hay lam hay lam hay lam hay lam hay lam hay lam

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
-- --
LÊ THỊ MỸ DUYÊN
LỚP: DH5L
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TẬP ĐIỆN ĐỘNG LỰC VĨ MÔ
Giảng viên hướng dẫn:
Th.S VŨ TIẾN DŨNG
Long Xuyên, Tháng 5 năm 2008

2. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học An Giang, Ban chủ
nhiệm Khoa Sư Phạm và các giáo viên trong Tổ Bộ Môn Vật Lý đã tạo điều kiện để
tôi được làm khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn giáo viên Th.s Vũ Tiến Dũng đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành khóa luận.
Ngoài ra, tôi xin cảm ơn những người bạn, người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian tôi làm khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong quý
thầy cô cùng các bạn đọc nhận xét, góp ý thêm.

3. 1
Phần một: Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Bài tập vật lý có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và phát
triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập đào sâu mở rộng kiến
thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng vật lý vào thực tiễn, góp phần phát triển tư
duy sáng tạo. Vì vậy, phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập vật lý là việc làm
rất quan trọng và cần thiết đối với sinh viên sư phạm.
Vật lý học hình thành bằng con đường thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó
là thực nghiệm. Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác,
chặt chẽ trong những quan hệ định lượng phải dùng phương pháp toán học. Vật lý lý
thuyết là sự kết hợp giữa phương pháp thực nghiệm và toán học. Như vậy, vật lý lý
thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Điện động lực học là một môn
học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó. Điện động lực vĩ mô
nghiên cứu và biểu diễn những quy luật tổng quát nhất của trường điện từ và tương
quan của nó với nguồn gây ra trường.
Sau khi học xong học phần Điện động lực, tôi cảm thấy đây là môn học tương
đối khó. Nguyên nhân, đây là môn học mới, có nhiều hiện tượng, khái niệm, định
luật,… mới. Ngoài ra, muốn làm được bài tập Điện động lực, chúng ta phải biết được
quy luật, bản chất vật lý và phải biết sử dụng phương pháp toán học (phương trình,
hàm số, phép tính vi tích phân, các toán tử, phương pháp gần đúng,…). Trong khi
vốn kiến thức về toán học thì hạn chế. Nên việc tìm ra một phương pháp giải cho bài
tập Điện động lực là khó khăn.
Với mục đích tìm hiểu sự tương ứng giữa những hiện tượng vật lý có tính quy
luật (được biểu diễn dưới dạng những bài tập) với những mô hình toán học cụ thể, để
qua đó xây dựng khả năng đoán nhận ý nghĩa vật lý của các mô hình toán học trong
Điện động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung mà tôi đã chọn đề tài:
”Phân loại và phương pháp giải bài tập Điện động lực học vĩ mô”.
II. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống các bài tập Điện động lực vĩ mô và các mô hình toàn học tương ứng
với các mức độ nhận thức.
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu
• Trang bị cho bản thân nội dung lý thuyết về quy luật nhận thức.
• Phân loại bài tập dựa theo mức độ nhận thức.
• Tìm phương pháp giải cho các loại bài tập.
• Soi sáng nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu các quy luật của quá trình nhận thức và mức độ nhận thức.
• Sưu tầm hệ thống bài tập liên quan nội dung lý thuyết được học.
• Xác định nội dung lý thuyết tương ứng với các mức độ nhận thức.

4. 2
• Xây dựng các tiêu chí để phân loại bài tập.
• Đưa ra phương pháp giải chung và áp dụng phương pháp chung cho một số
bài tập.
• Một số bài tập đề nghị.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Hệ thống các bài tập thuộc ba chương (Trường tĩnh điện, Trường tĩnh từ,
Trường chuẩn dừng) của Điện động lực vĩ mô thuộc học phần Điện động lực học.
V. Giả thuyết khoa học
Căn cứ vào mức độ nhận thức, nếu phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập
Điện động lực học phù hợp với chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông
thì giúp nâng cao được chất lượng học tập của sinh viên.
VI. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp lấy ý kiến của chuyên gia.
3. Phương pháp gần đúng.
4. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
VII. Đóng góp của đề tài
• Xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ nhận thức phần Điện động lực vĩ mô.
• Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt là sinh viên ngành vật lý. Nhằm
nâng cao chất lượng học tập học phần Điện động lực học của sinh viên.
VIII. Cấu trúc khóa luận
Phần I: Mở đầu.
I. Lý do chọn đề tài.
II. Đối tượng nghiên cứu.
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
IV. Phạm vi nghiên cứu.
V. Giả thuyết khoa học.
VI. Phương pháp nghiên cứu.
VII. Đóng góp của đề tài.
VIII. Cấu trúc khóa luận.
IX. Kế hoạch nghiên cứu.
Phần II: Nội dung.
Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương II: Phân loại phương pháp giải.
Phần III: Kết luận.

5. 3
IX. Kế hoạch nghiên cứu
• 7- 12/10/2007: Lựa chọn đề tài và nhận nhiệm vụ từ giảng viên hướng dẫn.
• 13- 20/10/2007: Sưu tầm tài liệu cho đề tài.
• 21- 26/10/2007: Xây dựng tiêu chí để phân loại bài tập.
• 27/10- 2/11/2007: Xây dựng đề cương chi tiết.
• 3- 16/11/2007: Hoàn thành đề cương chi tiết.
• 17/11/2007-5/5/2008: Hoàn thành khóa luận.

6. 4
Phần hai: Nội dung
Chương I Cơ sở lý luận của đề tài
1. Lý luận về hoạt động nhận thức
1.1. Khái niệm hoạt động nhận thức
Hoạt động nhận thức là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan và bản
thân con người thông qua các giác quan và dựa trên kinh nghiệm hiểu biết của bản
thân.
Việc nhận thức thế giới có thể đạt những mức độ khác nhau: từ đơn giản đến
phức tạp, từ thấp đến cao. Vì thế, hoạt động nhận thức chia thành: nhận thức cảm
tính và nhận thức lý tính.
1.2. Nhận thức cảm tính: là mức độ nhận thức đầu tiên, thấp nhất của con
người. Trong đó con người phản ánh những thuộc tính bên ngoài, những cái đang
trực tiếp tác động đến giác quan của họ. Nhận thức cảm tính bao gồm: cảm giác và
tri giác.
• Cảm giác: là quá trình nhận thức phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ, bề ngoài
của sự vật, hiện tượng và trạng thái bên trong của cơ thể khi chúng đang trực tiếp tác
động vào giác quan của ta.
• Tri giác: là quá trình nhận thức phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính của
sự vật, hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác quan của ta.
1.3. Nhận thức lý tính: là mức độ nhận thức cao ở con người, trong đó con
người phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật của
hiện thực khách quan một cách gián tiếp. Nhận thức lý tính bao gồm: tư duy và
tưởng tượng.
• Tư duy: tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
• Tưởng tượng: là một quá trình nhận thức phản ánh những cái chưa từng có
trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng hình ảnh mới trên cơ sở những
biểu tượng đã có.
2. Lý luận về bài tập vật lý
2.1. Khái niệm bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một vấn đề đặt ra đòi hỏi người học phải giải quyết nhờ những
suy luận logic, những phép tính toán và những thí nghiệm dựa trên cơ sở các định
luật và các phương pháp vật lý.
2.2 Tác dụng của bài tập vật lý
• Bài tập vật lý giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
• Bài tập vật lý là điểm khởi đầu để dẫn tới kiến thức mới.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết
vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện cho người học làm việc tự lực.

7. 5
• Giải bài tập vật lý có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo của người học.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của người
học.
3. Lý luận về phân loại bài tập vật lý
Có nhiều kiểu phân loại bài tập vật lý: phân loại theo mục đích, phân loại theo
nội dung, phân loại theo cách giải, phân loại theo mức độ nhận thức…Tùy theo mục
đích sử dụng mà ta chọn cách phân loại phù hợp.
Phân loại theo nội dung: có thể phân ra làm 4 loại.
o Phân loại theo phân môn vật lý: chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu
vật lý. Bài tập về cơ học, bài tập về nhiệt học, bài tập về điện học,… Sự phân chia có
tính quy ước.
o Phân loại theo tính chất trừu tượng hay cụ thể của nội dung bài tập. Nét đặc
trưng của những bài tập trừu tượng là nó tập trung làm nổi bản chất vật lý của vấn đề
cần giải quyết, bỏ qua những yếu tố phụ không cần thiết. Những bài toán như vậy dễ
dàng giúp người học nhận ra là cần phải sử dụng công thức hay định luật hay kiến
thức vật lý gì để giải. Các bài tập có nội dung cụ thể, là nó gắn với cuộc sống thực tế
và có tính trực quan cao. Khi giải các bài tập vật lý này người học nhận ra tính chất
vật lý của hiện tượng qua phân tích hiện tượng thực tế, cụ thể của bài toán.
o Phân loại theo tính chất kỹ thuật: đó là các bài toán có nội dung chứa đựng
các tài liệu về sản xuất công nghiệp, nông nghiệp, về giao thông, vận tải, thông tin
liên lạc…
o Phân loại theo tính chất lịch sử: đó là những bài tập chứa đựng những kiến
thức có đặc điểm lịch sử: những dữ liệu về các thí nghiệm vật lý cổ điển, về những
phát minh, sáng chế hoặc về những câu chuyện có tính chất lịch sử.
Phân loại theo cách giải: có thể phân ra làm 4 loại.
o Bài tập câu hỏi (bài tập định tính): là loại bài tập mà việc giải không đòi hỏi
phải làm một phép tính nào hoặc chỉ phải làm những phép tính đơn giản có thể tính
nhẩm được. Muốn giải bài tập này phải dựa vào những khái niệm, những định luật
vật lý đã học, xây dựng những suy luận logic, để xác lập mối liên hệ phụ thuộc về
bản chất giữa các đại lượng vật lý.
o Bài tập tính toán (bài tập định lượng): là loại bài tập mà việc giải đòi hỏi
phải thực hiện một loạt các phép tính. Được phân làm hai loại: bài tập tập dượt và bài
tập tổng hợp.Bài tập tập dượt là loại bài tập tính toán đơn giản, muốn giải chỉ cần vận
dụng một vài định luật, một vài công thức. Loại này giúp củng cố các khái niệm vừa
học, hiểu kỷ hơn các định luật các công thức và cách sử dụng chúng, rèn luyện kỹ
năng sử dụng các đơn vị vật lý và chuẩn bị cho việc giải các bài tập phức tạp hơn.
Bài tập tổng hợp là loại bài tập tính toán phức tạp, muốn giải phải vận dụng nhiều
khái niệm, nhiều công thức có khi thuộc nhiều bài, nhiếu phần khác nhau của chương
trình. Loại bài tập này có tác dung đặc biệt trong việc mở rông, đào sâu kiến thức
giữa các thành phần khác nhau của chương trình và bài tập này giúp cho người học
biết tự mình lựa chọn những định luật, nhiều công thức đã học.
o Bài tập thí nghiệm: là những bài tập đòi hỏi phải làm thí nghiệm mới giải
được bài tập. Những thí nghiệm mà bài tập này đòi hỏi phải tiến hành được ở phòng
thí nghiệm hoặc ở nhà với những dụng cụ thí nghiệm đơn giản mà người học có thể

