Dokumen tersebut membahas berbagai grafik siklus terkait dan meninjau bukti keanggunan dan keharmonisan mereka. Grafik-grafik tersebut meliputi roda, helm, web, siklus dengan chord, siklus berturut-turut, dan grafik unicyclic. Beberapa peneliti membuktikan kondisi di mana grafik-grafik tersebut anggun atau harmonis berdasarkan panjang siklus dan struktur tambahan.

1. 2.2 Siklus-Terkait Grafik
Grafik siklus terkait telah menjadi fokus utama perhatian. Rosa [1209] menunjukkan bahwa n-
siklus Cn anggun jika dan hanya jika n 0 atau 3 (mod 4) dan Graham dan Sloane [586]
membuktikan bahwa Cn harmonis jika dan hanya jika n ganjil. Roda Wn = Cn + K1 keduanya
anggun dan harmonis {[515], [660] dan [586]. Sebagai konsekuensinya, kita memiliki subgraf
dari anggun (harmonis) grafik tidak perlu anggun (harmonis). N-kerucut (juga disebut suspensi
n-titik Cm)
Cm + Kn telah terbukti anggun saat m 0 atau 3 (mod 12) oleh Bhat-Nayak dan Selvam
[279]. Ketika n bahkan dan m adalah 2, 6 atau 10 (mod 12) Cm + Kn melanggar kondisi paritas
untuk grafik anggun. Bhat-Nayak dan Selvam [279] juga membuktikan bahwa kerucut berikut
anggun: C4 + Kn; C5 + K2; C7 + Kn; C9 + K2; C11 + Kn dan C19 + Kn. The helm Hn adalah
graf yang diperoleh dari roda dengan melampirkan tepi independen pada setiap simpul dari n-
siklus. Helms telah terbukti anggun [108] dan harmonis [572], [981], [982] (lihat juga [970],
[1294], [968], [418] dan [1181]). Koh, Rogers, Teo, dan Yap, [802] de ne grafik web sebagai
salah satu yang diperoleh dengan bergabung titik independen dari helm untuk membentuk suatu
siklus dan kemudian menambahkan independen tepi tunggal untuk setiap sudut.
siklus luar ini. Mereka bertanya apakah grafik tersebut anggun. Hal ini terbukti dengan Kang,
Liang, Gao, dan Yang [764]. Yang telah memperpanjang gagasan web dengan iterasi proses
penambahan poin independen dan bergabung dengan mereka untuk membentuk suatu siklus dan
kemudian menambahkan poin independen dengan siklus baru. Dalam notasi nya, W (2; n) adalah
grafik web sedangkan W (t; n) adalah web umum dengan t n-siklus. Yang telah menunjukkan
bahwa W (3; n) dan W (4; n) anggun (lihat [764]), Abhyanker dan Bhat-Nayak [4] telah
melakukan W (5; n) dan Abhyanker [2] telah melakukan W (t; 5) selama 5 t 13. Gnanajothi [572]
telah menunjukkan bahwa webs dengan siklus aneh harmonis. Seoud dan Youssef [1294] de ne
sebuah helm tertutup sebagai grafik yang diperoleh dari helm dengan bergabung setiap sudut
independen untuk membentuk siklus dan ower sebagai grafik yang diperoleh dari helm dengan
bergabung setiap vertex independen terhadap titik pusat helm. Mereka membuktikan bahwa helm
tertutup dan Owers harmonis ketika siklus yang aneh. Sebuah grafik gigi diperoleh dari roda Wn
dengan menambahkan simpul antara setiap pasangan simpul yang berdekatan dari n-siklus. Pada
tahun 1984 Ma dan Feng [1009] membuktikan semua gigi yang anggun berada di tesis Master
pada tahun 2006 Chen [372] membuktikan semua gigi harmonis. Liu [981] telah menunjukkan
bahwa jika dua atau lebih simpul disisipkan di antara setiap pasangan simpul dari n-siklus roda
Wn, grafik yang dihasilkan anggun. Liu [979] juga telah membuktikan bahwa grafik yang
diperoleh dari grafik gigi dengan melampirkan satu atau lebih independen tepi untuk setiap titik
antara simpul dari n-siklus anggun. Pradhan dan Kumar [1165] membuktikan bahwa grafik
diperoleh dengan menambahkan tepi independen untuk setiap sudut independen dari siklus
berbulu Cn K1 anggun jika n 0 (mod4m). Mereka lebih memberikan aturan untuk menentukan
angka yang hilang dalam pelabelan anggun Cn K1 dan dari grafik diperoleh dengan
menambahkan independen tepi ke setiap sudut independen dari Cn K1.
