τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light

Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να
προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρε-
χεται στην εκφωνηση ) .
Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση .
Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν
Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν - Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ρ ι γ ω ν ο υ
2787 3695 3696 3726 4741 4794 4806 5904 13527
Κ υ κ λ ο ς - Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς
3721 3728 3729 3903 4307 4583
Α θ ρ ο ι σ μ α Γ ω ν ι ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ
2788 2789 3825 4588 4622 5900
Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο
3701 3702 3723 3812 3954 4555 4616 4651 4735 4781 4821
Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο
2799 3700 3704 3722 3926 4571 4603 4643 4814 5908
Ρ ο μ β ο ς
3715 3813 4652 4798
Τ ε τ ρ α γ ω ν ο
3705 3727 3803 3817 3906 4567 4614 6875
Θ ε ω ρ η μ α τ α Μ ε σ ω ν Π λ ε υ ρ ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ
2809 3694 3697 3699 3717 3720 3762 3784 3789 3904 3915
3932 3938 3945 3948 4579 4593 4640 4649 4783 4810 7433
Θ ε ω ρ η μ α τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ
2792 2797 3691 3711 3713 3735 3741 3747 3751 3754 3777
3806 3808 3811 3815 3908 3961 3994 4559 4562 4565 4611
4635 4762 4786 4791 4795 4797 4799 4801 4802 4803 4808
4816 4818 6876
B α ρ υ κ ε ν τ ρ ο - Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο
3725 3732 3745 3757 3796 4606 4619 4646 4731 4812 5898
Τ ρ α π ε ζ ι ο
2794 2802 2808 3693 3698 3703 3706 3709 3718 3724 3734
3737 3739 3765 3775 3798 3810 3820 3822 3824 3911 4569
4599 4626 4630 4645 4648 4650 4653 4655 4737 4765 4767
4769 4771 4774 4778 4788 4790 4792 4796 4832 5886 5902
5911
Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς Γ ω ν ι ε ς
2806 2810 3714 3759 3767 3781 4756 4804 4822 5910 6879
Ε γ γ ρ α ψ ι μ α Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α
2796 2804 3731 3771 3787 3793 3800 3919 3966 4753 4757
4793 5895 6878
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

Α λ γ ε β ρ α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://drmaths58demo.blogspot.gr
Με πολυ μερακι
Για τους καλους φιλους μου
Τακης Τσακαλακος
Κερκυρα 2014 H δικη μου αποψη για την τραπεζα θεματων
Με πολυ μερακι
Για τους καλους φιλους μου
Τακης Τσακαλακος maths58corfu@gmail.com
Κερκυρα 2014 http://drmaths58demo.blogspot.gr

Α λ γ ε β ρ α
2 ο Θ ε μ α
Γ ε ω μ ε τ ρ ι α : 4 ο Θ ε μ α
1 . Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν
Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς

Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν - Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
Θ ε μ α 1 ο 2787
Στο τριγωνο ΑΒΓ του παρακατω σχηματος η καθετη Α
απο το μεσο Μ της ΒΓ τεμνει την προεκταση της δι-
χοτομου ΑΔ στο σημειο Ε . Αν Θ, Ζ ειναι οι προβολες
του Ε στις ΑΒ, ΑΓ , να αποδειξετε οτι:
α) Το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 5) Ζ
β) Τα τριγωνα ΘΒΕ, ΖΓΕ ειναι ισα. Β Δ Μ Γ
(Μοναδες 8)
γ)   0
ΑΓΕ + ΑΒΕ = 180 . Θ
(Μοναδες 12)
Ε
5
● Στο ισοσκελες τριγωνο, η διχοτομος στη βαση, ειναι διαμεσος και υψος .
● Τα σημεια της μεσοκαθετου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος
Α, Β .
● Τα σημεια της διχοτομου γωνιας, ισαπεχουν απ’τις πλευρες της γωνιας .
● Δυο ορθογωνια τριγωνα ειναι ισα αν εχουν :
● δυο οποιεσδηποτε πλευρες τους ισες μια προς μια .
● Μια πλευρα ιση και μια οξεια γωνια ιση .
... χ ρ η σ ι μ ο

6
α)
Το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες με βα-
ση την ΒΓ, αφου
η ΕΜ ειναι διαμεσος και υψος στην ΒΓ.
Ακομη ειναι, ΕΒ = ΕΓ (1)
β)
Τα σημεια της διχοτομου γωνιας, ισα-
πεχουν απ’τις πλευρες της γωνιας .
 
Τα τριγωνα ΘΒΕ και ΕΖΓ ειναι ισα
γιατι :
ειναι ορθογωνια
ΕΒ = ΕΓ (λογω της (1))
ΕΘ = ΕΖ
(Ε σημειο της διχοτομου ΑΕ)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΘΒΕ = ΑΓΕ (2)




γ)
Ειναι
   
(2)
0 0
ΘΒΕ + ΑΒΕ = 180 ΑΓΕ + ΑΒΕ = 180
Α π α ν τ η σ η 2787
Α
Ζ
Β Γ
Θ
Ε

Θ ε μ α 2 ο 3695
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη του ΒΕ και ΓΔ που αντιστοιχουν στις πλευρες ΑΓ και ΑΒ αντι-
στοιχα. Δινεται η ακολουθη προταση:
Π: Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με AB = ΑΓ , τοτε τα υψη ΒΕ και ΓΔ που αντιστοιχουν
στις ισες πλευρες του ειναι ισα.
α) Να εξετασετε αν ισχυει η προταση Π αιτιολογωντας την απαντηση σας.
(Μοναδες 10)
β) Να διατυπωσετε την αντιστροφη προταση της Π και να αποδειξετε οτι ισχυει.
γ) Να διατυπωσετε την προταση Π και την αντιστροφη της ως ενιαια προταση.
7

P(A B)
8
α)
 
Τα τριγωνα ΒΔΓ και ΒΕΓ ειναι ισα γιατι :
ΜΒ = κοινη
Β = Γ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα
και ΒΕ = ΓΔ .



β)
Αν τα υψη ΒΕ και ΓΔ τριγωνου ΑΒΓ με βα-
ση ΒΓ , ειναι ισα μεταξυ τους τοτε το τριγωνο
ΑΒΓ ειναι ισοσκελες .
 
ΒΓ = κοινη
ΜΕ = ΓΔ (Μ υποθεση)
και Β = Γ, που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ι



σοσκελες .
γ)
Ενα τριγωνο ειναι ισοσκελες αν και μονο αν τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του ειναι
ισα.
Α
Δ Ε
Β Γ

Θ ε μ α 3 ο 3696
Δινεται οξεια γωνια xOy και δυο ομοκεντροι κυκλοι
1 2
(Ο, ρ ) και (Ο, ρ ) με 1 2
ρ < ρ , που τεμνουν την
Οx στα σημεια Κ, Α και την Οy στα Λ, Β αντιστοιχα.
Να αποδειξετε οτι:
α) AΛ = BK Ο
(Μοναδες 8)
β) Το τριγωνο ΑΡΒ ειναι ισοσκελες, οπου Ρ το Κ Λ
σημειο τομης των ΑΛ, ΒΚ. Α Ρ Β
(Μοναδες 8)
γ) Η ΟΡ διχοτομει τη γωνια xOy . x y
(Μοναδες 9)
9
● Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες
ισες, τοτε ειναι ισα . ( Π – Γ – Π )
● Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια,
τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. ( Γ – Π – Γ )
● Αν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα.
( Π – Π – Π )
● Οι γωνιες της βασης ισοσκελους τριγωνου, ειναι ισες .

10
α)

2
1
Τα τριγωνα ΑΟΛ και ΚΟΒ ειναι ισα γιατι :
Ο =κοινη
ΟΑ = ΟΒ = ρ (Π - Γ - Π)
ΟΛ = ΟΚ = ρ
και ΑΛ = ΚΒ (1)








β)
 
2
Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΑΛΒ ειναι ισα γιατι :
ΑΒ =κοινη
ΑΚ = ΚΒ (λογω της (1))
ΟΑΒ = ΟΒΑ
(ΟΑΒ ισοσκελες τριγωνο, ΟΑ = ΟΒ = ρ )
(Π - Γ - Π)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και










 ΡΑΒ = ΡΒΑ που σημαινει οτι το τριγωνο
ΑΡΒ ειναι ισοσκελες .
γ)
 
2
1 2
Τα τριγωνα ΟΡΑ και ΟΡΒ ειναι ισα γιατι :
ΑΡ =κοινη
ΟΑ = ΟΒ = ρ (Π - Γ - Π)
ΡΑ = ΡΒ (ΑΡΒ ισοσκελες τριγωνο)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ο = Ο που σημαινει οτι η









ΟΡ διχοτομει
τη γωνια xΟy .
O
A B
x y
K Λ
Ρ
1 2

Θ ε μ α 4 ο 3726
Θεωρουμε δυο σημεια Α και Β τα οποια βρισκονται στο ιδιο μερος ως προς μια ευθεια ε, τε-
τοια ωστε η ευθεια ΑΒ δεν ειναι καθετη στην ε. Εστω A το συμμετρικο του Α ως προς την
ευθεια ε.
α) Αν η BA’ τεμνει την ευθεια ε στο σημειο Ο, να αποδειξετε οτι:
i) Η ευθεια ε διχοτομει τη γωνια ΑOΑ' .
(Μοναδες 6)
ii) Οι ημιευθειες ΟΑ και ΟΒ σχηματιζουν ισες οξειες γωνιες με την ευθεια ε.
(Μοναδες 6)
β) Αν Κ ειναι ενα αλλο σημειο πανω στην ευθεια ε, να αποδειξετε οτι:
i) KA = KA’
(Μοναδες 6)
ii) KA + KB > OA + OB
(Μοναδες 7)
11
Α, Β .
● Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο
τη διαφορα τους.

