2. I postulati di Euclide sono: 1-Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta 2-Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente 3-Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio 4-Tutti gli angoli retti sono uguali 5-Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti. Lo stesso Euclide , non convinto del V postulato , dimostra le prime 28 proposizioni del I libro degli Elementi senza farne uso. -Tuttavia, più familiare è senz'altro la forma moderna del postulato: Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta data. Mentre l'esistenza della parallela è assicurata dagli altri quattro postulati, l'unicità viene assunta assiomaticamente nella geometria euclidea.
3. Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Tutte e tre le geometrie hanno due rette aventi una perpendicolare in comune. Nella geometria iperbolica le rette divergono, ed è quindi possibile trovare molte rette parallele (cioè che non si intersecano). Nella geometria ellittica le rette convergono e quindi non esistono rette parallele.
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5. La geometria iperbolica è la geometria ottenuta modificando questo postulato, nel modo seguente: Data una retta r e un punto P disgiunto da r , esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r . Nikolay Ivanovich Lobachevsky ha contribuito alla nascita e allo sviluppo della geometria iperbolica. Essa nasce nel XIX secolo come strumento per risolvere un problema aperto da secoli e noto già allo stesso Euclide : il V postulato di Euclide . Hanno contribuito alla formazione di questa geometria le scoperte di: Saccheri , Lambert , Legendre , Gauss , Schweikart , Taurinus , Lobačevskij , Bolyai
