Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều...

1. A. lêi nãi ®Çu
Häc to¸n mµ ®Æc biÖt lµ m«n h×nh häc, mçi häc sinh ®Òu c¶m thÊy cã
nh÷ng khã kh¨n riªng cña m×nh.
Nguyªn nh©n cña nh÷ng khã kh¨n ®ã lµ:
1. NhiÒu häc sinh cha n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña c¸c ®Þnh lý,
tÝnh chÊt cña c¸c h×nh ®· häc. Mét sè chØ “häc vÑt” mµ kh«ng vËn
dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp.
2. S¸ch gi¸o khoa cung cÊp cho häc sinh mét hÖ thèng c¸c kiÕn thøc c¬
b¶n nhng kh«ng thÓ cã ®Çy ®ñ c¸c bµi tËp mÉu cho c¸c kiÕn thøc ®·
häc thuéc c¸c d¹ng kh¸c nhau.
Do vËy còng kh«ng cã ®iÒu kiÖn híng dÉn chi tiÕt cho häc sinh c¸ch vËn
dông c¸c kiÕn thøc ®ã vµo gi¶i c¸c bµi tËp cô thÓ mµ c¸c em sÏ gÆp
trong qu¸ tr×nh häc tËp.
3. §èi víi bé m«n h×nh häc, ngoµi c¸c bµi to¸n vÒ trÝ th«ng minh h×nh
häc cßn cã c¸c bµi to¸n vÒ dùng h×nh vµ quü tÝch lµ nh÷ng d¹ng to¸n
®Æc biÖt khã mµ thêi gian ®Ó häc c¸c d¹ng to¸n nµy trªn líp l¹i kh«ng
nhiÒu , häc sinh Ýt ®îc luyÖn tËp ë líp còng nh ë nhµ nªn gÆp c¸c lo¹i
bµi tËp nµy c¸c em thêng rÊt lóng tóng . §Ó kh¾c phôc nh÷ng nguyªn
nh©n trªn vµ gióp häc sinh cã c¬ së häc vµ gi¶i quyÕt tèt c¸c bµi tËp
vÒ h×nh häc , t«i xin ®Ò cËp ®Õn mét khÝa c¹nh rÊt nhá vÒ mét ph-
¬ng ph¸p chøng minh bµi to¸n h×nh häc th«ng qua c¸ch vÏ ®êng phô.
§Ò tµi nh»m gióp c¸c em hiÓu thÊu ®¸o c¸ch vËn dông kiÕn thøc c¬
b¶n ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n chøng minh h×nh häc .
Néi dung ®Ò tµi gåm 4 phÇn :
PhÇn I : Nh÷ng ®iÒu cÇn chuÈn bÞ tríc khi chøng minh .
PhÇn II : Suy nghÜ t×m ph¬ng ph¸p chøng minh .
PhÇn III : Nh÷ng ®iÒu cÇn chó ý khi chøng minh .
PhÇn iV : C¸ch vÏ ®êng phô vµ vai trß cña ®êng phô trong to¸n
chøng minh
Víi mét sè bµi to¸n minh ho¹ cho bµi to¸n chng minh h×nh häc lêi gi¶i
chi tiÕt , chÝnh x¸c chÆt chÏ, hy väng ®Ò tµi sÏ gãp phÇn gióp c¸c em
häc sinh kh¾c phôc ®îc c¸c nguyªn nh©n ®· ®Ò cËp ë trªn ®Ó cã kh¶
n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n chøng minh h×nh häc ngµy mét tèt h¬n .
Tuy t«i ®· cè g¾ng hÕt søc sù suy nghÜ vµ c©n nh¾c kü cµng trong
khi viÕt ®Ò tµi song ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt do n¨ng
lùc h¹n chÕ. T«i rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp vµ chØ b¶o
cña quý ®ång nghiÖp.

2. B. Néi dung
I. Nh÷ng ®iÒu cÇn chuÈn bÞ tríc khi chøng minh :
§Ó gi¶i ®îc mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc ta cÇn ph¶i lµm nh÷ng
g× ? N¾m v÷ng lÝ thuyÕt ®· ®ñ ®Ó ®¶m b¶o cho ta gi¶i ®îc mét bµi to¸n
chøng minh h×nh cha ? C©u tr¶ lêi lµ : Cha . §ã míi chØ lµ ®iÒu kiÖn
cÇn nhng cha ®ñ cho viÖc gi¶i mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc .
