Caterina Scarpaci all'IC Como Lago: formazione sul problem solving e la didattica cooperativa

1. Caterina Scarpaci
Centro MatNet
Università di Bergamo
Como 27 dicembre 2015
Affrontare le difficoltà d’apprendimentoAffrontare le difficoltà d’apprendimento
(della matematica):(della matematica):
il problem solving e la didattica laboratorialeil problem solving e la didattica laboratoriale
in modalità cooperativain modalità cooperativa
Corso di formazione per insegnanti di matematica
Istituto Comprensivo Leopardi di Como

2. Il triangolo rettangolo ABC ha il
cateto minore, AC, lungo 30 cm,
e l’ipotenusa, AB, lunga 50 cm.
Trova la lunghezza del lato BC.
Domani devo andare in treno a
Bologna e ho pochissimi soldi per
prendere il biglietto.
Problemi matematiciProblemi matematici
…… quale è un problemaquale è un problema matematico?matematico? Perché?Perché?2

3. • Il problemaproblema come punto di
inizio
• CollaborareCollaborare per creare
strategie
• Discutere per trasformare letrasformare le
strategie in concettistrategie in concetti
• CoinvolgereCoinvolgere perché l’apporto
di ognuno è fondamentale
• La matematica come
esplorazioneesplorazione, scopertascoperta,
invenzioneinvenzione, condivisionecondivisione
Costruire il sapere matematicoCostruire il sapere matematico

4. • Non conosciamo il modo diNon conosciamo il modo di
risolverlorisolverlo
• Sentiamo una mancanza dimancanza di
informazioniinformazioni
• Speriamo di trovare unauna soluzionesoluzione,
non la soluzione
• Cerchiamo confrontoconfronto
• Avvertiamo il bisogno di idee nuoveidee nuove
• Siamo disposti a metterci in giocometterci in gioco e
darci da faredarci da fare
Quando «abbiamo un problema»…Quando «abbiamo un problema»…
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5. • … soggettivo
• … mancante di qualche informazione
• … affrontabile in tanti modi diversi
• … privo di una tecnica risolutiva nota
• … privo di un’unica soluzione giusta
• ... insuperabile senza mettersi in gioco
Un problema «aperto» è…Un problema «aperto» è…
Ma comunque il più
possibile:
•chiaro
•semplice
•stimolante
•vicino al destinatario

6. Un esercizio di traduzioneUn esercizio di traduzione
La mamma dà a Giulia 30 euro per fare la spesa. Giulia, prima di arrivare al
supermercato passa dalla nonna che le dà altri 15 euro.
Giulia va a fare la spesa e compra 2 kg di patate e 1 kg di pane (le patate
costano 5 euro per ogni kg e il pane costa 2 euro per ogni kg). Tornata a
casa, Giulia divide a metà con la madre i soldi rimasti, che le dice di tenere
il resto. Quanto rimane a Giulia dopo la spesa?
30+15= 45
45-2x5 1x2- = 33
33÷2=16 R=1
16+1=17

7. Attività : il problema dei problemi
Un’insegnante vuole proporre ai suoi alunni un problema che li faccia
lavorare su addizione, moltiplicazione e divisione, ma ha una perplessità:
svolgendo gli esercizi del libro, tanti dei suoi studenti hanno imparato a
riconoscere alcune “parole chiave” che permettono loro di individuare le
operazioni da svolgere senza ragionare granché.
Si arrovella, si arrovella, ma non trova una soluzione che la convinca.
Sapreste darle una mano?
Provate a elaborare un problema adatto a ragazzi di una classe quarta di
una scuola primaria, e a darne una versione più “avanzata” per degli
alunni di prima media. Mi raccomando: niente “parole chiave”!
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8. 6° RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998
FRAZIONE DI UN TERRENO
Giuseppe possiede un appezzamento di terreno a forma di quadrato e,
poiché è un po' giocherellone, lo divide con rette passanti per i vertici o
per i punti medi (cioè i punti di mezzo) dei lati del quadrato.
Francesco riceverà in eredità la parte ombreggiata del terreno di suo padre
Giuseppe.
Quale frazione del terreno riceverà Francesco?
Giustificate la vostra risposta.
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9. A quale frazione della superficie del rettangolo corrisponde la parte colorata?
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Nella spiegazione è venuto fuori come molti contino le parti senza considerare la
loro forma o dimensione, come altri considerino i mezzi rombi come parti uguali al
rombo intero nel caso dei triangoli isosceli bianchi, ma non nel caso dei triangoli
equilateri neri, molto influisce la percezione!! Risultati
Quinte: 37% corrette, [41% hanno risposto C, principale distrattore]
Medie: 24% corretta, [54% hanno risposto C, principale distrattore]