12
Αφου το Α’ ειναι συμμετρικο του Α ως
προς την ευθεια ε, προκυπτει :
● ΑΑ’ ⊥ ε
● ΑΔ = ΔΑ’
● ε μεσοκαθετη του τμηματος ΑΑ’
α)
i)
Το τριγωνο ΑΟΑ’ ειναι ισοσκελες, αφου
ΟΔ υψος και διαμεσος, οποτε η ΟΔ ει-
ναι και διχοτομος της γωνιας ΑOΑ' .
ii)
Eιναι
  
 
 
1 2
3 2
1 3
Ο = Ο (ε διχοτομος της xOy)
Ο = Ο (κατακορυφη)
Ο = Ο



β)
i)
Το Κ ανηκει στην ευθεια ε, που ειναι μεσοκαθετος του τμηματος AA’, ισαπεχει απ’τα ακρα του
τμηματος ΑΑ’.
Δηλαδη ειναι :
ΚΑ = ΚΑ’
ii)
Απ’τη τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΒΚΑ’ ειναι
(βi) (ΟΑ = ΟΑ')
ΚΒ + ΚΑ' > Α'Β ΚΒ + ΚΑ > Α'Ο + ΟΒ ΚΒ + ΚΑ > ΑΟ + ΟΒ 
Β
ε Κ Ο Ζ
Α’
Δ 2
1 3
Α

Θ ε μ α 5 ο 4741
Δινεται τριγωνο ABΓ με AB < ΑΓ. Στην προεκταση της AB προς το Α
B παιρνουμε σημειο E ωστε AE = ΑΓ . Στην πλευρα ΑΓ θεωρουμε
σημειο Δ ωστε AΔ = AB . Αν τα τμηματα ΔE και BΓ τεμνονται στο
Κ και προεκταση της AK τεμνει την EΓ στο M . Β Δ
Να αποδειχθει οτι: Κ
α) ΒΓ = ΔΕ
(Μοναδες 6)
β) ΒΓ = ΔΚ Ε Μ Γ
(Μοναδες 7)
γ) Η AK ειναι διχοτομος της Α .
(Μοναδες 6)
δ) Η AM ειναι μεσοκαθετος της EΓ .
(Μοναδες 6)
13
Α, Β .
( Π – Π – Π )

14
α)

Τα τριγωνα ΑΒΓ καιΑΕΔ ειναι ισα
γιατι :
Α =κοινη
ΑΓ = ΑΕ (υποθεση) (Π - Γ - Π)
ΑΒ = ΑΔ (υποθεση)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους
ισα και ΒΓ = ΔΕ (1)








β)
Ειναι
ΒΕ = ΔΓ (2), σαν διαφορες ισων
(ΑΕ = ΑΓ και ΑΒ = ΑΔ)
 
1 1
Τα τριγωνα ΕΒΔ καιΕΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΒΔ =κοινη
ΒΓ = ΔΕ (λογω (1)) (Π - Π - Π)
ΒΕ = ΔΓ (λογω (2))
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Β = Δ που σημαινει οτι το τρ








ιγωνο
ΒΚΔ ειναι ισοσκελες και ΚΒ = ΚΔ .
γ)
Ειναι
ΚΕ = ΚΓ (3), σαν διαφορες ισων (ΔΕ = ΒΓ και ΚΔ = ΚΒ)
 
1 2
Τα τριγωνα ΑΚΕ και ΑΚΓ ειναι ισα γιατι :
ΑΚ =κοινη
ΑΕ = ΑΓ (υποθεση) (Π - Π - Π)
ΚΕ = ΚΓ (λογω (3))
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Α = Α που σημαινει οτι η ΑΚ









ειναι
η διχοτομος της γωνιας Α .
γ)
Το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ισοσκελες (ΑΕ = ΑΓ) με διχοτομο ΑΚ (ΑΜ), οποτε η ΑΜ ειναι και υψος και
φιαμεσος, δηλαδη ειναι μεσοκαθετη της ΕΓ .
Α
Β Δ
Ε Μ Γ
2
1 1
1
Κ

Θ ε μ α 6 ο 4794
Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ (  0
Α = 90 )με B
ΒΔ διχοτομο και ΑΚ υψος, που τεμνονται στο Ε.
Η καθετη απο το Ε στην ΑΒ τεμνει τις ΑΒ και ΒΓ
στα Η και Ζ αντιστοιχα.
α) Να αποδειξετε οτι:
i) τα τριγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ ειναι ισα.
(Μοναδες 6)
ii) το τριγωνο ΒΚΗ ειναι ισοσκελες K
τριγωνο.
(Μοναδες 7) H E Z
iii) Οι ΑΖ και ΒΔ ειναι καθετες.
(Μοναδες 6)
β) Αν επιπλεον το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ A Δ Γ
ειναι και ισοσκελες, να αποδειξετε οτι η
ΓΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Γ.
(Μοναδες 7)
15

16
α)

Τα τριγωνα ΑΒΓ καιΑΕΔ ειναι ισα
γιατι :
Α =κοινη
ΑΓ = ΑΕ (υποθεση) (Π - Γ - Π)
ΑΒ = ΑΔ (υποθεση)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους
ισα και ΒΓ = ΔΕ (1)








β)
Ειναι
ΒΕ = ΔΓ (2), σαν διαφορες ισων
(ΑΕ = ΑΓ και ΑΒ = ΑΔ)
 
1 1
Τα τριγωνα ΕΒΔ καιΕΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΒΔ =κοινη
ΒΓ = ΔΕ (λογω (1)) (Π - Π - Π)
ΒΕ = ΔΓ (λογω (2))
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Β = Δ που σημαινει οτι το τρ








ιγωνο
ΒΚΔ ειναι ισοσκελες και ΚΒ = ΚΔ .
γ)
Ειναι
ΚΕ = ΚΓ (3), σαν διαφορες ισων (ΔΕ = ΒΓ και ΚΔ = ΚΒ)
 
1 2
Τα τριγωνα ΑΚΕ και ΑΚΓ ειναι ισα γιατι :
ΑΚ =κοινη
ΑΕ = ΑΓ (υποθεση) (Π - Π - Π)
ΚΕ = ΚΓ (λογω (3))
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Α = Α που σημαινει οτι η ΑΚ









ειναι
η διχοτομος της γωνιας Α .
δ)
Το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ισοσκελες (ΑΕ = ΑΓ) με διχοτομο ΑΚ (ΑΜ), οποτε η ΑΜ ειναι και υψος και
διαμεσος, δηλαδη ειναι μεσοκαθετη της ΕΓ .
Β
Κ
Η Ζ
Α Δ Γ
1
2Ε
1
2

Θ ε μ α 7 ο 4806
Θεωρουμε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ, και την ευθεια ε της εξωτερικης διχοτομου της γωνιας Α
. Η καθετη στη πλευρα ΑΒ στο Β τεμνει την ε στο Κ και την ευθεια ΑΓ στο Ζ. Η καθετη στη
πλευρα ΑΓ στο Γ τεμνει την ε στο Λ και την ευθεια ΑΒ στο Ε.
i) ΑΖ = ΑΕ
(Μοναδες 8)
ii) ΑΚ = ΑΛ
(Μοναδες 9)
β) Ενας μαθητης κοιτωντας το σχημα, διατυπωσε την αποψη οτι η ΑΘ ειναι διχο-
τομος της γωνιας Α του τριγωνου ΑΒΓ, οπου Θ το σημειο τομης των ΚΖ,ΕΛ.
Συμφωνειτε με την παραπανω σκεψη του μαθητη η οχι;
Δικαιολογηστε πληρως την απαντηση σας.
(Μοναδες 8)
Κ Α Λ ε
Β Γ
Θ
Ε Ζ
15
( Π – Π – Π )

18
α)
i)

Τα τριγωνα ΑΒΖ
και ΑΓΕ ειναι ισα
γιατι :
Α = κοινη
ΑΒ = ΑΓ
(ΑΒΓ ισοσκελες)
οποτε και τα υπο -
λοιπα στοιχεια
τους ισα και ΑΖ = ΑΕ .




ii)
 

εξ
1 2
Τα τριγωνα ΑΒΚ και ΑΓΛ ειναι ισα γιατι :
Α
Α = Α = (ε εξωτερικη διχοτομος της Α)
2
ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα κα



ι ΑΚ = ΑΛ .
β)
 
Τα τριγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ ειναι ισα γιατι :
ΑΘ = κοινη
ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΑΘ = ΓΑΘ, που σημαινει οτι η ΑΘ




