1. I. Кинематика Y
A
Движущаяся точка А
Траектория точки А — линия, по которой движется точка.
1. Основные понятия Радиус-вектор — вектор, описывающий расположение точки в
пространстве. Это направленный отрезок, проведенный из начала
Система отсчета — ry = y r координат в точку, положение которой он задает.
совокупность тела отсчета, r Координата точки равна проекции радиус-вектора на координатную ось
системы координат, связанной
с телом отсчета, и часов, X
Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается
неподвижных относительно О
rx = x движение других тел.
тела отсчета. Скорость точки
r r r r
Y ∆r - Перемещение точки — изменение радиус-вектора r ∆r r ∆r dr r
1 (направленный отрезок, проведенный из начального v= v = lim = = r ′(t )
положения точки в ее конечное положение). ∆t ∆t →0 ∆t dt
r r r r
если v = const
r ∆r = r2 − r1 s – путь, пройденный точкой — Перемещение точки за время ∆t
r1 r длина участка траектории между начальным
Ускорение точки
r2 2 1 положением (1) и конечным положением (2), r
если точка не проходит по одному участку r ∆v r
r
∆v dv r
r
r
О
X траектории более одного раза (иначе путь a= a = lim = = v′(t ) = r ′′(t )
проекция ∆rx = ∆x = x2 – x1 2 находят как сумму путей на отдельных
r
∆t ∆t → 0 ∆ t dt
r участках).
вектора ∆r Проекция перемещения на координатную ось если a = const Изменение скорости за время ∆t
на ось ОХ равна изменению координаты
Среднее ускорение Средний вектор скорости Средний модуль скорости
(средняя скорость перемещения) (средняя путевая скорость)
r r
численно r ∆v r ∆r s
aср = Изменение
v ср = Вектор перемещения v =
± Sпод = ∆x ∆t скорости
∆t точки за время ∆t t
граф v x ( t ) за время ∆t
Путь, пройденный за время t
vx + - площадь выше оси t
– - площадь ниже оси t численно ax
v
t
численно ± Sпод = ∆v x
Sпод =s t
граф ax ( t )
t
граф v ( t ) + - площадь выше оси t
– - площадь ниже оси t
2. Законы сложения скоростей и ускорений
r r r r r r
v т/нсо = v т/псо +v псо/нсо
Скорость «подвижной» системы отсчета (ПСО) относи-
тельно «неподвижной» (НСО) (переносная скорость)
v 1/2 = v 1 − v 2
Скорость точки (т) Скорость первой точки Скорость второй
Скорость точки (т)
относительно «подвижной» относительно второй Скорость первой точки точки
относительно
системы отсчета (ПСО) (в «неподвижной» (в «неподвижной»
«неподвижной»
(относительная скорость) системе отсчета) системе отсчета)
системы отсчета (НСО)
(абсолютная скорость)
r r r Ускорение «подвижной» системы отсчета (ПСО)
a т/нсо = a т/псо + a псо/нсо относительно «неподвижной» (НСО)
Ускорение точки в (переносное ускорение)
«неподвижной» Если ПСО
Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета
системе отсчета (НСО) не вращается, движется поступательно
(ПСО)
(абсолютное относительно НСО
ускорение)
3. Нормальное и тангенциальное ускорения
Вектор скорости точки
r
a n — нормальное ускорение — r r
a
r v
Вектор ускорения («полное ускорение») представляют
составляющая полного n как сумму двух векторов (составляющих), один из
ускорения, перпендикулярная r r
которых ( a τ ) параллелен скорости, а другой ( a n )
вектору скорости. Это ускорение
r a r r r
a = aτ +an
характеризует быстроту
изменения направления вектора aτ r
перпендикулярен скорости:
скорости. a τ — тангенциальное ускорение — составляющая полного ускорения,
Радиус кривизны
v2 параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту
an = траектории в той точке,