10. Un percorso sulle frazioni
A partire dagli errori concettuali degli alunni sia in ambito geometrico che
aritmetico riflettiamo sulle conoscenze e sulle convinzioni degli insegnanti
che possono generare misconcetti negli alunni.
I temi principali:
Uso della parola “uguale” e importanza del linguaggio : differenza tra
discreto e continuo
Le rappresentazioni non standard: non solo torte, rettangoli e….
La frazione inversa: dall’intero alla parte e viceversa problemi non standard
Le frazioni nella realtà : l’orologio, percentuali, ricette di cucina, medicinali,
calcoli di punteggi…).
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11. Il processo di insegnamento – apprendimento delle frazioni è
certamente uno dei più studiati da quando esiste la ricerca in
Didattica della Matematica, forse perché (insieme al tema, ad
esso connesso, dei numeri “decimali”) costituisce uno dei più
evidenti insuccessi della scuola, in tutti i Paesi del mondo.
Fandiño Pinilla M.I. (2005). Le frazioni, aspetti concettuali e
didattici. Bologna: Pitagora.
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12. Gli alunni familiarizzano con i numeri decimali e con le frazioni alla fine della
scuola elementare.
Nella scuola primaria in generale si imparano a svolgere le quattro operazioni
con numeri con la virgola, si impara “lo spostamento a destra e a sinistra della
virgola” durante le moltiplicazioni e le divisioni per 10, 100, 1000 …, viene loro
presentato in situazioni concrete il concetto di frazione, come operatore che
agisce sull’intero, qualche volta si fa usa della percentuale.
Alla fine della primaria si pensa che la maggior parte degli studenti sappia
risolvere semplici esercizi su questi temi. Talvolta però gli insegnanti vanno
oltre e arrivano addirittura alla somma di frazioni.
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Il percorso standard

13. Le frazioni nella scuola secondaria di I grado medie sono uno degli argomenti
più importanti, e si introducono in prima.
Il percorso di aritmetica del primo anno è in generale :
· ripasso delle quattro operazioni
· multipli e divisori
· tecniche per la determinazione del massimo comune divisore e del minimo
comune multiplo tra due o più numeri tramite la scomposizione in fattori
primi
· le frazioni e le operazioni con le frazioni.
L’obiettivo finale di questo percorso è la risoluzione di espressioni aritmetiche
in cui siano inserite le seguenti difficoltà: le parentesi, le operazioni, le
frazioni, le potenze.
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14. Molti docenti delle scuole medie accusano la difficoltà con la quale i
ragazzi imparano a risolvere le espressioni con le frazioni.
Dedicano molto tempo a questo argomento, molti esercizi, spesso
ripetitivi pensando che l’allenamento faccia migliorare le prestazioni.
Da tantissimi anni gli specialisti, le indicazioni ministeriali, sottolineano
che l’addestramento alle espressioni non è formativo.
Il messaggio non passa.
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15. Nell’insegnamento tradizionale delle frazioni c’è un salto improvviso di
difficoltà: si passa da esercizi molto semplici in cui si chiede di colorare una
parte (tutti la capiscono), alle operazioni con le frazioni per le quali si
chiede di mettere in campo più conoscenze: tabelline, multipli,
scomposizioni, divisibilità…
Nel passaggio alle quattro operazioni con le frazioni c’è l’inconveniente
che l’addizione,
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16. “perchè per il prodotto di due frazioni si applica la regola di calcolo naturale
mentre per la somma non si applica la corrispondente regola naturale?”
( Cominciamo da Zero Villani ).
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17. Il modo con cui si eseguono le operazioni con le frazioni viene presentato
soltanto in prima media. Chi lo capisce, o più semplicemente lo studia,
bene, chi rimane indietro si porta avanti una lacuna con la quale dovrà
fare i conti a più riprese.
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18. Gli aspetti “matematici”
L’introduzione del concetto di frazione sembra essere
tradizionalmente simile in tutto il mondo; una data unità
concreta viene divisa in parti uguali, poi di tali parti se ne
prendono alcune. Questa accezione intuitiva di frazione
dell’unità ha il vantaggio di essere chiara e facilmente
acquisibile; ha inoltre il vantaggio di essere facilmente
modellizzata nella vita quotidiana; ma ha il difetto di non essere
poi teoricamente sufficiente, di fronte alle varie e multiformi
interpretazioni che si vogliono dare all’idea di frazione,.
Detto in altre parole: una sola “definizione”di frazione non basta
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19. ASPETTI DIVERSI DELLA FRAZIONE
“dividere in parti uguali” (La frazione come parte di un tutto )
Le rappresentazioni non standard: non solo torte, rettangoli e….
La frazione come rapporto
La frazione nella probabilità.
La frazione nei punteggi
La frazione come operatore
La frazione come quoziente
Frazioni e numeri decimali
La frazione come punto su una retta orientata
La frazione come misura
La frazione come percentuale
La frazione inversa:
Le frazioni nella realtà
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20. La conoscenza acquisita in un campo che si tenta ostinatamente
di “trascinare” in un suo ampliamento costituisce di norma un
“ostacolo”,
Vari ostacoli cognitivi
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21. Ostacoli cognitivi
Quando lo studente, fra gli 8 e gli 11 anni, ha capito che 3/4
rappresenta l’operazione concreta di dividere una certa unità in
4 parti uguali delle quali se ne considerano 3, si ha l’illusione
che tutto stia andando per il meglio.
È sì una conoscenza, ma inadeguata per proseguire nella costruzione
delle conoscenze corrette successive;
esempio:
se abbiamo una unità divisa in 4 parti uguali, che cosa significa, da questo
punto di vista, prenderne i 5/4?
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22. Continuo o discreto?
La frazione come parte di un uno-tutto;
questo uno-tutto a volte è continuo (una torta, una pizza, la
superficie di una figura) ed a volte è discreto (un insieme di palline
o di persone);
si chiede di dividere questa unità in parti “uguali”, aggettivo non
sempre ben definito a scuola, e poi ci si trova di fronte a situazioni
imbarazzanti, continue, come
o discrete, come trovare i 3/5 di 12 persone.
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23. In tutte le figure la parte evidenziata è un quarto?
Dividere in parti uguali?
P
L

