Le difficoltà nella didattica della matematica

Le difficoltà nella didatticaLe difficoltà nella didattica
della Matematicadella Matematica
Prof. Crescenzio GalloProf. Crescenzio Gallo
c.c.gallo@unifggallo@unifg..itit
http://www.http://www.dsemsdsems..unifgunifg..it/~cgallo/it/~cgallo/

Crescenzio Gallo - Le difficoltà nell'apprendimento della Matematica 2
Il problema delle difficoltà diIl problema delle difficoltà di
apprendimentoapprendimento
Non intendiamo qui discutere
esplicitamente di situazioni di
handicap e delle loro cause
remote: una tale trattazione
richiederebbe ben altri strumenti
e competenze!

Ci occuperemo, quindi, di
problemi più “banali”, ma che
potranno essere di aiuto
nell’insegnamentoinsegnamento delladella
matematicamatematica.

E’ quindi prima di tutto
importante discutere dei
critericriteri con i quali talvolta si
giudica che certi soggetti
siano bisognosi di sostegno.

L’esperienza porta a fare alcune
considerazioni, prima tra tutte la perplessità
che deriva da casi in cui soggetti sordi
vengono bollati come ritardati mentali, o
quelli in cui soggetti che riﬁutano (quasi)
totalmente la matematica vengono perciò
considerati “ritardati”…

… mentre il problema era dovuto alla
didattica radicalmente sbagliatadidattica radicalmente sbagliata alla
quale erano stati sottoposti nel corso
dei vari anni scolastici.

Molta perplessità suscita anche l’uso del
“quoziente di intelligenzaquoziente di intelligenza”: la pretesa
di dare un ordinamento lineare alle
intelligenze (specie quelle dei soggetti
in giovane età) è spesso fuorviante e
può dar luogo a ghettizzazioni
fondamentalmente ingiuste.

E’ quindi opportuno porsi il problema
della responsabilità (e della fatica)
dell’insegnamento della matematica,
delle difficoltà di apprendimento dadifficoltà di apprendimento da
parte dei discentiparte dei discenti…

Ma cosa (e quanto) bisogna
conoscere della Matematica?
Paradossalmente, ciò che importa
è sapere che la matematicala matematica
esisteesiste.

Nell’accezione tradizionale di “leggere,
scrivere e saper far di conto” molti
potrebbero allora affermare che
sanno molto bene che la matematica
esiste (e probabilmente ne portano
ancora uno sgradito ricordo...).

In tali casi si potrebbe affermare che per
questi soggetti la matematica nonla matematica non
esisteesiste: ignorano la matematica come
fatto culturale, come ispiratrice di una
mentalità e di un metodo di
conoscenza, di analisi e di
simbolizzazione del mondo reale.

E’ rimasta in loro una confusa
memoria di un’immagine della
matematica che si riduce alle
regole di applicazioneregole di applicazione del
simbolismo convenzionale.

Regole che, per la loro rigidità, vengono
spesso ricordate meccanicamentemeccanicamente
come delle imposizioni non sempre
motivate, oppure come procedure
“magiche”, comprensibili solo ad una
ristretta cerchia di iniziati, ma
comunque oscure nel loro significato e
nel loro fondamento.

Se questa è, più o meno, ll’’immagine dellaimmagine della
matematicamatematica che è nella mente
dell’insegnante, non ci si deve stupire se
egli ridurrà la sua azione al tentativo di
insegnare mnemonicamente le regole
delle operazioni agli alunni, e forse anche
a tormentarli con i disegni dell’algebra di
Boole e dell’insiemistica…

Il rischio è che quest’opera di puropuro
addestramentoaddestramento si riveli presto vana
e che venga subita dagli alunni come
l’ennesima imposizione inutile che la
scuola propina.

Idee e prospettiveIdee e prospettive
“La prima matematica è la linguaLa prima matematica è la lingua
italianaitaliana”: uno dei compiti importanti
della scuola è quello di formare la
mente degli alunni in modo che
riescano ad esprimere le loro idee in
maniera ordinata e corretta (e
preferibilmente concisa).

E’ quindi proprio tale somiglianza
che connota la matematicala matematica
anche come linguaggioanche come linguaggio che
richiede esercizio, spesso
assiduo.

Idee prospettiveIdee prospettive
Esercizio che però non deve
diventare addestramentoaddestramento, tanto
più pesante quanto maggiore è la
difficoltà che il soggetto incontra
nelle operazioni di “traduzione”
dal linguaggio comune a quello
matematico, e viceversa.

Operazioni, queste, che presentano
difficoltà spesso insormontabilidifficoltà spesso insormontabili
per molti soggetti, anche perché il
linguaggio matematico utilizza
metodicamente dei simboli
convenzionali ed è retto da una
sintassi molto rigida.

La strada giusta allora potrebbe
essere quella di impostare,
innanzitutto, la formazione degliformazione degli
allieviallievi in modo tale da fornire
loro un’immagine più chiara della
matematica…

…fare in modo cioè che essi non
guardino ad essa soltanto come ad
un insieme di formule e calcoli, ma
come a una scienza composta da
procedure razionali che dovrebbero
condurre alla costruzione di con-costruzione di con-
cetti astratticetti astratti e alla simbolizzazionesimbolizzazione
della realtàdella realtà.

In tal modo essi potranno
indirizzare i propri sforzi verso il
conseguimento dell’attitudine ad
unun’’elementare razionalità dielementare razionalità di
comportamentocomportamento.

Una razionalità che possa esplicarsi
nella capacità di progettarecapacità di progettare le
proprie azioni e di prendere
coscienza delle proprie procedure,
senza pretendere di giungere sempre
alla simbolizzazione convenzionale,
tipica della matematica.

Ciò però non significa che si
debba rinunciare a fare dellarinunciare a fare della
matematicamatematica anche con i sog-
getti che rifiutano la simbo-
lizzazione abituale.

Ad es. si può pensare che “farefare
geometriageometria” sia come porsi in
modo razionale rispetto all’am-
biente che ci circonda e rispetto
agli oggetti che noi vediamo e
possiamo manipolare.

Così la geometria potrebbe anche
servire come punto di partenza per
iniziare la costruzione di quella
razionalità elementarerazionalità elementare e di quella
progettualitàprogettualità necessarie agli stu-
denti (con o senza deficit).

Tenendo ad es. presente che nella
geometria euclidea (elementare) è
contenuto il gruppo dei movimenti
rigidi, è possibile applicare queste
considerazioni alle manipolazioni degli
oggetti rigidi, anche di quelli che
entrano nel vissuto quotidianovissuto quotidiano.

Si può così pensare di impostare per
questa via una formazione alla
razionalità matematica a partire da
un’esperienza concretaesperienza concreta: una via che
presenta il vantaggio iniziale di non
richiedere strumenti espressivi diversi da
quelli della lingua parlata
quotidianamente.

Seguendo questa strada si può
sperare di avviare gradualmente
gli alunni alla simbolizzazionesimbolizzazione
matematicamatematica senza tuttavia im-
porla dall’esterno.

Ovviamente quanto detto finora costituisce
un insieme di osservazioni che non
intendono avere valore sistematico.
E’ necessario ricordare che ogni casocaso è
diverso dagli altri, pertanto le osservazioni
e i suggerimenti debbono essere
necessariamente tenuti ad un livello molto
generico.

Rimane tuttavia l’atteggiamento di fondo che li
ispira: un atteggiamento che mira a ricercare
pazientemente le possibilità, anche minime,
di comprensionecomprensione e di autonomia razionaleautonomia razionale
degli alunni, in modo che ogni azione diazione di
formazioneformazione non sia un “addestramento” a
comportamenti più o meno imposti (e quindi
automatici), ma nasca dalla loro autentica e
autonoma personalità.

ProblematicaProblematica
• Quali sono le difficoltà che la
matematica pone a insegnanti e
studenti?
• Se e come il processo di
integrazioneintegrazione scolastica può
essere di aiuto nella proposta
didattica?

Tipi di difficoltàTipi di difficoltà
La MatematicaMatematica presenta
difficoltà di tipo specifico e
NON sempre aggirabili, sino
alla rinuncia di una proposta
didattica adeguata!

Indispensabilità della MatematicaIndispensabilità della Matematica
Un certo livello di competenzacompetenza
matematicamatematica è indispensabile
per la qualità della vita nella
conquista della sua autonomiaautonomia
personale e sociale.

Indispensabilità della MatematicaIndispensabilità della Matematica
Gli alunni sono tra di loro diversi per
capacità e ritmo di apprendimento 
analoghe difficoltà didifficoltà di
apprendimentoapprendimento per presenza di
deﬁcit, motivi socio-familiari o
precedenti esperienze scolastiche
negative.

Insegnare matematica a tuttiInsegnare matematica a tutti
L’importanza della matematica sta nel fatto
che essa rappresenta un potente
strumento di interpretazione dellastrumento di interpretazione della
realtàrealtà, allena al senso critico, al
ragionare corretto, a classificare,
ordinare, schematizzare, astrarre.