r где имеет место данное dv
изменения модуля вектора скорости: a τ =
нормальное ускорение. dt

2. 4. Типы движений
4.1. Равномерное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит
(v = const) одинаковые пути (Вектор скорости не изменяется по модулю, но может меняться по
s = v ⋅t направлению)
Модуль скорости
Путь, пройденный точкой за время t
4.1.1 Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки
r
( v = const ) времени совершает одинаковые перемещения. (Вектор скорости
(a=0) s = v ⋅t x = x0 + vx ⋅t не меняется ни по модулю, ни по направлению)
О Проекция вектора скорости на координатную ось
r Координата точки в начальный момент t = 0
v
Х Координата точки в момент t
4.1.2 Равномерное движение по окружности
(равномерное вращение — движение твердого тела, при котором любая его точка движется по окружности,
причем, центры всех этих окружностей лежат на одной прямой перпендикулярной плоскости вращения, и за
любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.) r
v1 r
(ω = const) Угол, на который тело поворачивается за
v
∆ϕ время ∆t (угол измеряется в радианах) r
ω=
s = v ⋅t ∆t aц1
ω — Угловая скорость (измеряется в рад/с) ∆ϕ
R r
2π v = ω ⋅R R — Радиус окружности,
При равномерном движении по aц
ω= окружности точка обладает
T по которой движется точка ускорением, которое в любой
T - Период вращения — время, момент направлено к центру
t за которое происходит один этой окружности. Такое
1 T= ускорение называется
ν= N полный оборот.
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ.
T t — время, за которое
происходит N оборотов v - скорость движения точки
ν - частота вращения — число, v2
оборотов, происходящих за единицу времени (за 1 секунду).
aц = R – радиус окружности, по
R которой движется точка
Измеряется в герцах. 1 Гц = 1 оборот/с
4.2rДвижение с постоянным ускорением vx , vy - проекции скорости в момент t
( a = const ) r ∆v
r r r r vx = v0x + ax ⋅t
r v = v 0 + at ax , ay - проекции ускорения
При a = const : a = vy = v0y + ay ⋅t
∆t vx
численно v0x , v0y - проекции начальной скорости
± Sпод = ∆x v x + v 0x (т. е. скорости в момент t = 0)
граф v x ( t ) ∆x = t
t 2 ∆x , ∆y – изменение координат:
+ - площадь выше оси t r r v y + v 0y
r v +v0 ∆x = x – x0 ; ∆y = y – y0
– - площадь ниже оси t ∆r = t ∆y = t x , y – конечные координаты
2 2
(координаты в момент t)
r r
2a∆r = v 2 − v 0
2
2ax ⋅∆x = vx2 - v0x2 axt 2
x = x0 + v0x ⋅t + r
2ay ⋅∆y = vy2 - v0y2 r r r at 2
2 r = r0 + v 0t +
Форма траектории
ayt 2 2
при движении с постоянным ускорением:
y = y0 + v0y ⋅t + x0 , y0 – начальные координаты
2
r r (координаты в момент t = 0)
Прямолинейная траектория ( a иv параллельны)
r r r r Параболическая траектория
r r
4.2.1 Равноускоренное движение a ↑↑ v 4.2.2 Равнозамедленное движение a ↑↓ v ( a иv не параллельны)
v = v0 + a⋅t 2a⋅s = v2 − v02 v = v0 − a⋅t 2a⋅s = v02 − v2 r
v0
v +v0 at 2 v +v0
at 2 s= t s = v 0t − s= t
s = v 0t + 2 2 r
2 2 g
t ≤ tост = v0/а
4.3 Гармоническое движение x = A⋅cos(ωt + ϕ0) , vx = −A⋅ω⋅sin(ωt + ϕ0) , ax = −A⋅ω2⋅cos(ωt + ϕ0)
(вдоль оси ОХ) vm = A⋅ω am = A⋅ω2
x — координата колеблющегося тела (смещение от равновесного максимальная максимальное
положения); ω — циклическая частота колебаний, ax = −ω2⋅x скорость ускорение
2π
A — амплитуда колебаний (максимальное смещение) ω= период колебаний (время одного полного колебания)
ϕ = ωt + ϕ0 — фаза колебаний, ϕ0 — начальная фаза. T