ειναι
διχοτομος της γωνιας Α .
Κ Α Λ ε
Β Γ
Θ
Ε Ζ
1 2

Θ ε μ α 8 ο 5904
Στο διπλανο σχημα φαινονται οι θεσεις στο χαρτη Α
πεντε χωριων A, B, Γ, Δ και E και οι δρομοι που τα
συνδεουν. Το χωριο E ισαπεχει απο τα χωρια B,Γ
και επισης απο τα χωρια A και Δ .
i) η αποσταση των χωριων A και B ειναι ιση με Β Γ
την αποσταση των χωριων Γ και Δ . Ε 
(Μοναδες 5)
ii) αν οι δρομοι AB και ΓΔ εχουν δυνατοτητα
να προεκταθουν, να αποδειξετε οτι αποκλειε-
ται να συναντηθουν.
(Μοναδες 5) Δ
iii) τα χωρια B και Γ ισαπεχουν απο τον δρομο AΔ .
(Μοναδες 8)
β) Να προσδιορισετε γεωμετρικα το σημειο του δρομου AΓ που ισαπεχει απο τα
χωρια A και Δ .
(Μοναδες 7)
17
Α, Β .
● Σε ενα παραλληλογραμμο
● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες.
● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.
● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες.
● οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.
( Π – Π – Π )

20
α)
i)
 
1 2
Τα τριγωνα ΑΕΒ και ΓΕΔ ειναι ισα γιατι :
ΕΑ = ΕΔ (υποθεση)
ΕΒ = ΕΓ (υποθεση) (Π - Γ - Π)
Ε = Ε (κατακορυφη)
και ΑΒ = ΓΔ .








Α λ λ ι ω ς
Ειναι
ΕΑ = ΕΔ και ΕΒ = ΕΓ
Οποτε το ΑΒΔΓ ειναι παραλληλογραμμο και
ΑΒ = ΓΔ .
ii)
 
Απ'τη προηγουμενη ισοτητα τριγωνων
Α = Δ (εντος εναλλαξ των ΑΒ, ΓΔ, που
τεμνονται απ'την ΑΔ)
Αρα ΑΒ, ΓΔ ειναι παραλληλες .
Α λ λ ι ω ς
Το ΑΒΔΓ ειναι παραλληλογραμμο και ΑΒ || ΓΔ .
iii)
Απ'τη προηγουμενη ισοτητα τριγωνων, και τα υψη στις ισες πλευρες ειναι ισα .
Ετσι, ΒΚ = ΓΛ .
β)
Το ζητουμενο σημειο ισαπεχει απο τα A και Δ, οποτε ανηκει στη μεσοκαθετο του AΔ .
Δηλαδη ειναι το σημειο τομης Μ της μεσοκαθετου του AΔ με την AΓ .
Α
K
Β Γ
Λ
Δ
1
2Ε
Μ

Θ ε μ α 9 ο 13527
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και μβ, μγ οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες β και γ αντιστοιχα.
Δινεται η ακολουθη προταση:
Π: Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με β = γ , οι διαμεσοι μβ, μγ ειναι ισες .
α) Να εξετασετε αν ισχυει η προταση Π αιτιολογωντας την απαντηση σας.
β) Να διατυπωσετε την αντιστροφη προταση της Π και να εξετασετε αν ισχυει
αιτιολογωντας την απαντηση σας .
γ) Στη περιπτωση που οι δυο προτασεις, η Π και η αντιστροφη της ισχυουν, να τις
διατυπωσετε ως ενιαια προταση.
21
( Π – Π – Π )
● Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακατω.
● Οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες.
● Οι διαγωνιοι του ειναι ισες.
● Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο
προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της.

P(A B)
22
α)
 
ΒΓ =κοινη
Β = Γ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες)
ΒΔ = ΓΕ (μισα ισων πλευρων)
(Π - Γ - Π)
και ΒΕ = ΓΔ








β)
Αν οι διαμεσοι μβ, μγ τριγωνου ΑΒΓ ειναι ισες,
τοτε το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες .
● Δ, Ε μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ του τριγω-
νου ΑΒΓ, αντιστοιχα, οποτε : ΔΕ ||ΒΓ
Δηλαδη το τετραπλευρο ΔΕΓΒ ειναι τραπε-
ζιο .
● ΒΕ = ΓΔ, οποτε ΔΕΓΒ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (οι διαγωνιοι του ισες)
Ετσι
 Β = Γ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με β = γ .
γ)
Ενα τριγωνο ειναι ισοσκελες αν και μονο αν οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του
ειναι ισες.
Α π α ν τ η σ η 13527
Α
Δ Ε
Β Γ

2 ο Θ ε μ α
2 . Κ υ κ λ ο ς
Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς

Κ υ κ λ ο ς – Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς
25
Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)φερουμε τις διαμεσους Α
ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεια ε παραλληλη στη βαση ΒΓ τεμνει τις πλευ-
ρες ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντιστοιχα και τις διαμεσους ΒΔ και
ΓΕ στα σημεια Θ και Κ αντιστοιχα.
α) ΒΖ = ΓΗ Ε Δ
(Μοναδες 8)
β) τα τριγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ ειναι ισα. Ζ Θ Κ Η ε
(Μοναδες 9)
γ) ΖΚ = ΗΘ
(Μοναδες 8) Β Γ
( Π – Π – Π )
Θ ε μ α 1 0 ο 3721

26
α)
Ειναι
 
 
 
 
1
11 1
Ζ = Β (εντος - εκτος και επιταυτα)
ε || ΒΓ που τεμνονται απ'την ΑΒ
Η = Γ (εντος - εκτος και επιταυτα) Ζ = Η
ε || ΒΓ που τεμνονται απ'την ΑΓ
Β = Γ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)












οποτε, το τριγωνο ΑΖΗ ειναι ισοσκελες και ΑΖ = ΑΗ (1)
Ετσι
ΑΒ = ΑΓ
(1 )
ΒΖ = ΑΒ - ΑΖ = ΑΓ - ΑΗ = ΓΗ
β)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΕΓ ειναι ισα γιατι :
Α =κοινη
ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες) (Π - Γ - Π)
ΑΔ = ΑΕ (μισα ισων πλευρων, ΑΒ = ΑΓ)









 
   
 
 
11
1 1
11
και Β = Γ (2)
ΒΖΗ = ΖΗ Γ (3) παραπληρωματικες ισων γωνιων ( Ζ = Η )
Ετσι
Τα τριγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ ειναι ισα γιατι :
ΒΖ = ΓΗ απ'το (α) ερωτημα
Β = Γ (λογω (2))
ΒΖΗ = ΖΗ Γ (λο




(Γ - Π - Γ)
γω (3))
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΖΘ = ΚΗ (4)





γ)
Ειναι
ΖΘ = ΚΗ
(4 )
ΖΚ = ΖΘ + ΘΚ = ΚΗ + ΘΚ = ΗΘ
Α
Ε Δ
Ζ Η ε
Β Γ
Θ Κ
11
1 1

27
Εστω οτι ο κυκλος (O, ρ) εφαπτεται των πλευρων του Ρ
τριγωνου ΡΓΕ στα σημεια Α,Δ και Β.
i) ΡΓ = ΓΔ + ΑΡ
(Μοναδες 6)
ii) ΡΓ - ΓΔ = ΡΕ - ΔΕ
(Μοναδες 8) Α Β
β) Αν AΓ = BE , να αποδειξετε οτι Ο
i) Το τριγωνο ΡΓΕ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 6)
ii) Τα σημεια Ρ, Ο και Δ ειναι συνευθειακα. Γ Δ Ε
(Μοναδες 5)
● Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.
● Η διακεντρικη ευθεια του σημειου Α (ΟΑ, Ο κεντρο κυκλου) διχοτομει την γωνια που σχη-
ματιζουν τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο Α .
Θ ε μ α 1 1 ο 3728

28
α)
Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο
εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.
● ΡΑ = ΡΒ
● ΓΑ = ΓΔ
● ΕΔ = ΕΒ
i)
ΡΓ = ΡΑ + ΓΑ = ΡΑ + ΓΔ
ii)
ΡΓ – ΓΔ = ΡΑ + ΓΔ – ΓΔ = ΡΑ = ΡΒ = ΡΕ – ΒΕ = ΡΕ - ΔΕ
οποτε, το τριγωνο ΑΖΗ ειναι ισοσκελες και ΑΖ = ΑΗ (1)
β)
i)
ΡΓ = ΡΑ + ΓΑ = ΡΒ + ΒΕ = ΡΕ
που σημαινει οτι το τριγωνο ΡΓΕ ειναι ισοσκελες .
ii)
● ΟΑ = ΟΒ (ακτινες του κυκλου)
● ΟΑ ⊥ ΡΑ και ΟΒ ⊥ ΡΒ (ΡΑ, ΡΒ εφαπτομενα τμηματα απ’το Ρ)
● ΡΔ διαμεσος του ισοσκελους τριγωνου ΓΡΕ (ΔΓ = ΑΓ = ΒΕ = ΔΕ), οποτε ειναι και διχοτομος .
Δηλαδη το σημειο Ο ισαπεχει απ’τις πλευρες της γωνιας Ρ , οποτε ανηκει στη διχοτομο, δηλαδη
στην ΡΔ.
(Α λ λ ι ω ς
Η διακεντρικη ευθεια του σημειου Α (ΟΑ, Ο κεντρο κυκλου) διχοτομει την γωνια που σχηματι-
ζουν τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο Α .
Αρα η διακεντρικη ΡΟ του σημειο Ρ διχοτομει τη γωνια Ρ , δηλαδη η ΡΟ διχοτομος της Ρ )
Οποτε Ρ, Ο, Δ συνευθειακα, αφου ειναι σημεια της ιδιας ευθειας .
Ρ
Α Β
Γ Δ Ε
Ο