I nodi più significativiI nodi più significativi
nell’insegnamento/apprendimento della matematica:
1. la terminologiaterminologia e il simbolismo;
2. la sequenzialitàsequenzialità degli apprendimenti;
3. i problemiproblemi e la loro traduzione dal
linguaggio naturale a quello matematico;
4. le tecnichetecniche di calcolo;
5. l’astrazioneastrazione e il rigore;
6. l’infinitoinfinito.

La terminologia e il simbolismoLa terminologia e il simbolismo
Oltre 300300 i termini e i simboli
introdotti nella scuola dello
obbligo, rispetto a circa
30003000 parole del linguaggio
naturale.

La terminologia e il simbolismoLa terminologia e il simbolismo
Linguaggio naturaleLinguaggio naturale acquisito subi-
to in maniera informale, per imita-
zione.
Linguaggio matematicoLinguaggio matematico non intuiti-
vo: richiede un apposito insegna-
mento.
Ad es.: 5 ; 52 ; 571 ; 0,5 ; 5° ; V ; 1/5 ; ...
 collegamento fra segnisegni e significatisignificati

La sequenzialità degli apprendimentiLa sequenzialità degli apprendimenti
L’apprendimentoapprendimento è di so-
lito, ma non necessaria-
mente, cumulativocumulativo (come
ad es. per la Storia).

In matematica esiste una ben
precisa scala gerarchica degliscala gerarchica degli
apprendimentiapprendimenti, da immagazzina-
re nella memoria a lungo terminememoria a lungo termine
in modo dinamicodinamico (ad es. il passaggio
dai n.ri naturali ai razionali).

Il docente deve essere disponibile a
modificare il ““contratto didatticocontratto didattico””,
incoraggiando i meno bravi ad
imparare dai loro errori (vedi richiamo
tematiche anni precedenti nelle prove
d’esame).

I problemiI problemi
Il sapere matematico si apprendeIl sapere matematico si apprende (e
quindi si insegna) affrontando eaffrontando e
risolvendo problemi che interessinorisolvendo problemi che interessino
e coinvolgano le coinvolgano l’’alunnoalunno  ancor più
vero per un allievo in difficoltà!

I problemiI problemi
La scelta delle motivazionimotivazioni e dei contesticontesti
diviene essenziale: no ripetitività degli
esercizi, ma fasi di individuazione deiindividuazione dei
datidati, scelta delle operazioniscelta delle operazioni e della loro
sequenza, svolgimento dei calcolicalcoli,
controllo della plausibilità del risultatoplausibilità del risultato.

Le tecniche di calcoloLe tecniche di calcolo
Accezione corrente:
matematicomatematico
↔↔
colui che sa fare calcolicolui che sa fare calcoli
(complicati).

Difficoltà:Difficoltà:
memorizzazione e
capacità di eseguire
correttamente procedure
complesse.

ConseguenzeConseguenze di un errore
grammaticale minime;
drammatiche per calcoli
matematici!

Privilegiare anche le tecnichetecniche
operativeoperative ““informaliinformali””, nonché
l’uso della calcolatrice, per
concentrarsi sugli aspetti piùaspetti più
signiﬁcativisigniﬁcativi della materia.

Piuttosto insegnare
controllicontrolli sull’ordine di
grandezza dei risultati e
veriﬁche di plausibilitàveriﬁche di plausibilità
degli stessi!

ConsiderazioniConsiderazioni
Nel costruire percorsi secondo questa
direzione, gli insegnanti si trovano
inevitabilmente nella necessità dinecessità di
allargare i confini della classeallargare i confini della classe, alla
ricerca di un rapporto con la realtà che
metta alla prova la capacità di porsi e
risolvere problemi reali.

I benefici che ne derivano mostrano come questa
strategiastrategia possa in effetti essere vincentevincente, in
un processo educativo che vede ogni singolo
alunno arteficeartefice del proprio apprendimento, nel
rispetto delle sue peculiari capacità e
potenzialità.

L’insegnante deve guidare questo
processo e dunque deve possedere sia
una solida competenza disciplinarecompetenza disciplinare che
una forte creativitàcreatività, elasticitàelasticità e
capacità di attenzionecapacità di attenzione alle potenzialità
dei singoli.

Un approccio integrato alleUn approccio integrato alle
difficoltà in matematicadifficoltà in matematica
Atteggiamenti contrastantiAtteggiamenti contrastanti dell’inse-
gnante di fronte alle difficoltà di alcuni
alunni:
• andare avanti comunque, non sottra-
endo tempo agli altri (“tanto non serve…”);
• l’insegnamento si deve adattare ai
bisogni dell’alunno (più debole).
Rassegnazione e fatalismo in caso di
insuccesso!

LL’’approccio tradizionale alleapproccio tradizionale alle
difficoltàdifficoltà
Repetita iuvantRepetita iuvant?? Dipende…
L’approccio tradizionale focalizza
l’attenzione sulle conoscenze che
l’alunno non possiede, con ripetizioneripetizione
degli argomenti implicati: OK per
l’alunno assente, ma non funziona con
quelli in difficoltà già presenti alla
spiegazione!

•• EnfatizzaEnfatizza il ruolo dell’errore.
•• VedeVede l’errore come prodotto di man-
canza di conoscenze.
•• LimitaLimita l’attenzione ai processi risolutivi
che gli alunni mettono in atto nel
tentativo di risolvere problemi di mate-
matica.

Ma una risposta corretta non garantisce
ll’’effettiva comprensioneeffettiva comprensione!
Dietro gli errori (sistematici) ci sono
processi di pensiero consistenti, per
cui ll’’errore è frutto dierrore è frutto di
unun’’interpretazione personaleinterpretazione personale,
diversa da quella “ufficiale”.

Molti allievi sbagliano non perchéMolti allievi sbagliano non perché
applicano in modo scorrettoapplicano in modo scorretto ““algoritmialgoritmi””
corretti, ma perché applicano in modocorretti, ma perché applicano in modo
correttocorretto ““algoritmialgoritmi”” scorretti.scorretti.
278- 352- 406- 543- 510- 1023-278- 352- 406- 543- 510- 1023-
135=135= 146=146= 219=219= 367=367= 238=238= 835=835=
143 214 213 224 328 1812143 214 213 224 328 1812

Approccio globale alle difficoltà:Approccio globale alle difficoltà:
ilil problem solvingproblem solving
Cos’è un problemaproblema? “Un problema sorge
quando un essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla” (Duncker): quindi,
la meta può anche non essere raggiunta! (si
impara dai propri errori).
L’esercizioesercizio è semplicemente l’applicazione di un
procedimento già noto.

Approccio globale alle difficoltà:Approccio globale alle difficoltà:
ilil problem solvingproblem solving
Processo di risoluzione di un problema:
pianificazione esecuzione controllo
Quindi un problema è fondamentalmente un
atteggiamento di tipo strategicostrategico (le decisioni
prese hanno un ruolo cruciale); nell’esercizio
vi è invece l’attivazione di un comportamento
automaticoautomatico.

Le abilitàLe abilità metacognitivemetacognitive
Riguardano la gestione delle risorserisorse
cognitivecognitive, che si articola in:
•• consapevolezzaconsapevolezza delle proprie risorse
•• regolazioneregolazione del comportamento in
base a tali risorse, cioè attivazione di
processi di controlloprocessi di controllo (ad es. uso dei post-it
per aiutare la memoria).

Le abilitàLe abilità metacognitivemetacognitive
A parità di risorse, una maggioremaggiore
consapevolezzaconsapevolezza e la capacità di
attivare processi di controllo possono
dare luogo a prestazioni molto
diverse.
L’approccio tradizionale alle difficoltà
le ignora, sbagliando!

Le convinzioni sulla matematicaLe convinzioni sulla matematica
Ruolo centrale nella teoriateoria costruttivi-costruttivi-
stasta, che supera il vecchio modello del
discente come “tabula rasa”: l’individuo
è l’interpreteinterprete dell’esperienza di ap-
prendimento e costruisce le sue con-con-
vinzionivinzioni sulla matematica, che lo gui-
deranno nella risoluzione dei problemi.

Convinzioni errateConvinzioni errate
In matematica quello che conta sonoIn matematica quello che conta sono
i prodotti e non i processi!i prodotti e non i processi!
Quindi, se il risultato è sbagliato
fallisce l’intera “prestazione”
(viceversa, è difficile convincere che il
pro-cedimento è sbagliato davanti a
un risultato che “torna”).

Convinzioni errateConvinzioni errate
Da qui l’altra convinzione errata che
occorra molta memoria in matematicamolta memoria in matematica,
per ricordare tutti i “prodotti” possibili
(vedi le tabelline) invece che i “processi”
di calcolo
 sﬁducia nei propri mezzi: “Ho fatto male il
compito perché era difficile, perché il professore è
severo, perché sono sfortunato …”.

I fattori affettiviI fattori affettivi
Oltre al ruolo cruciale delle abilità
metacognitive (di per sé non
sufficienti), vi è la dimensione
delle emozioniemozioni nella risoluzione
di problemi e nel processo di
apprendimento.

I processi emozionaliprocessi emozionali e quelli cognitivi nella
mente non sono contrapposti, bensì si
rafforzano.
Le emozioni che un alunno associa alla sua
visione della matematica allora
costituiscono per l’insegnante un segnale
prezioso: tale visione, se distorta, produce
emozioni negative e comportamenti
fallimentari (ad es. risposte a caso!).

