio, sculture, gioielli, musiche e applicazioni di ogni genere.
- Ad esempio, portò alla realizzazione di brevetto cinese di un trenino che viaggia su binari Moebius;
un treno quindi che percorre un percorso senza fine: tutto questo scatenò la fantasia del regista
argentino Mosquera, il quale ne immaginò un film.
- In cinematografia, il principio dell'anello di Moebius è stato applicato nella filmografia per
sovrapporre le immagini, per creare dissolvenze.
- In meccanica: Le cinghie di trasmissione possono utilizzare il nastro di Moebius per distribuire
l'usura sulle due facce (e quindi durare di più). Un esempio di questa applicazione è rappresentato
nelle vecchie trebbiatrici, che ricevevano il moto da un trattore posto ad alcuni metri tramite una
cinghia con le facce incrociate
- In matematica: Lo studio del nastro di Moebius è stato molto importante per la storia della
matematica e ha contribuito a porre le basi della scienza chiamata topologia. Questa è una branca
della matematica che studia le proprietà delle superfici e dei volumi che non cambiano anche in
seguito a deformazioni continue, che non prevedono cioè tagli, buchi o altre interruzioni della
superficie. Per esempio, la superficie di un cubo si può deformare in modo continuo in quella di una
sfera “gonfiandola” dall’interno. Invece per deformare un normale nastro cilindrico in un nastro di
Moebius occorre interrompere la sua continuità: bisogna tagliarlo e rincollarlo scambiando destra e
sinistra.

7. Clive Sinclair con lo Spectrum QL (Quantum Leap, che in inglese sta a
significare sia "salto quantico", che "innovazione discreta" in un determinato
ambito) sperava di imporre la propria idea al resto del mercato ovvero i
microdrive: si tratta di microcassettine con un nastro continuo infinito (il nastro di
Moebius) che giravano ad altissima velocità, però molto inaffidabili perché
talvolta inceppavano il nastro. Utilizzando il nastro di Moebius era possibile
realizzare cartucce dati (dei supporti di memoria) a nastro magnetico registrato
su entrambe le facce: l'accorgimento permette di raddoppiare lo spazio di
memorizzazione; il nastro ritorto permette alla testina di leggere sia il lato A che
il lato B.
Fonti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Sinclair_QL
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm
http://www.focus.it/scienza/quali-caratteristiche-ha-il-nastro-di-moebius_C39.aspx

8. LA PSEUDOSFERA DI BELTRAMI
Lobacevskij nel 1829 e Bolyai nel 1832 avevano scritto dei saggi in cui
dimostravano la possibilità di geometrie differenti da quella di Euclide.
Il matematico italiano Eugenio Beltrami trovò una superficie di rotazione
a cui aveva dato il nome di pseudosfera: essa ha curvatura costante
come una sfera ma di segno negativo. Ad oggi rappresenta una
superficie particolarmente adatta a studiare sopra un modello
concreto, sia pure parziale, la geometria non euclidea iperbolica.
Beltrami aveva ottenuto le pseudosfera dalla rotazione di una curva
studiata da Minding, la trattrice.

9. Le questioni di filosofia naturale sono state determinanti nelle ricerche di
Beltrami: i suoi scritti di carattere fisico e fisico-matematico sono tesi al
tentativo di fornire una spiegazione meccanica della propagazione dei
fenomeni mediante le deformazioni di un etere che pervade l'intero universo.
Secondo Beltrami, l'universo non era necessariamente euclideo; egli tentava in
più occasioni di interpretare meccanicamente la trasmissione dei fenomeni
elettrici, magnetici ed elettromagnetici assumendo che lo spazio fosse dotato di
curvatura e, in particolare, supponeva che l'etere riempisse uno spazio sferico,
pseudosferico o euclideo a seconda del fenomeno che vi aveva luogo.
Ma gli strumenti matematici indispensabili allo studio degli spazi non euclidei
erano già stati introdotti da Riemann, nel 1854.
In seguito, la loro teoria secondo cui l'universo collabori alla propagazione delle
forze mediante una variazione della curvatura venne confermata, molti anni
più tardi, con la teoria della relatività di Einstein.
Fonti:
http://www.sba.unipi.it/content/contenuto-aggiuntivo/i-contributi-di-betti-beltrami-alla-fisica-matematica-italiana
http://www.matematicamente.it/cultura/storia_della_matematica/la_pseudosfera_di_beltrami_200709041435/
http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/Beltrami1.htm
http://progettomatematica.dm.unibo.it/Curve%20celebri/modern/trattrice.html