29
Θεωρουμε κυκλο κεντρου Ο και εξωτερικο σημειο του Ρ. Απο το Ρ φερνουμε τα εφαπτομενα
τμηματα ΡΑ και ΡΒ. Η διακεντρικη ευθεια ΡΟ τεμνει τον κυκλο στο σημειο Λ. Η εφαπτομενη
του κυκλου στο Λ τεμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεια Γ και Δ αντιστοιχα.
α) το τριγωνο ΡΓΔ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 10)
β) ΓΑ = ΔΒ
(Μοναδες 8)
γ) η περιμετρος του τριγωνου ΡΓΔ ειναι ιση με PA + PB .
(Μοναδες 7)
● Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.
● Η διακεντρικη ευθεια του σημειου Α (ΟΑ, Ο κεντρο κυκλου) διχοτομει την γωνια που σχη-
ματιζουν τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο Α .
Θ ε μ α 1 2 ο 3729

30
α)
ΟΑ, ΟΛ και ΟΒ ειναι ακτινες του κυ-
κλου, οποτε ειναι καθετες στα εφα-
πτομενα τμηματα ΡΑ, ΓΔ και ΡΒ αν-
τιστοιχα .
Ετσι, στο τριγωνο ΡΓΔ, η ΡΛ ειναι
υψος στη ΓΔ και διχοτομος της γω-
νιας Ρ (ΡΟ διακεντρικη του Ρ) .
Αρα το τριγωνο ΡΓΔ ειναι ισοσκελες
με ΡΓ = ΡΔ (1)
β)
Το τριγωνο ΑΡΒ ειναι ισοσκελες
(αφου ΡΑ = ΡΒ (2) εφαπτομενα τμηματα απ’το σημειο Ρ) .
Ετσι
(1 )
(2 )
ΓΑ = ΡΑ - ΡΓ = ΡΒ - ΡΔ = ΔΒ
γ)
Ειναι
● ΓΑ = ΓΛ (3)
● ΔΒ = ΔΛ (4)
Εφαπτομενα τμηματα απ’τα σημεια Γ και Δ αντιστοιχα .
Οποτε η περιμετρος του τριγωνου ΡΓΔ ειναι :
(3)
(4 )
Π =ΡΓ + ΓΔ + ΡΔ = ΡΓ + + + ΡΔ = (ΔΛ ΔΒΡΓ + ) + ( + ΡΔ) = ΡΓΛ ΓΑ Α + ΡΒ
Α Γ Ρ
Λ
Ο
Δ
Β
1
2

Θ ε μ α 1 3 ο 3903
Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ με AB = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ . Ζ Ε
Αν Ε το σημειο τομης των προεκτασεων των ΒΑ και ΓΔ
και Ζ το σημειο τομης των προεκτασεων των ΔΑ και ΓΒ,
να αποδειξετε οτι: Α
α) Η ΓΑ ειναι διχοτομος της γωνιας ΒΓΔ.
(Μοναδες 7)
β) ΓΖ = ΓΕ Β Δ
(Μοναδες 9)
γ) ΕΖ || ΒΔ .
(Μοναδες 9)
Γ
31
( Π – Π – Π )
● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος – εκτος και επι τα αυτα μερη
γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

32
Ειναι
 
 
 
 
1 1
2 2
Το τριγωνο ΒΓΔ ειναι ισοσκελες : Β = Δ
Το τριγωνο ΒΑΔ ειναι ισοσκελες : Β = Δ (1)
ΑΒΓ = ΑΔΓ (αθροισμα ισων γωνιων) οποτε και οι
παραπληρωματικες τους ισες : ΖΒΕ = ΕΔΒ (2)



α)
 
1 2
Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :
ΟΜ = κοινη
ΑΒ = ΑΔ (υποθεση) (Π - Π - Π)
ΒΓ = ΔΓ ( υποθεση)
Γ =Γ που σημαινει οτι η ΓΑ εινα









ι διχοτομος
της γωνιας Γ .
β)
 
 
2 2
ΒΓ = ΔΓ
Τα τριγωνα ΖΒΔ και ΕΒΔ ειναι ισα γιατι :
ΒΔ = κοινη
Β = Δ (λογω της (1)) (Γ - Π - Γ)
ΖΒΕ = ΕΔΒ (λογω της (2))
ΒΖ = ΔΕ









ΒΖ + ΒΓ = ΔΕ + ΔΓ ΓΖ = ΓΕ
γ)
Τα ισοσκελη τριγωνα ΒΓΔ (ΓΒ = ΓΔ) και ΖΓΕ (ΓΖ = ΓΕ) εχουν την γωνια της κορυφης κοινη, ο-
ποτε και οι γωνιες της βασης του ειναι ισες .
Ετσι
 
11Β = Ζ που ειναι εντος - εκτος και επιταυτα των ΒΔ, ΖΕ που τεμνονται απ'τη ΓΖ .
Αρα οι ΒΔ και ΖΕ ειναι παραλληλες .
Ζ Ε
Α
Β Δ
Γ
2
1 1
2
3 3
1 2
1

33
Θεωρουμε κυκλο κεντρου Ο, με διαμετρο ΒΓ. Απο σημειο Α ε
του κυκλου φερουμε την εφαπτομενη (ε) του περιγεγραμμε-
νου κυκλου του τριγωνου ΑΒΓ. Απο τα σημεια Β και Γ φε- Α
ρουμε τα τμηματα ΒΔ και ΓΕ καθετα στην ευθεια (ε).
α) Να αποδειξετε οτι οι ΒΑ και ΓΑ ειναι
διχοτομοι των γωνιων  ΔΒΓ και ΕΓΒ .
(Μοναδες 8) Β Ο Γ
β) Αν ΑΖ ειναι υψος του τριγωνου ΑΒΓ,
να αποδειξετε οτι: ΑΔ = ΑΕ = ΑΖ .
(Μοναδες 8)
γ) Να αποδειξετε οτι: ΒΔ + ΓΕ = ΒΓ .
(Μοναδες 9)
● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε
ειναι παραλληλες και αντιστροφα .
Θ ε μ α 1 4 ο 4307
Ε
Δ

34
α)
Ειναι
● ΒΔ ⊥ ε, ΟΑ ⊥ ε, ΓΕ ⊥ ε, οποτε
ΒΔ || ΟΑ || ΓΕ
Ετσι
 
 
12
22
Β = Α (εντος εναλλαξ) (1)
Γ = Α (εντος εναλλαξ) (2)
● ΟΒ = ΟΑ = ΟΓ, οποτε τα τριγωνα
ΒΟΑ και ΑΟΓ ειναι ισοσκελη .
Ετσι
 
 
11
21
Β = Α (γωνιες βασης) (3)
Γ = Α (γωνιες βασης) (4)
● Απ’τις (1), (3) :
 

1 2Β = Β και
ΒΑ ειναι διχοτομος της ΔΒΓ .
● Απ’τις (2), (4) :
  
1 2Γ = Γ και ΓΑ ειναι διχοτομος της ΕΓΒ .
β)
 
 
1 2
1 2
Τα τριγωνα ΑΔΒ, ΑΖΒ ειναι ισα : ΑΒ = κοινη ΑΔ = ΑΖ
Β = Β
ΑΔ = ΑΖ = ΑΕ
Τα τριγωνα ΑΕΓ, ΑΖΓ ειναι ισα : ΑΓ = κοινη ΑΕ = ΑΖ
Γ = Γ


 

 
 
  
 
 






γ)
Ειναι απ’την ισοτητα των τριγωνων του (β) ερωτηματος :
(+)
ΒΔ = ΒΖ
ΒΔ + ΓΕ = ΒΖ + ΓΖ ΒΔ + ΓΕ = ΒΓ
ΓΕ = ΓΖ

 

ε
Ε
Α
Δ
Β Γ
Ο
Ζ
1
2
21
1
2

Θ ε μ α 1 5 ο 4583
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < ΑΓ , η διχοτομος του ΑΔ και Ε
ευθεια ε παραλληλη απο το Β προς την ΑΓ.
Απο το μεσο Μ της ΒΓ φερνουμε ευθεια παραλληλη στην
ΑΔ η οποια τεμνει την ΑΓ στο σημειο Ζ, την ευθεια ε στο Α
σημειο Λ και την προεκταση της ΒΑ στο σημειο Ε.
Να αποδειξετε οτι: Ζ
α) Τα τριγωνα ΑΕΖ και ΒΛΕ ειναι ισοσκελη .
(Μοναδες 8)
β) ΜΛ = ΓΖ
(Μοναδες 9)
γ) ΑΕ = ΑΓ = ΒΛ Β Δ Μ Γ
(Μοναδες 8)
Λ
35
( Π – Π – Π )
● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες
παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

36
α)
Ειναι
 
 
 