Sta all’insegnante
correggerecorreggere tali
distorsioni, per ridare
all’allievo autostimaautostima nei
propri mezzi.

LL’’insegnante come solutore di problemiinsegnante come solutore di problemi
L’approccio alle difficoltàapproccio alle difficoltà visto si
contrappone a un approccio
limitato all’individuazione e alla
correzione di errori, e riconosce
nei processi risolutivi l’inﬂuenza di
più fattori (metacognizione, convinzioni,
emozioni).

L’interpretazione del fallimen-interpretazione del fallimen-
toto di un alunno diventa per lo
insegnante un compito crucia-
le, necessario per progettare
interventi di recupero mirati.

E’ quindi un problemaproblema, e richiede
delicati processi decisionali (e val-
gono le sue abilità metacognitive,
le sue emozioni, ma soprattutto le
sue convinzioni sull’insegnamento
/ apprendimento della matematica).

ConclusioniConclusioni
In questo modo, si apre necessariamente per
l’insegnante la prospettiva di un percorsopercorso
nuovonuovo di consapevolezza, che richiede un
lavoro di riflessionelavoro di riflessione impegnativo ma
affascinante, nel quale l’insegnante potrà
costruirecostruire e sperimentaresperimentare strumenti di
analisi e di intervento che saranno preziosi
per affrontare le difficoltà dei suoi alunni.

La scolarizzazione del sapereLa scolarizzazione del sapere
Triangolo della didattica
Didattica fondamentale (*)
InsegnanteInsegnante
Sapere AlunnoSapere Alunno
(*) Scienza che si interessa alla produzione ed alla comunicazione di conoscenze ((*) Scienza che si interessa alla produzione ed alla comunicazione di conoscenze (BrosseauBrosseau,,
1988)1988)

La devoluzioneLa devoluzione
• L’alunno costituisce conoscenza solo
se assume - se si fa carico - se si
interessa personalmentepersonalmente di quanto gli
è stato proposto attraverso la
situazione didattica.
• L’istituzionalizzazioneistituzionalizzazione della consegnadella consegna
come atto attraverso il quale si
riconosce la devoluzione.

II ““saperisaperi””
Profonda differenza tra:
•• ““sapere personalesapere personale”” (oggetto che esiste per
ciascuno di noi, ma non necessariamente
appartenente ad un’istituzione e/o da essa
riconosciuto)
•• ““sapere istituzionalesapere istituzionale”” (oggetto del quale le
istituzioni si sono occupate, dandogli un nome
specifico).

LaLa ““scolarizzazione del saperescolarizzazione del sapere””
Atto attraverso il quale l’alunno delega
alla scuola (come istituzione) e all’insegnante
(come rappresentante della istituzione) il compito
di selezionare per lui i saperi signiﬁcati-selezionare per lui i saperi signiﬁcati-
vivi, rinunciando a farlo direttamente
 insegnante come depositarioinsegnante come depositario dei
saperi che “socialmente” contano.

Scolarizzazione delle relazioniScolarizzazione delle relazioni
Scolarizzazione del sapere  scolarizzazione
dei rapporti interpersonalirapporti interpersonali studente-
insegnante e studente-compagni e del
rapporto studente-sapere: nuovo modo di
concepire il “contratto didattico” per l’alunno
deﬁcitario (*)
Che ruolo gioca la scolarizzazione sullChe ruolo gioca la scolarizzazione sull’’efficaciaefficacia
delldell’’apprendimento logico- matematico?apprendimento logico- matematico?
(*) L’alunno “debole” non accede alla conoscenza, al sapere, ma lo fa
solo per soddisfare clausole di un “contratto” e soltanto
attraverso la mediazione dell’insegnante.

Esempio 1Esempio 1
• Ragazzi di 13-14 anni invitati a risolvere
un classico problema (individualmente, foglio,
penna, banco) sul volume di una piramide
• Poi a parte (individualmente e in un’altra aula)
invitati a valutare il volume di una piramide
reale con un righello
 sgomento, riﬁuto dellsgomento, riﬁuto dell’’approssimazione,approssimazione,
abbandono (abbandono (““ non è scolastico!!!non è scolastico!!! ””).).

Esempio 2Esempio 2
Qual è secondo te il numero piùQual è secondo te il numero più
piccolo del mondo?piccolo del mondo?
•• ZeroZero, perché è niente e non c’è
niente meno di niente, anche se so
bene che dovrei dire −∞−∞
•• Contrasto interiore tra il sapereContrasto interiore tra il sapere
personale e quello istituzionale!personale e quello istituzionale!

Esempio 3Esempio 3
• Sottoposta una stessa relazione binaria
scritta in forma proposizionale, di dia-
gramma cartesiano, di Venn e di Carroll.
• La forma proposizionale ““non cnon c’’entraentra
niente in matematica, perché di solito siniente in matematica, perché di solito si
usano numeri e non si scrive una cosausano numeri e non si scrive una cosa
già fatta, ma metti delle parole e poi igià fatta, ma metti delle parole e poi i
numeri per fare matematica...numeri per fare matematica...””

Esempio 3Esempio 3
Tabella con nomi di città: Atene, Milano,Atene, Milano,
Parigi, RomaParigi, Roma. Gli studenti dicono:
• Ordine alfabetico (casuale, non voluto)
• Ordine di importanza
• Ordine geograﬁco, dal Nord al Sud
• Tutte e 4 capitali (Milano capitale del
Nord Italia!)
ScolarizzazioneScolarizzazione  tendenza a voler tro-tendenza a voler tro-
vare informazionivare informazioni ““nascostenascoste””..

Esempio 4Esempio 4
Spingere gli studenti a fare uso spontaneo dellaSpingere gli studenti a fare uso spontaneo della
lingua comune in un contesto matematico...lingua comune in un contesto matematico...
• Pochissimi gli studenti disposti a fare uso della lingua
comune
• Meccanismo automatico di profonda convinzione che la
matematica non possa essere trattata nella lingua
comune, ma solo in matematichesematematichese
Mancata devoluzione, dovuta alla scolarizzazione
degli atteggiamenti!

Esempio 5Esempio 5
Somministrazione di problemi con
parole di oggetti inesistenti: gli
studenti “se ne fanno una ragione”
 la situazionesituazione scolarizzatascolarizzata spinge lo
studente a creare un clima di
coerenza, pur di rispecchiare il
modello “forte”, istituzionale.

Esempio 6Esempio 6
Prove di Schoenfeld (USA, 1987) su divisioni
non intere: “Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati; se
1128 soldati devono essere trasportati in bus al campo
d’addestramento, quanti bus devono essere usati?” 
rrisultati disastrosiisultati disastrosi, peggiorati dall’uso della
calcolatrice (ﬁducia cieca nella macchina!)
In Italia: “Un’automobile trasporta 4 bambini. Se devono
essere trasportati 6 bambini a scuola, quante auto occorrono?”
 analoghi risultati, anche se un po’ più
rassicuranti...

Molti degli aspetti relativi a contratticontratti,
devoluzionidevoluzioni e situazionisituazioni riassumibili
in ““mestieremestiere”” (di alunno, di
insegnante): si apprende per la vita,
non studio ﬁne a se stesso! 
bisogna “convincere” l’alunno.

Motivazioni date per l’importanza
dello apprendimento della
matematica:
• “non farsi imbrogliare nei negozi”
• “poter controllare il resto al supermercato”
• “imparare ad usare il computer”

Che cosa, se non il condizionamentoChe cosa, se non il condizionamento
sociale o la scolarizzazione totalesociale o la scolarizzazione totale
dei saperi o la fiducia nelldei saperi o la fiducia nell’’inse-inse-
gnante convincono lo studente agnante convincono lo studente a
fare il suofare il suo ““mestieremestiere””??

Ogni apprendimento è allora frutto
di una mediazionemediazione: non c’è
apprendimento per sé, per la
propria vita, per il proprio futuro,
ma solo per motivi relazionali e
istituzionali.

Per superare questo ostacolo
“metadidattico” l’insegnante deve
giocare tutte le sue carte
nellnell’’arte della seduzionearte della seduzione, della
comunica-zione, del modello
umano.

Metafora dellMetafora dell’’atletaatleta: il professore
è un allenatore, la vera vita è
altrove (mettere subito in pratica,
non eccedere nella teoria).
Infatti l’atleta cerca l’allenatore, lo
studente subiscesubisce il professore!

Obiettivi matematici e autonomiaObiettivi matematici e autonomia
personalepersonale
Autonomia, socializzazione e
cultura sono dirittidiritti alla cui
realizzazione la scuola è
chiamata in via istituzionale.

Autonomia socialeAutonomia sociale
EssereEssere autonomiautonomi signiﬁca:signiﬁca:
• saper curare la propria persona e i propri luoghi di vita
• saper comunicare (in forme diverse e con strumenti diversi)
• sapere orientarsi
• saper usare il denaro
• saper usare i servizi pubblici
• saper chiedere aiuto, etc.
““Autonomia non è fare tutto da soli. EAutonomia non è fare tutto da soli. E’’ invece saperinvece saper
collaborare, saper domandare, saper metterecollaborare, saper domandare, saper mettere
insiemeinsieme”” ((CanevaroCanevaro, 1992)., 1992).

