1. IX. Колебания и волны
1. Колебаниями называется точное или приближенное повторение какого-либо процесса с течением времени
(обычно повторение бывает многократным).
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают:
а) М е х а н и ч е с к и е к о л е б а н и я — повторяющийся процесс представляет собой механическое
движение:
б) Э л е к т р о м а г н и т н ы е к о л е б а н и я — повторяющийся процесс представляет собой
r
изменение силы тока, напряжения, заряда конденсатора в электрической цепи, вектора E (напряженности
r
электрического поля), вектора B (индукции магнитного поля).
в) Д р у г и е к о л е б а н и я — повторяться могут и другие процессы, например, изменение температуры и пр.
Колеблющимися величинами называются физические величины, описывающие процесс, повторяющийся при колебаниях,
(или систему, с которой этот процесс происходит) и сами испытывающие повторяющиеся изменения.
В механических колебаниях колеблющимися величинами могут быть: координата, скорость, ускорение и другие величины,
описывающие механическое движение.
В электромагнитных колебаниях колеблющимися величинами могут быть: сила тока, напряжение, заряд конденсатора,
r r
E , B и другие величины, описывающие электрический ток и электромагнитное
поле.
Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.
Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное
состояние и начинается повторение процесса. x — колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи,
Процесс, происходящий за один период колебаний, или координата точки)
называется «одно полное колебание».
Частотой периодических колебаний называется число полных t — время
колебаний за единицу времени (1 секунду) — это может
быть не целое число.
Т — период колебаний
1 Период — время одного полного колебания.
ν= Чтобы вычислить частоту ν, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах)
T и получится число колебаний за 1 секунду.
2. Гармоническими колебаниями называются колебания, в которых колеблющиеся величины зависят от времени
по закону синуса, или косинуса.
Колеблющаяся величина Начальная фаза — значение фазы ϕ в
(координата точки, сила
тока, напряженность поля, x = A⋅cos(ωt + ϕ0) момент t = 0.
Изменяя значение ϕ0 , можно получать
или иная величина) различные значения x в момент t = 0.
Амплитуда колебаний — максимальное отклонение Фаза колебаний — аргумент функции синус или косинус
колеблющейся величины от в уравнении зависимости колеблющейся
среднего за период значения. величины от времени.
Если среднее за период значение колеблющейся величины ϕ = ωt + ϕ0
равно 0, то амплитуда равна максимальному значению
колеблющейся величины: А = хm Циклическая частота колебаний — скорость изменения
фазы с течением времени.
x — колеблющаяся величина ∆ϕ
А
ω= Изменение фазы, произошедшее за
t — время
∆t время ∆t.
-А Если время ∆t равно периоду колебаний Т, то изменение фазы ∆ϕ за это время (Т)
должно быть равно 2π (т. к. функции sin и cos повторяют свои значения при
Значение х в
Т — период колебаний изменении аргумента (ϕ) на 2π, а через время T значение колеблющейся величины
момент t = 0
как раз должно повториться).
определяется
величиной ϕ0.
∆ϕ 2 π 2π
Таким образом, при ∆t = Т будет ∆ϕ = 2π ⇒ ω = =
∆t T ω= = 2πν
Если колебания гармонические, T
т. е. колеблющаяся величина x равна x = A⋅cos(ωt + ϕ0),
подставлено 1/Т = ν
то вторая производная колеблющейся величины по времени x′′
будет пропорциональна самой колеблющейся величине (x): Если x — координата точки, движущейся вдоль оси ОХ , то:
x′(t) = −ωA⋅sin(ωt + ϕ0) x′(t) = vx — проекция скорости ⇒ vmax = ωA — максимальная
скорость.
x′′(t) = −ω2⋅x x′′(t) = −ω2A⋅cos(ωt + ϕ0) = −ω2⋅x x′′(t) = ax — проекция ускорения ⇒ amax = ω2A - максимальное
ускорение.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Если какая-либо физическая величина х подчиняется
уравнению такого вида, то можно утверждать, что она зависит от времени по гармоническому закону (sin и cos), а процесс, который описывает
величина х, представляет собой гармонические колебания.

2. 3. Простейшие колебательные системы
Пружинный маятник Математический маятник Колебательный контур
k
m m k l l T = 2π LC
T = 2π Масса T = 2π Длина Период свободных
k m g L
колеблю- Период нити электромагнитных С
Период Жесткость щегося свободных колебаний
свободных пружины груза колебаний Ускорение свободного
падения — ускорение, создаваемое Индуктивность Электроемкость
колебаний
силой тяжести. катушки конденсатора q 2
в отсутствие трения max
kx 2
mv 2
kA mv 2 2 Если кроме силы тяжести на маятник действуют Wконд +Wкат = const
эл магн
2C
+ = const = = max другие постоянные активные силы, то вместо g в 2 2 2 2
2 2 2 2 формулу подставляют модуль ускорения, CU LI CU LI max
создаваемого суммой всех активных сил: + = const = max
=
r 2 2 2 2
x = ∆l — удлинение пружины r
aакт =
∑ Fакт (активными называются q 2 U- напряжение на конденсаторе q- его заряд
А = xmax = ∆lmax — амплитуда колебаний I – сила тока в катушке,
(максимальное удлинение пружины) m 2C qmax, Umax и Imax – максимальные (ампли-
vmax — максимальная скорость груза силы, имеющие ненулевой
тудные) значения заряда, напряжения и силы
вращающий момент l
T = 2π тока.