 
1 2
1
2 2
2
Α = Α (ΑΔ διχοτομος)
ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'την ΕΒ
Α = Ε (εντος - εκτος επιταυτα)
ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'την ΑΖ
Α = Ζ (εντος εναλλαξ)
Αρα Ε = Ζ (1)
ΑΓ || ΒΛ που τεμνονται




 
  
 
1
2 1
απ'την ΖΛ
Ζ = Λ (εντος εναλλαξ)
(Ε =) Ζ = Ζ (κατακορυφη)
Αρα Ε = Λ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι τα τριγωνα
ΑΕΖ και ΒΛΕ ειναι ισοσκελη .
β)
 
 
1
1 2
Τα τριγωνα ΒΜΛ και ΖΜΓ ειναι ισα γιατι :
ΒΜ = ΜΓ (Μ μεσο της ΒΓ)
Β = Γ (εντος εναλλαξ)
ΑΓ || ΒΛ που τεμνονται απο ΒΓ
Μ = Μ (κατακορυφη)
(Γ - Π - Γ)
οποτε και τα υπολοιπα σ










τοιχεια τους ισα και ΒΛ = ΓΖ .
γ)
Ειναι
AE = AZ = AΓ – ΖΓ = ΑΓ - ΒΛ
Ε
Α
Ζ
Β Μ Γ
Λ
1
2
21
1
Δ
1
2

2 ο Θ ε μ α
3 . Α θ ρ ο ι σ μ α Γ ω ν ι ω ν
Τ ρ ι γ ω ν ο υ

http://drmaths58demo.blogspot.gr/

Θ ε μ α 1 6 ο 2788
Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ (  0
Α = 90 ), Γ Ζ
 0
Β = 50 , το υψος του ΑΔ και σημειο Ε της Ε
ΔΓ , ωστε ΔΕ = ΒΔ .Το σημειο Ζ ειναι η προβο-
λη του Γ στην ΑΕ .
α) Να αποδειξετε οτι :
i) το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες . Δ
(Μοναδες 6)
ii)  0
Γ ΑΕ = 10
(Μοναδες 10) 500
β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΖΓΕ. Α Β
(Μοναδες 9)
39
● Το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου ειναι 2 ορθες.
● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη .
Α, Β .

40
α)
i)
Στο τριγωνο ΑΒΕ η ΑΔ ειναι διαμεσος (ΔΕ = ΔΒ)
και υψος. Δηλαδη ειναι μεσοκαθετη του ΕΒ, οποτε
ΑΕ = ΑΒ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ι-
σοσκελες με βαση ΕΒ .
ii)
● Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΕ :
 
 



0
0
1
Α = 90
0
2 1
0 0 0
0 0 0
Β = Ε = 50 και
Α = 180 - 2Ε
90 - ΓΑΕ = 180 - 100
ΓΑΕ = 90 - 80 = 10


β)

 
   
0
0
2 1
0 0 0 0
1 12 2
Ειναι
Ζ = 90
Ε = Ε = 50 (κατακορυφη)
Γ = 90 - Ε = 90 - 50 = 40 (Γ , Ε συμπληρωματικες)



Γ
Ζ
Ε
Δ
Α Β
50 0
1
50 0
2
2
1

Θ ε μ α 1 7 ο 2789
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ, στο οποιο η εξωτερικη του γωνια Γ ειναι διπλασια της εσωτερικης του
γωνιας Α . Απο τηνκορυφη Α διερχεται ημιευθεια Ax || ΒΓ στο ημιεπιπεδο (ΑΒ, Γ). Στην
ημιευθεια Ax θεωρουμε σημειο Δ τετοιο ωστε ΑΔ = ΒΓ.
α) Η ΒΔ διερχεται απο το μεσο του τμηματος ΑΓ.
(Μοναδες 7)
β) Η ΓΔ ειναι διχοτομος της 
εξΓ .
(Μοναδες 9)
γ) Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 9)
41
● Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ισουται με το αθροισμα των δυο απεναντι εσωτερικων γωνιων
του .

42
α)
Ειναι
ΑΔ || = ΒΓ, οποτε το τετρα-
πλευρο ΑΔΓΒ ειναι παραλλη-
λογραμμο, που οι διαγωνιες
του διχοτομουνται.
Ετσι, η ΒΔ διερχεται απ’το με-
σο Μ του τμηματος ΑΓ .
β)


 




εξ
1
εξ
1 2
εξ
Ειναι
Γ
Α =
2
Α = Γ (εντος εναλλαξ, ΑΒ || ΓΔ που τεμνονται απ'την ΑΓ)
Ετσι
Γ
Γ = = Γ
2
που σημαινει οτι η ΓΔ ειναι διχοτομος της Γ .


γ)
  
 
    
εξΓ = 2Α
εξ
Ειναι
Γ = Α + Β 2Α = Α + Β Α =Β
που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ .
 
Α Δ x
Ε M
B Γ
1
2

Θ ε μ α 1 8 ο 3825
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ . Φερουμε τη διχοτομο του AK και σε τυχαιο σημειο της Ε
φερουμε ευθεια καθετη στη διχοτομο ΑΚ, η οποια τεμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Ζ και Δ
αντιστοιχα και την προεκταση της ΓΒ στο σημειο Η .
α) 

0 Α
ΖΓΔ = 90 +
2
(Μοναδες 7)
β) ΖΚ = ΚΔ
(Μοναδες 8)
γ) 
 Β - Γ
Ζ ΗΓ =
2
(Μοναδες 10)
Α
Δ
Ε
Ζ
Η Β Κ Γ
43
του .
Α, Β .

44
α)
Ειναι
 

1 2
Α
Α = Α =
2
(ΑΚ διχοτομος )
Η γωνια ΖΔΓ ειναι
εξωτερικη του ορ-
θογωνιου τριγωνου
ΑΕΔ, οποτε
 


0
2
0
ΖΔΓ = 90 + Α
Α
ΖΔΓ = 90 +
2
β)
Στο τριγωνο ΑΖΔ, η ΑΕ ειναι διχοτομος και υψος που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες
και η ΑΕ ειναι και διαμεσος .
Δηλαδη η ΑΚ ειναι μεσοκαθετη του τμηματος ΖΔ και καθε σημειο της ισαπεχει απ’τα ακρα του.
Ετσι, ΖΚ = ΚΔ .
γ)
    
(α)
0 0
Στο τριγωνο ΗΔΓ ειναι:
Α
ΖΗΓ + Γ + ΗΔΓ = 180 ΖΗΓ + Γ + 90 +
2


0 Α
= 90 +
2
 

 

 
Β Γ
+ +
2 2
Β Γ Β - Γ
ΖΗΓ = - ΖΗΓ =
2 2 2


Α
Δ
Ζ
Η Β Κ Γ
Ε
1 2

Θ ε μ α 1 9 ο 4588
Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και στην προεκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρουμε
σημειο Δ τετοιο, ωστε BΔ = ΒΓ , ενω στην προεκταση της ΒΓ (προς το Γ) Ζ
θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε ΓE = BΓ . Φερουμε την καθετη στην ΕΔ
στο σημειο Ε, η οποια τεμνει την προεκταση της ΔΑ στο Ζ .
α) Να υπολογισετε τις γωνιες των τριγωνων ΓΑΕ και ΒΔΑ.
(Μοναδες 8)
β) Να αποδειξετε οτι η ΓΖ ειναι μεσοκαθετος του ΑΕ. Α
(Μοναδες 12)
γ) Να αποδειξετε οτι AB || ΓZ .
(Μοναδες 5)
Σ Β Γ Ε
45
Α, Β .
ειναι παραλληλες και αντιστροφα

46
α)
Το τριγωνο ΑΔΓ
ειναι ισοπλευρο :
   0
Α = Β = Γ = 60
ΑΒ = ΒΔ = ΑΓ = ΓΕ
Το τριγωνο ΑΒΔ
ειναι ισοσκελες:
 0
1
0 0
Β = 120
(180 - 60 )

Απ’το αθροισμα
γωνιων τριγωνου:
  0
1Α = Δ = 30
Το τριγωνο ΑΓΕ
ειναι ισοσκελες:
 0 0 0
ΑΓ Ε = 120 (180 - 60 )
Απ’το αθροισμα γωνιων τριγωνου:
  0
2 1Α = Ε = 30
β)
 
 
0 0 0 0
1
0
1 2
ΓΑΔ = 60 + Α = 60 + 60 = 90
Τα τριγωνα ΖΑΓ και ΖΕΓ ειναι ισα γιατι : ΖΓ = κοινη
ΓΑ = ΓΕ (υποθεση)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και :
Γ = Γ = 60 (1)








 ΖΑ = ΖΕ (2)
ΓΑ = ΓΕ και ΖΑ = ΖΕ , αρα τα Γ, Ζ ανηκουν στη μεσοκαθετη του ΑΕ , δηλαδη η ΖΓ ειναι μεσοκα-
θετη στο τμημα ΑΕ .
γ)
  0
1Γ = Α = 60 που ειναι εντος εναλλαξ των ΑΒ, ΓΖ που τεμνονται απ'την ΑΓ.
Δηλαδη, ΑΒ || ΓΖ .
Ζ
Α
Κ
Δ Β Γ Ε
60 0
60 0
60 0
21
1
1
2
1
1

Θ ε μ α 2 0 ο 4622
Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και το υψος του ΓΕ. Στην προεκταση της ΓΒ Α
προς το Β, θεωρουμε σημειο Δ τετοιο, ωστε
ΒΓ
ΒΔ =
2
. Αν η ευθεια ΔΕ Θ Ζ
τεμνει την ΑΓ στο Ζ και ZΘ || ΒΓ :
α) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΒΔΕ ειναι ισοσκελες Ε
και το τριγωνο ΑΘΖ ειναι ισοπλευρο.
(Μοναδες 10)
β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΘΕΖ.
(Μοναδες 5) Δ Β Γ
γ) Να αποδειξετε οτι AE = 2ΘΖ .
(Μοναδες 5)
δ) Να αποδειξετε οτι 3AB = 4 ΘΒ .
(Μοναδες 5)
47
● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη .
του .
● Το ισοπλευρο τριγωνο εχει ολες τις γωνιες ισες με 60 0
.