ChuÈn bÞ tríc khi chøng minh:
1/ §äc kü ®Ò bµi ®Ó hiÓu hÕt ý cña ®Ò ( gäi lµ n¾m v÷ng ®Ò ) .
Nªn ®äc nhiÒu lÇn , cã thÓ võa ®äc ®Ò võa vÏ h×nh s¬ bé ra vë nh¸p
®Ó hiÓu râ ý nghÜa cña cña c¸c tõ ng÷ to¸n häc dïng trong bµi .
2/ Ph©n tÝch s¬ bé gi¶ thiÕt , kÕt luËn cña bµi , dùa vµo ®Ò bµi vÏ
h×nh chÝnh x¸c vµo vë . H×nh vÏ chÝnh x¸c gióp ta quan s¸t tèt, gîi ý cho
ta suy diÔn ®óng vµ t×m ®îc c¸ch chøng minh dÔ dµng . VÏ h×nh tuú
tiÖn, kh«ng chÝnh x¸c l¹i lµ ®iÒu thêng x¶y ra ®èi víi nh÷ng ngêi míi
chøng minh h×nh häc . V× vËy häc h×nh häc ®iÒu cÇn thiÕt lµ ph¶i rÌn
luyÖn kü n¨ng vÏ h×nh , kh«ng ®îc vÏ c¸c h×nh ë d¹ng ®Æc biÖt . VÝ dô :
Cho hai ®êng th¼ng c¾t nhau th× kh«ng dîc vÏ chóng vu«ng gãc . Cho
mét tam gi¸c th× kh«ng ®îc vÏ tam gi¸c vu«ng, c©n hoÆc ®Òu ...
§Æt tªn cho c¸c yÕu tè trong h×nh cã liªn quan ®Õn bµi gi¶i , dïng kÝ
hiÖu ®¸nh dÊu c¸c yÕu tè b»ng nhau( c¹nh , gãc )
3/ Dùa vµo ®Ò bµi vµ vÏ h×nh , dïng c¸c kÝ hiÖu to¸n häc thay cho
c¸c ng«n ng÷ to¸n häc th«ng thêng ®Ó tãm t¾t thµnh gi¶ thiÕt , kÕt luËn
cña bµi ghi bªn c¹nh h×nh vÏ.
Sau khi ®· lµm xong ba bíc trªn b¹n nh×n vµo h×nh vÏ vµ gi¶ thiÕt
kÕt luËn ®äc l¹i ®Ò bµi mét lît theo ng«n ng÷ vµ c¸ch diÔn ®¹t cña b¹n råi
b¾t ®Çu t×m c¸ch chøng minh .
II/ Suy nghÜ ®Ó t×m ph¬ng ph¸p chøng minh:
Muèn chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc ta ph¶i n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p
suy xÐt vÊn ®Ò t×m hiÓu vµ suy ®o¸n tõng bíc mét . Ph¬ng ph¸p chñ
yÕu ®Ó t×m lêi gi¶i cña mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc thêng lµ ph-
¬ng ph¸p b¾t ®Çu tõ kÕt luËn . Ta thõa nhËn kÕt luËn , dïng ®ã lµm c¬
së suy xÐt . Gi¶ sö Z lµ kÕt luËn ta thõa nhËn Z . NÕu Z ®óng th× dÉn
®Õn mÖnh ®Ò Y ®óng , v× tõ Y suy ra ®îc Z . NÕu cã Y th× mét mÖnh
®Ò tiÕp theo X ch¼ng h¹n còng ®óng , v× tõ X suy ®îc ra Y . TiÕp tôc
nÕu cã X th× l¹i cã mét mÖnh ®Ò X1 kh¸c còng ®óng v× tõ X1 suy dîc ra

3. X .....Cø nh vËy suy ngîc cho ®Õn cuèi cïng ta ®îc mét mÖnh ®Ò A
ch¼ng h¹n phï hîp víi gi¶ thiÕt , hoÆc chÝnh mÖnh ®Ò A lµ gi¶ thiÕt th×
th«i.
