Download as PDF, PPTX
![§H- 52 -
Chia thµnh 2 ®o¹n.
- §o¹n thø nhÊt : 0 < Z < l1
y1 = y0 + y,
0
1
1sin
z
; y,
1 = y,
0 cos1z.; M1 = 1EJ y,
0 sin1z; Q,
= M,
1 – P1y,
1 = 0 ; 2
1
=
EJ
P1
.
- §o¹n thø 2 : gèi t¹i ®iÓm ®Æt lùc P2 0 < Z < l2; 2
2
=
EJ
PP 21
.
y2(0) = y1l1 = y0 + y,
0
1
11sin
l
; y,
2(0) = y,
1 (l1) = y,
0 cos1l1
M2(0) = M1 (l1) = P1
1
,
0
y
sin1l1 ; Q2(0) = Q(l1) = 0
Vµ y2 = [y0+ y,
0
1
11sin
l
]+y,
0
2
11cos
l
sin2z-
21
1
PP
P
.
1
,
0
y
sin1l1(1 - cos2z).
y,
2 = y,
0 cos1l1 cos2z -
21
1
PP
P
2
1
,
0
y
sin1l1 sin2z .](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-52-320.jpg)
![§H- 53 -
§iÒu kiÖn biªn ë ngµm : z = l2 ; y2(l2) = 0 ; y,
2(l2) =
Ta ®îc ph¬ng tr×nh , ®Ó tån t¹i y0 ; y,
0 ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
cos1l1 cos2l2 [1 -
21
1
PP
P
.
1
2
tg1l1tg2l2 ] = 0
3 trêng hîp x¶y ra : cos1l1 = 0
cos2l2 = 0
tg1l1tg2l2 =
21
1
PP
P
.
2
1
=
1
2
.
VÝ dô 2.3 : Cho hÖ nh h×nh vÏ.](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-53-320.jpg)
![§H- 73 -
Mm = c.cosz + [
vv
dvvc
cos
1sin
]sinz
b
a
mk
mm
c d
b
c
p
q = e
pyo
ya
Thay vµo c«ng thøc chuyÓn vÞ, tÝch ph©n vµ biÕn ®æi, ta cã :
EJkm =
3
bdl
1(V) +
3
acl
2(V) +
66
bcladl
3(V)
1 = 2
3
v
1
v
tgv
;](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-73-320.jpg)
![§H- 80 -
Gi¶i ra ta cã : Ma = 2i[1a + 2b - (1 + 2)
l
];
Mb = 2i[2a + 1b - (1 + 2)
l
];
Qa = Qb = -
l
i2
[(1 + 2)( a + b) - 3
l
]
1 =
tgv
v
2 vtgv
vtgv
2
;
2 =
v
v
sin2
v
v
tg
vv
2
2
sin
;
1 + 2 =
2
1
v
v
tg
v
tgv
2
2
2
2
;
3 =
2
1
v
v
tg
v
2
2
3](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-80-320.jpg)
![§H- 87 -
- Thanh CE v1 = l
EJ
P
= V0
= 8,0 = 0,894
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D =
2221
1211
rr
rr
= 0
r11 = 11i0 + 4i0 2 (v0) ;
r22 = 8i0 + 4i0 2 (v0) ;
r12 = r21 4i0
HoÆc :
4i0
2
[42 (v0) + 11] [2 (v0) + 2] = 16i0
2
T×m nghiÖm b»ng c¸ch thö dÇn :
v,
< v0 < v,,
T×m v,
tõ cho v1 = v2 = v0 , suy ra v,
= 5,46
T×m v,,
tõ cho v1 = v2 = v0 , ta cã v0 – 5,46](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-87-320.jpg)
![§H- 97 -
Ta cã : (vi)Mi-1 + 2[i(vi) + i+1(vi+1)]Mi + i+1(vi+1)Mi+1 = 0
ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi tùa trung gian vµ suy ra ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tõ Mi 0.
* VÝ dô 4.1: T×m Pth cho dÇm sau :
e j = c o n s t0
l
p32
l l
1
Lóc nµy = l ; v = l
EJ
P
. ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho hai gèi 1 vµ 2. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh
: D =
)()(
)()(
4
4
vv
vv
= 0.
Khai triÓn 4(v) + (v) = 0 mÊt æn ®Þnh ®èi xøng.
V = 5,14 ; Pth = 26,42 2
l
EJ
Khi 4(v) - (v) = 0 mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph©n xøng.](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-97-320.jpg)
![§H- 106 -
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0; v = l0
EJ
P
=
3
l
EJ
P
.
§Æt f = 5Cl0
3
/6EJ =
EJ
cl
162
5 3
r11 = 3
0
3
l
EJ
1(v) + C = 3
0
3
l
EJ
[1(v) +
5
2
f]
r22 =
0
3
l
EJ
1(v) +
0
2
l
EJ
2
2
v
tg
v
=
0
3
l
EJ
[1(v) +
3
2
2
2
v
tg
v
]
r12 = r21 = 2
0
3
l
EJ
1(v) thay vµo D vµ khai triÓn](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-106-320.jpg)
![§H- 107 -
f =
2
5
2
3
1
]
2
3
1
[
)(1
)(1)(1
2
)(1
v
tg
v
v
tg
v
v
vvv
Khi cã C, tøc cã f, sÏ suy ra v ; Pth = 9v2
2
l
EJ
= 2
2
)( l
EJ
; =
v3
.
Chó ý : l0 =
3
l
.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-107-320.jpg)
![§H- 108 -
z2=1p
1
= 11
p
l0 l0/2
z2
p
m2
m1
r22 =
0
3
l
EJ
[1(v) + 21(
2
v
) ] r12 = r21 = 2
0
3
l
EJ
[1(v) - 41(
2
v
) ]
r11 = 3
0
3
l
EJ
1(v) + 3
0
24
l
EJ
1(
2
v
) + C = 3
0
3
l
EJ
[1(v) + 81(
2
v
) +
5
2
f] thay vµo D khai triÓn :
f =
2
5
)
2
(2
)]
2
(2)].[
2
(8[)]
2
(4[
1)(1
1)(11)(1
2
1)(1
v
vvv
v
vvv
](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-108-320.jpg)
![§H- 116 -
= C0 + C1z + C2z2
+ . . . + Cnzn
n
z
l/2 l/2
u
x
z
Thay vµo ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ s¾p xÕp sè h¹ng, ta cã :
= C0[1-
4.3
2
k
z4
+
8.7.4.3
4
k
z8
-
12.11.8.7.4.3
6
k
z12
+. . .]+C1z[1-
5.4
2
k
z4
+
9.8.5.4
4
k
z8
– -
13.12.9.8.5.4
6
k
z12
+ . . .]
§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; = 0 suy ra C0 = 0.
z = l/2 ; u = ;
dz
du
= 0 ;
dz
d
= 0.](https://image.slidesharecdn.com/trg123-160128060144/85/Trg123-116-320.jpg)
More Related Content
![Microsoft power point thep ii - nha cong nghiep nhe -2015 [compatibility mode]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/microsoftpowerpoint-thepii-nhacongnghiepnhe-2015compatibilitymode-160127091504-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Trg123
- 1. §H- 1 - Trêng®¹i häc kiÕn tróc hµ néi Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu Ts ph¹m v¨n trung Bµi gi¶ng phÇn I æn ®Þnh c«ng tr×nh Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN Hà nôi, 2014
- 2. §H- 2 - 1.Më ®Çu 1.1 ý nghÜa cña viÖc nghiªn cøu æn ®Þnh c«ng tr×nh Trong phÇn I vµ II cña c¬ häc kÕt cÊu chóng ta ®· nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh to¸n ®é bÒn vµ ®é cóng cña hÖ kÕt cÊu c«ng tr×nh. Khi thiÕt kÕ kÕt cÊu c«ng tr×nh, nÕu chØ kiÓm tra ®iÒu kiÖn bÒn vµ ®iÒu kiÖn cøng kh«ng th«i th× cha ®ñ ®Ó ph¸n ®o¸n kh¶ n¨ng lµm viÖc cña c«ng tr×nh. Trong nhiÒu trêng hîp, ®Æc biÖt lµ c¸c kÕt cÊu chÞu nÐn hoÆc nÐn cïng víi uèn, tuy t¶i träng cha ®¹t ®Õn gi¸ trÞ ph¸ ho¹i vµ cã khi cßn nhá h¬n gi¸ trÞ cho phÐp vÒ ®iÒu kiÖn bÒn vµ ®iÒu kiÖn cøng nhng kÕt cÊu vÉn cã thÓ mÊt kh¶ n¨ng b¶o toµn h×nh d¹ng ban ®Çu ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng mµ chuyÓn sang d¹ng c©n b»ng kh¸c. Néi lùc trong d¹ng c©n b»ng míi ®ã sÏ ph¸t triÓn rÊt nhanh vµ lµm cho c«ng tr×nh bÞ ph¸ ho¹i. §ã lµ hiÖn tîng kÕt cÊu bÞ mÊt æn ®Þnh. Bµi to¸n æn ®Þnh ®· ®îc quan t©m tõ ®Çu thÕ kû XVIII, khëi ®Çu tõ c«ng tr×nh nghiªn cøu b»ng thùc nghiÖm do Piter van Musschenbroek c«ng bè n¨m 1729, ®· ®i ®Õn kÕt luËn ®óng: "lùc
- 3. §H- 3 - tíih¹n tû lÖ nghÞch víi b×nh ph¬ng chiÒu dµi thanh". Ngêi ®Æt nÒn mãng cho viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt bµi to¸n æn ®Þnh lµ L. euler qua c«ng tr×nh c«ng bè ®Çu tiªn vµo n¨m 1744. Tuy nhiªn, cho m·i ®Õn cuèi thÕ kû XIX vÊn ®Ò æn ®Þnh c«ng tr×nh míi ®îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ qua nh÷ng cèng hiÕn cña c¸c nhµ khoa häc nh: Gi¸o s F. S. iaxinski, ViÖn sü a. N. §innik, ViÖn sü V. G. Galerkin... Cho ®Õn nay, ®· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ lÜnh vùc nµy vµ ®· gi¶i quyÕt tèt nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n cña thùc tÕ. Trong ph¹m vi bµi gi¶ng nµy ta sÏ nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh cña nh÷ng hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng t¸c dông tÜnh lµ chñ yÕu. Trong gi¸o tr×nh søc bÒn vËt liÖu ®· ®Ò cËp tíi æn ®Þnh cña nh÷ng thanh ®¬n gi¶n chÞu nÐn ®óng t©m cßn ë ®©y chóng ta sÏ nghiªn cøu æn ®Þnh cña hÖ thanh lµm viÖc trong miÒn ®µn håi chÞu t¶I träng t¸c dông tØnh.
- 4. §H- 4 - 1.2Kh¸i ni£m vÒ æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh c«ng tr×nh a. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa to¸n häc cña a. M. Liapunov vÒ æn ®Þnh chuyÓn ®éng ®îc xem lµ tæng qu¸t vµ bao trïm cho mäi lÜnh vùc. Trong lÜnh vùc c«ng tr×nh, æn ®Þnh lµ tÝnh chÊt cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng gi÷ ®îc vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc gi÷ ®îc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng t¬ng øng víi c¸c t¶i träng t¸c dông. TÝnh chÊt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh thêng kh«ng ph¶i lµ v« h¹n khi t¨ng gi¸ trÞ cña c¸c t¶i träng t¸c dông trªn c«ng tr×nh. Khi tÝnh chÊt ®ã mÊt ®i th× c«ng tr×nh kh«ng cßn kh¶ n¨ng chÞu t¶i träng, lóc nµy c«ng tr×nh ®îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh. Nh vËy, vÞ trÝ cña c«ng tr×nh hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng æn ®Þnh hoÆc kh«ng æn ®Þnh. VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh ®îc gäi lµ æn ®Þnh díi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét ®é lÖch rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú nµo ®ã
- 5. §H- 5 - ngoµit¶i träng ®· cã (cßn ®îc gäi lµ nhiÔu) råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ cã khuynh híng quay trë vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu. VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh ®îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh díi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét ®é lÖch rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú nµo ®ã ngoµi t¶i träng ®· cã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ kh«ng quay trë vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu. Lóc nµy, ®é lÖch cña c«ng tr×nh kh«ng cã khuynh híng gi¶m dÇn mµ cã thÓ tiÕp tôc ph¸t triÓn cho ®Õn khi c«ng tr×nh cã vÞ trÝ míi hoÆc d¹ng c©n b»ng míi. Bíc qu¸ ®é cña c«ng tr×nh tõ tr¹ng th¸i æn ®Þnh sang tr¹ng th¸i kh«ng æn ®Þnh gäi lµ mÊt æn ®Þnh. Giíi h¹n ®Çu cña bíc qu¸ ®é ®ã gäi lµ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña c«ng tr×nh. T¶i träng t¬ng øng víi tr¹ng th¸i tíi h¹n gäi lµ t¶i träng tíi h¹n. Tõ kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh ta còng cÇn ph©n biÖt hai trêng hîp: mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ vµ mÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng. b. C¸c lo¹i mÊt æn ®Þnh MÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ
- 6. §H- 6 - HiÖntîng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ x¶y ra khi toµn bé c«ng tr×nh ®îc xem lµ tuyÖt ®èi cøng, kh«ng gi÷ nguyªn ®îc vÞ trÝ ban ®Çu mµ buéc ph¶i chuyÓn sang vÞ trÝ kh¸c. §ã lµ trêng hîp mÊt æn ®Þnh lËt hoÆc trît cña c¸c c«ng tr×nh têng ch¾n, mè cÇu, trô cÇu, th¸p níc... Trong nh÷ng trêng hîp nµy, c¸c ngo¹i lùc t¸c dông trªn c«ng tr×nh kh«ng thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ ban ®Çu cña c«ng tr×nh mµ chØ cã thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ míi kh¸c vÞ trÝ ban ®Çu. VÞ trÝ cña c¸c vËt thÓ tuyÖt ®èi cøng cã thÓ lµ æn ®Þnh, kh«ng æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh. Mét vÝ dô ®¬n gi¶n vÒ hiÖn tîng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ lµ trêng hîp viªn bi ë c¸c vÞ trÝ kh¸c nhau nh trªn h×nh 1. MÆc dï viªn bi ®Òu c©n b»ng ë c¶ ba vÞ trÝ, song cã sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a ba trêng hîp nµy khi cã mét nguyªn nh©n nµo ®ã ®a viªn bi lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng ban ®Çu víi mét lîng v« cïng bÐ råi th¶ ra, ta thÊy: Trêng hîp thø nhÊt, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu lâm: viªn bi dao ®éng quanh vÞ trÝ ban ®Çu råi cuèi cïng trë vÒ vÞ trÝ cò. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi t¨ng lªn. Do ®ã, vÞ trÝ cña viªn bi ë díi ®¸y mÆt cÇu lâm hay vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh t¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc tiÓu.