Diritto alla matematicaDiritto alla matematica
Conoscenza di concetti matematici
prerequisitoprerequisito per lo sviluppo della
autonomia
 esiste un ““dirittodiritto”” alla matematicaalla matematica,
valido anche per chi presenta
difficoltà di astrazione.

““LL’’educazione matematica contribuisceeducazione matematica contribuisce
a formare le abilità necessarie pera formare le abilità necessarie per
interpretare la realtà criticamente e perinterpretare la realtà criticamente e per
intervenire consapevolmente su diintervenire consapevolmente su di
essaessa”” (dai Programmi della scuola
elementare).

““LL’’educazione matematica deve contribuire a unaeducazione matematica deve contribuire a una
formazione culturale del cittadino, in modo daformazione culturale del cittadino, in modo da
consentirgli di partecipare alla vita sociale conconsentirgli di partecipare alla vita sociale con
consapevolezza e capacità critica. In particolareconsapevolezza e capacità critica. In particolare
ll’’insegnamento della matematica deve avviareinsegnamento della matematica deve avviare
gradualmente, a partire da campi di esperienza ricchigradualmente, a partire da campi di esperienza ricchi
per lper l’’allievo, allallievo, all’’uso del linguaggio e del ragionamentouso del linguaggio e del ragionamento
matematico, come strumenti per lmatematico, come strumenti per l’’interpretazione delinterpretazione del
reale, non unicamente come bagaglio di nozionireale, non unicamente come bagaglio di nozioni””
(U.M.I. 2001)

Educare alla matematicaEducare alla matematica attra-
verso obiettivi e attività che ab-
biano una diretta ricaduta in
termini di intervento sul reale e
quindi di acquisizione di auto-
nomia.

Ad esempio:
- riconoscerericonoscere, denominare e classificare oggetti sono
evidenti obiettivi matematici;
- attraversare una strada richiede saper valutare
distanzedistanze, velocitàvelocità, versoverso e direzionedirezione;
- avvitare una vite o una lampadina coinvolge i
concetti di rotazionerotazione e di direzionedirezione orizzontale-orizzontale-
verticaleverticale e richiede valutazioni di lunghezza-larghezzalunghezza-larghezza.

Molte competenze matematiche sonoMolte competenze matematiche sono
raggiungibili attraverso attivitàraggiungibili attraverso attività
diverse (soprattutto pratiche) non didiverse (soprattutto pratiche) non di
tipo matematicotipo matematico  ll’’insegnante deveinsegnante deve
avere coscienza della loro valenzaavere coscienza della loro valenza
matematica per il discente.matematica per il discente.

LL’’approccio per problemiapproccio per problemi
Gli attuali programmi di matemati-
ca invitano a partire dalla solu-solu-
zione di problemi concretizione di problemi concreti per
arrivare ad appropriarsi dei
concetti matematici.

La sﬁdasﬁda posta da un problema è il
modo migliore di fare appello
all’intelligenza che ogni allievo
possiede, per aiutarlo a
sviluppare le sue doti.

““Un problema nasce quando un essere vivente, motivato aUn problema nasce quando un essere vivente, motivato a
raggiungere una meta, non può farlo in formaraggiungere una meta, non può farlo in forma
automatica o meccanica... Ciò crea uno stato diautomatica o meccanica... Ciò crea uno stato di
squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di unsquilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un
individuo e lo spinge ad agire per ricostruire lindividuo e lo spinge ad agire per ricostruire l’’equilibrioequilibrio””
(Kanizsa, 1973).
Netta differenza fra situazionesituazione
problematicaproblematica ed esercizioesercizio.

•• InefficaciaInefficacia della semplice ri-
petizione meccanica di eserci-
zi, nella veriﬁca a medio-
lungo termine degli alunni.

•• EserciziEsercizi utili per consolidare
l’apprendimento, che però
avviene coinvolgendo l’allievo
in una scoperta autonoma.

• L’approccio per problemi è
motivantemotivante, stimola l’attenzio-
ne, l’uso di competenze prece-
denti, la collaborazione tra
alunni (emotivamente coinvol-emotivamente coinvol-
gentegente).

Solo coinvolgendo in prima personaprima persona
scatta la molla della necessità di
risolvere il problema, la spinta che porta
a superare tutte le difficoltà per giungere
ad una conclusione.

Ciò è tanto più vero nel caso di difficoltà di
apprendimento, in quanto è essenziale lo stimolostimolo
soggettivosoggettivo alla soluzione  occorre scegliere
situazioni e modalità coinvolgenti esituazioni e modalità coinvolgenti e
rassicurantirassicuranti che aiutino il soggetto ad avere
fiducia in sé e nelle sue possibilità (situazioni
ludiche, materiali legati alla vita quotidiana, ...).

Nella risoluzione dei problemi si ha la pos-
sibilità di mettere in pratica un’organizza-
zione del lavoro ““trial-and-errortrial-and-error””, che
punti alla collaborazione e non alla
competizione e che offre maggiori
opportunità di socializzazione.

E’ quindi possibile ““personalizzarepersonalizzare”” le
richieste agli alunni, consentendo a quelli
più deboli un lavoro insieme alla classe,
pur restando i momenti singoli di
consolidamento di quanto costruito
insieme ai compagni.

La scelta degli obiettiviLa scelta degli obiettivi
Individuare gli obiettivi importantiobiettivi importanti
e quali no, quali abilità non
possedute possano essere
“aggirate” pur garantendo il
risultato complessivo.

Obiettivi matematici di base e attività cheObiettivi matematici di base e attività che
li concretizzano nella vita quotidianali concretizzano nella vita quotidiana
RICONOSCERE, DENOMINARE,RICONOSCERE, DENOMINARE,
CLASSIFICARECLASSIFICARE
ObiettiviObiettivi
• Classiﬁcare in base ad attributi dati
• Combinare oggetti e attributi
• Interpretare insiemisticamente i connetti-
vi logici

Obiettivi matematici di base e attività cheObiettivi matematici di base e attività che
li concretizzano nella vita quotidianali concretizzano nella vita quotidiana
RICONOSCERE, DENOMINARE, CLASSIFICARERICONOSCERE, DENOMINARE, CLASSIFICARE
AttivitàAttività
• Sviluppare i sensi ed essere in grado di distin-
guere e separare
• Individuare tipologie di negozi e prodotti
• Orientarsi tra i reparti di un supermercato
• Preparare le stoviglie, riordinare la stanza, le pro-
prie cose, etc.
• Utilizzare le Pagine Gialle
• Saper cercare libri in una biblioteca

Obiettivi matematici di base e attività che liObiettivi matematici di base e attività che li
concretizzano nella vita quotidianaconcretizzano nella vita quotidiana
MMETTEREETTERE ININ RRELAZIONEELAZIONE, O, ORDINARERDINARE, P, PORREORRE ININ
CCORRISPONDENZAORRISPONDENZA
ObiettiviObiettivi
• Scoprire regolarità e ritmi in successioni di oggetti,
immagini, suoni
• Costruire successioni da regole date
• Rappresentare successioni spaziotemporali, relazioni
d’ordine, corrispondenze, riferite a situazioni concrete
• Confrontare concetti di relazione, corrispondenza e
funzione in ambiti diversi

MMETTEREETTERE ININ RRELAZIONEELAZIONE, O, ORDINARERDINARE, P, PORREORRE ININ
CCORRISPONDENZAORRISPONDENZA
AttivitàAttività
• Saper recepire e mettere in corrispondenza elementari messaggi
visivi e sonori (campanello, telefono, interruttori, ...)
• Saper “gestire” alcune regole sociali (giocare, vestirsi, ...)
• Ascoltare il proprio ritmo cardiaco, riprodurre ritmi musicali
•• Utilizzare un mezzo pubblico seguendo la sequenza delle fermateUtilizzare un mezzo pubblico seguendo la sequenza delle fermate
•• Capire lCapire l’’uso di sequenze temporali (mattina, pomeriggio, sera)uso di sequenze temporali (mattina, pomeriggio, sera)
•• Organizzare una giornata-tipoOrganizzare una giornata-tipo
•• Comprendere i rapporti di parentelaComprendere i rapporti di parentela
•• Utilizzare il telefono e lUtilizzare il telefono e l’’elenco telefonicoelenco telefonico
•• Preparare la propria cartellaPreparare la propria cartella
•• Associare ad ogni alunno il suo posto in classe, il suo armadietto,Associare ad ogni alunno il suo posto in classe, il suo armadietto,
......

