ма демо 2011

Проект
Пояснения к демонстрационному варианту Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года
по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов
для проведения в 2011 году единого государственного экзамена
Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2011 года разработан по МАТЕМАТИКЕ
по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки
Российской Федерации. Инструкция по выполнению работы
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать
представление о структуре будущих контрольных измерительных На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа
материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.
Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового
которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются
2011 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа
вопросов – в кодификаторах требований и содержания. или конечной десятичной дроби.
Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса
экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать
каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 ответ.
и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не
Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению
экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.
подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных
программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение Желаем успеха!
минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником
основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего
образования определяется Рособрнадзором в установленном порядке.
К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в
демонстрационный вариант, дается одно-два возможных решения.
Приведенные критерии оценивания позволяют составить представление о
требованиях к полноте и правильности решений. Демоверсия, критерии
оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию
подготовки к ЕГЭ по математике.

(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 1 (с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 2
Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде

Часть 1
B4 В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 5 , B
Ответом к заданиям этой части (В1-В12) является целое число или cos A = 0,8 . Найдите BC .
конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов
№1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой
клеточки, без пробелов. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке
образцами. Единицы измерения писать не нужно. A C
3
B5 Строительная фирма планирует купить 70 м пеноблоков у одного из трех
B1 Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько
можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%? рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Стоимость
В2 На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех Стоимость пеноблоков доставки Дополнительные
суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – Поставщик
(руб. за 1 м3 ) (руб. за весь условия доставки
значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую заказ)
температуру воздуха 15 августа.
1 2600 10000
T °C При заказе товара на
18 сумму свыше 150000
2 2800 8000
17 рублей доставка
16 бесплатная.
15 При заказе товара на
14
13 сумму свыше 200000
3 2700 8000
12 рублей доставка
11 бесплатная.
10
9
8
7 B6 Найдите площадь четырехугольника,
6 изображенного на клетчатой бумаге с
5 размером клетки 1 см × 1 см (см.
4 рисунок). Ответ дайте в квадратных
3
2 сантиметрах.
1 t, час
0
6:00 18:00 6:00 18:00 6:00 18:00 6:00
0:00 12:00 0:00 12:00 0:00 12:00 0:00
13 августа 14 августа 15 августа

B3 Найдите корень уравнения 3x−2 = 27 . 1
B7 Найдите значение выражения log 2 200 + log 2 .
25


Часть 2
B8 На рисунке изображен график функции y = f ( x ) и касательная к этому
графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк
функции в точке x = 3 . ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и
т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

C1 Решите уравнение
6cos 2 x − cos x − 2
= 0.
− sin x

С2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а
3 диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и
плоскостью основания призмы.
1
Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) − log 2+3 ( x − 3) ≥ 2 .
2
С3 x
16

С4 На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и
BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и
касающейся прямой BC.

С5 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза
⎪
⎨
( )
⎧a x 4 + 1 = y + 2 − x ,
B9
больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите ⎪x2 + y2 = 4
⎩
объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах. имеет единственное решение.

B10 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел,
С6
он находится, описывается формулой h ( t ) = −5t 2 + 18t ( h – высота в метрах, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной
t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b,
секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. b
то получится десятичная запись числа, равного .
a
B11 Найдите наибольшее значение функции
3π ⎡ π⎤
y = 2cos x + 3 x − на отрезке ⎢0; 2 ⎥ .
3 ⎣ ⎦
B12 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два
дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Система оценивания экзаменационной работы по математике Решения и критерии оценивания заданий части 2

Ответы к заданиям части 1 Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности
ответа.
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом:
Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные
ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход
рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и формы
№ задания Ответ записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
В1 5 получен правильный ответ, выставляется максимальный балл.
В2 14 Эксперты проверяют математическое содержание представленного
В3 5 решения, а особенности записи не учитывают.
В4 3 В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие
В5 192000 требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех
В6 18 возможных ситуаций.
В7 3 Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0
В8 2 баллов.
В9 9 При выполнении задания экзаменуемый может использовать без
В10 2,4 доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в
В11 1 учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень
В12 20 учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и
науки Российской Федерации.
Ответы к заданиям части 2
С1 Решите уравнение
№ задания Ответ 6cos 2 x − cos x − 2
= 0.
С1 2π 2 − sin x
− + 2π n, − arccos + 2π n, n ∈ Z .
3 3
С2 30° Решение.
С3 –1 1. Уравнение равносильно системе arccos 2
С4 1 или 7 ⎧6cos 2 x − cos x − 2 = 0, 3
С5 a=4 ⎨
С6 a = 2, b = 5 ⎩− sin x > 0.
Из неравенства получаем, что 1 2
sin x < 0 . 2 3
В уравнении сделаем замену 0
cos x = t и решим уравнение
1 2
6t 2 − t − 2 = 0 . t = − или t = .
2 3 2
1 2 –arccos 3
Равенствам cos x = − и cos x =
2 3
на тригонометрической окружности
соответствуют четыре точки (см. рисунок). Две из них, находящиеся в
верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0 .

