Comenius 18 04

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Comenius 18 04

  1. 1. Il ruolo dei problemi perl’acquisizione del pensiero proporzionale Daniela Medici, M. Gabriella Rinaldi 18 aprile 2012
  2. 2. Abbiamo scelto due argomenti• Il pensiero proporzionale• Introduzione al linguaggio algebricoPerché proprio questi?Sono- verticali- fondamentali anche per altre discipline- fanno parte del bagaglio di competenze indispensabili nella vitaMa…
  3. 3. Pensiero proporzionale
  4. 4. I - 17 . Nonna Pina l’anno scorso con 21 Kg di prugne ha preparato 7 Kg di marmellata. Quest’anno vuole fare 10 Kg di marmellata.b. Quanti chili di prugne le serviranno?Risposta: ………………………… Kgb. Scrivi come hai fatto per trovare la risposta.…………………………………………………………………………………………………… corretta 45,2% errata 40,8% nulla 13,9%
  5. 5. Linguaggio algebrico
  6. 6. III - 2010 - 22. Scrivi la formula che esprime il perimetro p del triangolo isoscele in figura in funzione di a. p = ……………………… Corretta 62,2% Errata 22,9 %
  7. 7. Le difficoltà emerse durano nel tempo … come mostrano le risposte al questionario fornite dalle matricole di MATEMATICA, FISICA, INFORMATICA (Siena 46 studenti) E INFORMATICA (Parma 32 studenti) 7
  8. 8. Corretti %1a. - 2x = 0 98%1b. (3 - 5x)(x+2) = 0 73%2. Scegliere una delle soluzioni di una data 65%equazione3. Sapendo che a è soluzione della 36%equazione: 2(x2- 3) + (x – 1)- x3 = 0Puoi dire se l’espressione 2(a2- 3) + (a – 1)- a3è positiva, negativa, nulla?4. Risolvere un’equazione rispetto ad x e 84%rispetto ad a 78 elaborati
  9. 9. Che cosa non ha funzionato nell’apprendimento?
  10. 10. ALCUNE IPOTESI• Scarsità di motivazione e di interesse• Prevalenza dei meccanicismi• Interferenza di misconcezioni pregresse
  11. 11. Scarsità di motivazione e di interesse Negli attuali Obiettivi generali del processo formativo si legge:“Scuola della motivazione e del significato” motivazione e significato sono condizioni fondamentali di qualsiasi apprendimentoQuale strumento migliore del problemapuò dare motivazione alle conoscenze che vogliamo proporre?
  12. 12. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani distudio personalizzati nella Scuola Primaria: Problemi e attività che siano sempredotate di senso e quindi motivanti per chile svolge
  13. 13. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studio personalizzati nella Scuola Secondaria di 1° grado:...i ragazzi sono (…) molto resistenti agli apprendimenti di cui non comprendono motivazioni e significato, che vogliano sottometterli e non responsabilizzarli.La scuola secondaria di primo grado è impegnata a radicare conoscenze (…) utilizzando le modalità più motivanti e ricche di senso, poiché l’allievo possa esercitarle sia individualmente, sia insieme agli altri, sia dinnanzi agli altri. Motivazione e bisogno di significato sono del resto condizioni fondamentali di qualsiasi apprendimento.
  14. 14. Prevalenza dei meccanicismi Spesso il meccanicismo non viene associato al significato INOLTRE Il consolidamento di formule attraverso l’esercizio ripetuto agisce sulla memoria a breve terminee contribuisce a far nascere un’ immagine non corretta della matematica
  15. 15. Convinzioni sulla materia• In matematica quello che conta è il risultato• In matematica si può anche non capire: basta imparare formule e procedure• In matematica ci vuole tanta memoria• In matematica basta fare tanti esercizi• La matematica è dissociata dalla vita reale Di solito nascono dall’attività didattica e dalla immagine che l’insegnante stessa ha della materia
  16. 16. Convinzioni sulle proprie capacità• Non ho predisposizione per la matematica• Non capisco la matematica Di solito nascono da esperienze fallimentari che l’allievo ha tentato di modificare, ma con esito negativo
  17. 17. Si tratta spesso di convinzioni implicite incui il soggetto non è consapevole, e, perquesto agiscono in modo subdolo e sottile(Zan 1998)portano ansia, paura, insicurezza, …
  18. 18. Alcune misconcezioni pregresse g 1256 = kg«Ma se c’è la marca più grande, perché ilnumero è più piccolo?»