PPOSSEDEREOSSEDERE ILIL CCONCETTOONCETTO DIDI NNUMEROUMERO, S, SAPERAPER CCONTAREONTARE, E, ESEGUIRESEGUIRE
SSEMPLICIEMPLICI OOPERAZIONIPERAZIONI
ObiettiviObiettivi
• Contare in senso progressivo e regressivo sulla linea dei
numeri
• Confrontare rispetto alla quantità
• Leggere e scrivere numeri
• Eseguire semplici calcoli mentali e scritti
• Intuire e saper usare le proprietà delle operazioni
• Conoscere il concetto di frazione come parte di un intero
• Ampliare il concetto di numero: dai naturali ai relativi ai
razionali
• Rapporti, percentuali, proporzioni
• Multipli e divisori

PPOSSEDEREOSSEDERE ILIL CCONCETTOONCETTO DIDI NNUMEROUMERO, S, SAPERAPER CCONTAREONTARE,,
EESEGUIRESEGUIRE SSEMPLICIEMPLICI OOPERAZIONIPERAZIONI
AttivitàAttività
• Saper contare il denaro
•• Usare i mezzi pubblici di trasportoUsare i mezzi pubblici di trasporto
•• Seguire i numeri civiciSeguire i numeri civici
•• Far speseFar spese
•• ““LeggereLeggere”” il termometroil termometro
•• Consultare il calendario, un orario dei treni, ...Consultare il calendario, un orario dei treni, ...
•• Comprare in occasione dei saldiComprare in occasione dei saldi
•• Cucinare seguendo una ricetta data e fare le porzioni delCucinare seguendo una ricetta data e fare le porzioni del
cibocibo

SSAPERAPER SSCEGLIERECEGLIERE LELE OOPERAZIONIPERAZIONI ININ SSITUAZIONIITUAZIONI PPROBLEMATICHEROBLEMATICHE
ObiettiviObiettivi
• Tradurre problemi espressi con parole in rap-
presentazioni matematiche, scegliendo le ope-razioni
adatte.
• Individuare situazioni problematiche in ambiti di
esperienza e formulare ipotesi di soluzione.
• Individuare dati e variabili signiﬁcative in un problema.
• Risolvere problemi ricorrendo a procedimenti diversi.

SSAPERAPER SSCEGLIERECEGLIERE LELE OOPERAZIONIPERAZIONI ININ SSITUAZIONIITUAZIONI PPROBLEMATICHEROBLEMATICHE
AttivitàAttività
• Organizzare spese
• Progettare spostamenti
• Organizzare un pasto, una festa, ...
• Saper utilizzare il telefono nelle varie situazioni e reagire
adeguatamente agli imprevisti
• Utilizzare adeguatamente un distributore automatico,
riconoscendo e utilizzando le istruzioni in sequenza
• Utilizzare apparecchi di uso comune (telecomando, video,
lavatrice, ...)
• Usare un PC

SSEGUIRE,EGUIRE, IINDICARE,NDICARE, DDESCRIVEREESCRIVERE PPERCORSIERCORSI
ObiettiviObiettivi
•Effettuare spostamenti lungo percorsi as-
segnati.
•Descrivere percorsi eseguiti da altri.
•Educare alla visione spaziale.

SSEGUIRE,EGUIRE, IINDICARE,NDICARE, DDESCRIVEREESCRIVERE PPERCORSIERCORSI
AttivitàAttività
•Orientarsi nello spazio
•Ottenere e dare informazioni corrette
•Saper aiutare e farsi aiutare per gli
spostamenti
•Saper “giocare” (gimkane, videogiochi, ...)
•Sistemare mobili

Obiettivi matematici di base e attivitàObiettivi matematici di base e attività
che li concretizzano nella vita quotidianache li concretizzano nella vita quotidiana
MMISUREISURE
ObiettiviObiettivi
•Conoscere le principali unità di misura,
saperle usare correttamente
•Scegliere strumenti adeguati per
effettuare misure
•Sistema metrico decimale

MISUREMISURE
AttivitàAttività
• Saper leggere una ricetta di cucina
• Misurare le altezze e il peso dei compagni di classe
• Prendere le opportune misure per realizzare
semplici lavori e attività in classe (rivestimento
dell’armadietto, tende, ...)
• Costruire oggetti (aquiloni, casette per animali, ...)
• Sistemare mobili in classe

FFORME,ORME, FFIGURE EIGURE E LLOROORO PPROPRIETAROPRIETA’’
ObiettiviObiettivi
• Riconoscere negli oggetti i più semplici tipi di
figure geometriche piane e solide.
• Misurare aree e perimetri delle principali figure
piane.
• Studio delle figure del piano e dello spazio a
partire da modelli materiali.
• Lunghezze, aree, volumi, angoli e loro misura.

FFORME,ORME, FFIGURE EIGURE E LLOROORO PPROPRIETAROPRIETA’’
AttivitàAttività
• Saper individuare oggetti sconosciuti, attraverso la de-
scrizione della loro forma.
• Riconoscere l’uso di certi oggetti a partire dalla loro
forma (pentole, stoviglie, attrezzi da lavoro).
• Riconoscere i principali segnali stradali.
• Usare puzzle o giochi di costruzione di ﬁgure (Lego, ...).
• Smontare e rimontare oggetti.
• Arredare una stanza.

LLAVORARE NELAVORARE NEL PPIANOIANO CCARTESIANOARTESIANO
ObiettiviObiettivi
•Individuare posizioni e spostamenti nel
piano, rappresentare situazioni con l’uso
di reticolati a coordinate intere positive.
•Uso del metodo delle coordinate in
situazioni concrete.

LLAVORARE NELAVORARE NEL PPIANOIANO CCARTESIANOARTESIANO
AttivitàAttività
• Fare alcuni giochi comuni (ad es. battaglia nava-
le, tartaruga Logo, ...).
• Saper individuare una strada o un percorso sulle
mappe TuttoCittà.
• Interpretare e utilizzare le cartine.

OOSSERVARE LESSERVARE LE TTRASFORMAZIONI DELRASFORMAZIONI DEL PPIANOIANO
ObiettiviObiettivi
•Individuare simmetrie in oggetti e ﬁgure.
•Ingrandimenti, rimpicciolimenti, riduzioni in
scala.
•Ombre, rappresentazioni prospettiche, foto-
graﬁe, pitture.

OOSSERVARE LESSERVARE LE TTRASFORMAZIONI DELRASFORMAZIONI DEL PPIANOIANO
AttivitàAttività
• Osservare e comprendere le ombre.
• Riconoscere lo schema corporeo (destra/sinistra,
avanti/dietro, ...).
• “Guardare” con interesse il mondo dell’arte.
• Ricalcare ﬁgure (anche con tecniche tridimensionali).
• Utilizzare lo specchio e riconoscere le taglie dei vestiti.
• Saper usare una fotocopiatrice, una macchina foto-
graﬁca, ...

Se l’insegnante imposterà il suo lavoro
con la convinzione che la conquista di
abilità matematiche è alla base di
molte competenze di autonomia,
una valutazione delle competenze di
autonomia degli alunni servirà a
valutare le abilità matematiche,
coinvolgendo l’alunno stesso.

In tal modo per l’alunno la
valutazione è un’occasione di
autovalutazioneautovalutazione, di scoperta
su se stesso e quindi di
crescita personale.

Quindi la valutazione dovrebbe essere fatta
una volta in presenza delle migliori
condizioni di adattamento, un’altra senza
appoggi ed accorgimenti particolari: così
l’alunno sarà aiutato a comprendere il
suo rendimento con i supporti adeguati
o senza di essi.

Naturalmente l’autovalutazione è
raggiungibile se gli obiettiviobiettivi sono
dichiarati, condivisi ed anche
oggettivamente riferibili a situa-
zioni di comune e agevole lettura.

L’insegnante risulterà avvantaggiato in tale
valutazione se la progettazione delleprogettazione delle
attivitàattività sarà effettuata, evidenziando in uno
schema di osservazione, le singole
competenze matematiche che possono
essere chiamate in causa da diverse
proposte operative: potrà così leggere al
termine della valutazione le abilità
possedute dall’alunno.

LL’’autonomia personaleautonomia personale è una con-è una con-
quista per ogni discente, ed i van-quista per ogni discente, ed i van-
taggi delltaggi dell’’integrazione aiutano an-integrazione aiutano an-
che (e soprattutto) lche (e soprattutto) l’’apprendimen-apprendimen-
to della matematica.to della matematica.

LL’’organizzazione per ridurre gli handicaporganizzazione per ridurre gli handicap
Apprendere:Apprendere:
superare i propri limiti organizzandosi insiemesuperare i propri limiti organizzandosi insieme
Per circa 10.000 anniPer circa 10.000 anni ll’’Homo SapiensHomo Sapiens
e le l’’Uomo diUomo di NeanderthalNeanderthal hannohanno
convissuto: poiconvissuto: poi questquest’’ultimoultimo si èsi è
estinto, mentre dal primo siamoestinto, mentre dal primo siamo
derivati noi.derivati noi.

Apprendere:Apprendere:
superare i propri limiti organizzandosi insiemesuperare i propri limiti organizzandosi insieme
CosCos’è’è successo?successo?
La semplice forza bruta dellLa semplice forza bruta dell’’Uomo diUomo di NeanderthalNeanderthal, individualista, individualista
e sicuro dei propri mezzi, è stata soverchiata dalla potenzae sicuro dei propri mezzi, è stata soverchiata dalla potenza
collettiva dellcollettiva dell’’organizzazione sociale dellorganizzazione sociale dell’’Homo Sapiens:Homo Sapiens:
anche oggi assistiamo allaanche oggi assistiamo alla divaricazione tra glidivaricazione tra gli
interessi individualiinteressi individuali (chiari, precisi)(chiari, precisi) e le l’’insiemeinsieme
come struttura organicacome struttura organica, sempre di là da venire e non, sempre di là da venire e non
attualeattuale……

LL’’organizzazione della classeorganizzazione della classe
Una classe scolastica è composta di individui che hannoUna classe scolastica è composta di individui che hanno
ritmi e abilità differentiritmi e abilità differenti (diverse abilità, e non(diverse abilità, e non
solosolo disabilitàdisabilità) ma con limiti (non solo e non tanto quelli) ma con limiti (non solo e non tanto quelli
visibili) con i quali confrontarsi.visibili) con i quali confrontarsi.
Nel processo di apprendimento scolastico questi limitiNel processo di apprendimento scolastico questi limiti
vengono spesso ignorati, lasciando chevengono spesso ignorati, lasciando che ciascunociascuno
risolva da sé i propri problemirisolva da sé i propri problemi..