Ph¬ng ph¸p suy luËn trªn gäi lµ ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®i lªn vµ cã thÓ
tãm t¾t nh sau:
Z ← Y← X← X1← .......← A
§©y lµ ph¬ng ph¸p b»ng suy luËn cã lý ta ®i ngîc tõ kÕt luËn lªn gi¶
thiÕt . Nã kh«ng ph¶i lµ mét ph¬ng ph¸p chøng minh . V× xuÊt ph¸t tõ
mét mÖnh ®Ò cha biÕt ®óng sai , b»ng suy luËn cã lý ta suy ra ®îc mét
mÖnh ®Ò ®óng th× cha thÓ cã kÕt luËn g× vÒ tÝnh ®óng sai cña mÖnh
®Ò xuÊt ph¸t ( Z ) . Do vËy sau khi vËn dông ph¬ng ph¸p trªn ®Ó t×m ®-
îc c¸ch chøng minh ( Gäi lµ t×m ®îc ch×a kho¸ gi¶i bµi to¸n ) ta ph¶i tr×nh
bµy lêi gi¶i theo qu¸ tr×nh ngîc l¹i gäi lµ ph¬ng ph¸p tæng hîp
S¬ ®å nh sau: A→......→ X1→ X → Y → Z
Víi A lµ gi¶ thiÕt cña bµi , mÖnh ®Ò nµy lu«n lu«n ®óng. B»ng suy luËn
cã lý dùa vµo c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n , c¸c ®Þnh lÝ vµ c¸c tiªn ®Ò ®· häc ta
kh¼ng ®Þnh tÝnh ®óng ®¾n cña Z.
Ph¬ng ph¸p chøng minh nh trªn gäi lµ ph¬ng ph¸p chøng minh trùc tiÕp .
III.Nh÷ng ®iÒu cÇn chó ý khi chøng minh :
Chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc ®ßi hái viÖc suy luËn chÆt
chÏ vµ chÝnh x¸c . Sau khi ®· cã phÇn chuÈn bÞ vµ suy nghÜ ®Ó t×m ra
ph¬ng ph¸p chøng minh nh trªn th× viÖc tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n theo
ph¬ng ph¸p tæng hîp lµ rÊt quan träng , §Ó gióp ngêi häc lµm tèt phÇn
nµy t«i nªu thªm nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi diÔn ®¹t lêi gi¶i bµi to¸n
chøng minh nh sau :
1/ Mçi mét c©u , mét mÖnh ®Ò , mét hÖ thøc nµo ®ã ®îc nªu ra
trong bµi chøng minh cña m×nh ®Òu ph¶i cã lý do , cã c¨n cø x¸c ®¸ng ,
kh«ng m¬ hå, kh«ng qua loa . V× vËy khi tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n chøng
minh mÆc nhiªn h×nh thµnh hai phÇn. PhÇn bªn tr¸i lµ nh÷ng mÖnh ®Ò
, nh÷ng hÖ thøc to¸n häc thêng nªn më ®Çu b»ng c¸c tõ : “ XÐt” ; “ Ta
cã” ; “Mµ” ; “Nªn” ; “Suy ra” ; “Rót ra” ; “ VËy”. PhÇn bªn ph¶i lµ nh÷ng
lÝ do ghi nh÷ng c¬ së , nh÷ng c¨n cø ®Ó cã ®îc nh÷ng mÖnh ®Ò ,
nh÷ng hÖ thøc to¸n häc ®ã . Kh«ng ®îc bá qua phÇn nµy .
2/ Nh÷ng lÝ do dïng lµm c¨n cø cho phÇn chøng minh h×nh häc lµ :
Gi¶ thiÕt , nh÷ng ®Þnh nghÜa ®· häc, nh÷ng tiªn ®Ò ®· häc , nh÷ng
®Þnh lÝ ®· häc , còng cã khi lÊy tõ kÕt qu¶ c©u chøng minh tríc cña bµi .
Nh÷ng ®iÒu cha häc hay trong ph¹m vi ch¬ng tr×nh kh«ng d¹y th× kh«ng
®îc dïng lµm c¨n cø . Cµng kh«ng thÓ tù ®Æt ra lÝ do ®Ó lµm c¨n cø .

4. 3/ Khi chøng minh nÕu ph¶i vÏ thªm ®êng phô th× b¾t ®Çu vµo bµi
ph¶i nãi ngay vÏ ®êng phô nµo , vÏ nh thÕ nµo vµ tªn gäi cña nã .
4/ GÆp nh÷ng phÇn chøng minh gièng nhau trong mét bµi ta kh«ng
cÇn lÆp l¹i c¶ qu¸ tr×nh chøng minh ®ã mµ chØ ghi “ Chøng minh t¬ng
tù”råi ghi kÕt qu¶ chøng minh vµo .
