SlideShare a Scribd company logo

Prosiding.compressed knm2014

•
•
Dynes Navianti
Dynes Navianti

Dokumen tersebut merupakan daftar isi dari prosiding konferensi nasional matematika yang membahas berbagai topik seperti aljabar, analisis, ilmu komputer, matematika keuangan, matematika pendidikan, dan statistika. Terdapat penjelasan singkat mengenai panitia penyelenggara konferensi, bidang-bidang yang dibahas, daftar makalah yang disajikan beserta halaman, dan sambutan dari ketua panitia serta presiden organisasi matemat

Education
1 of 114
Download to read offline
i Panitia Pengarah (Steering Committee): PANITIA PELAKSANA Reviewer Extended Abstrak .S niversitas umatera tara (Universitas Padjadjaran) nstitut eknologi andung niversitas endidikan ndonesia
ii
iii TIM PROSIDING KOORDINATOR EDITOR TIM TEKNIS LAYOUT & COVER uhammad '
iv Tim Reviewer nstitut eknologi andung nstitut eknologi andung ( Institut Teknologi Sepuluh Nopember) iversitas Padjajaran niversitas Negeri Surabaya Abdur Rahman ' niversitas egeri alang niversitas egeri ogayakarta (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 0 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 1 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 2 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 3 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 4 niversitas Negeri Jember
v Sambutan Ketua Panitia Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Tema yang diambil dalam konferensi adalah “Peranan Matematika dan Statistika SEAN Economics Community)”, dengan harapan sebagai persiapan - - - - 161 8 3 4 18 7 39 1 .S
vi SAMBUTAN PRESIDEN IndoMS 2012-2014 Dengan Nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh “Peranan Matematika dan Statistika menyongsong AEC (ASEAN Economics Community)”,
vii Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
BIDANG 1. Aljabar & Geometri 2. Analisis 3. Ilmu Komputer 4. Matematika Keuangan 5. Matematika Pendidikan 6. Matematika Terapan 7. Statistika 8. Teori Graf & Kombinatorik 9. Teori dan Sistem Kendali
DAFTAR ISI PROSIDING KNM 1 PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA 1 Kistosil Fahim, Lukman Hanafi, Subiono, danTahiyatul Asfihani 2 SIFAT-SIFAT ALJABAR DARI PEMETAAN TOPOLOGI TOPOGRAFI FUZZY 9 Muhammad Abdy 3 EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL 15 Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito 4 DIAGNOSIS SUATU PENYAKIT MENGGUNAKAN MATRIKS D-DISJUNCT 25 Siti Zahidah 5 KARAKTERISTIK ELEMEN SIMETRIS ANGGOTA RING DENGAN ELEMEN SATUAN YANG DILENGKAPI INVOLUSI 37 Titi Udjiani SRRM, Budi Surodjo,dan Sri Wahyuni 6 ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING 47 Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti 7 KAJIAN KEINJEKTIFAN MODUL (MODUL INJEKTIF, MODUL INJEKTIF LEMAH, MODUL MININJEKTIF) 59 Baidowi dan Yunita Septriana Anwar BIDANG : ANALISIS (12) 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL DAN SOLUSINYA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE 69 Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti,dan Emacarnia 9 INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL FUNGSI BERNILAI C [a ,b ]: TEOREMA KEKONVEGENAN SERAGAM 77 Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, dan CH. Rini Indrati 10 KAJIAN KELENGKUNGAN PERSAMAAN KURVA DI 85 Iis Herisman dan Komar Baihaqi 11 KONSTRUKSI TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE A 93 Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus 12 PENERAPAN GARIS BERAT SEGITIGA CENTROID UNTUK MENENTUKAN KELOMPOK PADA ANALISIS DISKRIMINAN 105 I Komang Gede Sukarsa, I Putu Eka Nila Kencana, dan NM. Dwi Kusumawardani 13 BEBERAPA SIFAT DARI KLAS FUNGSI P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION FUNCTIONS 113 Moch Aruman Imron , Ch. Rini Indrati, dan Widodo 14 KEKONTINUAN SIMETRIS FUNGSI BERNILAI REAL PADA RUANG METRIK 121 Manuharawati BIDANG : ALJABAR DAN GEOMETRI (7) NO JUDUL MAKALAH HAL BIDANG : ANALISIS (8) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL 15 PENENTUAN POSISI SUMBER ARUS LISTRIK LEMAH DALAM OTAK DENGAN METODE INVERS 127 Muhammad Abdy 16 PELATIHAN JARINGAN FUNGSI BASIS RADIAL MENGGUNAKAN EXTENDED KALMAN FILTER UNTUK IDENTIFIKASI INSTRUMEN GAMELAN JAWA 133 Abduh Riski, Mohammad Isa Irawan, dan Erna Apriliani 17 EKSTRAKSI CIRI MFCC PADA PENGENALAN LAFAL HURUF HIJAIYAH 143 Agus Jamaludin, dan Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom 18 PEMILIHAN GURU BERPRESTASI BERDASARKAN PENILAIAN KINERJA GURU DENGAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS (ANP) 153 Alvida Mustika Rukmi, M. Isa Irawan, dan Nuriyatin 19 SEGMENTASI CITRA DENGAN MENGGUNAKAN MODIFIKASI ROBUST FUZZY C-MEANS 165 Charista Christie Tjokrowidjaya dan Zuherman Rustam 20 PERBANDINGAN METODE LEARNING VECTOR QUANTIZATION (LVQ) DAN SUPPORT VECTOR MACHINE (SVM) UNTUK PREDIKSI PENYAKIT JANTUNG KORONER 175 Desy Lusiyanti dan M. Isa Irawan 21 DETEKSI KECACATAN PERMUKAAN LOSONG AMUNISI BERBASIS PENGOLAHAN CITRA DIGITAL 183 Dwi Ratna Sulistyaningrum, Budi Setiyono, dan Dyah Ayu Erniasanti 22 PENERAPAN VEKTOR PADA APLIKASI WINDOWS PHONE BERBASIS AUGMENTED REALITY 191 Erick Paulus, Stanley P. Dewanto, InoSuryana, dan Septya Happytasari S 23 METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM 19723 METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM 197 Feni Andriani dan Ilmiyati Sari 24 PEMODELAN VOLATILITAS SAHAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN DAN ALGORITMA GENETIKA 205 Hasbi Yasin 25 APLIKASI METODE FUZZY PADA PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN AUSTRALIA KE BALI 211 I Putu Eka Nila Kencana dan IBK. Puja Arimbawa K 26 PREDIKSI CUACA EKSTRIM MENGGUNAKAN ALGORITMA CLUSTERING BERDASARKAN ROUGH SET 221 Mohammad Iqbal dan Hanim Maria Astuti 27 KAJIAN LANJUTAN TERHADAP KUNCI LEMAH ALGORITMA SIMPLIFIED IDEA 229 Retno Indah dan Sari Agustini Hafman 28 PENGGUNAAN METODE PCA UNTUK REDUKSI DATA IMAGE PEMBULUH DARAH VENA 241 Rifki Kosasih 29 IMPLEMENTASI KALIBRASI KAMERA ZHANG PADA ESTIMASI JARAK 249 Shofwan Ali Fauji dan Budi Setiyono 30 KONSTRUKSI POHON FILOGENETIK MENGGUNAKAN ALGORITMA NEIGHBOR JOINING UNTUK IDENTIFIKASI HOST DAN PENYEBARAN EPIDEMI SARS 259 Siti Amiroch dan M. Isa Irawan BIDANG : ILMU KOMPUTER (18) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL 31 DESAIN PENGENDALI UMPAN BALIK LINIER BERORDE MINIMUM PADA SISTEM BILINIER PEMBANGKIT LISTRIK DENGAN ALGORITMA GENETIKA 269 Taufan Mahardhika, Roberd Saragih, dan Bambang Riyanto Trilaksono 32 APLIKASI ENTROPI FUZZY C-MEANS UNTUK MENDIAGNOSA CANCER BERDASARKAN KONSENTRASI UNSUR KIMIA DALAM DARAH 279 Zuherman Rustam 33 MODEL MANAJEMEN POLA TANAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN FUNGSI RADIAL BASIS 285 Alven Safik Ritonga dan Mohammad Isa Irawan 34 ESTIMASI VALUE AT RISK PADA SAHAM PT. “X” DENGAN METODE EXTRIM VALUE THEORY 297 Mochammad Afandi dan Santi Puteri Rahayu 35 CONDITIONAL VALUE-AT-RISK DI BAWAH MODEL ASET LIABILITAS DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN 305 Sukono, Sudradjat Supian, dan Dwi Susanti 36 ESTIMASI VOLATILITAS UNTUK PENGHITUNGAN VALUE at RISK (VaR) SAHAM LQ-45 MENGGUNAKAN MODEL GARCH 315 Tarno dan Hasbi Yasin 37 THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN’S ERROR ANALYSIS 32737 THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN’S ERROR ANALYSIS PROCEDURES TO IMPROVE STUDENTS’ MATHEMATICAL LEARNING 327 Yoga Dwi Windy Kusuma Ningtyas 38 PERMAINAN TRADISIOANAL “ICAK-ICAKAN” PADA MATERI PERSENTASE LABA RUGI UNTUK SISWA CENDERUNG KINESTETIK 335 Fadila Hasmita, Oryza Zafivani, dan Rully Charitas Indra Prahmana 39 PENERAPAN PENDEKATAN PMRI UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA PADA MATERI BALOK DAN KUBUS 343 Dimas Danar Septiadi 40 MATCHAN (MATHEMATICS DAKOCAN) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERHITUNG SISWA SEKOLAH DASAR 355 Dwi Wulandari dan Ira Silviana Rahman 41 PENGGUNAAN BACKWARD DESIGN DALAM MERANCANG PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG BERNUANSA OBSERVATION-BASED LEARNING 363 Abdur Rahman As’ari 42 PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATERI SEGIEMPAT BERBASIS REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VII SMP 371 Abdur Rohim, Ipung Yuwono, dan Sri Mulyati 43 PENGEMBANGAN SOAL BERBASIS LITERASI MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN KERANGKA PISA TAHUN 2012 379 Ahmad Wachidul Kohar dan Zulkardi BIDANG : MATEMATIKA KEUANGAN (3) NO JUDUL MAKALAH HAL BIDANG : MATEMATIKA PENDIDIKAN (44) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL 44 ANALISIS KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING MAHASISWA PADA MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA 389 Andri Suryana 45 KONTSRUKSI TEORITIK TENTANG BERPIKIR REFLEKTIF SEBAGAI AWAL TERJADINYA BERPIKIR REFRAKSI DALAM MATEMATIKA 397 Anton Prayitno, Akbar Sutawidjaja, Subanji, dan Makbul Muksar 46 MENGHIDUPKAN TAHAP MENANYA PADA IMPLEMENTASI PENDEKATAN SAINTIFIK DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH 405 Djamilah Bondan Widjajanti 47 PENGEMBANGAN BAHAN AJAR PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIS MAHASISWA MELALUI BLENDED LEARNING DENGAN STRATEGI PROBING-PROMPTING 415 Hapizah 48 PROFIL PEMAHAMAN SUBJEK UJI COBA 6 TERHADAP FILOSOFI, PRINSIP, DAN KARAKTERISTIK PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK 423 Hongki Julie, St. Suwarsono, dan Dwi Juniati 49 ANALISIS PENGUASAAN KONSEP DASAR DAN KETUNTASAN PEMAHAMAN MATERI PENCACAHAN DALAM MATEMATIKA DISKRET 433 Luh Putu Ida Harini, I Gede Santi Astawa, dan I Gusti Ayu Made Srinadi 50 FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEPUTUSAN SISWA SMA MELANJUTKAN STUDI S1 DI UNIVERSITAS UDAYANA 443 Made Susilawati, I Putu Eka Nila Kencana, dan Ni Made Dwi Yana Putri 51 PERANCANGAN DAN PEMBUATAN ENSIKLOPEDIA MATEMATIKA DIGITAL DALAM KOMUNITAS DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA 451 PEMBELAJARAN MATEMATIKA Mahmuddin Yunus, Indriati Nurul H, dan Lucky Tri O. 52 PENGEMBANGAN BUKU ELEKTRONIK OLIMPIADE MATEMATIKA BERBASIS WEB DENGAN PENDEKATAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH 459 Mahmuddin Yunus dan Tjang Daniel Chandra 53 EFEKTIVITAS METODE GRUP INVESTIGASI DI KELAS KALKULUS I PADA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU KOMPUTER FMIPA UNIVERSITAS UDAYANA 467 Ni Made Asih 54 PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS BRAIN GYM DENGAN MEDIA MANIPULATIF UNTUK ABK 477 Nia Wahyu Damayanti, Akbar Sutawidjajadan I Nengah Parta 55 PENANAMAN KONSEP OPERASI PEMBAGIAN MENGGUNAKAN PERMAINAN TRADISIONAL BOLA BEKEL DI KELAS III SEKOLAH DASAR 487 Nurochmah dan Novia Larosa 56 MODEL PROBLEM BASED LEARNINGDALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN ANALISIS SISWA KELAS VIII SMP 497 Nur Wahidin Ashari 57 PENGEMBANGAN LKS BERCIRIKAN PENEMUAN TERBIMBING DAN DIDUKUNG GEOGEBRA PADA MATERI FUNGSI KUADRAT 507 Nurul Firdaus
NO JUDUL MAKALAH HAL 58 PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL KELERENG DALAM OPERASI PENGURANGAN DI KELAS I SD 517 Olanda Dwi Sumintra, Armianti, dan Rully Charitas Indra Prahmana 59 IDENTIFIKASI KONSEP BERFIKIR ANAK USIA DINI DALAM KONSEP MATEMATIKA MENURUT TAHAPAN PIAGET 525 Reni Dwi Susanti 60 KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENGANALISA KEKONVERGENAN SUATU BARISAN BERDASARKAN PENGETAHUAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL 533 Ria Amalia 61 THINKING IMPLEMENTATION TO INTRODUCE FRACTION IN TALL’S THREE WORDS 543 Rustanto Rahardi dan Eddi Budiono 62 PENERAPAN STRATEGI MOTIVASI ARCS DALAM PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI BALOK DI KELAS VIII SMP NEGERI 3 GRESIK 555 Sabrina Apriliawati Sa’ad 63 PENINGKATAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS MELALUI PENDEKATAN RME BERBASIS GAYA KOGNITIF SISWA 565 Salwah, Yaya S. Kusumah, dan Stanley Dewanto 64 PENGEMBANGAN MODUL PENERAPAN TEORI GRAPH BERBASIS ICT SEBAGAI PEDOMAN PRAKTEK KERJA LAPANGAN (PKL) MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA DI INDUSTRI 575 Sapti Wahyuningsih dan Darmawan Satyananda 65 PENGGUNAAN PERMAINAN TRADISIONAL YEYE DALAM PEMAHAMAN KONSEP PERKALIAN UNTUK SISWA SEKOLAH DASAR 591 Sri Ratna Dewi, Sari Juliana, dan Rully Charitas Indra Prahmana 66 PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR 60166 PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR 601 Siti Lailiyah dan Toto Nusantara 67 IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 DAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA PADA PEMBELAJARAN PECAHAN 607 Sitti Busyrah Muchsin 68 PEMBELAJARAN ON-LINE KALULUS III BERSTANDART NCTM 615 Suharto dan Moh. Hasan 69 PENERAPAN SELF – DIRECTED LEARNING PADA PEMBELAJARAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE SATU 625 Susi Setiawani 70 EDUCATIONAL DESIGN RESEARCH: DEVELOPING STUDENTS’ UNDERSTANDING OF THE MULTIPLICATION STRATEGY IN AREA MEASUREMENT 633 Susilahudin Putrawangsa , Agung Lukito , Siti M Amin, dan Monica Wijers 71 PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS, DAN SIKAP SISWA TERHADAP MATEMATIKA MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK 653 Syaiful 72 PERBEDAAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA LAKI-LAKI DAN SISWA PEREMPUAN 667 Syamsu Qamar Badu dan Siti Azizah A. Husain 73 MULTIGROUP STRUCTURAL EQUATION MODELING DENGAN PARTIAL LEAST SQUARE PADA HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS IX SMP NEGERI DI KOTA KENDARI 677
NO JUDUL MAKALAH HAL Tandri Patih dan Bambang Widjanarko Otok 74 PENINGKATAN SELF-EFFICACY SISWA MELALUI PENDEKATAN PROBLEM-CENTERED LEARNING DISERTAI STRATEGI SCAFFOLDING 689 Tedy Machmud 75 PENERAPAN STRATEGI BELAJAR METAKOGNISI UNTUK MEMAHAMI BACAAN DALAM IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 699 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih, Iswan Riyadi, dan Hersulastuti 76 PENGEMBANGAN MOBILE LEARNING APPLICATION (MLA) SEBAGAI MEDIA PEMBELAJARAN ALTERNATIF PADA MATERI KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR 709 Wulan Marlia Sandi 77 KEMAMPUAN BERPIKIR LOGIS MATEMATIS MAHASISWA DALAM PERKULIAHAN MATEMATIKA DASAR DAN MATEMATIKA DISKRIT 719 Yaya S. Kusumah dan Heni Pujiastuti 78 PENTINGNYA PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL LAYANG-LAYANG DALAM PEMBELAJARAN PHYTAGORAS DI KELAS VIII SMP 729 Yuli Pinasthika dan Yuannisya Walimun 79 PROSES BERPIKIR ALJABAR SISWA BERDASARKAN TAKSONOMI MARZANO 739 Yunita Oktavia Wulandari, Edy Bambang Irawan, dan Toto Nusantara 80 MASALAH NILAI YANG DICARI: PENALARAN PROPORSIONAL SISWA SETELAH MEMPELAJARI PERBANDINGAN DAN PROPORSI 749 Zainul Imron, I Nengah Parta, dan Hery Susanto NO JUDUL MAKALAH HAL 81 MODEL EPIDEMIK SIR UNTUK PENYAKIT YANG MENULAR SECARA HORIZONTAL DAN VERTIKAL 757 Ilmiyati Sari dan Hengki Tasman 82 HILANGNYA DUA BIFURKASI FOLD TANPA MELALUI BIFURKASI CUSP PADA SISTEM PREDATOR- PREY DENGAN FAKTOR PERTAHANAN GRUP DAN GANGGUAN BERKALA 767 Harjanto, E dan Tuwankotta, J. M 83 BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA WANGERSKY-CUNNINGHAM DENGAN WAKTU TUNDA 773 Ali Kusnanto, Ni Nyoman Suryani, dan N K Kutha Ardana 84 PENERAPAN GOAL PROGRAMMING DALAM PENJADWALAN DAN PENUGASAN KEGIATAN KEMAHASISWAAN 777 Anis Fauziyyah, Toni Bakhtiar, dan Farida Hanum 85 PENERAPAN PROJECTION PURSUIT DALAM BLIND SOURCE SEPARATION 787 Atik Wintarti, Abadi, dan Yoyon K. Suprapto 86 KAJIAN NUMERIK: PENGARUH UKURAN SISTEM TERHADAP GAYA HAMBAT PADA SILINDER 795 Chairul Imron, Basuki Widodo, dan Triyogi Yuwono 87 ANALISA DAN SIMULASI MODEL MANGSA-PEMANGSA YANG DILAKUKAN PEMANENAN 801 Diny Zulkarnaen dan Linda Yunengsih 88 METODE OPERATOR SPLITTING : EKSPLORASI DAN SIMULASI 809 BIDANG : MATEMATIKA TERAPAN (27) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL Endar H. Nugrahani 89 PERAMALAN VOLUME PRODUKSI AIR DI PDAM BOJONEGORO DENGAN METODE FUNGSI TRANSFER 815 Fastha Aulia Pradhani dan Adatul Mukarromah 90 KEKUATAN INFEKSI HIV DALAM KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS 823 Iffatul Mardhiyah dan Hengki Tasman 91 METODE ELEMEN BATAS UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PERPINDAHAN PANAS 833 Imam Solekhudin 92 ANALISIS PEMAKAIAN MADU PADA PENGAWETAN MAKANAN MENGGUNAKAN METODE MATEMATIKA 839 Imelda Hendriani Eku Rimo dan Basuki Widodo 93 SKEMA BEDA HINGGA NONSTANDAR MODEL EPIDEMI SIR DENGAN TINGKAT KEJADIAN TERSATURASI DAN MASA INKUBASI 849 Isnani Darti dan Agus Suryanto 94 MODEL TRANSMISI PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN MEMPERHATIKAN KOMPARTEMEN VAKSINASI 855 J. Nainggolan, S. Supian, A. K. Supriatna , dan N. Anggriani 95 SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL 865 Jeffry Kusuma , Khaeruddin, Syamsuddin Toaha , Naimah Aris, dan Alman 96 MASALAH TRANSPORTASI MULTIOBJECTIVE FUZZY DENGAN VARIABEL KEPUTUSAN FUZZY 871 Listy Vermana dan Salmah 97 MODEL PERTUMBUHAN KRISTAL PADA GAMBUT YANG DIBENTUK DARI KAPUR, FLY ASH DAN AIR 881 Mohammad Syaiful Pradana dan Basuki Widodo 98 APROKSIMASI VARIASIONAL UNTUK SOLITON DISKRIT GELAP 891 Mahdhivan Syafwan 99 PENGGUNAAN METODE LEVEL SET DALAM MENYELESAIKAN MASALAH STEFAN DUA FASE (KASUS MASALAH PENCAIRAN ES ) 897 Makbul Muksar, Tjang Daniel Candra, dan Susy Kuspambudi Andaini 100 ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI 907 Marsudi 101 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN PENDEKATAN MODEL MULTI GRUP 919 Nur Asiyah, Suhud Wahyudi, dan M. Setijo Winarko 102 PEMBENTUKAN VIEWS PADA MODEL BLACK LITTERMAN 933 Retno Subekti 103 MODELLING ROAD TRAFFIC ACCIDENT DEATHS IN SOUTH AFRICA USING GENERALIZED LINEAR MODELS 943 Sharon Ogolla, Sony Sunaryo, dan Irhamah 104 ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR 953 Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma, Khaeruddin, dan Mawardi
NO JUDUL MAKALAH HAL 105 PENDEKATAN FUNGSI SELEKSI UNTUK MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL FUZZY DALAM PENGOPTIMALAN RETRIBUSI JALAN TO 965 Syarifah Inayati dan Irwan Endrayanto A 106 KAJIAN DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS MASALAH GOAL PROGRAMMING 985 Talisadika Serrisanti Maifa 107 MODEL MATEMATIKA PENGARUH SUHU DAN KETINGGIAN TERHADAP SPONTANEOUS-POTENTIAL UNTUK KARAKTERISASI PANASBUMI DI GEDONGSONGO, SEMARANG, JAWA TENGAH 997 Widowati, Agus Setyawan, Mustafid, Muh. Nur, Sudarno, Udi Harmoko, Satriyo, Gunawan S, Agus Subagio, Heru Tj, Djalal Er Riyanto, Suhartono, Moch A Mukid, Jatmiko E. 108 PENENTUAN PREMI BULANAN UNTUK KONTRAK ASURANSI JIWA ENDOWMENT UNIT LINK DENGAN METODE POINT TO POINT 1005 Erna Hayati dan Sony Sunaryo 109 ASUMSI CONSTANT FORCE PADAASURANSI DWIGUNA LAST SURVIVOR 1015 Hasriati, Azis Khan, dan Dian Fauzia Rahmi 110 METODE PENDETEKSIAN HOTSPOT MULTIVARIAT DAN PERANGKINGAN ORDIT: Study Kasus Tingkat KesehatanIbudanBalita di Kota Depok 1025 Yekti Widyaningsih dan Titin Siswantining 111 PREDIKSI CURAH HUJAN DI SURABAYA UTARA DENGAN MENERAPKAN FUZZY-MAMDANI 1035 Farida Agustini Widjajati dan Dynes Rizky Navianti 112 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA 1045112 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA LONGITUDINAL (STUDI KASUS KEBERHASILAN KB) 1045 Dita Amelia dan I Nyoman Budiantara 113 KLASIFIKASI KAYU DENGAN MENGGUNAKAN NAÏVE BAYES-CLASSIFIER 1057 Achmad Fahrurozi 114 KALKULATOR SURVIVAL DAN LIFE TABEL MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1067 Adhitya Ronnie Effendie dan Hendra Perdana 115 PREDIKSI INDEKS HARGA KONSUMEN DENGAN MODEL FUZZY DAN RECURRENT NEURAL NETWORK 1073 Agus Maman Abadi 116 PERAMALAN PENJUALAN SEPEDA MOTOR DI PT. “X” DENGAN MENGGUNAKAN ARIMAX DI KABUPATEN PONOROGO 1085 Ani Satul Ru’yati Badriyah dan Agus Suharsono 117 PENERAPAN MODEL ARX ORDE 1 PADA INDEKS SAHAM DAN HARGA MINYAK MENTAH DUNIA 1093 Indah Pratiwi, Kankan Parmikanti, dan Budi Nurani Ruchjana 118 PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTADI PROVINSI NTB BERDASARKAN KARAKTERSTIK KEMISKINAN MENGGUNAKAN METODE WARD 1107 Desy Komalasari 119 PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB PADA MODIFIKASI SINGLE SYSTEMATIC SAMPLING 1115 Dewi Putrie Lestari dan Aini Suri Talita BIDANG : STATISTIKA (39) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL 120 EVALUASI SKILL MODEL DENGAN KURVA RELATIVE OPERATING CHARACTERISTICS (ROC) 1123 Dewi Retno Sari Saputro 121 ANALISIS SURVIVAL PADA DATA REKURENSI DENGAN COUNTING PROCESS APPROACH DAN MODEL PWP-GT 1129 Diah Ayu Novitasari dan Santi Wulan Purnami 122 OPTIMISASI PERENCANAAN PRODUKSIMODEL PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF DE NOVO DENGAN PENDEKATAN GOAL PROGRAMMING 1139 Dwi Lestari 123 REGRESI KUANTIL DENGAN ESTIMASI METODE SPARSITY UNTUK PEMODELAN TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DI INDONESIA 1153 Dynes Rizky Navianti 124 PREDIKSI PERMINTAAN SEPEDA MOTOR PER JENIS MERK HONDA DAN TOTAL MARKET DI KABUPATEN SIDOARJO MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRESSIVE (VAR) 1165 Efrandi Andiarga dan Agus Suharsono 125 VOLATILITAS MODEL GARCH SAHAM SYARIAH YANG BERHUBUNGAN KAUSALITAS DENGAN INDEKS PASAR 1183 Endang Soeryana Hasbullah, Ismail Bin Mohd, Mustafa Mamat, Sukono, dan Endang Rosyaman 126 PENGARUH FAKTOR INDIVIDU DAN FAKTOR KONTEKSTUAL TERHADAP FERTILITAS DI INDONESIA TAHUN 2011 (Analisis Multilevel) 1193 Febri Wicaksono dan Dhading Mahendra 127 KAJIAN METODE STATISTIK NONPARAMETRIK UJI HILDEBRAND SEBAGAI PADANAN ANALISIS VARIANSI DUA ARAH 1203 Fitri Catur Lestari 128 PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL 1213128 PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL AUTOREGRESSIVE – SEM PLS 1213 Gilang Maulana Abdi dan Ismaini Zain 129 PENENTUAN PREMI TUNGGAL PADA KONTRAK ASURANSI jiwaENDOWMENT UNIT LINK METODE HIGH WATER MARK 1225 Gusmi Kholijah dan Sony Sunaryo 130 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1241 Hendra Perdana, Khabib Mustofa, dan Dedi Rosadi 131 PENGEMBANGAN GRAFIK PENGENDALI DISTRIBUSI BETA BINOMIAL SEBAGAI PENGANTI p-CHART MELALUI MCMC 1247 Hendro Permadi 132 PENGARUH OUTLIER TERHADAP ESTIMATOR PARAMETER REGRESI DAN METODE REGRESI ROBUST 1259 I GustiAyu Made Srinadi 133 SUATU SURVEI TENTANG REGRESI BERBASIS KOPULA 1267 I Wayan Sumarjaya 134 ANALISIS REGRESI PROBIT DENGAN EFEK INTERAKSI UNTUK MEMODELKAN ANGKA FERTILITAS TOTAL DI INDONESIA 1277 Imam Ahmad Al Fattah dan Vita Ratnasari 135 ANALISIS GEROMBOL BERBASIS MODEL (StudiKasusStandarPelayanan Minimal SMP di KabupatenManokwari) 1287
NO JUDUL MAKALAH HAL Surianto Bataradewa, Nurhaida, Rium Hilum, dan Indah Ratih Anggriyani 136 KAJIAN ANALISIS DISKRIMINAN BERBASIS MODEL (Model Based Discriminant Analysis Study ) 1299 Indah Ratih Anggriyani 137 MODEL BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON INVERSE GAUSSIAN DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON. 1309 Laksmi Prita W 138 ESTIMASI PARAMETER MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ZERO-INFLATED POISSON REGRESSION (GWZIPR) 1317 Luthfatul Amaliana dan Purhadi 139 ANALISIS DATA INFLASI DI INDONESIAMENGGUNAKAN MODEL REGRESI KERNEL (SEBELUM DAN SESUDAH KENAIKAN TDL DAN BBM TAHUN 2013) 1327 Suparti, Budi Warsito, dan Moch Abdul Mukid 140 ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS GEOGRAPHICALLY WEIGHTED MULTINOMIAL LOGISTIC REGRESSION 1339 M. Fathurahman, Purhadi, Sutikno, dan Vita Ratnasari 141 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL GENERALISASI SPACE TIME AUTOREGRESI ASUMSI HETEROSKEDASTIK 1349 Nelson Nainggolan 142 TAKSIRAN TITIK MEAN MODEL CAR FAY-HERRIOT MENGGUNAKAN PENDEKATAN HIERARKI BAYES PADA SMALL AREA ESTIMATION 1355 Kurnia Susvitasari danTitin Siswantining 143 PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI COX DAN ANALISIS SURVIVAL BAYESIAN PADA PASIEN KANKER SERVIKS 1363 Rina Wijayanti dan Santi Wulan PurnamiRina Wijayanti dan Santi Wulan Purnami 144 MODEL REGRESI PROBIT BIVARIAT PADA INDEKS PEMBANGUNAN GENDER DAN INDEKS PEMBERDAYAAN GENDER 1373 Ririn Wahyu Ningsih dan Vita Ratnasari 145 PEMODELAN KUALITAS PEMBANGUNAN MANUSIA INDONESIA DENGAN PENDEKATAN MODEL PROBIT BIVARIAT 1383 Vita Ratnasari 146 PENAKSIRAN PARAMETER UNTUK MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION (GWTR) 1391 Harmi Sugiarti, Purhadi, Sutikno, dan Santi Wulan Purnami 147 GRAF AMALGAMASI POHON BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT 1399 Asmiati dan Fitriani 148 PELABELAN GRACEFUL SUPER FIBONACCI PADA GRAF FRIENDSHIP DAN VARIASINYA 1409 Budi Poniam dan Kiki A. Sugeng 149 PEMANFAATAN PELABELAN GRACEFUL PADA SYMMETRIC TREE UNTUK KRIPTOGRAFI POLYALPHABETIC 1417 Indra Bayu Muktyas dan Kiki A. Sugeng 150 PELABELAN TOTAL SUPER (A,D)- SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN GRAF PRISMA 1421 BIDANG : TEORI GRAPH DAN KOMBINATORIK(11) NO JUDUL MAKALAH HAL
NO JUDUL MAKALAH HAL Ira Aprilia dan Darmaji 151 BATAS ATAS DIMENSI PARTISI GRAF SUBDIVISI DARI GRAF POHON 1427 Amrullah, Edy Tri Baskoro, Saladin Uttunggadewa, dan Rinovia Simanjuntak 152 PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA SEGITIGA 1435 Kurniawan Atmadja, Kiki A. Sugeng dan Teguh Yuniarko 153 PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF MERCUSUAR DAN GRAF BUNGA DHIFA 1441 Nadia Paramita, Rostika Listyaningrum dan Kiki A. Sugeng 154 PEMBENTUKKAN SUPER GRAF PADA KLASIFIKASI SIDIK JARI 1447 Nurma Nugraha dan Kiki Ariyanti 155 MENGKONTRUKSI SUPER EDGE MAGIC GRAPH BARU DARI SUPER EDGE MAGIC GRAPH YANG SUDAH ADA 1455 Suhud Wahyudi dan Sentot Didik Surjanto 156 MENENTUKAN CLIQUE MAKSIMUM PADA SUATU GRAF DENGAN MENGGUNAKAN HEURISTIK GREEDY 1465 Mochamad Suyudi, Ismail Bin Mohd, Roslan Bin Hasni , Sudradjat Supian, dan Asep K. Supriatna 157 KAJIAN EKSISTENSI GRAF BERARAH HAMPIR MOORE 1471 Yus Mochamad Cholily 158 KENDALI OPTIMAL PADA MANAJEMEN PERSEDIAAN MULTI-SUPPLIER DENGAN LEAD TIME 1477 Darsih Idayani dan Subchan 159 ANALISA PERBANDINGAN PERFORMANSI KONTROL TWO WHEELED INVERTED PENDULUM ROBOT DENGAN MENGGUNAKAN FSMC DAN T2FSMC 1489 Mardlijah dan Muh Abdillah 160 METODE LANGSUNG PADA PERMASALAHAN KENDALI OPTIMAL DENGAN LEGENDRE PSEUDOSPECTRAL 1497 Rahmawati Erma Standsyah dan Subchan 161 KENDALI OPTIMAL MODEL DIVERSIFIKASI BERAS DAN NON-BERAS 1507 Retno Wahyu Dewanti dan Subchan BIDANG : TEORI SISTEM DAN KENDALI (4) NO JUDUL MAKALAH HAL
PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA Kistosil Fahim1 , Lukman Hanafi2 , Subiono3 , dan Tahiyatul Asfihani4 1 ITS, kfahimt@gmail.com 2 ITS, lukman@matematika.its.ac.id 3 ITS, subiono2008@matematika.its.ac.id 2 ITS, tahiyatul.asfihani@gmail.com Abstrak. Transportasi memiliki peranan yang sangat penting dalam keterkaitan antar wilayah dan diharapkan menjadi sistem yang terintegrasi. Pada penelitian ini dilakukan pengkajian dalam pemodelan dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dengan menggunakan aljabar max- plus. Langkah pertama yang dilakukan yaitu penyusunan graf berarah yang di- dasarkan pada data rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya kemudian dilakukan integrasi monorel dan trem dengan menggunakan aturan sinkro- nisasi. Selanjutnya dibentuk model penjadwalan untuk monorel dan trem. Kata Kunci: Aljabar Max-Plus; Integrasi; Nilai Eigen; Pemodelan. 1 Pendahuluan Transportasi merupakan salah satu mata rantai jaringan distribusi barang dan mobilitas penumpang yang berkembang sangat dinamis, serta berperan dalam mendukung, mendorong dan menunjang segala aspek kehidupan baik dalam pembangunan politik, ekonomi, sosial budaya, dan pertahanan kea- manan [1]. Di berbagai wilayah di Indonesia termasuk kota Surabaya, ke- butuhan transportasi semakin meningkat. Sejalan deng- an kebutuhan dan perkembangan transportasi di kota Surabaya, Pemkot Surabaya telah menyi- apkan monorel dan trem sebagai transportasi massal. Monorel digunakan di jalur Timur-Barat, sementara trem pada jalur Utara-Selatan [2]. Pembangunan monorel dan trem diharapkan menjadi sebuah sistem transportasi yang terin- tegrasi dan memiliki managemen transportasi yang baik sehingga memenuhi kebutuhan transportasi masyarakat. Pada penelitian ini mengkaji model dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikn dengan trem dengan mensimulasikan 21 trem dan 18 monerel yang beroperasi dengan menggunakan aljabar max-plus. Pada tahap awal penelitian dikaji mengenai beberapa data mengenai rencana pembangunan jalur monorel dan trem di Surabaya, tempat pemberhentian dan pemberangkatan monorel dan trem, kecepatan monorel dan trem, dan panjang jalan. Selan- jutnya disusun graph berarah dari jaringan monorel dan trem di Surabaya, node-node (titik-titik pertemuan) sebagai titik pemberangkatan dan pember- hentian dari monorel dan trem, untuk pembo-botan menggunakan waktu tem- puh antar dua titik pertemuan (antara dua stasiun) pada jalur monorel/trem. 1
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya Penyusunan model jalur monorel yang diintegrasikan dengan jalur trem di- lakukan pada titik pemberhentian dan pemberangkatan yang ditentukan den- gan menggunakan aturan sinkronisasi. Dari hasil analisis model yang didapat kemudian dilakukan analisis desain penjadwalan monorel dan trem sehingga diperoleh jadwal monorel dan trem yang terintegrasi. 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dilakukan, telah ada bebe- rapa penelitian mengenai transportasi dengan menggunakan metode aljabar max-plus. Penelitian yang telah dilakukan dengan menganalisis pemodelan serta penjadwalan dengan menggunakan aljabar max-plus interval atas dan bawah untuk menentukan desain penjadwalan sebagaimana tesis yang telah ditulis oleh Nahlia dengan judul ”Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggu- nakan Aljabar Max-Plus”[3]. Dalam tesis tersebut dituangkan gagasan pe- nentuan jalur busway untuk kota Surabaya yang menghubungkan Surabaya Selatan dan Utara, Surabaya Timur dan Surabaya barat serta jalur pusat. Se- lanjutnya pemodelan jalur busway di Surabaya yang diintegrasikan dengan KA Komuter Sidoarjo-Surabaya yang merupakan pengembangan penelitian dari [3] dilakukan oleh Kistosil Fahim(2013) yaitu ”Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Diintegrasikan dengan Kereta Api Komuter” [4] dan penelitian yang juga membahas pemodelan yaitu ”Imple- mentasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya)” [5] yang ditulis oleh Kresna Ok- tavianto. 2.2 Aljabar Max-Plus Berikut ini diiberikan pengenalan konsep dari Aljabar Maxplus. Definisi 1 Definisi aljabar max-plus[6] Diberikan Rε = R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε = −∞. Pada Rε didefinisikan operasi berikut: ∀x, y ∈ Rε, x ⊕ y def = max{x, y} dan x ⊗ y def = x + y Selanjutnya ditunjukkan (Rε, ⊕, ⊗) adalah semiring dengan elemen netral ε dan elemen satuan e = 0, karena untuk setiap x, y, z ∈ Rε berlaku: i. x ⊕ y = max{x, y} = max{y, x} = y ⊕ x, (x ⊕ y) ⊕ z = max{max{x, y}, z} = max{x, y, z} = max{x max{y, z}} = x ⊕ (y ⊕ z), x ⊕ ε = max{x, −∞} = max{−∞, x} = ε ⊕ x = x ii. (x ⊗ y) ⊗ z = (x + y) + z = x + (y + z) = x ⊗ (y ⊗ z), x ⊗ e = x + 0 = 0 + x = e ⊗ x = x, iii. x ⊗ ε = x + (−∞) = −∞ = −∞ + x = ε ⊗ x 2
