Esercitazioni di statistica 8/10

Corso di Statistica
Lezioni di sostegno
A.A. 2006-2007
Docente: Dott. Giorgio VACCHIANO
Dip. AgroSelviTer_ Sez. Selvicoltura
giorgio.vacchiano@unito.it
Università degli Studi di Torino

19.2.2008 Statistica – dott. G.Vacchiano 2
Esercizio 1: 007
Per controllare la qualità dell’insegnamento, il preside fa
spiare il professore di statistica in 7 lezioni successive, e
annota quante volte il prof sbaglia una spiegazione:
Lezione I II III IV V VI VII
Errori 3 1 1 0 5 2 0
Sapendo che il prof ogni tanto si sveglia male ( = 1.5),
calcolare il numero minimo e massimo di errori
(distribuiti normalmente) atteso nel 95% dei casi.
Esercizio1:limitifiduciali

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE:
La media delle medie campionarie è uno stimatore
esatto della media della popolazione.
Se voglio stimare da UN SOLO campione,
commetterò un errore. La media reale sarà
racchiusa in un intervallo fiduciale (o “di
confidenza”).
Esercizio 1: 007

xm= 1.7 errori
p= 0.95
= 0.05
= 1.5
n= 7
Esercizio 1: 007
99%
95%

Esercizio 1: 007
x
Z
n
fiduc x Z
n
0.025
1.5
1.7
7
Z
0.6 errori
2.8 errori Limite sup.
Limite inf.
±Z: 2 code (non so se Xm è > o < ).

Esercizio 1: 007
Qual è la probabilità che la didattica del prof rispetti
gli standard minimi di facoltà (valore atteso 1±0.5
errori per lezione)?
= 1 errore
= 0.5 errori
Xm= 1.7 errori
Confronto tra media
campionaria
& media di una popolazione

Probabilità didattica uguale o
migliore alla media di facoltà
TEST A 1 CODA
Var.Casuale: xm
1.7 1
3.704
0.5
7
calcZ
Esercizio 1: 007
Zcalc
x
Z
n
p = 0.001

Il prof ha meno dello 0.1%
di probabilità di soddisfare
gli standard di facoltà
Esercizio 1: 007

Esercizio 2: nessuno è perfetto
La ditta ACME fornisce tondini di ferro per cemento armato. Il
tondino è certificato per una resistenza media a trazione di 50
N/mm ( =1.2). In 6 casi di incidente in cui il materiale era stato
usato per realizzare opere di contenimento, il tondino ha ceduto ai
seguenti valori di trazione:
N/cm 470 482 490 517 547 434
Si può affermare che la ACME ha rilasciato una certificazione
truffaldina?
Esercizio2:testdelleipotesi

Esercizio 2: nessuno è perfetto.
Problema:
Confronto media campione – media popolazione.
= 50 N/mm
= 1.2 N/mmm= 49 N/mm

Esercizio 2: nessuno è perfetto
Soluzione: Test delle ipotesi
IPOTESI ZERO (nulla):
la media del campione è solo
casualmente minore di quella della
pop. (errore di campionamento).
IPOTESI ALTERNATIVA:
La media del campione è
significativamente minore di quella
della popolazione (truffa in vista!!).

Regione in cui deve situarsi il campione per essere
significativamente diverso dalla popolazione:
95% dei casi:
Regione di
“non rifiuto” di H0.
5% dei casi:
Regione di
rifiuto di H0.
95%
NB: la regione di rifiuto può essere
rappresentata da una o due code.
Resistenza media a trazione

Nulla in statistica (e in
scienza) può mai essere
accettato.
L’obiettivo è falsificare.

Se il verificarsi di quella media campionaria è raro, è probabile che
il campione appartenga ad una popolazione diversa.
Tondino
certificato
Tondino
truffaldino
“…È più probabile che
la media campionaria
appartenga all’una o
all’altra popolazione?”