48
Το τριγωνο ΑΒΓ ισοπλευρο:
   0
Α = Β = Γ = 60
Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΒΓ:
 0 0 0
2Γ = 90 - 60 = 30
α)

 
0
2
υποθεση
0
Το τριγωνο ΒΕΓ ειναι ορ -
θογωνιο και Γ = 30
Οποτε
ΒΓ
ΒΕ = = ΒΔ
2
Αρα το τριγωνο ΔΒΕ
ειναιισοσκελες .
ΑΘΖ = Β = 60
εντος-εκτος και επιταυτα,
ΘΖ || ΒΓ που τεμνονται απο την ΑΒ .
Αρα το τριγωνο ΑΘΖ ειναι ισοσκελες με γωνια 600
, που σημαινει ισοπλευρο .
β)

 
 
 

2 1
0 0 0
εξωτερικη γωνια Ε = Ε
0 0 0 0
2 1 1
του ισοσκελους ΔΒΕ κατακορυφη
0 0 0 0
ΕΘΖ = 180 - 60 = 120
Β = 60 2Ε = 60 2Ε = 60 Ε = 30
ΘΖΕ = 180 - 120 - 30 = 30
  



γ)
(+)
τρ. ΑΘΖ ισοπλευρο (υποθεση) : ΘΖ = ΑΘ
2ΘΖ = ΑΘ + ΘΕ 2ΘΖ = ΑΕ
τρ. ΕΘΖ ισοσκελες (απ'το (β) ερωτημα) : ΘΖ = ΘΕ

 

δ)
ΑΕ ΑΒ
ΘΕ = ΑΕ =
2 2
ΑΒΘΕ = ΘΖ
ΕΒ =
2
ΑΒ
ΑΕ ΑΒ ΑΒ 2ΑΒ2ΘΒ = ΘΕ + ΕΒ ΘΒ = + ΕΒ ΘΒ = + ΘΒ = +
2 2 2 4 4
3ΑΒ
ΘΒ = 4ΘΒ = 3ΑΒ
4
   

Α
Θ Ζ
Ε
Δ Β Γ
Γ
30 0
60 0
60 0
30 0
1
1
2
2

Θ ε μ α 2 1 ο 5900
Θεωρουμε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ . A
Φερουμε ΓΔ ⊥ ΒΓ με ΓΔ = ΑΒ (Α, Δ εκατερωθεν της ΒΓ) .
Nα αποδειξετε οτι :
α) ΑΜ || ΓΔ
(Μοναδες 6)
β) η ΑΔ ειναι διχοτομος της γωνιας ΜΑΓ .
(Μοναδες 7)
γ) 

0 Β
ΔΑΓ = 45 -
2
Β Μ Γ
(Μοναδες 7)
δ) ΑΔ < 2ΑΒ
(Μοναδες 5)
Δ
49
● Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο
τη διαφορα τους.

50
α)
Το τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες, οποτε η διαμεσος AM ειναι
και μεσοκαθετος της BΓ.
Ετσι
ΑΜ ΒΓ
ΑΜ || ΓΔ
ΓΔ ΒΓ
 

 
.
β)
● Το τριγωνο ΑΓΔ ειναι ισοσκελες (ΑΓ = ΓΔ) αφου
● ΑΒ = ΑΓ (τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες)
● ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)
Ετσι  
1Α = Δ (1)
●  
2Α = Δ (2) εντος εναλλαξ των παραλληλων ΑΜ, ΓΔ
που τεμνονται απ’την ΑΔ .
Απ’τις (1) και (2) προκυπτει:
 
1 2Α = Α που σημαινει οτι η ΑΜ ειναι διχοτομος της ΜΑΓ.
γ)
Το τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες, οποτε η AM ειναι διχοτομος
και






  



0
0(β) στο ορθογωνιο τρ. ΑΒΜ
Α
= 90 -
0
Β
2
0
Α 90 - Β
ΜΑΓ = 2ΔΑΓ = 2ΔΑΓ = ΔΑΓ =
2 2
Β
ΔΑΓ = 4
Α
9
5 -
2
0 - Β
2
   
δ)
Απο την τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΑΓ Δ ειναι:
ΑΓ = ΑΒ
ΓΔ = ΑΒ
ΑΔ < ΑΓ + ΓΔ ΑΔ < ΑΒ + ΑΒ ΑΔ < 2ΑΒ 
Α
Β Μ Γ
Δ
2 1

2 ο Θ ε μ α
4 . Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο

Θ ε μ α 2 2 ο 3701
Εστω οτι Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΓΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ αντιστοιχα.
Αν για το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ επιπλεον ισχυει AB > AΔ , να εξετασετε αν ειναι αληθεις
οι ακολουθοι ισχυρισμοι:
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1: Το τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 2:
 ΑΕΔ = ΒΖΓ .
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 3: Οι ΔΕ και ΒΖ ειναι διχοτομοι των απεναντι γωνιων Δ και Β.
α) Στη περιπτωση που θεωρειται οτι καποιος ισχυρισμος ειναι αληθης να τον
αποδειξετε.
(Μοναδες 16)
β) Στη περιπτωση που καποιος ισχυρισμος δεν ειναι αληθης, να βρειτε τη σχεση
των διαδοχικων πλευρων του παραλληλογραμμου ωστε να ειναι αληθης.
Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.
(Μοναδες 9)
53
● Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν

54
α)
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1
ΕΒ || ΔΖ (ΑΒ || ΔΓ)
ΕΒ = ΔΖ (μισα ισων ΑΒ = ΔΓ)



ΕΒΖΔ
ειναι παραλληλογραμμο.
 
Τα τριγωνα ΕΑΔ και ΝΓΖ ειναι ισα
γιατι :
ΑΔ =ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)
ΑΕ = ΖΓ (μισα ισων (ΑΒ = ΓΔ)) (Π - Γ - Π)
Α = Γ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισ








 α και ΑΕΔ = ΒΖΓ .
(Αποδεικνυουμε την αληθεια καθε ισχυρισμου ανεξαρτητα).
β)
Εστω οτι οι ΒΖ, ΔΕ ειναι διχοτομοι των γωνιων  Β, Δ αντιστοιχα .
Τοτε, τα τριγωνα ΕΑΔ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη με
ΑΒ
ΑΔ = ΑΕ =
2 ΑΒ = ΓΔ = 2ΑΔ = 2ΒΓ
ΓΔ
ΒΓ = ΖΓ =
2





Δηλαδη ο ισχυρισμος 3 αληθευει αν, αν οι πλευρες ΑΒ, ΔΓ ειναι διπλασιες των ΑΔ και ΒΓ .
Α Ε Β
Δ Ζ Γ
1
1

Θ ε μ α 2 3 ο 3702
Εστω οτι Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΓΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ αντιστοιχα.
Αν για το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ επιπλεον ισχυει AB > AΔ , να εξετασετε αν ειναι αληθεις
οι ακολουθοι ισχυρισμοι:
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1: Το τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 2: Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ ειναι ισα .
Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 3: Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη.
α) Στη περιπτωση που θεωρειται οτι καποιος ισχυρισμος ειναι αληθης να τον
αποδειξετε.
(Μοναδες 16)
β) Στη περιπτωση που καποιος ισχυρισμος δεν ειναι αληθης, να βρειτε τη σχεση
των διαδοχικων πλευρων του παραλληλογραμμου ωστε να ειναι αληθης.
Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.
(Μοναδες 9)
55

56
α)
ΕΒ || ΔΖ (ΑΒ || ΔΓ)
ΕΒ = ΔΖ (μισα ισων ΑΒ = ΔΓ)



ΕΒΖΔ
ειναι παραλληλογραμμο.
 