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya iv. (x ⊕ y) ⊗ z = max{x, y} + z = max{x + z, y + z} = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z), x ⊗ (y ⊕ z) = x + max{y, z} = max{x + y, x + z} = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ y). Operasi ⊕ dibaca o-plus dan operasi ⊗ dibaca o-times dan untuk lebih ringkasnya, penulisan (Rε, ⊕, ⊗) ditulis sebagai Rmax. 2.2.1 Vektor dan Matriks Himpunan matriks n × m dalam aljabar max-plus di- nyatakan dalam Rn×m max . Didefinisikan n = {1, 2, 3, ..., n} untuk n ∈ N. Elemen dari matriks A ∈ Rn×m max pada baris ke-i kolom ke-j dinyatakan dengan ai,j, untuk i ∈ n dan j ∈ m. Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan sebagai A =      a1,1 a1,2 . . . a1,m a2,1 a2,2 . . . a2,m ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,m      ada kalanya elemen ai,j juga dinotasikan sebagai [A]i,j, i ∈ n, j ∈ m Untuk penjumlahan matriks A, B ∈ Rn×m max dinotasikan oleh A⊕B didefinisikan sebagai [A ⊕ B]i,j = ai,j ⊕ bi,j = max{ai,j, bi,j} untuk i ∈ n dan j ∈ m. 2.2.2 Matriks dan Graph Misalkan matriks A ∈ Rn×n max dan suatu graph berarah dari matriks tersebut adalah G(A) = (E,V). Graph G(A) memi- liki n titik dan semua himpunan titik dari G(A) dinyatakan oleh V . Suatu garis dari titik j ke titik i ada bila ai.j = ε, garis ini dinotasikan oleh (j, i). Him- punan semua garis dari graph G(A) dinotasikan oleh E. Bobot dari garis (j, i) adalah nilai dari ai.j yang dinotasikan oleh w(j, i) = ai.j ∈ R. Bila ai.j = ε, maka garis (j, i) tidak ada. Suatu barisan garis (i1, i2), (i2, i3), ..., (il−1, il) dari suatu graph dinamakan suatu path. Suatu path dikatakan elementer bila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut. Untuk suatu matriks persegi A ∈ Rn×n max , matriks A+ didefinisikan sebagai: A+ def = ∞ i=1 A⊗i 2.2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang ber- sesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n × n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A ⊗ x = λ ⊗ x. 3
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×n max dan λ ∈ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x = (ǫ, ǫ, ..., ǫ)T . Suatu Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A ∈ Rn×n max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linier x(k + 1) = A ⊗ x(k), k = 0, 1, 2, 3, ... (1) Perilaku periodik dari persamaan (1) erat kaitannya deng- an apa yang dina- makan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagai lim k→∞ x(k) k . Limit ini ada untuk setiap keadaan awal x(0) = (ε, ε, ..., ε)T dan untuk matriks dalam Persamaan (1) yang tereduksi selalu bisa dijadikan suatu bentuk blok matriks segitiga atas, yang diberikan oleh bentuk      A1,1 A1,2 · · · A1,q ε A2,2 · · · A2,q ε ε ... ... ε ε · · · Aq,q      Dan untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., q, Ai,i berukuran qi × qi adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen λi. Dalam hal yang demikian vektor waktu sikel diberikan oleh lim k→∞ x(k) k = λ1 T λ2 T · · · λq T T , dengan tanda T menyatakan transpose dari matriks dan λi = λi λi · · · λi T dan vektor λi berukuran qi × 1. Keujudan nilai eigen dari matriks persegi A diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2 Bila untuk sebarang keadaan awal x(0) = ε sistem Persamaan (1) memenuhi x(p) = c ⊗ x(q) untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q ≥ 0 dan beberapa bilangan real c, maka lim k→∞ x(k) k = λ λ · · · λ T dengan λ = c p−q . Selanjutnya λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh v = p−q i=1 λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1) Berdasarkan Teorema 2, dapat ditemukan nilai eigen sekaligus vector eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan Algoritma Power[6], yaitu se- bagai berikut: 4
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya 1. Mulai dari sebarang vektor awal x(0) = ε 2. Iterasi persamaan 1 sampai ada bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c ⊗ x(q). 3. Hitung nilai eigen λ = c p−q 4. Hitung vektor eigen v = p−q i=1 λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1) Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[7]. 3 Analisis Dan Pembahasan 3.1 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Pada penelitian ini jalur monorel dan trem dibahas dalam koridor satu dan dua. 1. Koridor Satu Koridor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur monorel yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat . Pada kori- dor jalur monorel melewati Kejawan (East Coast) → Citraland → Kejawan (East Coast), lebih lengkapnya yaitu: • East Coast (SM1) → Mulyosari (SM2) → ITS (SM3) → GOR Kerta- jaya Indah (SM4) → Galaxy Mall (SM5) → Unair Kampus C (SM6) → Dharmahusada (SM7) → RS Dr.Sutomo (SM8) → Stasiun Gubeng (SM9) → Jl. Raya Gubeng (SM10) → Jl.Irian Barat (SM11) → Jl.Bung Tomo/Marvel City(SM12) → Ngagel (Novotel) (SM13) → Wonokromo (DTC) (SM14) → Joyoboyo (SM15) → Sutos (SM16) → Ciputra World (SM17) → Dukuh Kupang (SM18) → Bundaran Satelit (SM19) → HR.Muhammad (SM20) → Simpang Darmo Permai (SM21) → Simpang PTC Lenmark (SM22) → Unesa (SM23) →Citraland (SM24) → Unesa (SM23) → Simpang PTC Lenmark (SM22) → Simpang Darmo Per- mai (SM21) → HR.Muhammad (SM20) → Bundaran Satelit (SM19) → Dukuh Kupang (SM18) → Ciputra World (SM17) → Sutos (SM16) → Joyoboyo (SM15) → Wonokromo (DTC) (SM14) → Ngagel(Novotel) (SM13) → Jl.Bung Tomo (SM12) → Jl.Irian Barat (SM11) → Jl.Raya Gubeng (SM10) → Stasiun Gubeng (SM9) → RS Dr.Sutomo (SM8) → Dharmahusada (SM7) → Unair Kampus C (SM6) → Galaxy Mall (SM5) → GOR Kertajaya Indah (SM4) → ITS (SM3) → Mulyosari (SM2) → Kejawan (East Coast)(SM1). 2. Koridor dua Korodor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur trem yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Utara dan Selatan. Pada koridor ini terdapat jalur trem yang melewati Joyoboyo → Rajawali → Joyyoboyo, lebih lengkapnya sebagai berikut : 5
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya • Joyoboyo (ST1) → Kebun Binatang (ST2) → Taman Bungkul (ST3) → Bintoro (ST4) → Pandegiling (ST5) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6) → Kombespol M.Duryat (ST7) → Tegalsari (ST8) → Embong Malang (ST9) → Kedungdoro (ST10) → Pasar Blauran (ST11) → Bubutan (ST12) → Pasar Turi (ST13) → Kemayoran (ST14) → Indrapura (ST15) → Rajawali (ST16) → Jembatan Merah (ST17) → Veteran (ST18) → Tugu Pahlawan (ST19) → Baliwerti (ST20) → Siola (ST21) → Genteng (ST22) → Pasar Tunjungan (ST23) → Gubernur Suryo (ST24) → Bambu Runcing (ST25) → Sonokembang (ST26) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6) → Pandegiling (ST5) → Bintoro (ST4) → Taman Bungkul (ST3) → Bon- bin (ST2) → Joyoboyo. Dari jalur monorel dan trem tersebut terdapat dua intermoda (titik perte- muan monorel dan trem yang memungkinkan penumpang untuk berpindah moda dari monorel ke trem ataupun sebaliknya). Intermoda pertama yang di- maksud yaitu stasiun monorel dengan stasiun trem di Joyoboyo, intermoda kedua yang dimaksud yaitu stasiun monorel di Jl.Irian Barat dengan stasiun trem di Keputran. Jalur monorel yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat terdiri dari 24 titik pertemuan/stasiun monorel. Sedangkan untuk kori- dor 2 terdapat 26 stasiun pemberhentian dengan dengan 2 stasiun trem yang memungkinkan penumpang untuk melakukan perpindahan dalam koridor yang sama, stasiun yang dimaksud yaitu stasiun trem yang berada di Urip Sumo- harjo/Keputran dan Ps.Tunjungan Plasa dengan Embong Malang. Terdapat 24 stasiun monorel dan 26 stasiun trem yang selanjutnya akan dijadikan vertex dalam graf berarah, yaitu SM1, SM2, ..., SM24 dan ST1, ST2, ..., ST26. 3.2 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Dalam penyusunan graf berarah diperlukan data-data berupa vertex yang dapat diartikan sebagai titik-titik pemberangkatan dan pemberhentian (sta- siun monorel dan stasiun trem) dan waktu tempuh antara dua vertex (antara dua stasiun). Dalam penelitian ini, jumlah alokasi monorel ataupun trem yang digunakan untuk penyusunan model yaitu berdasarkan lama waktu tempuh an- tar stasiun. Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertexnya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun ti, untuk i = 1, 2, 3, , 77. Arah graf di- dadapatkan dari arah monorel dan trem yang beroperasi sebagaimana telah di uraikan pada jalur monorel dan trem di kota Surabaya. Dalam pembahasan ini didapatkan graf berarah dari stasiun monorel East Cost (SM1) menuju stasiun monorel Mulyosari (SM2) dengan waktu tempuh tempuh rata-rata t1. 3.3 Sinkronisasi Dan Penyusunan Model Sinkronisasi menjelaskan mengenai aturan keberangkatan monorel dan trem dari suatu stasiun yang harus menunggu kedatangan monorel atau trem yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang 6
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda. Tabel 1. Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM1 SM2 x1(k) SM8 SM7 x40(k) SM2 SM3 x2(k) SM7 SM6 x41(k) SM3 SM4 x3(k) SM6 SM5 x42(k) SM4 SM5 x4(k) SM5 SM4 x43(k) SM5 SM6 x5(k) SM4 SM3 x44(k) SM6 SM7 x6(k) SM3 SM2 x45(k) SM7 SM8 x7(k) SM2 SM1 x46(k) SM8 SM9 x8(k) ST1 ST2 x47(k) SM9 SM10 x9(k) ST2 ST3 x48(k) SM10 SM11 x10(k) ST3 ST4 x49(k) SM11 SM12 x11(k) ST4 ST5 x50(k) SM12 SM13 x12(k) ST5 ST6 x51(k) SM13 SM14 x13(k) ST6 ST7 x52(k) SM14 SM15 x14(k) ST7 ST8 x53(k) SM15 SM16 x15(k) ST8 ST9 x54(k) SM16 SM17 x16(k) ST9 ST10 x55(k) SM17 SM18 x17(k) ST10 ST11 x56(k) SM18 SM19 x18(k) ST11 ST12 x57(k) SM19 SM20 x19(k) ST12 ST13 x58(k) SM20 SM21 x20(k) ST13 ST14 x59(k) SM21 SM22 x21(k) ST14 ST15 x60(k) SM22 SM23 x22(k) ST15 ST16 x61(k) SM23 SM24 x23(k) ST16 ST17 x62(k) SM24 SM23 x24(k) ST17 ST18 x63(k) SM23 SM22 x25(k) ST18 ST19 x64(k) SM22 SM21 x26(k) ST19 ST20 x65(k) SM21 SM20 x27(k) ST20 ST21 x66(k) SM20 SM19 x28(k) ST21 ST22 x67(k) SM19 SM18 x29(k) ST22 ST23 x68(k) SM18 SM17 x30(k) ST23 ST24 x69(k) SM17 SM16 x31(k) ST24 ST25 x70(k) SM16 SM15 x32(k) ST25 ST26 x71(k) SM15 SM14 x33(k) ST26 ST6 x72(k) SM14 SM13 x34(k) ST6 ST5 x73(k) SM13 SM12 x35(k) ST5 ST4 x74(k) SM12 SM11 x36(k) ST4 ST3 x75(k) SM11 SM10 x37(k) ST3 ST2 x76(k) SM10 SM9 x38(k) ST2 ST1 x77(k) SM9 SM8 x39(k) Dari Tabel 1 dan berdasarkan aturan sinkronisasi serta asumsi keberangkatan jumlah monorel dan trem yang didasarkan pada jarak tempuh antar dua sta- siun. Selanjutnya apat dikonstruksi model monorel dan trem sebagai berikut: x∗ (k) = B ⊗ x(k) (2) dengan matriks B yanng berukuran 38 × 39 dan x∗ berukuran 38 × 1, dimana x∗ = x∗ a x∗ b x∗ c x∗ d x∗ e T 7
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dengan x∗ a = x2 x3 x5 x6 x8 x9 x11 x12 x14 T x∗ b = x16 x17 x19 x21 x23 x25 x27 x29 T x∗ c = x31 x32 x34 x35 x37 x39 x40 x42 T x∗ d = x43 x45 x46 x48 x51 x54 x57 x59 T x∗ e = x64 x66 x68 x70 x72 T 4 Kesimpulan Dari hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan al- jabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A ⊗ x(k) dan x∗ = B ⊗ x(k). Daftar Pustaka [1]. Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik In- donesia.2009. Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan 2005-2025.<URL:www.dephub.go.id/ > [2]. BKKPM. Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. <URL:http://bkppm.surabaya.go.id.>,2011. [3]. Rahmawati, N. Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya,2012. [4]. Fahim, K. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya,2013. [5]. Oktavianto, K. Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya, Tugas Akhir Matematika ITS,2013. [6]. Subiono. Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya,2012. [7]. Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D .Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. <http://atoms.scilab. org/toolboxes/maxplus etrinet>,2013. 8
Sifat-sifat Aljabar dari Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy Muhammad Abdy Jurusan Matematika, FMIPA - Universitas Negeri Makassar e-mail: muh.abdy@unm.ac.id Abstrak: Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma. Dalam paper ini, keempat komponen tersebut diperlihatkan sifat-sifat aljabarnya, yaitu sebagai suatu grup komutatif dan ruang vektor. Kata kunci: invers neuromagnetik, PTTF, Kontur Magnetik, Bidang Dasar Magnetik, Magnetik Fuzzy, Topografi Medan Magnet 1. Pendahuluan Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma, seperti terlihat pada Gambar 1 Gambar 1 Keempat komponen itu adalah bidang kontur magnetik (KM), bidang dasar magnetik (DM), medan magnetik fuzzy (MF) dan topografi medan magnetik (TM). KM adalah suatu medan magnet pada bidang di atas suatu sumber arus dengan z = 0. Bidang ini diturunkan ke bawah (DM) yaitu suatu bidang dimana sumber arus berada dengan z = -h. Kemudian semua elemen DM difuzzikan ke dalam suatu lingkungan fuzzy (MF), yaitu semua nilai medan magnet difuzzikan. Proses terakhir adalah defuzzifikasi dari data fuzzi medan magnet untuk mendapatkan posisi sumber arus dalam bentuk 3-dimensi (TM). Dengan Algoritma 1 Bidang Kontur Magnetik Bidang Dasar Magnetik Medan Magnetik Fuzzy Topografi Medan Magnetik Algoritma 2 Algoritma 3 9
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya menggunakan data simulasi medan magnet yang dibangkitkan dengan program MATLAB, Fauziah [1] menyelesaikan masalah invers neuromagnetik untuk suatu sumber arus tunggal tak terbatas dengan menggunakan PTTF. Liau [3] mengkonstruksi PTTF sebagai suatu himpunan dari model dengan empat komponen dan tiga algoritma yang menghubungkan keempat. komponen itu. Kemudian dia membuktikan bahwa keempat komponen itu adalah homeomorfik satu sama lain. 2. Sifat-sifat Aljabar PTTF Fauziah [2] mendefinisikan suatu formula bacaan medan magnet dalam arah yang sejajar sumbu-z sebagai       + = 22 0 2 zy yI BZ π µ (1) Kemudian [3] memodifikasi persamaan (1) menjadi ( ) ( )( )         −−++− − = 2 02 0 ),( 902 θπ µ tgxxhyy yyI B pp p yxZ (2) Dimana 0 µ adalah permiabilitas (4π.10-7 meterTesla/ampere), I adalah kuat arus, θ adalah sudut antara arus dan sumbu-z, h adalah jarak antara KM dan sumber arus. Misalkan KM = ( )( ) [ ]{ }maxmin ,,,,, ),(),(0 ZZyxZyxZ BBBRyxByx ∈∈ , dan misalkan didefinisikan suatu relasi +KM dari KM × KM ke KM seperti berikut: +KM = ( )( ) ( )( ) ( )( ){ |,,,,,,,, ),(033),(022),(011 332211 yxZyxZyxZ ByxByxByx ( )( ) ( )( )}),(033),(02121 332121 ,,,, yxZyyxxZ ByxByyxx =++ ++ (3) Dengan ( ) ( )( ) ( ) ( )( )         −−+++−+ −+ =++ 2 0 21 2 21 210 ),( 9022121 θπ µ tgxxxhyyy yyyI B pp p yyxxZ Ambil. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) KMyxZyxZyxZ ByxByxByx +∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, Perhatikan bahwa ( )( ) ( )( ) ( )( )∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx KM. Oleh karena itu, diperoleh ( )( ) ( )( )( )∈),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx KM × KM, dan juga diperoleh bahwa ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx (KM × KM) × KM. Sehingga, +KM ⊂ (KM × KM) × KM. Jadi +KM adalah suatu relasi. Selanjutnya diperlihatkan bahwa +KM adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jika untuk ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(0),(022),(011 ,,,,,,,, 2211 aa yxZaayxZyxZ ByxByxByx +KM dan ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(0),(022),(011 ,,,,,,,, 2211 bb yxZbbyxZyxZ ByxByxByx +KM , maka ( )( )),(0 ,, aa yxZaa Byx = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ 10
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )                 −−+++−+ −+ ++ 2 0 21 2 21 210 02121 902 ,, θπ µ tgxxxhyyy yyyI yyxx pp p dan ( )( )),(0 ,, bb yxZbb Byx = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZ Byyxx ++ ++ = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )                 −−+++−+ −+ ++ 2 0 21 2 21 210 02121 902 ,, θπ µ tgxxxhyyy yyyI yyxx pp p Dengan demikian, ( ) ( ) ( )bbaa yxyyxxyx ,,, 2121 =++= , sehingga ba xxxx =+= 21 , ba yyyy =+= 21 , dan ),(),(),( 2121 bbaa yxZyyxxZyxZ BBB == ++ . Jadi diperoleh ( )( )),(0 ,, aa yxZaa Byx = ( )( )),(0 ,, bb yxZbb Byx . Dengan demikian, jika diberikan sebarang himpunan tak kosong KM, maka +KM adalah suatu relasi sedemikian sehingga untuk setiap ( )( ) ( )( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM × KM, terdapat suatu elemen tunggal ( )( )),(033 33 ,, yxZ Byx ∈ KM sedemikian sehingga ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx ∈ +KM. Oleh karena itu, +KM.adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jadi, +KM adalah suatu operasi biner pada KM sedemikian sehingga ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++ ++=+ (4) Selanjutnya diperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF dengan operasi biner +KM adalah suatu grup dengan membuktikan Teorema 1 berikut. Teorema 1 ( )KM KM +, adalah suatu grup Bukti Misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++ ++=+ . Karena 2121 ,,, yyxx ∈ R (bilangan rill), maka 2121 , yyxx ++ ∈ R. Selanjutnya, ),( 2121 yyxxZ B ++ dapat dinyatakan dalam bentuk ( ) ( )( )         −−++− − 2 02 0 902 θπ µ tgxXhyY yYI pp p , dimana 21 xxX += dan 21 yyY += . Dengan demikian, ),( 2121 yyxxZB ++ ∈ [ ]maxmin , ZZ BB dan ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ ∈ KM. Jadi, ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + ∈ KM. (tertutup) Selanjutnya, misalkan ( )( ) ( )( ) ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ = ( )( ) ( )( )),(03232),(011 323211 ,,,, yyxxZKMyxZ ByyxxByx +++++ = ( )( )))(),((0321321 321321 ,)(),( yyyxxxZByyyxxx ++++++++ (5) Juga dapat ditulis: ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ 11
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya = ( )( ) ( )( )),(033),(02121 332121 ,,,, yxZKMyyxxZ ByxByyxx +++ ++ = ( ) ( )( )( )))(,)((0321321 321321 ,, yyyxxxZByyyxxx ++++++++ = ( )( )))(),((0321321 321321 ,)(),( yyyxxxZ Byyyxxx ++++ ++++ (6) Dari (5) dan (6), maka ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ = ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ (assosiatif) Selanjutnya, dalam KM terdapat ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB . Perhatikan bahwa untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZByx ∈ KM, maka ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B +KM ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))0,0(0 ,0,0 yxZ Byx ++ ++ = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B . Juga dapat ditulis ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB = ( )( ))0,0(0 ,0,0 ++ ++ yxZ Byx = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B . Jadi ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB adalah elemen identitas dalam KM dengan operasi +KM. Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZByx ∈ KM, maka ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM ( )( )),(0 ,, yxZ Byx −− −− = ( )( )))(),((0 ,)(),( yyxxZByyxx −+−+−+−+ = ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB (7) Juga dapat ditulis: ( )( )),(0 ,, yxZByx −−−− +KM ( )( )),(0 ,, yxZ Byx = ( )( )),(0 ,, yyxxZ Byyxx +−+− +−+− = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B (8) Jadi setiap elemen KM mempunyai elemen invers dalam KM dengan operasi +KM. ▄ Teorema 2 ( )KM KM +, adalah suatu grup komutatif Bukti Misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++++=+ (9) Demikian juga, ( )( ) ( )( ) ( )( )),(01212),(011),(022 12121122 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++++=+ = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ (10) Dari (9) dan (10), maka ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = ( )( ) ( )( )),(011),(022 1122 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + ▄ Teorema berikut memperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF adalah suatu ruang vektor. Teorema 3 KM adalah suatu ruang vektor Bukti Terlebih dahulu didefinisikan operasi perkalian × pada KM sedemikian sehingga r × ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, ryrxZBryrx ; r∈R, 12
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Karena rx, ry ∈ R, maka ( )( )),(0 ,, ryrxZ Bryrx ∈ KM sehingga r × ( )( )),(0 ,, yxZ Byx ∈ KM untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZ Byx dan r∈R. Selanjutnya, misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM dan r∈R, maka r× ( )( ) ( )( )[ ]),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = r× ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZ Byyxx ++ ++ = ( )( )))(),((02121 2121 ,)(),( yyrxxrZ Byyrxxr ++ ++ (11) Juga dapat ditulis, r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx +KM r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx = ( )( )),(011 11 ,, ryrxZBryrx +KM ( )( )),(022 22 ,, ryrxZ Bryrx = ( )( )),(02121 2121 ,, ryryrxrxZBryryrxrx ++++ = ( )( )))(),((02121 2121 ,)(),( yyrxxrZ Byyrxxr ++ ++ (12) Dari (11) dan (12), maka r× ( )( ) ( )( )[ ]),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx +KM r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx Selanjutnya, misalkan ( )( )),(0 ,, yxZByx ,dan r, t ∈ R, maka ( )( )),(0 ,,)( yxZ Byxtr ×+ = ( )( )))(,)((0 ,)(,)( ytrxtrZ Bytrxtr ++ ++ (13) Juga dapat ditulis r× ( )( )),(0 ,, yxZ Byx +KM s× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, ryrxZBryrx +KM ( )( )),(0 ,, tytxZ Btytx = ( )( )),(0 ,, tyrytxrxZ Btyrytxrx ++ ++ = ( )( )))(,)(0 ,)(,) ytrxtrZ Bytrxtr ++ ++ (14) Dari (13) dan (14), maka ( )( )),(0 ,,)( yxZ Byxtr ×+ = r× ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM t× ( )( )),(0 ,, yxZ Byx untuk setiap ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, dan r, t ∈ R. Selanjutnya, misalkan ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, , dan r, t ∈ R, maka (rt)× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, rtyrtxZBrtyrtx = ( )( )))(),((0 ,)(),( tyrtxrZBtyrtxr (15) Juga dapat ditulis ( )( )( )),(0 ,, yxZByxtr ×× = ( )( )),(0 ,, tytxZBtytxr × = ( )( )))(),((0 ,)(),( tyrtxrZBtyrtxr (16) Dari (15) dan (16), maka (rt)× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )( )),(0 ,, yxZByxtr ×× Terakhir, misalkan ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, , maka 1× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))1,1(0 ,1,1 yxZByx (17) Juga dapat ditulis ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))1,1(0 ,1,1 yxZByx (18) Dari (17) dan (18), maka 1× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, yxZByx Jadi KM memenuhi semua aksioma ruang vektor. ▄ Dengan cara yang serupa seperti dalam Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3, maka diperoleh bahwa Bidang Dasar Medan Magnet (MD), Medan Magnet Fuzzy 13
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya (MF) dan Topografi Medan Magnet (TM) merupakan suatu grup komutatif dan juga merupakan suatu ruang vector, seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 4: (MD, +MD) adalah suatu grup komutatif Teorema 5: MD adalah suatu ruang vektor Teorema 6: (MF, +MF) adalah suatu grup komutatif Teorema 7: MF adalah suatu ruang vektor Teorema 8: (TM, +TM) adalah suatu grup komutatif Teorema 9: TM adalah suatu ruang vektor 3. Kesimpulan Keempat komponen dalam Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy, yaitu kontur medan magneti, medan dasar magnetik, medan magnet fuzzy dan topografi medan magnet mempunyai sifat aljabar sebagai suatu grup komutatif dan sebagai suatu ruang vektor. 4. Daftar Pustaka [1] Fauziah, Z. (2000). Pemodelan Isyarat MEG. Proceeding of the 8th National Symposium of Mathematical Sciences. Kuala Trengganu: Universiti Putra Malaysia [2] Fauziah, Z. (2002). Algoritma Penyelesaian Masalah Songsang Arus Tunggal Tak Terbatas MEG. Universiti Teknologi Malaysia. [3] Liau, L.Y. (2006). Group-Like Algebraic Structures of FTTM for Solving Neuromagnetic Inverse Problem. Universiti Teknologi Malaysia 14
EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL Siswanto1 , Ari Suparwanto2 , M. Andy Rudhito3 1) Mahasiswa S3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UGM dan Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UNS Jl. Ir. Sutami No. 36a, Surakarta sis.mipauns@yahoo.co.id 2) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,UGM Sekip utara, Yogyakarta ari_suparwanto@yahoo.com 3) Program Studi Pend. Matematika, Fakultas KIP,Sanata Dharma Kampus III Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta arudhito@yahoo.co.id Abstrak-Makalah ini membahas kriteria sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ � = � yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Misalkan ℝ himpunan semua bilangan real dan ℝ� = ℝ ∪ {− ∞}. Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� dilengkapi operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). Butkovic dan Tam telah membahas tentang kriteria sistem persamaan persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian..Aljabar maks-plus interval adalah himpunan �(ℝ)� yaitu himpunan yang anggota-anggotanya interval tertutup dalam ℝ� dilengkapi dengan operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). . Kata kunci: sistem persamaan linear, aljabar maks-plus interval. PENDAHULUAN Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� = ℝ ∪ {�}, ℝ himpunan bilangan real, � = −∞ dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Aljabar maks-plus merupakan semifield idempoten. Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas (Baccelli, et.al [2]). Menurut Tam [9], aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ� dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ�′ = ℝ ∪ {�′}, �′ = ∞ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Disamping itu, Tam [9] juga mendefinisikan aljabar maks-plus lengkap dan aljabar min-plus lengkap. Dalam tulisan ini definisi aljabar maks-plus yang digunakan diambil dari Baccelli, et.al [2]. Sejalan dengan definisi tersebut, aljabar min-plus didefinisikan sebagai himpunan ℝ�′ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗ ′. Aljabar min-plus merupakan semifield idempoten. Selanjutnya, aljabar maks-plus lengkap adalah himpunan ℝ�,�′ = ℝ� ∪ {�′} dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus lengkap adalah ℝ�′ ,� = ℝ�′ ∪ {�} dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Tampak bahwa ℝ�,�′ = ℝ� ∪ {�′ } = ℝ ∪ {�, �′ } = ℝ ∪ {�, �′ } = ℝ�′ ∪ {�′ } = ℝ�′ ,�. Selanjutnya 15
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya ℝ�,�′ dan ℝ�′ ,� ditulis dengan ℝ. Dari himpunan ℝ� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran � × � yang elemen-elemennya merupakan elemen ℝ� , yang selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar maks-plus dan dinotasikan dengan ℝ� �×� . Butkovic [4, 5] dan Tam [9] telah membahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b. Telah dibahas juga oleh keduanya mengenai kriteria sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar maks-plus telah digeneralisasi menjadi aljabar maks-plus interval dan aljabar maks-plus bilangan kabur. Aljabar maks-plus interval yaitu himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar maks-plus bilangan kabur yaitu himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕� dan ⊗� (Rudhito [7]). Dalam tulisan ini akan dibahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Akan diselidiki eksistensi penyelesaian, baik sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, maupun sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian. Sebelum membahas hasil dalam penelitian ini disampaikan konsep-konsep yang diperlukan dalam pembahasan. Adapun konsep-konsep yang diperlukan adalah aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus, mengacu pada Akian et al.[1], Baccelli et al. [2], Butkovic [3, 4, 5], dan Schutter [8] sebagai berikut. Definisi 1.1. Diberikan � ∈ ℝ, konjugat dari � adalah �∗ = �−1 = −�. Misalkan � = ���� � ∈ ℝ �×� , konjugat matriks A adalah �∗ = ���� ∗ � atau �∗ = −�� . Definisi 1.2. Diberikan � = (��� ) ∈ ℝ� �×� dan � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � . Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus berbentuk � ⊗ � = �. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut, Tam [10] memberikan 2 definisi sebagai berikut. Definisi 1.3. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � dapat diubah menjadi sistem persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 dengan �̅ = ��̅�� � = (��� − ��) ∈ ℝ� �×� . Sistem persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 disebut sistem persamaan linear yang dinormalkan dan proses ini disebut normalisasi. Proses normalisasi ini dapat dilakukan juga dengan mengalikan dari kiri, kedua ruas sistem persamaan linear � ⊗ � = � dengan matriks � = ���� (−�1, −�2, … , −�� ) = � −�1 ⋯ � ⋮ ⋱ ⋮ � ⋯ −�� �, yaitu � ⊗ � ⊗ � = � ⊗ � ⟺ (� ⊗ �) ⊗ � = � ⊗ � ⟺ �̅ ⊗ � = 0. Definisi 1.4. Diberikan suatu sistem � ⊗ � = � dengan � = (��� ) ∈ ℝ� �×� , � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � , � = {1,2, … , �} dan � = {1,2, … , �}. Didefinisikan, i. �(�, �) = {� ∈ ℝ� � |� ⊗ � = � }, ii. �� (�, �) = �� ∈ � |���� − ��� = �����=1,…,� ���� − ����, ∀� ∈ �, iii. �� = ���� � = �−�����=1,…,� ���� − ���� , ∀� ∈ �. Selanjutnya, jika �� memenuhi sistem persamaan linear maka �� disebut 16
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya penyelesaian dasar (principal solution) (Butkovic [5], Cuninghame [6], Tam [9]). Jika � = (�, �, … , �) maka �(�, �) = {� ∈ ℝ� � |�� = � jika �� ≠ �, � ∈ � }. Jika A matriks yang semua entrinya � maka �(�, �) = ℝ� � . Adapun untuk A matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �) maka �(�, �) = ∅. Oleh karena itu, diasumsikan A bukan matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �). Misalkan bahwa �� = � untuk suatu � ∈ � berarti untuk suatu � ∈ �(�, �), �� = � jika ��� ≠ �, � ∈ �. Dengan demikian, persamaan ke k dapat dihapus. Demikian juga, dapat diatur sehingga �� = � untuk setiap kolom �� dimana ��� ≠ �, sehingga kolom-kolom tersebut dapat dihapus dari sistem. Oleh karena itu, tanpa mengurangi keumuman bahwa b diasumsikan berhingga. Jika b berhingga dan A memuat baris yang semua elemenya � maka �(�, �) = ∅. Jika A memuat kolom yang semua elemennya �, misalkan �� = � untuk suatu j maka dapat diatur �� sebarang nilai pada penyelesaian x. Berarti, dapat diasumsikan A ℝ-astik ganda. Dengan memperhatikan beberapa kemungkinan tersebut, tanpa mengurangi keumumaan dibahas sistem persamaan linear dengan � = ���� � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Berdasarkan Definisi 1.4, Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan teorema tentang kriteria penyelesaian sistem persamaan linear. Teorema 1.5. Misalkan � = [��� ] ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Vektor � ∈ �(�, �) jika dan hanya jika 1) � ≤ �� dan 2) ∪�∈�� �� (�, �) = � dengan �� = {� ∈ �|�� = ��� }. Kemudian Butkovic [5], Cuninghame-Green [6], dan Tam [9] memberikan teorema berikut : Teorema 1.6. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika penyelesaian dasarnya yaitu �� merupakan penyelesaian. Selanjutnya, Butkovic [5] dan Tam [10] menyebutkan dua akibat yang muncul dari Teorema 1.5. Akibat pertama menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian dan akibat kedua menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. Akibat 1.7. Misalkan � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(�, �) ≠ ∅. 2) �� ∈ �(�, �). 3) ∪�∈� �� (�, �) = �. Akibat 1.8. Misalkan � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , �(�, �) = {�̅} jika dan hanya jika 1) ∪�∈� �� (�, �) = � dan 2) ∪�∈�′ �� (�, �) ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. Selanjutnya disajikan tentang sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Menurut Tam [9], sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks- plus didefinisikan sebagai berikut, Definisi 1.9. Diberikan � = ���� � ∈ ℝ� �×� dan � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � . Sistem � ⊗ � ≤ � disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Selanjutnya Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan penyelesaian dari sistem 17