- 7. §H- 7 - Trêng hîp thø hai, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu låi : viªn bi kh«ng trë vÒ vÞ trÝ ban ®Çu mµ tiÕp tôc l¨n xuèng phÝa díi. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi gi¶m. Do ®ã, vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh t¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc ®¹i. H×nh 1.1 HiÖn tîng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ Trêng hîp thø ba, viªn bi ®Æt trªn mÆt ph¼ng : viªn bi kh«ng quay vÒ vÞ trÝ ban ®Çu vµ còng kh«ng chuyÓn ®éng tiÕp tôc. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng phiÕm ®Þnh. VÞ trÝ c©n b»ng phiÕm ®Þnh t¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi kh«ng ®æi. Trong c¬ häc vËt thÓ tuyÖt ®èi cøng, cã thÓ æn ®Þnh, mÊt æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh. MÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng x¶y ra khi d¹ng biÕn d¹ng ban ®Çu cña vËt thÓ biÕn d¹ng t¬ng øng víi t¶i träng cßn nhá, buéc ph¶i chuyÓn sang d¹ng biÕn
- 8. §H- 8 - d¹ngmíi kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã hoÆc x¶y ra khi biÕn d¹ng cña vËt thÓ ph¸t triÓn nhanh mµ kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã. Trong nh÷ng trêng hîp nµy, sù c©n b»ng gi÷a c¸c ngo¹i lùc vµ néi lùc kh«ng thÓ thùc hiÖn ®îc t¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng ban ®Çu mµ chØ cã thÓ thùc hiÖn ®îc t¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c d¹ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt hoÆc chØ cã thÓ thùc hiÖn ®îc khi gi¶m t¶i träng. HiÖn tîng nµy kh¸c víi hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ ë c¸c ®iÓm sau: ®èi tîng nghiªn cøu lµ vËt thÓ biÕn d¹ng, kh«ng ph¶i tuyÖt ®èi cøng; sù c©n b»ng cÇn ®îc xÐt víi c¶ ngo¹i lùc vµ néi lùc. Bµi to¸n æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ thêng ®¬n gi¶n, trªn c¬ së vËn dông c¸c ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®· biÕt trong C¬ häc c¬ së còng ®ñ ®Ó gi¶i bµi to¸n. Trong bµi gi¶ng nµy chØ xÐt bµi to¸n æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng. c. Ph©n lo¹i XuÊt ph¸t tõ hai quan niÖm kh¸c nhau vÒ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña euler vµ cña PoincarrÐ, cã thÓ chia thµnh hai lo¹i mÊt æn ®Þnh víi c¸c ®Æc trng nh sau: MÊt æn ®Þnh lo¹i mét
- 9. §H- 9 - C¸c®Æc trng cña hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét hay mÊt æn ®Þnh euler: D¹ng c©n b»ng cã kh¶ n¨ng ph©n nh¸nh. Ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi kh¸c d¹ng c©n b»ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt. Tríc tr¹ng th¸i tíi h¹n d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ duy nhÊt vµ æn ®Þnh; sau tr¹ng th¸i tíi h¹n d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ kh«ng æn ®Þnh. §Ó minh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n lµ trêng hîp thanh th¼ng chÞu nÐn ®óng t©m nh trªn h×nh 2. l p Pth d a c b 0 p pth p>pth H×nh 1.2 HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i 1
- 10. §H- 10 - Khi lùc P cßn nhá, thanh vÉn th¼ng, tr¹ng th¸i chÞu nÐn cña thanh lµ tr¹ng th¸i ban ®Çu vµ duy nhÊt. NÕu ®a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× hÖ sÏ dao ®éng råi trë vÒ d¹ng ban ®Çu nh cò. Do ®ã, d¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh. Tr¹ng th¸i c©n b»ng æn ®Þnh nµy ®îc m« t¶ bëi ®o¹n oa trªn ®å thÞ liªn hÖ gi÷a chuyÓn vÞ vµ t¶i träng P. Khi t¨ng lùc P ®Õn mét gi¸ trÞ gäi lµ lùc tíi h¹n Pth, thanh ë tr¹ng th¸i tíi h¹n. Lóc nµy, ngoµi tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn cßn cã kh¶ n¨ng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc, nghÜa lµ thanh ë tr¹ng th¸i c©n b»ng phiÕm ®Þnh. Nh vËy, d¹ng c©n b»ng bÞ ph©n nh¸nh thµnh hai d¹ng biÕn d¹ng. Tr¹ng th¸i nµy t¬ng øng víi ®iÓm ph©n nh¸nh a trªn ®å thÞ. Khi P > Pth, tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn vÉn cã kh¶ n¨ng tiÕp tôc tån t¹i song kh«ng æn ®Þnh v× nÕu ®a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× hÖ sÏ kh«ng cã kh¶ n¨ng trë vÒ d¹ng th¼ng ban ®Çu. D¹ng c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh nµy t¬ng øng víi nh¸nh aB trªn ®å thÞ. Trong hÖ còng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc
- 11. §H- 11 - khibiÕn d¹ng cña thanh lµ h÷u h¹n. D¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh vµ ®îc m« t¶ bëi nh¸nh aC hoÆc aD trªn ®å th . NÕu tiÕp tôc t¨ng lùc P th× vÒ mÆt lý thuyÕt trong thanh sÏ ph¸t sinh nh÷ng d¹ng c©n b»ng míi díi d¹ng uèn däc t¬ng øng víi nh÷ng lùc tíi h¹n bËc cao. Tuy nhiªn, ngoµi d¹ng c©n b»ng thø nhÊt t¬ng øng víi lùc tíi h¹n nhá nhÊt, nh÷ng d¹ng c©n b»ng t¬ng øng víi lùc tíi h¹n bËc cao ®Òu lµ kh«ng æn ®Þnh, hiÕm khi x¶y ra vµ kh«ng cã ý nghÜa thùc tÕ. Bëi vËy trong thùc tÕ ta chØ cÇn t×m lùc tíi h¹n nhá nhÊt. HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét cã thÓ x¶y ra t¬ng øng víi c¸c d¹ng sau: MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m. Ngoµi vÝ dô võa xÐt, trªn h×nh 3 giíi thiÖu mét sè vÝ dô kh¸c vÒ mÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m nh: vµnh trßn kÝn (h×nh 3a) chÞu ¸p lùc ph©n bè ®Òu híng t©m (¸p lùc thñy tÜnh); vßm parabol chÞu t¶i träng ph©n bè ®Òu theo ph¬ng ngang (hinh 3b). §ã lµ nh÷ng hÖ chØ chÞu nÐn ®óng t©m nÕu bá qua ¶nh hëng cña biÕn d¹ng nÐn ®µn håi khi hÖ cßn æn ®Þnh. NÕu t¶i träng q vît qu¸ gi¸ trÞ qth th× trong hÖ sÏ ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi theo ®êng ®øt nÐt. Trong trêng hîp khung chÞu t¶i träng nh trªn h×nh 3c: khi P < Pth, khung
- 12. §H- 12 - cãd¹ng c©n b»ng chÞu nÐn; khi P > Pth, d¹ng c©n b»ng chÞu nÐn kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã d¹ng c©n b»ng míi chÞu nÐn cïng víi uèn theo ®êng ®øt nÐt trªn h×nh vÏ. p pth p pth qq a) b) c) H×nh 1.3 MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng ®èi xøng. VÝ dô, ta xÐt khung ®èi xøng chÞu t¶i träng t¸c dông ®èi xøng nh trªn h×nh 4.
- 13. §H- 13 - pthpth p pth H×nh 1.4 MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng ®èi xøng H×nh 1.5 MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn ph¼ng Khi P < Pth, khung cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng ®èi xøng (®êng liÒn nÐt); khi P > Pth, d¹ng c©n b»ng ®èi xøng kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã d¹ng c©n b»ng míi kh«ng ®èi xøng (®êng ®øt nÐt). 3. MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn ph¼ng. VÝ dô, ta xÐt dÇm ch÷ i chÞu uèn ph¼ng do t¶i träng P (h×nh 5). Khi P < Pth, dÇm cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng uèn ph¼ng; khi P > Pth, d¹ng uèn ph¼ng kh«ng æn ®Þnh vµ dÇm cã d¹ng c©n b»ng míi lµ d¹ng uèn cïng víi xo¾n (®êng ®øt nÐt).
- 14. §H- 14 - MÊt æn ®Þnh lo¹i 2 BiÕn d¹ng vµ d¹ng c©n b»ng kh«ng kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt. Kh«ng ph©n nh¸nh. VÝ dô: vßm 3 khíp chÞu lùc P. NhiÖm vô chÝnh x¸c lµ x¸c ®Þnh Pth. p k pth p a c b n n n n f h Pth h f th H×nh 1.6 HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i 2
- 15. §H- 15 - §Óminh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n: trêng hîp dµn Mises cã ba khíp a, B, C chÞu lùc P ®Æt t¹i khíp C nh trªn h×nh 6a. §å thÞ liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ th¼ng ®øng f t¹i C nh trªn h×nh 6b. §Ó dùng ®å thÞ nµy ta cÇn t×m täa ®é cña c¸c ®iÓm trªn ®êng cong P = P(f), øng víi mçi ®iÓm ta thùc hiÖn nh sau: t¬ng øng víi mçi gi¸ trÞ chuyÓn vÞ f1 ta dÔ dµng t×m ®îc biÕn d¹ng däc trôc cña c¸c thanh aC, BC; tiÕp ®ã tõ biÕn d¹ng ®· biÕt t×m ®îc gi¸ trÞ lùc däc N1 trong c¸c thanh vµ suy ra gi¸ trÞ P1 t¬ng øng theo tæng h×nh häc cña c¸c lùc N1. Ta nhËn thÊy ë giai ®o¹n ®Çu lùc P t¨ng lªn cïng víi ®é vâng f nhng khi f = h tøc lµ khi ba khíp a, B, C n»m trªn cïng ®êng th¼ng th× P = 0. Sù liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ f lµ liªn tôc nªn ®êng cong P = P(f) ph¶i cã d¹ng nh trªn h×nh 6b. Gi¸ trÞ cña lùc P t¬ng øng víi khi ®é vâng t¨ng mµ kh«ng cÇn t¨ng t¶i träng gäi lµ lùc tíi h¹n. Khi P = Pth, sù c©n b»ng gi÷a néi lùc vµ ngo¹i lùc ®¹t ®Õn tr¹ng th¸i giíi h¹n. Khi P > Pth, sù c©n b»ng chØ cã thÓ x¶y ra khi gi¶m t¶i träng P. Tr¹ng th¸i giíi h¹n ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn: dP/df = 0.
- 16. §H- 16 - §ãlµ hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i hai hay hiÖn tîng mÊt kh¶ n¨ng chÞu lùc theo tr¹ng th¸i giíi h¹n thø nhÊt. Trong trêng hîp nµy ta thÊy biÕn d¹ng cña hÖ ph¸t triÓn nhng kh«ng thay ®æi vÒ tÝnh chÊt, kh«ng ph©n nh¸nh. Trong thùc tÕ, c¸c cÊu kiÖn cña c«ng tr×nh thêng kh«ng ®¬n thuÇn chÞu nÐn mµ chÞu uèn cïng víi nÐn nªn c¸c cÊu kiÖn nµy thêng bÞ mÊt æn ®Þnh lo¹i hai víi t¶i träng nhá h¬n t¶i träng tíi h¹n lo¹i mét. Tuy vËy, khi x¸c ®Þnh kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c¸c cÊu kiÖn chÞu uèn cïng víi nÐn ta vÉn cÇn biÕt gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc däc trong c¸c cÊu kiÖn ®ã t¬ng øng víi sù mÊt æn ®Þnh lo¹i mét (xem môc 3.1, ch¬ng 3). Do ®ã, sù nghiªn cøu hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét kh«ng nh÷ng chØ cã ý nghÜa lý thuyÕt mµ cßn cã ý nghÜa thùc tÕ. c. NhiÖm vô cña m«n häc Trong ph¹m vi tµi liÖu nµy ta chØ nghiªn cøu bµi to¸n æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c¸c lo¹i thanh vµ hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng t¸c dông tÜnh. Cßn bµi to¸n án ®Þnh vÒ vÞ trÝ cña c«ng tr×nh ®· ®îc nghiªn cøu trong gi¸o tr×nh c¬ häc c¬ së. NhiÖm vô chÝnh lµ nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh t¶i träng tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c«ng tr×nh.
- 17. §H- 17 - p3p1p2 p4 H×nh 1.7 HÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi Trong trêng hîp hÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi nh trªn h×nh 7, thay thÕ cho t¶i träng tíi h¹n ta dïng kh¸i niÖm vÒ th«ng sè tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng æn ®Þnh. Th«ng sè tíi h¹n lµ ®é an toµn vÒ mÆt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh ®èi víi mét nhãm lùc nhÊt ®Þnh. Ch¼ng h¹n, cÇn x¸c ®Þnh ®é an toµn cña khung trªn h×nh 7 ®èi víi ba lùc P1, P2 vµ P4 trong sè bèn lùc t¸c dông trªn hÖ. Muèn vËy ta nh©n ba lùc nµy víi th«ng sè vµ t×m gi¸ trÞ tíi h¹n th cña th«ng sè ®Ó sao cho khi hÖ chÞu t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc thP1, thP2 , P3 vµ thP4 (nghÜa lµ t¨ng c¸c lùc P1, P2 vµ P4 lªn th lÇn cßn lùc P3 kh«ng t¨ng) th× khung sÏ ®¹t tíi tr¹ng th¸i tíi h¹n.
- 18. §H- 18 - 1.3Kh¸i niÖm vÒ bËc tù BËc tù do cña hÖ lµ sè th«ng sè h×nh häc ®éc lËp ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña hÖ khi hÖ mÊt æn ®Þnh. VÝ dô, hÖ gåm hai thanh tuyÖt ®èi cøng ®îc liªn kÕt nh trªn h×nh 8 cã bËc tù do b»ng mét v× toµn bé d¹ng mÊt æn ®Þnh (®êng ®øt nÐt) cña hÖ ®îc x¸c ®Þnh theo mét th«ng sè (chuyÓn vÞ y1 cña khíp gi÷a hay gãc xoay 1 cña mét thanh nµo ®ã). HÖ gåm bèn thanh tuyªt ®èi cøng ®îc liªn kÕt nh trªn h×nh 9 cã bËc tù do b»ng hai. ThËt vËy, sau khi x¸c ®Þnh vÞ trÝ míi 1', 2' cña khíp 1 vµ 2 b»ng hai th«ng sè 1 vµ 2 ta dÔ dµng t×m ®îc vÞ trÝ míi 3' cña khíp 3 lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn cã t©m 2' b¸n kÝnh l víi ®êng trßn cã t©m b b¸n kÝnh h.
- 19. §H- 19 - y1 p1,thp2,th p3,th l 0,5l0,5l 0,333l0,333l0,333l H×nh 1.8 H×nh 1.9 H×nh 1.10 Víi hÖ cã bËc tù do b»ng n ta cã n gi¸ trÞ lùc tíi h¹n. Ngoµi lùc tíi h¹n nhá nhÊt t¬ng øng víi d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh cßn c¸c lùc tíi h¹n kh¸c t¬ng øng víi d¹ng c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh. C¸c hÖ biÕn d¹ng ®µn håi cã bËc tù do b»ng v« cïng nªn cã v« sè gi¸ trÞ lùc tíi h¹n song chØ cã lùc tíi h¹n nhá nhÊt lµ cã ý nghÜa thùc tÕ. VÝ dô víi thanh cã hai ®Çu khíp trªn h×nh 10a, tõ Søc bÒn vËt liÖu ta ®· biÕt lùc tíi h¹n dîc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:
- 20. §H- 20 - Pn,th= (n )2 2 l EI , víi n - sè nguyªn. LÇn lît cho n = 1, 2, 3, ta sÏ ®îc v« sè gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n: H×nh 10 P1,th = 2 2 l EI ; P2,th = 42 2 l EI ; P3,th = 92 2 l EI ,… Trªn h×nh 10 lµ c¸c d¹ng biÕn d¹ng t¬ng øng víi gi¸ trÞ thø nhÊt, thø hai vµ thø ba cña lùc tíi h¹n. ChØ cã lùc tíi h¹n thø nhÊt t¬ng øng víi gi¸ trÞ nhá nhÊt míi cã ý nghÜa thùc tÕ. C¸c lùc tíi h¹n thø hai, thø ba... chØ cã ý nghÜa lý luËn vµ c¸c d¹ng biÕn d¹ng t¬ng øng kh«ng æn ®Þnh. 1.4. c¸c biÓu hiÖn vÒ sù c©n b»ng æn ®Þnh a.BiÓu hiÖn tÜnh häc Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch, x¸c ®Þnh t¶i träng t¬ng øng NÕu: Pl > P – hÖ æn ®Þnh. Pl < P – hÖ kh«ng æn ®Þnh.
- 21. §H- 21 - Pl= P – hÖ phiÕm ®Þnh. VÝ dô 1.1 : Cho hÖ nh h×nh vÏ, EJ = ngµm ®µn håi víi ®Êt ®é cøng lµ k. p l H×nh 1.11
- 22. §H- 22 - ChohÖ tr¹ng th¸i lÖch. m = 0 P* - k = 0. P*lsin - k = 0. Cho sin = . P* = l k , vËy NÕu P < l k th× hÖ æn ®Þnh . b.BiÓu hiÖn n¨ng lîng. Dïng nguyªn lý Dirichle: NÕu æn ®Þnh thÕ n¨ng cùc ®¹i. HÖ phiÕm ®Þnh thÕ n¨ng kh«ng ®æi. ThÕ n¨ng toµn phÇn gåm thÕ n¨ng biÕn d¹ng vµ thÕ n¨ng ngo¹i lùc (tr¸i dÊu víi céng ngo¹i lùc). Khi ë tr¹ng th¸i lÖch sè gia thÕ n¨ng toµn phÇn : U = V - T Theo Dirichle : V > T – æn ®Þnh . V < T – kh«ng æn ®Þnh . V = T – phiÕm ®Þnh. VÝ dô 1.2 : nh vÝ dô 1.1
- 23. §H- 23 - p l H×nh1.12 Sè gia c«ng ngo¹i lùc : T = .