8. 6
tự làm, tự chế. Muốn giải phải biết cách tiến hành thí nghiệm và biết vận dụng các
công thức cần thiết để tím ra kết quả. Loại bài tập này kết hợp được cả tác dụng của
các loại bài tập vật lý nói chung và các loại bài thí nghiệm thực hành. Có tác dụng
tăng cường tính tự lực của người học.
o Bài tập đồ thị: là loại bài tập trong đó các số liệu được dùng làm dữ liệu để
giải, phải tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại, đòi hỏi người học phải biểu
diễn quá trình diễn biến của hiện tượng nêu trong bài tập bằng đồ thị.
Phân loại theo mức độ nhận thức: dựa vào thang đo nhận thức Bloom, ta có
thể phân loại bài tập theo các mức độ:
o Bài tập vận dụng, tái hiện tái tạo: là khả năng ghi nhớ và nhận diện thông
tin.
o Bài tập hiểu áp dụng: là khả năng hiểu, diễn dịch, diễn giải, giải thích hoặc
suy diễn.
o Bài tập vận dụng linh hoạt: là khả năng sử dụng thông tin và kiến thức từ
một sự việc này sang sự việc khác.
o Bài tập phân tích, tổng hợp: phân tích là khả năng nhận biết chi tiết, phát
hiện và phân biệt các bộ phận cấu thành của thông tin hay tình huống; tổng hợp là
khả năng hợp nhất nhiều thành phần để tạo thành vật lớn, khả năng khái quát.
o Bài tập đánh giá: là khả năng phán xét giá trị hoặc sử dụng thông tin theo
các tiêu chí thích hợp.
4. Lý luận về phương pháp giải bài tập vật lý
4.1 Phương pháp giải bài tập vậy lý
Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý, người ta
thường dùng phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp.
• Giải bài tập bằng phương pháp phân tích
Theo phương pháp này xuất phát điểm của suy luận là đại lượng cần tìm.
Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết có liên quan gì với những đại lượng vật
lý nào, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương
ứng. Nếu một vế của công thức là đại lượng cần tìm còn vế kia chỉ gồm những dữ
kiện của bài tập thì công thức ấy cho ta đáp số của bài tập. Nếu trong công thức còn
những đại lượng khác chưa biết thì đối với mỗi đại lượng, cần tìm một biểu thức liên
hệ nó với các đại lượng vật lý khác, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được
hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải
xong. Như vậy theo phương pháp này ta có thể phân tích một bài toán phức tạp thành
những bài toán đơn giản hơn rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải
các bài tập đơn giản này, từ đó tìm ra lời giải của bài tập phức tạp trên.
• Giải bài tập bằng phương pháp tổng hợp
Theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu
từ các đại lượng đã biết, có nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng
này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần tới công thức cuối cùng, trong đó chỉ có
một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm.
Nhìn chung giải bài tập vật lý ta phải dùng chung hai phương pháp phân tích và
tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài,

9. 7
phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân
tích ấy. Muốn lập được kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài
tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết, ta mới xây
dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. Vậy ta đã dùng phương pháp phân tích và
tổng hợp.
4.2 Trình tự giải bài tập vật lý
• Bước 1: Tìm hiểu đề bài
- Đọc, ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và các vần đề phải tìm.
- Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
- Nếu đề bài cần thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ
liệu cần thiết.
• Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và các cái
phải tìm.
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của
những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có
liên quan.
- Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể các dữ liệu xuất phát và các vấn đề
phải tìm.
- Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối
liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra vấn đề cần tìm.
• Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm
Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết
quả cần tìm.
• Bước 4: Kiểm tra, xác nhận kết quả để có thể xác lập kết quả cần tìm, cần kiểm
tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau:
- Kiểm tra xem đã tính toán đúng chưa.
- Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không.
- Giải bài toán theo cách khác xem có cho cùng kết quả không.
4.3 Lựa chọn bài tập vật lý
Lựa chọn một hệ thống bài tập thỏa mãn các yêu cầu sau:
• Các bài tập phải từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm
được phương pháp giải các bài tập điển hình.
• Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập. Bài tập giả tạo và bài tập
có nội dung thực tế, bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập thừa hoặc thiếu dữ
kiện, bài tập có tính chầt ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác
nhau, bài tập có nhiều lời giải tùy thuộc những điều kiện cụ thể của bài tập.
• Lựa chọn chuẩn bị các bài tập nêu vấn đề để sử dụng trong tiết dạy nghiên cứu
tài liệu mới nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học.

10. 8
• Lựa chọn những bài tập nhằm củng cố, bổ sung, hoàn thiện những kiến thức cụ
thể đã học, cung cấp cho học sinh những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan
với kiến thức lý thuyết.
• Lựa chọn, chuẩn bị các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận
dụng kiến thức đã học để giải những loại toán cơ bản, hình thành phương pháp chung
để giải các bài tập đó.
5. Tóm tắt nội dung lý thuyết
5.1. Trường điện từ
Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất. Nó có tính hai mặt là liên tục
dưới dạng sóng và gián đoạn dưới dạng lượng tử (hạt photon). Trường điện từ thể
hiện sự tồn tại và vận động qua tương tác với các hạt mang điện đứng yên hay chuyển
động những lực phụ thuộc khoảng cách và vận tốc của chúng.
Tính liên tục của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc sóng. Trong chân không
trường điện từ lan truyền với vận tốc không đổi độc lập với tần số của trường và có
giá trị bằng vận truyền của ánh sáng trong chân không.
Tính gián đoạn của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc lượng tử (hay hạt).
Trường điện từ có tính hai mặt là sóng và hạt đồng thời, nhưng tùy thuộc phạm
vi không gian khảo sát nghiên cứu nó mà đặc tính này hay đặc tính kia thể hiện rõ rệt
hơn. Trong phạm vi vĩ mô thì trường điện từ thể hiện đặc tính sóng là chính. Còn
trong phạm vi vi mô đặc tính hạt của trường điện từ lại nổi trội.
Trường điện từ biểu hiện rõ ở hai dạng là điện trường và từ trường khác nhau
nhưng liên quan chặt chẽ với nhau. Điện trường biến đổi sinh ra từ trường và ngược
lại từ trường biến đổi sinh ra điện trường.
5.2. Tính chất của trường điện từ
Trường điện từ là trường vectơ và có thể biểu diễn qua các đường sức của
trường.
Trường điện từ mang năng lượng.
5.3. Nguồn của trường điện từ: là điện tích và dòng điện được đặc trưng bởi
đại lượng: điện tích Q hoặc mật độ điện tích ρ, dòng điện I hoặc mật độ dòng điện J .
5.4. Các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường điện từ
5.4.1. Vectơ cường độ điện trường E
Trường do các điện tích đứng yên hoặc chuyển động (dòng điện) sinh ra. Để
đặc trưng cho trường điện từ về dạng trường, người ta dùng đại lượng vật lí là: vectơ
cường độ điện trường E . Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích
đặc trong trường theo biểu thức:
EqF = (1)
F là lực tác dụng của điện trường có cường độ E lên điện tích q đặt trong trường tại
một điểm nào đó, q là điện tích thử.
Nếu điện tích thử là dương và có giá trị bằng một đơn vị điện tích (q=1C) thì:

11. 9
F
q
F
E ==
Cường độ điện trường E tại một điểm nào đó là một đại lượng vectơ có trị số bằng
lực tác dụng lên một điện tích dương đặt ở điểm đã cho.
Từ biểu thức (1) và định luật Coulomb ta xác định được cường độ điện trường
E do điện tích điểm Q tạo ra:
2
4 r
rQ
q
F
E
o
o
πε
==
Quy ước: Điện tích Q là dương thì đường sức của điện trường E của nó sẽ
hướng theo bán kính vectơ đơn vị or từ điểm đặt nguồn ra ngoài, còn khi Q âm thì
hướng của E sẽ đổi chiều ngược lại.
Trong chân không hay không khí, có N điện tích điểm riêng rẽ, thì theo nguyên
lí chồng chất điện trường:
ok
N
k k
k
o
N
k
k r
r
Q
EE ∑∑ ==
==
11 4
1
πε
.
Điện trường do các dây, mặt và thể tích tích điện được tính:
o
l
l
o
l r
r
dl
E ∫= 2
4
1 ρ
πε
o
S
S
o
S r
r
dS
E ∫= 2
4
1 ρ
πε
o
V
V
o
V r
r
dV
E ∫= 2
4
1 ρ
πε
5.4.2. Vectơ cảm ứng điện D
Trong chân không vectơ cường độ điện trường E đủ để mô tả trạng thái của
điện trường. Nhưng trong các môi trường vật chất ảnh hưởng của chúng đối với điện
trường cần phải được tính đến. Do vậy ngoài vectơ cường độ điện trường người ta
đưa vào vectơ điện cảm hay cảm ứng điện D
r
Nếu điện trường tồn tại trong môi trường vật chất thì dưới tác dụng của trường
sẽ xảy ra hai hiện tượng:
- Sự xê dịch các điện tích liên kết trong phạm vi phân tử và nguyên tử hay
mạng tinh thể vật chất.
- Sự chuyển động có hướng của các điện tích tự do.
Điện trường trong điện môi được đặc trưng bởi vectơ điện cảm D
r
có dạng :
D
r
= Eo
r/
εε = E
r
ε

12. 10
Với: ε = /
εεo là độ thẩm tuyệt đối hay hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường.
/
ε là độ điện thẩm tương đối của môi trường.
E
r
ε là vectơ điện cảm trong chân không hoặc trong không khí.
5.4.3. Vectơ cảm ứng từ B
Từ trường được tạo ra bởi các điện tích chuyển động hay dòng điện. Từ trường
được đặc trưng bởi đại lượng vật lý và vectơ từ cảm hay cảm ứng từ B
r
. Vectơ từ
cảm B
r
đặc trưng cho tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng
điện theo định lực Loren sau:
[ ]BvqF ×=
Trong đó: v là vectơ vận tốc chuyển động của điện tích q trong từ trường có vectơ từ
cảm B
r
.
F
r
là lực tác dụng của từ trường lên điện tích có hướng vuông góc với các
đường sức từ trường B
r
và vectơ vận tốc v .
Nếu có một đơn vị điện tích (q =1c) dương chuyển động vuông góc với đường
sức từ trường B
r
với vận tốc v =1 m/s thì giá trị của vectơ từ cảm B
r
bằng độ lớn của
từ lực F
r
tác dụng lên điện tích này. Chiều của 3 vectơ F
r
, B
r
, v được xác định theo
quy tắc bàn tay trái.
Từ trường do yếu tố dòng điện lId tạo ra đặc trong chân không được xác định
bởi định luật thực nghiệm Biôxava có dạng :
Bd = [ ]o
o
rld
r
I
×2
4π
µ
Trong đó: r là khoảng cách từ điểm tính trường với từ cảm Bd đến yếu tố dòng điện
lId .
or
r
là vectơ đơn vị của r hướng từ yếu tố lId đến điểm tính trường.
oµ là hằng số từ môi tuyệt đối hay độ từ thẩm tuyệt đối của chân không.
Vậy từ trường chân không có vectơ từ cảm B
r
do dòng điện I chảy trong dây
dẫn l tạo ra trong chân không:
[ ]o
l
o
rld
r
I
B ×= ∫ 2
4π
µ
5.4.4. Vectơ cường độ từ trường H
Trong chân không vectơ từ cảm B
r
đủ để mô tả trạng thái của từ trường. Nhưng
trong môi trường vật chất ta phải tính đến ảnh hưởng của chúng lên từ trường. Cũng
giống như với điện trường người ta dùng vectơ cường độ từ trường H
r
đặt trưng cho
từ các môi trường vật chất.