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya pertidaksamaan linear melalui teorema berikut, Teorema 1.10. Diberikan � = ���� � ∈ ℝ �×� , � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ � dan � ∈ ℝ � berlaku � ⊗ � ≤ � jika dan hanya jika � ≤ �∗ ⊗ ′�. Berdasarkan Definisi 1.4, �� = �∗ ⊗ ′� jika � adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Sesuai dengan Teorema 1.10, �� = �∗ ⊗ ′� merupakan penyelesaian dasar dari sistem � ⊗ � = � dan � ⊗ � ≤ � untuk ℝ �×� dan � ∈ ℝ � . Berarti, penyelesaian dasar merupakan penyelesaian terbesar dari sistem � ⊗ � ≤ �. Berikut disajikan definisi dan teorema tentang aljabar maks-plus interval, matriks atas aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, [7]). Interval tertutup x dalam ℝ� adalah suatu himpunan bagian dari ℝ� yang berbentuk x = � x, x � = � � ∈ ℝ�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ� disebut interval maks-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.11. Dibentuk �(ℝ)� = �� = � �, � � ��, � ∈ ℝ, � < � ≤ � � ∪ { � }, dengan ε = [ε, ε]. Pada himpunan �(ℝ)� didefinisikan operasi maksimum ⊕��� dan plus ⊗��� dengan x ⊕��� y = [ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗��� y = [ x ⊗ y , x ⊗ y ] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)� . Himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗��� merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar maks-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� = ��(ℝ)�; ⊕���, ⊗����. Definisi 1.12. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)� �×� yaitu �(ℝ)� �×� = �A = �A�� � �A�� ∈ �(ℝ)�; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)� �×� disebut matriks interval maks-plus. Selanjutnya matriks interval maks-plus cukup disebut dengan matriks interval. Definisi 1.13. Untuk A ∈ �(ℝ)� �×� didefinisikan matriks A = [Aij] ∈ ℝ� �×� dan A = [Aij] ∈ ℝ� �×� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Definisi 1.14. Diberikan matriks interval A ∈ �(ℝ)� �×� , dengan A dan A masing- masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝmax m×n � A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ� �×� )b = ��A, A�| A ∈ �(ℝ)� �×� �. Definisi 1.15. 1. Untuk α ∈ I(ℝ)max , �A, A�, �B, B� ∈ �(ℝ� �×� )b didefinisikan i. α ⊗ �A, A� = �α ⊗ A, α ⊗ A�, ii. �A, A� ⊕ �B, B� = �A ⊕ A, B ⊕ B�, 2. Untuk �A, A� ∈ �(ℝ� �×� )b, �B, B� ∈ �(ℝ� �×� )b didefinisikan �A, A� ⊗ �B, B� = �A ⊗ A, B ⊗ B�. Teorema 1,16. Struktur aljabar dari �(ℝ� �×� )b yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗��� dinotasikan dengan �(ℝ���� �×� )b = (�(ℝ� �×� )b; ⊕, ⊗) merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan �(ℝ� �×� )b merupakan semimodul atas �(ℝ)�. Definisi 1.17. Didefinisikan 18
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya �(ℝ)� � = {x = [x1, x2, … , xn]T|xi ∈ �(ℝ)�; i = 1, 2, … . , n}. Himpunan �(ℝ)� � dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)� 1×� . Unsur-unsur dalam �(ℝ)� � disebut vektor interval dalam �(ℝ)�. Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.18. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x∗ ∈ �(ℝ)� � disebut penyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x∗ = b. Definisi 1.19. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x′ ∈ �(ℝ)� � disebut subpenyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x′ ≤ b. Definisi 1.20. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x� ∈ �(ℝ)� � disebut subpenyelesaian terbesar persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika x′ ≤ x� untuk setiap subpenyelesaian x′ dari sistem persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b. Selanjutnya, disajikan definisi konjugat matriks dari matriks atas aljabar maks-plus interval, I(ℝ)-astik dan aljabar min-plus interval yang diambil dari Siswanto [10] sebagai berikut : Definisi 1.21. Matriks interval A ∈ �(ℝ)� �×� , A ≈ [A, A] dikatakan I(ℝ)-astik ganda jika � adalah ℝ-astik ganda untuk setiap � ∈ [A, A] . Teorema 1.22. Matriks A ∈ �(ℝ)� �×� dengan A ≈ [A, A] adalah I(ℝ)-astik ganda jika dan hanya jika A ℝ-astik ganda. Interval tertutup x dalam ℝ�′ adalah suatu himpunan bagian dari ℝ�′ yang berbentuk x = � x, x � = �� ∈ ℝ�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ��� disebut interval min-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ��� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.23. Dibentuk �(ℝ)�′ = �x = � x, x � �x, x ∈ ℝ, x ≤ � < �′ � ∪ {ε′ }, dengan ε′ = [�′, �′]. Pada himpunan �(ℝ)��� didefinisikan operasi minimum ⊕ ′ dan plus ⊗ ′ dengan x ⊕ ′ y = [ x ⊕′ � , x ⊕′ �] dan x ⊗ ′ y = [ x ⊗′ � , x ⊗′ �] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)��� . Selanjutnya disebut aljabar min-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� = ��(ℝ)�′ ; ⊕ ′ , ⊗ ′ �. Definisi 1.24. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)�′ �×� yaitu �(ℝ)�′ �×� = �A = �A�� � �A�� ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)�′ �×� disebut matriks interval Min-Plus. Definisi 1.25. Untuk A ∈ �(ℝ)�′ �×� didefinisikan matriks A = [A�� ] ∈ ℝ�′ �×� dan A = [A�� ] ∈ ℝ�′ �×� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Definisi 1.26. Diberikan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)�′ �×� , dengan A dan A masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝ�′ �×� � A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ�′ �×� )b = ��A, A�|A ∈ �(ℝ)�′ �×� �. Semimodul �(ℝ)��� �×� atas �(ℝ)��� isomorfis dengan semimodul �(ℝ��� �×� )b 19
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya atas �(ℝ)��� , dengan pemetaan �: �(ℝ)�′ �×� → �(ℝ�′ �×�)b , �(A) = �A, A�, ∀A ∈ �(ℝ)�′ �×� . Interval matriks �A, A� ∈ �(ℝ�′ �×� )b disebut interval matriks min-plus yang bersesuaian dengan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)��� �×� dan dilambangkan dengan A ≈ �A, A�. Definisi 1.27. Didefinisikan. �(ℝ)��� � = {� = [x1, x2, … , x�]�|xi ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … . , �}. Himpunan �(ℝ)�′ � dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)�′ �×1 . Anggota �(ℝ)�′ � disebut vektor interval atas �(ℝ)�′ . Vektor interval min-plus x bersesuaian dengan interval vektor min-plus �x, x� yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.28. Aljabar maks-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)ε = �(ℝ)ε ∪ {ε′} dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar min-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)� = �(ℝ)ε′ ∪ {ε} dilengkapi dengan operasi minimum ( ⊕ ′ ) dan plus ( ⊗ ′ ). HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas hasil penelitian tentang sistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Definisi 2.1. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b = (b1, … , b� ) ∈ �(ℝ)� � . Sistem persamaan A ⊗ x = b adalah sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Misalkan A ≈ [A, A], x ≈ [x, x] dan b ≈ [b, b] dengan �A, A� ∈ �(ℝ� �×�)b, [x, x], �b, b� ∈ �(ℝ� �)b. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval, dilakukan dengan menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b. Definisi 2.2. Diberikan suatu sistem persamaan linear A ⊗ x = b dengan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Didefinisikan �(A, b) = { x ∈ �(ℝ)� � |A ⊗ x = b }. Dengan memperhatikan Definisi 1.4 dan Teorema 1.5, diperoleh : Teorema 2.3. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� I(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� . Vektor y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika i. y ∈ �� A, b�, ii. y ∈ �(A, b) , iii. y ≤ y . Selanjutnya, ditulis y ≈ �y, y�. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b�. = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] dan A = �A�� � ℝ astik ganda, dan b ∈ �(ℝ)� � . Vektor y ∈ S(A, b) berarti y ∈ �(ℝ)� � dan A ⊗ y = b. Misalkan y≈ [y, y] berarti y ≤ y , berlaku y ∈ �(A, b) dan y ∈ ��A, b�. Sebaliknya, diketahui y ∈ �(A, b), y ∈ ��A, b� dan y ≤ y. Menurut teorema 1.5, Vektor y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika 20
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya 1) y ≤ y� dan 2) ∪�∈�y �� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y�� }. dan Vektor x ∈ ��A, b� jika dan hanya jika 1) y ≤ y� dan 2) ∪�∈�� �� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y� � }. Selanjutnya, karena y ≤ y dapat ditulis y ≈ [y, y] maka y ∈ S(A, b) . ∎ Berdasarkan Teorema 1.5 dan Teorema 2.3, didefinisikan, Definisi 2.4. Misalkan y� dan y� masing-masing merupakan penyelesaian dasar sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b dan berlaku y� ≤ y� . Vektor y� ≈ �y�, y�� disebut penyelesaian dasar sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b. Berikut dua akibat yang muncul dari Teorema 2.3 yaitu menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian dan menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. Akibat 2.5. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , tiga pernyataan berikut ekuivalen. a. S(A, b) ≠ ∅. b. y� ∈ S(A, b). c. ∪�∈� �� �A, b� = � dan ∪�∈� �� �A, b� = �. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� �×� , A = �A�� � ∈ ℝ� �×� ℝ astik ganda dan b ∈ ℝ� , b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.7 tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b). 3) ∪�∈� �� �A, b� = �. Demikian pula, tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b). 3) ∪�∈� �� �A, b� = �. Oleh karena itu, terbukti bahwa tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1) S(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ S(A, b). 3) ∪�∈� �� (A, b) = � dan ∪�∈� �� �A, b� = �. ∎ Akibat 2.6. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , S(A, b) = {y�} jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � dan ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ � dan ∪�∈�′′ �� �A, b� = � untuk setiap �′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. 21
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� �×� , A = �A�� � ∈ ℝ� �×� ℝ astik ganda dan b ∈ ℝ� , b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.8, S�A, b� = �y�� jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. Demikian pula, S�A, b� = �y�� jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. Oleh karena itu, S(A, b) = {y�} jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� (A, b) = � b. ∪�∈�′ �� (A, b) ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. ∎ Selanjutnya, dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dalam alajabar maks-plus interval. Definisi 2.7. Diberikan A = �A�� � ∈∈ �(ℝ)� �×� dan b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� . Sistem A ⊗ x ≤ b disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Teorema 2.8. Diberikan A = �A�� � ∈ �(ℝ)� �×� , b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Diperoleh A ⊗ x ≤ b dan A ⊗ x ≤ b. Menurut Teorema 1.10, berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A ∗ ⊗′ b. Oleh karena itu, untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. ∎ KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. a. Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b dapat mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, dan tidak mempunyai penyelesaian. b. Diberikan A = �A�� � ∈ �(ℝ)� �×� , b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. DAFTAR PUSTAKA [1] Akian, M., Kohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M., 1994. Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, pp : 1502-1511. 22
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya [2] Baccelli, F., Kohen, G., Olsder, G. J and Quadrat, J. P., 2001. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems. New York : Wiley. [3] Butkovic, P. 2000. Simple Image Set of (max,+) Linear Mappings. Discrete Applied Mathematics. Vol. 105, pp : 73-86. [4] Butkovic, P. 2003. Max-Algebra: The Linear Algebra of Combinatorics?. Linear Algebra and Application. Vol. 367. pp : 313-335. [5] Butkovic, P. 2010. Max Linear Systems: Theory and Algorithm, London: Springer. [6] Cuninghame-Green, R.A. 1979. Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 166. Berlin : Springer. [7] Rudhito, Andy., 2011. Aljabar Maks-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta. [8] Schutter, B.D., and Boom. T. V. D. 2008. Max-Plus Algebra And Max-Plus Linear Discrete Event Systems: An Introduction. Proceedings of the 9th International Workshop on Discrete Event Systems (WODES'08), pp : 36-42. [9] Tam, K.P. 2010. Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra. Birmingham: University of Birmingham. [10] Siswanto, dkk. 2013. Minimisasi Norm Daerah Hasil (Range Norm) Himpunan Bayangan (Image Set) Matriks atas Aljabar Maks-Plus Interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013. Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Erlangga. 23
24 Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya
Diagnosis Suatu Penyakit Menggunakan Matriks d- disjunct Siti Zahidah Institut Teknologi Bandung, s.zahidah@students.itb.ac.id Abstrak-Secara historis, teori group testing muncul berkaitan erat dengan pengujian sampel darah untuk mengidentifikasi kepositifan sampel darah terhadap suatu penyakit. Berdasarkan algoritmanya, terdapat 2 jenis group testing yaitu Adaptive Group Testing (AGT) dan Non-Adaptive Group Testing (NAGT). Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = ( ), dengan kolom matriks M menunjukkan item dan baris matriks M menunjukkan tes (blok). Kriteria matriksnya adalah = 1 jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = 1. Di lain pihak, hasil pengujian masing-masing blok direpresentasikan dalam vektor kolom, disebut vektor outcome. Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi M yang memenuhi persamaan = dengan y merupakan vektor outcome dan x sampel-sampel yang dites. Jika dari n sampel terdapat maksimal d sampel yang positif maka kita katakan d-Combinatorial Group Testing, disingkat dengan d-CGT. Dalam makalah ini akan ditunjukkan konstruksi matriks d-disjunct yang merupakan solusi persamaan group testing. Selanjutnya dari konstruksi tersebut akan dimodifikasi sedemikian sehingga dengan konstruksi yang baru dapat mengidentifikasi lebih dari d sampel positif. Kata Kunci: Group testing, Non-Adaptive Group Testing, Matriks d-disjunct. 1 Pendahuluan Teori group testing mulai berkembang pada tahun 1942, dimana saat itu masih berlangsung perang dunia kedua. Pada waktu itu angkatan perang Amerika melakukan tes kesehatan untuk mengidentifikasi sipilis terhadap para wajib militer [1]. Peserta wajib militer ini jumlahnya ribuan bahkan lebih, tetapi tidak menutup kemungkinan yang terinfeksi sipilis hanya puluhan orang. Jika hasilnya seperti itu maka tes individu (tes satu persatu terhadap tentara) sangat tidak efektif dan membutuhkan biaya yang besar. David Rosenblatt mempunyai ide untuk melakukan pengelompokan, yaitu sampel darah wajib militer yang akan dites sipilis dikelompokkan sehingga jika hasil tes kelompok tersebut negatif maka semua anggota kelompok terbebas dari sipilis, tetapi jika tes kelompok hasilnya positif maka minimal terdapat 1 anggota dari kelompok tersebut terinfeksi sipilis. Meskipun Rosenblatt penggagas ide, akan tetapi dalam pengembangan teorinya Rosenblatt bekerjasama dengan Robert Dorfman yang akhirnya teori group testing populer dalam jurnalnya yang berjudul “The detection of defective members of large populations”. Berdasarkan ide tersebut penulis ingin mengetahui lebih lanjut mengenai kriteria pengelompokan yang dapat mengidentifikasi sampel positif secara sekaligus. Lebih jauh, setelah dilakukan pengelompokan dapat diperoleh 25
representasinya berupa dilakukan dengan bant 2 Kajian Pustaka 2.1 Group Testing Group testing berkelompok yan terhadap suatu pe setiap anggotany negatif (-), ke mendefinisikan fun 2 {±} dimana ( ) be positif dan ( ) Dalam permasala anggotanya berni | | = Group Testing ata Berdasarkan a 1. Adaptive Group T Dalam a memperhatikan ha 2. Non - Adaptive Dalam al terlebih dahulu Lebih detilnya sedemikian se anggota yang posi Sebagai cont hasil tesnya pa Gam dan setelah dil Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I erupa matriks biner sehingga untuk selanj antuan matriks representasi pengelompokan ter ka g ing merupakan salah satu cara pengujian yang bertujuan untuk mengidentifikasi keposi u penyakit. Secara matematis, jika diberikan popul nya mempunyai dua kemungkinan hasil tes kemudian dilakukan pengelompokan, maka n fungsi tes sebagai berikut : 2 {±} ( ) bernilai positif jika memuat setidaknya 1 ( ) bernilai negatif jika semua anggota be alahan ini akan dicari himpunan terbesa rnilai positif. Jika | | = maka dikatakan d atau dapat disingkat dengan d-CGT [1]. n algoritmanya, terdapat 2 jenis group testing : roup Testing (AGT) algoritma AGT, penentuan tes dilakuka kan hasil tes sebelumnya. daptive Group Testing (NAGT) algoritma NAGT, penentuan kelompok (bl hulu dan tes hanya dilakukan satu kali untuk ya, dalam algoritma NAGT kita tentukan blok n sehingga dalam sekali tes dapat mengident g positif dan anggota yang negatif sekaligus. i contoh pengelompokan dapat dilihat dalam ga pada gambar 2. ambar 1. Pengelompokan dari 12 sampel menjadi 9 kelo h dilakukan tes diperoleh hasil sebagai berikut : matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya lanjutnya analisis n tersebut. n sampel secara kepositifan sampel populasi N dengan s positif (+) atau aka kita dapat 2 {±} ( ) 1 anggota yang ( ) bernilai negatif. besar yang semua | | = d-Combinatorial : dilakukan dengan (blok) dilakukan uk tiap kelompok. ok yang akan dites dentifikasi semua gambar 1 dengan elompok : 26
dari gambar 2 positif sipilis. algoritma NAG dan tidak adan 2.2 Sistem Himpun Chee [2] mende Definisi 2.2.1 Si = ( , ) dengan : • X adalah him • 2 ada Misalkan , , , | | = didefinisikan seba = ( , ) • = {1,2, , } = { : } • = { } • | | = | | da | | = | | Contoh 2.2.2 Da himpunannya ada = ( , ) = { , , , } = { , , , , , , , , } Sedangkan untuk dua = ( , ) = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } Ga Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 2. Hasil Tes r 2 diperoleh bahwa sampel dan merupaka lis. Untuk selanjutnya, penulis hanya mem AGT karena pengetesan kelompok hanya dila danya kebergantungan diantara hasil-hasil tes ke unan Untuk NAGT ndefinisikan sistem himpunan untuk NAGT seba Sistem himpunan adalah suatu pasangan terur = ( , ) h himpunan dari anggota-anggota yang disebut sam 2 dalah himpunan dari himpunan bagian X yang di , , , blok-blok di dan | | = , n sebagai sistem himpunan = ( , ) dengan : = {1,2, , } dan = { : } = { } | | = | | dan | | = | | Dari contoh algoritma NAGT (Gambar 1), di dalah = ( , ) dengan : = { , , , } = { , , , , , , , , } uk dual sistemnya adalah = ( , ) dengan : = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } Gambar 3. Sistem himpunan dengan dual sistemnya matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya upakan sampel yang embahas tentang dilakukan satu kali s kelompok. sebagai berikut : terurut = ( , ) sampel 2 g disebut blok , , , | | = , dual dari = ( , ) n : = {1,2, , } = { : } = { } | | = | | | | = | | , diperoleh sistem = ( , ) = { , , , } = { , , , , , , , , } = ( , ) n : = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } 27
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Chee [2] juga mendefinisikan sistem himpunan dengan kriteria tertentu, yaitu Definisi 2.2.3 Sistem himpunan ( , ) disebut d-union free jika untuk setiap , . Hwang dan S s [3] memberikan solusi dari permasalahan d-CGT dengan bantuan sistem himpunan d-union free dalam teorema berikut Teorema 2.2.4 Sistem himpunan = ( , ) merupakan solusi dari permasalahan d-CGT jika dan hanya jika = ( , ) d-union free. Setelah menentukan sistem himpunan untuk NAGT, penulis mengubah bentuk himpunan ke dalam suatu vektor (biner). 2.3 Transformasi Himpunan ke Vektor Misalkan [ ] . Definisikan vektor biner dari A adalah vec ( ) = ( , , , ) dengan = 0, 1, Contoh 2.3.1 Misalkan = {2,5,6} ⊆ [6] maka vec( ) = (0,1,0,0,1,1). Jika dalam himpunan kita kenal adanya operasi gabungan dan himpunan bagian, maka di sini penulis memberikan definisi baru untuk operasi vektor biner. Definisi 2.3.2 i. Misalkan , ∈ {0,1}, didefinisikan operasi jumlah boolean sebagai berikut ⊕ = 0 , = = 0 1 , ii. Jika , ⊆ {0,1} maka gabungan dari dan didefinisikan dengan = { ⊕ ,…, ⊕ } iii. Suatu vec( ) dikatakan termuat dalam vec( ), dinotasikan vec( ) ⊆ vec( ) jika ⊆ . iv. Koleksi himpunan {vec ( ), ( ),…, ( )} dikatakan d-separable jika vec( ) ≠ vec ( ). Berdasarkan definisi-definisi tersebut penulis memperoleh lema dan teorema berikut : Lema 2.3.3 Misalkan ⊆ [ ] maka vec = ( ). Bukti. Misalkan = . Tulis = ( , ,…, ) . Misalkan = ( ) . Jika = 1 maka ∈ sehingga ∈ untuk suatu k. Akibatnya komponen ke-i dari adalah 1. Selanjutnya, jika = 0 maka ∉ sehingga ∉ untuk setiap k. Akibatnya komponen ke-i dari adalah 0 untuk setiap k. Dan dapat disimpulkan = . Teorema 2.3.4 Sistem himpunan ([ ], ) d-union free jika dan hanya jika { ( )} d-separable. Bukti. Misalkan sistem himpunan ([ ], ) d-union free maka setiap 2 koleksi yang berisi d himpunan, berlaku ≠ , dengan , ∈ . Dari sini didapat vec( ) ≠ ( ), akibatnya berdasarkan lema diperoleh ( ) ≠ ( ) . Sehingga diperoleh { ( ) } d- separable. Sedangkan untuk arah sebaliknya, misalkan { ( )} d-separable maka ( ) ≠ ( ) . Dan berdasarkan lema diperoleh vec ( ) ≠ ( ) akibatnya ≠ , untuk , ∈ . Jadi diperoleh sistem himpunan ([ ], ) d-union free. 28
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya 3 Pembahasan 3.1 Matriks Representasi NAGT Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = , dengan kolom matriks menunjukkan item (sampel) dan baris matriks menunjukkan tes (blok). Dengan kriteria matriksnya = jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = . Sedangkan hasil tes untuk masing- masing blok direpresentasikan oleh vektor kolom, disebut vektor outcome [1]. Contoh 3.1.1 Matriks representasi dari contoh NAGT (Gambar 2) adalah Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing untuk selanjutnya dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi yang memenuhi solusi persamaan = dengan merupakan vektor outcome, sedangkan sampel-sampel yang dites. Misalkan matriks biner berukuran × , menyatakan kolom ke-j dari matriks . Berdasarkan teorema 2.2.4 dan teorema 2.3.4 maka di sini penulis mencari matriks representasi yang kolom-kolomnya bersifat d- separable. Berikut diberikan 2 matriks yang memenuhi solusi tersebut. Definisi 3.1.2 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-separable jika kolom-kolomnya bersifat d-separable, dengan kata lain untuk setiap , ⊆ [ ] dengan | | = = | | sehingga berlaku ∈ ≠ ∈ . Definisi 3.1.3 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-disjunct jika setiap kolomnya tidak termuat dalam gabungan d kolom-kolom lainnya, dengan kata lain untuk setiap ⊆ [ ] dengan | | = dan untuk setiap ∉ berlaku ∈ . Sifat 3.1.4 Jika matriks d-disjunct maka matriks d-separable. Faktanya, ketika matriks representasi merupakan matriks d-disjunct maka kolom sisa setelah mengeliminasi kolom-kolom yang termuat dalam tes yang hasilnya negatif merupakn kolom (sampel) yang positif. 29
Gam 3.2 Konstruksi Mat Sebelum memba beberapa paramete Singleton [4] Definisi 3.2.1 Misa i. Bobot kolom kolom ke-j. D dengan j mel konstan jika bobot ii. Perkalian titi menyatakan dikatakan jug Kautz dan Singl matriks d-disjunct Lema 3.2.2 Matriks bi Yaniv Erlich dkk. sampel-sampel yan dilihat pada gamba representasi NAG kemudian tes-tes pertama terdiri dar pengelompokan sam Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I mbar 4. Identifikasi sampel positif dengan matriks d-dis atriks d-disjunct bahas konstruksi matriks d-disjunct, penulis m eter dalam matriks biner yang dicetuskan ol Misalkan matriks biner. om ke-j, dinotasikan menyatakan banyakny j. Didefinisikan pula : = min dan = max eliputi semua kolom dari . Matriks disebut ka bobot setiap kolom matriks sama. titik dari kolom ke-i (C) dan kolom ke-j (C) n banyaknya entri 1 pada baris yang sama di n juga dan beririsan sebanyak kali. Dide = max , ngleton juga memberikan hasil utama sebagai da unct dalam lema berikut : riks biner dengan = merupakan matriks h dkk. [5] mempunyai ide mengenai cara yang akan dites ke dalam grup-grup, sebagai mbar 5. Dari gambar tersebut menunjukkan GT dari 20 sampel dikelompokkan ke dala s tersebut dikelompokkan lagi menjadi 2 gr dari 5 tes dan grup kedua terdiri dari 7 tes) n sampelnya yaitu item j termuat dalam tes ke-i ji ≡ mod 5 (grup pertama) ≡ mod 7 (grup kedua) matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya -disjunct s memperkenalkan n oleh Kautz dan knya entri 1 pada ebut matriks bobot ), dinotasikan λ di dan . Dapat idefinisikan pula: ai dasar konstruksi riks d-disjunct. a pengelompokan gai ilustrasi dapat ukkan bahwa matriks dalam 12 tes dan 2 grup besar (grup s) dengan kriteria -i jika : 30
Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Gambar 5. Contoh pengelompokan 20 sampel ke dalam 12 tes dengan 2 grup besar Secara umum, jika tes-tes dikelompokkan ke dalam grup-grup besar , ,…, dan kriteria pengelompokan sampelnya untuk masing-masing grup besar adalah item j termuat dalam tes i jika : ≡ mod dengan = 1,2,…, dan = 1,2,…, Dengan mengacu pada lema 3.2.2, Yaniv mecoba mencari syarat tambahan agar maksimum irisan dari matriks representasinya adalah 1, yaitu dengan menambahkan 2 syarat berikut : 1. , ,…, ≥ √ , dengan n merupakan banyaknya sampel yang dites. 2. , ,…, saling prima. Dalam papernya, Yaniv belum memberikan keterangan secara eksplisit sehingga disini penulis mencoba memformalkan konstruksi matriks representasi tersebut dalam teorema berikut : Teorema 3.2.3 Misalkan = [ , ,…, ] matriks biner berukuran × dengan matriks blok berukuran × , dimana ≥ √ dan saling prima. Sedangkan konstruksi matriks untuk masing - masing blok ditentukan oleh ( , ) = 1 , ≡ mod 0 , dimana = 1,2,…, maka dari matriks adalah 1 dan merupakan matriks ( − 1)-disjunct. Bukti. Andaikan > 1 , maka terdapat 2 kolom ke r,s dan blok a,b sehingga ( , ) = ( , ) = 1 dan ( , ) = ( , ) = 1 . Sehingga diperoleh ≡ mod dan ≡ mod yang mengakibatkan | − dan | − diperoleh | − . Padahal ≥ dan , saling prima sehingga diperoleh − = 0 yaitu = yang menunjukkan bahwa kolom ke r dan kolom ke s merupakan kolom yang sama. Jadi haruslah = 1 , sehingga berdasarkan lema 3.2.2 matriks merupakan matriks ( − 1)-disjunct. Contoh 3.2.4 31
Berdasarkan bukt Yaniv dengan : 1. ≥ , de 2. , ,…, dan berdasarkan le matriks teorema 3.2.3 mempertahankan = 3.3 Algoritma untu Sebelum melakuka representasi denga cara mempertahanka menentukan pemba dapat dilihat dal kemungkinan ruan seperti gambar 8. Secara matema ditambah bobot sam kolom matriks. Mi yang tidak dapat di ruang-ruang yang b = { Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 6. Matriks 2-disjunct bukti teorema 3.2.3, penulis mengganti 2 syarat , dengan n merupakan sampel yang akan dites. , saling prima. lema 3.2.2 penulis memiliki ide untuk mempe 3.2.3 dengan menambahkan bobot ke setiap kolom = 1. ntuk Menentukan Penambahan Bobot lakukan penambahan bobot ke dalam setiap gan konstruksi pada teorema 3.2.3, harus di hankan . Sehingga langkah awal yang di mbatasan sampel-sampel yang akan dites. S dalam gambar 7. Dengan pembatasan terse uang untuk calon penambahan bobot dalam matr . matis, untuk mencari banyaknya ruang yan sama halnya dengan mencari banyaknya irisan Misalkan merupakan ruang pada baris ke-k t diisi dengan entri 1, dan misalkan merupa g beririsan dengan kolom ke-j, maka dari gamba { , , , ( ), ( )} dan | | = 5 = ∑ Gambar 7. Eliminasi ruang untuk pembatasan matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya rat yang diberikan perbaiki konstruksi omnya tetapi masih ap kolom matriks diperhatikan juga dilakukan adalah s. Sebagai ilustrasi ersebut diperoleh atriks representasi yang tidak dapat san diantara kolom- -k dan kolom ke-l rupakan himpunan mbar 7 diperoleh : 32
Ga Misalkan himpuna (tanda x) dari matri akibatnya banyakn penambahan entri 1) Setelah menent selanjutnya adalah menentukan ruang dilakukan dengan t 1). Sebagai ilustra maka , , , Gam Misalkan m ketika entri ada sehingga untuk me halnya dengan me dengan = 1,2,…, Secara umum, unt ( − 1) − disjunc mencari buah hi 1,2,…, . Tetapi da ditambah bobot ke Sehingga dari algor kesimpulan sebaga Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 8. Kemungkinan ruang yang dapat ditambah bo punan semua ruang-ruang yang tidak dapat atriks representasi dinotasikan dengan , maka : | | = aknya ruang sisa yang dapat ditambah bobot ri 1) adalah | | = − − | | = ( − ) − | | nentukan ruang sisa yang dapat ditambah ah menambah bobot pada ruang sisa (misalkan uang sisa yang terhapus ketika entri ada n tujuan mempertahankan irisan tiap kolomnya ustrasi dapat dilihat dalam gambar 9, ketika ent , , ( ), _ ), dan ( ) tidak dapat diisi de ambar 9. Penambahan bobot dan ruang sisa yang terhapu merupakan himpunan dari ruang-ruang sisa dalah 1, maka dari gambar 9 diperoleh : = { , , , , ( ), _ ), ( )} menambahkan bobot pada tiap kolom matriks mencari 12 buah himpunan yang semuany …,12. , untuk menambahkan bobot ke dalam setiap unct dengan konstruksi pada teorema 3.2.3 e h himpunan yang semuanya saling lep pi dalam hal ini, tidak semua matriks ( − 1) − ke dalam setiap kolomnya sehingga irisan m lgoritma penentuan bobot dalam setiap kolom gai berikut : matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya bobot pat ditambah bobot ka : bobot (ruang dengan h bobot, langkah kan ) kemudian adalah 1 (hal ini ya tidak lebih dari entri adalah 1 si dengan entri 1. apus sisa yang terhapus riks tersebut sama uanya saling lepas, iap kolom matriks ekivalen dengan lepas, dengan = ) − disjunct dapat n maksimumnya 1. kolomnya, diperoleh 33
1. Matriks ( − ∑ min | 2. Matriks ( ∑ max | Contoh 3.3.1 1. Misalkan dibe dari representa • | | = ∑ • | | = ( − • ∑ min sehingga ∑ dapat ditambah bobot 2. Misalkan dibe dari representa • | | = ∑ • | | = ( − • ∑ min sehingga ∑ ditambah bobot Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I − 1) − disjunct tidak dapat ditambah | > | | − 1) − disjunct dapat ditambah | | < | | n diberikan matriks representasi sebagai berikut : ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh ha ∑ = 108 − ) − | | = (11 − 2)20 − 108 = 72 in | | = 151 min | | > | |, akibatnya matriks represe bah bobot lagi. n diberikan matriks representasi sebagai berikut : ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh ha ∑ = 64 − ) − | | = (16 − 2)20 − 64 = 216 in | | = 191 max | | < | |, akibatnya matriks represe h bobot lagi, dan salah satu hasil penambahan bobot matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya h bobot ketika h bobot ketika : oleh hasil presentasinya tidak : oleh hasil presentasinya dapat n bobotnya adalah 34
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014
Prosiding.compressed knm2014