5/ Dïng kÝ hiÖu ®¸nh ®Êu trªn h×nh vÏ nh÷ng yÕu tè b»ng nhau.
6/ Lêi lÏ diÔn ®¹t ph¶i ng¾n gän , kh«ng thiÕu kh«ng thõa . Trong tr-
êng hîp cã thÓ nªn dïng kÝ hiÖu ,dïng hÖ thøc ®Ó diÔn ®¹t thay cho lêi
nãi ®Ó bµi chøng minh ®îc râ rµng m¹ch l¹c vµ kh«ng dµi dßng.
Ngoµi ra cßn nhiÒu ®iÒu kh¸c n÷a ph¶i chó ý nh tÝnh cÈn thËn ,
tÝnh chÝnh x¸c trong vÏ h×nh ..... Thùc hiÖn tèt c¸c ®iÒu ®ã c¸c em häc
sinh sÏ tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt vµ sau mét thêi gian luyÖn tËp sÏ cã tiÕn
bé râ rÖt.
IV. C¸ch vÏ ®êng phô vµ vai trß cña ®êng phô trong to¸n chøng minh:
Khi gi¶i mét bµi to¸n chøng minh h×nh häc , trõ mét sè bµi dÔ cßn
l¹i phÇn lín c¸c bµi to¸n ®Òu cÇn ph¶i vÏ thªm ®êng phô míi chøng minh
dîc . VËy vÏ ®êng phô nh thÕ nµo vµ vÏ ®Ó nh»m môc ®Ých g× ? §ã lµ
®iÒu mµ ngêi häc cÇn ph¶i biÕt ®îc ®èi víi mçi bµi to¸n cô thÓ . Kh«ng
thÓ cã mét ph¬ng ph¸p chung nµo cho viÖc vÏ ®êng phô trong bµi to¸n
chøng minh h×nh häc. Ngay ®èi víi mét bµi to¸n còng cã thÓ cã nh÷ng
c¸ch vÏ ®êng phô kh¸c nhau tuú thuéc vµo c¸ch gi¶i bµi to¸n. Díi ®©y t«i
chØ xin nªu ra mét sè c¸ch vÏ ®êng phô th«ng qua mét bµi to¸n cô thÓ
®Ó gióp phÇn nµo cho b¹n ®äc lµm quen.
1/VÏ ®êng phô ®Ó t¹o mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®iÒu kiÖn ®· cho hoÆc
gi÷a c¸c yÕu tè trong kÕt luËn cña bµi to¸n víi nhau:
VÝ dô 1: Cho h×nh thang ABCD, (BC//AD) cã gãc A nhá h¬n gãc C.
Chøng minh r»ng ®êng chÐo AC<BD.
Híng gi¶i: B×nh thêng 2 ®êng chÐo AC vµ BD kh«ng cã mèi liªn hÖ
nµo gióp ta so s¸nh. NÕu ®a hai ®o¹n th¼ng Êy vÒ chung mét tam gi¸c
ta cã thÓ vËn dông mèi liªn hÖ gi÷a c¸c c¹nh vµ gãc trong mét tam gi¸c
®Ó so s¸nh.
Muèn vËy ta cã nhiÒu c¸ch vÏ ®êng phô.
Cã thÓ tõ B hoÆc tõ C vÏ ®êng th¼ng song song víi AC hoÆc BD.
Còng cã
thÓ ë gi÷a A vµ D ta chän mét
®iÓm E sao cho BE=AC (hoÆc
A
B
D
C
E

5. sao cho CE=AB, tuú c¸ch
vÏ cña b¹n). §iÒu nµy hoµn
toµn cã thÓ lµm ®îc b»ng
ph¬ng ph¸p dùng h×nh
vµ nh vËy ta ®· lµm xuÊt hiÖn ∆BDE cã BE=AC.
ViÖc so s¸nh AC víi BD ®îc chuyÓn thµnh so s¸nh BE víi BD trong ∆BDE.
§Ó so s¸nh BE víi BD ta so s¸nh c¸c gãc ®èi diÖn chóng trong ∆BDE lÊy
A>D lµm trung gian.
VÝ dô 2: Cho h×nh vu«ng ABCD, lÊy mét ®iÓm M tuú ý trªn CD. VÏ ph©n
gi¸c cña gãc BAM c¾t c¹nh BC t¹i E. Chøng minh: DM+BE=AM.