13. 11
H
r
=
µµµ
BB
o
rr
=/
Trong đó: µ là độ từ thẩm tuyệt đối hay hằng số từ môi tuyệt đối của môi trường.
'
µ là độ từ thẩm tương đối hay hằng số từ môi tương đối của môi trường.
5.5. Các định luật và lý thuyết biểu diễn trường điện từ
5.5.1. Định luật Ohm dạng vi phân
Trong môi trường dẫn điện dưới tác dụng của điện trường các điện tích tự do
chuyển động định hướng tạo nên dòng điện gọi là dòng điện dẫn.Cường độ dòng điện
dẫn I chảy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích Q dịch chuyển qua
mặt S trong một đơn vị thời gian. Theo định nghĩa ta có:
I = -
dt
dQ
Ở đây, dấu (-) chỉ dòng I được xem là dương khi điện tích Q giảm. Dòng dẫn I
là một đại lượng vô hướng. Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện
trong môi trường dẫn, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện dẫn J
r
. Nó là một
vectơ được xác định bởi biểu thức sau:
EvvNeJ σρ === : biểu thức định luật Ohm dạng vi phân.
Dòng điện dẫn I qua mặt S nào đó có thể viết dưới dạng sau:
∫ ∫==
S S
SdESdJI σ
5.5.2. Định luật bảo toàn điện tích
Điện tích có thể phân bố gián đoạn hay liên tục. Nó không tự sinh ra và cũng
không tự mất đi. Nó có thể dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác tạo nên dòng
điện dẫn. Điện tích tuân theo định luật bảo toàn. Định luật bảo toàn điện tích được
phát biểu như sau: Lượng điện tích đi ra khỏi một mặt kín S bao quanh thể tích V
trong một khoảng thời gian nào đó bằng lượng điện tích ở trong thể tích này giảm đi
trong khoảng thời gian ấy.
Giả sử trong thể tích V tuỳ ý của môi trường vật chất được bao bởi mặt kín S
tại thời điểm t chứa một lượng điện tích là Q với mật độ khối ρ . Ta có:
∫=
V
dVQ ρ (1)
Sau một khoảng thời gian dt lượng điện tích trong thể tích V giảm đi một lượng
là dQ. Theo định luật bảo toàn điện tích lượng điện tích giảm đi trong V bằng lượng
điện tích đi khỏi V qua mặt S trong khoảng thời gian dt để tạo ra dòng điện dẫn I.
Từ
dt
dQ
I −= và (1), ta có:
∫−=
V
dV
dt
d
I ρ

14. 12
Vì thể tích V đứng yên và áp dụng biểu thức ∫=
S
SdJI , nên ta được:
∫∫ ∂
∂
−=
VS
dV
t
SdJ
ρ
là biểu thức dạng tích phân của định luật bảo toàn điện tích.
Hay ∫∫∫ ∂
∂
−=
VVS
dV
t
dVJdivSdJ
ρ
Vì thể tích V là tuỳ ý nên:
0=
∂
∂
+
t
Jdiv
ρ
là biển thức dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là phương
trình liên tục.
5.5.3. Định luật cảm ứng điện từ
* Phát biểu: Sức điện động cảm ứng xuất hiện trong một vòng dây kim loại kín
về số trị bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua điện tích của vòng dây.
dt
d
ecu
φ
−=
Dấu (-) nói lên rằng sức điện động cảm ứng e cu trong vòng dây sinh ra dòng
điện có chiều sao cho từ trường của nó chống lại sự biến thiên của từ thông. Ở
đây,φ là từ thông tức thông lượng của vectơ cảm ứng từ B qua mặt S bao bởi vòng
dây:
∫=
S
SdBφ
Ta có thể biểu diễn sức điện động cảm ứng e cu xuất hiện trong vòng dây như là
lưu thông của vectơ cường độ điện trường E
r
do dòng cảm ứng sinh ra dọc theo
vòng dây kín dạng: ∫=
l
cu ldEe
Sd
t
B
ldE
Sl
∫∫ ∂
∂
−=→ : là biểu thức của định luật cảm ứng điện từ.
5.5.4. Định luật Gauxơ
Thông lượng của vectơ điện cảm D
r
qua một mặt S nào đó là một đại lượng vô
hướng được xác định bởi tích phân sau:
∫=
S
SdDφ
Trong đó: Sd là yếu tố vi phân diện tích của S hướng theo pháp tuyến ngoài.

15. 13
Giả sử một mặt kín S dạng tuỳ ý nào đó bao quanh điện tích điểm q.Ta hãy tính
thông lượng của vectơ điện cảm D
r
do điện tích q tạo ra qua mặt kín S.
( ) Ω=== d
q
r
SdDqdS
SdDd
ππ
φ
44
,cos
2
Trong đó: ( )SdDdS ,cos là hình chiếu của yếu tố dS lên phương của vectơ D
r
dΩ là vi phân góc đặt từ điện tích q nhìn bao toàn diện tích dS.
Thông lượng của vectơ điện cảm D
r
qua toàn mặt S tính được:
qqdSdD
S
=Ω== ∫∫ Ω
π
φ
4
1
Nếu trong thể tích V bao bởi mặt kín S có các điện tích điểm khác nhau là
nqqq ,...,, 21 thì vectơ điện cảm của các điện tích trên là chồng chất các vectơ điện
cảm do từng điện tích tạo ra. Ta có:
∑=
=
n
k
kDD
1
Nên thông lượng được tính: ∑∫ ∑∫ =
∑
=
====
n
k S
n
k
kk
S
QqSdDSdD
1 1
φ (1)
Vậy thông lượng của vectơ điện cảm qua mặt kín S bất kỳ bằng điện lượng
tổng cộng của các điện tích nằm trong thể tích V bao bởi mặt kín này.
Chú ý: Vì tổng (1) là tổng đại số các điện tích nên thông lượng φ có thể nhận
giá trị âm hoặc dương .
Nếu điện tích trong thể tích V bao bởi mặt S với mật độ khối ρ thì tổng ở vế
phải (1) được thay bằng tích phân theo thể tích ρ . Ta có:
QdVSdD
VS
=== ∫∫ ρφ
Biểu thức (1) và (2) là các biểu thức của định luật Gauxơ.
5.5.5. Định luật dòng toàn phần
* Phát biểu: lưu thông của vectơ cường độ từ trường H
r
dọc theo một đường
cong kín bất kỳ bằng đại số các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường cong
này.
* Biểu thức: IIldH
n
k
k
l
== ∑∫ =1
Nếu dòng điện chảy qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng j thì định
luật dòng toàn phần được viết:
SdjldH
Sl
∫∫ =

16. 14
5.5.6. Các phương trình Maxwell
* Phương trình Maxwell thứ nhất:
- Phương trình dạng tích phân: Sd
t
D
SdjldH
SSl
∫∫∫ ∂
∂
+= (*)
Phương trình (*) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ ( H
r
, D
r
)
trong một vòng kín bất kỳ và các dòng điện (dẫn và dịch) chảy qua nó. Để mô tả
quan hệ giữa chúng ở từng điểm trong không gian ta cần dẫn ra dạng vi phân của
phương trình này.
Sd
t
D
SdjSdHrotldH
SSSl
∫∫∫∫ ∂
∂
+==
Vì mặt S là tùy ý nên nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân:
t
D
jHrot
∂
∂
+=
Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ = o (điện môi tưởng và chân không) thì
do J
r
= E
r
∂ =0 nên:
rot H
r
=
t
D
∂
∂
r
(2)
Phương trình (2) chỉ ra rằng: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên cũng
tạo ra từ trường xoáy tương đương như dòng điện dẫn.
* Phương trình Maxwell thứ hai:
- Phương trình dạng tích phân: Sd
t
B
ldE
Sl
∫∫ ∂
∂
−= (3)
Nếu áp dụng định lý Grin Stôc cho vế trái của phương trình (3) với S là tùy ý ta
nhận được phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân là:
rot E
r
= -
t
B
∂
∂
r
(4)
Phương trình (4) chỉ ra rằng từ trường biến thiên tạo ra điện trường xoáy.
* Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư:
- Phương trình dạng tích phân:
∫S
SdD
r
= ∫S
dVρ = Q
∫ =
S
SdB 0
Áp dụng định lý Ôtstrôgrats ki- Gauxơ ta được:
∫V
dVDdiv
r
= ∫V
dVρ =Q

17. 15
∫V
dVBdiV
r
= 0
Vì thể tích V là tùy ý nên ta nhận được các phương trình Maxwell thứ ba và thứ
tư dạng vi phân sau:
( )
( )60
5
=
=
Bdiv
Ddiv ρ
Phương trình (5) chỉ ra rằng: điện tích là nguồn của điện trường. Khi 0≠ρ
đường sức điện trường không khép kín. Nó xuất phát từ điện tích dương và kết thúc
ở điện tích âm. Khi 0=ρ điện trường sinh ra chỉ do từ trường biến thiên nên đường
sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vô cùng. Phương trình (6) mô tả trong tự nhiên
không tồn tại từ tích. Đường sức của từ trường là khép kín hoặc tiến ra vô cùng.
5.5.7. Năng lượng trường điện từ
Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật lý. Nó mang năng lượng và cũng
như các dạng năng lượng khác năng lượng trường điện từ tuân theo định luật bảo
toàn. Năng lượng của trường điện từ bao gồm năng lượng điện (điện năng) và năng
lượng từ (từ năng) phân bố trong không gian thể tích V theo biểu thức:
( )dVwwdV
HE
WWW
V
Me
V
Me ∫∫ +=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+=
22
22
µε
We, WM là điện năng và từ năng trong thể tích V.
we, wM là mật độ khối điện năng và mật độ khối từ năng.
Năng lượng của trường điện từ có thể biến từ dạng điện sang dạng từ và ngược
lại, hoặc biến sang các dạng năng lượng khác và dịch chuyển trong không gian.
6. Các công thức toán học giải tích vectơ
Gradien của một hàm vô hướng:
dn
d
ngrad o
ψ
= , on là vectơ pháp tuyến của
mặt const=ψ hướng theo chiều tăng của ψ .
• Trong hệ tọa độ Đêcac:
z
z
y
y
x
xgrad ooo
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ψψψ
ψ
• Trong hệ tọa độ trụ:
z
z
rr
rgrad ooo
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ψ
1
• Trong hệ tọa độ cầu:
ϕ
ψ
θ
ϕ
θ
ψ
θ
ψ
ψ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
sin
11
rrr
rgrad ooo
Divecgence của một vectơ A :
V
sdA
Adiv S
V ∆
=
∫
→∆ 0
lim , S là mặt kín bao thể tích
V∆ .

18. 16
• Trong hệ tọa độ Đêcac:
z
a
y
A
x
A
Adiv zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
• Trong hệ tọa độ trụ: ( )
z
AA
r
rA
rr
Adiv z
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ϕ
ϕ11
• Trong hệ tọa độ cầu:
( ) ( )
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
A
r
A
r
Ar
rr
Adiv r
sin
1
sin
sin
11 2
2
Rot của một vectơ A :
S
dlA
imlArot L
S
n
∆
=
∫
→∆ 0
• Trong hệ tọa độ Đêcac:
zyx
ooo
AAA
zyx
zyx
Arot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
• Trong hệ tọa độ trụ:
zr
ooo
ArAA
zr
zrr
r
Arot
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
1
• Trong hệ tọa độ cầu:
ϕθ θ
ϕθ
ϕθθ
θ
ArrAA
r
rrr
r
Arot
r
ooo
sin
sin
sin
1
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Toán tử Hamintơn hay Nabla trong hệ tọa độ cong trực giao
33
03
22
02
11
01
111
qh
q
qh
q
qh
q
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Toán tử vi phân bậc hai Laplace của một hàm vô hướng
• Trong tọa độ Đêcac: 2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ψψψ
ψ
• Trong hệ tọa độ trụ: 2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr ∂
∂
+
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇
ψ
ϕ
ψψ
ψ
• Trong hệ tọa độ cầu:
2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
ϕ
ψ
θθ
ψ
θ
θθ
ψ
ψ
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇
rrr
r
rr
Các định lý

19. 17
• Định lý Ôtstrôgratski- Gauxơ: SdAdVAdiv
SV
∫∫ =
Trong đó, S là mặt kín bao thể tích V, dSnSd o= , on là vectơ đơn vị pháp
tuyến ngoài của mặt S.
• Định lý Grin- Stôc: ldASdArot
LS
∫∫ =
Trong đó, l là chu vi kín bao diện tích S, chiều đi dọc theo chu vi kín L được
lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ đầu cuối của vectơ pháp tuyến on của diện
tích S.
Chương II Phân loại và phương pháp giải bài tập
1. Cơ sở phân loại bài tập
1.1. Đặc điểm của môn học
Điện động lực học, là một môn học thuộc bộ môn vật lý lý thuyết. Vì vậy nó có
những đặc điểm chung của ngành vật lý lý thuyết. Một trong những đặc điểm nổi bật
đó là vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Vì vậy, Động lực
học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung có hai nhiệm vụ chính:
Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối
liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm, xây dựng những lý
thuyết tổng quát bao gồm nhiều sự vật, hiện tượng thuộc một hoặc nhiều lĩnh vực của
điện, từ và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý.
o Lý thuyết điện từ của Maxwell đã thống nhất hai mặt tương tác cơ bản
tương tác điện và từ trên cơ sở quan điểm về tính liên tục của các phân bố điện tích,
dòng điện và không gian tồn tại của trường, ở đó bỏ qua cấu trúc phân, nguyên tử của
các vật thể và tính gián đoạn của các điện tích.
o Thuyết electron, cũng là lý thuyết và các hiện tượng điện từ nhưng ở đó
có xét đến cấu trúc gián đoạn của điện tích và cấu trúc phân nguyên tử của không
gian.
o Thuyết tương đối là thuyết tổng quát hơn cho phép chúng ta hiểu được
thực chất của điện động lực học và các mô tả của chúng gần với thực tiễn tồn tại của
chúng hơn.
Dùng phương pháp toán học để diễn tả và biển diễn các hiện tượng, quy luật
vật lý và hơn thế nữa, bằng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới,
những quy luật tổng quát hơn các quy luật đã biết, dự đoán được những mối quan hệ
mới giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa chứng minh được.
Phương pháp toán học trong điện động lực học cũng có những đặc điểm riêng,
một trong những đặc điểm đáng lưu ý nhất đó là tính gần đúng của các nghiệm vật lý
trong phương trình toán học, sự vật và hiện tượng tồn tại trong nhiều mối quan hệ
ràng buộc phức tạp, do đó cần phải lựa chọn những tương quan chủ yếu để lựa chọn
nghiệm vật lý phù hợp.
Khi giải một bài toán thông thường là một trường hợp riêng, cá biệt đó là một
quá trình chuyển hoá từ cái tổng quát, trừu tượng về cái cụ thể, đơn lẻ, từ cái chung