Recommended

Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...
Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...
Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...Mathematics Sport
 
Proposal pia 2011
Proposal pia 2011Proposal pia 2011
Proposal pia 2011Fitriyana Migumi
 
Tugas seminar 1 (journal review)
Tugas seminar 1 (journal review)Tugas seminar 1 (journal review)
Tugas seminar 1 (journal review)a santoso
 
Surat persetujuan
Surat persetujuanSurat persetujuan
Surat persetujuanUniversity Muhammadiyah of Makassar
 
Bab i%2 c v%2c daftar pustaka
Bab i%2 c v%2c daftar pustakaBab i%2 c v%2c daftar pustaka
Bab i%2 c v%2c daftar pustakaFppi Unila
 
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...Dani Asmadi Ibrahim
 
soal kombinatorik
soal kombinatoriksoal kombinatorik
soal kombinatorikFrima Dona Spd
 
Analisis jurnal
Analisis jurnalAnalisis jurnal
Analisis jurnalBudiman Indriyani
 

Recommended

Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...
Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...
Analisis kemampuan calon guru matematika dalam menerapkan pendekatan saintifi...Mathematics Sport
 
Proposal pia 2011
Proposal pia 2011Proposal pia 2011
Proposal pia 2011Fitriyana Migumi
 
Tugas seminar 1 (journal review)
Tugas seminar 1 (journal review)Tugas seminar 1 (journal review)
Tugas seminar 1 (journal review)a santoso
 
Surat persetujuan
Surat persetujuanSurat persetujuan
Surat persetujuanUniversity Muhammadiyah of Makassar
 
Bab i%2 c v%2c daftar pustaka
Bab i%2 c v%2c daftar pustakaBab i%2 c v%2c daftar pustaka
Bab i%2 c v%2c daftar pustakaFppi Unila
 
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...
PENGAJARAN TAJUK MODEL ATOM BOHR PERINGKAT MATRIKULASI DAN TIGA ARAS PEMBELAJ...Dani Asmadi Ibrahim
 
soal kombinatorik
soal kombinatoriksoal kombinatorik
soal kombinatorikFrima Dona Spd
 
Analisis jurnal
Analisis jurnalAnalisis jurnal
Analisis jurnalBudiman Indriyani
 
Contoh analisis prosiding
Contoh analisis prosidingContoh analisis prosiding
Contoh analisis prosidingSamsul Hamdan
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 
2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-cover2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-coverDidik Sadianto
 
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajianMetodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajianFatin Halid
 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IFerry Angriawan
 
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. KamarulReka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarulwmkfirdaus
 
Contoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PAContoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PAAthirah Amalina
 
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...SlideShare
 
Prosiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswariProsiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswariFppi Unila
 
PPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptxPPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptxSaharia5
 
Model, strategi, metode
Model, strategi, metodeModel, strategi, metode
Model, strategi, metodeFKIP UHO
 
Metode penelitian
Metode penelitianMetode penelitian
Metode penelitianHendra SAP
 
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdfLamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdfrizalramadhan41
 
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptxPresentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptxEspinozaLaek
 
Aplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suciAplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suciSuci Agustina
 
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptxcontoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptxHR MUSLIM
 
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdfREFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdfirwanabidin08
 
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 pptppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 pptArkhaRega1
 
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..ikayogakinasih12
 
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptxSesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptxSovyOktavianti
 
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptxPPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptxSaefAhmad
 

More Related Content

Viewers also liked

Contoh analisis prosiding
Contoh analisis prosidingContoh analisis prosiding
Contoh analisis prosidingSamsul Hamdan
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 
2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-cover2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-coverDidik Sadianto
 
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajianMetodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajianFatin Halid
 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IFerry Angriawan
 
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. KamarulReka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarulwmkfirdaus
 
Contoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PAContoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PAAthirah Amalina
 
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...SlideShare
 

Viewers also liked (9)

Contoh analisis prosiding
Contoh analisis prosidingContoh analisis prosiding
Contoh analisis prosiding
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 
2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-cover2. soal tes ii siswa- fix-cover
2. soal tes ii siswa- fix-cover
 
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajianMetodologi dan langkah_menjalankan_kajian
Metodologi dan langkah_menjalankan_kajian
 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_I
 
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. KamarulReka bentuk Kajian Dr. Kamarul
Reka bentuk Kajian Dr. Kamarul
 
Contoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PAContoh Dapatan Kajian PBS PA
Contoh Dapatan Kajian PBS PA
 
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
A Guide to SlideShare Analytics - Excerpts from Hubspot's Step by Step Guide ...
 

Similar to Prosiding.compressed knm2014

Prosiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswariProsiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswariFppi Unila
 
PPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptxPPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptxSaharia5
 
Model, strategi, metode
Model, strategi, metodeModel, strategi, metode
Model, strategi, metodeFKIP UHO
 
Metode penelitian
Metode penelitianMetode penelitian
Metode penelitianHendra SAP
 
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdfLamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdfrizalramadhan41
 
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptxPresentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptxEspinozaLaek
 
Aplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suciAplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suciSuci Agustina
 

Similar to Prosiding.compressed knm2014 (7)

Prosiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswariProsiding semnas uns kuswari
Prosiding semnas uns kuswari
 
PPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptxPPT SEMINAR SAHARIA.pptx
PPT SEMINAR SAHARIA.pptx
 
Model, strategi, metode
Model, strategi, metodeModel, strategi, metode
Model, strategi, metode
 
Metode penelitian
Metode penelitianMetode penelitian
Metode penelitian
 
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdfLamp-Abstract Nominees Fix.pdf
Lamp-Abstract Nominees Fix.pdf
 
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptxPresentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
Presentasi makalah kuliah resolusi konflik.pptx
 
Aplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suciAplikom ms. word suci
Aplikom ms. word suci
 

Recently uploaded

contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptxcontoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptxHR MUSLIM
 
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdfREFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdfirwanabidin08
 
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 pptppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 pptArkhaRega1
 
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..ikayogakinasih12
 
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptxSesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptxSovyOktavianti
 
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptxPPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptxSaefAhmad
 
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptx
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptxKontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptx
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptxssuser50800a
 
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidup
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk HidupUT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidup
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidupfamela161
 
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajaran
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajarantugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajaran
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajarankeicapmaniez
 
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptx
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptxPPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptx
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptxssuser8905b3
 
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...MetalinaSimanjuntak1
 
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdf
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdfMODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdf
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdfNurulHikmah50658
 
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ikabab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ikaAtiAnggiSupriyati
 
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)MustahalMustahal
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase B
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase BModul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase B
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase BAbdiera
 
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdfDiskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdfHendroGunawan8
 
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNS
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNSLatsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNS
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNSdheaprs
 
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ika
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ikaIntegrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ika
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ikaAtiAnggiSupriyati
 
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptx
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptxPPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptx
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptxdpp11tya
 
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMM
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMMAKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMM
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMMIGustiBagusGending
 

Recently uploaded (20)

contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptxcontoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
contoh penulisan nomor skl pada surat kelulusan .pptx
 
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdfREFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
REFLEKSI MANDIRI_Prakarsa Perubahan BAGJA Modul 1.3.pdf
 
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 pptppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
ppt-modul-6-pend-seni-di sd kelompok 2 ppt
 
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
AKSI NYATA NARKOBA ATAU OBAT TERLARANG..
 