24. 24
Tratteggiare una parte del rettangolo (c) che sia equivalente alla somma delle parti
colorate nelle altre due figure (a) e (b)

25. Trovare i 3/4 di ciascuna delle seguenti figure
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26. Aumentando di 1 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si
ottiene una frazione maggiore, minore o uguale a quella data?
Per sommare due frazioni si sommano i numeratori e si sommano i
denominatori. … Perché no?
Tra le frazioni e ci sono altri numeri?
Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?
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7
1
7
2

27. Ostacoli cognitivi
Offrire ad uno studente modelli concreti, pretendendo che egli
ragioni in modo astratto, indipendente dal modello proposto, è
una richiesta sicuramente destinata all’insuccesso.
A volte la frazione è un quoziente, una divisione non
eseguita, come a/b, che dovrebbe essere interpretata come
a:b; in questo caso l’interpretazione più intuitiva non è la
parte/tutto, ma la seguente: abbiamo a oggetti e li dividiamo
in b parti.
A volte la frazione indica un rapporto; l’interpretazione
non si accorda più né alla parte-tutto, né alla operazione di
divisione, diventando un legame tra grandezze.
A volte la frazione è un operatore.
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28. • Il problemaproblema come punto di
inizio
• CollaborareCollaborare per creare
strategie
• Discutere per trasformare letrasformare le
strategie in concettistrategie in concetti
• CoinvolgereCoinvolgere perché l’apporto
di ognuno è fondamentale
• La matematica come
esplorazioneesplorazione, scopertascoperta,
invenzioneinvenzione, condivisionecondivisione
Costruire la matematicaCostruire la matematica
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29. La matematica
come scoperta
Il problem
solving
Le attività
laboratoriali
I gruppi
collaborativi
Problem solving e
apprendimento
cooperativo
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30. La relazione cooperativa
studente-studente
il gruppo cooperativo
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31. Osservazioni finali
L'approccio "per problemi"
Compiti ricchi e stimolanti
La collaborazione
•Alimenta un costruttivo spirito di squadra
•Rende gli alunni meno insicuri
•Valorizza le capacità di ognuno
• Più interesse e motivazione
• Sviluppo di capacità di
ragionamento e pensiero
critico