20. 18
đến cái riêng là muôn hình muôn vẽ, nó thể thiện trình độ nhận thức của người giải.
Vì vậy trong khoá luận này, một trong những tiêu chí để chúng tôi phân loại bài tập
là theo mức độ nhận thức, dựa vào thang đo Bloom, bao gồm:
o Hiểu: Đòi hỏi người giải hiểu đúng hiện tượng, biết mô tả và biển diễn
các đại lượng, hiểu các quan hệ giữa chúng để giải quyết được nhiệm vụ cụ thể đặt
ra. Thông thường các quan hệ liên quan trực tiếp tới các dữ kiện, giả thiết đã cho.
o Vận dụng: Đòi hỏi người giải phải xác định đúng các diễn biến của các
hiện tượng, qua đó xác định mối quan hệ giữa các mặt trong hiện tượng đó. Từ đó,
xác định mối quan hệ chíng giữa cac hiện tượng để thiết lập các tương quan toán học
giữa chúng, thông thương các tương quan không liên hệ trực tiếp với giả thiết của bài
toán.
o Phân tích tổng hợp: Đòi hỏi người giải phải phân tích các thông tin mô tả
trong bài toán, từ đó chỉ ra các hiện tượng, các nguyên nhân có tính bản chất của các
hiện tượng để xây dựng quy luật vật lý, thiết lập các quy luật tổng quát hơn, để biển
diễn bằng các mệnh đề toán học tổng quát, việc giải nó cho kết quả là một họ
nghiệm, lựa chọn nghiệm phù hợp.
1.2. Cấu trúc nội dung môn học
Căn cứ vào nội dung, chương trình môn học điện động lực ở trường Đại học An
Giang, chúng tôi phân loại theo cấu trúc nội dung môn học bao gồm:
1.2.1. Trường tĩnh điện.
1.2.2. Trường tĩnh từ.
1.2.3. Trường chuẩn dừng.
1.3. Căn cứ vào mục tiêu bài tập
Mối quan hệ cơ bản của các bài toán trong Điện động lực, đó là quan hệ giữa
nguồn và trường bao gồm hai mặt tương tác và năng lượng. Vì vậy có thể xây dựng 4
loại bài tập cơ bản:
1.3.1. Cho biết trường, tìm quy luật phân bố của nguồn.
1.3.2. Cho biết phân bố của nguồn, xác định quy luật của trường.
1.3.3. Tương tác và trao đổi năng lượng giữa các trường, giữa trường với
các điện tích và dòng điện khác đặt trong trường.
1.3.4. Sự chuyển hoá giữa các mặt của cùng một trường.
2. Phân loại và giải bài tập
2.1. Trường tĩnh điện
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
Trường tĩnh điện là trường của các điện tích đứng yên đối với không gian tồn
tại của trường. Quy luật phân bố của trường phụ thuộc vào quy luật phân bố của điện
tích và chịu ảnh hưởng của không gian tồn tại của trường. Do đó, để giải các bài tập
trong chương này cần xác định được:
Quy luật phân bố điện tích với tư cách như là nguồn của trường.

21. 19
Ảnh hưởng của phân bố đến không gian về mặt tích điện theo các nguyên tắc
cảm ứng.
Quy luật phân bố của trường trong chân không và trong điện môi và khi
chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Quy luật phân bố của trường trên cả hai
lĩnh vực động lực và năng lượng.
Sự chồng chất của nguồn của trường và trường.
Cơ sở là lý thuyết của Maxwell về điện từ trường.
Theo tư tưởng đó có thể phân các bài tập thành các loại:
Tìm trường với các nguồn phân bố khác nhau: rời rạc, liên tục, đối xứng
• Phân bố rời rạc: là hệ bao gồm một hay nhiều điện tích điểm đặt cách
nhau những khoảng rất lớn so với kích thước các điện tích, hoặc là hệ các vật tích
điện khác nhau.
• Phân bố liên tục: Các điện tích được coi là phân bố liên tục khi bỏ qua
kích thước khoảng cách giữa các điện tích trên vật.
- Phân bố dạng sợi chỉ: có tiết diện đều và rất nhỏ, có chiều dài rất dài.
dl
dq
=λ
λ: mật độ điện tích dài, khi λ= const, thì phân bố đó là phân bố đều.
- Phân bố mặt: Sự có mặt điện tích trên một lớp mỏng h<< so với kích thước
mặt của lớp a.
dS
dq
=σ
σ: đại lượng đặc trưng cho phân bố mặt, gọi là mật độ điện mặt. Nếu σ = const đối
với không gian thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu σ không phụ thuộc thời gian
thì phân bố này là phân bố dừng.
- Phân bố khối: Sự có mặt điện tích trong toàn bộ thể tích của vật.
dV
dq
=ρ
ρ: mật độ điện khối. Nếu ρ = const thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu không
phụ thuộc thời gian thì phân bố này là phân bố dừng.
• Phân bố đối xứng: có 3 loại:
- Đối xứng phẳng: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ ρ là
một hàm của tọa độ. Nếu mặt phẳng xOy là mặt phẳng đối xứng của D thì:
ρ(x,y,z)=ρ(x,y,-z), phân bố đang xét có tính chất đối xứng phẳng qua mặt phẳng
xOy.
- Đối xứng trụ: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ
ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,z). Nếu ρ(r,θ,z)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng trụ.
- Đối xứng cầu: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ
ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,ϕ). Nếu ρ(r,θ,ϕ)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng cầu.

22. 20
Tìm lực tương tác và năng lượng của trường.
Trường và điện môi.
2.1.2. Một số phương pháp giải các bài toán điện tĩnh
a) Phương pháp ảnh điện
Phương pháp này dùng cho những bài toán tìm trường của một hay một số
điện tích điểm khi có các mặt biên. Nội dung của phương pháp này là chọn các điện
tích điểm tưởng tượng ở phía bên kia mặt biên (điện tích ảnh), sao cho các điện tích
này cùng với điện tích đã gây ra điện trường giống như điện trường do điện tích thật
và mặt biên gây ra.
Ví dụ 1: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách mặt phẳng dẫn có thế ϕ=0
một khoảng d.
Giải:
Hình 1-1
Điện tích q nằm bên cạnh mặt phẳng dẫn (hình 1-1a) gây ra điện trường tương
đương với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (hình 1-1b).
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−πε
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
πε
=ϕ
dR
'q
dR
q
4
1
'r
'q
r
q
4
1
P (1.1)
Vì ϕ =0 tại mặt phẳng d = 0 nên từ (1.1)suy ra
q’ = - q (1.2)
Thay (1.2) vào (1.1) ta được
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−πε
=ϕ
dR
1
dR
1
4
q
P (1.3)
Ví dụ 2: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách tâm một mặt cầu dẫn điện
nối đất (ϕ = 0 ) một khoảng bằng d. Bán kính của hình cầu là R.
Giải: Điện tích q nằm cạnh mặt cầu dẫn điện gây ra điện trường tương đương
ứng với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (q nằm tại điểm A và q’ nằm tại
điểm A’).
Điện thế ϕ tại điểm pháp tuyến (hình 1.2) bằng:
R
P
d
q
ϕ = 0
q'
r'
d
R
p
r
q
d
b)
a)

23. 21
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
πε
=ϕ
'OAr
'q
OAr
q
4
1
'r
'q
r
q
4
1
P
oo
(1.4)
Hình 1.2
Nếu n và n’ là các vectơ đơn vị dọc theo ro và d (ở đây OA = d và OA’ = d’)
thì:
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
πε
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−πε
=ϕ
n
'd
r
'n'd
'q
'n
r
d
nr
q
4
1
'n'dnr
'q
'dnnr
q
4
1
P
o
o
o
oo
(1.5)
Tại mặt cầu ro = R thế ϕ = 0 nên ta có thể đặt
'd
'q
R
q
−=
'n
'd
R
'n'n
R
d
n −=− (1.6)
Từ đó suy ra:
d
R
d
q
d
R
q
2
'
'
'
'
=
−=
(1.7)
Thay (1.7) vào (1.4) ta được:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−πε
=ϕ
dRrd
d
dr
R
R4
1
P 2
o
2
3
o
(1.8)
b) Phương pháp nghịch đảo
Cơ sở của phương pháp này là nếu ta biết nghiệm của một bài toán điện tĩnh
này thì ta có thể tìm được nghiệm của một bài toán điện tĩnh khác bằng một phép
biến đổi thích hợp, miễn là phép biến đổi đó không làm thay đổi dạng của phương
trình Laplace.
Trong hệ toạ độ cầu phương trình Laplace có dạng:
O
R
ro
r’
r
Ad q
P
λ’

24. 22
0
sinr
1
sin
sinr
1
r
r
rr
1
2
2
222
2
2
=
α∂
ϕ∂
θ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ∂
ϕ∂
θ
θ∂
∂
θ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
Có thể thấy dễ dàng rằng, phương trình này bảo toàn dạng của nó nếu ta thực
hiện phép biến đổi
ααθθ === ',','
2
r
a
r (1.9)
Phép biến đổi như thế gọi là phép biến đổi nghịch đảo, α là một hằng số có thứ
nguyên độ dài gọi là bán kính nghịch đảo
Nếu ta thay hàm ϕ bằng ϕ=ϕ
'r
a
' (1.10)
Và nếu ta thay hàm ϕ thoã mãn phương trình Laplace thì hàm
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ρ=ϕ 'r
'r
a
'r
a
'r' 2
2
(1.11)
Cũng là nghiệm của phương trình đó.
Khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo thì cả điện tích lẫn kích thước của các
vật thể ở trong điện trường tĩnh đều thay đổi. Ta có thể lấy ví dụ sau: cho một điện
tích điểm q và vật dẫn được nối đất (thế ϕ của nó bằng không) và ở vô cực thì ϕ = - ϕ
= const.
Sau khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, điều kiện biên không thay đổi vì
khi ϕ = 0 thì ϕ’ cũng bằng không, điện tích nằm tại điểm ro chuyển sang điểm.
o2
o
2
o r
r
a
'r ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Theo phép biến đổi (1.9) và có điện tích là q’.
Khi r → ro thế ϕ(r) sẽ tiến đến vô cực theo định luật
orr4
q
−πε
=ϕ
Lấy vi phân của hệ thức 'r
'r
a
r 2
2
=
Chúng ta được ( ) ( )2
4'
o
4
2
'r
r
a
r δ=δ
Ở đây '
oo r'r,rrr =δ−=δ
Theo (1.10) khi r’ → r’o hàm ϕ’ tiến đến vô cực theo định luật
'ra
qr
r
q
r
'a
'
'
o
'
o δ
=
δ
=ϕ
Tương ứng với điện tích
or
a.q
a
qr
'q == (1.12)