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptxSesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
Sesi 1_PPT Ruang Kolaborasi Modul 1.3 _ ke 1_PGP Angkatan 10.pptx
 
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptxPPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
PPT PENELITIAN TINDAKAN KELAS MODUL 5.pptx
 
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptx
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptxKontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptx
Kontribusi Islam Dalam Pengembangan Peradaban Dunia - KELOMPOK 1.pptx
 
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidup
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk HidupUT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidup
UT PGSD PDGK4103 MODUL 2 STRUKTUR TUBUH Pada Makhluk Hidup
 
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajaran
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajarantugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajaran
tugas karya ilmiah 1 universitas terbuka pembelajaran
 
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptx
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptxPPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptx
PPT AKUNTANSI KEUANGAN MENENGAH DUA.pptx
 
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...
1.3.a.3. Mulai dari Diri - Modul 1.3 Refleksi 1 Imajinasiku tentang Murid di ...
 
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdf
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdfMODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdf
MODUL 1 Pembelajaran Kelas Rangkap-compressed.pdf
 
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ikabab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
bab 6 ancaman terhadap negara dalam bingkai bhinneka tunggal ika
 
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
Prakarsa Perubahan ATAP (Awal - Tantangan - Aksi - Perubahan)
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase B
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase BModul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase B
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 4 Fase B
 
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdfDiskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
 
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNS
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNSLatsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNS
Latsol TWK Nasionalisme untuk masuk CPNS
 
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ika
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ikaIntegrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ika
Integrasi nasional dalam bingkai bhinneka tunggal ika
 
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptx
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptxPPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptx
PPT PERUBAHAN LINGKUNGAN MATA PELAJARAN BIOLOGI KELAS X.pptx
 
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMM
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMMAKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMM
AKSI NYATA BERBAGI PRAKTIK BAIK MELALUI PMM
 