Híng gi¶i: Tõ kÕt luËn cÇn chøng minh cña bµi to¸n, gîi ý cho ta c¸ch vÏ
thªm ®êng phô sao cho hai ®o¹n th¼ng BE vµ DM vÒ cïng mét ®êng
th¼ng t¹o ra mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng hai ®o¹n th¼ng liªn tiÕp cã ®é
dµi b»ng BE+BM.
Trªn tia MD ta ®Æt ®o¹n DF liªn tiÕp
víi MD sao cho DF=BE ®Ó cã
FD+DM=BE+DM=MF. HoÆc ®Æt
BF liªn tiÕp víi EB sao cho BF=DM
®Ó cã BE+BF=BE+DM=EF. Víi c¸ch
vÏ ®êng phô ë h×nh trªn ta chuyÓn
tõ chøng minh AM=DM+BE
thµnh chøng minh AM=MF.
Cßn víi c¸ch vÏ ®êng phô ë h×nh díi ta ph¶i thªm mét bíc chøng minh
AM=AF sau ®ã míi chøng minh AF=FE.
C
B
E
D
F M
A
C
B
E
D
F
M
A

6. 2. VÏ thªm ®êng phô ®Ó t¹o ra yÕu tè trung gian cã tÝnh chÊt b¾c cÇu
gi÷a c¸c yÕu tè cÇn chøng minh hoÆc cÇn so s¸nh víi nhau:
VÝ dô 3: Cho h×nh h×nh hµnh ABCD, trªn AB vµ BC lÊy 2 ®iÓm E,F sao
cho AE = CF (E thuéc AB, F thuéc BC) KÓ DH⊥AF vµ DK⊥CE. Chøng minh
r»ng DH=DK.
Híng gi¶i: Ta thõa nhËn ngay viÖc chøng minh cho DH=DK thùc chÊt
lµ chøng minh cho ∆ AFD=∆CED cã diÖn tÝch b»ng nhau v× 2 tam gi¸c
nµy ®· cã hai c¹nh ®¸y AF vµ CE b»ng nhau. NÕu hai tam gi¸c cã
hai c¹nh ®¸y b»ng nhau vµ cã ®êng cao thuéc hai c¹nh ®¸y ®ã
còng b»ng nhau th× diÖn tÝch b»ng nhau, V× vËy nÕu ta vÏ ®êng chÐo
AC vµ lÊy ∆ ACD lµm trung gian ®Ó so s¸nh diÖn tÝch ∆ CED vµ
diÖn tÝch ∆ AFD. Ta thÊy ngay diÖn tÝch ∆ AFD = diÖn tÝch ∆ ACD
(cïng ®¸y AD, cïng chiÒu cao h¹ tõ F vµ C xuèng AD)
DiÖn tÝch ∆ AFD=∆CED (cïng ®¸y CD, cïng chiÒu cao h¹ tõ A, E xuèng CD)
Suy ra diÖn tÝch ∆ AFD=∆CED hay 1/2 DH.AF=1/2DK.CE Mµ AF=CE Suy
ra DH=DK
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng ®êng trung b×nh cña mét h×nh
thang c©n th× nhá h¬n ®êng chÐo cña nã.
H K
F
E
D
CB
A

7. Híng gi¶i :
Gäi h×nh thang c©n ABCD cã BC // AD , AB = CD vµ BC< AD, MN
lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang .
Ta ph¶i chøng minh MN < BD nhng gi÷a MN vµ BD kh«ng cã mèi liªn
hÖ nµo gióp ta so s¸nh ®îc . NÕu tõ M kÎ ®êng th¼ng song song víi c¹nh
bªn CD, c¾t AD t¹i e vµ dïng DE lµm trung gian ®Ó so s¸nh MN víi DE vµ
DE víi BD b»ng c¸ch chøng minh MNDE lµ h×nh b×nh hµnh vµ ∆BDE
vu«ng t¹i E.
3/ VÏ ®êng phô ®Ó t¹o nªn mét h×nh míi, biÕn ®æi bµi to¸n ®Ó bµi to¸n
dÔ chøng minh h¬n .
VD 5 : Cho ∆ABC cã AB > AC . VÏ hai ®êng cao BE vµ CD . Chøng minh
r»ng AB + CD > AC + CE.