- 24. §H- 24 - T= Pl (1 - cos) = 2Pl sin2 2 = 2 2 Pl V = 2 1 M , M lµ m« men ë ngµm ®µn håi: M = k V = 2 1 M2 , hÖ æn ®Þnh : V > T 2 2 Pl < 2 1 M2 P < l k . 1.3. c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh a. Ph¬ng ph¸p tÜnh häc Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. X¸c ®inh gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cã kh¶ n¨ng gi÷ hÖ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng míi tõ c¸c ph¬ng tr×nh ®Æc trng hay cßn gäi lµ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh . Ph¬ng ph¸p nµy cho phÐp x¸c ®Þnh c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n. b. Ph¬ng ph¸p n¨ng lîng Gi¶ thiÕt ®êng ®µn håi hay d¹ng biÕn d¹ng ë tr¹ng th¸i lÖch, tÝnh thÕ n¨ng vµ c«ng ngo¹i lùc. Sau ®ã ding biÓu hiÖn ë §1.2. Sau ®©y lÇn lît tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p thêng gÆp.
- 25. §H- 25 - 1.4.ph¬ng ph¸p lËp vµ gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n Thø tù nh sau: - Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch lËp ph¬ng tr×nh vi ph©n. - T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n. - ThiÕt lËp c¸c pt x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n vµ ph¶n lùc cha biÕt. - Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c h»ng sè tÝch ph©n kh¸c kh«ng vµ D () = 0. - Gi¶i ph¬ng tr×nh æn ®Þnh , t×m ®îc lùc tíi h¹n. * VÝ dô 1.3 : X¸c ®Þnh lùc tíi h¹n nhá nhÊt cho EI = const.
- 26. §H- 26 - y pz z l y H×nh1.13 Cho tr¹ng th¸i lÖch nh h×nh vÏ 1.13:
- 27. §H- 27 - DïngmÆt c¾t c¾t qua toa ®é z, xÐt c©n b»ng m« mem ph©n trªn toa ®é z ta cã: Mz = - P( - y); MÆt kh¸c do ®é lÖch nhá, ¸p dông liªn hÖ vi ph©n gi÷a m«men vµ chuyÓn vÞ nh Søc bÒn vËt liÖu. EIy,, = - M ; Ta cã : EIy,, = P( - y) ; Chia hai vÕ cho EI, ®Æt = EI P vµ chuyÓn vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n: y,, + 2 y =2 ; §©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai kh«ng thuÇn nhÊt b»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 thuÇn nhÊt y,, + 2 y =0; lµ y = Acosz + Bsinz céng víi mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 kh«ng thuÇn nhÊt: y,, + 2 y =2 ; lµ y=.
- 28. §H- 28 - Tacã nghiÖm: y = Acosz + Bsinz + ; Víi A, B lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n ®îc x¸c ®Þnh theo c¸c ®iÒu kiÖn biªn. §iÒu kiÖn biªn: T¹i z = 0: y = 0; y, = 0; T¹i z= l: y = ; Ta suy ra 0.0.sin.cos 0.0..0 0.1.0.1 BlAl BA BA Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i tr¹ng th¸i lÖch th× c¸c gi¸ trÞ cña A, B, ph¶I kh¸c kh«ng, mÆt kh¸c hÖ ph¬ng tr×nh x¸c ®Þnh A, B, C l¹i lµ hÖ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt chØ cã nghiÖm kh¸c kh«ng khi ®Þnh thøc c¸c hÖ sè b»ng kh«ng. Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh lµ ®Þnh thøc c¸c hÖ sè b»ng kh«ng:
- 29. §H- 29 - D()= 0sincos 00 101 ll =0; cosl = 0. l = (2k – 1) 2 víi k = 1. 2. 3. … Khi k = 1. Tõ = EI P P = EI2 Pth = 2 2 4l EJ = 2,467 2 l EJ KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ tinh theo c«ng thøc ¥le. 1.5. thiÕt lËp vµ gi¶i ph¬ng tr×nh ®¹i sè Thø tù tÝnh to¸n : - Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. - LËp ph¬ng tr×nh ®¹i sè liªn hÖ c¸c chuyÓn vÞ t¹i c¸c ®iÓm kh¶o s¸ - Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c nghiÖm y 0 ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh . - Gi¶i vµ t×m ra lùc tíi h¹n.
- 30. §H- 30 - *VÝ dô 1.4 : Cho hÖ nh vÝ dô 1.3. l z p p=1 l p p H×nh 1.14 Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch nh h×nh vÏ 1.14a. §é lÖch t¹i ®Çu cét lµ .
- 31. §H- 31 - Taquan niÖm ®é lÖch nµy nh mét chuyÓn vÞ ngang t¹i ®Çu cét do t¶i träng P g©y ra vµ ¸p dông c¸ch tÝnh chuyÓn vÞ nµy nh trong c¬ häc kÕt cÊu. Coi hÖ ®· cho lµ tr¹ng tr¹ng “m” vÏ biÓu ®å m« men Mm nh h×nh 1.14b. T¹o tr¹ng th¸i “k” vµ vÏ biÓu ®å kM nh h×nh vÏ 1.14c. TÝnh chuyÓn vÞ: ))(( MmkM NÕu coi biÓu ®å Mm do lùc P g©y ra cã d¹ng tam gi¸c = 2 1 lP EI l 2 3 ; (1 - EI Pl 3 2 ) = 0. Pth = 2 3 l EI , sai sè 20% NÕu coi biÓu ®å Mm do lùc P g©y ra cã d¹ng Parabol : = lP EI 3 21 8 5l ; (1 - EI Pl 12 5 2 ) = 0 Pth = 2,4 2 l EI Sai sè 2,8% ta cã thÓ chia thµnh nhiÒu ®iÓm.
- 32. §H- 32 - 1.6.Ph¬ng ph¸p n¨ng lîng ¸p dông trùc tiÕp nguyªn lý dirichle Khi hÖ ë tr¹ng th¸i phiÕm ®Þnh ta cã : TV V lµ thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña hÖ díi t¸c dông cña néi lùc. ds EJ M V 2 2 1 ; Lu ý r»ng yEIM Thay vµo biÓu thøc trªn ta cã: dsyEJV 2 )( 2 1 ; T lµ c«ng cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ Khi hÖ chØ chÞu c¸c lùc tËp trung:
- 33. §H- 33 - pkkPT ; kl pkpk 0 ; cos1cos. dsdsdspk dsytgdsdsdsdspk 222 2 2 2 1 . 2 1 . 2 1 2 .2. 2 sin2 dsyPT lk k 0 2 2 1 Tr×nh tù tÝnh to¸n. - Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch. - Chän hµm sè y biÓu diÔn ®êng ®µn håi cña hÖ ë tr¹ng th¸I lÖch, Hµm sè nµy ph¶i thâa m·m c¸c ®iÒu kiÖn biªn - TÝnh V vµ T
- 34. §H- 34 - -Cho TV ta t×m ®îc lùc tíi h¹n. * VÝ dô 1.6 : TiÕn hµnh cho vÝ dô 1.3. y pz z l y Chän hµm sè y = (1 - cos l z 2 ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn :
- 35. §H- 35 - y, = l2 sin l z 2 ;y,, = 2 2 4l cos l z V = 2 1 l l EJ dz l z l EJ 0 3 422 2 2 642 cos 4 . T = 2 1 P l l Pdz l z l0 2 2 2 162 sin 2 Cho V = T 3 4222 6416 l EJ l P . Pth = 2 2 4l EJ . KÕt qu¶ chÝnh x¸c v× ®êng ®µn håi ®óng nh ®· chän. 1.7. Ph¬ng ph¸p ritz Dùa trªn c¬ së nghiªn cøu thÕ n¨ng toµn phÇn : U = U0 + V - T
- 36. §H- 36 - V= 2 1 dsyEJ 2,, )( ; T = 2 1 kl k dsyP 0 2, )( . Gi¶ thiÕt hµm díi d¹ng chuçi y = iif . (2) ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn c¸c th«ng sè ®Ó thÕ n¨ng cùc tiÓu : 1f U = 0, 2f U = 0 … nf U = 0. LËp ph¬ng tr×nh ®Æc trng vµ t×m Pth. * VÝ dô 1.9 : Chän hÖ nh vÝ dô 1.3. Gi¶ thiÕt ®êng biÕn d¹ng y = f1z2 + f2z4 ; y, = 2f1z + 4 f2z3 ; y,, = 2f1 + 12 f2z2 V = dzy EJ 2,, 2 = l EJ 0 2 (2f1 + 12 f2z2 )2 dz. = 2Ejl (f2 1 + 4 f1f2l2 + 5 36 f2 2 l4 ).
- 37. §H- 37 - T= l dzy P 0 2, 2 = l P 0 2 (2f1z + 4 f2z3 )2 dz. = 2Pl3 ( 2 1 f2 1 + 5 4 f1f2l2 + 7 4 f2 2 l4 ) VËy U = U0 + V - T ; cho 1f U = 0, 2f U = 0. Ta cã : 0) 7 2 5 18 () 5 ( 0) 5 2 2() 3 ( 2 42 1 2 2 22 1 2 fl P EJlf l PEJ fl P EJlfl P EJ Khi mÊt æn ®Þnh f1, f2 kh¸c kh«ng, D = 0. §Æt P* = EJ Pl2 Khai triÓn ®Þnh thøc : P*2 – 45P* + 105 = 0 P* = 2,5 Pth = 2,5 2 l EJ . So s¸nh, sai sè b»ng 1,2%.
- 38. §H- 38 - 2.æn ®Þnh c¸c thanh th¼ng 2.1. Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t ®êng ®µn håi trong thanh chÞu uèn däc XÐt thanh nh h×nh vÏ : z p m0 y0 q0 y y z p m q p m+dm q dy dz Trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng : y, 0
- 39. §H- 39 - Mz= M0 + Q0z + P(y – y0) ; y,, = - EJ M y,, = - EJ yyPzQM )( 000 , gäi 2 = EJ P . y,, + 2 y = - EJ PyzQM 000 NghiÖm tæng qu¸t : y =Asinz + Bcosz - EJ PyzQM 2 000 y, = Acosz - Bsinz - EJ Q 2 0 §iÒu kiªn biªn z = 0 ; y0 = B - EJ PyM 2 00 ; y, 0 = A - EJ Q 2 0 . A = , 0y + EJ Q 3 0 ; B = EJ M 2 0 .
- 40. §H- 40 - Tacã : y = y0 + , 0y sinz - EJ M 2 0 (1 - cosz) - EJ Q 3 0 (z - sinz) Ph¬ng tr×nh gãc xoay vµ ®é vâng nh sau: y, = y0 , cosz - EJ M 0 sinz - EJ Q 2 0 (z - cosz). M = -EJy,, = EJ y0 , sinz + M0 cosz + 0Q sinz Qz = dz dM - P dz dy = Q0 §èi víi ®o¹n m +1 : ym+1=ym+y+ y, sin(z–a)- EJ M 2 (1–cos(z- a)) - EJ Q 3 ((z–a)-sin(z–a)) y, m+1 = y, m + y, cos(z- a) - EJ M sin(z- a) - EJ Q 2 (1- cos(z – a)) Mm+1 = Mm + EJy, sin(z- a) + M cos(z- a) + Q sin(z- a) Qm+1 = Qm + Q
- 41. §H- 41 - 2.2.æn ®Þnh thanh th¼ng cã liªn kÕt cøng ë hai ®Çu vµ liªn kÕt ®µn håi a. Liªn kÕt cøng Theo SBVL : Pth = 2 2 )( l EJ . HÖ sè phô thuéc liªn kÕt ®Çu thanh : 2 ®Çu khíp = 1; Mét ®Çu khíp 1 ®Çu tù do : = 2 ;Mét ®Çu khíp 1 ®Çu ngµm : = 0,7 ;Hai ®Çu ngµm : = 0,5. b. Liªn kÕt ®µn håi 1. Mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm ®µn håi :
- 42. §H- 42 - p y y0 z 0 l M0= 0 ; Q0 = 0 y = y0 + , 0y sinz.
- 43. §H- 43 - y, =y, 0cosz Z = l yl = 0, y, l = Gäi : lµ hÖ sè ®µn håi, tøc lµ gãc xoay ngµm ®µn håi khi chÞu m«men b»ng ®¬n vÞ th× = - Py0. HoÆc : y0 + y, 0 lsin = 0 y, 0 cosl = - Py0. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :D = lP l cos sin 1 = 0 HoÆc : ltgl = EJ l Gäi l = V ; EJ l = tg 1 Ta cã : ctgV = Vtg Dïng ®å thÞ t×m ®îc Vth th vµ cã Pth. Tõ h×nh vÏ ta thÊy Vth< 2 nªn Pth nhá h¬n khi mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm.
- 44. §H- 44 - VÝdô 2.1 : T×m lôc tíi h¹n cho hÖ nh h×nh vÏ: a b p c l 2l vtg ctgv v vth a b p c l 2l EJ = const
- 45. §H- 45 - Xemthanh AC nh ngµm ®µn håi ë A. HÖ sè ®µn håi ®îc t×m khi xÐt dÇm AB chÞu m«men t¹i A b»ng ®¬n vÞ : = EJ l 3 2 ; tg = l EJ = l EJ 3 2 EJ l = 3 2 . HoÆc ctgV = 3 2V Suy ra : Vth = 1,01 ; Pth = 1,02 2 l EJ . 2. Mét ®Çu ngµm cøng mét ®Çu thanh ®µn håi: Th«ng sè ban ®Çu M0 = 0 ; Q0 = R = y y0 y : chuyÓn vÞ cña liªn kÕt ®µn håi do P = 1 g©y ra Ph¬ng tr×nh ®êng ®µn håi cã d¹ng : y = y0 + , 0y sinz - EJy y 3 0 (z - sinz)
- 46. §H- 46 - y p z r= y0 v 0 tgv vth Z = l ; y1 = 0 ; y, 0 = 0. Ta ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
- 47. §H- 47 - D= l EJy l l EJy ll cos cos1 sinsin 1 2 3 = 0. §Æt v = l Khai triÓn tgV = V – V3 y .3 l EJ Gi¶i b»ng ®å thÞ : y = 0 tøc gèi cøng ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tgV = V ; V = 4,493. Pth = 2 2 )7,0( l EJ t¬ng tù mét ®Çu ngµm mét ®Çu khíp. * VÝ dô 2.2 : Cho khung nh h×nh vÏ, t×m Pth.
- 48. §H- 48 - p bc da ej= jj l r p HÖ sè ®µn håi y chÝnh lµ chuyÓn vÞ ®Çu C cña thanh CD. Khi chÞu lùc P = 1, ta thếy y = EJ l 3 3 . Thay vµo : tgV = V – V3 y = V - 3 3 V . Gi¶i b»ng ®å thÞ : V = 2,16 ; Pth = 2 66,4 l EJ 2.3. æn ®Þnh thanh cã lùc ®Æt däc theo chiÒu dµi thanh 1.Thanh 2 ®Çu tùa khíp
- 49. §H- 49 - a b qb p c yc p qa y z b a l §o¹nAC, gèi ë A, 0 < z1 < a. y1 = 1 , 0 y sinz - EJ QA 3 1 (1z1 - sin1z1)
- 50. §H- 50 - y, 1= y0 , cos1z1 - EJ QA 2 (1 - cos1z1) ; 2 1 = EJ P . §o¹n BC, gèi ë B. ; 0 < z2 < b. V× kh«ng cã lùc nÐn nªn 2 = 0. y2 = yB , z2 - EJ QB 6 z3 2 ; y, 2 = y, B - EJ QB 2 z2 2 . Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng : QA = QB = l Pyc = 2 1 l EJ yc V× yc = y2(b) = y, B.b - EJ bQB 6 3 = EJ lQB 2 1 . Nªn QA = QB = y, B l b 6 1 32 1 2 1 b l EJ §iÒu kiÖn chuyÓn tiÕp : y1a = y2b ; y1a , = - y2b , . Khi mÊt æn ®Þnh y, A vµ y, B kh¸c kh«ng ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = a b b l a aba 1 22 1 1 111 cos 3 1(cos )sin(sin = 0
- 51. §H- 51 - HoÆc: tg1a = b lb b 1 3 22 1 1 Khi a = b = 2 l ®Æt V = 2l ; tg 2 V = 36 6 2 V V ; V = 4,32 vµ Pth = 18,66 2 l EJ 2. Thanh mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm l p1 p2 z y l1 l2
- 52. §H- 52 - Chiathµnh 2 ®o¹n. - §o¹n thø nhÊt : 0 < Z < l1 y1 = y0 + y, 0 1 1sin z ; y, 1 = y, 0 cos1z.; M1 = 1EJ y, 0 sin1z; Q, = M, 1 – P1y, 1 = 0 ; 2 1 = EJ P1 . - §o¹n thø 2 : gèi t¹i ®iÓm ®Æt lùc P2 0 < Z < l2; 2 2 = EJ PP 21 . y2(0) = y1l1 = y0 + y, 0 1 11sin l ; y, 2(0) = y, 1 (l1) = y, 0 cos1l1 M2(0) = M1 (l1) = P1 1 , 0 y sin1l1 ; Q2(0) = Q(l1) = 0 Vµ y2 = [y0+ y, 0 1 11sin l ]+y, 0 2 11cos l sin2z- 21 1 PP P . 1 , 0 y sin1l1(1 - cos2z). y, 2 = y, 0 cos1l1 cos2z - 21 1 PP P 2 1 , 0 y sin1l1 sin2z .