Prosiding.compressed knm2014

  • 1.
  • 2.
  • 3. i Panitia Pengarah (Steering Committee): PANITIA PELAKSANA Reviewer Extended Abstrak .S niversitas umatera tara (Universitas Padjadjaran) nstitut eknologi andung niversitas endidikan ndonesia
  • 4. ii
  • 6. iv Tim Reviewer nstitut eknologi andung nstitut eknologi andung ( Institut Teknologi Sepuluh Nopember) iversitas Padjajaran niversitas Negeri Surabaya Abdur Rahman ' niversitas egeri alang niversitas egeri ogayakarta (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 0 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 1 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 2 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 3 (Institut Teknologi Sepuluh Nopember) 4 niversitas Negeri Jember
  • 7. v Sambutan Ketua Panitia Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Tema yang diambil dalam konferensi adalah “Peranan Matematika dan Statistika SEAN Economics Community)”, dengan harapan sebagai persiapan - - - - 161 8 3 4 18 7 39 1 .S
  • 8. vi SAMBUTAN PRESIDEN IndoMS 2012-2014 Dengan Nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh “Peranan Matematika dan Statistika menyongsong AEC (ASEAN Economics Community)”,
  • 10. BIDANG 1. Aljabar & Geometri 2. Analisis 3. Ilmu Komputer 4. Matematika Keuangan 5. Matematika Pendidikan 6. Matematika Terapan 7. Statistika 8. Teori Graf & Kombinatorik 9. Teori dan Sistem Kendali
  • 11. DAFTAR ISI PROSIDING KNM 1 PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA 1 Kistosil Fahim, Lukman Hanafi, Subiono, danTahiyatul Asfihani 2 SIFAT-SIFAT ALJABAR DARI PEMETAAN TOPOLOGI TOPOGRAFI FUZZY 9 Muhammad Abdy 3 EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL 15 Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito 4 DIAGNOSIS SUATU PENYAKIT MENGGUNAKAN MATRIKS D-DISJUNCT 25 Siti Zahidah 5 KARAKTERISTIK ELEMEN SIMETRIS ANGGOTA RING DENGAN ELEMEN SATUAN YANG DILENGKAPI INVOLUSI 37 Titi Udjiani SRRM, Budi Surodjo,dan Sri Wahyuni 6 ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING 47 Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti 7 KAJIAN KEINJEKTIFAN MODUL (MODUL INJEKTIF, MODUL INJEKTIF LEMAH, MODUL MININJEKTIF) 59 Baidowi dan Yunita Septriana Anwar BIDANG : ANALISIS (12) 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL DAN SOLUSINYA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE 69 Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti,dan Emacarnia 9 INTEGRAL HENSTOCK-KURZWEIL FUNGSI BERNILAI C [a ,b ]: TEOREMA KEKONVEGENAN SERAGAM 77 Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, dan CH. Rini Indrati 10 KAJIAN KELENGKUNGAN PERSAMAAN KURVA DI 85 Iis Herisman dan Komar Baihaqi 11 KONSTRUKSI TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE A 93 Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus 12 PENERAPAN GARIS BERAT SEGITIGA CENTROID UNTUK MENENTUKAN KELOMPOK PADA ANALISIS DISKRIMINAN 105 I Komang Gede Sukarsa, I Putu Eka Nila Kencana, dan NM. Dwi Kusumawardani 13 BEBERAPA SIFAT DARI KLAS FUNGSI P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION FUNCTIONS 113 Moch Aruman Imron , Ch. Rini Indrati, dan Widodo 14 KEKONTINUAN SIMETRIS FUNGSI BERNILAI REAL PADA RUANG METRIK 121 Manuharawati BIDANG : ALJABAR DAN GEOMETRI (7) NO JUDUL MAKALAH HAL BIDANG : ANALISIS (8) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 12. NO JUDUL MAKALAH HAL 15 PENENTUAN POSISI SUMBER ARUS LISTRIK LEMAH DALAM OTAK DENGAN METODE INVERS 127 Muhammad Abdy 16 PELATIHAN JARINGAN FUNGSI BASIS RADIAL MENGGUNAKAN EXTENDED KALMAN FILTER UNTUK IDENTIFIKASI INSTRUMEN GAMELAN JAWA 133 Abduh Riski, Mohammad Isa Irawan, dan Erna Apriliani 17 EKSTRAKSI CIRI MFCC PADA PENGENALAN LAFAL HURUF HIJAIYAH 143 Agus Jamaludin, dan Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom 18 PEMILIHAN GURU BERPRESTASI BERDASARKAN PENILAIAN KINERJA GURU DENGAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS (ANP) 153 Alvida Mustika Rukmi, M. Isa Irawan, dan Nuriyatin 19 SEGMENTASI CITRA DENGAN MENGGUNAKAN MODIFIKASI ROBUST FUZZY C-MEANS 165 Charista Christie Tjokrowidjaya dan Zuherman Rustam 20 PERBANDINGAN METODE LEARNING VECTOR QUANTIZATION (LVQ) DAN SUPPORT VECTOR MACHINE (SVM) UNTUK PREDIKSI PENYAKIT JANTUNG KORONER 175 Desy Lusiyanti dan M. Isa Irawan 21 DETEKSI KECACATAN PERMUKAAN LOSONG AMUNISI BERBASIS PENGOLAHAN CITRA DIGITAL 183 Dwi Ratna Sulistyaningrum, Budi Setiyono, dan Dyah Ayu Erniasanti 22 PENERAPAN VEKTOR PADA APLIKASI WINDOWS PHONE BERBASIS AUGMENTED REALITY 191 Erick Paulus, Stanley P. Dewanto, InoSuryana, dan Septya Happytasari S 23 METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM 19723 METODE BACKPROPAGATION JARINGAN SYARAF TIRUAN DALAM MEMPREDIKSI HARGA SAHAM 197 Feni Andriani dan Ilmiyati Sari 24 PEMODELAN VOLATILITAS SAHAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN DAN ALGORITMA GENETIKA 205 Hasbi Yasin 25 APLIKASI METODE FUZZY PADA PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN AUSTRALIA KE BALI 211 I Putu Eka Nila Kencana dan IBK. Puja Arimbawa K 26 PREDIKSI CUACA EKSTRIM MENGGUNAKAN ALGORITMA CLUSTERING BERDASARKAN ROUGH SET 221 Mohammad Iqbal dan Hanim Maria Astuti 27 KAJIAN LANJUTAN TERHADAP KUNCI LEMAH ALGORITMA SIMPLIFIED IDEA 229 Retno Indah dan Sari Agustini Hafman 28 PENGGUNAAN METODE PCA UNTUK REDUKSI DATA IMAGE PEMBULUH DARAH VENA 241 Rifki Kosasih 29 IMPLEMENTASI KALIBRASI KAMERA ZHANG PADA ESTIMASI JARAK 249 Shofwan Ali Fauji dan Budi Setiyono 30 KONSTRUKSI POHON FILOGENETIK MENGGUNAKAN ALGORITMA NEIGHBOR JOINING UNTUK IDENTIFIKASI HOST DAN PENYEBARAN EPIDEMI SARS 259 Siti Amiroch dan M. Isa Irawan BIDANG : ILMU KOMPUTER (18) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 13. NO JUDUL MAKALAH HAL 31 DESAIN PENGENDALI UMPAN BALIK LINIER BERORDE MINIMUM PADA SISTEM BILINIER PEMBANGKIT LISTRIK DENGAN ALGORITMA GENETIKA 269 Taufan Mahardhika, Roberd Saragih, dan Bambang Riyanto Trilaksono 32 APLIKASI ENTROPI FUZZY C-MEANS UNTUK MENDIAGNOSA CANCER BERDASARKAN KONSENTRASI UNSUR KIMIA DALAM DARAH 279 Zuherman Rustam 33 MODEL MANAJEMEN POLA TANAM MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN FUNGSI RADIAL BASIS 285 Alven Safik Ritonga dan Mohammad Isa Irawan 34 ESTIMASI VALUE AT RISK PADA SAHAM PT. “X” DENGAN METODE EXTRIM VALUE THEORY 297 Mochammad Afandi dan Santi Puteri Rahayu 35 CONDITIONAL VALUE-AT-RISK DI BAWAH MODEL ASET LIABILITAS DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN 305 Sukono, Sudradjat Supian, dan Dwi Susanti 36 ESTIMASI VOLATILITAS UNTUK PENGHITUNGAN VALUE at RISK (VaR) SAHAM LQ-45 MENGGUNAKAN MODEL GARCH 315 Tarno dan Hasbi Yasin 37 THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN’S ERROR ANALYSIS 32737 THE IMPLEMENTATION OF COOPERATIVE LEARNING BASED ON NEWMAN’S ERROR ANALYSIS PROCEDURES TO IMPROVE STUDENTS’ MATHEMATICAL LEARNING 327 Yoga Dwi Windy Kusuma Ningtyas 38 PERMAINAN TRADISIOANAL “ICAK-ICAKAN” PADA MATERI PERSENTASE LABA RUGI UNTUK SISWA CENDERUNG KINESTETIK 335 Fadila Hasmita, Oryza Zafivani, dan Rully Charitas Indra Prahmana 39 PENERAPAN PENDEKATAN PMRI UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA PADA MATERI BALOK DAN KUBUS 343 Dimas Danar Septiadi 40 MATCHAN (MATHEMATICS DAKOCAN) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERHITUNG SISWA SEKOLAH DASAR 355 Dwi Wulandari dan Ira Silviana Rahman 41 PENGGUNAAN BACKWARD DESIGN DALAM MERANCANG PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG BERNUANSA OBSERVATION-BASED LEARNING 363 Abdur Rahman As’ari 42 PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATERI SEGIEMPAT BERBASIS REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) UNTUK MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VII SMP 371 Abdur Rohim, Ipung Yuwono, dan Sri Mulyati 43 PENGEMBANGAN SOAL BERBASIS LITERASI MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN KERANGKA PISA TAHUN 2012 379 Ahmad Wachidul Kohar dan Zulkardi BIDANG : MATEMATIKA KEUANGAN (3) NO JUDUL MAKALAH HAL BIDANG : MATEMATIKA PENDIDIKAN (44) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 14. NO JUDUL MAKALAH HAL 44 ANALISIS KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING MAHASISWA PADA MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA 389 Andri Suryana 45 KONTSRUKSI TEORITIK TENTANG BERPIKIR REFLEKTIF SEBAGAI AWAL TERJADINYA BERPIKIR REFRAKSI DALAM MATEMATIKA 397 Anton Prayitno, Akbar Sutawidjaja, Subanji, dan Makbul Muksar 46 MENGHIDUPKAN TAHAP MENANYA PADA IMPLEMENTASI PENDEKATAN SAINTIFIK DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH 405 Djamilah Bondan Widjajanti 47 PENGEMBANGAN BAHAN AJAR PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIS MAHASISWA MELALUI BLENDED LEARNING DENGAN STRATEGI PROBING-PROMPTING 415 Hapizah 48 PROFIL PEMAHAMAN SUBJEK UJI COBA 6 TERHADAP FILOSOFI, PRINSIP, DAN KARAKTERISTIK PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK 423 Hongki Julie, St. Suwarsono, dan Dwi Juniati 49 ANALISIS PENGUASAAN KONSEP DASAR DAN KETUNTASAN PEMAHAMAN MATERI PENCACAHAN DALAM MATEMATIKA DISKRET 433 Luh Putu Ida Harini, I Gede Santi Astawa, dan I Gusti Ayu Made Srinadi 50 FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEPUTUSAN SISWA SMA MELANJUTKAN STUDI S1 DI UNIVERSITAS UDAYANA 443 Made Susilawati, I Putu Eka Nila Kencana, dan Ni Made Dwi Yana Putri 51 PERANCANGAN DAN PEMBUATAN ENSIKLOPEDIA MATEMATIKA DIGITAL DALAM KOMUNITAS DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA 451 PEMBELAJARAN MATEMATIKA Mahmuddin Yunus, Indriati Nurul H, dan Lucky Tri O. 52 PENGEMBANGAN BUKU ELEKTRONIK OLIMPIADE MATEMATIKA BERBASIS WEB DENGAN PENDEKATAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH 459 Mahmuddin Yunus dan Tjang Daniel Chandra 53 EFEKTIVITAS METODE GRUP INVESTIGASI DI KELAS KALKULUS I PADA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU KOMPUTER FMIPA UNIVERSITAS UDAYANA 467 Ni Made Asih 54 PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS BRAIN GYM DENGAN MEDIA MANIPULATIF UNTUK ABK 477 Nia Wahyu Damayanti, Akbar Sutawidjajadan I Nengah Parta 55 PENANAMAN KONSEP OPERASI PEMBAGIAN MENGGUNAKAN PERMAINAN TRADISIONAL BOLA BEKEL DI KELAS III SEKOLAH DASAR 487 Nurochmah dan Novia Larosa 56 MODEL PROBLEM BASED LEARNINGDALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN ANALISIS SISWA KELAS VIII SMP 497 Nur Wahidin Ashari 57 PENGEMBANGAN LKS BERCIRIKAN PENEMUAN TERBIMBING DAN DIDUKUNG GEOGEBRA PADA MATERI FUNGSI KUADRAT 507 Nurul Firdaus
  • 15. NO JUDUL MAKALAH HAL 58 PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL KELERENG DALAM OPERASI PENGURANGAN DI KELAS I SD 517 Olanda Dwi Sumintra, Armianti, dan Rully Charitas Indra Prahmana 59 IDENTIFIKASI KONSEP BERFIKIR ANAK USIA DINI DALAM KONSEP MATEMATIKA MENURUT TAHAPAN PIAGET 525 Reni Dwi Susanti 60 KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENGANALISA KEKONVERGENAN SUATU BARISAN BERDASARKAN PENGETAHUAN KONSEPTUAL DAN PROSEDURAL 533 Ria Amalia 61 THINKING IMPLEMENTATION TO INTRODUCE FRACTION IN TALL’S THREE WORDS 543 Rustanto Rahardi dan Eddi Budiono 62 PENERAPAN STRATEGI MOTIVASI ARCS DALAM PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI BALOK DI KELAS VIII SMP NEGERI 3 GRESIK 555 Sabrina Apriliawati Sa’ad 63 PENINGKATAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS MELALUI PENDEKATAN RME BERBASIS GAYA KOGNITIF SISWA 565 Salwah, Yaya S. Kusumah, dan Stanley Dewanto 64 PENGEMBANGAN MODUL PENERAPAN TEORI GRAPH BERBASIS ICT SEBAGAI PEDOMAN PRAKTEK KERJA LAPANGAN (PKL) MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA DI INDUSTRI 575 Sapti Wahyuningsih dan Darmawan Satyananda 65 PENGGUNAAN PERMAINAN TRADISIONAL YEYE DALAM PEMAHAMAN KONSEP PERKALIAN UNTUK SISWA SEKOLAH DASAR 591 Sri Ratna Dewi, Sari Juliana, dan Rully Charitas Indra Prahmana 66 PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR 60166 PROSES PENALARAN ANALOGI SISWA DALAM ALJABAR 601 Siti Lailiyah dan Toto Nusantara 67 IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 DAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA PADA PEMBELAJARAN PECAHAN 607 Sitti Busyrah Muchsin 68 PEMBELAJARAN ON-LINE KALULUS III BERSTANDART NCTM 615 Suharto dan Moh. Hasan 69 PENERAPAN SELF – DIRECTED LEARNING PADA PEMBELAJARAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE SATU 625 Susi Setiawani 70 EDUCATIONAL DESIGN RESEARCH: DEVELOPING STUDENTS’ UNDERSTANDING OF THE MULTIPLICATION STRATEGY IN AREA MEASUREMENT 633 Susilahudin Putrawangsa , Agung Lukito , Siti M Amin, dan Monica Wijers 71 PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS, DAN SIKAP SISWA TERHADAP MATEMATIKA MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK 653 Syaiful 72 PERBEDAAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA LAKI-LAKI DAN SISWA PEREMPUAN 667 Syamsu Qamar Badu dan Siti Azizah A. Husain 73 MULTIGROUP STRUCTURAL EQUATION MODELING DENGAN PARTIAL LEAST SQUARE PADA HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS IX SMP NEGERI DI KOTA KENDARI 677
  • 16. NO JUDUL MAKALAH HAL Tandri Patih dan Bambang Widjanarko Otok 74 PENINGKATAN SELF-EFFICACY SISWA MELALUI PENDEKATAN PROBLEM-CENTERED LEARNING DISERTAI STRATEGI SCAFFOLDING 689 Tedy Machmud 75 PENERAPAN STRATEGI BELAJAR METAKOGNISI UNTUK MEMAHAMI BACAAN DALAM IMPLEMENTASI KURIKULUM 2013 699 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih, Iswan Riyadi, dan Hersulastuti 76 PENGEMBANGAN MOBILE LEARNING APPLICATION (MLA) SEBAGAI MEDIA PEMBELAJARAN ALTERNATIF PADA MATERI KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR 709 Wulan Marlia Sandi 77 KEMAMPUAN BERPIKIR LOGIS MATEMATIS MAHASISWA DALAM PERKULIAHAN MATEMATIKA DASAR DAN MATEMATIKA DISKRIT 719 Yaya S. Kusumah dan Heni Pujiastuti 78 PENTINGNYA PENGARUH PERMAINAN TRADISIONAL LAYANG-LAYANG DALAM PEMBELAJARAN PHYTAGORAS DI KELAS VIII SMP 729 Yuli Pinasthika dan Yuannisya Walimun 79 PROSES BERPIKIR ALJABAR SISWA BERDASARKAN TAKSONOMI MARZANO 739 Yunita Oktavia Wulandari, Edy Bambang Irawan, dan Toto Nusantara 80 MASALAH NILAI YANG DICARI: PENALARAN PROPORSIONAL SISWA SETELAH MEMPELAJARI PERBANDINGAN DAN PROPORSI 749 Zainul Imron, I Nengah Parta, dan Hery Susanto NO JUDUL MAKALAH HAL 81 MODEL EPIDEMIK SIR UNTUK PENYAKIT YANG MENULAR SECARA HORIZONTAL DAN VERTIKAL 757 Ilmiyati Sari dan Hengki Tasman 82 HILANGNYA DUA BIFURKASI FOLD TANPA MELALUI BIFURKASI CUSP PADA SISTEM PREDATOR- PREY DENGAN FAKTOR PERTAHANAN GRUP DAN GANGGUAN BERKALA 767 Harjanto, E dan Tuwankotta, J. M 83 BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA WANGERSKY-CUNNINGHAM DENGAN WAKTU TUNDA 773 Ali Kusnanto, Ni Nyoman Suryani, dan N K Kutha Ardana 84 PENERAPAN GOAL PROGRAMMING DALAM PENJADWALAN DAN PENUGASAN KEGIATAN KEMAHASISWAAN 777 Anis Fauziyyah, Toni Bakhtiar, dan Farida Hanum 85 PENERAPAN PROJECTION PURSUIT DALAM BLIND SOURCE SEPARATION 787 Atik Wintarti, Abadi, dan Yoyon K. Suprapto 86 KAJIAN NUMERIK: PENGARUH UKURAN SISTEM TERHADAP GAYA HAMBAT PADA SILINDER 795 Chairul Imron, Basuki Widodo, dan Triyogi Yuwono 87 ANALISA DAN SIMULASI MODEL MANGSA-PEMANGSA YANG DILAKUKAN PEMANENAN 801 Diny Zulkarnaen dan Linda Yunengsih 88 METODE OPERATOR SPLITTING : EKSPLORASI DAN SIMULASI 809 BIDANG : MATEMATIKA TERAPAN (27) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 17. NO JUDUL MAKALAH HAL Endar H. Nugrahani 89 PERAMALAN VOLUME PRODUKSI AIR DI PDAM BOJONEGORO DENGAN METODE FUNGSI TRANSFER 815 Fastha Aulia Pradhani dan Adatul Mukarromah 90 KEKUATAN INFEKSI HIV DALAM KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS 823 Iffatul Mardhiyah dan Hengki Tasman 91 METODE ELEMEN BATAS UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PERPINDAHAN PANAS 833 Imam Solekhudin 92 ANALISIS PEMAKAIAN MADU PADA PENGAWETAN MAKANAN MENGGUNAKAN METODE MATEMATIKA 839 Imelda Hendriani Eku Rimo dan Basuki Widodo 93 SKEMA BEDA HINGGA NONSTANDAR MODEL EPIDEMI SIR DENGAN TINGKAT KEJADIAN TERSATURASI DAN MASA INKUBASI 849 Isnani Darti dan Agus Suryanto 94 MODEL TRANSMISI PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN MEMPERHATIKAN KOMPARTEMEN VAKSINASI 855 J. Nainggolan, S. Supian, A. K. Supriatna , dan N. Anggriani 95 SUATU TINJAUAN NUMERIK PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI 2-D TRANSFER POLUTAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DU-FORT FRANKEL 865 Jeffry Kusuma , Khaeruddin, Syamsuddin Toaha , Naimah Aris, dan Alman 96 MASALAH TRANSPORTASI MULTIOBJECTIVE FUZZY DENGAN VARIABEL KEPUTUSAN FUZZY 871 Listy Vermana dan Salmah 97 MODEL PERTUMBUHAN KRISTAL PADA GAMBUT YANG DIBENTUK DARI KAPUR, FLY ASH DAN AIR 881 Mohammad Syaiful Pradana dan Basuki Widodo 98 APROKSIMASI VARIASIONAL UNTUK SOLITON DISKRIT GELAP 891 Mahdhivan Syafwan 99 PENGGUNAAN METODE LEVEL SET DALAM MENYELESAIKAN MASALAH STEFAN DUA FASE (KASUS MASALAH PENCAIRAN ES ) 897 Makbul Muksar, Tjang Daniel Candra, dan Susy Kuspambudi Andaini 100 ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI 907 Marsudi 101 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN PENDEKATAN MODEL MULTI GRUP 919 Nur Asiyah, Suhud Wahyudi, dan M. Setijo Winarko 102 PEMBENTUKAN VIEWS PADA MODEL BLACK LITTERMAN 933 Retno Subekti 103 MODELLING ROAD TRAFFIC ACCIDENT DEATHS IN SOUTH AFRICA USING GENERALIZED LINEAR MODELS 943 Sharon Ogolla, Sony Sunaryo, dan Irhamah 104 ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR 953 Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma, Khaeruddin, dan Mawardi
  • 18. NO JUDUL MAKALAH HAL 105 PENDEKATAN FUNGSI SELEKSI UNTUK MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL FUZZY DALAM PENGOPTIMALAN RETRIBUSI JALAN TO 965 Syarifah Inayati dan Irwan Endrayanto A 106 KAJIAN DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS MASALAH GOAL PROGRAMMING 985 Talisadika Serrisanti Maifa 107 MODEL MATEMATIKA PENGARUH SUHU DAN KETINGGIAN TERHADAP SPONTANEOUS-POTENTIAL UNTUK KARAKTERISASI PANASBUMI DI GEDONGSONGO, SEMARANG, JAWA TENGAH 997 Widowati, Agus Setyawan, Mustafid, Muh. Nur, Sudarno, Udi Harmoko, Satriyo, Gunawan S, Agus Subagio, Heru Tj, Djalal Er Riyanto, Suhartono, Moch A Mukid, Jatmiko E. 108 PENENTUAN PREMI BULANAN UNTUK KONTRAK ASURANSI JIWA ENDOWMENT UNIT LINK DENGAN METODE POINT TO POINT 1005 Erna Hayati dan Sony Sunaryo 109 ASUMSI CONSTANT FORCE PADAASURANSI DWIGUNA LAST SURVIVOR 1015 Hasriati, Azis Khan, dan Dian Fauzia Rahmi 110 METODE PENDETEKSIAN HOTSPOT MULTIVARIAT DAN PERANGKINGAN ORDIT: Study Kasus Tingkat KesehatanIbudanBalita di Kota Depok 1025 Yekti Widyaningsih dan Titin Siswantining 111 PREDIKSI CURAH HUJAN DI SURABAYA UTARA DENGAN MENERAPKAN FUZZY-MAMDANI 1035 Farida Agustini Widjajati dan Dynes Rizky Navianti 112 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA 1045112 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIRESPON SPLINE TRUNCATED UNTUK DATA LONGITUDINAL (STUDI KASUS KEBERHASILAN KB) 1045 Dita Amelia dan I Nyoman Budiantara 113 KLASIFIKASI KAYU DENGAN MENGGUNAKAN NAÏVE BAYES-CLASSIFIER 1057 Achmad Fahrurozi 114 KALKULATOR SURVIVAL DAN LIFE TABEL MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1067 Adhitya Ronnie Effendie dan Hendra Perdana 115 PREDIKSI INDEKS HARGA KONSUMEN DENGAN MODEL FUZZY DAN RECURRENT NEURAL NETWORK 1073 Agus Maman Abadi 116 PERAMALAN PENJUALAN SEPEDA MOTOR DI PT. “X” DENGAN MENGGUNAKAN ARIMAX DI KABUPATEN PONOROGO 1085 Ani Satul Ru’yati Badriyah dan Agus Suharsono 117 PENERAPAN MODEL ARX ORDE 1 PADA INDEKS SAHAM DAN HARGA MINYAK MENTAH DUNIA 1093 Indah Pratiwi, Kankan Parmikanti, dan Budi Nurani Ruchjana 118 PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTADI PROVINSI NTB BERDASARKAN KARAKTERSTIK KEMISKINAN MENGGUNAKAN METODE WARD 1107 Desy Komalasari 119 PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB PADA MODIFIKASI SINGLE SYSTEMATIC SAMPLING 1115 Dewi Putrie Lestari dan Aini Suri Talita BIDANG : STATISTIKA (39) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 19. NO JUDUL MAKALAH HAL 120 EVALUASI SKILL MODEL DENGAN KURVA RELATIVE OPERATING CHARACTERISTICS (ROC) 1123 Dewi Retno Sari Saputro 121 ANALISIS SURVIVAL PADA DATA REKURENSI DENGAN COUNTING PROCESS APPROACH DAN MODEL PWP-GT 1129 Diah Ayu Novitasari dan Santi Wulan Purnami 122 OPTIMISASI PERENCANAAN PRODUKSIMODEL PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF DE NOVO DENGAN PENDEKATAN GOAL PROGRAMMING 1139 Dwi Lestari 123 REGRESI KUANTIL DENGAN ESTIMASI METODE SPARSITY UNTUK PEMODELAN TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DI INDONESIA 1153 Dynes Rizky Navianti 124 PREDIKSI PERMINTAAN SEPEDA MOTOR PER JENIS MERK HONDA DAN TOTAL MARKET DI KABUPATEN SIDOARJO MENGGUNAKAN VECTOR AUTOREGRESSIVE (VAR) 1165 Efrandi Andiarga dan Agus Suharsono 125 VOLATILITAS MODEL GARCH SAHAM SYARIAH YANG BERHUBUNGAN KAUSALITAS DENGAN INDEKS PASAR 1183 Endang Soeryana Hasbullah, Ismail Bin Mohd, Mustafa Mamat, Sukono, dan Endang Rosyaman 126 PENGARUH FAKTOR INDIVIDU DAN FAKTOR KONTEKSTUAL TERHADAP FERTILITAS DI INDONESIA TAHUN 2011 (Analisis Multilevel) 1193 Febri Wicaksono dan Dhading Mahendra 127 KAJIAN METODE STATISTIK NONPARAMETRIK UJI HILDEBRAND SEBAGAI PADANAN ANALISIS VARIANSI DUA ARAH 1203 Fitri Catur Lestari 128 PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL 1213128 PEMODELAN PREVALENSI KEJADIAN KUSTA DI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SPATIAL AUTOREGRESSIVE – SEM PLS 1213 Gilang Maulana Abdi dan Ismaini Zain 129 PENENTUAN PREMI TUNGGAL PADA KONTRAK ASURANSI jiwaENDOWMENT UNIT LINK METODE HIGH WATER MARK 1225 Gusmi Kholijah dan Sony Sunaryo 130 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE R 1241 Hendra Perdana, Khabib Mustofa, dan Dedi Rosadi 131 PENGEMBANGAN GRAFIK PENGENDALI DISTRIBUSI BETA BINOMIAL SEBAGAI PENGANTI p-CHART MELALUI MCMC 1247 Hendro Permadi 132 PENGARUH OUTLIER TERHADAP ESTIMATOR PARAMETER REGRESI DAN METODE REGRESI ROBUST 1259 I GustiAyu Made Srinadi 133 SUATU SURVEI TENTANG REGRESI BERBASIS KOPULA 1267 I Wayan Sumarjaya 134 ANALISIS REGRESI PROBIT DENGAN EFEK INTERAKSI UNTUK MEMODELKAN ANGKA FERTILITAS TOTAL DI INDONESIA 1277 Imam Ahmad Al Fattah dan Vita Ratnasari 135 ANALISIS GEROMBOL BERBASIS MODEL (StudiKasusStandarPelayanan Minimal SMP di KabupatenManokwari) 1287
  • 20. NO JUDUL MAKALAH HAL Surianto Bataradewa, Nurhaida, Rium Hilum, dan Indah Ratih Anggriyani 136 KAJIAN ANALISIS DISKRIMINAN BERBASIS MODEL (Model Based Discriminant Analysis Study ) 1299 Indah Ratih Anggriyani 137 MODEL BINOMIAL NEGATIF DAN POISSON INVERSE GAUSSIAN DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON. 1309 Laksmi Prita W 138 ESTIMASI PARAMETER MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED ZERO-INFLATED POISSON REGRESSION (GWZIPR) 1317 Luthfatul Amaliana dan Purhadi 139 ANALISIS DATA INFLASI DI INDONESIAMENGGUNAKAN MODEL REGRESI KERNEL (SEBELUM DAN SESUDAH KENAIKAN TDL DAN BBM TAHUN 2013) 1327 Suparti, Budi Warsito, dan Moch Abdul Mukid 140 ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS GEOGRAPHICALLY WEIGHTED MULTINOMIAL LOGISTIC REGRESSION 1339 M. Fathurahman, Purhadi, Sutikno, dan Vita Ratnasari 141 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL GENERALISASI SPACE TIME AUTOREGRESI ASUMSI HETEROSKEDASTIK 1349 Nelson Nainggolan 142 TAKSIRAN TITIK MEAN MODEL CAR FAY-HERRIOT MENGGUNAKAN PENDEKATAN HIERARKI BAYES PADA SMALL AREA ESTIMATION 1355 Kurnia Susvitasari danTitin Siswantining 143 PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI COX DAN ANALISIS SURVIVAL BAYESIAN PADA PASIEN KANKER SERVIKS 1363 Rina Wijayanti dan Santi Wulan PurnamiRina Wijayanti dan Santi Wulan Purnami 144 MODEL REGRESI PROBIT BIVARIAT PADA INDEKS PEMBANGUNAN GENDER DAN INDEKS PEMBERDAYAAN GENDER 1373 Ririn Wahyu Ningsih dan Vita Ratnasari 145 PEMODELAN KUALITAS PEMBANGUNAN MANUSIA INDONESIA DENGAN PENDEKATAN MODEL PROBIT BIVARIAT 1383 Vita Ratnasari 146 PENAKSIRAN PARAMETER UNTUK MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION (GWTR) 1391 Harmi Sugiarti, Purhadi, Sutikno, dan Santi Wulan Purnami 147 GRAF AMALGAMASI POHON BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT 1399 Asmiati dan Fitriani 148 PELABELAN GRACEFUL SUPER FIBONACCI PADA GRAF FRIENDSHIP DAN VARIASINYA 1409 Budi Poniam dan Kiki A. Sugeng 149 PEMANFAATAN PELABELAN GRACEFUL PADA SYMMETRIC TREE UNTUK KRIPTOGRAFI POLYALPHABETIC 1417 Indra Bayu Muktyas dan Kiki A. Sugeng 150 PELABELAN TOTAL SUPER (A,D)- SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN GRAF PRISMA 1421 BIDANG : TEORI GRAPH DAN KOMBINATORIK(11) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 21. NO JUDUL MAKALAH HAL Ira Aprilia dan Darmaji 151 BATAS ATAS DIMENSI PARTISI GRAF SUBDIVISI DARI GRAF POHON 1427 Amrullah, Edy Tri Baskoro, Saladin Uttunggadewa, dan Rinovia Simanjuntak 152 PELABELAN HARMONIS PADA GRAF TANGGA SEGITIGA 1435 Kurniawan Atmadja, Kiki A. Sugeng dan Teguh Yuniarko 153 PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF MERCUSUAR DAN GRAF BUNGA DHIFA 1441 Nadia Paramita, Rostika Listyaningrum dan Kiki A. Sugeng 154 PEMBENTUKKAN SUPER GRAF PADA KLASIFIKASI SIDIK JARI 1447 Nurma Nugraha dan Kiki Ariyanti 155 MENGKONTRUKSI SUPER EDGE MAGIC GRAPH BARU DARI SUPER EDGE MAGIC GRAPH YANG SUDAH ADA 1455 Suhud Wahyudi dan Sentot Didik Surjanto 156 MENENTUKAN CLIQUE MAKSIMUM PADA SUATU GRAF DENGAN MENGGUNAKAN HEURISTIK GREEDY 1465 Mochamad Suyudi, Ismail Bin Mohd, Roslan Bin Hasni , Sudradjat Supian, dan Asep K. Supriatna 157 KAJIAN EKSISTENSI GRAF BERARAH HAMPIR MOORE 1471 Yus Mochamad Cholily 158 KENDALI OPTIMAL PADA MANAJEMEN PERSEDIAAN MULTI-SUPPLIER DENGAN LEAD TIME 1477 Darsih Idayani dan Subchan 159 ANALISA PERBANDINGAN PERFORMANSI KONTROL TWO WHEELED INVERTED PENDULUM ROBOT DENGAN MENGGUNAKAN FSMC DAN T2FSMC 1489 Mardlijah dan Muh Abdillah 160 METODE LANGSUNG PADA PERMASALAHAN KENDALI OPTIMAL DENGAN LEGENDRE PSEUDOSPECTRAL 1497 Rahmawati Erma Standsyah dan Subchan 161 KENDALI OPTIMAL MODEL DIVERSIFIKASI BERAS DAN NON-BERAS 1507 Retno Wahyu Dewanti dan Subchan BIDANG : TEORI SISTEM DAN KENDALI (4) NO JUDUL MAKALAH HAL
  • 22. PEMODELAN JADWAL MONOREL DAN TREM MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS UNTUK TRANSPORTASI MASA DEPAN SURABAYA Kistosil Fahim1 , Lukman Hanafi2 , Subiono3 , dan Tahiyatul Asfihani4 1 ITS, kfahimt@gmail.com 2 ITS, lukman@matematika.its.ac.id 3 ITS, subiono2008@matematika.its.ac.id 2 ITS, tahiyatul.asfihani@gmail.com Abstrak. Transportasi memiliki peranan yang sangat penting dalam keterkaitan antar wilayah dan diharapkan menjadi sistem yang terintegrasi. Pada penelitian ini dilakukan pengkajian dalam pemodelan dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dengan menggunakan aljabar max- plus. Langkah pertama yang dilakukan yaitu penyusunan graf berarah yang di- dasarkan pada data rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya kemudian dilakukan integrasi monorel dan trem dengan menggunakan aturan sinkro- nisasi. Selanjutnya dibentuk model penjadwalan untuk monorel dan trem. Kata Kunci: Aljabar Max-Plus; Integrasi; Nilai Eigen; Pemodelan. 1 Pendahuluan Transportasi merupakan salah satu mata rantai jaringan distribusi barang dan mobilitas penumpang yang berkembang sangat dinamis, serta berperan dalam mendukung, mendorong dan menunjang segala aspek kehidupan baik dalam pembangunan politik, ekonomi, sosial budaya, dan pertahanan kea- manan [1]. Di berbagai wilayah di Indonesia termasuk kota Surabaya, ke- butuhan transportasi semakin meningkat. Sejalan deng- an kebutuhan dan perkembangan transportasi di kota Surabaya, Pemkot Surabaya telah menyi- apkan monorel dan trem sebagai transportasi massal. Monorel digunakan di jalur Timur-Barat, sementara trem pada jalur Utara-Selatan [2]. Pembangunan monorel dan trem diharapkan menjadi sebuah sistem transportasi yang terin- tegrasi dan memiliki managemen transportasi yang baik sehingga memenuhi kebutuhan transportasi masyarakat. Pada penelitian ini mengkaji model dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikn dengan trem dengan mensimulasikan 21 trem dan 18 monerel yang beroperasi dengan menggunakan aljabar max-plus. Pada tahap awal penelitian dikaji mengenai beberapa data mengenai rencana pembangunan jalur monorel dan trem di Surabaya, tempat pemberhentian dan pemberangkatan monorel dan trem, kecepatan monorel dan trem, dan panjang jalan. Selan- jutnya disusun graph berarah dari jaringan monorel dan trem di Surabaya, node-node (titik-titik pertemuan) sebagai titik pemberangkatan dan pember- hentian dari monorel dan trem, untuk pembo-botan menggunakan waktu tem- puh antar dua titik pertemuan (antara dua stasiun) pada jalur monorel/trem. 1
  • 23. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya Penyusunan model jalur monorel yang diintegrasikan dengan jalur trem di- lakukan pada titik pemberhentian dan pemberangkatan yang ditentukan den- gan menggunakan aturan sinkronisasi. Dari hasil analisis model yang didapat kemudian dilakukan analisis desain penjadwalan monorel dan trem sehingga diperoleh jadwal monorel dan trem yang terintegrasi. 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dilakukan, telah ada bebe- rapa penelitian mengenai transportasi dengan menggunakan metode aljabar max-plus. Penelitian yang telah dilakukan dengan menganalisis pemodelan serta penjadwalan dengan menggunakan aljabar max-plus interval atas dan bawah untuk menentukan desain penjadwalan sebagaimana tesis yang telah ditulis oleh Nahlia dengan judul ”Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggu- nakan Aljabar Max-Plus”[3]. Dalam tesis tersebut dituangkan gagasan pe- nentuan jalur busway untuk kota Surabaya yang menghubungkan Surabaya Selatan dan Utara, Surabaya Timur dan Surabaya barat serta jalur pusat. Se- lanjutnya pemodelan jalur busway di Surabaya yang diintegrasikan dengan KA Komuter Sidoarjo-Surabaya yang merupakan pengembangan penelitian dari [3] dilakukan oleh Kistosil Fahim(2013) yaitu ”Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Diintegrasikan dengan Kereta Api Komuter” [4] dan penelitian yang juga membahas pemodelan yaitu ”Imple- mentasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya)” [5] yang ditulis oleh Kresna Ok- tavianto. 2.2 Aljabar Max-Plus Berikut ini diiberikan pengenalan konsep dari Aljabar Maxplus. Definisi 1 Definisi aljabar max-plus[6] Diberikan Rε = R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε = −∞. Pada Rε didefinisikan operasi berikut: ∀x, y ∈ Rε, x ⊕ y def = max{x, y} dan x ⊗ y def = x + y Selanjutnya ditunjukkan (Rε, ⊕, ⊗) adalah semiring dengan elemen netral ε dan elemen satuan e = 0, karena untuk setiap x, y, z ∈ Rε berlaku: i. x ⊕ y = max{x, y} = max{y, x} = y ⊕ x, (x ⊕ y) ⊕ z = max{max{x, y}, z} = max{x, y, z} = max{x max{y, z}} = x ⊕ (y ⊕ z), x ⊕ ε = max{x, −∞} = max{−∞, x} = ε ⊕ x = x ii. (x ⊗ y) ⊗ z = (x + y) + z = x + (y + z) = x ⊗ (y ⊗ z), x ⊗ e = x + 0 = 0 + x = e ⊗ x = x, iii. x ⊗ ε = x + (−∞) = −∞ = −∞ + x = ε ⊗ x 2
