elaborato

1. L’INDISSOLUBILE LEGAME TRA MATEMATICA E FISICA: STRUMENTI DELLA
MATEMATICA PER DESCRIVERE, MODELLIZZARE E RISOLVERE PROBLEMI
NELL’INDAGINE DEL MONDO FISICO
Introduzione:
“La natura è un libro scritto in caratteri matematici”: Galileo Galilei era consapevole del fatto che la
matematica è un linguaggio universale,che sisviluppae giunge agli stessi risultati indipendentemente
dalle culture. Le applicazioni sono molteplici e si estendono in tutti i campi della conoscenza: in
particolare è noto come lo strumento matematico sia alla base di tutte le congetture fisiche.
Già dalla preistoria l’uomo sentì la necessità di contare e di utilizzare i numeri per esigenze pratiche.
Addirittura nei tempi degli egizi la costruzione delle piramidi richiedeva calcoli matematici che
sembravano al di fuori dalla loro portata, o anche nei primi studi dell’astronomia per prevenire
l’inondazione del Nilo, a Talete, Pitagora, … ad oggi la matematica è considerata una vera e propria
scienza. La fisica si basa sull’osservazione dei fenomeni naturali per fornire una loro descrizione e
interpretarne le relazioni fra di essi si affida così alla matematica che va a modellizzare tali
osservazioni attraverso determinati strumenti. Un esempio di applicazione la possiamo ritrovare nel
circuito rappresentato in figura, costituito da un condensatore di capacità C, da una bobina di
induttanza L, e da un interruttore.
All’istante t=0 si chiude l’interruttore e il condensatore si scarica nel circuito. Indichiamo con q(t) il
valore della carica del condensatore all’istante t.
a) Giustifica in base alle leggi della fisica, perché la funzione q(t) che soddisfa l’equazione
differenziale: 𝑞′′(𝑡) +
1
𝐿𝑐
𝑞(𝑡) = 0 .
Per la seconda legge diKirchhoffla somma delle differenzedipotenziale diuna maglia è nulla,perciò:
sapendo che 𝑣𝑐 =
𝑄
𝑐
e 𝑉𝐿 = −𝐿
ⅆⅈ
ⅆ𝑡
→
𝑄
𝑐
+ 𝐿𝑖′(𝑡) = 0
sostituendo 𝑖 =
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
= 𝑞′(𝑡) → 𝑖′(𝑡) = 𝑞′′(𝑡) :
𝑄
𝑐
+ 𝐿𝑞′′(𝑡) = 0 da cui ricaviamo l’equazione differenziale
richiesta: 𝑞′′(𝑡) +
1
𝐿𝐶
𝑞(𝑡) = 0
b) Supposto 𝑐 = 2.10−3𝐹 ed 𝐿 = 1,25 ⋅ 10−1𝐻 , determina la soluzione generale dell’equazione
differenziale.
Dal punto di vista matematico è una
equazione differenziale lineare di
secondo ordine a coefficienti
costanti, omogenea.

2. Sostituendo i valori all’ equazione otteniamo: 𝑞′′(𝑡) +
1
(1,25⋅10−2𝐻)⋅(2⋅10−3𝐹)
𝑞(𝑡) = 0
che ha come equazione caratteristica: 𝜆2 +
1
2,5⋅10−5
= 0
con soluzione: 𝜆 = ±√−2002 a questo punto introduciamo i numeri immaginari, ricordando che
√−1 = 𝑖 → 𝜆 = ±200𝑖; essendo 𝛥 < 0 la soluzione finale è: 𝑞(𝑡) = 𝑐1 cos(200𝑡) + 𝑐2 sin(200𝑡)
c) Determina la soluzione particolare che soddisfa le condizioni 𝑞(0) =
√2
400
e 𝑞′(0) =
√2
2
.
Qui si presenta un problema di Cauchy che ci permette di trovare l’equazione esatta che soddisfa le
condizioni, perché mentre in matematica ci si accontenta di una famiglia di funzioni, in fisica si cerca
l’unica soluzione.
→ 𝑞(0) =
√2
400
procedendo con le sostituzioni:
√2
400
= 𝑐1 cos(200 ⋅ 0) + 𝑐2 sin(200 ⋅ 0)
√2
400
= 𝐶1 ⋅ 1 + 𝐶2 ⋅ 0 troviamo il valore di 𝐶1 =
√2
400
→𝑞′(0) =
√2
2
:
avendo trovato il valore di 𝐶1 =
√2
400
lo inseriamo all’interno dell’equazione:
𝑞(𝑡) =
√2
400
cos(200𝑡) + 𝑐2 sin(200𝑡) e prima di eguagliarlo a
√2
2
troviamo la derivata di q(t):
possiamo sfruttare la proprietà della linearità:
𝑞′(𝑡) = (
√2
400
⋅ (−sin(200𝑡) ⋅ 200)) + 𝐶2 cos(200𝑡) ⋅ 200
semplificando otteniamo la derivata finale: 𝑞′(𝑡) = −
√2 sin(200𝑡)
2
+ 𝑐2 cos(200t)200
a questo punto possiamo procedere con le sostituzioni:
√2
2
= −
√2 sin(200⋅0)
2
+ 𝑐2 cos(200 ⋅ 0) ⋅ 200
√2
2
= 200𝑐2 troviamo 𝐶2 =
√2
400
→ Dopo aver trovato i due valori 𝐶1 =
√2
400
e 𝐶2 =
√2
400
basta sostituirli all’equazione iniziale:
regola di derivazione delle funzioni
composte: 𝑓′(𝑔) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)