- 53. §H- 53 - §iÒukiÖn biªn ë ngµm : z = l2 ; y2(l2) = 0 ; y, 2(l2) = Ta ®îc ph¬ng tr×nh , ®Ó tån t¹i y0 ; y, 0 ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : cos1l1 cos2l2 [1 - 21 1 PP P . 1 2 tg1l1tg2l2 ] = 0 3 trêng hîp x¶y ra : cos1l1 = 0 cos2l2 = 0 tg1l1tg2l2 = 21 1 PP P . 2 1 = 1 2 . VÝ dô 2.3 : Cho hÖ nh h×nh vÏ.
- 54. §H- 54 - l/2 l/2 3p p §Æt1= EJ P = ; 2= EJ PP 3 = 2 EJ P = 2. Ta cã : tg 2 V tgV = 2 víi V = l ; V = 1,23. Pth = 1,232 l EJ = 2 513,1 l EJ
- 55. §H- 55 - NÕutheo cosl = 0 th× Pth = 2 2 4l EJ = 2,46 2 l EJ NÕu theo cos 2 1 = 0 ; l = th× Pth = 2 2 l EJ Ta cã min thP = 1,513 2 l EJ . 2.4. æn ®Þnh thanh chÞu träng lîng b¶n th©n z q dz XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh vi ph©n
- 56. §H- 56 - EJy,,, =- Qz Qz = qz.sin qz tg = qzy, Vµ EJy,,, + qzy, = 0 §Æt a2 = EJ ql3 ; l z = t; u = y, Tõ z = lt dz = ldt ; dz2 = l2 dt2 , thay vµo 2 2 dt ud + a2 tu = 0 NghiÖm biÓu diÔn díi hµm sè Betxen hoÆc chuçi v« h¹n : U = c0 + c1t + c2t2 + …citi Thay vµo. §ång nhÊt thøc C2 = 8. 2.3C3 = -a2 C0 ; 3.4C4 = -a2 C1 ; 4.5C5 – a2 C2 = 0 ; 5.6C6 = -a2 C3 = a4 3.2 0C Ta thÊy c¸c h»ng sè C mang chØ sè 2, 5, 8, 11, … ®Òu b»ng 0 tøc : C2+3i = 0 víi i = 0, 1, 2.
- 57. §H- 57 - Ci+2= 21 2 ii a Ci – 1 §iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; t = 0 ; M = -EJy,, = 0 dt du = 0 Z = l. Tøc t = 1. y, = 0 suy ra u = 0. LÊy ®¹o hµm u theo t, tõ ®iÒu kiÖn biªn thø nhÊt C1 = 0 ®Ó dt du = C0(- 2 2 a t2 + 5.3.2 4 a t5 - …) = 0 víi C0 tån t¹i. 1 - 3.2 2 a + 6.5.3.2 4 a - 9.8.6.5.3.2 6 a - … + = 0 a = 2,799. Qlth = a2 2 l EJ = 7,84 2 l EJ Chó ý ph¬ng tr×nh cña u lµ : u = C0 (1 - 3.2 2 a t3 + 6.5.3.2 4 a t6 - … ) + C1 + (1 - 4.3 2 a t3 + 6.5.3.2 4 a t6 - … )
- 58. §H- 58 - 2.5.thanh tiÕt diÖn thay ®æi a. Thay ®æi h×nh bËc thang p j1 j2 l1 l2 p l Ph¬ng tr×nh vi ph©n cho tõng ®o¹n. EJ1y,, 1 + Py1 = P EJ2y,, 2 + Py2 = P NghiÖm cã d¹ng: y1 = A1sin1z + B1 cos1z +
- 59. §H- 59 - y2= A2sin2z + B2 cos2z + 1 = 1EJ P ; 2 = 2EJ P §iÒu kiÖn biªn: z = 0 ; y, 2 = 0 ; z = l ; y1 = z = l2 ; y, 1 = y, 2 y,, 1 = 1 2 EJ EJ ; y,, 2 = 2 2 2 1 y,, 2 Ta cã : A2 = 0 A1sin1l + B1cos1l = 0 A11cos1l2 – B11sin1l2 + B22sin2l2 = 0 A1sin1l2 + B1cos1l2 – B2cos2l2 = 0 Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = 222121 22 1 2 2121 11 coscossin sinsincos 0cossin lll lll ll = 0
- 60. §H- 60 - KhaitriÓn : tg1l1tg2l2 = 2 1 Trêng hîp thanh chÞu t¶i träng tËp trung : lùc P1 ë ®Ønh, lùc P2 ë chç tiÕp gi¸p 2 ®o¹n. Ta ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : tg1l1tg2l2 = 2 1 1 21 P PP Trong ®ã : 1= 1 1 EJ P ; 2= 2 21 EJ PP VÝ dô 2.5 : Cho EJ2 = 2 3 EJ1 , t×m lùc tíi h¹n.
- 61. §H- 61 - l/3 2l/3 j2 j1 p 5p Trênghîp nµy 1= 1EJ P = ; 2= 2 5 EJ PP = 13 2.6 EJ P = 2 1l1 = 3 2l = V; 2l2 = 2. 3 1 = V Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
- 62. §H- 62 - tg2 V= 2 P P6 = 3; tgV = 3 ; V = 3 ; 3 2l 1EJ P = 3 Ptb = 2 1 2 4l EJ Ngêi ta còng ®· lËp cho c¸c trêng hîp kh¸c thµnh b¶ng s½n víi Pth = K2EJ2/l2 b. Thay ®æi theo quy luËt luü thõa z 0 a z p a ViÖn sÜ A.N Dinnhich lµ ngêi ®Çu tiªn nghiªn cøu lo¹i thanh nµy. J(z) = J1 n a z Trêng hîp thanh cã tiÕt diÖn ®Æc, h kh«ng ®æi b thay ®æi bËc nhÊt, th× n = 1.
- 63. §H- 63 - Trênghîp thanh tiÕt diÖn rçng, mçi c¹nh thay ®æi theo quy luËt bËc nhÊt n = 2. Trêng hîp thanh ®Æc, thay ®æi theo d¹ng nãn côt, Ta cã n = 4. Víi bµi to¸n nµy, chän trôc to¹ ®é nh h×nh vÏ. Ph¬ng tr×nh vi ph©n : EJi n a z 2 2 dz yd = -Py Ta cã thÓ viÕt nghiÖm díi d¹ng chuçi v« h¹n. Ngêi ta ®· lËp thµnh b¶ng víi Pth = k4 2 2 l EJ
- 64. §H- 64 - BµitËp II.1. Cho hÖ chÞu lùc nÐn nh trªn h×nh II.1. T×m s¬ ®å tÝnh vµ lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. II.2. Cho hÖ chÞu c¸c lùc nÐn nh trªn h×nh II.2. T×m lùc tíi h¹n. Cho biÕt: l2 = 2l1/3; I2 = I1. H×nh II.1 H×nh II.2 H×nh II.3 II.3. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.3. T×m lùc tíi h¹n.
- 65. §H- 65 - II.4- II.6. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh trªn c¸c h×nh t¬ng øng. VËn dông c¸c ph¬ng tr×nh cña ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a = l/ 2 ; EI = const. II.7. VËn dông ph¬ng ph¸p gÇn ®óng cña K«r«b«v lËp c«ng thøc tÝnh æn ®Þnh cho thanh cã khíp tùa ë hai ®Çu chÞu lùc nÐn P ®Æt ë trong nhÞp (h×nh 2.5 trong phÇn lý thuyÕt). T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a = b = l/ 2 .
- 66. §H- 66 - H×nhII.4 H×nh II.5 H×nh II.6 H×nh II.8 II.8. VËn dông ph¬ng ph¸p gÇn ®óng, t×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n cho thanh chÞu lùc ph©n bè nh trªn c¸c h×nh II.9a, b. II.9. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.9. VËn dông c¸c ph¬ng tr×nh cña ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a) a = 0,2 l ; I2 = I ; I1 = 0,4 I . b) a = l : 6 ; I2 = I; I1 = 0,25 I. II.10. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu c¸c lùc nÐn nh trªn h×nh II.10. VËn dông c¸c ph¬ng tr×nh cña ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi: a = b = 0,5 l; I1 = I ; I2 = 2 I .
- 67. §H- 67 - H×nhII.9 H×nh II.10 H×nh II.11 H×nh II.12 H×nh II.13 II.11. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.11. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : h1 = h ; h2 = 2h ; h3 = 3h ; I1 = I ; I2 = 4I ; I3 = 9I . II.12. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.12. T×m lùc tíi h¹n. Cho biÕt: I(z) = Io 4z(l -z) / l2, víi Io - m«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp.
- 68. §H- 68 - ChØdÉn: Sau khi lËp ph¬ng tr×nh vi ph©n cña ®êng ®µn håi sÏ ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n cã hÖ sè thay ®æi. Ph¬ng tr×nh nµy sÏ ®îc tháa m·n nÕu ®Æt nghiÖm nh sau: y(z) = 4 f z(l -z) / l2, víi f - chuyÓn vÞ t¹i tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp. II.13. Cho thanh cã khíp tùa ë hai ®Çu, tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nh trªn h×nh II.13. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc bèn víi I1/I2 = 0,6. b) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc hai víi I1/I2 = 0,6.
- 69. §H- 69 - 3.æn ®Þnh khung ph¼ng 3.1 C¸c gi¶ thiÕt 1- VËt liÖu ®µn håi ; 2- C¸c nót khung tuyÖt ®èi cøng, kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nót tríc vµ sau khi biÕn d¹ng theo ph¬ng ban ®Çu kh«ng ®æi ; 3- ChØ kÓ tíi M, N xuÊt hiÖn tríc biÕn d¹ng g©y ra ; 4- T¶i träng chØ ®Æt t¹i c¸c nót vµ chØ g©y ra kÐo hoÆc nÐn. Tríc tiªn cÇn x¸c ®Þnh lùc däc c¸c thanh víi t¶i träng ®· cho b»ng c¸c ph¬ng ph¸p ë c¬ häc vµ kÕt cÊu. TiÕp ®ã, x¸c ®Þnh Pth hoÆc c¸c th«ng sè tíi h¹n. Trong bµi to¸n æn ®Þnh cña khung cã thÓ ¸p dông nguyªn lý céng t¸c dông ®èi víi c¸c t¶i träng ngang, v× c¸c lùc ngang chØ xuÊt hiÖn sau khi mÊt æn ®Þnh víi nh÷ng gi¸ trÞ rÊt nhá. MÆt kh¸c quy íc, xem lùc nÐn nh lµ
- 70. §H- 70 - méttrong nh÷ng tÝnh chÊt cho biÕt cña hÖ. Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh nhng c¬ b¶n lµ hai ph¬ng ph¸p lùc vµ chuyÓn vÞ. 3.2. x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ trong nh÷ng thanh uèn cïng nÐn XÐt hÖ ë 2 tr¹ng th¸i , km = kM EJ dsMm pk kmp a. Thanh ®Æt tù do trªn 2 gèi tùa khíp BiÓu thøc: Mm= EJy, 0sinz+M0cosz+ 0Q sinz = EJy, 0sinz + c. cosz + l cd sinz
- 71. §H- 71 - Khiz = l ; yl = 0. y, 0 = EJ c tgVV 11 + EJ d VV 1 sin 1 p c d d c mm mk a b Trong ®ã : V = l. Thay gi¸ trÞ y, 0 ta cã : Mm = c.cosz + tgV c V d sin sinz
- 72. §H- 72 - CßnkM = a + l ab .z EJkm=c l 0 (a+ l ab .z)coszdz+ tgV c V d sin l 0 (a+ l ab .z) sinzdz LÊy tÝch ph©n vµ biÕn ®æi ta cã : EJkm = r bdlacl 33 + r bcladl 66 ; (V) = 2 3 r tgV V 1 ; (V) = 2 6 v 1 sinV V Tra b¶ng b. Thanh mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do MB = c + el + PyA = d + PyA e= l cd v× el = d – c
- 73. §H- 73 - Mm= c.cosz + [ vv dvvc cos 1sin ]sinz b a mk mm c d b c p q = e pyo ya Thay vµo c«ng thøc chuyÓn vÞ, tÝch ph©n vµ biÕn ®æi, ta cã : EJkm = 3 bdl 1(V) + 3 acl 2(V) + 66 bcladl 3(V) 1 = 2 3 v 1 v tgv ;
- 74. §H- 74 - 2= 2 3 v v tgv v vtgv cos 2 1 ; 3 = 2 6 v v tgv vcos 1 3.3. tÝnh æn ®Þnh theo ph¬ng ph¸p lùc Cho khung siªu tÜnh nh h×nh (3.4), muèn t×m Pth ta tiÕn hµnh nh sau : a d c b p x1 x2 x3 p a. Chän hÖ c¬ b¶n :
- 75. §H- 75 - Nhtrong c¬ häc kÕt cÊu. Song, cÇn chó ý: víi thanh cã lùc nªn P ph¶i lµ phÇn tö 2 ®Çu khíp hoÆc mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do v× ®· thiÕt lËp chuyÓn vÞ theo 3.2. b. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: V× biÓu ®å M0 p kh«ng tån t¹i nªn c¸c sè h¹ng tù do ®Òu b»ng kh«ng. Ph¬ng tr×nh thø k sÏ lµ: k1 X1 + k2 X2 + km Xm + kn Xn = 0 §Ó x¸c ®Þnh hÖ sè víi thanh kh«ng cã lùc nÐn, ta nh©n b×nh thêng víi thanh cã lùc nÐn vµ dïng kÕt qu¶ ë 3.2. VÉn ¸p dông ®îc tÝnh t¬ng hç km = mk . Chó ý víi thanh CD ta chØ kÓ tíi lùc nÐn P ë nót mµ kh«ng kÓ tíi ¶nh hëng X1 v× nã chØ xuÊt hiÖn sau khi bÞ mÊt æn ®Þnh. c. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm xk ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh D = km = 0
- 76. §H- 76 - *VÝ dô 3.1 : Cho khung nh h×nh vÏ (3.5), t×m lùc tíi h¹n. p ej= l l x1 x2 x2 x1 x2=1 m1 p x1=1 l l l m2 x1=1 x2=1 p Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
- 77. §H- 77 - D= 2221 1211 = 0 ; V = l EJ P EJ11 = 3 3 l 1(V) + 3 3 l = 3 3 l (1 + 1) EJ22 = 3 4 3 l ; EJ12 = EJ21 = 2 3 l D = EJ 1 2 4 2 2 1 3 33 3 1 3 ll ll = Khai triÓn 4(1 + 1) – 2,25 = 0; 1 = -0,4375, tra b¶ng V = 2,79; Pth = 2 2 l EJV = 7,78 2 l EJ
- 78. §H- 78 - 3.4.néi lùc trong thanh chÞu nÐn vµ chuyÓn vÞ cìng bøc Ta thiÕt lËp c¸c phÇn tö mÉu nµy ®Ó dïng cho ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ. zp p y a qb mb qa ma y b l Dïng y = 0; mb = 0 Qa = Qb = - l PMM ba C¸c th«ng sè ban ®Çu :
- 79. §H- 79 - y0= 0 ; y, o = a; M0 = Ma ; Q0 = Qa . Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· lËp ë §2.1 : y = a sinz - EJ Ma 2 (1 - cosz) + EJ l EJ l MM ba 3 2 (z - sinz) y, = acosz - EJ M 0 sinz + ( EJl MM ba 2 + l )(1 - cosz) Mz = EJ. a sinz + Mcosz - ( l MM ba + EJ l )sinz ë ®©y Ma , Mb lµ c¸c ®¹i lîng cha biÕt vµ cã thÓ x¸c ®Þnh theo 2 ®iÒu kiÖn biªn ®Çu B. z =l ; yl = ; y, l = b vµ = a sinl - EJ M 2 0 (1 - cosl) + ( lEJ MM ba 3 + l )(l - sinl) b = a cosl - EJ M 0 sinl + ( EJl MM ba 2 + l )(1 - cosl)
- 80. §H- 80 - Gi¶ira ta cã : Ma = 2i[1a + 2b - (1 + 2) l ]; Mb = 2i[2a + 1b - (1 + 2) l ]; Qa = Qb = - l i2 [(1 + 2)( a + b) - 3 l ] 1 = tgv v 2 vtgv vtgv 2 ; 2 = v v sin2 v v tg vv 2 2 sin ; 1 + 2 = 2 1 v v tg v tgv 2 2 2 2 ; 3 = 2 1 v v tg v 2 2 3
- 81. §H- 81 - Tadïng nã ®Ó lËp c¸c mÉu : D¹ng s¬ ®å Ma Mb Qa = Qb 1 p = 1 b l 3i1 0 - l i3 1 2 p 1 - l i3 1 0 2 3 l i 1 3 = 1 p 4i2 2i2 - l i6 3 4 p - l i6 4 - l i6 4 2 12 l i 2 5 p a i tgv v -i v v sin 0
- 82. §H- 82 - 6 = 1 pba i tgv v -i v v sin 0 7 a z=1 +ivtgv 0 0 8 p =1 - ivtgv 0 0 9 l 0 0 - 2 l i v2 i = l EJ ; 1 = vtgv tgvv 3 2 ; 2 = 22 8 vv tgtgv vtgvv ; 3 = 22 sin4 sin vv tgv vvv 1 = vtgv v 3 3 ; 2 = 1 2 v = 4 - 12 2 v ; 3 = 1 2 v = 4 ;
- 83. §H- 83 - 3.5.tÝnh æn ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ a. Chän hÖ c¬ b¶n : T¬ng tù khi tÝnh vÒ ®é bÒn, cã nghÜa lµ ®Æt thªm c¸c liªn kÕt ng¨n c¶n chuyÓn vÞ th¼ng vµ xoay cña c¸c nót. b. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c : V× t¶i träng chØ cã lùc nÐn nªn kh«ng xuÊt hiÖn m« men uèn ; Rkp = 0 Ph¬ng tr×nh thø k cã d¹ng : rk1z1 + rk2z2 + … rkmzm + … rknzn = 0 C¸c hÖ sè rkm = rmk – x¸c ®Þnh tõ c¸c biÓu ®å kM . §iÌu kh¸c biÖt víi khi tÝnh ®é bÒn lµ c¸c hÖ sè rkm trong ph¬ng tr×nh æn ®Þnh phô thuéc vµo lùc nÐn P. Trong khi ®ã kkm khi tÝnh bÒn chØ phô thuéc zk = 1. c. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh.