  19. 19. III- 9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo diametro d (in cm) 1 2secondo la seguente formula: p= d 15Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo diametro □ V 61,5% □ F 34,3 %b. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro □ V 83,9 % □ F 12,6 %c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15 □ V 27,7 % □ F 67,6 %
  20. 20. Misconcezioni pregresse• Utilizzare il segno “ = ” prevalentemente come comando di esecuzione di operazionefa da ostacolo all’interpretazione dell’uguaglianza come relazione e di conseguenza alla lettura da destra a sinistra,senza riconoscere la proprietà simmetrica
  21. 21. Come costruire i concetti matematici?i concetti matematici presentano due aspetti• concetto – strumento• concetto – oggettodal punto di vista temporale in classe si sovverte la sequenza storica
  22. 22. Processo storico e Processo didattico Proporre problemi o attività, che utilizzino il concetto che si vuole “costruire” come STRUMENTO necessario• In seguito istituzionalizzare: definire enunciare le proprietà
  23. 23. Qualche proposta concreta• Introdurre i concetti a partire da buoni problemi, interessanti e coinvolgenti• Proporre buoni problemi che mettano in gioco argomenti non trattati nell’immediato• Meno problemi, più discussione• Abituarli ad argomentare, anche per iscritto e a difendere le proprie posizioni con i compagni e ad ascoltare le idee degli altri• Non imporre soluzioni preconfezionate che li abituino a seguire acriticamente regole e ricette
  24. 24. Pensiero proporzionale
  25. 25. Necessità di appropriarsi del pensiero proporzionale“Se tu ben discorri in tutte l’arti, tu troverai la proportione di tutte esser madre et regina: et senza lei niuna potesse esercitare” Fra Luca Bartolomeo de Pacioli Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità 1494
  26. 26. Nella vita “reale” lo strumento “proporzioni” è utile?• Ricette• Statistiche• Medicinali• Sconti• Lettura di carte geografiche ...• Frazioni• Percentuali• Probabilità• Misure• …
  27. 27. Qualche esempio• Su mozzarelle di marche diverse:sconto del 30% sconto del 50% con quale spendo meno?E’ importante conoscere il prezzo iniziale!• Sconto del 30% e un ulteriore sconto del 20%• E’ più o meno conveniente di uno sconto del 50%?• Aumenta del 50%... Raddoppia?E’ importante conoscere il prezzo iniziale?
  28. 28. Prova invalsi 2008 C5. In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo prezzo è aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi, il costo del maglione si è ribassato del 10% rispetto al prezzo natalizio. Quale affermazione è vera? A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre. B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di ottobre dell’8%. C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di ottobre del 10%. D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10%. Risposte corrette 15% (B)
  29. 29. Prova invalsi 2008 C8. Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al Totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera somma e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli. Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli? A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/6 Risposte corrette 35% (D)
  30. 30. Prova invalsi 2008 C14. Da una lamiera a forma rettangolare viene eliminata la parte non quadrettata come in figura. Quale percentuale della superficie della lamiera è rimasta? A. 60% B. 70% C. 75% D. 80% Risposte corrette 46% (C) E’ forse andato meglio perché è più “insolito”?
  31. 31. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005) in Atti CERME 6 (2009)Un gruppo di 5 musicisti suona un pezzo in 10 minuti.Un altro gruppo di 35 musicisti suonerà lo stesso pezzo domani.Quanto impiegherà? Perché?Risposte corrette:12-13 anni 41%15-16 anni 68%
  32. 32. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005) in Atti CERME 6 (2009)Vittorio e Anna stanno correndo sulla pista di atletica. Corrono con la stessa velocità, ma Anna parte dopo.Quando Anna ha fatto 5 giri, Vittorio ne ha fatti 15.Quando Anna ha fatto 30 giri, quanti giri avrà fatto Vittorio?Spiegate la vostra risposta.Risposte corrette:12-13 anni 57%15-16 anni 46%
  33. 33. Effetto “Einstellung”Se si chiede di risolvere numerosi problemi che richiedono l’applicazione della stessa procedura, (come accade di solito alla fine di una sequenza di insegnamento),e si propone poi un problema per il quale la procedura stessa è inadeguata,si potrà osservare il permanere di tale procedura, applicata in modo acritico.
  34. 34. un quesito sul quale, di solito, sono tutti d’accordo:Aggiungendo 3 cm ad entrambe le misure dei lati di un rettangolo, si ottiene un rettangolo simile?