  • 24. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya iv. (x ⊕ y) ⊗ z = max{x, y} + z = max{x + z, y + z} = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z), x ⊗ (y ⊕ z) = x + max{y, z} = max{x + y, x + z} = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ y). Operasi ⊕ dibaca o-plus dan operasi ⊗ dibaca o-times dan untuk lebih ringkasnya, penulisan (Rε, ⊕, ⊗) ditulis sebagai Rmax. 2.2.1 Vektor dan Matriks Himpunan matriks n × m dalam aljabar max-plus di- nyatakan dalam Rn×m max . Didefinisikan n = {1, 2, 3, ..., n} untuk n ∈ N. Elemen dari matriks A ∈ Rn×m max pada baris ke-i kolom ke-j dinyatakan dengan ai,j, untuk i ∈ n dan j ∈ m. Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan sebagai A =      a1,1 a1,2 . . . a1,m a2,1 a2,2 . . . a2,m ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,m      ada kalanya elemen ai,j juga dinotasikan sebagai [A]i,j, i ∈ n, j ∈ m Untuk penjumlahan matriks A, B ∈ Rn×m max dinotasikan oleh A⊕B didefinisikan sebagai [A ⊕ B]i,j = ai,j ⊕ bi,j = max{ai,j, bi,j} untuk i ∈ n dan j ∈ m. 2.2.2 Matriks dan Graph Misalkan matriks A ∈ Rn×n max dan suatu graph berarah dari matriks tersebut adalah G(A) = (E,V). Graph G(A) memi- liki n titik dan semua himpunan titik dari G(A) dinyatakan oleh V . Suatu garis dari titik j ke titik i ada bila ai.j = ε, garis ini dinotasikan oleh (j, i). Him- punan semua garis dari graph G(A) dinotasikan oleh E. Bobot dari garis (j, i) adalah nilai dari ai.j yang dinotasikan oleh w(j, i) = ai.j ∈ R. Bila ai.j = ε, maka garis (j, i) tidak ada. Suatu barisan garis (i1, i2), (i2, i3), ..., (il−1, il) dari suatu graph dinamakan suatu path. Suatu path dikatakan elementer bila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut. Untuk suatu matriks persegi A ∈ Rn×n max , matriks A+ didefinisikan sebagai: A+ def = ∞ i=1 A⊗i 2.2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang ber- sesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n × n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A ⊗ x = λ ⊗ x. 3
  • 25. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×n max dan λ ∈ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x = (ǫ, ǫ, ..., ǫ)T . Suatu Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A ∈ Rn×n max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linier x(k + 1) = A ⊗ x(k), k = 0, 1, 2, 3, ... (1) Perilaku periodik dari persamaan (1) erat kaitannya deng- an apa yang dina- makan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagai lim k→∞ x(k) k . Limit ini ada untuk setiap keadaan awal x(0) = (ε, ε, ..., ε)T dan untuk matriks dalam Persamaan (1) yang tereduksi selalu bisa dijadikan suatu bentuk blok matriks segitiga atas, yang diberikan oleh bentuk      A1,1 A1,2 · · · A1,q ε A2,2 · · · A2,q ε ε ... ... ε ε · · · Aq,q      Dan untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., q, Ai,i berukuran qi × qi adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen λi. Dalam hal yang demikian vektor waktu sikel diberikan oleh lim k→∞ x(k) k = λ1 T λ2 T · · · λq T T , dengan tanda T menyatakan transpose dari matriks dan λi = λi λi · · · λi T dan vektor λi berukuran qi × 1. Keujudan nilai eigen dari matriks persegi A diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2 Bila untuk sebarang keadaan awal x(0) = ε sistem Persamaan (1) memenuhi x(p) = c ⊗ x(q) untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q ≥ 0 dan beberapa bilangan real c, maka lim k→∞ x(k) k = λ λ · · · λ T dengan λ = c p−q . Selanjutnya λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh v = p−q i=1 λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1) Berdasarkan Teorema 2, dapat ditemukan nilai eigen sekaligus vector eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan Algoritma Power[6], yaitu se- bagai berikut: 4
  • 26. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya 1. Mulai dari sebarang vektor awal x(0) = ε 2. Iterasi persamaan 1 sampai ada bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c ⊗ x(q). 3. Hitung nilai eigen λ = c p−q 4. Hitung vektor eigen v = p−q i=1 λ⊗(p−q−i) ⊗ x(q + i − 1) Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[7]. 3 Analisis Dan Pembahasan 3.1 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Pada penelitian ini jalur monorel dan trem dibahas dalam koridor satu dan dua. 1. Koridor Satu Koridor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur monorel yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat . Pada kori- dor jalur monorel melewati Kejawan (East Coast) → Citraland → Kejawan (East Coast), lebih lengkapnya yaitu: • East Coast (SM1) → Mulyosari (SM2) → ITS (SM3) → GOR Kerta- jaya Indah (SM4) → Galaxy Mall (SM5) → Unair Kampus C (SM6) → Dharmahusada (SM7) → RS Dr.Sutomo (SM8) → Stasiun Gubeng (SM9) → Jl. Raya Gubeng (SM10) → Jl.Irian Barat (SM11) → Jl.Bung Tomo/Marvel City(SM12) → Ngagel (Novotel) (SM13) → Wonokromo (DTC) (SM14) → Joyoboyo (SM15) → Sutos (SM16) → Ciputra World (SM17) → Dukuh Kupang (SM18) → Bundaran Satelit (SM19) → HR.Muhammad (SM20) → Simpang Darmo Permai (SM21) → Simpang PTC Lenmark (SM22) → Unesa (SM23) →Citraland (SM24) → Unesa (SM23) → Simpang PTC Lenmark (SM22) → Simpang Darmo Per- mai (SM21) → HR.Muhammad (SM20) → Bundaran Satelit (SM19) → Dukuh Kupang (SM18) → Ciputra World (SM17) → Sutos (SM16) → Joyoboyo (SM15) → Wonokromo (DTC) (SM14) → Ngagel(Novotel) (SM13) → Jl.Bung Tomo (SM12) → Jl.Irian Barat (SM11) → Jl.Raya Gubeng (SM10) → Stasiun Gubeng (SM9) → RS Dr.Sutomo (SM8) → Dharmahusada (SM7) → Unair Kampus C (SM6) → Galaxy Mall (SM5) → GOR Kertajaya Indah (SM4) → ITS (SM3) → Mulyosari (SM2) → Kejawan (East Coast)(SM1). 2. Koridor dua Korodor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur trem yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Utara dan Selatan. Pada koridor ini terdapat jalur trem yang melewati Joyoboyo → Rajawali → Joyyoboyo, lebih lengkapnya sebagai berikut : 5
  • 27. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya • Joyoboyo (ST1) → Kebun Binatang (ST2) → Taman Bungkul (ST3) → Bintoro (ST4) → Pandegiling (ST5) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6) → Kombespol M.Duryat (ST7) → Tegalsari (ST8) → Embong Malang (ST9) → Kedungdoro (ST10) → Pasar Blauran (ST11) → Bubutan (ST12) → Pasar Turi (ST13) → Kemayoran (ST14) → Indrapura (ST15) → Rajawali (ST16) → Jembatan Merah (ST17) → Veteran (ST18) → Tugu Pahlawan (ST19) → Baliwerti (ST20) → Siola (ST21) → Genteng (ST22) → Pasar Tunjungan (ST23) → Gubernur Suryo (ST24) → Bambu Runcing (ST25) → Sonokembang (ST26) → Urip Sumoharjo/Keputran (ST6) → Pandegiling (ST5) → Bintoro (ST4) → Taman Bungkul (ST3) → Bon- bin (ST2) → Joyoboyo. Dari jalur monorel dan trem tersebut terdapat dua intermoda (titik perte- muan monorel dan trem yang memungkinkan penumpang untuk berpindah moda dari monorel ke trem ataupun sebaliknya). Intermoda pertama yang di- maksud yaitu stasiun monorel dengan stasiun trem di Joyoboyo, intermoda kedua yang dimaksud yaitu stasiun monorel di Jl.Irian Barat dengan stasiun trem di Keputran. Jalur monorel yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat terdiri dari 24 titik pertemuan/stasiun monorel. Sedangkan untuk kori- dor 2 terdapat 26 stasiun pemberhentian dengan dengan 2 stasiun trem yang memungkinkan penumpang untuk melakukan perpindahan dalam koridor yang sama, stasiun yang dimaksud yaitu stasiun trem yang berada di Urip Sumo- harjo/Keputran dan Ps.Tunjungan Plasa dengan Embong Malang. Terdapat 24 stasiun monorel dan 26 stasiun trem yang selanjutnya akan dijadikan vertex dalam graf berarah, yaitu SM1, SM2, ..., SM24 dan ST1, ST2, ..., ST26. 3.2 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Dalam penyusunan graf berarah diperlukan data-data berupa vertex yang dapat diartikan sebagai titik-titik pemberangkatan dan pemberhentian (sta- siun monorel dan stasiun trem) dan waktu tempuh antara dua vertex (antara dua stasiun). Dalam penelitian ini, jumlah alokasi monorel ataupun trem yang digunakan untuk penyusunan model yaitu berdasarkan lama waktu tempuh an- tar stasiun. Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertexnya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun ti, untuk i = 1, 2, 3, , 77. Arah graf di- dadapatkan dari arah monorel dan trem yang beroperasi sebagaimana telah di uraikan pada jalur monorel dan trem di kota Surabaya. Dalam pembahasan ini didapatkan graf berarah dari stasiun monorel East Cost (SM1) menuju stasiun monorel Mulyosari (SM2) dengan waktu tempuh tempuh rata-rata t1. 3.3 Sinkronisasi Dan Penyusunan Model Sinkronisasi menjelaskan mengenai aturan keberangkatan monorel dan trem dari suatu stasiun yang harus menunggu kedatangan monorel atau trem yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang 6
  • 28. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda. Tabel 1. Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM1 SM2 x1(k) SM8 SM7 x40(k) SM2 SM3 x2(k) SM7 SM6 x41(k) SM3 SM4 x3(k) SM6 SM5 x42(k) SM4 SM5 x4(k) SM5 SM4 x43(k) SM5 SM6 x5(k) SM4 SM3 x44(k) SM6 SM7 x6(k) SM3 SM2 x45(k) SM7 SM8 x7(k) SM2 SM1 x46(k) SM8 SM9 x8(k) ST1 ST2 x47(k) SM9 SM10 x9(k) ST2 ST3 x48(k) SM10 SM11 x10(k) ST3 ST4 x49(k) SM11 SM12 x11(k) ST4 ST5 x50(k) SM12 SM13 x12(k) ST5 ST6 x51(k) SM13 SM14 x13(k) ST6 ST7 x52(k) SM14 SM15 x14(k) ST7 ST8 x53(k) SM15 SM16 x15(k) ST8 ST9 x54(k) SM16 SM17 x16(k) ST9 ST10 x55(k) SM17 SM18 x17(k) ST10 ST11 x56(k) SM18 SM19 x18(k) ST11 ST12 x57(k) SM19 SM20 x19(k) ST12 ST13 x58(k) SM20 SM21 x20(k) ST13 ST14 x59(k) SM21 SM22 x21(k) ST14 ST15 x60(k) SM22 SM23 x22(k) ST15 ST16 x61(k) SM23 SM24 x23(k) ST16 ST17 x62(k) SM24 SM23 x24(k) ST17 ST18 x63(k) SM23 SM22 x25(k) ST18 ST19 x64(k) SM22 SM21 x26(k) ST19 ST20 x65(k) SM21 SM20 x27(k) ST20 ST21 x66(k) SM20 SM19 x28(k) ST21 ST22 x67(k) SM19 SM18 x29(k) ST22 ST23 x68(k) SM18 SM17 x30(k) ST23 ST24 x69(k) SM17 SM16 x31(k) ST24 ST25 x70(k) SM16 SM15 x32(k) ST25 ST26 x71(k) SM15 SM14 x33(k) ST26 ST6 x72(k) SM14 SM13 x34(k) ST6 ST5 x73(k) SM13 SM12 x35(k) ST5 ST4 x74(k) SM12 SM11 x36(k) ST4 ST3 x75(k) SM11 SM10 x37(k) ST3 ST2 x76(k) SM10 SM9 x38(k) ST2 ST1 x77(k) SM9 SM8 x39(k) Dari Tabel 1 dan berdasarkan aturan sinkronisasi serta asumsi keberangkatan jumlah monorel dan trem yang didasarkan pada jarak tempuh antar dua sta- siun. Selanjutnya apat dikonstruksi model monorel dan trem sebagai berikut: x∗ (k) = B ⊗ x(k) (2) dengan matriks B yanng berukuran 38 × 39 dan x∗ berukuran 38 × 1, dimana x∗ = x∗ a x∗ b x∗ c x∗ d x∗ e T 7
  • 29. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya dengan x∗ a = x2 x3 x5 x6 x8 x9 x11 x12 x14 T x∗ b = x16 x17 x19 x21 x23 x25 x27 x29 T x∗ c = x31 x32 x34 x35 x37 x39 x40 x42 T x∗ d = x43 x45 x46 x48 x51 x54 x57 x59 T x∗ e = x64 x66 x68 x70 x72 T 4 Kesimpulan Dari hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan al- jabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A ⊗ x(k) dan x∗ = B ⊗ x(k). Daftar Pustaka [1]. Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik In- donesia.2009. Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan 2005-2025.<URL:www.dephub.go.id/ > [2]. BKKPM. Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. <URL:http://bkppm.surabaya.go.id.>,2011. [3]. Rahmawati, N. Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya,2012. [4]. Fahim, K. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya,2013. [5]. Oktavianto, K. Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya, Tugas Akhir Matematika ITS,2013. [6]. Subiono. Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya,2012. [7]. Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D .Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. <http://atoms.scilab. org/toolboxes/maxplus etrinet>,2013. 8
  • 30. Sifat-sifat Aljabar dari Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy Muhammad Abdy Jurusan Matematika, FMIPA - Universitas Negeri Makassar e-mail: muh.abdy@unm.ac.id Abstrak: Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma. Dalam paper ini, keempat komponen tersebut diperlihatkan sifat-sifat aljabarnya, yaitu sebagai suatu grup komutatif dan ruang vektor. Kata kunci: invers neuromagnetik, PTTF, Kontur Magnetik, Bidang Dasar Magnetik, Magnetik Fuzzy, Topografi Medan Magnet 1. Pendahuluan Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy (PTTF) merupakan suatu metode baru untuk menyelesaikan masalah invers neuromagnetik dalam menentukan posisi sumber arus lemah dalam otak. PTTF terdiri dari empat komponen yang dihubungkan oleh tiga algoritma, seperti terlihat pada Gambar 1 Gambar 1 Keempat komponen itu adalah bidang kontur magnetik (KM), bidang dasar magnetik (DM), medan magnetik fuzzy (MF) dan topografi medan magnetik (TM). KM adalah suatu medan magnet pada bidang di atas suatu sumber arus dengan z = 0. Bidang ini diturunkan ke bawah (DM) yaitu suatu bidang dimana sumber arus berada dengan z = -h. Kemudian semua elemen DM difuzzikan ke dalam suatu lingkungan fuzzy (MF), yaitu semua nilai medan magnet difuzzikan. Proses terakhir adalah defuzzifikasi dari data fuzzi medan magnet untuk mendapatkan posisi sumber arus dalam bentuk 3-dimensi (TM). Dengan Algoritma 1 Bidang Kontur Magnetik Bidang Dasar Magnetik Medan Magnetik Fuzzy Topografi Medan Magnetik Algoritma 2 Algoritma 3 9
  • 31. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya menggunakan data simulasi medan magnet yang dibangkitkan dengan program MATLAB, Fauziah [1] menyelesaikan masalah invers neuromagnetik untuk suatu sumber arus tunggal tak terbatas dengan menggunakan PTTF. Liau [3] mengkonstruksi PTTF sebagai suatu himpunan dari model dengan empat komponen dan tiga algoritma yang menghubungkan keempat. komponen itu. Kemudian dia membuktikan bahwa keempat komponen itu adalah homeomorfik satu sama lain. 2. Sifat-sifat Aljabar PTTF Fauziah [2] mendefinisikan suatu formula bacaan medan magnet dalam arah yang sejajar sumbu-z sebagai       + = 22 0 2 zy yI BZ π µ (1) Kemudian [3] memodifikasi persamaan (1) menjadi ( ) ( )( )         −−++− − = 2 02 0 ),( 902 θπ µ tgxxhyy yyI B pp p yxZ (2) Dimana 0 µ adalah permiabilitas (4π.10-7 meterTesla/ampere), I adalah kuat arus, θ adalah sudut antara arus dan sumbu-z, h adalah jarak antara KM dan sumber arus. Misalkan KM = ( )( ) [ ]{ }maxmin ,,,,, ),(),(0 ZZyxZyxZ BBBRyxByx ∈∈ , dan misalkan didefinisikan suatu relasi +KM dari KM × KM ke KM seperti berikut: +KM = ( )( ) ( )( ) ( )( ){ |,,,,,,,, ),(033),(022),(011 332211 yxZyxZyxZ ByxByxByx ( )( ) ( )( )}),(033),(02121 332121 ,,,, yxZyyxxZ ByxByyxx =++ ++ (3) Dengan ( ) ( )( ) ( ) ( )( )         −−+++−+ −+ =++ 2 0 21 2 21 210 ),( 9022121 θπ µ tgxxxhyyy yyyI B pp p yyxxZ Ambil. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) KMyxZyxZyxZ ByxByxByx +∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, Perhatikan bahwa ( )( ) ( )( ) ( )( )∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx KM. Oleh karena itu, diperoleh ( )( ) ( )( )( )∈),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx KM × KM, dan juga diperoleh bahwa ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx (KM × KM) × KM. Sehingga, +KM ⊂ (KM × KM) × KM. Jadi +KM adalah suatu relasi. Selanjutnya diperlihatkan bahwa +KM adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jika untuk ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(0),(022),(011 ,,,,,,,, 2211 aa yxZaayxZyxZ ByxByxByx +KM dan ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∈),(0),(022),(011 ,,,,,,,, 2211 bb yxZbbyxZyxZ ByxByxByx +KM , maka ( )( )),(0 ,, aa yxZaa Byx = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ 10
  • 32. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )                 −−+++−+ −+ ++ 2 0 21 2 21 210 02121 902 ,, θπ µ tgxxxhyyy yyyI yyxx pp p dan ( )( )),(0 ,, bb yxZbb Byx = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZ Byyxx ++ ++ = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )                 −−+++−+ −+ ++ 2 0 21 2 21 210 02121 902 ,, θπ µ tgxxxhyyy yyyI yyxx pp p Dengan demikian, ( ) ( ) ( )bbaa yxyyxxyx ,,, 2121 =++= , sehingga ba xxxx =+= 21 , ba yyyy =+= 21 , dan ),(),(),( 2121 bbaa yxZyyxxZyxZ BBB == ++ . Jadi diperoleh ( )( )),(0 ,, aa yxZaa Byx = ( )( )),(0 ,, bb yxZbb Byx . Dengan demikian, jika diberikan sebarang himpunan tak kosong KM, maka +KM adalah suatu relasi sedemikian sehingga untuk setiap ( )( ) ( )( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM × KM, terdapat suatu elemen tunggal ( )( )),(033 33 ,, yxZ Byx ∈ KM sedemikian sehingga ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx ∈ +KM. Oleh karena itu, +KM.adalah suatu pemetaan dari KM × KM ke KM. Jadi, +KM adalah suatu operasi biner pada KM sedemikian sehingga ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++ ++=+ (4) Selanjutnya diperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF dengan operasi biner +KM adalah suatu grup dengan membuktikan Teorema 1 berikut. Teorema 1 ( )KM KM +, adalah suatu grup Bukti Misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++ ++=+ . Karena 2121 ,,, yyxx ∈ R (bilangan rill), maka 2121 , yyxx ++ ∈ R. Selanjutnya, ),( 2121 yyxxZ B ++ dapat dinyatakan dalam bentuk ( ) ( )( )         −−++− − 2 02 0 902 θπ µ tgxXhyY yYI pp p , dimana 21 xxX += dan 21 yyY += . Dengan demikian, ),( 2121 yyxxZB ++ ∈ [ ]maxmin , ZZ BB dan ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ ∈ KM. Jadi, ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + ∈ KM. (tertutup) Selanjutnya, misalkan ( )( ) ( )( ) ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,,,, yxZyxZyxZ ByxByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ = ( )( ) ( )( )),(03232),(011 323211 ,,,, yyxxZKMyxZ ByyxxByx +++++ = ( )( )))(),((0321321 321321 ,)(),( yyyxxxZByyyxxx ++++++++ (5) Juga dapat ditulis: ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ 11
  • 33. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya = ( )( ) ( )( )),(033),(02121 332121 ,,,, yxZKMyyxxZ ByxByyxx +++ ++ = ( ) ( )( )( )))(,)((0321321 321321 ,, yyyxxxZByyyxxx ++++++++ = ( )( )))(),((0321321 321321 ,)(),( yyyxxxZ Byyyxxx ++++ ++++ (6) Dari (5) dan (6), maka ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ = ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )),(033),(022),(011 332211 ,,,,,, yxZKMyxZKMyxZ ByxByxByx ++ (assosiatif) Selanjutnya, dalam KM terdapat ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB . Perhatikan bahwa untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZByx ∈ KM, maka ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B +KM ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))0,0(0 ,0,0 yxZ Byx ++ ++ = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B . Juga dapat ditulis ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB = ( )( ))0,0(0 ,0,0 ++ ++ yxZ Byx = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B . Jadi ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB adalah elemen identitas dalam KM dengan operasi +KM. Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZByx ∈ KM, maka ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM ( )( )),(0 ,, yxZ Byx −− −− = ( )( )))(),((0 ,)(),( yyxxZByyxx −+−+−+−+ = ( )( ))0,0(0 ,0,0 ZB (7) Juga dapat ditulis: ( )( )),(0 ,, yxZByx −−−− +KM ( )( )),(0 ,, yxZ Byx = ( )( )),(0 ,, yyxxZ Byyxx +−+− +−+− = ( )( ))0,0(0 ,0,0 Z B (8) Jadi setiap elemen KM mempunyai elemen invers dalam KM dengan operasi +KM. ▄ Teorema 2 ( )KM KM +, adalah suatu grup komutatif Bukti Misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM, maka ( )( ) ( )( ) ( )( )),(02121),(022),(011 21212211 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++++=+ (9) Demikian juga, ( )( ) ( )( ) ( )( )),(01212),(011),(022 12121122 ,,,,,, yyxxZyxZKMyxZ ByyxxByxByx ++++=+ = ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZByyxx ++++ (10) Dari (9) dan (10), maka ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = ( )( ) ( )( )),(011),(022 1122 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + ▄ Teorema berikut memperlihatkan bahwa kontur magnetik pada PTTF adalah suatu ruang vektor. Teorema 3 KM adalah suatu ruang vektor Bukti Terlebih dahulu didefinisikan operasi perkalian × pada KM sedemikian sehingga r × ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, ryrxZBryrx ; r∈R, 12
  • 34. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Karena rx, ry ∈ R, maka ( )( )),(0 ,, ryrxZ Bryrx ∈ KM sehingga r × ( )( )),(0 ,, yxZ Byx ∈ KM untuk setiap ( )( )),(0 ,, yxZ Byx dan r∈R. Selanjutnya, misalkan ( )( ) ( )( )),(022),(011 2211 ,,,,, yxZyxZ ByxByx ∈ KM dan r∈R, maka r× ( )( ) ( )( )[ ]),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = r× ( )( )),(02121 2121 ,, yyxxZ Byyxx ++ ++ = ( )( )))(),((02121 2121 ,)(),( yyrxxrZ Byyrxxr ++ ++ (11) Juga dapat ditulis, r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx +KM r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx = ( )( )),(011 11 ,, ryrxZBryrx +KM ( )( )),(022 22 ,, ryrxZ Bryrx = ( )( )),(02121 2121 ,, ryryrxrxZBryryrxrx ++++ = ( )( )))(),((02121 2121 ,)(),( yyrxxrZ Byyrxxr ++ ++ (12) Dari (11) dan (12), maka r× ( )( ) ( )( )[ ]),(022),(011 2211 ,,,, yxZKMyxZ ByxByx + = r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx +KM r× ( )( )),(011 11 ,, yxZ Byx Selanjutnya, misalkan ( )( )),(0 ,, yxZByx ,dan r, t ∈ R, maka ( )( )),(0 ,,)( yxZ Byxtr ×+ = ( )( )))(,)((0 ,)(,)( ytrxtrZ Bytrxtr ++ ++ (13) Juga dapat ditulis r× ( )( )),(0 ,, yxZ Byx +KM s× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, ryrxZBryrx +KM ( )( )),(0 ,, tytxZ Btytx = ( )( )),(0 ,, tyrytxrxZ Btyrytxrx ++ ++ = ( )( )))(,)(0 ,)(,) ytrxtrZ Bytrxtr ++ ++ (14) Dari (13) dan (14), maka ( )( )),(0 ,,)( yxZ Byxtr ×+ = r× ( )( )),(0 ,, yxZByx +KM t× ( )( )),(0 ,, yxZ Byx untuk setiap ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, dan r, t ∈ R. Selanjutnya, misalkan ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, , dan r, t ∈ R, maka (rt)× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, rtyrtxZBrtyrtx = ( )( )))(),((0 ,)(),( tyrtxrZBtyrtxr (15) Juga dapat ditulis ( )( )( )),(0 ,, yxZByxtr ×× = ( )( )),(0 ,, tytxZBtytxr × = ( )( )))(),((0 ,)(),( tyrtxrZBtyrtxr (16) Dari (15) dan (16), maka (rt)× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )( )),(0 ,, yxZByxtr ×× Terakhir, misalkan ( )( ) KMByx yxZ ∈),(0 ,, , maka 1× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))1,1(0 ,1,1 yxZByx (17) Juga dapat ditulis ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( ))1,1(0 ,1,1 yxZByx (18) Dari (17) dan (18), maka 1× ( )( )),(0 ,, yxZByx = ( )( )),(0 ,, yxZByx Jadi KM memenuhi semua aksioma ruang vektor. ▄ Dengan cara yang serupa seperti dalam Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3, maka diperoleh bahwa Bidang Dasar Medan Magnet (MD), Medan Magnet Fuzzy 13
  • 35. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya (MF) dan Topografi Medan Magnet (TM) merupakan suatu grup komutatif dan juga merupakan suatu ruang vector, seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 4: (MD, +MD) adalah suatu grup komutatif Teorema 5: MD adalah suatu ruang vektor Teorema 6: (MF, +MF) adalah suatu grup komutatif Teorema 7: MF adalah suatu ruang vektor Teorema 8: (TM, +TM) adalah suatu grup komutatif Teorema 9: TM adalah suatu ruang vektor 3. Kesimpulan Keempat komponen dalam Pemetaan Topologi Topografi Fuzzy, yaitu kontur medan magneti, medan dasar magnetik, medan magnet fuzzy dan topografi medan magnet mempunyai sifat aljabar sebagai suatu grup komutatif dan sebagai suatu ruang vektor. 4. Daftar Pustaka [1] Fauziah, Z. (2000). Pemodelan Isyarat MEG. Proceeding of the 8th National Symposium of Mathematical Sciences. Kuala Trengganu: Universiti Putra Malaysia [2] Fauziah, Z. (2002). Algoritma Penyelesaian Masalah Songsang Arus Tunggal Tak Terbatas MEG. Universiti Teknologi Malaysia. [3] Liau, L.Y. (2006). Group-Like Algebraic Structures of FTTM for Solving Neuromagnetic Inverse Problem. Universiti Teknologi Malaysia 14
  • 36. EKSISTENSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL Siswanto1 , Ari Suparwanto2 , M. Andy Rudhito3 1) Mahasiswa S3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UGM dan Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, UNS Jl. Ir. Sutami No. 36a, Surakarta sis.mipauns@yahoo.co.id 2) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,UGM Sekip utara, Yogyakarta ari_suparwanto@yahoo.com 3) Program Studi Pend. Matematika, Fakultas KIP,Sanata Dharma Kampus III Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta arudhito@yahoo.co.id Abstrak-Makalah ini membahas kriteria sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ � = � yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Misalkan ℝ himpunan semua bilangan real dan ℝ� = ℝ ∪ {− ∞}. Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� dilengkapi operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). Butkovic dan Tam telah membahas tentang kriteria sistem persamaan persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian..Aljabar maks-plus interval adalah himpunan �(ℝ)� yaitu himpunan yang anggota-anggotanya interval tertutup dalam ℝ� dilengkapi dengan operasi ⊕ (= maksimum) dan ⊗ (= plus). . Kata kunci: sistem persamaan linear, aljabar maks-plus interval. PENDAHULUAN Aljabar maks-plus adalah himpunan ℝ� = ℝ ∪ {�}, ℝ himpunan bilangan real, � = −∞ dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Aljabar maks-plus merupakan semifield idempoten. Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas (Baccelli, et.al [2]). Menurut Tam [9], aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ� dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus adalah aljabar linear atas semiring ℝ�′ = ℝ ∪ {�′}, �′ = ∞ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Disamping itu, Tam [9] juga mendefinisikan aljabar maks-plus lengkap dan aljabar min-plus lengkap. Dalam tulisan ini definisi aljabar maks-plus yang digunakan diambil dari Baccelli, et.al [2]. Sejalan dengan definisi tersebut, aljabar min-plus didefinisikan sebagai himpunan ℝ�′ dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗ ′. Aljabar min-plus merupakan semifield idempoten. Selanjutnya, aljabar maks-plus lengkap adalah himpunan ℝ�,�′ = ℝ� ∪ {�′} dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗, sedangkan aljabar min-plus lengkap adalah ℝ�′ ,� = ℝ�′ ∪ {�} dilengkapi dengan operasi minimum ⊕′ dan plus ⊗′ . Tampak bahwa ℝ�,�′ = ℝ� ∪ {�′ } = ℝ ∪ {�, �′ } = ℝ ∪ {�, �′ } = ℝ�′ ∪ {�′ } = ℝ�′ ,�. Selanjutnya 15
  • 37. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya ℝ�,�′ dan ℝ�′ ,� ditulis dengan ℝ. Dari himpunan ℝ� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran � × � yang elemen-elemennya merupakan elemen ℝ� , yang selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar maks-plus dan dinotasikan dengan ℝ� �×� . Butkovic [4, 5] dan Tam [9] telah membahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus � ⊗ � = b. Telah dibahas juga oleh keduanya mengenai kriteria sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian maupun tidak mempunyai penyelesaian.. Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar maks-plus telah digeneralisasi menjadi aljabar maks-plus interval dan aljabar maks-plus bilangan kabur. Aljabar maks-plus interval yaitu himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar maks-plus bilangan kabur yaitu himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕� dan ⊗� (Rudhito [7]). Dalam tulisan ini akan dibahas tentang sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Akan diselidiki eksistensi penyelesaian, baik sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, maupun sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian. Sebelum membahas hasil dalam penelitian ini disampaikan konsep-konsep yang diperlukan dalam pembahasan. Adapun konsep-konsep yang diperlukan adalah aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus, mengacu pada Akian et al.[1], Baccelli et al. [2], Butkovic [3, 4, 5], dan Schutter [8] sebagai berikut. Definisi 1.1. Diberikan � ∈ ℝ, konjugat dari � adalah �∗ = �−1 = −�. Misalkan � = ���� � ∈ ℝ �×� , konjugat matriks A adalah �∗ = ���� ∗ � atau �∗ = −�� . Definisi 1.2. Diberikan � = (��� ) ∈ ℝ� �×� dan � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � . Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus berbentuk � ⊗ � = �. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut, Tam [10] memberikan 2 definisi sebagai berikut. Definisi 1.3. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � dapat diubah menjadi sistem persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 dengan �̅ = ��̅�� � = (��� − ��) ∈ ℝ� �×� . Sistem persamaan linear �̅ ⊗ � = 0 disebut sistem persamaan linear yang dinormalkan dan proses ini disebut normalisasi. Proses normalisasi ini dapat dilakukan juga dengan mengalikan dari kiri, kedua ruas sistem persamaan linear � ⊗ � = � dengan matriks � = ���� (−�1, −�2, … , −�� ) = � −�1 ⋯ � ⋮ ⋱ ⋮ � ⋯ −�� �, yaitu � ⊗ � ⊗ � = � ⊗ � ⟺ (� ⊗ �) ⊗ � = � ⊗ � ⟺ �̅ ⊗ � = 0. Definisi 1.4. Diberikan suatu sistem � ⊗ � = � dengan � = (��� ) ∈ ℝ� �×� , � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � , � = {1,2, … , �} dan � = {1,2, … , �}. Didefinisikan, i. �(�, �) = {� ∈ ℝ� � |� ⊗ � = � }, ii. �� (�, �) = �� ∈ � |���� − ��� = �����=1,…,� ���� − ����, ∀� ∈ �, iii. �� = ���� � = �−�����=1,…,� ���� − ���� , ∀� ∈ �. Selanjutnya, jika �� memenuhi sistem persamaan linear maka �� disebut 16
  • 38. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya penyelesaian dasar (principal solution) (Butkovic [5], Cuninghame [6], Tam [9]). Jika � = (�, �, … , �) maka �(�, �) = {� ∈ ℝ� � |�� = � jika �� ≠ �, � ∈ � }. Jika A matriks yang semua entrinya � maka �(�, �) = ℝ� � . Adapun untuk A matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �) maka �(�, �) = ∅. Oleh karena itu, diasumsikan A bukan matriks yang semua entrinya � dan � ≠ (�, �, … , �). Misalkan bahwa �� = � untuk suatu � ∈ � berarti untuk suatu � ∈ �(�, �), �� = � jika ��� ≠ �, � ∈ �. Dengan demikian, persamaan ke k dapat dihapus. Demikian juga, dapat diatur sehingga �� = � untuk setiap kolom �� dimana ��� ≠ �, sehingga kolom-kolom tersebut dapat dihapus dari sistem. Oleh karena itu, tanpa mengurangi keumuman bahwa b diasumsikan berhingga. Jika b berhingga dan A memuat baris yang semua elemenya � maka �(�, �) = ∅. Jika A memuat kolom yang semua elemennya �, misalkan �� = � untuk suatu j maka dapat diatur �� sebarang nilai pada penyelesaian x. Berarti, dapat diasumsikan A ℝ-astik ganda. Dengan memperhatikan beberapa kemungkinan tersebut, tanpa mengurangi keumumaan dibahas sistem persamaan linear dengan � = ���� � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Berdasarkan Definisi 1.4, Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan teorema tentang kriteria penyelesaian sistem persamaan linear. Teorema 1.5. Misalkan � = [��� ] ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Vektor � ∈ �(�, �) jika dan hanya jika 1) � ≤ �� dan 2) ∪�∈�� �� (�, �) = � dengan �� = {� ∈ �|�� = ��� }. Kemudian Butkovic [5], Cuninghame-Green [6], dan Tam [9] memberikan teorema berikut : Teorema 1.6. Sistem persamaan linear � ⊗ � = � mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika penyelesaian dasarnya yaitu �� merupakan penyelesaian. Selanjutnya, Butkovic [5] dan Tam [10] menyebutkan dua akibat yang muncul dari Teorema 1.5. Akibat pertama menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian dan akibat kedua menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. Akibat 1.7. Misalkan � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(�, �) ≠ ∅. 2) �� ∈ �(�, �). 3) ∪�∈� �� (�, �) = �. Akibat 1.8. Misalkan � ∈ ℝ� �×� adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� , �(�, �) = {�̅} jika dan hanya jika 1) ∪�∈� �� (�, �) = � dan 2) ∪�∈�′ �� (�, �) ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. Selanjutnya disajikan tentang sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Menurut Tam [9], sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks- plus didefinisikan sebagai berikut, Definisi 1.9. Diberikan � = ���� � ∈ ℝ� �×� dan � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ� � . Sistem � ⊗ � ≤ � disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus. Selanjutnya Butkovic [5] dan Tam [9] menjelaskan penyelesaian dari sistem 17
