Розглянуто 2, 8, 16 системи числення та арифметичні операйції в них. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

1. Системи числення
1. Вступ
2. Двійкова система
3. Вісімкова система
4. Шістнадцяткова система
5. Інші системи числення
Автор Ю.К. Поляков
Переклад В.Семенюка

2. Системи числення
Тема 1. Вступ

3. 3
Визначення
Система числення – це спосіб запису чисел за
допомогою спеціальних знаків – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифри:
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавіт – це набір цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типи систем числення:
 непозиційні – значення цифри не залежить від
її місця (позиції) в запису числа;
 позиційні – залежить…

4. 4
Непозиційні системи
Унарна – одна цифра позначає одиницю (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Римська
I – 1 (палець), V – 5 (розкрита долонь, 5 пальців),
X – 10 (дві долоні), L – 50,
C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

5. 5
Римська система числення
Правила:
 (за звичай) не ставлять більше трьох однакових цифр
підряд
 якщо молодша цифра (тільки одна!) стоїть зліва від
старшої, вона обчислюється із суми (частково
непозиційна!)
Приклади:
MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M CCC LXXX IX
= 1644

6. 6
Приклади:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

7. 7
Римська система числення
Недоліки:
 для запису великих чисел (>3999) потрібно
вводити нові знаки-цифри (V, X, L, C, D, M)
 як записати дробові числа?
 як виконувати арифметичні дії:
CCCLIX + CLXXIV =?
Де використовуються:
 номера розділів у книжках:
 позначення століть:
 циферблат годинника

8. 8
Словянська система числення
алфавітна система числення (непозиційна)

9. 9
Позиційні системи
Позиційна система: значення цифри визначається її
позицією у записі числа.
Десяткова система:
першопочатково – лічба на пальцях
винайдена в Індії, запозичена арабами, завезена до Європи
Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основа (кількість цифр): 10
3 7 8
2 1 0 розряди
сотні десятки одиниці
870300
= 3·102 + 7·101 +
8·100
Інші позиційні системи:
• двійкова, вісімкова, шістнадцяткова (інформатика)
• дванадцяткова (1 фут = 12 дюймів, 1 шилінг = 12 пенсів)
• двадцяткова (1 франк = 20 су)
• шістидесяткова (1 хвилина = 60 секунд, 1 година = 60 хвилин)

10. Системи числення
Тема 2. Двійкова система
числення

11. 11
Переведення цілих чисел
Двійкова система:
Алфавіт: 0, 1
Основа (кількість цифр): 2
10  2
2  10
19 2
918
1
2
48
1
2
24
0
2
12
0
2
00
1
19 = 100112
система
числення
100112
4 3 2 1 0 розряди
= 1·24 +0·23 +0·22 +1·21 +1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

12. 12
Приклади:
131 = 79 =

13. 13
Приклади:
1010112 =
1101102 =
Коли двійкове число парне? ділиться на 8??

14. 14
Переведення дробових чисел
10  2
2  10
0,375 =
 2
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3 розряди
= 1·22 +1·20 +1·2-2 +1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
,7500
0,75
 2
,501
0,5
 2
,01
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…
= 0,1(0110)2
Багато дробових чисел неможна представити у
вигляді конечних двійкових дробів.
Для їх точного збереження потрібне безмежне
число розрядів.
Більшість дробових чисел зберігаються в
пам’яті з помилкою.
2-2 = = 0,2522
1
0,0112

15. 15
Приклади:
0,625 = 3,875 =

16. 16
Арифметичні операції
додавання віднімання
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
переніс
заєм
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1

00

011 0 2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
021
 
0 102
1 0
0 1 1 102
010


17. 17
Примеры:
1011012
+ 111112
101112
+ 1011102
1110112
+ 110112
1110112
+ 100112

18. 18
Приклади:
1011012
– 111112
110112
– 1101012

19. 19
Арифметичні операції
множення ділення
1 0 1 0 12
 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1 12
1 1 12
– 1 1 12
0

20. 20
Плюси і мінуси двійкової системи
• потрібні технічні пристрої тільки з двома стійкими
станами (є струм — немає струму, намагнічено —
не намагнічено і т.д.);
• надійність і завадостійкість двійкових кодів;
• виконання операцій з двійковими числами для
комп’ютера набагато простіше, ніж з десяковими.
• прості десяткові числа записуються у вигляді
безмежних двійкових дробів;
• двійкові числа мають багато розрядів;
• запис числа в двійковій системі однорідний,
тобто містить тільки нулі і одиниці; тому людині
складно його сприймати.