Abhyanker [2] telah menyelidiki berbagai unicyclic (yaitu, grafik dengan tepat satu siklus)
grafik. Ia membuktikan bahwa grafik unicyclic diperoleh dengan mengidentifikasi satu titik dari
C4 dengan akar pohon zaitun dengan cabang 2n dan mengidentifikasi suatu titik yang berdekatan

2. pada C4 dengan titik ujung jalan P2n2 anggun. Dia menunjukkan bahwa jika seseorang
menempel sejumlah independen tepi untuk ini grafik unicyclic pada simpul dari C4 yang
berdekatan dengan akar pohon zaitun tapi tidak berdekatan dengan vertex ujung jalan terpasang,
grafik yang dihasilkan anggun. Demikian juga, Abhyanker membuktikan bahwa grafik yang
diperoleh dengan menghapus cabang panjang 1 dari pohon zaitun dengan cabang 2n dan
mengidentifikasi akar tepi dihapus pohon dengan simpul dari suatu siklus dari bentuk C2N + 3
anggun. Dia juga memiliki sejumlah hasil yang serupa dengan ini.
Delorme, Maheo, Thuillier, Koh, dan Teo [421] dan Ma dan Feng [1008] menunjukkan bahwa
setiap siklus dengan chord anggun. Ini pertama menduga oleh Bodendiek, Schumacher, dan
Wegner [292], yang terbukti berbagai kasus khusus. Pada tahun 1985 Koh dan Yap [805]
generalisasi ini oleh de ning siklus dengan Pk-chord menjadi siklus dengan path Pk bergabung
dua simpul berurutan dari siklus. Mereka membuktikan bahwa grafik ini anggun ketika k = 3 dan
menduga bahwa semua siklus dengan Pk-chord yang anggun. Hal ini terbukti untuk k 4 oleh
Punnim dan Pabhapote pada tahun 1987 [1168]. Chen [377] diperoleh hasil yang sama kecuali
untuk tiga kasus yang kemudian ditangani oleh Gao [601]. Pada tahun 2005, Sethuraman dan
Elumalai [1301] de ned siklus dengan paralel Pk-akord sebagai grafik yang diperoleh dari siklus
Cn (n 6) dengan simpul berturut-turut v0; v1; :::; vn1 dengan menambahkan jalur menguraikan
Pk; (k 3), antara setiap pasangan simpul berdampingan v1; vn1; v2; vn2; :::; vi; vn i; :::; v; v = bn
mana = 2c 1 dan = bn = 2c + 2 jika n ganjil atau = bn = 2c + 1 jika n genap. Mereka
membuktikan bahwa setiap siklus Cn (n 6) dengan paralel Pk-kord anggun untuk k = 3; 4; 6; 8,
dan 10 dan mereka menduga bahwa siklus Cn dengan paralel Pk-kord anggun untuk semua
bahkan k. Xu [1662] membuktikan bahwa semua siklus dengan chord harmonis kecuali C6
dalam kasus di mana jarak di C6 antara endpoints dari akord adalah 2. keanggunan siklus dengan
akord berturut-turut juga telah diteliti. Untuk 3 pnr, biarkan Cn (p; r) menyatakan n-siklus
berturut-turut dengan simpul v1; v2; :::; vn yang akord r v1vp; v1vp + 1; :::; v1vp + r1 telah
ditambahkan. Koh
dan Punnin [795] dan Koh,Rogers,Teo,dan Yap [802] telahmenangani kasus r= 2; 3 dan n 3 dimanan