Τα τριγωνα ΕΑΔ και ΝΓΖ ειναι ισα
γιατι :
ΑΔ =ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)
ΑΕ = ΖΓ (μισα ισων (ΑΒ = ΓΔ)) (Π - Γ - Π)
Α = Γ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισ








 α και ΑΕΔ = ΒΖΓ .
(Αποδεικνυουμε την αληθεια καθε ισχυρισμου ανεξαρτητα).
β)
Εστω οτι τα τριγωνα ΕΑΔ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη με
ΑΒ
ΑΔ = ΑΕ =
2 ΑΒ = ΓΔ = 2ΑΔ = 2ΒΓ
ΓΔ
ΒΓ = ΖΓ =
2





Δηλαδη ο ισχυρισμος 3 αληθευει αν, αν οι πλευρες ΑΒ, ΔΓ ειναι διπλασιες των ΑΔ και ΒΓ .
Α Ε Β
Δ Ζ Γ
1
1

Θ ε μ α 2 4 ο 3723
Στο κυρτο εξαγωνο ΑΒΓΔΕΖ ισχυον τα εξης : A B Θ
     α = β, γ = δ και ε = ζ . α γ
α) Να υπολογισετε το αθροισμα   α + γ + ε .
(Μοναδες 8) ε Γ
β) Αν οι πλευρες ΑΖ και ΔΕ προεκτεινομενες
τεμνονται στο Η και οι πλευρες ΑΒ και ΔΓ Ζ ζ
προεκτεινομενες τεμνονται στο Θ, δ β
να αποδειξετε οτι:
i) Οι γωνιες Α και Η ειναι παραπληρω- Η Ε Δ
ματικες .
(Μοναδες 10)
ii) Το τετραπλευρο ΑΘΔΗ ειναι παραλ-
ληλογραμμο.
(Μοναδες 7)
57
● Το aθροισμα των γωνιων καθε κυρτου πολυγωνου με ν πλευρες ειναι 2ν - 4 ορθες.

58
α)
Το aθροισμα των γωνιων καθε κυρ-
του πολυγωνου με ν πλευρες ειναι
2ν - 4 ορθες.
    

   
 
 
 
α = β, γ = δ
0
ε = ζ
0
0
0
Ετσι
α + β + γ + δ + ε + ζ =
= (2 6 - 4) 90
2α + 2γ + 2ε = 8 90
2(α + γ + ε) = 720
α + γ + ε = 360
  
 






β)
i)
     
 
  
   
0
ε = ζ, γ = δ
0 0
1 1
α + γ + ε = 360
0 0
Στο τριγωνο ΖΗΕ
180 1δ
ειναι
Η + Ζ + Ε = 180 Η + - + - ζ = 180
Η +
80
α + γ + ε - -γ ε
 


     0 0 0
= 180 Η + α = 180 Η + Α = 180 
ii)
 
 
   
 
0
Α = α = β = Δ
0 0
Η + Α = 180 (εντος και επιταυτα των ΑΘ, ΗΔ που τεμνονται απ'την ΑΗ) τοτε
ΑΘ || ΗΔ (1)
Η + Α = 180 Η + Δ = 180 (εντος και επιταυτα των ΑΗ, ΘΔ που τεμνονται


απ'την ΗΔ) τοτε ΑΗ || ΘΔ (2)
Απ’τις (1) και (2) προκυπτει, οτι το τετραπλευρο ΑΘΔΗ ειναι παραλληλογραμμο (εχει τις απε-
ναντι πλευρες του παραλληλες ) .
Α Β Θ
Γ
Ζ Ζ Γ
Η Ε Δ
Δ
α γ
ε
βδ
ζ
1
1

Θ ε μ α 2 5 ο 3812
Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με AB > ΑΔ . Α Λ Β
Θεωρουμε σημεια Κ, Λ των ΑΔ και ΑΒ αντιστοιχα
ωστε AK = ΑΛ . Εστω Μ το μεσο του ΚΛ και η Μ
προεκταση του ΑΜ (προς το Μ) τεμνει τη ΔΓ Κ
στο σημειο Ε.
α) ΑΔ = ΔΕ . Δ Ε Γ
(Μοναδες 8)
β) ΒΓ + ΓΕ = ΑΒ
(Μοναδες 10)
γ)  Β = 2ΑΛ Κ
(Μοναδες 7)
59
● δυο διαδοχικες γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .

60
α)
Το τριγωνο ΑΚΛ ειναι ισοσκελες
(ΑΚ = ΑΛ) και η ΑΜ ειναι διαμεσος
που αντιστοιχει στη βαση του ΚΛ .
Δηλαδη, η ΑΜ ειναι και διχοτομος
της γωνιας Α , οποτε
 
1 2Α = Α (1)
Ακομη
 
21Ε = Α (2)
εντος εναλλαξ των παραλληλων
ΑΒ, ΓΔ που τεμνονται απ’την ΑΕ .
Απ’τις (1), (2) προκυπτει οτι  
1 1Α = Ε που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΔΕ ειναι ισοσκελες και
ΑΔ = ΔΕ .
β)
Ειναι
ΑΔ = ΔΕΑΔ = ΒΓ ΔΓ = ΑΒ
ΒΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΓΕ = ΔΕ + ΓΕ = ΔΓ = ΑΒ
γ)
Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΜΛ :
 

 
     
   
0
0
Α + Β = 180
0 0
21
Α Β
+ = 90
1
2 2
ΑΑ Α Β
Λ = 90 - Α = 90 - = - = Β =2Λ
Β
+
2
Β =ΑΛ Κ
2 22 2
 
Α Λ Β
Δ Ε Γ
1
1
2 1
1
Μ
Κ

Θ ε μ α 2 6 ο 3954
Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και στην προεκταση της ΑΔ Α Δ Ε
θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε ΔΕ = ΔΓ ενω στη προεκταση
της ΑΒ θεωρουμε σημειο Ζ τετοιο, ωστε ΒΖ = ΒΓ .
α) Να αποδειξετε οτι Γ
i)  ΒΓΖ = ΔΓΕ
(Μοναδες 10)
ii) Tα σημεια Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα. Ζ
(Μοναδες 10)
β) Ενας μαθητης για να αποδειξει οτι τα σημεια Ζ,Γ,Ε ειναι συνευθειακα ανεπτυξε τον παρα-
κατω συλλογισμο.
≪ Εχουμε:  ΒΓΖ = ΔΓΕ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνονται
απο τη ΖΕ) και  ΒΓΖ = ΔΕΓ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνον-
ται απο τη ΔΓ). Ομως    0
ΔΓΕ + Γ Δ Ε + ΔΕΓ = 180 ( ως αθροισμα των γωνιων του τρι-
γωνου ΔΕΓ). Αρα συμφωνα με τα προηγουμενα :
   0
ΔΓΕ + ΒΓΔ + ΒΓΖ = 180 . Οποτε
τα σημεια Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα.≫
Ομως ο καθηγητης υπεδειξε ενα λαθος στο συλλογισμο αυτο. Να βρειτε το λαθος στο συγ-
κεκριμενο συλλογισμο.
(Μοναδες 5)
61
● δυο διαδοχικες γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .
Β

62
α)
i)
 

   
 
1
1
1 11
2
Το τριγωνο ΖΒΓ ειναι ισοσκε -
λες με Γ = Ζ
Η Β ειναι εξωτερικη του τρι -
γωνου ΖΓΒ, οποτε :
Β =Γ + Ζ =2Γ (1)
Το τριγωνο ΓΔΕ ειναι ισοσκε -
λες με Γ = Ε
Η



   
   
   
1
2 21
(1 )
1 21 1
(2 )
1 2
Δ ειναι εξωτερικη του τρι -
γωνου ΓΔΕ, οποτε :
Δ =Γ + Ε =2Γ (2)
Ομως ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο :
Β = Δ 2Γ =2Γ
Γ = Γ (ΒΓΖ = ΔΓΕ)
 
ii)

  
 
    
1
11
11
(3 ) (1 )
0 0
3 1 31
Η γωνια Β ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΖΒΓ και
Β = Γ + Ζ (3)
Οι Β , Γ ειναι διαδοχικες γωνιες του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, οποτε
Β + Γ = 180 Γ + Ζ + Γ = 180 

   0 0
1 2 3Γ + Γ + Γ = 180 ΖΓΕ = 180
που σημαινει οτι τα σημεια Ζ, Γ και Ε ειναι συνευθειακα .
β)
“  ΒΓΖ = ΔΓΕ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνονται απο τη ΖΕ) ”
Ο μαθητης χρησιμοποιησε σαν δοσμενο οτι τα σημειa Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα .
Α Δ Ε
Β
Γ
Ζ
2
1
31
1

Θ ε μ α 2 7 ο 4555
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και απο το μεσο Μ του ΒΓ φερουμε ευθυγραμμο τμημα ΜΔ ισο και πα-
ραλληλο με το ΒΑ και ευθυγραμμο τμημα ΜΕ ισο και παραλληλο με το ΓΑ (τα σημεια Δ και Ε
ειναι στο ημιεπιπεδο που οριζεται απο τη ΒΓ και το σημειο Α). Να αποδειξετε οτι:
α) Τα σημεια Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα.
(Μοναδες 10)
β) Η περιμετρος του τριγωνου ΜΔΕ ειναι ιση με την περιμετρο του τριγωνου ΑΒΓ.
(Μοναδες 9)
γ) Οταν ενας καθηγητης εθεσε το ερωτημα αν τα Ε Α Δ
σημεια Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα στους μαθητες 2 1 3
του, ενας απο αυτους εκανε το διπλανο σχημα 1 Ζ
και απαντησε ως εξης:
 
11Ζ = Α (εντος εναλλαξ των ΑΒ // ΜΔ που
τεμνονται απο ΑΖ) Β Μ Γ
 
2ΑΔ Ζ = Α (εντος εκτος και επι τα αυτα μερη των ΑΒ//ΜΔ που τεμνονται απο ΔΕ).
Ομως    0
31Ζ + Α + ΑΔ Ζ = 180 (αθροισμα γωνιων του τριγωνου ΑΔΖ). Αρα συμφωνα
με τα προηγουμενα εχουμε:    0
1 2 3Α + Α + Α = 180 . Οποτε Δ,Ε,A συνευθειακα.
Ομως ο καθηγητης ειπε οτι υπαρχει λαθος στο συλλογισμο.
Μπορειτε να εντοπισετε το λαθος του μαθητη;
(Μοναδες 6)
63
● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.
● Παραλληλες ευθειες με κοινι σημειο, ταυτιζονται .