- 84. §H- 84 - HÖph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã hai kh¶ n¨ng. Víi nghiÖm tÇm thêng zk = 0 – hÖ æn ®Þnh. Khi tån t¹i zk 0 th× xuÊt hiÖn d¹ng c©n b»ng míi kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt – hÖ kh«ng æn ®Þnh. Ta cã ph¬ng tr×nh D = rik = 0. Tõ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh t×m ®îc Pth , song ta cha t×m ®îc ®êng biÕn d¹ng bëi hÖ Zk 0 nhng v« ®Þnh. Cã thÓ cho Zk mét gi¸ trÞ nµo ®ã (vÝ dô zk = 1) råi t×m c¸c zk cßn l¹i theo hÖ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c. * VÝ dô 3.2 : Cho khung nh h×nh vÏ (3 – 7) , t×m Pth ? Gäi i = l EJ . C¸c biÓu ®å ®¬n vÞ nh h×nh vÏ. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh: D = 2221 1211 rr rr = r11r22 – r2 12 = 0 r11 = 7,5i ; r12 = r21 = 1,5 l i ; r22 = 2 l i (1,5 – v2 ) 7,5V2 – 9 = 0 V2 = 1,2 ; Pth = 1,2 2 l EJ
- 85. §H- 85 - m2 z1=1p m1 l l p 2j jj/2 p z1 z2 6i 1,5i z2=1 z1p 1,5i/l * VÝ dô 3.3: Cho hÖ nh h×nh vÏ (3.8), t×m Pth ?
- 86. §H- 86 - 4i0 l z1z2 z2=1z1=1 p 3i0 0,8p 4i0 8j0 2i0 4i0 3 2(v2) m1 m2 32i0 2(v1)4i0 8i0 p b c d a 0,8p j j j j e l l Gäi i0 = l EJ ; - Thanh biÕn d¹ng v2 = l EJ P8,0 = v0
- 87. §H- 87 - -Thanh CE v1 = l EJ P = V0 = 8,0 = 0,894 Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = 2221 1211 rr rr = 0 r11 = 11i0 + 4i0 2 (v0) ; r22 = 8i0 + 4i0 2 (v0) ; r12 = r21 4i0 HoÆc : 4i0 2 [42 (v0) + 11] [2 (v0) + 2] = 16i0 2 T×m nghiÖm b»ng c¸ch thö dÇn : v, < v0 < v,, T×m v, tõ cho v1 = v2 = v0 , suy ra v, = 5,46 T×m v,, tõ cho v1 = v2 = v0 , ta cã v0 – 5,46
- 88. §H- 88 - Vµv,, = 46,5 = 6,1 nªn 5,46 < v0 < 6,1. Khai triÓn ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : 2 (v0) .2 (v0) + 22 (v0) + 2,752 (v0) + 4,5 = 0 gäi vÕ tr¸i lµ , nÕu v0 = 5,46 th× > 0 v0 = 6,1 th× < 0 Chän v0 = 5,8 ; 1 = -2,54 ta l¹i chän 5,46 < v0 < 5,8 Uèi cïng ta cã : V0 = 5,56 Pth = 30,9 2 l EJ
- 89. §H- 89 - BµitËp III.1. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.1. III.2. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.2. Cho biÕt: EI = const H×nh III.1 h×nh III.2.
- 90. §H- 90 - III.3.T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.3. Cho biÕt: EI = const III.4. Cho hÖ chÞu lùc P nh trªn H×nh III.1 H×nh III.3 H×nh III.4 T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P t¬ng øng víi hai trêng hîp: a) khi k = 1; b) khi k = .
- 91. §H- 91 - III.5.Cho hÖ chÞu c¸c lùc P nh trªn h×nh III.5. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. H×nh III.5 III.6. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.6, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt: EI = const. III.7. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.7, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. H×nh III.6 H×nh III.7
- 92. §H- 92 - III.8.Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.8, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh ngang cã ®é cøng EA = . III.9. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.9, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh xiªn AB vµ CD cã ®é cøng E1A1 = 2 2 40 h EI . H×nh III.8 III.10. Cho hÖ chÞu lùc t¸c dông ®èi xøng nh trªn h×nh III.10. LËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh vµ t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P khi k = 2 ; l = 2h.
- 93. §H- 93 - H×nhIII.9 H×nh III.10 III.11. Cho c¸c dÇm liªn tôc chÞu lùc nh trªn c¸c h×nh III.11a, b, c, d. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P. Cho biÕt c¸c nhÞp dÇm cã chiÒu dµi nh nhau vµ b»ng l ; EI = const . H×nh III.11
- 94. §H- 94 - III.12.T×m lùc tíi h¹n cho hÖ chÞu lùc P nh trªn h×nh III.12. Cho biÕt: EI = const ; thanh ngang CD cã ®é cøng EA = .
- 95. §H- 95 - 4.æn ®Þnh dÇm vµ dµn 4.1. æn ®Þnh dÇm liªn tôc a. Dïng ph¬ng tr×nh 3 m« men Dïng ph¬ng ph¸p lùc ®· tr×nh bµy trong ch¬ng 3. pki-1 li+1li ki p pki+1 i-1m m i i+1m p p Ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi i : i(i-1)Mi-1 + iiMi + i(i+1)Mi+1 = 0
- 96. §H- 96 - XÐt®o¹n dÇm : li li+1 p i-1m =1 i(i-1) m i p p i+1m =1 p i i+1 i(i+1) =1 ii= i+1 i m i+1imm i-1 i(i-1) = i vii EJ l 6 )( ; i(i+1) = 1 1 6 i i EJ l (vi+1) ii = i i EJ l 3 (vi) + 1 1 3 i i EJ l (vi+1) vi = li i i EJ Pk ;i = li iJ J0
- 97. §H- 97 - Tacã : (vi)Mi-1 + 2[i(vi) + i+1(vi+1)]Mi + i+1(vi+1)Mi+1 = 0 ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi tùa trung gian vµ suy ra ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tõ Mi 0. * VÝ dô 4.1: T×m Pth cho dÇm sau : e j = c o n s t0 l p32 l l 1 Lóc nµy = l ; v = l EJ P . ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho hai gèi 1 vµ 2. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = )()( )()( 4 4 vv vv = 0. Khai triÓn 4(v) + (v) = 0 mÊt æn ®Þnh ®èi xøng. V = 5,14 ; Pth = 26,42 2 l EJ Khi 4(v) - (v) = 0 mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph©n xøng.
- 98. §H- 98 - V= 3,88 ; Pth = 15,05 2 l EJ VÒ vËt lý dÇm còng cã thÓ mÊt æn ®Þnh nh h×nh vÏ : M1 = M2 = 0. T¬ng tô thanh 2 ®Çu tùa khíp : V = ; Pth = 2 2 l EJ : ®©y lµ Pth nhá nhÊt. b. Dïng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ. T¬ng tù nh trong phÇn khung k+ 1k1 p0 p z1 zk zk+ 1 n Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c thø K : rk1x1 + … rkmxm + … rknxn = 0.
- 99. §H- 99 - Ph¬ngtr×nh æn ®Þnh D = rkm= 0. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh cã ®îc tõ ®iÒu kiÖn zk 0. Víi dÇm liªn tôc cßn x¶y ra trêng hîp mÊt æn ®Þnh khi zk = 0. * VÝ dô 4.2 : T×m Pth cho dÇm sau : Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c : r11z1 = 0 Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : r11 = 0 r11 = 1 13 l EJ (v1) + 2 23 l EJ 1(v2) 6 2p p j 1,5j1 9 p2p z1=1
- 100. §H- 100 - v1= l1 1 2 EJ P ; v2 = l2 15,1. 3 JE P = 1,5l1 1 2 EJ P = 1,5v1 Vµ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh 1(v1) + 1(1,5v1) = 0. B»ng thö dÇn : v1 = 2,355 Pth = 2 55,5 2 2 6 EJ (v× P1 = 2P) 4.2. æn ®Þnh c¸c thanh chÞu nÐn trong dµn Víi c¸c thanh dµn kh«ng c¾t qua thanh nµo, ta tÝnh æn ®Þnh nh thanh 2 ®Çu tùa khíp; víi thanh dµn c¾t cÇu qua 1 thanh hoÆc 2 thanh, ta tÝnh nh thanh ®Æt trªn gèi tùa ®µn håi; NÕu c¾t sè thanh lín h¬n, ta coi nh c¸c thanh n»m trªn nÒn ®µn håi vµ sÏ nghiªn cøu sau ®©y. l/3l/3l/3 j p p l/2 l/2 j j j j
- 101. §H- 101 - a.DÇm 2 nhÞp cã gèi tùa trung gian ®µn håi Dïng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ. Ph©n tÝch thµnh 2 trêng hîp ®èi xøng vµ ph¶n xøng. l1l1=l/2 p * Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng : z1 0 cßn z2 = 0.
- 102. §H- 102 - p z2 1(v)3i/li 3i1(v) z2=1 1(v)3i m1 m2 Ph¬ngtr×nh æn ®Þnh r11 = 0; Lùc c¾t ®Çu thanh : 2 1 3 l i 1(v) §é cøng liªn kÕt ®µn håi lµ C th× : r11 = 2. 2 1 3 l i 1(v) + C = 0. Víi v = l1 EJ P = 2 l EJ P ; 1(v) = - EJ cl 48 3 .
- 103. §H- 103 - Chóý : i = 1l EJ = 2. l EJ . Cã C ta sÏ t×m ®îc v vµ suy ra Pth. * Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Lóc nµy z1 = 0 ; z2 0. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : r22 = 0. hoÆc 2.3i1(v) = 0. Ta cã 1(v) = 0 vµ V = ; Pth = 2 2 1l EJ = 42 2 l EJ . BiÓu ®å quan hÖ gi÷a ®é cøng gäi ®µn håi C vµ tØ sè lùc tíi h¹n vµ lùc ¥le nh h×nh vÏ Khi C <162 2 l EJ ; Pth = 4P¬le thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng kh«ng phô thuéc C. Khi C > 162 2 l EJ thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng. Gäi EJ lµ ®é cøng thanh chÞu nÐn, EJ1 lµ ®é cøng thanh c¾t ngang. HÖ sè C chÝnh lµ lùc cÇn t¸c dông t¹i gi÷a nhÞp thanh c¾t sao cho t¹i ®ã cã chuyÓn vÞ b»ng 1. HoÆc = 1 3 48EJ cl = 1. Suy ra C = 3 148 l EJ
- 104. §H- 104 - Thayvµo 1(v) = - J J1 cã tØ sè J J1 suy ra v vµ Pth = 2 2 )( l EJ . HÖ sè theo b¶ng. J J1 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 2 3 2 /3 0,95 0,912 0,845 0,818 0,793 0,75 0,71 0,58 0,516 0,50 Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng : Pth = 42 2 l EJ tøc = 0,5 hay J J1 = 3 2 . Tøc J J1 < 3 2 thanh mÊt æn ®Þnh ®èi xøng ; Cßn J J1 > 3 2 thanh mÊt æn ®Þnh ph¶n xøng. = 0,5 kh«ng ®æi dï ta t¨ng ®é cøng thanh c¾ b. Thanh liªn tôc 3 nhÞp 2 gèi ®µn håi
- 105. §H- 105 - Dïngkhi thanh dµn c¾t qua hai thanh. * Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng hÖ c¬ b¶n nh h×nh 4 – 10. l0 l p 1=1 1 p z2=1 p p l0 l0 l0 z2 l0/2
- 106. §H- 106 - Ph¬ngtr×nh æn ®Þnh : D = 2221 1211 rr rr = 0; v = l0 EJ P = 3 l EJ P . §Æt f = 5Cl0 3 /6EJ = EJ cl 162 5 3 r11 = 3 0 3 l EJ 1(v) + C = 3 0 3 l EJ [1(v) + 5 2 f] r22 = 0 3 l EJ 1(v) + 0 2 l EJ 2 2 v tg v = 0 3 l EJ [1(v) + 3 2 2 2 v tg v ] r12 = r21 = 2 0 3 l EJ 1(v) thay vµo D vµ khai triÓn
- 107. §H- 107 - f= 2 5 2 3 1 ] 2 3 1 [ )(1 )(1)(1 2 )(1 v tg v v tg v v vvv Khi cã C, tøc cã f, sÏ suy ra v ; Pth = 9v2 2 l EJ = 2 2 )( l EJ ; = v3 . Chó ý : l0 = 3 l . * Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = 2221 1211 rr rr = 0
- 108. §H- 108 - z2=1p 1 =11 p l0 l0/2 z2 p m2 m1 r22 = 0 3 l EJ [1(v) + 21( 2 v ) ] r12 = r21 = 2 0 3 l EJ [1(v) - 41( 2 v ) ] r11 = 3 0 3 l EJ 1(v) + 3 0 24 l EJ 1( 2 v ) + C = 3 0 3 l EJ [1(v) + 81( 2 v ) + 5 2 f] thay vµo D khai triÓn : f = 2 5 ) 2 (2 )] 2 (2)].[ 2 (8[)] 2 (4[ 1)(1 1)(11)(1 2 1)(1 v vvv v vvv
- 109. §H- 109 - CãC suy ra f vµ t×m v vµ lùc Pth. Gi¶ sö thanh c¾t qua cã chiÒu dµi l1 vµ ®é cøng EJ1 c¾t qua 2 ®iÓm. §é cøng C t×m tõ C = 1 trong ®ã lµ chuyÓn vÞ ®¬n vÞ. EJ1* = EJ12 = 81 5 3 1l ; = 1 3 1 162 5 EJ l ; C = 3 1 1 5 162 l EJ ;f = 162 5 1 3 EJ cl = J J1 3 1 3 l l . l1 l1/3l1/3l1/3 p=1 p=1 m1
- 110. §H- 110 - Tuútheo f ta cã theo biÓu ®å quan hÖ nh h×nh vÏ 4.13. = v3 . §êng cong I – khi thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng ; ®êng II – t¬ng øng khi thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. §Æc biÖt khi J1 = J ; l1 = l ; f = 1 vµ = 0,7.Pth = 2 2 )7,0( l EJ .