In una classe, se non cIn una classe, se non c’è’è buonabuona
organizzazioneorganizzazione, gli elementi di, gli elementi di
disorganizzazione emergono quo-disorganizzazione emergono quo-
tidianamente e vengono probabil-tidianamente e vengono probabil-
mente attribuiti ai singoli e nonmente attribuiti ai singoli e non
allall’’insieme.insieme.

Se invece gliSe invece gli elementi organizzativielementi organizzativi vengonovengono
costantemente considerati nel processo dicostantemente considerati nel processo di
apprendimento, è necessario esaminareapprendimento, è necessario esaminare
spazispazi,, tempitempi,, materialimateriali,, ritmiritmi, in modo da, in modo da
personalizzare il percorso dipersonalizzare il percorso di
apprendimentoapprendimento per ciascun componente delper ciascun componente del
gruppo grazie alla capacità organizzativagruppo grazie alla capacità organizzativa
data dal gruppo stesso.data dal gruppo stesso.

Nella classe abbiamo quindi persone che
devono mettere insieme delle risorserisorse
eterogeneeeterogenee provando a farle coesistere in un
gruppo (per quanto possibile) omogeneo: gli
obiettivi saranno comuni proporzionalmente
all’eterogeneità delle situazioni, per arrivare
(attraverso le differenze) ad un quadroquadro
comunecomune delle strategie di apprendimento.
LL’’organizzazione della classe come fattore abilitanteorganizzazione della classe come fattore abilitante

Un insegnante si pone il problema diUn insegnante si pone il problema di
come collegare le strategie dicome collegare le strategie di
apprendimento individuale alla strategiaapprendimento individuale alla strategia
organizzativa collettiva, senza farorganizzativa collettiva, senza far
perdere negli allievi il senso, la voglia eperdere negli allievi il senso, la voglia e
la volontà di conoscere.la volontà di conoscere.
LL’’organizzazione della classe come fattore abilitanteorganizzazione della classe come fattore abilitante

Occorre comunque evitare che il gruppo
venga percepito come ««il gruppo piùil gruppo più
unouno ((il disabileil disabile)»)» ed inoltre che,
quando vi sono casi di difficoltà
comportamentale scolastica, vi sia la
polarizzazione tra i ““buonibuoni”” e i
““cattivicattivi””..
Conoscere scientificamente:Conoscere scientificamente:
ll’’approccio comprensivoapproccio comprensivo

Ciò ad es. mediante la stimolazionestimolazione basalebasale
(Fröhlich), che consiste nell’organizzare varie
situazioni caratterizzate dall’immersione in
stimolazioni dirette e indirette per scoprire
quelle che meglio attivano i processi di
assunzione di comportamenti adattivi e
comunicativi, facendo uso di materiali (semi,
stoffe, carta) messi a contatto (tattile, acustico,
olfattivo) con il corpo.

Questa possibilità può essere presentata sotto forma di
esperienza emotivaesperienza emotiva, con un’attenzione ai particolari
(i tempi di benessere/malessere, l’organizzazione
degli sguardi, le possibilità di espressione) legati ad
un aspetto organizzativo costruito insieme.
Vi è la possibilità di esaminare e di scegliere le proposte
da fare, evitando di contrapporreevitando di contrapporre quelle per la
persona in situazione di handicap e quelle per I
normali, tentando di avere una proposta per tutti,
perchè articolata su bisogni e obiettivi plurimi.

L’approccio comprensivoapproccio comprensivo, che supera e integra
l’approccio naturalista o positivista (da positum =
oggetto naturale), contiene elementi di comprensione
intuitiva, collegati ed educati a collegarsi a uno
sviluppo cognitivo; esso critica come limitante
l’immagine meccanica dell’attività psichica di un
individuo tipica dell’Europa dei secoli scorsi, in cui la
mente era paragonata al funzionamento di un
orologio, poi ad un impianto elettrico e quindi ad un
“cervello elettronico”.

I limitilimiti di queste immagini sono evidenti; gli
studi sulle situazioni traumatiche
permettono di capire che non si tratta di
ammaccature di lamiere o di macchinari, in
cui se un pezzo si rompe rimane rotto fino
all’eventuale sostituzione: la nostra
organizzazione psichica, mentale e
umana ha altre caratteristiche.

I numeri possono aiutare a trovare un senso, maI numeri possono aiutare a trovare un senso, ma
possono anche rendere insensata la realtà.possono anche rendere insensata la realtà.
E questo vale anche e soprattutto per chi è
in difficoltà (difficoltà che può semplice-
mente consistere nell’attribuire un senso
rigido e pecostituito alle operazioni ma-
tematiche).
I numeri per organizzareI numeri per organizzare

Per conoscere occorre avere delle
procedure di padronanza per
non sentirsi aggrediti e assediati
dalle novità.

I numeri possono essere uno strumento per
la ricerca di senso: ciò sembra ancora più
chiaro quando i numeri adatti a distinguere,
ordinare e a organizzare un contesto
vengono confusi, tanto da far perdere il
senso.

La disumanizzazione riduce
ogni individuo a un numero,
negando ogni elemento di
identità.

Ma poiché i numeri non sono tutti uguali,
proprio i numeri possono consentire la
strutturazione di un processo cogni-
tivo e quindi la ricerca di padronanza del
contesto.

Tra gli studiosi di scienze dell’educazione vi è la
preoccupazione di stabilire quale rapporto
debba intercorrere, e se debba esservi rapporto,
fra gli aspetti metodologici e l’apprendimento
di contenuti: dall’esperienza si può dedurre che
tale rapporto è molto stretto.

L’aspetto di «gestione mentale» (ovvero
metodologico) è fondamentale: i numeri,
le misurazioni, la “contabilità”
contribuiscono al processo cognitivo
proprio perchè c’è una procedura
metodologica.

Più un individuo è in difficoltà, o in situazione di
handicap, più corre il rischio di essere vittima di un
pregiudizio diffuso: che i suoi apprendimenti debbano
essere elementari, dominati da effetti pratici e da una certa
frantumazione in segmenti brevi, la cui composizione è nella
padronanza di un insegnante, e non si può quindi pretendere
da e in un alunno, per di più in difficoltà.
Ma questo rischio aggrava le difficoltà.

La ricerca di senso, invece, può diminuire le difficoltà
stesse; o meglio, può diminuire particolari difficoltà,
collegate ai processi di conoscenza, può aumentare
l’impegno di insegnamento/apprendimento.
E se tale aumento è vissuto come una difficoltà,
allora si può dire che queste non solo non calano,
ma addirittura aumentano!

E’ illusorio ritenere che il successo nell’apprendimen-
to, per un individuo con handicap, sia cancellare il
deficit.
E’ invece possibile, e comprensibile, che procedendo
negli apprendimenti (e quindi avendo qualche suc-
cesso) gli impegni si rinnovino ed aumentino.

Il ruolo dellIl ruolo dell’’errore nellerrore nell’’apprendimento dellaapprendimento della
matematicamatematica
Gli interventi in presenza di alunni con
svantaggio sociale dovrebbero avere
l’obiettivo di fornire loro un
apprendimento della matematica di
base completamente all’interno di una
didatticadidattica ““normalenormale””, cioè rivolta a tutta
la classe.

Ne risulta una costruzione del
sapere matematico frutto del lavoro
collettivo della classe, nonché del
lavoro individuale.
In tali attività, il ruolo giocato da
errori e misconcetti è essenziale.

E’ ben nota l’importanza degli erroriimportanza degli errori nello
sviluppo scientifico, in particolare in
matematica.
E’ proprio scoprendo errori fatti in precedenza che si sono
definiti nuovi concetti matematici o che si sono scoperte
nuove aree di ricerca: ciò può sembrare paradossale,
essendo la matematica agli antipodi dell’imprecisione e
dell’errore!

Il ruolo dellruolo dell’’erroreerrore è importante ed
altrettanto paradossale nell’apprendimen-
to della matematica: infatti, per apprende-
re in profondità alcuni concetti appare ne-
cessario commettere degli errori, “sbatte-
re il naso” contro certe difficoltà e non
nasconderle.

Nel ““triangolo didatticotriangolo didattico”” sapere ufficiale - alunno -
insegnante, l’insegnante è un ingegnere didattico che
progetta e prepara situazioni di apprendimento che
contestualizzano i problemi matematici in forme
opportune per gli alunni, stimolati e sostenuti in
un’attività complessa in cui il problem solvingproblem solving si
intreccia sistematicamente con il problem posingproblem posing: con
l’aiuto dell’insegnante, essi giungono così al
superamento e alla soluzione della situazione di
partenza.