Híng gi¶i :
ë bµi nµy nÕu ta biÕn ®æi ®Ó cã mét ®o¹n th¼ng kh¸c b»ng
AB + CD vµ mét ®o¹n th¼ng kh¸c b»ng AC + BE th× còng ch¼ng gióp g×
cho viÖc chøng minh . Nhng nÕu ta dùa vµo ®Ò bµi cho AB > AC ®Ó biÕn
®æi kÕt luËn b»ng c¸ch chuyÓn vÕ AC vµ CD trong bÊt ®¼ng thøc cña kÕt
E
NM
D
CB
A
H
F
D
C
B’
B
A

8. luËn ta cã AB – AC > BE – CD . Nh vËy bµi to¸n cã thÓ biÕn ®æi thµnh mét
bµi to¸n míi t¬ng ®¬ng ‘ Cho ∆ABC cã AB >AC. Chøng minh r»ng hiÖu hai
c¹nh AB vµ AC th× lín h¬n hiÖu 2 ®êng cao t¬ng øng thuéc hai c¹nh ®ã”.
- BiÕn ®æi ®Ò to¸n nh vËy sÏ gîi ý cho ta vÏ ®êng phô b»ng c¸ch ®Æt
®o¹n AB chång lªn ®o¹n AC ®Ó lµm xuÊt hiÖn ®o¹n th¼ng hiÖu cña AB vµ
AC. §ã lµ CB’ = AB’ – AC.Ta cã ∆ ABB’ c©n t¹i A . Tõ B’ kÎ B’H ⊥ AB vµ CF
⊥ B’H .§Õn ®©y ta thÊy viÖc gi¶i bµi to¸n trë nªn rÊt dÔ dµng . Ta chØ cÇn
chøng minh cho BE = B’H vµ CDHF lµ h×nh ch÷ nhËt , sÏ suy ra ®îc B’F =
BE – CD. Cuèi cïng bµi to¸n ®a vÒ viÖc so s¸nh BF’ vµ B’C trong ∆B’FC.
4/ VÏ thªm nh÷ng ®¹i lîng b»ng nhau hoÆc thªm vµo nh÷ng ®¹i lîng b»ng
nhau mµ ®Ò bµi ®· ra ®Ó t¹o mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng cÇn chøng minh
gióp cho viÖc chøng minh ®îc dÔ dµng .
VÝ dô 6 : Cho ∆ABC, P lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc miÒn trong tam gi¸c sao
cho gãc PAC = gãc PBC , vµ M, N lµ h×nh chiÕu t¬ng øng cña P xuèng AC
vµ BC . Nèi M, N víi trung ®iÓm D cña AB . Chøng minh MD = ND.
Híng gi¶i :
Gi÷a MD vµ ND cha cã mèi liªn hÖ nµo gióp ta so s¸nh . NÕu ta x¸c
®Þnh thªm hai trung ®iÓm I vµ K cña BP vµ AP råi nèi DK, MK, nèi DI, NI ta
thÊy xuÊt hiÖn 2 tam gi¸c ∆DMK vµ ∆DNI . Gîi ý cho ta nghÜ ®Õn viÖc
t×m c¸ch chøng minh cho 2 tam gi¸c ®ã b»ng nhau ®Ó rót ra MD = ND .
Mµ ∆DMK = ∆DNI lµ ®iÒu dÔ thÊy .
VÝ dô 7: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c vu«ng, trung tuyÕn thuéc c¹nh
huyÒn th× b»ng nöa c¹nh Êy .
Híng gi¶i : Tam gi¸c ABC cã gãc B = 1v , AM = MC = 2
AC
. Chøng minh
r»ng BM = 2
AC
.
I P
N
M
D
CB
A
K

9. Tia ac vµ tia BM c¾t nhau t¹i M .Khai th¸c tÝnh chÊt ®êng chÐo cña
h×nh b×nh hµnh gîi ý cho ta lÊy trªn tia BM mét ®o¹n MD = BM .
Ta sÏ ®îc tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . H×nh b×nh hµnh ABCD
l¹i cã gãc B = 1v nªn lµ h×nh ch÷ nhËt . §Õn ®©y suy ra BM = 2
AC
lµ qu¸
dÔ dµng ( dùa vµo tÝnh chÊt h×nh ch÷ nhËt)
5/ VÏ thªm ®êng phô ®Ó bµi to¸n cã thÓ ¸p dông mét ®Þnh lÝ nµo ®ã .