- 111. §H- 111 - 5.æn ®Þnh dÇm chÞu uèn ph¼ng 5.1. DÇm tiÕt diÖn ch÷ nhËt hÑp uèn thuÇn tuý m m z n n l x z1 m2 m mz1 z nz1 my1 mx1 z1 y x x1 y1 t nz1 my1 a v
- 112. §H- 112 - 2 2 dz vd =- xEJ Mx1 ; 2 2 dz ud = - yEJ My1 ; dz d = zGJ Mz1 ; Jz = 3 3 hb (1 – 0,03 h b ) Tõ h×nh vÏ Mx1 = Mcos M My1 = Msin M ; Mz1 = Msin M dz d . Thay vµ dz d = zGJ Mz1 . dz du ; 2 2 dz ud = - yEJ M Cuèi cïng 2 2 dz d + k2 = 0 k = M zyGJEJ 1 NghiÖm : = Asinkz + Bcoskz. Thay biªn z = 0 ; = 0 ; z = l ; = 0. Ta ®îc : Mth = l zyGJEJ
- 113. §H- 113 - Chóý : ®é vâng v trong mÆt ph¼ng uèn nhá bá qua nªn chØ ®óng víi tiÕt diÖn ch÷ nhËt bÑp. Víi dÇm ng¨n 2 ®Çu : Mth = l 2 zyGJEJ . 5.2. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu nÐn lÖch t©m Mx1 = P(e + v) Pe = M; My1 = M + Pu Mz1 = M dz du . Khi mÊt æn ®Þnh, chó ý tíi hai ph¬ng tr×nh : l z pp e EJy 2 2 dz ud = - M - Pu ; GJz dz d = M dz du .
- 114. §H- 114 - VµGJz. = Mu + C Tõ ®iÒu kiÖn biªn : u = 0, = 0. Khi z = 0. = zGJ M .u’ ta ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n : u’’ + k2 u = 0. k2 = zy z GJEJ PGJM 2 . NghiÖm u = Asinkz + Bcoskz Vµ Mth 2 + Pth.GJz = 2 2 l EJ y GJz. NhËn xÐt : NÕu e = 0 ; Mth = 0 Pth = 2 2 l EJ y . Pth = 0 ; Mth = l zyGJEJ . NÕu e 0 Pth 2 l2 + Pth.GJz = 2 2 l EJy.GJz.
- 115. §H- 115 - 5.3.thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu uèn ngang ph¼ng a. DÇm trªn hai gèi tùa Ph¶n lùc ®øng 2 P ; ph¶n lùc m« men xo¾n 2 P z. Mx1 = 2 P z ; My1 = Mx = 2 P z.; Mz1 = Mx dz du + 2 P ( - u) = 2 P z. dz du + 2 P ( - u) EJy. 2 2 dz ud = - 2 P z. GJz. dz d = 2 P z. dz du + 2 P ( - u) BiÕn ®æi ta ®îc : 2 2 dz d + k2 z2 = 0. k2 = yz th EJGJ P 4 2 nghiÖm dïng chuçi v« h¹n.
- 116. §H- 116 - = C0 + C1z + C2z2 + . . . + Cnzn n z l/2 l/2 u x z Thay vµo ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ s¾p xÕp sè h¹ng, ta cã : = C0[1- 4.3 2 k z4 + 8.7.4.3 4 k z8 - 12.11.8.7.4.3 6 k z12 +. . .]+C1z[1- 5.4 2 k z4 + 9.8.5.4 4 k z8 – - 13.12.9.8.5.4 6 k z12 + . . .] §iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; = 0 suy ra C0 = 0. z = l/2 ; u = ; dz du = 0 ; dz d = 0.
- 117. §H- 117 - ChoC1 0 ta ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : (1 – a + 10 2 a - 270 3 a + . . .) = 0 ; a = 64 42 lk = zy th GJEJ lP 256 42 NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,126 ; Pth = 2 94,16 l zyGJEJ . Gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cßn phô thuéc vÞ trÝ lùc P theo chiÒu cao h cña dÇm. D cµng cao Pth cµng gi¶m. Khi P kh«ng ®Æt gi÷a dÇm ta còng lËp thµnh b¼ng : Pth = 2 l K zyGJEJ . b. §Çu ngµm ®Çu tù do Mx1 = Mx = - Pz My1 = Mx = - Pz.
- 118. §H- 118 - Mz1= Mx dz du - P( - u) = - Pz - P( - u) HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n : zu y1 x1 x y EJy. 2 2 dz ud = Pz
- 119. §H- 119 - GJz. dz d =- Pz. dz du - P( - u), hoÆc 2 2 dz d + k2 z2 = 0 ; k2 = yz th EJGJ P2 . Ta còng cã nghiÖm nh tríc víi ®iÒu kiÖn biªn z = 0 ; u = nªn dz d = 0. Cã C1 = 0 ; khi z = l ; = 0. §Ó C0 0 Ta cã : 1 – a + 14 3 a2 - 154 3 a3 + … = 0. a = 12 42 lk = zy th GJEJ lP 12 42 . NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,342 ; Pth = 2 013,4 l zyGJEJ . Khi dÇm chÞu t¶i ph©n bè ®Òu, ta còng tiÕn hµnh t¬ng tù:
- 120. §H- 120 - (ql)th=2 85,12 l zyGJEJ . Cho dÇm 1 ®Çu ngµm 1 ®Çu tù do víi dÇm 2 ®Çu khíp chÞu t¶i ph©n bè ®Òu : (ql)th= 2 3,28 l zyGJEJ . DÇm 2 ®Çu ngµm chÞu lùc tËp trung ë gi÷a nhÞp : Pth = 2 6,26 l zyGJEJ . 5.4. DÇm tiÕt diÖn ch÷ i Víi tiÕt diÖn dÇm ch÷ I ta cÇn ph©n biÖt xo¾n tù do khi kh«ng cã liªn kÕt vµ xo¾n kiÒm chÕ khi cã liªn kÕt ng¨n c¶n. Khi xo¾n kiÒm chÕ : Mz1 = M1 + M2
- 121. §H- 121 - z mz q l x yy 1 x 1 x q q - M1 do øng suÊt tiÕp M1 = GJ2 dz d ; Mz1 = M1 + M2; J2 = 3 2 bt3 + 3 1 ht1 3 - M2 do lùc c¾t trong b¶n ®Õ 1 = 2 b . - Gäi Jy * lµ m« men qu¸n tÝnh 1 b¶n ®Õ ®èi víi trôc y :
- 122. §H- 122 - Jy * 2 yJ ;Q = - EJy * . 3 1 3 dz d = - EJy * . 2 h 3 3 dz d a. DÇm uèn thuÇn tuý Sau khi khö 4 4 dz d - 2 1 a 2 2 dz d - 4 1 d = 0 a2 = z y GJ EJh 2 *2 d4 = 2 2* 2 th yy M hEJEJ NghiÖm = C1sinmz + C2cosmz + C3enz + C4e-nz b. Uèn ngang ph¼ng. Mth = l 2GJEJ y 2 2 2 1 l a 1 – Khi ®Æt trªn 2 gèi tùa, P ë gi÷a nhÞp :
- 123. §H- 123 - Mx1= 2 P z ; My1 = 2 P z.. Mz1 = 2 P z. dz du + 2 P ( - u) Ta cã hÖ: EJy. 2 2 dz ud = - 2 P z.;GJz. dz d - EJy * . 2 h 3 3 dz d = 2 P z. dz du + 2 P ( - u) Khö u ; t×m nghiÖm díi d¹ng chuçi v« h¹n, vµ Pth = 2 l K zyGJEJ ; K phô thuéc a 1 tra b¶ng 2 – Thanh ®Çu ngµm ®Çu tù do : P ®Æt ë träng t©m tiÕt diÖn ®Çu tù do. Còng lý luËn t¬ng tù ta cã : Pth = 2 l K zyGJEJ ; K phô thuéc 2 2 a l . Chó ý lµ a2 = z y GJ EJh 2 *2
- 124. §H- 124 - Trêng®¹i häc kiÕn tróc hµ néi Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu Ts ph¹m v¨n trung Bµi gi¶ng phÇn II ®éng häc c«ng tr×nh Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN Hà nôi, 2014
- 125. §H- 125 - 1. Më ®Çu 1.1. Khái niệm. Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nữa thế kỹ XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến nhũng năm 30 của thế kỷ XX môn Động lực học công trình mới được coi như một phần riêng biệt của Cơ học kết cấu. Hiện nay, với tốc độ phát triển mạnh của ngành xây dựng và công cụ tính toán hiện đại, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên cứu dao động của các công trình cũng như cơ học kết cấu nói chung. Trong khuôn khổ của tài liệu này, tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình: Dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do, dao động của hệ có vô số bậc tự do, sau đó vận dụng để tính toán một số loại kết cấu thường gặp như: dầm, khung, dàn, vom,... Toàn bộ cuốn sách này trình bày hạn chế trong phạm vi của lý thuyết dao động tuyến tính: Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi và tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ đồ không biến dạng.
- 126. §H- 126 - 1.2.Tác dụng tỉnh và tác dụng động. Trong thực tế, hầu hết các tác động tác dụng lên công trình điều mang đặc tính động: ví dụ như: gió, sóng, động đất, người, máy móc, phương tiện, công cụ … Dưới tác dụng của các nguyên nhân này công trình sẽ bị chuyển động. Mặc dù các chuyển vị phát sinh trong hệ kết cấu là không lớn, nhưng vận tốc và chủ yếu là gia tốc chuyển động có thể đạt đến giá trị đáng kể, gây nên lực quán tính tác động lên công trình. Đây cũng chính là sự khác nhau giữa tác dụng tỉnh và tác dụng động. Tác dụng tỉnh là tác dụng không kèm theo lực quán tính. Tác dụng động là tác dụng có kèm theo lực quán tính. 1.3. Dao động và cộng hưởng. Tác dụng động vào công trình, làm có công trình dao động. Nếu tác dụng động lặp có tính chất chu kỳ thì trong những điều kiện xác định dẫn đến việc bổ sung nặng lượng cho hệ kết cấu, Biên độ dao động sẽ tăng dần cùng với việc tăng cường độ của lực quán tính gây phá hoại công trình. Đó là hiện tượng cộng hưởng.
- 127. §H- 127 - Vớimỗi hệ kết cấu công trình hiện tượng cộng hưởng phụ thược vào chu kỳ dao động T của lực tác động chứ không phải tải trọng tác dụng trung bình Ptb.của tác động P(t). t P Ptb Hình 1.1 1.4. Dao động và các ứng dụng. Khắc phục hiện tượng cộng hưởng, giảm rung, giảm chất cho công trình. Ứng dụng hiện tượng rung do lệch tâm để chế tạo các thiết bị, công cụ phục vụ lao động sản xuất và cuộc sống: đầm rung, sàng tuyển vật liệu rời, khoan búa, dụng cụ thẻ thao, chữa bệnh Động lực học công trình là một phần của môn cơ học kết cấu nghiên cứu về các loại tải trọng động tác dụng lên công trình và các phản ứng của công trình dưới tác dụng của tải trọng đó.
- 128. §H- 128 - 1.5.Dạng tải trọng. Như trong giáo trình cơ học lú thuyết và sức bền vật liệu ta đã biết: Tải trọng động là tải trọng khi tác dụng kèm theo lực quán tính. Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng động sau: 1.5.1. Tải trọng có vị trí không đổi và trị số thay đổi theo thời gian. Tải điều hòa: khi mô tơ đặt trên dầm khi hoạt động sẽ tác dụng lên dầm một lực 0 sin rtt P P P . pt Hình 1.2
- 129. §H- 129 - Tải va chạm: 0 0 : 0 :t P khi t t P khi t t Tải không đổi đặt tức thời: 0 0 0 : :t khi t t P P khi t t 1.5.2. Tải trọng thay đổi theo thời gian và một biến không gian. Tải trọng di động có trị số không đổi: ,z t P P . Tải trọng di động có trị số thay đổi: , sin rtz t z P P P . 1.5.3. Tải trọng do gió động (Khí động) Áp lực của dòng khí quyển chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình: Áp lực tỉnh: Áp lực động: 1.5.4. Tải trọng do dòng chảy( thủy động). Áp lực của dòng nước chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình: Áp lực tỉnh:do áp lực của chiều cao cột nước
- 130. §H- 130 - Áp lực động: do tác dụng của sóng 1.5.5. Tải trọng động đất. Tải trọng do bề mặt quả đất chuyển động dưới tác dụng của sóng địa chấn. 1.6. Dạng dao động, phân loại dao động. 1.6.1. Phân loại dao động theo dạng dao động. Dao động hình sin. Dao động phức tạp có chu kỳ. Dao động có cản (giảm dần) Dao động tăng dần. Dao động nhiễu loạn.
- 131. §H- 131 - t y AA t y T Hình 1.3 Hình 1.4 t y t y Hình 1.5 Hình 1.6 1.6.2. Phân loại theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động Dao động tự do. Dao động cưỡng bức.
- 132. §H- 132 - Tự dao động. Dao động ngẫu nhiên. 1.6.3. Phân theo sự tồn tại hay không tồn tại lực cản. Dao động không cản. Dao động có cản 1.6.4. Phân theo bậc tự do của hệ. Dao động của hệ có một bậc tự do. Dao động của hệ có một số bậc tự do. Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do. 1.6.5. Phân theo biến dạng khi dao động. Dao động ngang. Dao động dọc. 1.6.6. Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả dao động. Dao động tuyến tính.
- 133. §H- 133 - Dao động phi tuyến. 1.6.7. Phân theo khả năng thay đổi các thông số của hệ. Dao động không có thông số. Dao động có thông số. 1.7. Các phương pháp tính toán 1.7.1. Phương pháp chính xác. Phương pháp này dựa trên cở sở những nguyên tắc cân bằng của lực tỉnh học có bổ sung thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D’alămpe. Như vậy các phương trình cân bằng tỉnh học trở thành các phương trình cân bằng động học. Đối với hệ phẳng các phương trình cân bằng động học có dạng: 2 2 2 2 2 2 0; 0; 0;u U d X t d Y t d t X m Y m M m dt dt dt
- 134. §H- 134 - 1.7.2.Phương pháp gần dúng. Bao gồm các phương pháp: Phương pháp năng lượng. Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở định luật bảo toàn năng lượng của hệ đó. Tổng thế năng và động năng của hệtrong quá trình dao động là không đổi: constK U Các phương pháp số. Phương pháp hạ số bặc tự do. Phương pháp chuyển về hệ một bậc tự do. 1.7.3. Phương pháp đúng dần. 1.8. Nhiệm vụ nghiên cứu của môn học. Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng động, tránh các khả năng xãy ra hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình.
- 135. §H- 135 - Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực động do tải trọng động gây ra để căn cứ vào đó kiểm tra độ bền của hệ kết cấu. đảm bảo ứng suất lớn nhất xuất hiện trong hệ kết cấu công trình không lớn hơn giá trị cho phép. Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để từ đó kiểm tra độ cứng của hệ kết cấu công trình đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn hơn chuyển vị cho phép, mặt khác còn tìm các biện pháp xử lý đối với công trình bị rung động. nghiên cứu cách giảm rung hiệu quả nhất. Lập mô hình nghiên cứu dao động. Xử lý phản ứng. 1.9. Bậc tự do của hệ đàn hồi. Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định được vị trí của tất cả các khối lượng trên hệ đó: Hệ một bậc tự do ( Hình 1.6), Hệ hữu hạn bậc tự do (Hình 1.7), Hệ vô số bậc tự do (hình 1.8)
- 136. §H- 136 - m m m Hình1.6 m mmm Hình 1.7 m m Hình 1.8
- 137. §H- 137 - 2. Dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do 2.1 Xây dựng phương trình vi phân dao động tổng quát hệ một bậc tự do. 2.2.1. Các lực tác động và các tham số cơ bản của hệ động học. Xét một mô hình đơn giản cho trên hình 1.1. Hệ gồm một khối lượng M chịu tác dụng của tải trọng động thay đổi theo thời gian P(t). Hệ được gắn với vật bất động bằng một lò xo đàn hồi không trọng lượng với độ cứng k và một bộ giảm chấn (Cản nhớt) c biểu thị sự tiêu hao năng lượng trong quá trình dao động. Khối lượng M được đặt trên các con lăn để đảm chỉ chuyển động theo phương ngang. Các tham số vật lý cơ bản của hệ động học cho ở hình trên cũng như mọi hệ kết cấu bất kỳ dao động tuyến tính bao gồm: khối lượng của hệ, các tính chất đàn hồi của hệ như: độ cứng, độ mềm, có đặc trung tiêu hao năng lượng trong quá trình dao động và các nguồn kích động cũng như các tác động từ bên ngoài.