1. Confronto i valori-soglia.
Sospetto che il tondino sia più debole, considero quindi solo
una coda.
ptest=0.95
test=0.05
Ztest=-1.645
p49 50
2.041
1.2
6
calcZ
SE
NB: una sola coda –> la truffa è ragionevole
solo per valori inferiori a quelli certificati
(non superiori!!).

2. Oppure, confronto le probabilità associate
ptest=0.95
calc=0.05
pcalc=0.979
calc=0.021
p
49 50
2.041
1.2
6
calcZ

Esercizio3:distribuzionedit

1899: Birraio capo
Guinness Brewery
Dublin (EIRE)

IPOTESI NULLA
IPOTESI ALTERNATIVA
x
t
s
n

Valori di t
Gradidilibertà significatività

Simulazione di esame
WOW.
IN QUESTO
COMPITO NON
C’E’ UN ERRORE.
QUALCUNO HA
CAPITO TUTTO!
FINALMENTE !
DA NON CRE…
E’ LA LISTA
DELLE RISPOSTE.
L’HO SCRITTA
IO.

1. Stimare, con α =5%, l’intervallo di confidenza dell’altezza media di una varietà di
pomodoro, attraverso esemplari alti 22, 25, 21, 23, 24, 25, 21 pollici.
La stima dei limiti fiduciali va effettuata attraverso la distribuzione di t, dal momento che la deviazione standard della
popolazione (s) è ignota. La formula per calcolare i limiti fiduciali è simile in tutto a quella utilizzata con Z:
μ = ± t*E.S. + xmedio
dove t: valore tabulato per il livello di errore desiderato e per i GRADI DI LIBERTA’ del campione (n-1) 1
ES: errore standard (deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie)= (s/radice[n])
xmedio: stimatore di μ..
Calcolo della deviazione standard campionaria:
x x-xmedio (x-xmedio)2
22 -1 1
25 2 4
21 -2 4
23 0 0
24 1 1
25 2 4
21 -2 4
Media 23
GL 6
SS devianza 18 somma (x-xmedio)2
s2
varianza 3 SS / GL
s dev.st. 1.73 radice (s2
)
ES errore st. 0.65 s /radice(n)
Valore di t tabulato per α = 0.05 e GL = 6: 2.44
Limiteinf = - t*E.S. + xmedio = 21.414 pollici
Limitesup = + t*E.S. + xmedio = 24.586 pollici
L’intervallo fiduciale può essere espresso attraverso i suoi due limiti o come differenza tra questi (=3.172 pollici).
1
Esiste una intera famiglia di distribuzioni t, una per ogni grado di libertà.

3. Da una fornitura di 1000 pali di castagno per viticoltura si estrae un campione di 20
elementi per un controllo della qualità. La densità del legno misurata nei 20 pali è riportata
nella tabella seguente:
id ρ id ρ
1 .681 11 .681
2 .654 12 .654
3 .630 13 .630
4 .460 14 .460
5 .690 15 .690
6 .672 16 .672
7 .693 17 .693
8 .701 18 .701
9 .725 19 .725
10 .697 20 .697
Calcolare i limiti fiduciari della densità media della fornitura di pali con un livello di
confidenza del 95%.
Valore di t tabulato per α =0.05 e GL =19: 2.093
Limiteinf = - t*E.S. + xmedio = 0.626 kg/dm3
Limitesup = + t*E.S. + xmedio = 0.695 kg/dm3
x x-xmedio (x-xmedio)2
0.681 0.0207 0.0004
0.654 -0.0063 0.00004
0.63 -0.0303 0.0009
0.46 -0.2003 0.0401
0.69 0.0297 0.0009
0.672 0.0117 0.0001
0.693 0.0327 0.0011
0.701 0.0407 0.0017
0.725 0.0647 0.0042
0.697 0.0367 0.0013
0.681 0.0207 0.0004
0.654 -0.0063 0.00004
0.63 -0.0303 0.0009
0.46 -0.2003 0.0401
0.69 0.0297 0.0009
0.672 0.0117 0.0001
0.693 0.0327 0.0011
0.701 0.0407 0.0017
0.725 0.0647 0.0042
0.697 0.0367 0.0013
Media 0.6603
GL 19
SS devianza 0.1016 somma (x-xmedio)2
s2
varianza 0.0053 SS / GL
s dev.st. 0.0731 radice (s2
)
ES errore st. 0.0163 s /radice(n)