VÝ dô 8 : Cho ∆ABC vµ mét ®êng th¼ng xy kh«ng c¾t tam gi¸c .
Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch tõ träng t©m G cña tam gi¸c ®Õn ®êng
th¼ng xy b»ng 3
1
tæng kho¶ng c¸ch tõ 3 ®Ønh cña tam gi¸c tíi ®êng
th¼ng ®ã .
Híng gi¶i : ∆ABC cã G lµ träng t©m . KÎ AA’ , BB’ ,CC’ vµ GG’ vu«ng gãc víi
xy . Ta ph¶i chøng minh GG’ = ( )'''
3
1
CCBBAA ++ .
Dùa vµo tÝnh chÊt ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ta nghÜ ngay ®Õn viÖc
nèi mét ®Ønh nµo ®ã cña ∆ABC víi träng t©m G th× ®êng th¼ng nèi hai
®iÓm ®ã
ph¶i ®i qua trung ®iÓm c¹nh ®èi diÖn
D
M
CB
A

10. Gi¶ sö nèi B víi G th× BG sÏ ®i qua trung ®iÓm N cña AC . Vµ lÊy
mét ®iÓm E lµ trung ®iÓm BG ta sÏ cã BE = EG = GN = 3
1
BN . Khai th¸c
tÝnh chÊt nµy vµ dùa vµo ®Þnh lÝ “ Hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-
êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau” . Ta tiÕp tôc vÏ c¸c ®êng th¼ng
EE’ vµ NN’ vu«ng gãc víi xy t¹o nªn c¸c h×nh thang AA’CC’ ; EE’NN’ ;
BB’GG’. VËn dông tÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña h×nh thang ®Ó tÝnh
chÊt ®êng trung b×nh cña mçi h×nh thang trªn so víi hai ®¸y cña nã biÕn
®æi dÇn ta sÏ ®îc kÕt qu¶ cÇn t×m .
* Nh÷ng ®iÓm cÇn lu ý khi vÏ ®êng phô :
a) VÏ ®êng phô ph¶i cã môc ®Ých , kh«ng vÏ tuú tiÖn . Ph¶i n¾m thËt
v÷ng ®Ò bµi , ®Þnh híng chøng minh tõ ®ã mµ t×m xem cÇn vÏ ®êng
phô nµo phôc vô cho môc ®Ých chøng minh cña m×nh.
b) VÏ ®êng phô ph¶i chÝnh x¸c vµ tu©n theo ®óng c¸c phÐp dùng h×nh
c¬ b¶n .
c) Víi mét bµi to¸n nhng vÏ ®êng phô kh¸c nhau th× c¸ch chøng minh
còng kh¸c nhau . Cã khi víi cïng mét ®êng phô nhng c¸ch vÏ kh¸c nhau
nh trong vÝ dô 7 nªn kh«ng lÊy MD = BM mµ ta l¹i lÊy D lµ trung ®iÓm
AB ( h×nh
bªn )
E’
N
E G
A’ N’ C’
C
B
A
B’
yx
G’

11. ch¼ng h¹n th× kh«ng vËn dông tÝnh chÊt 2 ®êng chÐo cña h×nh ch÷
nhËt mµ ph¶i chøng minh ∆ADM = ∆DBM , hoÆc ë vÝ dô 2 vÏ ®êng phô
theo hai c¸ch ta còng cã hai c¸ch chøng minh .
Th«ng qua mét sè vÝ dô ®· nªu , b¹n ®äc ®îc hiÓu phÇn nµo vai trß cña
viÖc vÏ ®êng phô trong chøng minh h×nh häc . Cã n¾m v÷ng ®îc kiÕn
thøc c¬ b¶n mét c¸ch ch¾c ch¾n , biÕt vËn dông linh ho¹t míi biÕt khai
th¸c d÷ kiÖn cña bµi ra mµ t×m c¸ch vÏ ®êng phô thÝch hîp ®Ó gi¶i to¸n .
Nh vËy vÏ ®êng phô còng lµ mét kü n¨ng trong gi¶i to¸n h×nh häc .
*Mét sè lo¹i ®êng phô thêng vÏ nh sau :
1) KÐo dµi mét ®o¹n th¼ng b»ng ®o¹n th¼ng cho tríc hay ®Æt mét ®o¹n
th¼ng b»ng ®o¹n th¼ng cho tríc ( VD 2 ) .