adalahpanjangsiklus. Gohdan Lim[575] kemudian membuktikanbahwasemuakasus yangtersisa
anggun.Selainitu, Ma [1011] telahmenunjukkanbahwaCn(p;np) anggunketikap0; 3 (mod4) dan Ma,
Liu,dan Liu [1012] telahmembuktikan kasuskhususlainnyadari grafikini anggun. Majuga
membuktikanbahwajikaseseorangmenambahgrafikCn(3;n 3) nomor ki jalurpanjang2 dari v1 vertex
ke vertex vi untuki = 2; :::; n,grafikyang dihasilkan anggun.Chen[377] telahmenunjukkan bahwaselain
dari empatkasusluarbiasa, grafikyang terdiri dari tigajalurindependen bergabungdengan duasimpul
dari sebuahsiklus anggun.Ini generalisasihasil bahwasiklusditambahakordanggun.Liu[978] telah
menunjukkan bahwan-siklusberturut-turutdengansimpulv1;v2; :::; vn yangakord v1vk danv1vk + 2
(2 kn 3) yang disatukan anggun.
Dalam[419] Debdan Limaye menggunakan notasi C(n, k) untukmenunjukkan siklusCndengantali k
berbagi endpointumumyangdisebut apeks.Untuk pilihantertentundank ada yang unik C (n, k) grafik
dan untuk pilihanlain adalebihdari satugrafik mungkin. Merekamenyebutini shell-jenisgrafikdan
merekasebutgrafikyangunik C (n, n 3) shell.Perhatikan bahwashellC(n, n 3) adalahsama denganfan
fn1 = Pn1 + K1. Deb danLimaye de ne shell beberapamenjadikoleksi kerangtepi menguraikan yang

3. memilikipuncak merekasama.Sebuah shell beberapadikatakandiimbangi dengan lebarw jikasetiap
shell memiliki urutan w atausetiapshell memiliki urutanw atauw + 1 Deb danLimaye [419] telah
mendugabahwasemuabanyakshell harmonis,dantelahmenunjukkanbahwadugaantersebutbenar
untuk kerangganda seimbangdan kerangtigaseimbang.Yang,Xu,Xi,danQiao [1685] membuktikan
dugaantersebutbenaruntuk kerangquadruple seimbang.Liang[953] membuktikan dugaanitubenar
ketikasetiap shellmemiliki urutanyangsamadanjumlahsalinan yanganeh.
SethuramandanDhavamani [1298] menggunakan H(n;t) untukmenunjukkan grafikyangdiperolehdari
siklusCndenganmenambahkan tchords berturut-turutinsiden dengantitikumum.Jikatitikumum
adalahu dan v berdekatandengan u,makauntuk k 1; n 4; dan 1 tn 3, Sethuraman danDhavamani
dilambangkandengan G(n, t, k) grafikyangdiperoleh denganmengambil persatuansalinankH(n k)
dengantepi uv identifikasied.Merekamendugabahwasetiapgraf G(n, t, k) anggun.Mereka
membuktikan dugaanuntukkasus yangt= 3 n.
Untuk i = 1; 2; :::; n biarkanvi; 1; vi; 2; :::; vi; 2m menjadi simpul berurutannsalinanC2m.Sekar[1249]
de nesrantai siklus C2m,n sebagai grafik yangdiperoleh denganmengidentifikasi vi,mdanvi + 1; m
untuki = 1; 2; :::; n 1 DiamembuktikanbahwaC6,2k dan C8, n anggununtuksemuak dan semuan.
Barrientos [233] membuktikanbahwasemuaC8,n,C12, n,dan C6; 2k anggun.