64
α)
● MΔ||BA και MΔ||BA τοτε
το MBAΔ ειναι παραλληλο-
γραμμο, με ΑΔ ||ΜΒ ||ΒΓ
●ME || ΑΓ και ME || ΑΓ τοτε
το ΜΓΑΕ ειναι παραλληλο-
γραμμο, με ΕΑ ||ΜΓ ||ΒΓ
Ετσι ΕΑ || ΑΔ (παραλληλες με
κοινο σημειο, ταυτιζονται)
Αρα τα σημεια Δ, A, E ειναι
συνευθειακα.
β)
Ειναι
ΕΑ = ΜΓ, ΑΔ = ΒΜΑΒ = ΔΜ
ΔΜΕ ΑΓ = ΜΕ ΑΔΜΒ, ΕΑΓΒ παραλληλογραμμα
ΜΓ+ΜΒ = ΒΓ
ΑΒΓ
Π = ΕΔ + ΔΜ + ΜΕ = ΕΑ + ΑΔ + ΑΒ + ΑΓ =
= ΜΓ + ΜΒ + ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ + ΑΒ + ΑΓ = Π
γ)
“  
2ΑΔ Ζ = Α (εντος εκτος και επι τα αυτα μερη των ΑΒ || ΜΔ που τεμνονται απο ΔΕ)”
Ο μαθητης χρησιμοποιησε σαν δοσμενο οτι τα σημειa Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα .
Ε Α Δ
Ζ
Β Μ Γ
1
1
32

Θ ε μ α 2 8 ο 4616
Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μεσο της Α Β
πλευρας ΔΓ. Φερουμε καθετη στην ΑΜ στο σημειο
της Μ, η οποια τεμνει την ευθεια ΑΔ στο σημειο Ρ
και την ΒΓ στο Σ. Σ
Να αποδειξετε οτι : Δ
α) ΔΡ = ΣΓ Μ Γ
(Μοναδες 8) Ρ
β) Το τριγωνο ΑΡΣ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 8)
γ) ΑΣ = ΑΔ + ΓΣ
(Μοναδες 9)
65
( Π – Π – Π )

66
α)
 
 
1
1 2
Τα τριγωνα ΡΔΜ και ΜΓΣ ειναι ισα
γιατι :
ΜΔ = ΜΓ (Μ μεσο ΔΓ)
Ρ = Σ (εντος εναλλαξ)
ΔΡ || ΣΓ που τεμνονται απ'τη ΡΣ
Μ = Μ (κατακορυφη)
(Γ - Π - Γ)
οποτε και τα υπολοιπα στοιχε










ια τους
ισα και ΔΡ = ΣΓ (1), ΜΡ = ΜΣ (2)
β)
Στο τριγωνο ΑΡΣ η ΑΜ ειναι υψος (υποθεση) και διαμεσος (απ’την (2)), οποτε το τριγωνο ΑΡΣ
ειναι ισοσκελες.
γ)
Ειναι
τριγωνο ΑΡΣ (1 )
ισοσκελες
ΑΣ = ΑΡ = ΑΔ + ΔΡ = ΑΔ + ΓΣ
Α Β
Σ
Δ
Μ Γ
Ρ
1
2
1

Θ ε μ α 2 9 ο 4651
Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ θεωρουμε σημεια
Ε, Ζ, Η, Θ στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντι-
στοιχα, με AE = ΓΗ και ΒΖ = ΔΘ .
α) Το τετραπλευρο ΑΕΓΗ ειναι παραλληλογραμμο. Θ
(Μοναδες 6)
β) Το τετραπλευρο ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο.
(Μοναδες 10) Δ Η Γ
γ) Τα τμηματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ διερ-
χονται απο το ιδιο σημειο .
(Μοναδες 9)
67
( Π – Π – Π )
Α Ε Β
Ζ

68
α)
ΑΕ || ΗΔ (ΑΒ || ΔΓ)
ΑΕ = ΗΔ (υποθεση)



το τετραπλευρο
ΑΕΓΗ ειναι παραλληλογραμμο και
ΑΗ = ΕΓ (1)
β)
Απ’την υποθεση ειναι:
● ΑΕ = ΗΓ (2) ● ΒΖ = ΘΔ (3)
● ΑΘ = ΓΖ (4) (διαφορες ισων τμηματων)
● ΔΗ = ΕΒ (5) (διαφορες ισων τμηματων)    Α = Γ (6) Β = Δ (7) 
 
Τα τριγωνα ΒΕΖ, ΔΗΘ ισα γιατι : Τα τριγωνα ΑΘΕ, ΓΗΖ ισα γιατι :
ΒΖ = ΔΘ (3) ΑΕ =Γ
ΔΗ = ΕΒ (5) (Π - Γ - Π)
Δ = Β (7)
οποτε και ΘΗ = ΕΖ (8)





 

  
Η (2)
ΑΘ = ΓΖ (4) (Π - Γ - Π)
Α = Γ (6)
οποτε και ΘΕ = ΗΖ (9)







Απ’ τις (8), (9) οροκυπτει οτι το τετραπλευρο ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες
ισες ) .
γ)
● ΕΗ, ΖΘ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΕΖΗΘ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.
● ΑΓ, ΕΗ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΑΗΓΕ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.
(Το σημειο Ο ειναι το μεσο της ΕΗ , οποτε ειναι μεσο και της ΑΓ)
● ΑΓ, ΒΔ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.
(Το σημειο Ο ειναι το μεσο της ΑΓ , οποτε ειναι μεσο και της ΒΔ)
Τελικα τα τμηματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ εχουν κοινο μεσο το σημειο Ο.
Α Ε Β
Ζ
Θ
Β
Δ Η Γ
Ο

Θ ε μ α 3 0 ο 4735
Εστω τριγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτομος της γωνιας Α, Α
για την οποια ισχυει οτι AΔ = ΔΓ . Η ΔΕ ειναι διχοτο-
μος της γωνιας ΑΔΒ και η ΔΖ παραλληλη στην ΑΒ. Ζ
α) Τα τμηματα ΕΔ και ΑΓ ειναι παραλληλα. Ε
(Μοναδες 9)
β) Το τριγωνο ΕΑΔ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 8) Β Δ Γ
γ) Τα τμηματα ΑΔ και ΕΖ διχοτομουνται.
(Μοναδες 8)
69

70
α)
 

 
 


  
 
  
2
1 2
2
1 2
Γ=Α
2
1 2
Α = Α
ΑΔ διχοτομος της Α
Γ = Α
Τριγωνο ΑΔΓ ισοσκελες
Δ = Δ
ΔΕ διχοτομος της ΑΔ Β
Η γωνια ΑΔ Β ειναι εξω -
τερικη του τριγωνου ΕΔΓ
Ετσι
ΑΔ Β = Α + Γ
Δ + Δ = 2Α




 
   
1 2Δ =Δ
2
2 22 22Δ = 2Α Δ = Α εντος εναλλαξ των ΕΔ, ΑΖ που τεμνονται απ'την ΑΔ .


Αρα ΕΖ και ΑΖ παραλληλες .
β)
 
 
 1 2
1 2
22
Απ'το ερωτημα (α) :
Α = Α
Α = Δ , που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΑΔ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΔ .
Δ = Α



γ)
Το τετραπλευρο ΑΕΔΖ ειναι παραλληλογραμμο (ΑΕ || ΔΖ και ΕΔ || ΑΖ, οι απεναντι πλευρες του
ειναι παραλληλες ).
Οποτε οι διαγωνιες του ΑΔ και ΕΖ διχοτομουνται .
Α
Ζ
Ε
Β Δ Γ
2
21
1

Θ ε μ α 3 1 ο 4781
Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΚ διχοτομο της γωνιας Α. Α
Στην προεκταση της ΑΚ θεωρουμε σημειο Δ ωστε
AK = ΚΔ . Η παραλληλη απο το Δ προς την ΑΒ τεμ-
νει τις ΑΓ και ΒΓ στα Ε και Ζ αντλιστοιχα.
Να αποδειξετε οτι: Ε
α) Το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες.
(Μοναδες 6)
β) Η ΕΚ ειναι μεσοκαθετος του ΑΔ. Β Κ Ζ Γ
(Μοναδες 6)
γ) Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ ειναι ισα.
(Μοναδες 7)
δ) Το τετραπλευρο ΑΖΔΒ ειναι παραλληλογραμμο.
(Μοναδες 6)
Δ
71
( Π – Π – Π )

τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light

τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light

Similar to τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light