- 138. §H- 138 - 2.2.2.Dao động riêng. Xét hệ một bậc tự do dạng một khối lượng tập trung m như hình vẽ. Lực tập trung t P tác dụng theo phương thẳng đứng. Lực quán tính là my ; Lực cản của môi trường là cy ; psinrt y(t) m EI Hình 2.1 Phương trình cân bằng động: 0;t cy my P (2.1)
- 139. §H- 139 - Khixét dao động riêng ta chưa kể đến tải trọng ngoài t P ta có: 0;cy my (2.2) Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất dạng: 1 2sin cos ;t y C t C t (2.3) Trong đó: ; c m 11 11 1 ; t g g P y là tần số dao động góc. p=1 EI 11 M1 Hình 2.2 1 2;C C là các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện ban đầu:
- 140. §H- 140 - Chuyểncị ban đầu: 00 ;t y y Vận tốc ban đầu: 00 ;t y y Chu kỳ dao động là khoảng thời gian thực hiện 1 dao động: 2 ;T Tần số dao động là số dao động thực hiện trong 1 đơn vị thời gian: 1 ;f T Nghiệm của 2 có thể viết dưới dạng: sin ;t y A t (2.4) Trong đó: 2 2 1 2 ;A C C là biên độ dao động. 2 1 ; C artg C Pha ban đầu của dao động. 2 0,2 ;t n pha của dao động. Thật vậy: sin sin cos sin cos ;t y A t A t A t
- 141. §H- 141 - 22 2 1 2 1 2 1 cos ; sin ; ; C A C A C A C C artg C Dùng điều kiện ban đầu ta tìm được: 0 1 2 0; ; y C C y nên: 2 20 0 ; y A y và 0 0sin cos ;t y y t y t (a) Lấy đạo hàm và chia hai vế cho ta được: 0 0cos sin ; t y y t y t (b) Lấy bình phương hai vế của (a) và (b) và cộng theo vế và rút gọn ta có 2 2 2 20 0 const; t t y y y y
- 142. §H- 142 - yyo yo y t y AA T Hình2.3 2.2 Dao động cưỡng bức 2.2.1. Xét trường hợp tải trọng điều hòa: 0 sin ;t P P t Phương trình vi phân chuyển động có dạng: 0 sin ;my cy P t (2.5)
- 143. §H- 143 - Đâylà phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất nên nghiệm tổng quát của phương trình (5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất cộng với một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Tìm nghiệm riêng của (5) dưới dạng: 2 sin sin ;t y Y t y Y t (2.6) Thay (2.6) vào (5) và giản lược sin t ta có: 2 2 0 0sin sin sin ;mY t cY t P t mY cY P (2.7) Ta có : 0 0 2 2 2 ; P P Y m c m (2.8) Thay (8) vào (6) ta được: 0 2 2 sin sin ;t P y t A t m (2.9) Khi ;y Đây là hiện tượng cộng hưởng
- 144. §H- 144 - Miềncộng hưởng là khu vực từ 2 đến 3 2 như hình vẽ: y Hình 2.4 2.2.2. Hiện tượng cộng hưởng. Xét phương trình (5) trong trường hợp có dạng: 0 sin ;my cy P t (2.9) Tìm nghiệm riêng của (2.9) dưới dạng:
- 145. §H- 145 - sin ;t y kt t (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta có: 2 0sin 2 sin sin sin ;mk t t t ckt t P t Với: 2 02 sin sin ;c m mk t P t Ta có: 0 0 ; 2 2 P P k m mc Do đó: 0 sin sin ; 2 t P y t t at t mc (2.11)
- 146. §H- 146 - t y Hình2.5 Đồ thị có dạng tăng theo thời gian không giới hạn. Nghiệm tổng quát của (5) có dạng: 0 1 22 2 sin sin cos ;t P y t C t C t m (2.12) Dùng điều kiện ban đầu khối lượng m ở vị trí cân bằng không có độ lệch:
- 147. §H- 147 - 00 00; 0; 0;t y y Ta tìm được hai hằng số tích phân : 0 1 22 2 ; 0; P C C m Nghiệm (2.12) có dạng: 0 2 2 sin sin ;t P y t t m Biến đổi biểu thức trong ngoặc đơn: sin sin 2 cos sin sin ; 2 2 t t t t t
- 148. §H- 148 - Khi ta bỏ qua số hạng sin t và xem 2 hàm sin 2 t biến đổi chậm so với cos cos 2 t t Ví dụ: 7; 8; Biên độ dao động thay đổi theo chu kỳ, Hiện tượng phách điều hòa của dao động. t y 14sin(0,5t) 14sin(0,5t) 14cos(7,5t)sin(0,5t) Hình 2.6
- 149. §H- 149 - 2.2.3.Dao động dưới tác dụng của xung tức thời. Xung đặt tức thời vào khối lượng có cường độ I (va chạm) Giả thiết rằng khoảng thời gian tác dụng của lực nhỏ đến mức hệ kết cấu công trình không kịp phản ứng, nghĩa là xem 0 .I m y Nếu tại thời gian 0t khối lượng m ở trạng thái tỉnh thì điều kiện ban đầu sẽ là: 0 0; 0 ; I y y m Sử dụng nghiệm của trường hợp dao động riêng: 1 2sin cos ;t y C t C t Với điều kiện ban đầu trên ta có: 2 10; ; I I C C m mc Phương trình dao động có dạng sin sin ; I y t t A t mc (2.13)
- 150. §H- 150 - t y Hình2.7 Lực không đổi đặt tức thời có cường độ P Xét trường hợp lực không đổi có cường độ const;P đặt tức thời; Ta tìm nghiệm dưới dạng: 1 2sin cos ;t P y C t C t c (2.14) Từ điều kiện ban đầu: 0 0; 0 0;y y
- 151. §H- 151 - Tacó: 2 10; ; P C C c Do đó 1 cos ; P y t t c (2.15) t y P/cP/c Hình 2.8 Chuyển vị lớn nhất bằng 2 P c gấp hai lần trường hợp tác dụng tỉnh tuyến tính. Trong bài toán tuyến tính ứng suất và biến dạng gấp hai lần so với tác dụng tỉnh.
- 152. §H- 152 - 2.2.4.Dao động dưới tác dụng của lực thay đổi theo quy luật bất kỳ. Trong trường hợp tổng quát dó tải trong t P tác dụng, nghiệm riêng của phương trình chọn dưới dạng: * 0 1 y sin ; t P t d m (2.16) Có thể tìm nghiệm theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrang, ở đây ta đặt (2.16) vào phương trình tổng quát: t my cy P (a) * 0 * 0 1 cos ; 1 sin ; t t y P t d m y P t d m m (b) Thay (b) vào (a) thõa mãn sự cân bằng:
- 153. §H- 153 - 0 0 1 sin ( ) cos ( ) t t c m P t d m P t P t d P t m m m nghiệm riêng * y có tính chất sau * * y 0 y 0 Nghiệm toàn phần phương trình dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do chịu tải trọng có quy luật bất kỳ có dạng: 0 1 cos sin cos t o o y y t y t t P t d m (2.17)
- 154. §H- 154 - 3. hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do 3.1. Hệ phương trình dao động. Xét hệ có n bậc tự do có n khối lượng tập trung im ; i=1, 2, 3, …,n. tương ứng với nó là n chuyển vị độc lập cần xác định i t y . Chịu n lực tập trung vào khối lượng i t P tác dụng theo phương của chuyển vị. Và n lực quán tính i im y tương ứng với chuyển vị i t y như hình vẽ. Nếu thêm số chuyển vị là góc xoay quanh một điểm thì tương ứng với nó ta thay khối lượng bằng mômen quán tính khối lượng đối với điểm đó. p sinrt m EI p sinrt m1 2 1 2 p sinrt m i i p sinrt mn n y1 y2 yi yn Hình 3.1
- 155. §H- 155 - Dođó ngoại lực tại điểm i là : ;i i ii t R P m y i=1, 2, 3, …,n. (3.1) Biểu diễn dưới dạng véc tơ ta có: ;R P my (3.2) Trong đó: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ... ... ... ... n n n n R R R R R P P P P P m m m m m y y y y y (3.3) Phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo có học có dạng: 0;AN R (3.4) Trong đó: , ;i jA a là ma trận hệ số; i=1, 2, 3, …,n. J=1, 2, 3,…, m. m số lượng nội lực trong các phần tử. 1 2 3 ... nN N N N N véc tơ nội lực (3.5) Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng
- 156. §H- 156 - 0;;T T A U A U (3.6) Trong đó: 1 2 3 ... nU y y y y véc tơ chuyển vị. 1 2 3 ... n véc tơ biến dạng. T A ma trận chuyển vị của A Quan hệ giữa nội lực và biến dạng: ;N C với C là ma trận độ cứng. (3.7) Thay (3.7) vào (3.6) rồi vào (3.4) ta được: ;T ACA U R (3.8) Chú ý thêm đến lực quán tính ta có: ;T ACA U my R (3.9) Gọi: , ;T i jACA i,j=1, 2, 3, …, n. Khai triển (3.9) ta có:
- 157. §H- 157 - 111 12 2 13 3 1 1 1 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j j n n j j n n j j n n i i i ij j in n i i i n n n y y y y y m y P y y y y y m y P y y y y y m y P y y y y y m y P y y 3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y m y P (3.10) Mặt khác ta có thể thiết lập (3.10) theo trình tự như phương pháp chuyển vị. Coi mỗi khối lượng tập trung như một nút có chuyển vị thẳng theo phương của lực tác dụng và đặt một liên kết thanh cản trở chuyển động này ta có hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị. Nếu kể đến chuyển vị xoay thì ta tăng thêm ẩn số là chuyển vị xoay của nút. Hệ phương trình chính tắc với ẩn số là các chuyển vị i t y có dạng
- 158. §H- 158 - 111 12 2 13 3 1 1 1 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j j n n j j n n j j n n i i i ij j in n i i i n n n y y y y y P m y y y y y y P m y y y y y y P m y y y y y y P m y y y 3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y P m y Cho 1i t y và vẽ các biểu đồ iM ta xác định ,i j như các hệ số ,i jr 3.2Giải hệ phương trình. Nghiệm tổng quát của (3.10) là tổng của hai nghiệm: nghiệm tổng quát của hệ phương trình thuần nhất (vế phải bằng 0: 0iP ) và nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất (vế phải khác không: 0iP ). Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng:
- 159. §H- 159 - 2 sin ; sin ;i i i i it i t y A t y A t (3.11) Thay (3.11) vào (3.10) với 0iP , và sin 0it ta có: 2 11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 2 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ... ... 0 ... ... 0 ... ... 0 ... ... ... 0 ... . j j n n j j n n j j n n i i i ij j in n i i n n n A A A A A m A A A A A A m A A A A A A m A A A A A A m A A A A 2 .. ... 0nj j nn n n nA A m A (3.12)
- 160. §H- 160 - 2 11 1 1 12 2 13 3 1 1 2 21 1 22 2 2 23 3 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ... ... 0 ... ... 0 ... ... 0 ... ... ... 0 ... ... j j n n j j n n j j n n i i i ij i j in n n n n nj j m A A A A A A m A A A A A A m A A A A A A m A A A A A A 2 ... 0nn n nm A Điều kiện để tồn tại dao động là: 2 11 1 12 13 1 1 2 21 22 2 23 2 2 2 31 32 33 3 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 j n j n j n i i i ij i in n n n nj nn n m m m D m m (3.13)
- 161. §H- 161 - Doý nghĩa vật lý của bài toán, phương trình tần số (3.13) có n nghiệm thực. 1 2 3 ... ...i n Tần số nhỏ nhất gọi là tần só dao động cơ bản của hệ. Mọi tổ hợp tần số dao động riêng của hệ được gọi là phổ các tần số của hệ. 3.3 Dao động riêng chính. Dạng dao động riêng có tính chất trực giao. Tại thời điểm t bất kỳ dạng (chuyển vị) của kết cấu được xác định theo vị trí của các khối lượng im . Nếu hệ có n bậc tự do, khi dao động chuyển vị của các khối lượng im phụ thuộc vào phổ tần số. Dao động quy ước của hệ ứng với tần số dao động riêng k nào đó gọi là dạng chính thứ k của dao động. Xét hai dạng chính thứ k và l ứng với k và l Phương trình (3.12) ương với k có dạng:
- 162. §H- 162 - 2 111 12 2 13 3 1 1 1 2 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 2 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 ... ... ... ... ... ... ... k k k k k n n k k k k k n n k k k k k n n k k k k k i i i in n i i k k k k k n n n nn n n n A A A A m A A A A A m A A A A A m A A A A A m A A A A A m A (3.14) Phương trình (3.12) ương với l có dạng:
- 163. §H- 163 - 2 111 12 2 13 3 1 1 1 2 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 2 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 ... ... ... ... ... ... ... l l l l l n n l l l l l n n l l l l l n n l l l l l i i i in n i i l l l l l n n n nn n n n A A A A m A A A A A m A A A A A m A A A A A m A A A A A m A (3.15) Trong hệ phương trình (3.14) ta nhân phương trình 1 với 1 l A , phương trình 2 với 2 l A ,… Trong hệ phương trình (3.15) ta nhân phương trình 1 với 1 k A , phương trình 2 với 2 k A ,… Chú ý đến ik ki ta thấy tổng vế tái của (3.14) và (3.15) sau khi đã nhân với các số trên là bằng nhau. Vì vậy tổng các vế phải củng bằng nhau:
- 164. §H- 164 - 22 1 1 n n k l l k k i i i l i i i i i m A A m A A (3.16) Hay: 2 2 1 0 n k l k l i i i i m A A Vì k l nên ta có: 1 0 n k l i i i i m A A Ta nói các dạng dao động riêng chính có tính chất trực giao. 3.4 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng. Giả sử tải trọng cưỡng bức có dạng điều hòa: sin ;ii t P P t (3.17) Thay (3.17) vào (3.10) và tìm nghiệm dạng sin ;ii t y B t (3.18)
- 165. §H- 165 - Thay(3.17) và (3.18) vào (3.10) và giản ước hai vế cho sin t ta có hệ phương trình xác định iB 2 11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1 2 21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j j n n j j n n j j n n i i i ij j in n i i i n n n B B B B B m B P B B B B B m B P B B B B B m B P B B B B B m B P B B 2 3 3 ... ...nj j nn n n n nB B B m B P Giải hệ phương trình này ta tìm được iB Ta nhận thấy khi i là nghiệm của (3.12) thì 0D và biên độ tăng vô hạn xuất hiện hiện tượng cộng hưởng
- 166. §H- 166 - Vídụ 1: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ. p sinrt m EI l/3 l/3 l/3 p sinrt m1 2 1 2 4 1 22 2,1.10 ; 6 ; 6 ; 12 1 1 2 1,02 ; 50 KN E l m P KN P KN cm KN m m m r m s
- 167. §H- 167 - psinrt m EI l/3 l/3 l/3 p sinrt m1 2 1 2 y y1 2 1 2 l/3 l/3 l/3 y =11 3EI l2 6EI l2 6EI l2 y =12 6EI l2 3EI l2 6EI l2
- 168. §H- 168 - 3EI l3 -12EI l3 -12EI l3 11 21 12EI l3 -3EI l3 -12EI l3 2212 12 1 2 8 8 11 3 3 3 3 8 8 12 213 3 8 8 22 3 3 3 3 3 12 15 15.2,1.10 .8880.10 34965 2 12 12.2,1.10 .8880.10 27972 2 3 12 15 15.2,1.10 .8880.10 34965 2 EI EI EI l l l EI l EI EI EI l l l
- 169. §H- 169 - 2 111 12 2 21 22 2 0; m D m 22 2 2 2 34965 1,02 27972 0 (6993 1,02 )(62937 1,02 ) 0 1 2 6993 82,8 1,02 62937 248,4 1,02 Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng: Tần số lực kích thích r=50; Biên độ miền cộng hưỡng:
- 170. §H- 170 - Lân cân 1 1 55,282,7 82,8 110,41 3n Lân cân 1 2 220,882,7 248,4 276,01 3n y r=50 Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ: 2 11 1 1 12 2 2 21 1 22 2 2 0 0 m A A A m A
- 171. §H- 171 - Cho A1=1 ta tính được A2 2 11 1 2 12 m A Dạng 1; 2 1 2 34965 82,8 1,02 82,8 1 27972 A m EI m1 2 1 1 Dạng 2; 2 1 2 34965 248.4 1,02 248.4 1 27972 A m EI m1 2 1 -1
- 172. §H- 172 - Vẽbiểu đồ mômen động 11 12 12 22 2 2 34965 27972 34965 1,02*50 2550mr Hệ phương trình xác định biên độ dao động 1 2 1 2 34965 2550 * 27972* 6 27972* 34965 2550 * 12 B B B B Giải phương trình ta có: 3 3 1 1 3 3 2 2 1,976*10 1,976*10 *sin 2,075*10 2,075*10 *sin B y t B y t Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:
- 173. §H- 173 - 32 1 3 2 2 1 1 1 2 2 2 1,976*10 * *sin 4,94*sin 2,075*10 * *sin 5,19*sin * 6 1,02*4,94*1 11,039 * 12 1,02*5,19*1 17,294 y r rt rt y r rt rt R P m y KN R P m y KN Vẽ biểu đồ mômen động 26,248 30,418 26,248 30,418
- 174. §H- 174 - Vídụ 2: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ. p sinrt m EI l l l p sinrt m1 2 1 2 4 4 1 22 2 2 1 2 2,1.10 ; 8880 ; 2 ; 6 ; 12 1 1,02 ; 2,04 ; 50 ; KN E I cm l m P KN P KN cm KNs KNs m m r m m s
- 175. §H- 175 - ll l y y1 2 1 2 y =11 6EI l2 6EI l2 6EI l2 l2 6EI y =12 6EI l2 3EI l2 6EI l2
- 176. §H- 176 - 6EI l3 -12EI l3 -12EI l3 11 21 3EI l3 -12EI l3 -12EI l3 2212 12 1 2 8 8 11 3 3 3 3 3 12 24 24.2,1.10 .8880.10 55944 2 EI EI EI l l l 8 8 12 123 3 12 12.2,1.10 .8880.10 27972 2 EI l 8 8 22 3 3 3 3 3 12 15 15.2,1.10 .8880.10 34965 2 EI EI EI l l l 2 11 1 12 2 21 22 2 0; m D m 2 2 11 1 22 2 21 12 2 2 2 22 2 0 55944 34965 2 27972 0 2 146853 1173649176=0 m m m m m m
- 177. §H- 177 - 1 2 9126.33 94,59 1,02 64300 251,08 1,02 Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng: Tần số lực kích thích r=50; Biên độ miền cộng hưỡng: Lân cân 1 1 55,282,7 82,8 110,41 3n Lân cân 1 2 220,882,7 248,4 276,01 3n
- 178. §H- 178 - y r=50 Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ: 2 11 1 1 12 2 2 21 1 22 2 2 0 0 m A A A m A Cho A1=1 ta tính được A2 2 11 1 2 12 m A
- 179. §H- 179 - Dạng1; 2 1 2 55944 94,59 1,02 94,59 1,67 27972 A m EI m1 2 1 1,67 Dạng 2; 2 1 2 55944 251,08 1,02 251,08 0,30 27972 A m EI m1 2 1 -0,30Vẽ biểu đồ mômen động
- 180. §H- 180 - 11 1212 22 2 2 55944 27972 34965 1,02*50 2550mr Hệ phương trình xác định biên độ dao động 1 2 1 2 55944 2550 * 27972* 6 27972* 34965 2*2550 * 12 B B B B Giải phương trình ta có: 3 3 1 1 3 3 2 2 0,634*10 0,634*10 *sin 0,996*10 0,996*10 *sin B y t B y t Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:
- 181. §H- 181 - 32 1 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0,634*10 * *sin 1,585*sin 0,996*10 * *sin 2,490*sin * 6 1,02*1,585*1 7,617 * 12 2,04*2,490*1 17,080 y r rt rt y r rt rt R P m y KN R P m y KN Vẽ biểu đồ mômen động
- 182.