Truszczynski [1500] mempelajari grafikunicyclicdanterbukti beberapakelasgraf seperti anggun.Di
antaranya adalah apa yangia sebutnaga. Nagadibentuk denganbergabungtitikakhirdari jalanke siklus
(Koh, dkk[802] menyebutkecebongini;. KimdanTaman[790] menyebutnyalayang-layang).Karyaini
menyebabkan Truszczynski untuk mendugabahwasemuagrafik unicyclickecualiCn,dimanan1 atau 2
(mod4), anggun.Guo [600] telahmenunjukkanbahwa nagaanggunketikapanjangsiklusadalah
kongruendengan 1 atau 2 (mod4). Lu [1005] menggunakan Cn+ (m;t) untukmenunjukkan grafikyang
diperoleh
mengidentifikasi satutitik dari Cndengansatu titikakhirdari m jalanmasing-masingpanjangt.Dia
membuktikanbahwaCn+ (1; t) (berudu) tidakharmonis ketikat+ aneh danCn + (2m, t) harmonis ketika
n = 3
dan ketikan= 2k + 1 dan t = k 1; k + 1 atau 2k 1 Dalam tesisMaster-nya, Doma[437] menyelidiki
keanggunan berbagai grafik unicyclicmanasiklusmemilikihingga9simpul.Karenakeragaman besardari
grafikunicyclic,bukti dugaanTruszczynski tampaknyajauhdari jangkauan dalamwaktudekat.
Siklusyangberbagi tepi umumatausimpul telahmenerimabeberapaperhatian.Murugandan
Arumugan[1085] telahmenunjukkanbahwabuku dengannhalamanpentagonal (yaitu,nsalinanC5
dengantepi yangsama) yang anggunsaat n bahkan,bukananggunsaat n ganjil.Lu [1005] menggunakan
(Cm) n untukmenunjukkan grafikyangterbuatdari n salinanCmyangberbagi tepi (bukuhalamann
denganhalaman m-poligonal). Diamembuktikan (C2m+1) 2n + 1 adalahharmonis untuksemuam dan
n; (C4M + 2) 4n + 1 dan (C4M) 4n + 3 tidakharmonis untuksemuamdan n. Xu[1662] membuktikan

4. bahwa(Cm) 2 harmonis kecuali bilam= 3 ((Cm) 2 adalah isomorfis ke C2(m1) denganchord di tengah.
")
Sebuahkayak dayungKP (k; m; l) adalahgrafik yang diperoleh denganbergabungCkdanCm dengan
jalanpanjangl.Litersky [966] membuktikanbahwadayungkayak memiliki pelabelananggundalam
kasusberikut:k0 mod4, m 0 atau 3 (mod4); k m 2 (mod4) untuk k 3; dan k 1 (mod4), m 3 (mod4). Dia
dugaanbahwa KP (4k + 4; 4m + 2; l) dengan 2k <m anggunketikaaku2m kalauaku bahkan danketika
aku 2m + 1 kalauakuaneh;dan KP (10, 10, l) anggunketikaaku 12. kasusterbuka:KP (4k;4m + 1; l);KP
(4k; 4m + 2; l);KP(4k + 1; 4m + 1; l);KP (4k + 1; 4m + 2; l);KP (4k + 2; 4m + 3; l);KP (4k + 3; 4m + 3; l).
BiarkanCn (t) menunjukkankesatuan satutitiktsikluspanjangn.Bermond,Brouwer,danGerma[263]
dan Bermond,Kotzig,danTurgeon[265]) membuktikanbahwaC3(t) (yaitu,grafik persahabatan atau
Belandat-kincirangin) anggunjikadanhanyajikat 0 atau 1 (mod4), sementaraGrahamdan Sloane
[586] terbukti C3(t) harmonis jikadanhanya jikat 6 2 (mod4). Koh, Rogers,Lee,dan Toh [796] dugaan
bahwaCn (t) anggun jikadanhanya jikant0 atau 3 (mod4). Yang dan Lin[1677] telahmembuktikan
dugaanuntuk kasus n = 5 dan Yang, Xu,Xi,Li,dan Haque [1683] melakukan kasusn = 7 Xu,Yang, Li dan
Xi [1666] melakukan kasusn= 11 Xu, yang, Han danLi [1667] melakukan kasusn= 13 Qian[1173] veri es
dugaanini untukkasusyang t = 2 dann bahkan danyang, Xu,Xi, dan Li [1684] melakukan kasusn= 9.