  35. 35. Cosa non ha funzionato?Difficoltà legate all’acquisizione del pensiero proporzionale persistenti anche in età adultaDifficoltà nel riconoscere una situazione di proporzionalità
  36. 36. Perché il pensiero proporzionale è “difficile”? Si tratta di superare la “barriera” delcampo concettuale delle strutture additive per entrare nel campo concettuale delle strutture moltiplicative
  37. 37. L’addizione 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3+5=8Addizione, sottrazione, traslazioni, spostamentisu una linea
  38. 38. La moltiplicazioneViene presentata come addizione ripetuta, visualizzando sulla linea dei numeri:1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_15 3 x 5 = 15 3 “salti” da 5 3 volte 5 5 preso 3 volte … o 5 volte 3 ?
  39. 39. La moltiplicazione 3 x 5 = 15 5 “salti” da 3 o 3 “salti” da 5?I due numeri non hanno lo stesso “statuto”Salto dimensionale: la rappresentazione piùcorretta della moltiplicazione è nel piano ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
  40. 40. La moltiplicazioneLa rappresentazione più corretta dellamoltiplicazione è nel piano: si “vede” facilmenteanche la proprietà commutativa: ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
  41. 41. La moltiplicazionee la proprietà distributiva della moltiplicazione: ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 5x3 + 2x3 = (5 + 2 ) x 3 = 7 x 3
  42. 42. Proporzioni e “pensiero proporzionale”• Quando si insegnano le proporzioni?• Quando si costruisce (o si può cominciare a costruire) il pensiero proporzionale?• Strumento matematico• Oggetto matematico
  43. 43. • La proporzionalità nell’allievo è percepita in modo intuitivo molto tempo prima del suo studio in classe (generalmente nella seconda classe di scuola secondaria di primo grado) ed è in rapporto stretto con la sua progressione nel campo concettuale della moltiplicazione. f. Jaquet
  44. 44. Dai programmi della scuola media (1979)L’argomento “proporzioni” non deve essere appesantito imponendo come nuove regole che sono implicite nelle proprietà delle operazioni aritmetiche,ma deve essere finalizzato alla scoperta delle leggi di proporzionalità(y = kx ; xy = k)
  45. 45. Una didattica innovativa:il modello socio-costruttivista M.Henry Nuovo equilibrioIncontro con una nuova situazione Equilibrio precedente Fase di disequilibrio
  46. 46. La “situazione problema”La situazione-problema deve far apparire le conoscenze che si vuole mobilizzare come necessarie ed efficacilo strumento più efficace o il più adatto alla risoluzione del problema.In tal modo la conoscenza trova il suo senso.
  47. 47. Insegnamento tradizionale: il trasmissivismo M.HenryINSEGNANTE: SORGENTE trasmissionetesta decodifica testaALLIEVO: RECETTORE
  48. 48. problemi “buoni” in un’ottica sociocostruttivista (in qualunque livello scolare) • possono essere affrontati autonomamente • suscitano comportamenti di ricerca: sono “interessanti” e (di solito) il primo tentativo non conduce immediatamente alla soluzione • sono autovalidanti: gli allievi sono in grado di controllare autonomamente la validità delle soluzioni prodotte e di prendere coscienza della insufficienza delle conoscenze in possesso inoltre • sono situazioni concrete nelle quali l’allievo è portato ad “agire”
  49. 49. Il puzzle 6 cm 5 cm 4 cm m A B 5cIl puzzle rappresentatoin figura va ingrandito: 8 cmil segmento che misura m4 cm deve misurarne 6 5csul puzzle ingrandito. 7 cmIngrandite ciascuno C D 3 cmdei quattro pezzi ecostruite così il nuovogrande puzzle. 3 cm 8 cm
  50. 50. “ingrandire”dal dizionario Baruk, Edizione italiana a cura di Francesco Speranza e Lucia Grugnetti, pag. 276, alla voceINGRANDIMENTO: s.m. XVII sec., da “grande”a. I (Italiano) Riproduzione di un oggetto in dimensioni maggiori conservando i rapporti. La parola è particolarmente usata in fotografia.b. M (Matematica) La parola ingrandimento è entrata di recente, con rimpicciolimento o riduzione, nel vocabolario pedagogico-matematico. Cfr. riduzione e ingrandimento (alle pagine 520-522).
  51. 51. Il puzzleAnalisi delle difficoltàSi tratta di superare la concezione“additiva”, riconoscendo un problema diproporzionalità.La strategia del ritaglio permette uncontrollo immediato della soluzione.
  52. 52. Il puzzle “ingrandito”
  53. 53. Federica ha voluto ingrandire il disegno : A 2 F 6 8 2 D Ee ha ottenuto questo: ? B 2 A F 4 C 9 ? ? D E ? B ? CSenza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda figura
  54. 54. Mauro ha voluto imitare Federica e ha fatto questi due disegni: 6 2 4 6 2 2 4Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda figuraUtilizzati sia come introduzione che come “diagnosi” alle superiori

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