Seguirà una fase di istituzionalizzazioneistituzionalizzazione del
sapere appena costruito, che porterà gli
alunni – grazie all’intervento dell’insegnante
– a disporre di un nuovo pezzo di sapere
matematico opportunamente organizzato
all’interno delle loro conoscenze e
decontestualizzato dalla particolare
situazione di apprendimento utilizzata.

L’ipotesi di base è fortemente costruttivistica: sisi
apprende solo ciò che si costruisce dentroapprende solo ciò che si costruisce dentro
di sédi sé.
Cioè, è l’alunno in prima persona che deve
“fare” per apprendere, e non necessariamente
fare qualcosa di concreto: l’attività può (e
dovrebbe) essere speculativa e indotta dalla
situazione didattica preparata dall’insegnante.

Il processo attivo di
apprendimento diventa in tal
modo essenzialmente
dell’alunno, che può
elaborare le sue strade
risolutive.

Ma se l’alunno sbaglia, seguendo ad es.
una strategia errata, come precedere?
Si corrono allora due rischi:
•• ll’’alunno crede di avere risolto il problema ealunno crede di avere risolto il problema e
vive felice con il suo errore (e convinto divive felice con il suo errore (e convinto di
avere ragione);avere ragione);
•• ll’’alunno si blocca dopo un poalunno si blocca dopo un po’’ e sie si
smarrisce.smarrisce.

In entrambi i casi è forte la tentazionetentazione (specie con
alunni in difficoltà o handicap) di ricorrere ad una
pedagogia direttiva ed esplicativa: “Hai sbagliato,
dovevi fare così”, oppure suggerendo la soluzione (o
parte di essa); così si rinuncia all’ipotesi di far
costruire all’alunno il proprio sapere, e ciò è
comunque sbagliato, anche con alunni
normodotati.

Infatti, ll’’apprendimentoapprendimento direttivodirettivo di procedure
risolutive e algoritmi porta inesorabilmente
all’incapacità di usarle al momento del bisogno in
situazioni qualsiasi, a meno che ciò non sia
esplicitamente richiesto.
Una situazione didattica è efficace se contiene in sé
gli elementi che rendono possibile all’alunno la
validazionevalidazione dei risultati ottenuti: è cioè la
situazione stessa a contenere in sé gli elementi
autocorrettivi.

E’ nota la grande difficoltà che hanno gli alunni con
rendimento medio-basso a usare e produrre
spontaneamente strategie moltiplicativestrategie moltiplicative in
contesti diversi: questo limite li costringe a
pensare in termini di differenze tra grandezze e
molto meno in termini di rapporto tra queste.
Per superare tali difficoltà, sembrano efficaci
strumenti di rappresentazione, soprattutto grafica,
come ad es. il piano cartesiano.

Vediamo un esempio concreto, relativo alla seconda media. Si fornisce alla classe, divisa in
gruppi di 3-5 alunni, una copia del tangram piccolo (di 12 cm di lato); dopo aver fatto la
conoscenza geometrica delle figure ivi contenute, si chiede loro di costruire e ritagliare un
tangram più grande, di 15 cm di lato (ciascun alunno nel gruppo opera su una delle figure).
Gli alunni con rendimento medio-basso tendono a seguire una strategia “additiva” del tipo
“aggiungi 3 cm”. Quando fanno combaciare i pezzi si accorgono che qualcosa non va, e
l’intervento degli alunni con rendimento medio-alto dà luogo ad un fenomeno di
socializzazione del saperesocializzazione del sapere.

Gli ostacoliGli ostacoli
Vi sono errori talmente pervasivi ed universali
che sembrano essere radicati nel profondo
delle discipline e delle conoscenze degli
alunni: parleremo allora di OSTACOLIOSTACOLI, alcuni
dei quali derivanti anche da interventi didattici
incompleti o non opportuni.

Vi sono invece ostacoli che non dipendono dalla didattica
seguita dagli alunni, ma che producono errori sistematici;
fra essi ricordiamo:
• il significato delle operazionisignificato delle operazioni (difficoltà delle strutture
moltiplicative rispetto a quelle additive, della
proporzionalità inversa rispetto a quella diretta);
• i numeri decimalinumeri decimali (moltiplicazioni con numeri minori di
uno);
• le frazionifrazioni;
• il calcolo letteralecalcolo letterale.

Molti studenti apprendono a memoria i meccanismi
del calcolo senza comprenderli; alcuni sono già
bloccati dalle prime formule dell’aritmetica, altri si
abituano ad un faticoso lavoro di traduzione dal
proprio linguaggio interiore al linguaggio formale
della matematica.
La cosa riesce (in parte) con gli interi, ma “fa acqua” con i
decimali, per avere un tracollo con le frazioni e una totale
disfatta con il calcolo letterale.

Il problema deriva dalla separazione crescente e
totale tra i segnisegni usati in matematica e i loro
significatisignificati.
Ciò porta a rigidità incredibili e a una mancanza di flessibilità di
pensiero: gli alunni separano nettamente le proprie capacità di
ragionamento dai formalismi e dai meccanismi, che invece
sarebbero governati da misteriose regole dettate da qualche
crudele divinità che si proporrebbe sistematicamente di non
fare capire nulla!

Una didattica in cui le formule vengano
apprese come strumenti di pensiero e non
come puri segni deve essere l’obiettivo
fondamentale dell’insegnamento della
matematica a tutti i livelli.
Sono perciò controproducenti tutti quei metodi che tendono
a separare i due momenti, che corrono dietro ai formalismi
troppo precocemente oppure che presentano il sapere
come qualcosa di imbalsamato e rigido, soprattutto con gli
alunni con rendimento medio-basso.

Gli ostacoli: esempiGli ostacoli: esempi
Problema 1Problema 1:: Alberto ha un certo numero di
figurine. Durante il gioco ne perde 35 e ne
vince 20. Dopo aver giocato, ha più o meno
figurine?
a)Ne ha più di prima, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.
[Sì] [No] Perché?
b)Ne ha meno di prima, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.
[Si] [No] Perché?

Alcune risposte date da alunni:
1.Ne ha più di prima, perché prima ne aveva 35, poi ne
perde 35 e poi ne vince 20 e in tutto ha 15 figurine di
differenza.
2.Ne ha meno di prima, perché se fai il numero di figurine
meno quelle che ha perso più 20, ti viene un numero più
piccolo di 15 del numero totale di figurine che aveva.

Problema 2Problema 2:: Alberto ha 100 figurine. Durante il gioco ne
perde 35 e ne vince 20. Dopo aver giocato, ha più o meno
di 100 figurine?
a)Ne ha più di 100, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.
[Sì] [No] Perché?
b)Ne ha meno di 100, perché la differenza tra 35 e 20 è 15.
[Si] [No] Perché?

Alcune risposte date da alunni:
1.Ne ha meno di prima, perché se lui parte già con 100 figurine
nel gioco e ne perde 35, per arrivare a 100 ne mancano.
2.Ne ha meno di prima, perché la differenza tra le figurine perse
e quelle vinte bisogna sottrarla alle figurine complessive e così
verrà un numero minore di 100, perché ne ha perse di più di
quelle guadagnate.

Le difficoltà del primo problema (manca un
dato e, in qualche modo, intervengono i
negativi) possono essere superate in due
modi ben diversi: uno più aperto e pre-
algebrico, uno più chiuso e puramente
aritmetico; il secondo è tipico degli alunni più
“scolasticizzati”.

La mentalitàmentalità pre-algebricapre-algebrica è un atteggiamento
che occorre sviluppare negli alunni proponendo
loro un diverso stile di apprendimento della
matematica e professando un diverso stile di
insegnamento della medesima.
Vanno sfatati alcuni pregiudizi: non è vero che
“solo i più bravi ce la fanno”; spesso sono le difficoltà
che stimolano, purchè gli alunni non si cimentino
subito con formalismi bloccanti.

L’aritmetica si presta ad
anticipare il pensieropensiero
algebricoalgebrico; ma uno degli
ostacoli che maggiormante
anticipano l’algebra è quello
delle frazioni.

Le frazioniLe frazioni
Le frazioni sono il primo grossoprimo grosso
scoglioscoglio nell’apprendimento della
matematica nella scuola dell’obbligo,
pari a quello rappresentato dal
linguaggio algebrico nel biennio delle
superiori.

In esse si manifestano veri e propri ostacoliostacoli, superabili
solo in parte:
1. le frazioni hanno molteplici significati, ciascuno coinvolgente un
campo diverso di esperienza e/o un settore diverso della matematica;
2. le frazioni hanno modelli diversi di rappresentazione, ciascuno
con pregi e difetti, alcuni più concreti, altri più simbolici (dalle torte ai
simboli m/nm/n);
3. gli algoritmi di calcolo relativi alle frazioni non incorporano sempre
in modo trasparente i diversi significati di queste e fanno riferimento
alle loro forme di rappresentazione altamente simboliche.