- 183. §H- 183 - 3.5Ph¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t x©y dùng trªn c¬ s¬ ph¬ng ph¸p lùc. XÐt hÖ cã n bËc tù do nh h×nh vÏ. p sinrt m EI p sinrt m1 2 1 2 p sinrt m i i p sinrt mn n y1 y2 yi yn T¬ng tù hÖ mét bËc tù do viÕt cho khèi lîng thø k 1 1 1 2 2 2 ...kt k k kn n n kPy Z R Z R Z R Thay Zk = -mky’’k lµ lùc qu¸n tÝnh. 1 1 1 1 2 2 2 2 ... 0kt k k kn n n n kPy m y R m y R m y R
- 184. §H- 184 - 3.5.1Dao ®éng riªng khi kh«ng lùc c¶n. Ph¬ng tr×nh vi ph©n lóc nµy sÏ lµ : 1 1 1 2 2 2 ... 0kt k k kn n n kPy m y m y m y NghiÖm riªng : 2 sin ; sin ; kt k kt k y y t y y t Thay vµo ®¬n gi¶n cho sin t 2 2 2 1 11 1 2 12 2 1 2 2 2 1 21 1 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 ... 0 1 ... 0 ..... ... 1 0 n n n n n n n n n nn n m y m y m y m y m y m y m y m y m y
- 185. §H- 185 - Chiahai vÕ cho 2 vµ ®Æt 2 1 u ta cã hÖ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n 1 11 1 2 12 2 1 1 21 1 2 22 2 2 1 1 1 2 2 2 ... 0 ... 0 ..... ... 0 n n n n n n n n n nn n m u y m y m y m y m u y m y m y m y m u y Khi hÖ dao ®éng 0ky nªn 0D gäi lµ ph¬ng tr×nh tÇn sè hoÆc ph¬ng tr×nh thÕ kû. Gi¶i ra ta cã 1 2 3; ; ; ... ;n 1 : gäi lµ tÇn sè c¬ b¶n. øng víi tÇn sè 1 : ta cã mét d¹ng chÝnh cña dao ®éng. T¬ng tù trong c¬ häc kÕt cÊu ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh d¹ng ®èi xøng hoÆc ph¶n xøng khi dao ®éng.
- 186. §H- 186 - VÝdô 3 :Cho dÇm nh h×nh vÏ víi m1= m2 = m. T×m c¸c tÇn sè dao ®éng riªng? l l l m1 m2 Ph¬ng tr×nh tÇn sè cho bµi to¸n 2 khèi lîng lµ: 1 11 2 12 1 21 2 22 0 m u m D m m u Khai triÓn ta ®îc: 2 11 1 22 2 1 2 11 22 12 21 0u u m m m m
- 187. §H- 187 - 2l/3 l/3 z1=1 z2=1 2l/3 l/3 Nh©nbiÓu ®å ®¬n vÞ ta cã 3 3 11 22 12 21 8 7 ; ; 18 18 l l EI EI
- 188. §H- 188 - 32 6 2 2 8 5 0 9 324 ml m l u u EI EI NghiÖm: 3 3 1 2 5 5 ; ; 6 18 ml ml u u EI EI 1 13 3 6 18 ; ; 5 EI EI ml ml Hai d¹ng dao ®éng nh h×nh vÏ. m1 m2 m1 m2
- 189. §H- 189 - 3.5.2D¹ng chÝnh cña dao ®éng riªng XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh tæng qu¸t sink k itt t y y ChuyÓn vÞ tõng khèi lîng phô thuéc vµo tõng i kh¸c nhau nªn k t i t y y thay ®æi theo t. Ta cã thÓ biÓu thÞ k t y chØ theo i . D¹ng dao ®éng t¬ng øng víi mét tÇn sè i nµo ®ã gäi lµ d¹ng chÝnh thø i lóc ®ã : sink k itt t y y (kh«ng cã dÊu tæng) z1i y1i zki yki
- 190. §H- 190 - Vµ: onst k t kt iti t y y c Ta x¸c ®Þnh d¹ng chÝnh theo ®êng ®µn håi cña biªn ®é lùc qu¸n tÝnh. 2 K K KiZ m y i t¬ng øng lµ : 2 1 1 1 2 2 2 ... K t i K i K i n Kn ni y m y m y m y §©y lµ c«ng thøc t×m i t¬ng øng mét d¹ng chÝnh ®· biÕt. C¸c d¹ng chÝnh cã mét tÝnh chÊt quan träng lµ tÝnh chÊt trùc giao : C«ng ngo¹i lùc hay néi lùc ë d¹ng chÝnh nµy trªn chuyÓn vÞ hoÆc biÕn d¹ng ë d¹ng chÝnh kh¸c b»ng kh«ng
- 191. §H- 191 - 3.5.3Dao ®éng cìng bøc sint P P rt §a sè trêng hîp hay gÆp trong kü thuËt, ngêi ta ®a t¶i träng t P vÒ d¹ng gÇn ®óng lµ hµm ®iÒu hoµ. Do vËy, viÖc nghiªn cøu dao ®éng víi lùc kÝch thÝch sinP rt lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n. ë ®©y ta xÐt trêng hîp c¸c lùc kÝch thÝch ®Òu thay ®æi theo mét chu kú. sin ; sin ; sint t t P P rt M M rt q q rt vµ néi lùc, øng suÊt còng lµ hµm cña thêi gian : ; ; ;t t t t M M N N Q Q Víi hÖ sè nhiÒu bËc tù do khi tÇn sè r b»ng mét trong nh÷ng gi¸ trÞ nµo ®ã cña tÇn sè dao ®éng riªng ®Òu ph¸t sinh hiÖn tîng céng hëng, khi r < ta chØ quan t©m tÇn sè c¬ b¶n 1. .
- 192. §H- 192 - KhihÖ sè æn ®Þnh do c¸c lùc c¶n nªn dao ®éng tù do mÊt vµ chØ cßn dao ®éng kÝch thÝch . Lùc t¸c dông trªn hÖ gåm : Lùc kÝch thÝch ; Lùc qu¸n tÝnh K t Z . Theo §alambe 1 21 2 ...k k k knt t n t kP t S S Z S Z S Z S Lóc æn ®Þnh c¸c yÕu tè ®Òu thay ®æi theo chu kú Sk(t) = Sksinrt. Lóc t¶i träng cùc ®¹i néi lùc còng ®¹t cùc trÞ Sk = SkP + k1Z1 + k2Z2 +…+ knZn. Skn néi lùc t¹i K do zn = 1 t¸c dông tÜnh g©y ra. Do kh«ng cã lùc c¶n ph¬ng tr×nh thø k ®Ó x¸c ®Þnh lùc qu¸n tÝnh sÏ lµ :
- 193. §H- 193 - 11 2 2 2 1 ... ... 0k k kk k kn n kP k Z Z Z Z m r Khi hÖ æn ®Þnh 2 sin . sin . . kk t kk t k k k y y rt Z Z rt Z m y r Theo Crame .k k D Z D khi r = ®Þnh thøc D. ChÝnh lµ ph¬ng tr×nh tÇn sè D= 0 nªn zk= , ta cã hiÖn tîng céng hëng. VÝ dô 3: Cho P = 5 KN, n = 450 V/F, G = 10 KN, J = 8880 cm4 , l = 6 m, g = 981cm/s2 . Yªu cÇu vÏ biÓu ®å m« men uèn ®éng. 2 50 60 n lr s
- 194. §H- 194 - pt=Psinrt 2 2 2m m1 m2 Theo thÝ dô 2.1. 8 8 1 3 3 8 8 2 3 3 6 6 2,1 10 8880 10 52,37 5 5 1,02 2 18 18 2,1 10 8880 10 202,82 1,02 2 EI ml EI ml 2 2 10 9,8 ; 1,02 9,8 m kNsg m ms HÖ ph¬ng tr×nh t×m biªn ®é lùc qu¸n tÝnh
- 195. §H- 195 - * 111 12 2 1 * 21 1 22 2 2 0 0 P P Z Z Z Z 3 3 4 11 22 8 8 3 3 4 12 21 8 8 8 8 2 1,907 10 ; 18 18 2,1 10 8880 10 7 7 2 1,668 10 ; 18 18 2,1 10 8880 10 l EI l EI * * 4 4 11 22 11 2 2 4 4 1 11 4 4 2 21 1 1 1,907 10 2,015 10 ; 1,02 50 5 1,907 10 9,535 10 ; 5 1,668 10 8,340 10 ; P P mr P P Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã : z1 = 25.92 KN
- 196. §H- 196 - z2= 25.59 KN 54,233 58,287 p+z1=30,92 z2=25,59 41,227 20,113 34,120 17,060
- 197. §H- 197 - BiÓu®å m« men ®éng M® = 1Z1 + 2Z2+ Cã d¹ng nh h×nh vÏ Khi kiÓm tra bÒn víi lµ biÓu ®å m« men do träng lîng cña khèi lîng g©y ra. 3.6. Bài tập: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ. 4 1 22 1 2 2,1.10 ; 2,4 ; 6 ; 12 1 1,02 ; 1,53 ; 50 KN E l m P P KN P KN cm KN KN m m m r m m s
- 198. §H- 198 - a. psinrt m EI l l l p sinrt m1 2 1 2 b. p sinrt m l l p sinrt m1 2 1 2 c. p sinrt m EI l l l p sinrt m1 2 1 2 p sinrt m3 3
- 199. §H- 199 - d. l l psinrt m
- 200. §H- 200 - 4Dao ®éng cña hÖ v« h¹n btd 4.1Dang động ngang của dầm đàn hồi. Xét nột dầm đàn hồi chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng phân bố theo thời gian như hình vẽ: EI y(z,t) z y m Hình 4.1 Phương trình vi phân của dầm chịu uốn có dạng: . ;IV EI y q (4.1) Khi dầm chịu tải trọng động ta bổ sung thêm lực quán tính my: . ;IV EI y my q t (4.2)
- 201. §H- 201 - Khinghiên cứu dao động riêng (không có tải trọng) ta cho q bằng không: . 0;IV EI y my (4.3) Sử dụng phương pháp tách biến ta tìm nghiệm (4.3) dưới dạng: .y Y T (4.4) Trong đó: ;Y Y z T T t Thay (4.4) vào (4.3) ta được: . . . 0; . . .IV IV EI Y T mY T EI Y T mY T (4.5) Chia hai vế cho . .mY T ta nhận thấy hai hàm số theo hai biến khác nhau là không gian và thời gian nhưng luôn bằng nhau vậy bằng hằng số C: ; IV EI Y T C const m Y T (4.6) Do đó ta có: ( ). 0 ( )0 IV aEI Y mCY bT CT (4.7)
- 202. §H- 202 - Nghiệmcủa pt (b) tìm được sin ;T A t với C (4.8) Phương trình (a) có dạng: 2 . 0;IV EI Y m Y (4.9) Trong trường hợp ; ;EI const m const Nghiệm của (3.8) có dạng 4 1 i z i i Y C e (4.10) Trong đó i là nghiệm của phương trình đặc tính: 2 . 0;IV EI m nhận các giá trị: 1,2 3,4; ;k k trong đó: 2 4 m k EI Ví vậy có thể đưa nghiệm của (4.10) về dạng . . .sin .cos ;y A sh kz B ch kz C kz D kz (4.11) Các hằng số A,B,C,D được xác định bốn điều kiện biên ở hai đầu dầm.
- 203. §H- 203 - Đểthuận tiện tính toán ta ký hiệu: 1 3 1 3 3 42 4 ; ; ; ; 2 2 2 2 C C C C C CC C A B C D (4.12) Và đặt: cos sin ; ; 2 2 cos sin ; ; 2 2 kz kz kz kz ch kz kz sh kz kz A B ch kz kz sh kz kz C D (4.13) Khi đó (4.11) có dạng: 1 2 3 4kz kz kz kzy C A C B C C C D (4.14) Thay vì phải xác định A, B, C, D trong (4.11) tác xác định C1, C2, C3, C4 trong(4.14) theo điều kiện biên, các hàm , , ,kz kz kz kzA B C D được lập thành bảng. Các điều kiện biên để xác định Ci, i=1-4. 0 00; ; ' ; ;o oM Q z y z y y z y y z y z EI EI
- 204. §H- 204 - Chúý đến tính chất đặc biệt của các hàm , , ,kz kz kz kzA B C D 0 00 0 0; 0; 0; , 0; ' , ' , ' , ' ,kz kz kz kz kz kz kz kz A B C D A kD B kA C kB D kC Tìm được 0 1 0 2 2 3 ' ; ; ;o oy M Q C y C y z y z k k EI k EI Thay Ci, i=1-4. vào (4.14) và lấy đạo hàm ta có: 2 0 0 2 3 0 0 2 2 0 0 3 0 0 ' ' ' '' ' ''' ' o o kz kz kz kz o o kz kz kz kz o kz kz o kz kz kz kz o kz o kz y M Q y z y A B C D k k EI k EI M Q y z y kD y A B C k EI k EI Q EIy z M z EIy k C EYky D M A B k EIy z Q z EIy k B EYk y C M kD Q A (4.15)
- 205. §H- 205 - Căncứ vào điều kiện biên về chuyển vị và lực của các dầm cụ thể, ta lây được các phương trình đại số tuyến tính thuần nhất chứa hai trong bốn thông số ban đầu 0 0; ' ; ;o oy y M Q . Từ điều kiện tồn tại dao động ta có định thức của hệ phương trình tuyến tính bằng không tìm được thông số dao động k ta tính ra được tần số dao động riêng: 2 ; EI k m (4.16) Do phương trình xác định thông số dao động k có dạng siêu việt và có vô số nghiệm nên có vô số dạng dao động riêng. 0 00; 0; ' 0; ; 0; ' 0;l l z y y z l y y 2 3 2 0 0 o o kl kl o o kl kl M Q C D k EI k EI M Q B C k EI k EI
- 206. §H- 206 - 23 2 0; kl kl kl kl C D k EI k EI D B C k EI k EI 2 . 0kl kl klC B D 2 cos sin sin 0 2 2 2 ch kl kl sh kl kl sh kl kl cos 1ch kl kl 1 2 3 4,730 7,853 10,496 ; ; ;k k k l l l 1 2 32 2 2 22,4 61,6 121,0 ; ; ; EI EI EI l m l m l m
- 207.