25. 23
Ở gốc toạ độ r’ = 0 tương ứng với r → ∞.
Nhưng khi r → ∞ thì hàm ϕ(r) → (-ϕ0) . Do đó khi r’ → 0 thì hàm ϕ’ → ∞
theo định luật 0
'r
a
' ϕ=ϕ
Điều đó có nghĩa là tại r’ = 0 có điện tích: qo = - αϕo (1.13)
Sau đay ta xét hình dạng hình học của vật dẫn thay đổi như thế nào sau phép
biến đổi nghịch đảo. Trường hợp riêng ta xét một mặt cầu bán kính R có tâm tại điểm
Ro . Mặt cầu đó được cho bởi phương trình. ( ) 22
o RRr =− (1.14)
Thực hiện biến đổi nghịch đảo, ta thu được phương trình:
2
2
o2
2
RR'r
'r
a
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− (1.15)
Nhân hai vế với r’2
và thực hiện một số phép biến đổi, ta đưa phương trình về
dạng:
( ) 22
o 'R'R'r =− (1.16)
Ở đây, 2
o
2
2
o2
o
2
2
o
RR
Ra
'R;R
RR
a
'R
−
=
−
= (1.17)
Như vậy trong toạ độ mới chúng ta lại thu được hình cầu khác có bán kính R’
và tâm tại Ro’. Nếu hình cầu đầu tiên đi qua gốc toạ độ (R=Ro) thì R’ = ∞ và hình
cầu biến thành một mặt phẳng. Mặc khác từ (1.15) khi thay R = Ro ta suy ra phương
trình:
0nn
R2
a
'r
o
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− (1.18)
Ở đây Ro = Rn , nghĩa là mặt phẳng đó vuông góc với Ro và cách gốc toạ độ
một khoảng
R2
a
R2
a 2
o
2
= (3.9.19)
Như vậy sau phép biến đổi nghịch đảo, điện tích q biến thành q’ (công thức
(1.12)); ở gốc toạ độ (tâm nghịch đảo) xuất hiện điện tích qo (công thức (1.13)) và
mặt cầu dẫn điện biến thành mặt phẳng tương ứng phương trình (1.18). Nếu chúng ta
có hai mặt cầu giao nhau thì sau biến đổi nghịch đảo hai mặt cầu đó sẽ biến thành hai
mặt phẳng giao nhau và với các mặt phẳng đó ta có thể giải bằng phương pháp ảnh
điện.
c) Phương pháp ánh xạ bảo giác
Trường chỉ phụ thuộc vào hai toạ độ Descartes (x,y) gọi là trường phẳng. Công
cụ sắc bén để giải các bài toán điện tĩnh phẳng là lý thuyết hàm biến phức. Cơ sở để
ứng dụng lý thuyết này như sau:

26. 24
Trường tĩnh điện trong chân không thỏa mãn hai phương trình 0=×∇ E và
∇E= 0. Phương trình thứ nhất cho phép ta dựa vào thế của trường dựa theo công thức
E = - ∇ϕ. Còn phương trình thứ hai chứng tỏ rằng, cùng với thế ϕ ta có thể đưa vào
cả thế vectơ A theo công thức E = ∇ x A. Trong trường phẳng, vectơ E nằm trong
mặt phẳng (x,y) và chỉ phụ thuộc vào hai toạ độ đó. Một cách tương ứng, vectơ A có
thể chọn sao cho tại mọi nơi nó hướng vuông góc với mặt phẳng (x,y). Khi đó các
thành phần của điện trường được biểu diễn dưới dạng hàm của ϕ hoặc A theo
x
A
y
E
y
A
x
E
y
x
∂
∂
−=
∂
ϕ∂
=
∂
∂
=
∂
ϕ∂
−=
(1.20)
Nhưng theo quan điểm toán học thuần tuý, các hệ thức như vậy giữa các đạo
hàm của các hàm ϕ và A trùng với các điều kiện Cauchy – Riemann quen thuộc biểu
diễn sự kiện là biểu thức phức.
ω = ϕ - iA (1.21)
là hàm giải tích của đối số phức. z = x + iy (1.22)
Điều đó có nghĩa là hàm w(z) có đạo hàm xác định tại mọi điểm, không phụ
thuộc vào hướng lấy đạo hàm. Chẳng hạn lấy đạo hàm theo hướng của trục x, ta tìm
được
x
A
i
xdz
dW
∂
∂
−
∂
ϕ∂
=
Hay theo (1.20) ta có: yx iEE
dz
Wd
+−= (1.23)
Hàm w được gọi là thế phức
Các đường sức của trường được xác định bởi phương trình.
yx E
dy
E
dx
= (1.24)
Biểu diễn Ex và Ey dưới dạng đạo hàm của A, chúng ta có thể viết lại phương
trình trên dưới dạng
0dAdy
y
A
dx
x
==
∂
∂
+
∂
Α∂
(1.25)
Từ đó suy ra A(x,y) = const
Như vậy các đường trên đó phần ảo của hàm w(x) có giá trị không đổi là những
đường sức của trường, còn các đường trên đó phần thực của hàm đó có giá trị không
đổi là các đường thế. Tính trực giao của hai họ đường đi có thể suy ra từ (1.20)
0
y
A
yx
A
x
=
∂
∂
∂
ϕ∂
+
∂
∂
∂
ϕ∂
(1.26)
Phần thực cũng như phần ảo của hàm giải tích w(z) điều thoả mãn phương trình
Laplace. Do đó cũng có thể coi Imw là thế của trường. Một cách tương ứng, các

27. 25
đường sức khi đó sẽ được cho bởi các phương trình Rew = const. Thay cho (1.21)
khi đó ta có w = A + iϕ (1.27)
Như vậy muốn tìm thế và đường sức của điện trường tĩnh trong một bài toán cụ
thể nào đó ta phải biết hàm w(z) tương ứng với bài toán đó. Thông thường khi biết
được sự phân bố các điện tích trong không gian và các điều kiện biên ta có thể suy ra
hình dạng hình học của cac đường sức và các mặt đẳng thế, mà từ đó mà tìm ra hàm
w(z) trong các sổ tay tra cứu.
Sau cùng ta xét một ứng dụng của phương pháp ánh xạ bảo giác để tính điện
dung của tụ điện trong trường phẳng.
Điện dung của tụ điện được cho bởi công
thức:
12
q
C
ϕ−ϕ
= (1.28)
Ở đây ϕ1 và ϕ2 là thế trên hai bản cực của
tụ điện, q là điện tích trên bản cực. Trong
trường phẳng bản cực là một đoạn đường cong
(hoặc thẳng) do đó ở đây σ1 là mật độ điện dây
∫σ= dlq 1 (1.29)
Áp dụng điều kiện biên của mặt bản tụ εEn = σ1
Ta có thể viết (1.29) dưới dạng:
dl
y
j
x
idlEq n∫ ∫ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
ε−=ε= (1.30)
Nếu ta viết phần tử độ dài dl dưới dạng: dl = - k x dλ
ở đây dλ trùng với chiều tăng của A (hình 1.3) và k = i x j thì
( )12
2
1
AAd
y
j
x
A
iq −ε=λ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Α∂
+
∂
∂
ε= ∫ (1.31)
Kết hợp với (1.28) ta được:
12
12 AA
C
ϕ−ϕ
−
ε= (1.32)
dl
x
j
y
iq ∫ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Α∂
+
∂
Α∂
−ε−= (1.30)
2.1.3. Phân loại và giải bài tập
a) Bài tập hiểu
Bài toán 1: Cho hai điện tích q1 và q2 trái dấu, đặt cách nhau một khoảng d (d
lớn hơn kích thước của điện tích rất nhiều, đặt trong chân không. Xác định độ lớn
của vectơ cường độ điện trường tại điểm M cách hai điện tích những khoảng cách r1
và r2.
Mục tiêu:
A1
A2
ϕ2
ϕ1
dλ
dl
x
y
Hình 1.3

28. 26
o Ôn tập khái niệm điện tích điểm.
o Biết áp dụng công thức xác định cường độ điện trường của điện tích
điểm.
o Hiểu sự tương tác của hai trường.
Lời giải:
o Theo giả thiết: d>> kích thước của điện tích, nên có thể coi q1, q2 là các
điện tích điểm.
o Hai điện tích đặt trong chân không nên không gian bao quanh không có
điện tích cảm ứng.
o Giữa hai điện tích xuất hiện sự cảm ứng tĩnh điện, tuy nhiên vì đã coi
chúng là điện tích điểm nên hiệu ứng cảm ứng không ảnh hưởng đến kết quả bài
toán.
o Mỗi điện tích điểm tạo ra ở không gian bao quanh một điện trường do đó
trường tại M là sự tổng hợp của hai trường: trường của q1 là 1E và trường của q2 là
2E
Phương và chiều của E được xác định như hình vẽ.
Theo nguyên lí chồng chất điện trường:
21 EEE +=
1E là điện trường do q1 gây ra tại M:
12
1
1
0
1
4
1
re
r
q
E
πε
=
2E là điện trường do q2 gây ra tại M:
22
2
2
0
2
4
1
re
r
q
E
πε
=
Suy ra:
( ) αcos2,cos2 21
2
2
2
12121
2
2
2
1
2
EEEEEEEEEEE −+=++=
Trong tam giác MAB:
21
22
2
2
1
2
cos
rr
drr −+
=α
Vậy:
( )
3
2
3
1
22
2
2
121
4
2
2
2
4
1
2
1
04
1
rr
drrqq
r
q
r
q
E
−+
−+=
πε
Nhận xét:
-+ B
M
A
r1
r2
2E
1E
E
q2
α
dq1

29. 27
o Phương chiều của vectơ E còn phụ thuộc vào dấu của các điện tích và vị
trí của M, do đó có thể tìm được những hệ điện tích và những điểm M thỏa mãn điều
kiện E =0.
o Có thể mở rộng cho hệ N điện tích điểm.
o Tuy bài toán chỉ giải cho trường hợp hai điện tích trái dấu, chúng ta có thể
dựa vào đó để mở rộng thêm cho hệ nhiều điện tích, có thể là cùng dấu. Và trong bài,
M nằm ở vị trí bất kì, vì thế chúng ta có thể áp dụng cho những trường hợp riêng: M
nằm tại trung điểm của d, M nằm trên đường trung trực của d,…
Bài toán 2: Một dây dẫn mảnh thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ dài λ.
Tính điện trường và điện thế tại điểm cách dây dẫn một đoạn h.
Mục tiêu:
o Hiểu công thức xác định cường độ điện trường của điện tích điểm.
o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục.
o Sử dụng được mối liên hệ giữa E và ϕ.
Lời giải:
o Theo giả thiết phân bố điện tích là một phân bố liên tục, vì vậy không thể
áp dụng trực tiếp công thức xác định E của điện tích điểm. Để áp dụng nó cần chia
phân bố thành những điện tích điểm.
o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho phân bố, vì phân bố là liên tục nên áp
dụng nguyên lý dạng: ∫=
L
EdE
o Sau khi tìm E , áp dụng ϕgradE −= để tìm ϕ.
Chia dây dẫn thành những phần tử nhỏ dl,
điện trường do phần tử dl gây ra ở M là:
ir
r
d
Ed 2
04πεε
λ l
=
Do tính chất đối xứng, nên chỉ tồn tại thành
phần điện trường theo Ox:
dEx= dE.cosα
Điện trường do cả dây dẫn gây ra:
∫ ∫
+∞
∞−
== 2
0
cos
4
cos.
r
d
dEE
lα
πεε
λ
α
Thay:
α
α 2
2
2
cos
cos
h
r
r
h
=⇒=
α
α
α d
h
d
h
tg 2
cos
=⇒= l
l
Ta được:
Ed
α
Mh
O
r
Idl
λ
x