Mentre i primi due aspetti sono riscontrabili
anche nell’usuale aritmetica dei numeri
naturali, il terzo rappresenta il salto di qualità
maggiore, in quanto richiede in forma molto
più accentuata manipolazioni formalimanipolazioni formali
relativamente lunghe sganciate da ogni
immediato significato (e ciò avvicina
l’aritmetica delle frazioni all’algebra).

Le frazioni hanno il proprio significato, sia di
nuovi numeri che possono essere sommati,
sottratti, moltiplicati, confrontati, etc. (ad es.
1/2 + 1/4 = 3/41/2 + 1/4 = 3/4;; 1/2 > 1/31/2 > 1/3), sia di
rappresentanti di classi di equivalenza (ad es.
1/21/2 5/105/10).

Il significato di frazione come nuovo numero si basa sul
concetto di parte rispetto al tuttoparte rispetto al tutto (ma ciò non spiega le
frazioni maggiori di 11).
Si richiede ben altra astrazioneastrazione per cogliere il significato della
frazione come elemento di una classe di equivalenza (1/21/2
può essere ritenuto maggiore di 5/105/10).
Ancora più astratto è il significato degli elementi della
struttura quozientestruttura quoziente, cioè il fatto che 2/32/3 è soluzione
dell’equazione 3x = 23x = 2.

I razionali sono anche rappresentabili
come numeri decimali (periodici); il
passaggio ai decimali è semplice ma
sottile (1/31/3 equivale ad 1 : 31 : 3) e
corrisponde ad una precisa operatività
sulla calcolatrice.

Legato al significato delle frazioni come decimali è
quello dei razionali (e quindi delle frazioni) come
misuremisure e la loro rappresentabilità sulla rettaretta
numericanumerica.
Questo è un modello molto importante, in quanto
lega gli aspetti decimali a quelli geometrici e
permette a volte di superare gli ostacoli implicati
nel significato di frazione come parte di un tutto.
00 1/21/2 111/41/4 1/31/3 5/45/4

Un altro aspetto delle frazioni è la
rappresentazione di rapportirappresentazione di rapporti.
In un fattore di scala (ad es. un cerchio
rimpicciolito di 2/32/3) il significato della frazione
è diverso da quello di parte del tutto (i 2/32/3
della torta-cerchio).

Un ulteriore significato della frazione è quello
della frazione come operatorefrazione come operatore: ad es. 2/32/3
“opera” su un sacchetto di 3030 caramelle
producendone 2020, ovvero (2/3) x 30 = 20(2/3) x 30 = 20;
oppure 2/32/3 opera su un rettangolo di lati 6060
cmcm e 30 cm30 cm producendone uno di lati 40 cm40 cm
e 20 cm20 cm.

Questo significato permette di spiegare con
facilità la moltiplicazione tra frazioni come
“composizione di operazionicomposizione di operazioni”, ad esempio:
(1/3) x (3/4) x 60 = (1/3) x 45 = 15(1/3) x (3/4) x 60 = (1/3) x 45 = 15
ma non spiega – anzi diventa un ostacolo – le
regole per la somma di frazioni, che affondano
nei significati più astratti di frazione.

Il mondo dei rapporti (e poi delle proporzioni), degli
operatori e poi delle tabelle favorisce l’acquisizione di una
mentalità relazionalementalità relazionale, indispensabile per cogliere le
relazioni esistenti tra i dati:
• il costo della pasta al supermercato in funzione del peso
(2 Euro al Kg2 Euro al Kg);
• i Km percorsi da un’auto in funzione del tempo (100 Km100 Km
allall’’oraora).

Si tratta sempre di relazioni lineari (costo = 2 x pesocosto = 2 x peso;
spazio = 100 x tempospazio = 100 x tempo), cioè del tipo y = ky = k··xx
Pertanto, se si considerano i 2/32/3 di un dato, anche l’altro
varia di 2/32/3 (ad es. siccome 6 Kg6 Kg di pasta costano 1212
EuroEuro, 4 Kg4 Kg – i 2/32/3 appunto – costeranno (2/3) x 12 = 8(2/3) x 12 = 8
EuroEuro).
Le frazioni sono lo strumento naturale per “saltare” lungo le
tabelle in cui sono rappresentati i valori di funzioni lineari.

Il maggior rischio (sempre presente e non facilmente
evitabile) con le frazioni è quello di un apprendimentoapprendimento
puramente meccanicopuramente meccanico di segni misteriosi (la linea di
frazione è uno dei misteri principali) e di regole
“magiche” per manipolarli: è un momento in cui la
simbolizzazione rischia di sopraffare i significati.
I criteri da seguire potrebbero essere i seguenti:

1.1. Creare situazioni di apprendimentoCreare situazioni di apprendimento in cui
gli alunni costruiscano il significato vero di
quanto apprendono, tenendo conto che
chiunque tende a tradurre (a volte non
comprendendoli) i concetti in regole operative:
ciò può essere deleterio per le frazioni.

2.2. Esplicitare e discutere con gli alunni i modi diEsplicitare e discutere con gli alunni i modi di
rappresentazionerappresentazione, tenendo conto che rappresenta-
re non vuol dire disegnare la realtà, ma tradurla se-
condo opportuni codici che, nel caso della matema-
tica, solo altamente ideografici.
L’ideografia delle frazioni può indurre in errori desunti da analogie
scorrette con l’aritmetica (ad es. 1/2 + 1/3 = 1/51/2 + 1/3 = 1/5).
Può essere utile un confronto continuo tra i modi con cui sono scritte
e lette le diverse rappresentazioni (ad es. 3/43/4 e 0,750,75 sulla
calcolatrice, sulla retta dei numeri, etc.).

3. Tenere presenti le diverse strategie (corrette o meno)
con cui gli alunni affrontano un problema; discuterle
nella classe e discutere i mezzi di rappresentazionediscutere i mezzi di rappresentazione
usatiusati.
Il metodo della socializzazione del sapere è qui essenziale perché
permette di far diventare oggetto didattico il modo in cui si
scrivono le frazioni e gli errori relativi. I metodi direttivi di
correzione non servono perché non pongono all’alunno il
problema nel modo giusto (effettuo la correzione per far piacere
all’insegnante, che vuole così per motivi misteriosi...).

Le frazioni: un esempioLe frazioni: un esempio
Questo esempio risale al 1700 a.C. ed è preso
dal papiro Rhind (un testo contenente
un’ottantina di problemi, usato per istruire i
funzionari pubblici del faraone):
«DividereDividere 88 pani trapani tra 1010 personepersone».
Sono possibili in una classe strategie diverse di
soluzione.

La prima strategia consiste nei seguenti passi:
a)dare 1/21/2 pane a ciascuno (88 pani == 16/216/2; 10/210/2 a 1010 persone;
restano 6/26/2 == 12/412/4);
b)dare poi 1/41/4 di pane a ciascuno (restano 2/42/4 == 1/21/2 pane);
c)suddividere il 1/21/2 pane in 1010 parti e quindi dare 1/201/20 a ciascuno.
In conclusione, a ciascuno tocca 1/2 + 1/4 + 1/201/2 + 1/4 + 1/20 == 8/108/10 di pane.
a)a)
b)b)
c)c)
«DividereDividere 88 pani trapani tra 1010 personepersone»

La seconda strategia consiste nel dividere
ciascuno degli 88 pani in 1010 parti, contare le
parti (8080) e suddividerle tra le 1010 persone: a
ciascuno toccano quindi 88 parti, cioè 8/108/10 di
pane.

A volte si ottiene (da alunni “bravi”)
anche la seguente strategia.
Si risolve il problema: “Dividi 55 pani
fra 44 persone”; ciascuno ottiene 4/54/5 di
pane; il risultato vale anche per il
problema di partenza.

Supponiamo che in una classe si siano veriﬁcate
le tre strategie; a questo punto l’insegnante
deve condurre la classe, guidando la
discussione, a decidere se tutte e tre siano
corrette e perché.
Nella discussione bisogna anche coinvolgere
coloro che hanno prodotto strategie e risultati
scorretti e, utilizzando la dinamica della
socializzazione del sapere, portarli a
convincersi che hanno sbagliato.

L’obiettivo è di fare costruire agli alunni le
manipolazioni necessarie per veriﬁcare che:
1/2 + 1/4 + 1/20 = 8/10 = 4/51/2 + 1/4 + 1/20 = 8/10 = 4/5
In tal modo la dialettica tra strategie (corrette e
scorrette) costruite dagli alunni, modelli di
rappresentazione, scrittura simbolica e regole
(per la somma di frazioni) da istituzionalizzare
viene sfruttata al meglio.

Commenti e conclusioniCommenti e conclusioni
A volte gli alunni che non sanno usare bene la
lingua possono essere messi in grado di
sviluppare potenti forme di ragionamento
alternativo, ad es. usando e affinando il
“pensiero spazialepensiero spaziale” (anche come supporto
all’aritmetica), specialmente facendo uso del
Logo (un “micromondo” che stimola la
produzione di ragionamenti geometrici
complessi).

Commenti e conclusioniCommenti e conclusioni
E’ anche utile la rappresentazione grafica
dei dati (piano cartesiano) nella risoluzione
di problemi, con situazioni in cui ad es. la
strategia aritmetica è bloccata e solo
quella geometrica è possibile.
Vi sono però alcuni aspetti significativi da
considerare.

Le difficoltà nella didattica della matematica

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