2) VÏ thªm mét ®êng th¼ng song song víi ®o¹n th¼ng cho tríc tõ mét
®iÓm cho tríc .
3) Tõ mét ®iÓm cho tríc vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng cho
tríc ( VD 8 ).
4) Nèi 2 ®iÓm cho tríc hoÆc x¸c ®Þnh trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng
cho tríc .
5) Dùng ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc .
6) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc hay b»ng nöa gãc cho tríc
7) VÏ tiÕp tuyÕn víi mét ®êng trßn cho tríc tõ mét ®iÓm cho tríc .
8) VÏ tiÕp tuyÕn chung, d©y chung hoÆc ®êng nèi t©m khi cã hai ®êng
trßn giao nhau hay tiÕp xóc ngoµi víi nhau.
* Mét sè bµi to¸n tham kh¶o .
Bµi 1: ë miÒn ngoµi h×nh b×nh hµnh ABCD lÊy mét ®iÓm P sao cho gãc
PAB = gãc PCB . C¸c ®Ønh A vµ C n»m trong nh÷ng nöa mÆt ph¼ng kh¸c
nhau ®èi víi ®êng th¼ng PB. Chøng minh r»ng gãc APB = gãc DPC.
Bµi 2: Cho ∆ABC c©n t¹i A . Tõ trung ®iÓm H cña BC kÎ HE ⊥ AC ( E
AC∈ ) . Gäi O lµ trung ®iÓm cña HE . Chøng minh AO ⊥ BE.
B
A
D
M
C

12. Bµi 3 : Gi¶ sö AC lµ ®êng chÐo lín cña h×nh b×nh hµnh ABCD. Tõ C kÎ c¸c
®êng th¼ng CE, CF t¬ng øng vu«ng gãc víi AB, AD .
Chøng minh : AB. AE + AD. AF = AC2
.
Bµi 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Mét ®êng th¼ng c¾t AB t¹i E , AD t¹i F
vµ ®êng chÐo AC t¹i G .
Chøng minh: AG
AC
AF
AD
AE
AB
=+
Bµi 5: Cho ∆ABC cã gãc A = 1v . Chän trªn AB mét ®iÓm D, kÎ Dx // AC
nã c¾t BC t¹i E tho¶ m·n AE ⊥ CD t¹i K vµ cho n
m
AE
CD
= .
TÝnh
ADEC
BDE
S
S

13. C/ kÕt luËn :
Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu vÒ ph¬ng ph¸p chøng minh mét bµi tËp
h×nh häc, t«i chØ ®a ra mét ph¬ng ph¸p c¬ b¶n thêng dïng trong ch¬ng
tr×nh phæ th«ng c¬ së. §Ò tµi nµy ®· hÖ thèng ho¸ c¸c t×nh huèng vÏ h×nh
phô trong bµi tËp h×nh häc . Bªn c¹nh ®ã lµ mét sè c¸c vÝ dô minh ho¹ cho
c¸c t×nh huèng ®ã , c¸c bµi tham kh¶o . Tuy nhiªn ®Ò tµi còng cã Ýt nhiÒu
h¹n chÕ vÒ thÓ lo¹i , cha ®¸p øng ®îc c¸c ®èi tîng nhÊt lµ häc sinh giái .
Trong ph¬ng ph¸p nªu trªn còng cßn h¹n chÕ c¶ vÒ néi dung vµ ph¬ng
ph¸p .
T«i rÊt mong nhËn ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn x©y dùng cña c¸c ®ång chÝ
,®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi ®îc cñng cè, söa ch÷a , ®¸p øng ®îc yªu cÇu cña
b¹n ®äc .
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
§«ng Hoµng ngµy 8 th¸ng 6 n¨m 2007
Ngêi viÕt
PhÝ Ngäc Thi
Tµi liÖu tham kh¶o
1. S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viªn h×nh 7, 8.
2. Bµi so¹n h×nh 7, 8
3. §Ó häc tèt h×nh 7, 8
4. Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn h×nh 7, 8
5. Ph¬ng d¹y häc to¸n häc- NguyÔn B¸ Kim , Vò D¬ng Thuþ
6. Ph¬ng ph¸p chøng minh trong h×nh häc –NguyÔn Phóc Tr×nh
7. TuyÓn chän c¸c bµi to¸n cÊp 2- NguyÔn H¶i Ch©u