Figueroa-Centeno, Ichishima,danMuntaner-Batle [498] telahmenunjukkanbahwajika m0 (mod4)
maka serikatsatutitik2, 3, atau 4 salinanCmmengakui suatujeniskhusus pelabelananggundisebut-
labeling(lihatBagian3.1) dan jikam 2 (mod4), maka serikatsatutitik2 atau 4 salinanCmmengakui
suatu-labeling.Bodendiek, Schumacher, danWegner[298] membuktikanbahwaserikatsatutitikdua
siklusanggunketikajumlah tepikongruendengan 0atau 3 modulo4. (Kasus-kasuslainnyamelanggar
kondisi paritasyangdiperlukan.) Shee [1328 ] telahmembuktikanbahwaC4(t) anggununtuksemuat.
SeouddanYoussef [1292] telahmenunjukkanbahwaserikatsatutitiksegitigadanCnharmonis jikadan
hanyajikan 1 (mod4) dan bahwajikaserikatsatutitikdua siklus harmonis makajumlahsisi adalah
dibagi oleh4. pertanyaanapakah kondisi yangterakhirini susienterbuka.Figueroa-Centeno, Ichishima,
dan Muntaner-Batle [498] telahmenunjukkanbahwajika Gharmonis makaserikatsatutitikganjil
salinanG menggunakan simpulberlabel 0sebagai titik bersamaharmonis.Sethuraman danSelvaraju
[1320] telahmenunjukkanbahwa untukberbagai pilihanpoin,serikatsatutitiksejumlahnon-isomorfik
graf bipartite lengkapanggun.Merekameningkatkan pertanyaanapakah ini benaruntuk semuapilihan
dari titikyangsama.
Kelaslaindari grafiksiklusterkaitadalahbahwakaktussegitiga. Blok-cutpointgrafikgraf Gadalah graf
bipartitdi mana satu set terdiri dari partitsimpul memotongG,danyanglainmemilikibi vertex untuk
setiapblok Bi G. Sebuahblok grafikadalahmaksimal terhubungGraf yangtidakmemiliki cut-titik.
Sebuahkaktussegitigaadalahgraf terhubungsemuayangblok segitiga.Seekorularsegitigaadalah
kaktussegitigayangblok-cutpoint-grafik adalahjalan(ularsegitigadiperolehdari jalanv1;v2;:::; vn
denganbergabungvi danvi + 1 ke titikwi baru untuki = 1 ; 2;:::; n 1). Rosa [1211] mendugabahwa
semuakaktussegitigadengant0 atau 1 (mod4) blok anggun.(Kasus-kasusdi manat2 atau 3 (mod4)
gagal untukmenjadi anggunkarenakondisiparitas.) Moulton [1078] membuktikan dugaanuntuksemua
ular segitiga.Sebuah buktikasusumum(yaitu,semuakaktussegitiga) tampaknyaputusasadi kultus.Liu

5. dan Zhang[970] memberikan bukti yangsalah bahwaularsegitigadenganjumlahganjilsegitiga
harmonis sedangkan segitiga
ular dengann2 (mod4) segitigatidakharmonis.Xu[1663] kemudian membuktikanbahwaularsegitiga
harmonis jikadanhanya jikajumlahsegitigatidakkongruendengan 2(mod4).
Seekorularsegitigagandaterdiri dari duaularsegitigayangmemiliki jalurumum.Artinya, ularsegitiga
ganda diperolehdari jalurv1;v2; :::; vndenganbergabungvi danvi + 1 ke titikwi baru untuki = 1; 2; :::;
n 1 dan ke titikui baru untuki = 1; 2; :::; n 1 Xi,Yang, dan Wang [1659] membuktikanbahwasemuaular
segitigagandaharmonis.