10. LA BOTTIGLIA DI KLEIN
La bottiglia di Klein fu descritta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. Klein fondò a Gottinga
un istituto di matematiche applicate, autore di rilevanti contributi alla geometria, studiò le superfici
algebriche e si interessò ai fondamenti della geometria.
La bottiglia di Klein si può immaginare nello spazio tridimensionale: basta prendere una normale
bottiglia, allungarne il collo, piegarlo e farlo penetrare nel fianco della bottiglia stessa, fino a farlo
uscire sul fondo. Tale auto-intersezione non si vedrebbe se potessimo rappresentare la superficie in
dimensione 4, ma siamo costretti a utilizzarla per raffigurarla in dimensione 3.
La bottiglia di Klein è una particolare figura geometrica non orientabile, nella quale cioè non si può
individuare un sopra e un sotto, un esterno e un interno.
Bottiglia di Klein e nastro di Moebius sono “parenti”: è possibile tagliare una bottiglia di Klein in
modo da ottenere due nastri di Moebius (ovvero incollare due nastri di Moebius in modo da ottenere
una bottiglia di Klein).

11. Konrad Polthier aveva a disposizione un modello in vetro della
bottiglia e ha provato a riempirla con dell’acqua; nel fare ciò l’aria
all’interno non riusciva ad uscire. Ha pensato di testare la bottiglia
come termometro e ha colorato l’acqua (aggiungendo alcuni cristalli
di permanganato di potassio) per evidenziarne il livello. In questo
modo, quando fuori faceva freddo, l’aria dentro la bottiglia si
comprimeva e il livello dell’acqua si abbassava.
Fonti:
http://www.focus.it/scienza/che-cose-la-bottiglia-di-klein_1_C39.aspx
http://plus.maths.org/content/imaging-maths-inside-klein-bottle
http://scienzapertutti.lnf.infn.it/index.php?
option=com_content&view=article&id=1691:0390-che-cose-la-bottiglia-di-
klein&catid=142:tutte-le-risposte&Itemid=347

12. LA SUPERFICIE DI DINI
Ulisse Dini si laurea in matematica a Pisa a soli 19 anni, si
perfeziona a Parigi sotto la guida di Hermite e ritorna in Italia
per aggiornare la ricerca matematica italiana nel campo
dello studio delle superfici, dell'analisi reale e dell'algebra.
Nel 1877 gli viene assegnata anche la cattedra di Analisi
Infinitesimale e pubblica un libro sui fondamenti della teoria
delle funzioni di variabili reali.
La superficie di Dini può essere vista come una "torsione"
della pseudosfera di Beltrami. Più precisamente, è una
superficie ottenuta assegnando a una trattrice un moto
elicoidale intorno alla propria retta caratteristica. È quindi
una superficie elicoidale. Per confronto, la pseudosfera è
ottenuta facendo ruotare una trattrice intorno alla propria
retta caratteristica, ed è quindi una superficie di rotazione.
Fonti:
http://daubau.it/enciclopedia/Superficie_di_Dini
http://xoomer.virgilio.it/amacavirtuale/curioso_sette.html
http://www.doyouplaymathematics.it/old/inversione/index.html

13. In basso a sinistra vediamo un fiore in cui
è ravvisabile un richiamo alla superficie di
Dini: la Calla.
In basso a destra vediamo l'helicoradian,
fiore presente nel film Avatar di James
Cameron.