30. 28
∫
+
−
==
2
2
00 2
.cos
4
π
π πεε
λ
αα
πεε
λ
h
d
h
E
Điện thế ϕ:
Ta có: dh
h
dhEd
dh
d
EgradE
02
.
πεε
λ
ϕ
ϕ
ϕ −=−=⇒−=⇒=
Suy ra: )ln(ln
22
0
00 0
hh
h
dh
h
h
−−=−= ∫ πεε
λ
πεε
λ
ϕ
Chọn điện thế tại h0 = 0
Vậy: hln
2 0πεε
λ
ϕ −=
Nhận xét:
o Có thể tìm E bằng định lí O-G. Tuy nhiên việc áp dụng định lí O-G phải
có điều kiện đối xứng xác định, nếu không thì kết quả sẽ chuyển thành việc áp dụng
nguyên lý chồng chất. Hơn nữa nguyên lý chồng chất còn áp dụng được cho các
phân bố hữu hạn.
o Có thể áp dụng phương trình Poisson để ϕ tìm sau đó tìm E .
o Khi giải các phương trình vectơ, cần phải chuyển chúng thành các
phương trình đại số.
o Sự cảm ứng giữa phân bố và điện tích được thay thế bằng hằng số điện
môi tỉ đối ε . Tuy nhiên, điều đó chỉ đúng đối với một điện môi đồng tính và đẳng
hướng.
Bài toán 3: Tính cường độ điện trường tại M, trên trục của một đĩa tròn bán kính
a, tích điện đều với điện tích q. M cách tâm một khoảng h, hệ đặt trong chân không.
Mục tiêu: Trong bài toán này, chúng ta tiếp tục thực hiện mục tiêu được đặt
ra ở bài toán 2. Chúng ta tìm hiểu thêm một dạng khác của phân bố liên tục, và thấy
rõ hơn mối quan hệ giữa E và ϕ.
Lời giải:
o Theo giả thiết nguồn là một
đĩa có bán kính a, chiều dày không được
quan tâm đến, nghĩa là phân bố điện tích
trên vật đã được thay thế bằng một phân
bố mặt với mật độ const=σ .
o Áp dụng phép cộng thế của
các điện tích điểm dSdq σ= .
Thế dϕ do dq gây ra tại M:
R
dq
kd =ϕ
Thế ϕ tại điểm M cách tâm O của đĩa tròn một đoạn h là:
z
x
M
h
a
rα
R

31. 29
∫ ++
=
So hyx
dxdy
2224
1 σ
πε
ϕ
Với: 2
a
q
π
σ =
αrdrddSdxdy
ryx
==
=+ 222
Suy ra:
( )hha
a
q
hr
rdr
d
a
q
o
a
o
−+=
+
= ∫∫
22
2
0
22
2
0
22
44 πε
α
επ
ϕ
π
Do tính chất đối xứng trục của đĩa, nên vectơ cường độ điện trường hướng dọc theo
trục của đĩa và bằng:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
∂
∂
−=
222
1
4 ha
h
a
q
h
E
o
h
πε
ϕ
Nhận xét:
Khi 0→h (M rất gần mặt đĩa) thì:
oo
o
a
q
E
a
q
ε
σ
πε
επ
ϕ
24
4
2
==
=
Là điện thế, điện trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều.
Bài toán 4: Một quả cầu điện môi đồng chất bán kính a, tích điện đều mật độ ρ,
hằng số điện môi ε. Môi trường chung quanh có hằng số điện môi ε. Xác định cường
độ điện trường tại các điểm trong, trên mặt, ngoài quả cầu.
Mục tiêu:
o Áp dụng định lí O-G để xác định trường của các phân bố đối xứng.
o Để áp dụng định lí O-G cần chọn các mặt Gauss thể hiện được tính chất
đối xứng của trường.
o Phân bố đối xứng của nguồn có ba dạng: đối xứng phẳng, đối xứng cầu và
đối xứng trụ, do đó trường của các phân bố cũng có tính chất đối xứng tương ứng.
Lời giải:
Ở bài toán này, phân bố của quả cầu có tính chất đối xứng cầu, nên trường
cũng có tính chất đối xứng cầu.
Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu điện môi, bán kính r.
Theo định lí O-G:

32. 30
qSdE
S
=∫ε
Tại mọi điểm trên mặt cầu, E đều vuông góc với
mặt cầu và có cùng giá trị.
* Khi r<a, ta được điện trường bên trong quả cầu:
ρππε 32
3
4
4 rrE =
rEhay
r
E
ε
ρ
ε
ρ
33
==⇒
* Khi r>a, ta được điện trường bên ngoài quả cầu:
ρππε 32
3
4
4 arE =
r
r
a
Ehay
r
a
E 3
3
2
3
33 ε
ρ
ε
ρ
==⇒
* Khi r = a, điện trường trên bề mặt quả cầu:
aE
ε
ρ
3
=
Nhận xét:
o Các bài toán trên, chúng ta sử dụng phương tiện là công thức tính E và ϕ
của điện tích điểm và nguyên lý chồng chất. Còn ở bài này chúng ta sử dụng định lí
O-G. Chúng ta nhận thấy, đối với các phân bố đối xứng, nếu hiểu và biết chọn mặt
Gauss thích hợp thì việc giải sẽ trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng các phương tiện
khác. Tuy nhiên, các phương tiện là tương đương về mặt vật lý chỉ khác nhau về hình
thức toán học.
o Với các điểm ngoài quả cầu thì công thức xác định E tương tự như của
điện tích điểm do đó nếu điện môi ngoài quả cầu là εε ≠1 thì cường độ điện trường
ở ngoài là: r
r
a
E 3
1
3
3ε
ρ
=
o Tuy nhiên, tại r = a đường dòng không còn liên tục, nó được giải thích bởi
sự xuất hiện các điện tích liên kết trên mặt cầu 1ε .
Bài toán 5: Một hình trụ bán kính R, dài vô hạn tích điện đều với mật độ ρ. Hằng
số điện môi trong và ngoài hình trụ đều bằng ε. Tính điện trường và điện thế ở trong
và ngoài hình trụ. Giải bài toán bằng cách sử dụng phương trình Poisson.
Mục tiêu: Áp dụng phương trình Poisson để xác định trường của phân bố đối
xứng trụ.
Lời giải:
r
Ed
a
dS
O
r
Ed
a
dS
O

33. 31
o Phương trình Poisson là phương trình tổng quát của trường tĩnh điện, và
được áp dụng cho từng điểm của không gian có trường.
o Trường do phân bố trụ tạo ra cũng có tính chất đối xứng trụ nên chọn hệ
tọa độ thể hiện tính chất đối xứng đó.
Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với
trục của hình trụ. Mặt phẳng (xOy) chứa điểm
cần khảo sát.
Ta có:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
zz
ry
rx
ϕ
ϕ
sin
cos
Vì tính chất đối xứng trụ, nên:
ϕ(r, ϕ, z) = ϕ(r)
* :0 Rr ≤≤
Phương trình Poisson:
ε
ρ
ϕ −=∆ t
rdr
dr
d
rd
dr
d
r
dr
d
r
t
t
ε
ρϕ
ε
ρϕ
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
1
BrAr
dr
r
A
rdrd
Ar
dr
d
r
t
t
t
++−=⇔
+−=⇔
+−=⇔
ln
4
2
2
2
2
ε
ρ
ϕ
ε
ρ
ϕ
ε
ρϕ
* :Rr ≥
Phương trình Laplace: 0=∆ nϕ
DrCd
C
dr
d
r
dr
d
rd
dr
d
r
dr
d
r
n
n
n
n
+=⇔
=⇔
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
ln
0
0
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
* Điều kiện liên tục:
ϕ x
y
z
r
O

34. 32
00
0
=→=
=
−= A
rdr
d
E t
t
ϕ
Chọn thế ở tâm bằng 0:
00
0
=→=
=
B
r
tϕ
Điện trường tại mặt hình trụ:
ε
ρ
ε
ρ
ϕϕ
22
2
R
C
R
C
R
Rrdr
d
Rrdr
d nt
−=→=−⇔
=
=
=
Thế tại mặt hình trụ:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=→
+−=−⇔
=
=
=
2
1
ln
2
ln
24
2
22
R
R
D
DRRR
RrRr
nt
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ϕϕ
Thay các giá trị của A, B, C, D vào các biểu thức của thế ϕ ta được:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−=
−=
2
1
ln
2
ln
2
4
22
2
RRrR
r
n
t
ε
ρ
ε
ρ
ϕ
ε
ρ
ϕ
* Điện trường:
2
2
2
R
rdr
d
E
r
dr
d
E
n
n
t
t
ε
ρϕ
ε
ρϕ
=−=
=−=
Nhận xét:
o Ngoài áp dụng phương trình Poisson, chúng ta có thể dùng hai phương
tiện khác là: định lí O-G và nguyên lý chồng chất, sẽ đơn giản hơn. Ở đây chúng tôi
giải theo cách này là để cho các bạn tham khảo thêm và biết cách vận dụng phương
trình Poisson vào việc giải bài tập.
o Từ bài giải chung này, chúng ta có thể áp dụng cho các bài tương tự như:
hình trụ hữu hạn, một mặt trụ,...
o Khó khăn của cách giải này là chúng ta phải biết phương trình Poisson
trong tọa độ trụ.

35. 33
Kết luận: Trong mục này, chúng ta đã giải các bài tập biểu diễn hệ giữa
nguồn và trường do nguồn gây ra. Do đó:
Về mặt nội dung, mỗi bài tập chỉ biểu diễn một hệ, các quan hệ đó được xác
định trực tiếp từ các công thức, các định luật được học.
Về phương pháp, chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích để chỉ rõ ý nghĩa
vật lý của các phép toán, để từ đó lập ra lược đồ giải bài toán.
Về công cụ toán học, chúng ta đã sử dụng phép tính tích phân, giải phương
trình vi phân đơn giản phù hợp với mức độ nhận thức đã lựa chọn.
Ở bài tập hiểu thì mức độ nhận thức tương đối thấp, yêu cầu cũng đơn giản đối
với người giải. Các phương pháp và các bước giải cũng ngắn gọn, chỉ sử dụng những
công thức quen thuộc mà các bạn đã được biết. Quan trọng là chúng ta phải hiểu rõ
để áp dụng đúng vào những bài tập cụ thể. Và qua phần này, chúng ta đã tiến hành
giải các bài tập cơ bản của dạng bài tập thứ nhất là tìm trường của các phân bố.
b) Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Một điện tích điểm q nằm cách tâm một mặt cầu một đoạn l. Mặt cầu
có bán kính a và điện tích Q (a < l). Tìm lực tương tác giữa điện tích và quả cầu.
Mục tiêu:
o Khảo sát trường theo quan điểm tương tác.
o Vận dụng định luật Coulomb, định lí O-G, định luật III Newton cho sự
tương tác giữa vật tích điện và điện tích điểm.
o Phân tích lựa chọn phương pháp đơn giản nhất.
Lời giải:
o Định luật Coulomb cho phép xác định
lực tương tác giữa hai điện tích điểm. Do đó, để áp
dụng cho bài toán cần chia quả cầu thành các điện
tích điểm. Sau đó, áp dụng nguyên lý chồng chất lực
để xác định lực tác dụng lên điện tích điểm q.
Phương pháp này dẫn đến việc tính tích phân theo
thể tích khá là phức tạp.
o Vật tích điện có tính chất đối xứng cầu,
nên có thể vận dụng định lí O-G để xác định trường
của vật, rồi áp dụng định nghĩa của trường để xác
định lực tương tác thì bài toán đơn giản hơn.
* Điện trường do quả cầu gây ra tại q:
Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, có bán kính l.
Theo định lí O-G:
e
Q
E
QE
QSdE
l
o
o
S
o
2
2
4
4
l
l
πε
πε
ε
=→
=⇔
=∫
Ed
a
dS
O
Q
q
le
l

36. 34
Suy ra, lực mà Q tác dụng lên q: l
o
e
Qq
EqF 2
4 lπε
==
* Lực tương tác giữa điện tích và quả cầu:
Theo định luật III Newton: FF −='
l
o
e
Qq
FF 2
'
4 lπε
=−=
Nhận xét:
o Hệ thức thu được có dạng giống như công thức của định luật Coulomb
đối với hai điện tích điểm Q đặt tại tâm cầu và q. Nghĩa là có thể coi mặt cầu Q là
ảnh điện của điện tích điểm Q đặt tại tâm và ngược lại, khi đó lời giải bài toán trở
nên rất đơn giản.
o Để có được kết quả trên, chúng ta đã bỏ qua hiện tượng cảm ứng điện
giữa vật và điện tích điểm.
o Qua bài giải, chúng ta thấy rõ tính chất của trường là tác dụng lực lên điện
tích đặt trong nó. Chúng ta có thể áp dụng cách giải tương tự để tính lực do nhiều
phân bố gây ra, bằng cách áp dụng nguyên lí chống chất điện trường.
Bài toán 2: Tính năng lượng của một quả cầu điện môi bán kính a, tích điện đều
theo thể tích. Hằng số điện môi của quả cầu là ε, của môi trường xung quanh là ε0,
điện tích của quả cầu là q.
Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. Ngoài ra, qua bài toán
chúng ta còn thấy mối quan hệ của trường và điện môi, quy luật phân bố của trường
khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác.
Lời giải:
Sử dụng định lí O-G để tính trường, sau đó
dùng công thức tính năng lượng để tìm năng lượng.
Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả
cầu điện môi, bán kính r.
Theo định lí O-G: QSdD
S
=∫
* r <a: Điện trường bên trong quả cầu:
3
32
43
3
4
4
a
qrr
D
rrD
qSdD
t
t
r
S
t
π
ρ
ρππ
==→
=⇔
=∫
* r >a: Điện trường bên ngoài quả cầu:
Đối với điện môi đồng chất tại mặt ngăn cách giữa
hai điện môi xuất hiện điện tích liên kết. Khi bỏ qua
r
Ed
a
dS
O
r
Ed
a
dS
O