2π 2 1
Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) − log 2+3 ( x − 3) ≥ 2 .
2
Получаем решения: x = − + 2π n и x = − arccos + 2π n , где n ∈ Z . С3 x
3 3 16
Решение.
2π 2 Преобразуем неравенство:
Ответ: − + 2π n, − arccos + 2π n, n ∈ Z .
3 3 1
log x +3 ( ( 3 − x )( 3 + x ) ) − log 2+3 x − 3 ≥ 2 .
Баллы Критерии оценивания выполнения задания С1 4
x

2 Обоснованно получен правильный ответ. Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл:
1 Верно найдены нули числителя, но или не произведен отбор ⎧9 − x 2 > 0, ⎧( 3 − x )( 3 + x ) > 0,
найденных решений, или допущены ошибки в отборе. ⎪ ⎪
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, ⎪ x + 3 > 0, ⎪ x > −3,
⎨ ⎨
перечисленных выше. ⎪ x + 3 ≠ 1, ⎪ x ≠ −2,
⎪ x − 3 ≠ 0;
⎩ ⎪ x ≠ 3.
⎩
С2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 ,
а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью
A1BC и плоскостью основания призмы.
C1 Получаем: −3 < x < −2 или −2 < x < 3 .
Решение. Обозначим H середину ребра Значит, x − 3 = 3 − x при всех допустимых значениях x . Поэтому
BC (см. рисунок). Так как треугольник B1
1
ABC равносторонний, а треугольник
A1 log x +3 ( 3 − x ) + log x +3 ( 3 + x ) − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 ;
x
A1BC – равнобедренный, отрезки AH и 4
1
A1H перпендикулярны BC . log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 .
x
Следовательно, ∠A1HA – линейный угол 4
Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем:
двугранного угла с гранями BCA и BCA1 .
1
y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ; y = 2 .
2
Из треугольника A1 AB найдем: AA1 =1 .
4
Из треугольника AHB найдем: AH = 3 . C Таким образом, log x +3 ( 3 − x ) = 2 , откуда ( x + 3) = 3 − x ; x 2 + 7 x + 6 = 0 .
2

Из треугольника HAA1 найдем:
AA 1
H B Корни уравнения: −6 и −1 . Условию −3 < x < −2 или −2 < x < 3
tg ∠A1HA = 1 = . удовлетворяет только x = −1 .
AH 3
A Ответ: −1 .
Искомый угол равен 30° .
Решение 2. Можно не находить область допустимых значений x , а прийти к
Ответ: 30° .
соотношению x − 3 = 3 − x другим способом. Тогда решение будет немного
Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием короче.
векторов или метода координат.
Преобразуем неравенство:
1
Баллы Критерии оценивания выполнения задания С2 log x +3 ( ( 3 − x )( 3 + x ) ) − log 2+3 x − 3 ≥ 2 .
x
2 Обоснованно получен правильный ответ. 4
1 Способ нахождения искомого угла правильный, но получен Заметим, что x + 3 > 0 и ( 3 − x )( 3 + x ) > 0 . Значит, 3 − x > 0 .
неверный ответ или решение не закончено. Поэтому x − 3 = 3 − x . Получаем:
0 Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше.

1 Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:
log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 .
x
4 3 3
R = OQ = OE = R2 − 1 + 1.
Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем: 2 2
1 В результате получаем уравнение для R:
y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ;
2
y = 2.
4 3
R2 − 1 = R − 1.
Таким образом, 2
⎧ ⎡ x = −1, Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены.
⎧( x + 3)2 = ( 3 − x ) , ⎪⎢ Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1,
⎧ x + 7 x + 6 = 0, ⎪ ⎣ x = −6,
2
⎪
⎪ ⎪ ⎪ R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см.
log x +3 ( 3 − x ) = 2 ; ⎨ x + 3 > 0, ⎨ x > −3, ⎨ x > −3, x = −1 . рисунок б).
⎪ x + 3 ≠ 1; ⎪ x ≠ −2; ⎪ x ≠ −2;
⎪
⎩ ⎩ ⎪
⎪
⎩
Ответ: −1 .

Баллы Критерии оценивания выполнения задания С3
3 Обоснованно получен правильный ответ.
2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного
только конечным числом значений x.
1 Ответ неверен, но решение содержит переход от исходного
неравенства к верной системе рациональных неравенств.
0 Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше.