vx = x′(t) = xmω⋅sinωt относительно точки aакт I = −q′(t) = qmω⋅sinωt
подвеса маятника) qmω= Imax
xmω = vmax T 3T T 3T
t Маятник в лифте: t
2 4 T 2 4 T
T T
−vmax 4 −Imax 4
r r
x = xm⋅cosωt a лифта a лифта q = qm⋅cosωt
A = xmax qmax T
t 2 t
l l
T T 3T T T = 2π T = 2π T 3T T
g + a лиф g − a лиф −qmax
−xmax 4 2 4
r 4 4
r
если a лифта - вверх если a лифта - вниз
v = vmax в момент, когда x = 0 I = ±I max в момент, когда q = 0
x = ±А в момент, когда v = 0 q = ±qmax в момент, когда I = 0
4. Волна — распространение колебательного процесса в пространстве с течением времени. (Если в какой-то области
пространства происходит колебательный процесс, то это может породить аналогичные колебания в соседних областях пространства.
Например, если какая-либо точка упругой среды совершает механические колебания, то при этом она, как правило, заставляет колебаться
соседние, прилегающие к ней точки среды. Те, в свою очередь,
Пример: на гладкой горизонтальной поверхности лежит шнур передают колебательное движение следующим точкам и т. д.
и в некоторый момент его крайнюю точку a начинают двигать Таким образом, в колебательный процесс вовлекаются все
вдоль оси ОХ по закону x = Asinωt новые и новые области пространства. Другой пример –
r электромагнитные колебания. Если в какой-то точке
X v ВИД СВЕРХУ: пространства (эту точку назовем источником) происходят
m Точка а начинает двигаться, r
О t = 0 при этом ее скорость меняется колебания индукции магнитного поля B , то это порождает в
a b c d e по закону vx = x′ = Aωcosωt , окружающем пространстве колебания напряженности
так что в момент t = 0 скорость r
X r электрического поля E , которые, в свою очередь, порождают
v=0 vm максимальна vm = Aω. r
А T К моменту t = Т/4 точка а сме-
t= новые колебания B и т. д. Электромагнитные колебания
О распространяются от источника, т. е. начинают происходить во
r 4 щается в положение х = А. Со-
X r v волн седние точки шнура движутся все новых и новых областях пространства)
v=0 за ней, повторяют ее движение, Фронт волны — поверхность отделяющая область
А vm T заставляя двигаться следующие пространства, в которой уже начались колебания, от
О t= точки. В момент t = Т/4 волна
r 2 дошла до точки b и она начала области, где колебания еще не происходят. Фронт волны
− vm перемещается по мере распространения волны. (В
X
v=0
r двигаться (ее состояние в мо- рассмотренном примере со шнуром фронтом волны в момент
А vm 3T мент t = Т/4 совпадает с состоя- t = Т/4 является точка b, в момент t = Т/2 – точка с, и т. д.)
О t= нием точки а в момент t = 0) В r
−А r
− vm 4 дальнейшем все новые и новые Скорость распространения волны ( v волн ) — скорость
v=0 точки будут вовлекаться в ко-
r r движения волнового фронта, а также любой другой
vm v=0 vm лебательное движение, анало- поверхности постоянной фазы (любого «горба» волны,
А
гичное движению источника – или «впадины»).
О t=T
−А
r точки a.
Механическая волна называется поперечной, если
v=0 − vm
направление движения колеблющихся точек в ней
r r
перпендикулярно направлению v волн . Если же колеблющиеся точки движутся параллельно v волн , то волна называется продольной.
(Рассмотренная в примере волна в шнуре – поперечная, а звук – продольная волна.) Электромагнитные волны являются поперечными, т. к.
r r
направление колеблющихся векторов E и B в этих волнах перпенди- Длина волны (λ) — минимальное расстояние между точка-
х λ r r
vволн кулярно v волн . ми, колебания в которых происходят с разностью фаз 2π.
колеблющаяся (При такой разности фаз колеблющиеся величины в этих точках
величина r – расстояние до имеют одно и то же значение, так что λ — расстояние между
источника соседними «горбами», или соседними «впадинами» волны)
λ
x(r, t) = A⋅cos(ωt − (2π/λ)r + ϕ0) λ = vволн⋅Т = vволн / ν