Untuk setiap graf G de ningG-ularanalogdengan ularsegitiga,Sekar[1249] telahmenunjukkanbahwa
Cn-ularanggunketikan0 (mod4) (n 8) danjikan 2 (mod4) dan jumlahCnbahkan. Gnanajothi [572, pp.
31-34] sebelumnyamenunjukkanbahwaularsegiempatyanganggun.Rahmat[584] telahmembuktikan
bahwaK4-ularharmonis.Rosa[1211] juga dianggapanalogde segiempatneddankaktus pentagonal
dan diperiksakasus-kasuskecil. Yu, Lee,danChin[1708] menunjukkanbahwaQ2-Q3dan-ularanggun
dan, ketikajumlah blok lebihbesardari 1, Q2; Q3- dan Q4-ular harmonis.
Barrientos [224] panggilangrafik KCN-ularjikaituadalah graf terhubungdenganblok kyangblok-
cutpointgrafikadalahjalandanmasing-masingblok kisomorfis ke Cn.(Ketikan>3 dan k> 3 ada lebih
dari satuKCN-ular.) JikaKCN-ulardi manajalanpanjangminimum yangberisi semuacut-simpul dari
grafikmemiliki propertibahwajarak antaradua berturut-turutcut-simpul adalahbn= 2c disebutlinear.
Barrientos membuktikanbahwakC4-ularanggundan bahwalinearkC6-ularanggunsaatk bahkan.Dia
lebihlanjutmembuktikan bahwakC8-ulardankC12-ularanggundalamkasus-kasusdi manajarak antara
simpul berturut-turutdari jalanpanjangminimumyangberisi semuacut-simpuldari grafiksemua
bahkandan bahwakasus-kasustertentukC4n-ulardankC5n-ularanggun(tergantungpadajarakantara
simpul berturut-turutdari jalanpanjangminimum yangberisi semuacut-simpuldari grafik).
Beberapaorangtelahmempelajarisiklus denganindependen tepiterpasang.Frucht[515] membuktikan
bahwasetiap siklusdenganindependen tepi melekatpadasetiap titik(yaitu,mahkota) anggun(lihat
juga[669]). JikaG memiliki urutan n, koronadari G denganH, GH adalahgrafik yang diperoleh dengan
mengambil satusalinan Gdann salinanH dan bergabungdengan i simpul dari G dengantepi untuk
setiapsimpul dalamsalinan i dari H.Barrientos [229] juga terbukti:jikaGadalahgraf anggunrangka m
dan ukuran m 1, maka G nK1 dan G + nK1 anggun;jikaG adalahgraf anggunorderp dan ukuran q
denganq> p, maka(G [(q+1 p) K1) nK1 anggun;dan semuagrafikunicyclic,selainsiklus,dimana
penghapusan setiapsisidari hasil siklusulatanggun.
Untuk siklustertentu Cndengann0 atau 3 (mod4) dan keluargapohonT = FT1; T2; :::; Tng, biarkanui
dan vi;No.1 di,akanxedsimpul dari Cndan Ti, masing-masing. Figueroa-Centeno, Ichishima,Muntaner-
Batle, danOshima[503] menyediakanduametode konstruksi yangmenghasilkan pelabelan anggun
grafikunicyclicdiperolehdari CndanT olehamalgamatingmerekapadasetiap ui danvi.Hasilnya
mencakupsemuahasil sebelumnyadikenal untukgrafik unicyclicyangsikluspanjangadalah0atau 3

6. (mod4) dan jauhmemperpanjangkelasdiketahuigrafikunicyclicanggun.