  • 39. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya pertidaksamaan linear melalui teorema berikut, Teorema 1.10. Diberikan � = ���� � ∈ ℝ �×� , � = (�1, … , �� ) ∈ ℝ � dan � ∈ ℝ � berlaku � ⊗ � ≤ � jika dan hanya jika � ≤ �∗ ⊗ ′�. Berdasarkan Definisi 1.4, �� = �∗ ⊗ ′� jika � adalah ℝ-astik ganda dan � ∈ ℝ� . Sesuai dengan Teorema 1.10, �� = �∗ ⊗ ′� merupakan penyelesaian dasar dari sistem � ⊗ � = � dan � ⊗ � ≤ � untuk ℝ �×� dan � ∈ ℝ � . Berarti, penyelesaian dasar merupakan penyelesaian terbesar dari sistem � ⊗ � ≤ �. Berikut disajikan definisi dan teorema tentang aljabar maks-plus interval, matriks atas aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, [7]). Interval tertutup x dalam ℝ� adalah suatu himpunan bagian dari ℝ� yang berbentuk x = � x, x � = � � ∈ ℝ�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ� disebut interval maks-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.11. Dibentuk �(ℝ)� = �� = � �, � � ��, � ∈ ℝ, � < � ≤ � � ∪ { � }, dengan ε = [ε, ε]. Pada himpunan �(ℝ)� didefinisikan operasi maksimum ⊕��� dan plus ⊗��� dengan x ⊕��� y = [ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗��� y = [ x ⊗ y , x ⊗ y ] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)� . Himpunan �(ℝ)� dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗��� merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar maks-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� = ��(ℝ)�; ⊕���, ⊗����. Definisi 1.12. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)� �×� yaitu �(ℝ)� �×� = �A = �A�� � �A�� ∈ �(ℝ)�; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)� �×� disebut matriks interval maks-plus. Selanjutnya matriks interval maks-plus cukup disebut dengan matriks interval. Definisi 1.13. Untuk A ∈ �(ℝ)� �×� didefinisikan matriks A = [Aij] ∈ ℝ� �×� dan A = [Aij] ∈ ℝ� �×� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Definisi 1.14. Diberikan matriks interval A ∈ �(ℝ)� �×� , dengan A dan A masing- masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝmax m×n � A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ� �×� )b = ��A, A�| A ∈ �(ℝ)� �×� �. Definisi 1.15. 1. Untuk α ∈ I(ℝ)max , �A, A�, �B, B� ∈ �(ℝ� �×� )b didefinisikan i. α ⊗ �A, A� = �α ⊗ A, α ⊗ A�, ii. �A, A� ⊕ �B, B� = �A ⊕ A, B ⊕ B�, 2. Untuk �A, A� ∈ �(ℝ� �×� )b, �B, B� ∈ �(ℝ� �×� )b didefinisikan �A, A� ⊗ �B, B� = �A ⊗ A, B ⊗ B�. Teorema 1,16. Struktur aljabar dari �(ℝ� �×� )b yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗��� dinotasikan dengan �(ℝ���� �×� )b = (�(ℝ� �×� )b; ⊕, ⊗) merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan �(ℝ� �×� )b merupakan semimodul atas �(ℝ)�. Definisi 1.17. Didefinisikan 18
  • 40. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya �(ℝ)� � = {x = [x1, x2, … , xn]T|xi ∈ �(ℝ)�; i = 1, 2, … . , n}. Himpunan �(ℝ)� � dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)� 1×� . Unsur-unsur dalam �(ℝ)� � disebut vektor interval dalam �(ℝ)�. Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.18. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x∗ ∈ �(ℝ)� � disebut penyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x∗ = b. Definisi 1.19. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x′ ∈ �(ℝ)� � disebut subpenyelesaian persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika berlaku A ⊗ x′ ≤ b. Definisi 1.20. Diberikan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Suatu vektor interval x� ∈ �(ℝ)� � disebut subpenyelesaian terbesar persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b jika x′ ≤ x� untuk setiap subpenyelesaian x′ dari sistem persamaan linear maks-plus interval A ⊗ x = b. Selanjutnya, disajikan definisi konjugat matriks dari matriks atas aljabar maks-plus interval, I(ℝ)-astik dan aljabar min-plus interval yang diambil dari Siswanto [10] sebagai berikut : Definisi 1.21. Matriks interval A ∈ �(ℝ)� �×� , A ≈ [A, A] dikatakan I(ℝ)-astik ganda jika � adalah ℝ-astik ganda untuk setiap � ∈ [A, A] . Teorema 1.22. Matriks A ∈ �(ℝ)� �×� dengan A ≈ [A, A] adalah I(ℝ)-astik ganda jika dan hanya jika A ℝ-astik ganda. Interval tertutup x dalam ℝ�′ adalah suatu himpunan bagian dari ℝ�′ yang berbentuk x = � x, x � = �� ∈ ℝ�� x ≤ � ≤ x �. Interval x dalam ℝ��� disebut interval min-plus. Suatu bilangan x ∈ ℝ��� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi 1.23. Dibentuk �(ℝ)�′ = �x = � x, x � �x, x ∈ ℝ, x ≤ � < �′ � ∪ {ε′ }, dengan ε′ = [�′, �′]. Pada himpunan �(ℝ)��� didefinisikan operasi minimum ⊕ ′ dan plus ⊗ ′ dengan x ⊕ ′ y = [ x ⊕′ � , x ⊕′ �] dan x ⊗ ′ y = [ x ⊗′ � , x ⊗′ �] untuk setiap x, y ∈ �(ℝ)��� . Selanjutnya disebut aljabar min-plus interval dan dinotasikan dengan �(ℝ)��� = ��(ℝ)�′ ; ⊕ ′ , ⊗ ′ �. Definisi 1.24. Himpunan matriks berukuran � × � dengan elemen-elemen dalam �(ℝ)� dinotasikan dengan �(ℝ)�′ �×� yaitu �(ℝ)�′ �×� = �A = �A�� � �A�� ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � �. Matriks anggota �(ℝ)�′ �×� disebut matriks interval Min-Plus. Definisi 1.25. Untuk A ∈ �(ℝ)�′ �×� didefinisikan matriks A = [A�� ] ∈ ℝ�′ �×� dan A = [A�� ] ∈ ℝ�′ �×� masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Definisi 1.26. Diberikan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)�′ �×� , dengan A dan A masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval min-plus A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu �A, A� = �� ∈ ℝ�′ �×� � A ≤ � ≤ A� dan �(ℝ�′ �×� )b = ��A, A�|A ∈ �(ℝ)�′ �×� �. Semimodul �(ℝ)��� �×� atas �(ℝ)��� isomorfis dengan semimodul �(ℝ��� �×� )b 19
  • 41. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya atas �(ℝ)��� , dengan pemetaan �: �(ℝ)�′ �×� → �(ℝ�′ �×�)b , �(A) = �A, A�, ∀A ∈ �(ℝ)�′ �×� . Interval matriks �A, A� ∈ �(ℝ�′ �×� )b disebut interval matriks min-plus yang bersesuaian dengan matriks interval min-plus A ∈ �(ℝ)��� �×� dan dilambangkan dengan A ≈ �A, A�. Definisi 1.27. Didefinisikan. �(ℝ)��� � = {� = [x1, x2, … , x�]�|xi ∈ �(ℝ)�′ ; � = 1, 2, … . , �}. Himpunan �(ℝ)�′ � dapat dipandang sebagai himpunan �(ℝ)�′ �×1 . Anggota �(ℝ)�′ � disebut vektor interval atas �(ℝ)�′ . Vektor interval min-plus x bersesuaian dengan interval vektor min-plus �x, x� yaitu x ≈ �x, x�. Definisi 1.28. Aljabar maks-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)ε = �(ℝ)ε ∪ {ε′} dilengkapi dengan operasi ⊕��� dan ⊗���, sedangkan aljabar min-plus interval lengkap adalah himpunan �(ℝ)� = �(ℝ)ε′ ∪ {ε} dilengkapi dengan operasi minimum ( ⊕ ′ ) dan plus ( ⊗ ′ ). HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas hasil penelitian tentang sistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Definisi 2.1. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b = (b1, … , b� ) ∈ �(ℝ)� � . Sistem persamaan A ⊗ x = b adalah sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Misalkan A ≈ [A, A], x ≈ [x, x] dan b ≈ [b, b] dengan �A, A� ∈ �(ℝ� �×�)b, [x, x], �b, b� ∈ �(ℝ� �)b. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval, dilakukan dengan menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b. Definisi 2.2. Diberikan suatu sistem persamaan linear A ⊗ x = b dengan A ∈ �(ℝ)� �×� dan b ∈ �(ℝ)� � . Didefinisikan �(A, b) = { x ∈ �(ℝ)� � |A ⊗ x = b }. Dengan memperhatikan Definisi 1.4 dan Teorema 1.5, diperoleh : Teorema 2.3. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� I(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� . Vektor y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika i. y ∈ �� A, b�, ii. y ∈ �(A, b) , iii. y ≤ y . Selanjutnya, ditulis y ≈ �y, y�. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b�. = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] dan A = �A�� � ℝ astik ganda, dan b ∈ �(ℝ)� � . Vektor y ∈ S(A, b) berarti y ∈ �(ℝ)� � dan A ⊗ y = b. Misalkan y≈ [y, y] berarti y ≤ y , berlaku y ∈ �(A, b) dan y ∈ ��A, b�. Sebaliknya, diketahui y ∈ �(A, b), y ∈ ��A, b� dan y ≤ y. Menurut teorema 1.5, Vektor y ∈ �(A, b) jika dan hanya jika 20
  • 42. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya 1) y ≤ y� dan 2) ∪�∈�y �� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y�� }. dan Vektor x ∈ ��A, b� jika dan hanya jika 1) y ≤ y� dan 2) ∪�∈�� �� (�, �) = � dengan �y = {� ∈ �|y� = y� � }. Selanjutnya, karena y ≤ y dapat ditulis y ≈ [y, y] maka y ∈ S(A, b) . ∎ Berdasarkan Teorema 1.5 dan Teorema 2.3, didefinisikan, Definisi 2.4. Misalkan y� dan y� masing-masing merupakan penyelesaian dasar sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus A ⊗ x = b dan A ⊗ x = b dan berlaku y� ≤ y� . Vektor y� ≈ �y�, y�� disebut penyelesaian dasar sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b. Berikut dua akibat yang muncul dari Teorema 2.3 yaitu menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian dan menjelaskan tentang kriteria sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian tunggal. Akibat 2.5. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , tiga pernyataan berikut ekuivalen. a. S(A, b) ≠ ∅. b. y� ∈ S(A, b). c. ∪�∈� �� �A, b� = � dan ∪�∈� �� �A, b� = �. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� �×� , A = �A�� � ∈ ℝ� �×� ℝ astik ganda dan b ∈ ℝ� , b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.7 tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b). 3) ∪�∈� �� �A, b� = �. Demikian pula, tiga pernyataan berikut ekuivalen, 1) �(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ �(A, b). 3) ∪�∈� �� �A, b� = �. Oleh karena itu, terbukti bahwa tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1) S(A, b) ≠ ∅. 2) y� ∈ S(A, b). 3) ∪�∈� �� (A, b) = � dan ∪�∈� �� �A, b� = �. ∎ Akibat 2.6. Misalkan A ∈ �(ℝ)� �×� adalah �(ℝ)-astik ganda dan b ∈ �(ℝ)� , S(A, b) = {y�} jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � dan ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ � dan ∪�∈�′′ �� �A, b� = � untuk setiap �′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. 21
  • 43. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Karena A �(ℝ)-astik ganda maka A = [A�� ] ∈ ℝ� �×� , A = �A�� � ∈ ℝ� �×� ℝ astik ganda dan b ∈ ℝ� , b ∈ ℝ� . Menurut Akibat 1.8, S�A, b� = �y�� jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. Demikian pula, S�A, b� = �y�� jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� �A, b� = � b. ∪�∈�′′ �� �A, b� ≠ � untuk setiap �′′ ⊆ �, �′′ ≠ �. Oleh karena itu, S(A, b) = {y�} jika dan hanya jika a. ∪�∈� �� (A, b) = � b. ∪�∈�′ �� (A, b) ≠ � untuk setiap �′ ⊆ �, �′ ≠ �. ∎ Selanjutnya, dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dalam alajabar maks-plus interval. Definisi 2.7. Diberikan A = �A�� � ∈∈ �(ℝ)� �×� dan b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� . Sistem A ⊗ x ≤ b disebut sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus interval. Teorema 2.8. Diberikan A = �A�� � ∈ �(ℝ)� �×� , b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. Bukti : Misalkan A = [A�� ] dengan A ≈ �A, A� berarti A = [A�� ] dan A = �A�� �, sedangkan b ≈ �b, b� = [�b1, b2, … , b��, �b1, b2, … , b�� dan b ∈ �(ℝ)� . Diperoleh A ⊗ x ≤ b dan A ⊗ x ≤ b. Menurut Teorema 1.10, berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A ∗ ⊗′ b. Oleh karena itu, untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. ∎ KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. a. Sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A ⊗ x = b dapat mempunyai penyelesaian tunggal, mempunyai banyak penyelesaian, dan tidak mempunyai penyelesaian. b. Diberikan A = �A�� � ∈ �(ℝ)� �×� , b = (b1, b2, … , b� ) ∈ �(ℝ)� dan ∈ �(ℝ)� , untuk x ≈ �x, x� berlaku A ⊗ x ≤ b jika dan hanya jika x ≤ A∗ ⊗′ b dan x ≤ A ∗ ⊗′ b. DAFTAR PUSTAKA [1] Akian, M., Kohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M., 1994. Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, pp : 1502-1511. 22
  • 44. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya [2] Baccelli, F., Kohen, G., Olsder, G. J and Quadrat, J. P., 2001. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems. New York : Wiley. [3] Butkovic, P. 2000. Simple Image Set of (max,+) Linear Mappings. Discrete Applied Mathematics. Vol. 105, pp : 73-86. [4] Butkovic, P. 2003. Max-Algebra: The Linear Algebra of Combinatorics?. Linear Algebra and Application. Vol. 367. pp : 313-335. [5] Butkovic, P. 2010. Max Linear Systems: Theory and Algorithm, London: Springer. [6] Cuninghame-Green, R.A. 1979. Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 166. Berlin : Springer. [7] Rudhito, Andy., 2011. Aljabar Maks-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta. [8] Schutter, B.D., and Boom. T. V. D. 2008. Max-Plus Algebra And Max-Plus Linear Discrete Event Systems: An Introduction. Proceedings of the 9th International Workshop on Discrete Event Systems (WODES'08), pp : 36-42. [9] Tam, K.P. 2010. Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra. Birmingham: University of Birmingham. [10] Siswanto, dkk. 2013. Minimisasi Norm Daerah Hasil (Range Norm) Himpunan Bayangan (Image Set) Matriks atas Aljabar Maks-Plus Interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013. Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Erlangga. 23
  • 45. 24 Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11-14 Juni 2014, ITS, Surabaya
  • 46. Diagnosis Suatu Penyakit Menggunakan Matriks d- disjunct Siti Zahidah Institut Teknologi Bandung, s.zahidah@students.itb.ac.id Abstrak-Secara historis, teori group testing muncul berkaitan erat dengan pengujian sampel darah untuk mengidentifikasi kepositifan sampel darah terhadap suatu penyakit. Berdasarkan algoritmanya, terdapat 2 jenis group testing yaitu Adaptive Group Testing (AGT) dan Non-Adaptive Group Testing (NAGT). Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = ( ), dengan kolom matriks M menunjukkan item dan baris matriks M menunjukkan tes (blok). Kriteria matriksnya adalah = 1 jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = 1. Di lain pihak, hasil pengujian masing-masing blok direpresentasikan dalam vektor kolom, disebut vektor outcome. Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi M yang memenuhi persamaan = dengan y merupakan vektor outcome dan x sampel-sampel yang dites. Jika dari n sampel terdapat maksimal d sampel yang positif maka kita katakan d-Combinatorial Group Testing, disingkat dengan d-CGT. Dalam makalah ini akan ditunjukkan konstruksi matriks d-disjunct yang merupakan solusi persamaan group testing. Selanjutnya dari konstruksi tersebut akan dimodifikasi sedemikian sehingga dengan konstruksi yang baru dapat mengidentifikasi lebih dari d sampel positif. Kata Kunci: Group testing, Non-Adaptive Group Testing, Matriks d-disjunct. 1 Pendahuluan Teori group testing mulai berkembang pada tahun 1942, dimana saat itu masih berlangsung perang dunia kedua. Pada waktu itu angkatan perang Amerika melakukan tes kesehatan untuk mengidentifikasi sipilis terhadap para wajib militer [1]. Peserta wajib militer ini jumlahnya ribuan bahkan lebih, tetapi tidak menutup kemungkinan yang terinfeksi sipilis hanya puluhan orang. Jika hasilnya seperti itu maka tes individu (tes satu persatu terhadap tentara) sangat tidak efektif dan membutuhkan biaya yang besar. David Rosenblatt mempunyai ide untuk melakukan pengelompokan, yaitu sampel darah wajib militer yang akan dites sipilis dikelompokkan sehingga jika hasil tes kelompok tersebut negatif maka semua anggota kelompok terbebas dari sipilis, tetapi jika tes kelompok hasilnya positif maka minimal terdapat 1 anggota dari kelompok tersebut terinfeksi sipilis. Meskipun Rosenblatt penggagas ide, akan tetapi dalam pengembangan teorinya Rosenblatt bekerjasama dengan Robert Dorfman yang akhirnya teori group testing populer dalam jurnalnya yang berjudul “The detection of defective members of large populations”. Berdasarkan ide tersebut penulis ingin mengetahui lebih lanjut mengenai kriteria pengelompokan yang dapat mengidentifikasi sampel positif secara sekaligus. Lebih jauh, setelah dilakukan pengelompokan dapat diperoleh 25
  • 47. representasinya berupa dilakukan dengan bant 2 Kajian Pustaka 2.1 Group Testing Group testing berkelompok yan terhadap suatu pe setiap anggotany negatif (-), ke mendefinisikan fun 2 {±} dimana ( ) be positif dan ( ) Dalam permasala anggotanya berni | | = Group Testing ata Berdasarkan a 1. Adaptive Group T Dalam a memperhatikan ha 2. Non - Adaptive Dalam al terlebih dahulu Lebih detilnya sedemikian se anggota yang posi Sebagai cont hasil tesnya pa Gam dan setelah dil Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I erupa matriks biner sehingga untuk selanj antuan matriks representasi pengelompokan ter ka g ing merupakan salah satu cara pengujian yang bertujuan untuk mengidentifikasi keposi u penyakit. Secara matematis, jika diberikan popul nya mempunyai dua kemungkinan hasil tes kemudian dilakukan pengelompokan, maka n fungsi tes sebagai berikut : 2 {±} ( ) bernilai positif jika memuat setidaknya 1 ( ) bernilai negatif jika semua anggota be alahan ini akan dicari himpunan terbesa rnilai positif. Jika | | = maka dikatakan d atau dapat disingkat dengan d-CGT [1]. n algoritmanya, terdapat 2 jenis group testing : roup Testing (AGT) algoritma AGT, penentuan tes dilakuka kan hasil tes sebelumnya. daptive Group Testing (NAGT) algoritma NAGT, penentuan kelompok (bl hulu dan tes hanya dilakukan satu kali untuk ya, dalam algoritma NAGT kita tentukan blok n sehingga dalam sekali tes dapat mengident g positif dan anggota yang negatif sekaligus. i contoh pengelompokan dapat dilihat dalam ga pada gambar 2. ambar 1. Pengelompokan dari 12 sampel menjadi 9 kelo h dilakukan tes diperoleh hasil sebagai berikut : matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya lanjutnya analisis n tersebut. n sampel secara kepositifan sampel populasi N dengan s positif (+) atau aka kita dapat 2 {±} ( ) 1 anggota yang ( ) bernilai negatif. besar yang semua | | = d-Combinatorial : dilakukan dengan (blok) dilakukan uk tiap kelompok. ok yang akan dites dentifikasi semua gambar 1 dengan elompok : 26
  • 48. dari gambar 2 positif sipilis. algoritma NAG dan tidak adan 2.2 Sistem Himpun Chee [2] mende Definisi 2.2.1 Si = ( , ) dengan : • X adalah him • 2 ada Misalkan , , , | | = didefinisikan seba = ( , ) • = {1,2, , } = { : } • = { } • | | = | | da | | = | | Contoh 2.2.2 Da himpunannya ada = ( , ) = { , , , } = { , , , , , , , , } Sedangkan untuk dua = ( , ) = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } Ga Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 2. Hasil Tes r 2 diperoleh bahwa sampel dan merupaka lis. Untuk selanjutnya, penulis hanya mem AGT karena pengetesan kelompok hanya dila danya kebergantungan diantara hasil-hasil tes ke unan Untuk NAGT ndefinisikan sistem himpunan untuk NAGT seba Sistem himpunan adalah suatu pasangan terur = ( , ) h himpunan dari anggota-anggota yang disebut sam 2 dalah himpunan dari himpunan bagian X yang di , , , blok-blok di dan | | = , n sebagai sistem himpunan = ( , ) dengan : = {1,2, , } dan = { : } = { } | | = | | dan | | = | | Dari contoh algoritma NAGT (Gambar 1), di dalah = ( , ) dengan : = { , , , } = { , , , , , , , , } uk dual sistemnya adalah = ( , ) dengan : = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } Gambar 3. Sistem himpunan dengan dual sistemnya matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya upakan sampel yang embahas tentang dilakukan satu kali s kelompok. sebagai berikut : terurut = ( , ) sampel 2 g disebut blok , , , | | = , dual dari = ( , ) n : = {1,2, , } = { : } = { } | | = | | | | = | | , diperoleh sistem = ( , ) = { , , , } = { , , , , , , , , } = ( , ) n : = { , , , , , , , , } = { , , , , , , , , , , , } 27
  • 49. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Chee [2] juga mendefinisikan sistem himpunan dengan kriteria tertentu, yaitu Definisi 2.2.3 Sistem himpunan ( , ) disebut d-union free jika untuk setiap , . Hwang dan S s [3] memberikan solusi dari permasalahan d-CGT dengan bantuan sistem himpunan d-union free dalam teorema berikut Teorema 2.2.4 Sistem himpunan = ( , ) merupakan solusi dari permasalahan d-CGT jika dan hanya jika = ( , ) d-union free. Setelah menentukan sistem himpunan untuk NAGT, penulis mengubah bentuk himpunan ke dalam suatu vektor (biner). 2.3 Transformasi Himpunan ke Vektor Misalkan [ ] . Definisikan vektor biner dari A adalah vec ( ) = ( , , , ) dengan = 0, 1, Contoh 2.3.1 Misalkan = {2,5,6} ⊆ [6] maka vec( ) = (0,1,0,0,1,1). Jika dalam himpunan kita kenal adanya operasi gabungan dan himpunan bagian, maka di sini penulis memberikan definisi baru untuk operasi vektor biner. Definisi 2.3.2 i. Misalkan , ∈ {0,1}, didefinisikan operasi jumlah boolean sebagai berikut ⊕ = 0 , = = 0 1 , ii. Jika , ⊆ {0,1} maka gabungan dari dan didefinisikan dengan = { ⊕ ,…, ⊕ } iii. Suatu vec( ) dikatakan termuat dalam vec( ), dinotasikan vec( ) ⊆ vec( ) jika ⊆ . iv. Koleksi himpunan {vec ( ), ( ),…, ( )} dikatakan d-separable jika vec( ) ≠ vec ( ). Berdasarkan definisi-definisi tersebut penulis memperoleh lema dan teorema berikut : Lema 2.3.3 Misalkan ⊆ [ ] maka vec = ( ). Bukti. Misalkan = . Tulis = ( , ,…, ) . Misalkan = ( ) . Jika = 1 maka ∈ sehingga ∈ untuk suatu k. Akibatnya komponen ke-i dari adalah 1. Selanjutnya, jika = 0 maka ∉ sehingga ∉ untuk setiap k. Akibatnya komponen ke-i dari adalah 0 untuk setiap k. Dan dapat disimpulkan = . Teorema 2.3.4 Sistem himpunan ([ ], ) d-union free jika dan hanya jika { ( )} d-separable. Bukti. Misalkan sistem himpunan ([ ], ) d-union free maka setiap 2 koleksi yang berisi d himpunan, berlaku ≠ , dengan , ∈ . Dari sini didapat vec( ) ≠ ( ), akibatnya berdasarkan lema diperoleh ( ) ≠ ( ) . Sehingga diperoleh { ( ) } d- separable. Sedangkan untuk arah sebaliknya, misalkan { ( )} d-separable maka ( ) ≠ ( ) . Dan berdasarkan lema diperoleh vec ( ) ≠ ( ) akibatnya ≠ , untuk , ∈ . Jadi diperoleh sistem himpunan ([ ], ) d-union free. 28
  • 50. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya 3 Pembahasan 3.1 Matriks Representasi NAGT Algoritma NAGT dapat direpresentasikan oleh matriks biner = , dengan kolom matriks menunjukkan item (sampel) dan baris matriks menunjukkan tes (blok). Dengan kriteria matriksnya = jika tes ke-i memuat item j dan jika tidak = . Sedangkan hasil tes untuk masing- masing blok direpresentasikan oleh vektor kolom, disebut vektor outcome [1]. Contoh 3.1.1 Matriks representasi dari contoh NAGT (Gambar 2) adalah Berdasarkan representasi tersebut, permasalahan group testing untuk selanjutnya dapat dipandang sebagai mencari matriks representasi yang memenuhi solusi persamaan = dengan merupakan vektor outcome, sedangkan sampel-sampel yang dites. Misalkan matriks biner berukuran × , menyatakan kolom ke-j dari matriks . Berdasarkan teorema 2.2.4 dan teorema 2.3.4 maka di sini penulis mencari matriks representasi yang kolom-kolomnya bersifat d- separable. Berikut diberikan 2 matriks yang memenuhi solusi tersebut. Definisi 3.1.2 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-separable jika kolom-kolomnya bersifat d-separable, dengan kata lain untuk setiap , ⊆ [ ] dengan | | = = | | sehingga berlaku ∈ ≠ ∈ . Definisi 3.1.3 Matriks biner berukuran × disebut matriks d-disjunct jika setiap kolomnya tidak termuat dalam gabungan d kolom-kolom lainnya, dengan kata lain untuk setiap ⊆ [ ] dengan | | = dan untuk setiap ∉ berlaku ∈ . Sifat 3.1.4 Jika matriks d-disjunct maka matriks d-separable. Faktanya, ketika matriks representasi merupakan matriks d-disjunct maka kolom sisa setelah mengeliminasi kolom-kolom yang termuat dalam tes yang hasilnya negatif merupakn kolom (sampel) yang positif. 29
  • 51. Gam 3.2 Konstruksi Mat Sebelum memba beberapa paramete Singleton [4] Definisi 3.2.1 Misa i. Bobot kolom kolom ke-j. D dengan j mel konstan jika bobot ii. Perkalian titi menyatakan dikatakan jug Kautz dan Singl matriks d-disjunct Lema 3.2.2 Matriks bi Yaniv Erlich dkk. sampel-sampel yan dilihat pada gamba representasi NAG kemudian tes-tes pertama terdiri dar pengelompokan sam Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I mbar 4. Identifikasi sampel positif dengan matriks d-dis atriks d-disjunct bahas konstruksi matriks d-disjunct, penulis m eter dalam matriks biner yang dicetuskan ol Misalkan matriks biner. om ke-j, dinotasikan menyatakan banyakny j. Didefinisikan pula : = min dan = max eliputi semua kolom dari . Matriks disebut ka bobot setiap kolom matriks sama. titik dari kolom ke-i (C) dan kolom ke-j (C) n banyaknya entri 1 pada baris yang sama di n juga dan beririsan sebanyak kali. Dide = max , ngleton juga memberikan hasil utama sebagai da unct dalam lema berikut : riks biner dengan = merupakan matriks h dkk. [5] mempunyai ide mengenai cara yang akan dites ke dalam grup-grup, sebagai mbar 5. Dari gambar tersebut menunjukkan GT dari 20 sampel dikelompokkan ke dala s tersebut dikelompokkan lagi menjadi 2 gr dari 5 tes dan grup kedua terdiri dari 7 tes) n sampelnya yaitu item j termuat dalam tes ke-i ji ≡ mod 5 (grup pertama) ≡ mod 7 (grup kedua) matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya -disjunct s memperkenalkan n oleh Kautz dan knya entri 1 pada ebut matriks bobot ), dinotasikan λ di dan . Dapat idefinisikan pula: ai dasar konstruksi riks d-disjunct. a pengelompokan gai ilustrasi dapat ukkan bahwa matriks dalam 12 tes dan 2 grup besar (grup s) dengan kriteria -i jika : 30
  • 52. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII - 2014 11 - 14 Juni 2014, ITS, Surabaya Gambar 5. Contoh pengelompokan 20 sampel ke dalam 12 tes dengan 2 grup besar Secara umum, jika tes-tes dikelompokkan ke dalam grup-grup besar , ,…, dan kriteria pengelompokan sampelnya untuk masing-masing grup besar adalah item j termuat dalam tes i jika : ≡ mod dengan = 1,2,…, dan = 1,2,…, Dengan mengacu pada lema 3.2.2, Yaniv mecoba mencari syarat tambahan agar maksimum irisan dari matriks representasinya adalah 1, yaitu dengan menambahkan 2 syarat berikut : 1. , ,…, ≥ √ , dengan n merupakan banyaknya sampel yang dites. 2. , ,…, saling prima. Dalam papernya, Yaniv belum memberikan keterangan secara eksplisit sehingga disini penulis mencoba memformalkan konstruksi matriks representasi tersebut dalam teorema berikut : Teorema 3.2.3 Misalkan = [ , ,…, ] matriks biner berukuran × dengan matriks blok berukuran × , dimana ≥ √ dan saling prima. Sedangkan konstruksi matriks untuk masing - masing blok ditentukan oleh ( , ) = 1 , ≡ mod 0 , dimana = 1,2,…, maka dari matriks adalah 1 dan merupakan matriks ( − 1)-disjunct. Bukti. Andaikan > 1 , maka terdapat 2 kolom ke r,s dan blok a,b sehingga ( , ) = ( , ) = 1 dan ( , ) = ( , ) = 1 . Sehingga diperoleh ≡ mod dan ≡ mod yang mengakibatkan | − dan | − diperoleh | − . Padahal ≥ dan , saling prima sehingga diperoleh − = 0 yaitu = yang menunjukkan bahwa kolom ke r dan kolom ke s merupakan kolom yang sama. Jadi haruslah = 1 , sehingga berdasarkan lema 3.2.2 matriks merupakan matriks ( − 1)-disjunct. Contoh 3.2.4 31
  • 53. Berdasarkan bukt Yaniv dengan : 1. ≥ , de 2. , ,…, dan berdasarkan le matriks teorema 3.2.3 mempertahankan = 3.3 Algoritma untu Sebelum melakuka representasi denga cara mempertahanka menentukan pemba dapat dilihat dal kemungkinan ruan seperti gambar 8. Secara matema ditambah bobot sam kolom matriks. Mi yang tidak dapat di ruang-ruang yang b = { Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 6. Matriks 2-disjunct bukti teorema 3.2.3, penulis mengganti 2 syarat , dengan n merupakan sampel yang akan dites. , saling prima. lema 3.2.2 penulis memiliki ide untuk mempe 3.2.3 dengan menambahkan bobot ke setiap kolom = 1. ntuk Menentukan Penambahan Bobot lakukan penambahan bobot ke dalam setiap gan konstruksi pada teorema 3.2.3, harus di hankan . Sehingga langkah awal yang di mbatasan sampel-sampel yang akan dites. S dalam gambar 7. Dengan pembatasan terse uang untuk calon penambahan bobot dalam matr . matis, untuk mencari banyaknya ruang yan sama halnya dengan mencari banyaknya irisan Misalkan merupakan ruang pada baris ke-k t diisi dengan entri 1, dan misalkan merupa g beririsan dengan kolom ke-j, maka dari gamba { , , , ( ), ( )} dan | | = 5 = ∑ Gambar 7. Eliminasi ruang untuk pembatasan matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya rat yang diberikan perbaiki konstruksi omnya tetapi masih ap kolom matriks diperhatikan juga dilakukan adalah s. Sebagai ilustrasi ersebut diperoleh atriks representasi yang tidak dapat san diantara kolom- -k dan kolom ke-l rupakan himpunan mbar 7 diperoleh : 32
  • 54. Ga Misalkan himpuna (tanda x) dari matri akibatnya banyakn penambahan entri 1) Setelah menent selanjutnya adalah menentukan ruang dilakukan dengan t 1). Sebagai ilustra maka , , , Gam Misalkan m ketika entri ada sehingga untuk me halnya dengan me dengan = 1,2,…, Secara umum, unt ( − 1) − disjunc mencari buah hi 1,2,…, . Tetapi da ditambah bobot ke Sehingga dari algor kesimpulan sebaga Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I Gambar 8. Kemungkinan ruang yang dapat ditambah bo punan semua ruang-ruang yang tidak dapat atriks representasi dinotasikan dengan , maka : | | = aknya ruang sisa yang dapat ditambah bobot ri 1) adalah | | = − − | | = ( − ) − | | nentukan ruang sisa yang dapat ditambah ah menambah bobot pada ruang sisa (misalkan uang sisa yang terhapus ketika entri ada n tujuan mempertahankan irisan tiap kolomnya ustrasi dapat dilihat dalam gambar 9, ketika ent , , ( ), _ ), dan ( ) tidak dapat diisi de ambar 9. Penambahan bobot dan ruang sisa yang terhapu merupakan himpunan dari ruang-ruang sisa dalah 1, maka dari gambar 9 diperoleh : = { , , , , ( ), _ ), ( )} menambahkan bobot pada tiap kolom matriks mencari 12 buah himpunan yang semuany …,12. , untuk menambahkan bobot ke dalam setiap unct dengan konstruksi pada teorema 3.2.3 e h himpunan yang semuanya saling lep pi dalam hal ini, tidak semua matriks ( − 1) − ke dalam setiap kolomnya sehingga irisan m lgoritma penentuan bobot dalam setiap kolom gai berikut : matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya bobot pat ditambah bobot ka : bobot (ruang dengan h bobot, langkah kan ) kemudian adalah 1 (hal ini ya tidak lebih dari entri adalah 1 si dengan entri 1. apus sisa yang terhapus riks tersebut sama uanya saling lepas, iap kolom matriks ekivalen dengan lepas, dengan = ) − disjunct dapat n maksimumnya 1. kolomnya, diperoleh 33
  • 55. 1. Matriks ( − ∑ min | 2. Matriks ( ∑ max | Contoh 3.3.1 1. Misalkan dibe dari representa • | | = ∑ • | | = ( − • ∑ min sehingga ∑ dapat ditambah bobot 2. Misalkan dibe dari representa • | | = ∑ • | | = ( − • ∑ min sehingga ∑ ditambah bobot Prosiding Konferensi Nasional Matema 11 - 14 Juni 2014, I − 1) − disjunct tidak dapat ditambah | > | | − 1) − disjunct dapat ditambah | | < | | n diberikan matriks representasi sebagai berikut : ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh ha ∑ = 108 − ) − | | = (11 − 2)20 − 108 = 72 in | | = 151 min | | > | |, akibatnya matriks represe bah bobot lagi. n diberikan matriks representasi sebagai berikut : ntasi dan setelah dianalisa lebih lanjut diperoleh ha ∑ = 64 − ) − | | = (16 − 2)20 − 64 = 216 in | | = 191 max | | < | |, akibatnya matriks represe h bobot lagi, dan salah satu hasil penambahan bobot matika XVII - 2014 2014, ITS, Surabaya h bobot ketika h bobot ketika : oleh hasil presentasinya tidak : oleh hasil presentasinya dapat n bobotnya adalah 34