Esercitazioni di statistica 6/10

Corso di Statistica
Lezioni di sostegno
A.A. 2006-2007
Docente: Dott. Giorgio VACCHIANO
Dip. AgroSelviTer_ Sez. Selvicoltura
giorgio.vacchiano@unito.it
Università degli Studi di Torino

13.2.2008 Statistica – dott. G.Vacchiano 2
Esercizio 1: pascolo
Festuca rubra 55%
Poa alpina 27%
Nardus stricta 10%
Altre specie 8%
Esercizio1:Distribuzionebinomiale

Festuca rubra 55%
Poa alpina 27%
Nardus stricta 10%
Altre specie 8%

Effettuando un campionamento casuale di 20
individui, qual è la probabilità che:
 nessuno sia della specie Festuca rubra;
 tutti siano della specie Festuca rubra;
 almeno il 75% sia della specie Nardus stricta;
 meno del 10% sia di altre specie.

Transetto lineare

Evento: trovare una piantina di…
r: numero di “sì”
p: probabilità a priori = in tutto il pascolo
P: probabilità a posteriori = nel nostro campione
n =20

n numero di ripetizioni 20
r1 numero di successi: “piantina della specie Festuca” 0
r2 numero di successi: “piantina della specie Festuca” 20
r3 numero di successi: “piantina della specie Nardo” 20 x 0.75 = 15 (almeno)
r4 numero di successi: “piantina di altre specie” 20 x 0.10 = 2 (meno di)
pF probabilità a priori di trovare una Festuca 0.55
qF probabilità a priori di non trovare una Festuca (1-pF) 0.45
pP probabilità a priori di trovare una Poa 0.27
qP probabilità a priori di non trovare una Poa (1-pP) 0.73
pN probabilità a priori di trovare un Nardo 0.10
qN probabilità a priori di non trovare un Nardo(1-pN) 0.90
pA probabilità a priori di trovare altre specie 0.08
qA probabilità a priori di non trovare altre specie (1-pA) 0.92

0 20 0 7
0
20!
0.55 0.45 1.16 10
0! 20 0 !
p
20 20 20 6
20
20!
0.55 0.45 6.42 10
20! 20 20 !
p

P(15) = (20! / [15! (20-15)!]) x 0.1015 0.9020-15 = 9.15 x 10-12
P(16) = (20! / [16! (20-16)!]) x 0.1016 0.9020-16 = 3.18 x 10-13
P(17) = (20! / [17! (20-17)!]) x 0.1017 0.9020-17 = 8.31 x 10-15
P(18) = (20! / [18! (20-18)!]) x 0.1018 0.9020-18 = 1.54 x 10-16
P(19) = (20! / [19! (20-19)!]) x 0.1019 0.9020-19 = 1.8 x 10-18
P(20) = (20! / [20! (20-20)!]) x 0.1020 0.9020-20 = 1 x 10-20
P = P(15) + P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20) = 9.48 x 10-12

P(0) = (20! / [0! (20-0)!]) x 0.080 0.9220-0 = 0.19
P(1) = (20! / [1! (20-1)!]) x 0.081 0.9220-1 = 0.33
P = 0.19 + 0.33 = 0.52
52% di probabilità di trovare meno di 2 piantine di altre
specie su 20 misurazioni casuali.

n = 10
r = 10
 IPOTESI 1: lancio “cieco” (A1/A2)
p = 40% centro
 IPOTESI 2: conta anche la mira!
p >> 40%
Tiro al bersaglio!

1%
4%
12%
21%
25%
20%
11%
4%
1% 0% 0%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probabilità
Centri
Se vale IPOTESI 1:
Tiro al bersaglio!

= 5%
Qui NON VALE ipotesi 1!!
1%
4%
12%
21%
25%
20%
11%
4%
1% 0% 0%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probabilità
Centri
Tiro al bersaglio!

= 5%
66%
28%
15%
4%
1%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tiro al bersaglio!
Al variare di p (=4%)

Tiro al bersaglio!
 Probabilità a priori : 40%
 Probabilità a posteriori (campionaria): …
 Probabilità di errore
(SIGNIFICATIVITA’): 5%

Tiro al bersaglio!
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
probabilità
ripetizioni
3 lanci
10 lanci
50 lanci
p =40%

Tiro al bersaglio!
Se il numero di ripetizioni è molto alto, la binomiale è
approssimata dalla NORMALE, una distribuzione
continua.

A che punto siamo?
Le distribuzioni di probabilità:
Distribuzionidiprobabilità
BINOMIALE
Discreta
Eventi binari (Y/N)
VC: numero (int.) di Y
probabilità (valore)
GAUSSIANA
Continua
Eventi continui
VC: scala di rapporti
probabilità (intervallo)
n−>∞

A che punto siamo?
C.F. Gauss
(1777-1855)

A che punto siamo?
“Sono a conoscenza di poche altre cose così atte ad
imprimersi nell’immaginario come la meravigliosa
forma dell’ordine cosmico espressa dalla legge degli
errori”.
Sir F. Galton
(1822-1911)

Esercizio 2: tartufi
Il peso medio di una popolazione di 500 tartufi è di
151 g e la deviazione standard è 15 g. Assumendo che
la variabile sia distribuita normalmente, trovare:
 quanti tartufi pesano almeno 185 grammi;
 qual è la probabilità di trovare tartufi dal peso di
130 grammi o meno;
 qual è il peso minimo del 5% dei tartufi più pesanti.
Esercizio2:DistribuzionenormaleZ

Variabili continue in biologia:
DISTRIBUZIONE GAUSSIANA O NORMALE.
Le infinite normali sono confrontabili se ricondotte alla
normale standardizzata, con media= 0 e dev.st.= 1:
x
Z

Probabilità Z Valore
La probabilità associata a
determinati valori di Z (=area
sottesa dalla curva) è riportata
in tabelle.
1. Una coda - dx
2. Una coda - sx
3. Due code (simmetriche)
2
1
3 3
p

1) Standardizzazione della distribuzione:
 n = 500
 = 151 grammi
 = 15 grammi
2) Calcolo probabilità associata (da tabella)
185 151
2.27
15
Z
Popolazione: 500 tartufi…. E allora?
QUI E’ UN DATO INUTILE!

Prob. associata (1 coda):
VC: peso del tartufo
Prob. di trovare un tartufo con
peso uguale o maggiore a 185 g.
0.016 x 500 = 8 tartufi
2.27
0.0116 1.16%p
2
1

Per la coda sinistra si usa la stessa tabella perché la
distribuzione di Z è SIMMETRICA.
 Z negativo (coda sx)
 Probabilità (=area) sempre positiva:
p(-1.4) = p(1.4) = 0.0081 = 8.1%
130 151
1.40
15
Z
2
1

3. Qual è il peso minimo del 5% dei tartufi più pesanti?
Si parte da una probabilità!!
1. Risalire al valore di Z
2. Calcolare la rispettiva x con la formula inversa:
x Zx
Z

Z associata
(“tartufi più pesanti”  1 coda):
0.0505 -> 1.64
0.0495 -> 1.65
0.050 -> ???
Interpolazione lineare:
Punto medio = 1.645
(1.645 15) 151 175.7 gx

Assignments
 Dati aberranti (outliers)
 Trasformazione dati
- G.Plantamura et al., 2004 –
 Ducks and greens!
(esercizio stampato)

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