Dalam[226] Barrientos membuktikanbahwahelm(grafikyangdiperolehdari rodadenganmelampirkan
satu pena-penyok tepi ke setiapsudut) yanganggun.Rahmat[583] menunjukkanbahwasiklusyang
anehdengansatu atau lebih independen tepi di setiapsudutharmonis danmendugabahwaC2N K1,
bahkansiklus dengansatu ujungindependen yangmelekatpadasetiap titik,harmonis. Dugaanini telah
dibuktikan olehLiudanZhang[969], Liu[981] dan [982], Hegde [630], Huang [670], dan Bu [314]. Sekar
[1249] telahmenunjukkanbahwa grafikCmPndiperoleh denganmelampirkan jalanPnke setiapsudut
dari Cmanggun.Untuk setiap n 3 dan setiap t dengan1 tn, biarkanCn + t menunjukkan kelasgrafikyang
terbentuk
denganmenambahkanindependen tepi tunggal untuk tsimpul dari sebuahsikluspanjang n.Ropp
[1208] membuktikan bahwauntuksetiap ndant kelasCn+ t berisi grafik anggun.GalliandanRopp
[530] mendugabahwauntuksemuandan t, semuaanggotaCn + t anggun.Hal ini terbukti dengan Qian
[1173] dan olehKang,Liang,Gao, danYang [764]. Tentusaja, grafiktersebuthanyalahkasuskhususdari
dugaanyang disebutkansebelumnya Truszczynski bahwasemuagrafikunicyclickecuali Cnuntuk n1
atau 2 (mod4) anggun.Sekar[1249] membuktikanbahwagrafik yangdiperoleh dengan
mengidentifikasi titikakhirdari sebuahbintangdengantitikdari siklusanggun.Lu[1005] menunjukkan
bahwagrafikyang diperoleh denganmengidentifikasi setiapsudutdari siklusanehdengansimpul copy
menguraikan dari C2m+ 1 harmonis jikadanhanyajikam ganjil.
Untuk siklusdiberikan Cndengann0 atau 3 (mod4) dan keluargapohonT = FT1; T2; :::; Tng, biarkanui
dan vi;No.1 di,akanxedsimpul dari Cndan Ti, masing-masing. Figueroa-Centeno, Ichishima,Muntaner-
Batle, danOshima[503] menyediakanduametode konstruksi yangmenghasilkan pelabelan anggun
grafikunicyclicdiperolehdari CndanT olehamalgamatingmerekapadasetiap ui danvi.Hasilnya
mencakupsemuahasil sebelumnyadikenal untuk grafikunicyclicyangsikluspanjangadalah0atau 3
(mod4) dan jauhmemperpanjangkelasdiketahuigrafikunicyclicanggun.
SolairajudanChithra[1414] de nedtiga kelas grafikyangdiperoleh denganmenghubungkan salinanC4
dalamberbagai cara. Menyatakan empatsimpul berturut-turutsalinani dari C4 olehvi;1; vi;2; vi;3;
VI4.Mereka menunjukkan bahwagrafik yangdiperoleh denganmengidentifikasi vi;4denganvi + 1, 2
untuki = 1; 2; :::; n 1 anggun;grafikyangdiperoleh denganbergabungvi;4denganvi + 1, 2 untuki = 1;
2; :::; n 1 dengansebuahsisi anggun;dangrafikyang diperoleh denganbergabung vi;4denganvi + 1, 2
untuki = 1; 2; :::; n 1 denganjalanpanjang2 anggun.
Dalamsebuahmakalahyangditerbitkan padatahun1985, BloomdanHsu [289] mengatakan grafik
diarahkanD dengane tepi memiliki labelanggunjikauntuksetiap simpul v adapelabelan titikyang
memberikantiap simpulabilanganbulatyangberbedadari 0 sampai e seperti bahwauntuksetiap
diarahkantepi (u;v) bilanganbulat(v) (u) mod(e + 1) adalah berbedadannol.Merekamendugabahwa
digraf yang mendasari grafikrodadan yang memiliki semuasisi diarahkan bergabungdengan hubdan
rim dalamarah yang samadan semuatepi diarahkan ke arah yangsama anggun.Dugaan ini terbukti
pada tahun2009 oleh Hegde danShivarajkumarn [650].

7. Yao, Yao, dan Cheng[1688] menyelidikikeanggunan selamabertahun-orientasi pohondiarahkan dengan
diameterpendekdan terbukti beberapapohon diarahkantidakmemilikipelabelan anggun.