3. 𝑞(𝑡) =
√2
400
⋅ cos(200𝑡) +
√2
400
⋅ sin(200𝑡)
d)Verifica che la soluzione particolare ottenuta si può esprimere nella forma
𝑞(𝑡) =
1
200
sin (2 cot+
𝜋
4
).
Partendo da 𝑞(𝑡) =
√2
400
⋅ cos(200𝑡) +
√2
400
⋅ sin(200𝑡)
divido numeratore e denominatore per 2: q(t)=
√2
2
⋅cos(200𝑡)+
√2
2
⋅sin(200𝑡)
200
sapendo che cos
𝜋
4
= sin
𝜋
4
=
√2
2
sostituisco i valori: q(t)= sin
𝜋
4
⋅ cos(200𝑡) + cos
𝜋
4
⋅ sin(200𝑡)
notiamo che è l’addizione del seno sviluppato, quindi: q(t)=
1
200
⋅ sin (200𝑡 +
𝜋
4
)
e) Determina il valore medio della quantità di carica dell’istante iniziale fino al primo istante in cui
la quantità di carica assume il suo valore massimo.
Dal 𝑞(𝑡) =
1
200
sin (200𝑡 +
𝛱
4
) si può ottenere il massimo valore se il sin (200𝑡 +
𝜋
4
) = 1
quindi: 200𝑡 +
𝜋
4
=
𝜋
2
→ 𝑡 =
𝜋
800
Applicando la formula per trovare il valore medio 𝑓(𝑐) =
1
𝑏−𝑎
∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎 :
1
𝜋
800
∫
1
200
sin (200𝑡 +
𝜋
4
) ⅆ𝑡
𝜋
800
0
Sfruttando la linearità e semplificando:
4
𝜋
∫ sin (200𝑡 +
𝜋
4
)ⅆ𝑡
𝜋
800
0
Procedendo per sostituzione, con 𝑥 = 200𝑡 +
𝜋
4
e ⅆ𝑥 = 200 ⅆ𝑡 da cui ricaviamo ⅆ𝑡 =
ⅆ𝑥
200
:
4
200𝜋
∫ sin(𝑥) ⅆ𝑥
𝜋
800
0 → semplifichiamo, integriamo e sostituiamo i valori:
2
100𝜋
(−cos (200𝑡 +
𝜋
4
))|
0
𝜋
800
Ora procediamo con i calcoli sfruttando il teorema fondamentale per i calcoli degli integrali definiti
∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) otteniamo:
2
100𝜋
(−cos (
𝜋
4
+
𝜋
4
) + cos(
𝜋
4
)) =
2
100𝜋
(0 +
√2
2
) =
√2
100𝜋
Considerando il circuito LC, l’energia totale del circuito in ogni istante è data dalla somma
dell’energia immagazzinata nel condensatore (C) e quella immagazzinata nell’induttanza (L),
riprendendo l’equazione differenziale trovata precedentemente: 𝐿𝑞′′(𝑡) +
1
𝐶
𝑞(𝑡) = 0
E conoscendo l’equazione caratteristica: 𝜆2 +
1
𝐿𝐶
= 0