37. 35
điện tích liên kết thì:
2
2
4
4
r
q
D
qrD
qSdD
n
n
S
n
π
π
=→
=⇔
=∫
* Năng lượng của quả cầu:
dVDdVDdVDEW
V
n
oV
t
V
∫∫∫ +== 22
2
1
2
1
2
1
εε
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=+=
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
+=
+=
∫∫
∫∫
∞
∞
oo
o
ao
a
a
n
o
a
t
a
q
a
qa
a
q
ar
qar
a
q
r
drq
drr
a
q
drrDdrrD
εεππεπε
πεπε
πεπε
ε
π
ε
π
1
5
1
8
1
858
1
8058
88
22
225
6
2
25
6
2
2
2
0
4
6
2
222
0
2
Vậy: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
oa
q
W
εεπ
1
5
1
8
2
Năng lượng của trường không bao hàm năng lượng làm phân cực điện môi vì
chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng cảm ứng.
Nhận xét: Ở bài toán này, chúng ta đã làm được hai công việc đó là khảo sát
đặc quan điểm trường mang năng lượng và mối quan hệ của trường và điện môi. Như
chúng ta đã biết theo lý thuyết, quy luật phân bố của trường khi chuyển từ điện môi
này sang điện môi khác thì thành phần tiếp tuyến của điện trường không đổi, nhưng
thành phần pháp tuyến của vectơ cảm ứng điện thì thay đổi. Chỉ khi bỏ qua hiệu ứng
cảm ứng thì tại r = a, Dn=Dt.
Bài toán 3: Điện tích q phân bố đều theo thể tích (ρ = const) giữa hai quả cầu
lệch tâm sao cho quả cầu nhỏ, bán kính r2, nằm hoàn toàn trong quả cầu lớn, bán
kính r1. Cho rằng hằng số điện môi ở trong hốc cũng bằng ở phần giữa hai quả cầu.
Xác định điện trường trong hốc.
Mục tiêu: Ở bài tập hiểu, chúng ta đã sử dụng nguyên lí chồng chất điện
trường để tính điện trường của hai điện tích điểm. Trong bài tập này, chúng ta sẽ vận
dụng nguyên lí chồng chất theo hình thức mới để xác định trường của phân bố khối.
Lời giải:
Theo định luật bảo toàn điện tích một vật trung hòa về điện có thể đuợc xem là
chồng chất của hai phân bố điện tích có cùng quy luật và trái dấu, nên tại hốc chúng
ta có thể xem nó là tổ hợp của hai phân bố khối đều mật độ ρ và – ρ. Khi đó hệ gồm:
quả cầu đặc bán kính r1, có mật độ ρ và quả cầu nhỏ bán kính r2, có mật độ - ρ.

38. 36
* Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm
quả cầu lớn, có bán kính bằng r1.
Theo định lí O-G:
11
1
qSdE
S
o =∫ε
11
1
1
3
1
2
11
33
3
4
4
rEhay
r
E
rrE
oo
o
ε
ρ
ε
ρ
ρππε
==⇒
=
* Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm
với quả cầu nhỏ, có bán kính bằng r2.
Theo định lí O-G:
22
2
qSdE
S
o =∫ε
22
2
2
3
2
2
22
33
3
4
4
rEhay
r
E
rrE
oo
o
ε
ρ
ε
ρ
ρππε
−=−=⇒
−=
* Điện trường trong hốc:
Theo nguyên lý chồng chất điện trường:
( ) 212121
33
OOrrEEE
oo ε
ρ
ε
ρ
=−=+=
Nhận xét: Để giải bài tập này, chúng ta đã tìm cách thay thế phân bố đã cho
bằng một phân bố tương đương, phương pháp thay thế đó gọi là phương pháp ánh xạ
bảo giác. Chúng ta có thể vận dụng cách tính tương tự cho sự chồng chất của các
phân bố khác, như phân bố đối xứng trụ,…
Kết luận: Qua phần bài tập vận dụng này chúng ta thấy mức độ nhận thức
đã cao hơn mức bài tập hiểu. Nếu như ở bài tập hiểu người giải chỉ tìm trường của
các phân bố nguồn đơn giản, còn ở bài tập vận dụng này, chúng ta phải đem những
kiến thức, thông tin của các bài tập này sang các bài tập mới, cao hơn. Chúng ta đã
biết trường, thì chúng ta phải tìm lực tương tác, tìm năng lượng của trường; chúng ta
đã tìm trường của một quả cầu thì vận dụng để tìm trường của sự chồng chất hai quả
cầu,… Để qua đây, mức độ nhận thức của chúng ta được nâng lên một bậc.
c) Bài tập phân tích tổng hợp
Ở phần bài tập này, yêu cầu đặt ra cao hơn hai dạng bài tập trước. Chúng ta
không những phải hiểu, phải vận dụng các kiến thức vào tình huống mới, mà còn
phải nhận biết, phát hiện, phân biệt từng chi tiết, dữ kiện của bái toán, sau đó hợp
nhất, khái quát nhiều thành phần, chi tiết đó để xây dựng một bài toán hoàn chỉnh.
▪▪
O1O2
2r 1r

39. 37
Bài toán 1: Một mặt phẳng vô hạn chia không gian thành hai nửa. Hằng số điện
môi ở hai nửa là ε1 và ε2. Một quả cầu dẫn bán kính a có tâm nằm trên mặt phân cách
của hai môi trường. Tính điện dung của quả cầu.
Mục tiêu: Ở các bài tập trước, chúng ta đã tìm hiểu mối quan hệ giữa trường
và điện môi, quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi
khác. Ở bài tập này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu sâu hơn vấn đề đó. Ngoài ra, chúng ta
còn tìm hiểu mối quan hệ giữa trường và vật dẫn.
Lời giải:
Điện dung của quả cầu:
ϕ
q
C =
Trong đó: q là điện
tích, ϕ là điện thế tương
ứng.
* Tìm ϕ:
Ta có: ϕgradE −=
Theo tính chất đối xứng
cầu, E chỉ phụ thuộc r, ta được:
∫−=
−=→−=
Edrhay
Edrd
dr
d
E
ϕ
ϕ
ϕ
Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, bán kính r.
Theo định lí O-G:
qSdE
S
=∫ε
Khi đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường, thành phần tiếp tuyến của điện
trường không đổi, nên:
qSdESdE
SS
=+ ∫∫
2
2
2
1 εε
constC
ErErE
t ==→
=→=+
1
2
2
2
1 0022
ϕ
πεπε
* Khi r >a:
( )
( )
( ) ( ) 2
21
2
21
21
221
2
1
22
2
2
C
r
q
r
drq
r
q
EqEr
n +
+
=
+
−=→
+
=→=+
∫ εεπεεπ
ϕ
εεπ
εεπ
a
1ε
2ε

40. 38
* Điều kiện liên tục:
• Chọn thế ở vô cùng bằng 0, ta được:
( ) 00 22 =→==∞ CCϕ
• Tại r =a:
( )a
q
Cnt
21
1
2 εεπ
ϕϕ
+
=⇔=
* Điện thế tại mặt cầu:
( )a
q
212 εεπ
ϕ
+
=
Vậy: ( )a
q
C 212 εεπ
ϕ
+==
Nhận xét: Dạng bài tập phân tích tổng hợp thì yêu cầu hơi cao, vì thế để làm
được các bài tập dạng này, chúng ta phải đọc kĩ đề, phân tích từng chi tiết nhỏ cho
trong bài. Sau đó, chúng ta mới tổng hợp, khát quát lên để hoàn thành bài toán.
Trong bài toán chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức khác nhau, như: công thức tính
điện dung, mối quan hệ giữa điện thế và điện trường, quy luật phân bố trường khi
chuyển từ điện môi này sang điện môi khác, sử dụng các điều kiện liên tục,...Cái khó
là chúng ta phải biết xâu các dữ kiện lại thành một chuỗi, để có bước đi đúng và ngắn
gọn, rõ ràng.
Bài toán 2: Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng là d, còn diện tích
là S. Giữa hai bản là một lớp điện môi dày đặc. Tụ điện được mắc vào một nguồn để
hiệu điện thế là ∆φ, sau đó ngắt đi. Hỏi công cần thiết để kéo lớp điện môi ra khỏi tụ
điện.
Mục tiêu: Khảo sát quan điểm của trường theo năng lượng. Sự tương tác từ
bên ngoài đến trường.
Lời giải:
Năng lượng của tụ điện:
C
q
W
2
2
=
* Khi có điện môi, điện dung C1 là:
d
S
C
ε
=1
Năng lượng của tụ:
S
dq
C
q
W
ε22
2
1
2
1 ==
* Khi tách điện môi ra, nhưng giữ cho tụ điện cô lập tức là điện tích của bản tụ không
thay đổi, điện dung C2 là:
d
S
C oε
=2
d
S
∆ϕ

41. 39
Năng lượng của tụ:
1
2
2
2
2
22
W
S
dq
C
q
W
oo ε
ε
ε
===
* Công cần thiết để kéo điện môi ra khỏi tụ là:
112 1 WWWA
o
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−=
ε
ε
Trong đó: ( ) ( )22
1
1
2
1
2
1
2
1
2
ϕ
ε
ϕ ∆=∆==
d
S
C
C
q
W
Vậy: ( )2
1
2
1
ϕ
ε
ε
ε
∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
d
S
A
o
Nhận xét: Tương tự như bài toán trên, chúng ta phải sử dụng nhiều kiến thức
liên quan để giải bài tập này. Cái khó của bài toán là chúng ta phải hiểu ra được ý đồ
của nó, để có thể đi đúng hướng.
Bài toán 3: Hai bản kim loại được đặt thẳng đứng và song song trong một bình
chứa điện môi lỏng. Khoảng cách giữa các bản là d và hiệu điện thế giữa chúng là
∆ϕ. Hỏi điện môi lỏng giữa hai bản được nâng lên bao nhiêu? Cho biết trọng lượng
riêng của điện môi lỏng là δ.
Mục tiêu: Ở bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học để giải bài
tập liên quan đến hiện tượng thực tế.
Lời giải:
* Khi chứa một phần điện môi, điện dung của tụ tăng lên một lượng bằng:
( )
ax
d
C oεε −
=∆
* Khi đó năng lượng tăng lên một lượng:
( )
( )
( )22
22
1
ϕ
εε
ϕ ∆
−
=∆∆=∆ ax
d
CW o
* Lực tác dụng lên điện môi:
( ) ( )
( )2
2
ϕ
εε
δ
δ
∆
−
=
∆
= a
dx
W
F o
(1)
* Lực này cân bằng với trọng lượng của phần điện môi đó:
adhF δ= (2)
Từ (1) và (2):
( ) ( )2
2
2 δ
ϕεε ∆−
=
d
h o