4. In un vivaio sono coltivate pianticelle di ciliegio per legname di pregio; dopo due mesi dalla
semina questa specie raggiunge un’altezza media di 25 centimetri (σ = 1.7 cm). A causa di un
incidente, su quel terreno sono state disperse sostanze tossiche. Per una verifica dei loro
potenziali effetti negativi sulla crescita delle piantine vengono seminate sul terreno inquinato
7 pianticelle che, controllate dopo 2 mesi, raggiungono un’altezza media di 23 cm. Si può
sostenere che le sostanze tossiche disperse inibiscano la crescita delle piantine?
Per verificare l’ipotesi relativa alla media xmedio di un campione rispetto ad una media attesa μ, si può ricorrere alla
distribuzione normale standardizzata – in questo caso la distribuzione di Z poiché σ è nota. Al fine di verificare che
l’effetto dell’inquinante sia reale e che la variazione di altezza rilevata non sia dovuta solamente al caso
(campionamento effettuato in una coda della distribuzione normale), occorre valutare se la media della popolazione µ
da cui è estratto il campione (ciliegi su terreno inquinato) è statisticamente minore di quella attesa µ0 (piantine di
ciliegio in genere).
IPOTESI NULLA: H0 : xmedio ≥ µ
IPOTESI ALTERNATIVA: H1 : xmedio < µ
Scelgo di effettuare un test A UNA CODA: poiché il testo del problema specifica già qual è la direzione dell’effetto
dell’inquinante (solo negativo) posso considerare solo una parte della distribuzione normale (quella a sinistra poiché
la media del campione è minore di quella della popolazione).2
Se l’ipotesi nulla è vera, le 7 piantine del campione appartengono alla popolazione con media 25 cm e deviazione
standard 1.7; occorre determinare se la probabilità che il campione appartenga a questa popolazione (= area sottesa
alla distribuzione di Z) sia troppo piccola per accettare questa ipotesi.
μ = 25 cm
σ = 1.7 cm
xmedio = 23 cm
n = 7
Z = (xmedio – μ) /ES NB: la distribuzione è sempre delle medie campionarie (tra le medie derivanti da
tutti i possibili campioni di 7 piantine di ciliegio ne scelgo una), quindi occorre
usare ES.
Z = (23-25) / (1.7/ radice[7]) = -3.11 Z CALCOLATO
Z = 1.645 Z TABULATO (livello di confidenza del 95%, si esclude una probabilità del 5% in una coda)
Z = 2.3267 Z TABULATO (livello di confidenza del 99%, calcolo per interpolazione)
I valori di Z tabulati, da considerare negativi poiché sappiamo di essere nella coda sinistra, individuano il limite della
ZONA DI ACCETTAZIONE DELL’IPOTESI NULLA: se Z calcolato cade oltre tale zona, le probabilità associate al
suo dato sono troppo piccole per accettare di trovarsi davanti ad un’unica popolazione, e l’ipotesi nulla pertanto è
rifiutata. L’inquinate ha cioè avuto un effetto ALTAMENTE SIGNIFICATIVO (livello di errore minore di 0.01).
2
Un test è unilaterale o a una coda, quando il ricercatore si chiede se una media è maggiore dell'altra, escludendo a priori che essa possa essere
minore. Un test è bilaterale o a due code, quando il ricercatore si chiede se tra le due medie esista una differenza significativa, senza che egli abbia
indicazioni su quali sia la maggiore o la minore.
ZONA DI RIFIUTO
ZONA DI
ACCETTAZIONE
-2.3267 (test a una coda, coda sx)
ZONA DI RIFIUTO
ZONA DI
ACCETTAZIONE
-1.645 (test a una coda, coda sx)
-3.11 (Z CALCOLATO)
-3.11 (Z CALCOLATO)

Esercitazioni di statistica 8/10

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