21. Системи числення
Тема 3. Вісімкова
система числення

22. 23
Вісімкова система
Основа (кількість цифр): 8
Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10  8
8  10
100 8
1296
4
8
18
4
8
00
1
100 = 1448
система
числення
1448
2 1 0 розряди
= 1·82 +4·81 +4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

23. 24
Приклади:
134 = 75 =
1348 =
758 =

24. 25
Таблиця вісімкових чисел
X10 X8 X2 X10 X8 X2
0 0 000 4 4 100
1 1 001 5 5 101
2 2 010 6 6 110
3 3 011 7 7 111

25. 26
Переведення у двійкову і навпаки
8
10
2
• трудомісько
• 2 дії
8 = 23
Кожна вісімкова цифра може бути
записана як три двійкових (трiада)!
!
17258 =
1 7 2 5
001 111 010 1012
{
{
{
{

26. 27
Приклади:
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =

27. 28
Переведеня з двійкової системи
10010111011112
Крок 1. Розбити на триади, починаючи справа:
001 001 011 101 1112
Крок 2. Кожну триаду записати одною
вісімковою цифрою:
1 3 5 7
Відповідь: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

28. 29
Приклади:
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =

29. 30
Арифметичні операції
додавання
1 5 68
+ 6 6 28

1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в переніс
1 в переніс

080 4 1 в переніс

30. 31
Приклад
3 5 38
+ 7 3 68
1 3 5 38
+ 7 7 78

31. 32
Арифметичні операції
обчислення
4 5 68
– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1

заєм
781 5
заєм

32. 33
Приклади
1 5 68
– 6 6 28
1 1 5 68
– 6 6 28

33. Системи числення
Тема 4. Шістнадцяткова
система числення

34. 35
Шістнадцяткова система
Основа (кількість цифр): 16
Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10  16
16  10
107 16
696
11
16
00
6
107 = 6B16
система
числення
1C516
2 1 0 розряди
= 1·162 +12·161 +5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
B
C

35. 36
Приклади:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

36. 37
Таблиця шістнадцяткових чисел
X10 X16 X2 X10 X16 X2
0 0 0000 8 8 1000
1 1 0001 9 9 1001
2 2 0010 10 A 1010
3 3 0011 11 B 1011
4 4 0100 12 C 1100
5 5 0101 13 D 1101
6 6 0110 14 E 1110
7 7 0111 15 F 1111

37. 38
Переведення у двійкову систему
16
10
2
• трудомісько
• 2 дії
16 = 24
Кожна шістнадцяткова цифра може бути
записана як чотири двійкових (тетрада)!
!
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{1111 0001 10102
{
{

38. 39
Приклади:
C73B16 =
2FE116 =

39. 40
Переведення з двійкової системи
10010111011112
Крок 1. Розбитт на тетради, починаючи справа:
0001 0010 1110 11112
Крок 2. Кожну тетраду записати одною
шістнадцятковою цифрою:
0001 0010 1110 11112
1 2 E F
Відповідь: 10010111011112 = 12EF16

40. 41
Приклади:
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =

41. 42
Переведення у вісімкову і навпаки
трудомісько
3DEA16 = 11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Крок 1. Перевести у двійкову систему:
Крок 2. Розбити на триади:
Крок 3. Триада – одна вісімкова цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528

42. 43
Приклади:
A3516 =
7658 =

43. 44
Арифметичні операції
додавання
A 5 B16
+ C 7 E16

1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

1 в переніс
1 в переніс
13 961

44. 45
Приклад:
С В А16
+ A 5 916

45. 46
Арифметичні операції
віднімання
С 5 B16
– A 7 E16
заєм

1 D D16
12 5 11
– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заєм
131 13

46. 47
Приклад:
1 В А16
– A 5 916

47. Системи числення
Тема 5. Інші системи числення

48. 49
Трійкова урівноважена система
Задача Баше:
Знайти такий набір з 4 важків, щоб з їх допомогою на
шальках рівноплечих ваг можна було зважити вантаж
масою від 1 до 40 кг включно. Важки можна
розташовувати на будь-якій шальці ваг.

49. 50
Трійкова урівноважена система
+ 1 гиря справа
0 гиря снята
– 1 гиря зліва
Вага важок:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Приклад:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =
Реалізація:
ЕОМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
50 промислових зразків
40
Трійкова система!!

50. 51
Кінець