42. 40
Nhận xét: Ở bài tập này, ngoài những kiến thức thuộc phần Điện động lực,
chúng ta phải biết kết hợp với những kiến thức liên quan khác mới giải được bài
toán.
Kết luận: Sau khi đã làm một loạt các bài tập hiểu, bài tập vận dụng, chúng
ta đã có một kiến thức nhất định. Và chúng ta lấy đó làm cơ sở để giải các bài tập ở
mức độ cao hơn, bài tập phân tích tổng hợp. Ở mức độ này, bài tập khó hơn nhiều,
chúng ta phải biết phân tích từng chi tiết nhỏ của bài toán, sau đó tổng hợp, khát quát
toàn bài toán. Với mức độ bài tập này thì chúng ta ít gặp trong học phần của mình, vì
thế chúng tôi trình bày các bài tập mẫu dạng này không nhiều.
d) Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Một dây mảnh uốn thành vòng tròn bán kính a, mang điện tích q phân bố
đều trên dây. Hãy xác định cường độ điện trường tại điểm M nằm trên đường vuông
góc với mặt phẳng chứa vòng tròn, đi qua tâm, cách tâm một đoạn h. Xét trường hợp
h = 0.
ĐS: ( )
0
4 2
3
22
=
+
=
E
ah
qh
E
oπε
Bài 2: Hai dây mảnh, thẳng, dài, song song và cách nhau một khoảng d, tích điện
trái dấu với mật độ điện tích dài không đổi λ± . Xác định cường độ điện trường tại
điểm cách hai dây dẫn lần lượt r1 và r2. Xét trường hợp đặc biệt khi điểm khảo sát
nằm cách đều hai dây, cách mặt phẳng chứa hai dây một khoảng h.
ĐS:
( )22
21
4
2
2
dh
d
E
rr
d
E
o
o
+
=
=
πε
λ
πε
λ
Bài 3: Tìm thế tại một điểm M bên ngoài dây trụ tròn bán kính Ro, dài vô hạn,
tích điện đều, mật độ mặt σ. Biết khoảng cách từ M đến trục hình trụ là R, và qui ước
điện thế ở mặt trụ bằng 0.
ĐS:
R
RR o
o
o
M ln
2ε
σ
ϕ =
Bài 4: Xác định vectơ cường độ điện trường ở bên trong và bên ngoài của lớp
phẳng vô hạn có bề dày d và tích điện đều với mật độ điện khối ρ.
ĐS:
i
d
E
ixE
o
n
o
t
ε
ρ
ε
ρ
2
=
=
Bài 5: Một sợi dây thẳng dài vô hạn tích điện đều với mật độ dài χ. Bao quanh
sợi dây là một lớp điện môi hình trụ có bán kính R1, hằng số điện môi là ε1. Bên
ngoài lớp đó là điện môi vô hạn đồng chất với hằng số điện môi ε2, bán kính R . Xác
định cường độ điện trường tạo bởi sợi dây đó.

43. 41
ĐS:
( )
( )1
2
1
1
2
2
RR
R
E
RR
R
E
>=
<=
επ
χ
επ
χ
Bài 6: Một tụ điện trụ được đặt đứng trong một điện môi lỏng. Lớp điện môi giữa
hai bản được nâng lên độ cao h. Biết bán kính của tụ điện là R1 và R2, hiệu điện thế
giữa hai bản là φ. Tính hằng số điện môi của chất lỏng nếu trọng lượng riêng của nó
làδ .
ĐS:
( ) 1
2
2
2
1
2
2
ln
R
R
h
RR
o
δ
ϕ
εε
∆
−
+=
2.2. Trường tĩnh từ
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Trạng thái riêng quan trọng thứ hai của trường điện từ là từ trường dừng. Từ
trường dừng do các dòng dừng và các nam châm vĩnh cửu gây ra. Nhưng xét về mặt
ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, từ trường dừng do các dòng dừng gây ra có tầm
quan trọng hơn.
Tương tự như trường tĩnh điện, quy luật phân bố của trường, không gian tồn tại
của trường cũng phụ thuộc vào quy luật phân bố của nguồn. Do đó, trong chương
này chúng ta cũng cần xác định: quy luật phân bố của nguồn, ảnh hưởng của phân bố
đến không gian; quy luật phân bố của trường trong chân không, trong từ môi và khi
chuyển từ từ môi này sang từ môi khác; xét trường trên cả hai quan điểm: năng lượng
và tương tác; sự chồng chất của nguồn của trường và trường.
Theo tư tưởng đó, có thể phân các bài tập thành các loại:
Tìm trường của dòng điện không đổi với các phân bố khác nhau.
Tìm các lực tác dụng trong trường và tìm năng lượng của trường.
Trường của nam châm vĩnh cửu.
2.2.2. Phân loại và giải bài tập
a) Bài tập hiểu
Ở mức bài tập hiểu này, chúng ta sẽ giải các bài tập tìm trường, tìm lực tác
dụng, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản.
Bài toán 1: Một cung tròn bán kính r, gốc ở tâm là α, mang dòng điện I không
đổi trong chân không. Xác định vectơ cảm ứng từ tại tâm của cung tròn.
Mục tiêu: Hiểu công thức xác định cảm ứng từ cho một phần tử dòng điện.
Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục.
Lời giải:
Để sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace, chúng ta phải chia phân bố thành
những phần tử dòng điện. Sau đó, dùng nguyên lý chồng chất để xác định trường do
cả phân bố gây ra.

44. 42
→
Bd
MrL
→
j
Chia cung tròn thành những vi phân dl.
Phần tử lId gây ra ở O một vectơ cảm ứng từ:
3
4 r
rlId
Bd o ∧
=
π
µ
Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ Bd cùng phương,
cùng chiều, nên:
L
r
I
dl
r
I
dBB o
L
o
L
22
44 π
µ
π
µ
=== ∫∫
R
I
R
R
I
B oo α
π
µ
α
π
µ
44 2
==
Nhận xét:
Qua bài toán, chúng ta sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace và nguyên lí
chồng chất để tìm trường do một phân bố dòng gây ra.
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm trường tại tâm cung tròn, vận dụng tương tự
chúng ta có thể tìm trường ở những điểm khác theo yêu cầu của đề bài. Ngoài ra,
chúng ta cũng sử dụng cách giải tương tự để tìm trường của một phân bố dòng điện
thẳng dài hữu hạn hay vô hạn.
Bài toán 2: Một dòng điện mật độ j chạy dọc theo một vật dẫn hình trụ tròn đặc.
Xác định cảm ứng từ B tại điểm M trong vật dẫn cách trục hình trụ một khoảng r.
Mục tiêu: Áp dụng định lí dòng toàn phần xác định trường của một phân bố
có dạng đối xứng trụ.
Lời giải:
Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên
mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng
nhau.
Ta chọn đường lấy lưu thông là đường tròn bán kính
r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí
dòng toàn phần, ta có:
2
rjIldH
L
π==∫
Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy
lưu thông H có độ lớn không đổi, nên:
rHdlHldH
LL
π2== ∫∫
Suy ra:
2
jr
H =
α
r
→
Bd
lId
O
⊕

45. 43
Áp dụng công thức BH
oµ
1
= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có:
[ ]
2
,rj
HB oo µµ ==
r là bán kính vectơ hướng từ O đến M.
Nhận xét: Với các phân bố có dạng đối xứng trụ như bài toán 2, thì chúng ta
sẽ dễ dàng hơn trong việc giải nhờ định lí dòng toàn phần.
Bài toán 3: Trong một mặt phẳng vuông góc với các đường cảm ứng từ của một
từ trường đều B, người ta đặt một dây dẫn uốn thành nửa vòng tròn. Dây dẫn dài a
trong có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của lực từ F tác dụng lên dây dẫn.
Cho rằng dây cứng và bỏ qua biến dạng.
Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. Áp dụng nguyên lý
chồng chất cho một phân bố liên tục.
Lời giải:
Mỗi phần tử lId chịu tác
dụng của lực từ Fd có
phương hướng tâm nên có
tính chất đối xứng qua On.
Xét phần tử lId chịu lực từ
Fd có phương qua tâm vòng
dây, chiều hướng ra xa tâm,
và độ lớn:
IBdldF = ( lId vuông
góc với B )
Theo nguyên lí chồng chất:
∫∫∫ +== nt FdFdFdF
( tích phân trên nửa đường tròn)
Vì lí do đối xứng, nên: 0=∫ tFd
Các vectơ nFd đều cùng phương cùng chiều, do đó:
∫ ∫∫ === αα sinsin BIdldFdFF n
Với α
π
d
a
dl =
( )
π
π
α
π
αα
π
π
BIaBIa
d
BIa
F
2
0
cossin
0
=−==→ ∫
lId
lId
→
nFd
→
Fd
I
→
⊕ B
→
nFd
dα
α
→
Fd
→
tFd
→→
∫= nFF
O
n

46. 44
Nhận xét: Qua bài toán chúng ta đã tìm lực tác dụng của từ trường lên một
đoạn dây dẫn mang dòng điện. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng tương tự để tính lực
của từ trường tác dụng lên dòng điện kín.
Bài toán 4: Tính năng lượng từ trường do dòng điện thẳng rất dài cường độ I,
trong một hình trụ bán kính R, chiều cao h đặt trong không khí nhận dây dẫn làm trục
đối xứng.
Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng.
Lời giải:
Vì dây dẫn dài nên trường có phân bố đối xứng trụ.
Chọn đường tròn L, bán kính r, tâm nằm trên dòng
điện, chiều của L trùng với chiều của đường cảm ứng từ.
Áp dụng định lí dòng toàn phần:
IldH
L
=∫
Trên đường lấy lưu thông, H có độ lớn không đổi, nên:
r
I
HIrH
IdlH
L
π
π
2
2 =→=⇔
=∫
r
H
HB o
o
π
µ
µ
2
==
Chọn dV là lớp trụ đồng trục với hình trụ đã cho có bán kính từ r đến r + dr.
hrdrdV π2=
RI
h
r
drh
Ihrdr
r
I
r
I
BHdVW o
R
o
V
o
V
ln
44
1
2
222
1
2
1 2
0
2
µ
ππ
µπ
ππ
µ
==== ∫∫∫
Nhận xét: Từ trường luôn mang năng lượng. Qua bài toán này, chúng ta đã
tìm năng lượng từ trường của một phân bố đối xứng trụ. Áp dụng cách giải tương tự,
chúng ta sẽ tìm năng lượng từ trường của các phân bố có dạng khác.
Kết luận: Trong mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập
như tìm trường, tìm lực tương tác, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Đối
với các phân bố không đối xứng thì chúng ta chia phân bố thành những phần tử nhỏ
rồi sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace để tìm trường của phân bố. Còn đối với
những phân bố đối xứng, việc giải có phần nhẹ nhàng hơn khi ta sử dụng định lí
dòng toàn phần. Sau khi đã giải một số bài tập ở phần này, người học sẽ hiểu các
kiến thức mà mình được học.
b) Bài tập vận dụng
Ở bài tập vận dụng, chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức, những kết quả ở bài
tập hiểu để giải quyết những bài toán có nội dung yêu cầu cao hơn.
Chúng ta sẽ tìm trường của một số phân bố tương đối phức tạp hơn các phân bố
ở bài tập hiểu, tìm các lực và năng lượng của từ trường.
Bd
L Mr
O
I
R
h

47. 45
Bài toán 1: Một phân bố dòng có dạng tam giác đều cạnh a, mang cường độ
dòng điện I đặt trong chân không. Tính cảm ứng từ và cường độ từ trường tại tâm
của tam giác.
Mục tiêu: Áp dụng định luật Biôt- Savar- Laplace xác định trường do nhiều
phân bố dòng rời rạc gây ra.
Lời giải:
Vectơ cảm ứng từ B do dòng điện kín
ABCA gây ra tại điểm O có thể xem là
kết quả chồng chất từ trường gây ra bởi
các đoạn mạch: 1B do cạnh AB, 2B do
cạnh BC và 3B do cạnh CA. Theo
nguyên lí chồng chất, ta có:
321 BBBB ++=
* Cảm ứng từ 1B do AB gây ra tại O:
Chia đoạn AB thành những vi phân dl.
Phần tử lId gây ra tại O một vectơ:
31
4 r
rlId
Bd o ∧
=
π
µ
Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ
1Bd cùng phương, cùng chiều, nên:
∫=
L
o
r
Idl
B 21
sin
4
θ
π
µ
Trong đó:
( )
( )
θ
θπθ
θ
θθ
θπθ
sin
sinsin
sin2
h
r
r
h
d
h
dl
tg
hh
tgtg
=→=−=
=→−=→−=−−= l
l
Suy ra:
( )
6
6
5
2
2
2
1 cos
6
34
sin
4
sin
sin
sin
4
6
5
6
6
5
6
π
π
θ
π
µ
θθ
π
µ
θ
θθ
θ
π
µ
π
π
π
π
−=== ∫∫ a
I
d
h
I
h
d
h
IB ooo
( )T
a
I
a
I oo
π
µ
π
µ
2
3
2
3
2
3
32
3
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=