4. di soluzioni immaginarie: 𝜆 = ±𝑖
1
√𝐿𝐶
, e ponendo 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
sì ottiene la soluzione generale
dell’equazione differenziale: 𝑞 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
derivandola rispetto a t otteniamo la corrente: 𝐼 =
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
= −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝐵 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
considerando le condizioni iniziali 𝑞 = 𝑞0 e 𝐼 = 0 per 𝑡 = 0, si ottiene:
{
𝑞0 = 𝐴
0 = 𝐵𝜔
{
𝐴 = 𝑞0
𝐵 = 0
→ 𝑞 = 𝑞0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) e 𝐼 = −𝑞0𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
La carica nel condensatore oscilla nel
tempo continuando a caricare e a scaricare
il condensatore, mentre la corrente
nell’induttanza varia sinusoidalmente.
Aggiungendo al circuito LC una
resistenza R (l’elemento
dissipativo), si avrà un circuito
oscillante smorzato, in quanto ad
ogni oscillazione la I che si converte
da elettrica (C) a magnetica (L)
viene dissipata (R). Per mantenere
permanente l’oscillazione serve un
alimentatore esterno, l’alternatore
(generatore di fem alternata che
fornisce energia continua)
Le applicazioni dei circuiti nella realtà sono molteplici, uno dei più noti sono:
La sintonizzazione che sfrutta i circuiti RLC utilizzati dai ricevitori
radio e televisori per selezionare una gamma di frequenza ristretta
dalle onde radio ambientali. In un comune sintonizzatore radio, ad
esempio girando la manopola della sintonia si fa ruotare un insieme
di lastre di un condensatore all’interno di un altro insieme di lastre,
facendo variare la capacità del circuito e la sua frequenza di
risonanza, se il picco è alto e stretto, come avviene per le resistenze
basse, vengono ricevute e amplificate solo le stazioni che
trasmettono alla frequenza di risonanza.

5. →Il sintetizzatore multiplo Marconi-Franklin, inventato nel
1907, si trovava a bordo del Titanic. Collegato ad un
radioricevitore, permette di selezionare una sola frequenza
fra tutte quelle ricevute dall’antenna della stazione ricevete.
Molto importante è il contributo data alla sicurezza, infatti
i metal detector utilizzano la risonanza nei circuiti RLC.
Quando passiamo attraverso un metal detector è come se
passassimo attraverso una grande bobina. Gli oggetti
metallici fanno aumentare l’induttanza della bobina e ciò
abbassa leggermente la frequenza di risonanza del circuito
RLC al quale è collegata la bobina. Se il picco di risonanza
è alto e stretto, produrrà una grande variazione della
corrente, che attiva il detector, indicando la presenza di
metallo.
Da ciò vediamo come le varie scienze siano collegate insieme. Di fatti, soprattutto con la pandemia
si stanno sviluppando sempre di più le Smart City, la “città intelligente”, un insieme di strategie di
pianificazione urbanistica, che grazie al contributo della tecnologia hanno il fine di garantire uno
sviluppo urbano adeguato e sostenibile. La gestione del rischio nelle “smart city” non è un processo
semplice, esse dovranno fondare i propri meccanismi di funzionamento sulle tecnologie informatiche
e digitali, e quindiserviranno dispositivicapaci,sempredipiù,diinviare e ricevere un numeroelevato
di dati in maniera autonoma,il che li rende anche più imprevedibili. L’ambiente urbano sarà sempre
più complesso e popolato da miliardi di sensori e dispositivi tecnologici, rendendoci dipendenti dalla
tecnologia, basti pensare alle automobili a guida automatica o ai semafori “intelligenti”. L’utilizzo
crescente dell’intelligenza artificiale richiama così anche la questione dell’etica. Ormai tutto è
collegato,e con la diffusione delWiFi,(WirelessFidelity)che trasmettono informazionitramite l’aria
utilizzando onde radio, che sono un tipo di radiazione elettromagnetica,siamo tutti più vulnerabili,
costantemente collegati e controllati, e senza rendercene conto perdiamo una parte della nostra
privacy.

6. BIBLIOGRAFIA:
-FISICA modelli teorici e problem solving 3 James S. Walker
-La matematica a colori 5 Leonardo Sasso
SITOGRAFIA:
- https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circuito_LC.png
-https://www.netspotapp.com/it/what-is-wifi.html
-https://www.chimica-online.it/fisica/circuito-rlc.htm
-https://it.xcv.wiki/wiki/RLC_circuit
IMMAGINI:
https://na.panasonic.com/ f4QPwt
https://fthmb.tqn.com/.jpg
https://th.bing.com/thImgRaw
https://www.chimica-online.it/fisica/circuito-rlc.htm
https://th.bing.com/thImgRaw