С4 На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и
BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и
касающейся прямой BC. Ответ: 1 или 7.
Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному Решение 2. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче
перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q –
BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку
пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из BQ 2 = BA ⋅ BD = ( BD + DA) ⋅ BD = (1 + 2 ) ⋅ 1 = 3 ,
условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ откуда BQ = 3 .
равны радиусу R окружности. Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC ,
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, проведенного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO
что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC
находим:
меньше, чем расстояние от нее до точки A.
BQ 1
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30° BO = = 2 , тогда AO = OD = 1 и OQ = BO = 1 .
cos 30° 2
2 3
находим, что PE = . Так как OA = R и AP = 1 , получаем: OP = R 2 − 1 и, Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же
3 расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее
2 3 радиус равен 1.
следовательно, OE = R 2 − 1 + .
3

Пусть теперь точка Q1 касания окружности с прямой BC лежит на Баллы Критерии оценивания выполнения задания С4
продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через 3 Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации
точку Q1 перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а и обоснованно получен правильный ответ.
окружность вторично – в точке T . Тогда 2 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
BQ1 = BA ⋅ BD = 3, ∠HBQ1 = ∠ABC = 30°, конфигурация, в которой обоснованно получено правильное
значение искомой величины.
BQ1 1 1 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
BH = = 2, HQ1 = BH = 1.
cos 30° 2 конфигурация, в которой получено значение искомой
величины, неверное из-за арифметической ошибки.
Если R – радиус окружности, то Q1T = 2 R . По теореме о двух секущих 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,
HQ1 ⋅ HT = HA ⋅ HD , то есть 1 ⋅ (1 + 2 R ) = ( 2 + 3) ⋅ 3 , откуда находим, что R = 7 . перечисленных выше.

С5 Найдите все значения a, при каждом из которых система
( )
⎧a x 4 + 1 = y + 2 − x ,
⎪
⎨
⎪x2 + y2 = 4
⎩
имеет единственное решение.

Решение. Пусть система имеет решение ( x; y ) . Если x ≠ 0 , то система имеет
второе решение ( − x; y ) . Значит, решение может быть единственным, только
при x = 0 .
Подставим x = 0 в первое уравнение: y = a − 2 . Пара ( 0; a − 2 ) должна
удовлетворять второму уравнению:
( a − 2 ) = 4 , откуда a = 0 или a = 4 .
2

Для каждого из двух найденных y
значений параметра нужно x2+y2=4
проверить, действительно ли
данная система имеет y=|x|–2
единственное решение.

Первый случай: a = 0 . Система
принимает вид 0
–2 2 x

Ответ: 1 или 7. ⎧ y =| x | −2,
⎨ 2
⎩x + y = 4
2

Графиком функции y = x − 2
–2
является угол, который имеет с
окружностью x + y =1
2 2
три
общие точки (см. рисунок). Значит, при a = 0 система имеет три решения.


Второй случай. a = 2 . Система принимает вид n
⎛5⎞ ⎛1⎞
n

⎧ y = 4 x 4 + x + 2, Функция f ( n ) = ⎜ ⎟ возрастает, а функция g ( n ) = 1 + ⎜ ⎟ убывает.
⎪ ⎝ 4⎠ ⎝4⎠
⎨ 2
⎪ x + y = 4.
⎩
2
Поэтому уравнение f (n) = g (n) имеет не более одного корня, и так как
Из первого уравнения следует, что при x ≠ 0 y > 2 , а из второго f (1) = g (1) , единственным корнем уравнения является n = 1 .
уравнения при x ≠ 0 получаем, что y < 2 . Следовательно, при x ≠ 0 система
Ответ: a = 2, b = 5 .
решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2 .
Возможны другие формы записи ответа. Например:
Ответ: a = 4 . А) ( 2;5) ;
5
Баллы Критерии оценивания выполнения задания С5 Б) = 2,5 ;
2
4 Обоснованно получен правильный ответ
⎧a = 2,
3 Получен правильный ответ. Решение в целом верное, но В) ⎨
либо недостаточно обоснованное, либо содержит ⎩b = 5.
вычислительные погрешности
2 Верно получены необходимые условия на значения a , Баллы Критерии оценивания выполнения задания С6
однако в проверке достаточных условий допущены ошибки 4 Обоснованно получен правильный ответ
1 Получены только необходимые условия на значения a 3 Получена система необходимых и достаточных условий на
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно
перечисленных выше. обоснована его единственность
2 Составлено верное уравнение в натуральных числах, из
которого сделаны существенные выводы для нахождения
С6 Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но
наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной верный ответ приведен.
записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, 1 Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных
то получится десятичная запись числа, равного b . числах, верный ответ приведен
a 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,
Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по перечисленных выше.
условию задачи можно записать равенство
b b
= a + n , поэтому 10n ( b − a 2 ) = ab .
a 10
Из этого уравнения следует, что b > a 2 ≥ a . Так как числа a и b взаимно
простые, числа b − a 2 и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p
– общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a , то p будет
делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем a 2 , значит, p –
делитель a . Противоречие.)
Поэтому b − a 2 = 1 и, следовательно, ab = 10n . Последнее равенство при
взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:
1) b = 10n , a = 1 , но в этом случае не выполняется равенство b − a 2 = 1 .
2) b = 5n, a = 2n. В этом случае равенство b – a2 = 1 принимает вид
n n
⎛5⎞ ⎛1⎞
5n − 4n = 1 , откуда ⎜ ⎟ = 1 + ⎜ ⎟ .
⎝4⎠ ⎝4⎠

ма демо 2011

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Similar to ма демо 2011

Similar to ма демо 2011 (20)

More from Ниджат гумматов

More from Ниджат гумматов (20)

ма демо 2011