Presentació de la conferència organitzada pel creamat i realitzada el 27 d'abril al Departament d'Ensenyament

1. Entre el pla i l’espai, la visualització
Reflexions sobre el bloc
Espai i Forma
Cecilia Calvo
David Barba
Barcelona, Girona, Lleida, Tarragona
Abril-Maig 2012

2. Ordenació dels ensenyaments de l’educació
primària i secundària
Estructuració de continguts del bloc espai i forma
cal desenvolupar (el coneixement i) l’anàlisi de les
característiques i propietats de les figures de tres i
dues dimensions;
localitzar i descriure relacions espacials;
identificar i aplicar transformacions geomètriques, i
utilitzar la visualització i els models geomètrics per
resoldre problemes.
Diari Oficial de la Generalitat de Catalunya
DOGC núm. 4915 - 29/06/2007

3. Marc conceptual de PISA
La geometria és la base de l’espai i la forma, però
aquesta categoria va més enllà de la geometria
tradicional ja que inclou elements d’altres àrees
matemàtiques com ara la visualització espaial, la
mesura i l’àlgebra.
La competència matemàtica en espai i forma inclou un
seguit d’activitats com ara crear i llegir mapes,
transformar formes mitjançant la tecnologia, interpretar
imatges d’escenes tridimensionals des de diferents
perspectives, construir representacions de formes.
Marc conceptual de matemàtiques PISA 2012
Consell Superior d’Avaluació
Colecció “Documents” Nº 18 Febrer 2011

4. Tres activitats
Construïm o dibuixem polígons?
Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?
Quines fotografies tiraries per descriure aquest
objecte?

5. Construïm o
dibuixem polígons?

6. Geometria plana: fins ara
Prototips
Etiquetes
Definicions
de diccionari

7. Geometria plana
Univers
Prototips
de figures
Etiquetes Eines per
comunicar
Definicions Propietats
de diccionari comunes

8. Univers de figures: tangram

9. Univers de figures: tangram
?

10. Univers de triangles: tangram
o o o
e

11. Univers de quadrilàters
Construeix tots els
quadrilàters que puguis

12. Univers de quadrilàters
Quadrats, rombes, paral·lelograms, trapezis, rectangles,
quadrilàters no convexos
Perímetre, àrea, angles, simetries,

13. Univers de quadrilàters
en un ambient de resolució de problemes
Com els anomenem?
a
b
c

14. Univers de quadrilàters
en un ambient de resolució de problemes
a
b
c

15. Les eines determinen la tasca:
dibuixar sobre paper blanc, en un geoplà o ...

16. Les eines determinen la tasca: paper
Plegat de paper

17. Les eines determinen la tasca: regle i ...
Regle i escaire
Regle i semicercle
Regle i compàs
...

18. Les eines determinen la tasca: les tires
Univers de triangles amb tires de colors

19. De les tires a la construcció amb regle i compàs

20. Entre dibuixar i construir: explicar
Vinyetes
Vocabulari
arc, vèrtex, circumferència, centre, radi, intersecció, ...
Justificació
“La circumferència representa el conjunt de punts que estan a una distància
d del vèrtex A”

21. Dibuixar o construir: dibuix tècnic

22. Dibuixar o construir: Geogebra

23. Hi ha algun
poliedre amb més
cares que vèrtexs?

24. Comentari 1
No es fàcil comptar el nombre
de cares, arestes o vèrtexs d’un
poliedre a partir d’una imatge

25. Comentari 1
De tota manera, imatges com les
de la galeria d’imatges de
poliedres de la Vikipedia poden
ser un bon recurs

26. Capsa de cossos
Comentari 1
Però no substitueixen
l’experiència de comptar cares,
arestes i vèrtexs tocant l’objecte. Envasos

27. Comentari 2
Existeixen materials manipulatius
que faciliten la tasca de comptar
cares i d’altres que faciliten la
tasca de comptar arestes i vèrtexs.

28. Comentari 2 http://edumat.uab.cat/materials/
Index.php?opcio=mostra_familia&id=10
Aquests materials poden ser
comercials o casolans.
A la pàgina web de l’Espai Jordi
Esteve trobareu informació sobre
els dos tipus de materials
http://edumat.uab.cat/materials/
Index.php?opcio=mostra_familia&id=9

29. Comentari 3
A més de comptar tocant, hem
de promoure que els alumnes
comptin arestes, cares i vèrtexs
imaginant el poliedre.

30. cares
Comentari 3
Per exemple, si a la caixa de
arestes
poliedres que portem a l’aula
només hi ha piràmides de base
quadrada, podem demanar-los vèrtexs
que imaginin una piràmide que
tenga com a base un triangle o
un pentàgon.

31. cares
Comentari 3
O amb alumnes més grans,
arestes
podem demanar-los que
imaginin una piràmide que tenga
com a base un polígon de n vèrtexs
costats.

32. cares arestes vèrtexs
Comentari 3 prismes
piràmides
I podem fer el mateix per altres
poliedres quan la “base” és un bipiràmides
polígon de n costats
antiprismes

33. cares arestes vèrtexs
Comentari 3 prismes n+2 3n 2n
piràmides n+1 2n n+1
I podem fer el mateix per altres
poliedres quan la “base” és un bipiràmides 2n 3n n+2
polígon de n costats
antiprismes 2n+2 4n 2n

34. Comentari 3
Vols ser milionari? una activitat
perquè els alumnes comptin
arestes, cares i vèrtexs
imaginant el poliedre.
http://puntmat.blogspot.com.es/2012/03/
vols-ser-milionaricomptant-cares.html

35. Comentari 3
Problemes a l'esprint
Cicle superior de Primària
Edició 2012

36. Comentari 3
També hem de promoure que els
alumnes comptin arestes, cares i
vèrtexs invocant les propietats
del poliedre.

37. Cub truncat
• Un cub té 8 vèrtexs, cadascun
d’ells en el cub truncat es
converteix en tres nous
vèrtexs, per tant, el nou cos
té ... vèrtexs.
• Un cub té 6 cares en truncar-
lo s’afegeix una cara per cada
vèrtex del cub original, per
tant, queden ... cares.
• Un cub té 12 arestes en
truncar-lo s’afegeixen tres
arestes per cada vèrtex del
cub original, per tant,
queden ... arestes

38. Cub modificat
• El nou cos té una cara més
que el cub i tres noves
arestes, per tant, el nou cos té
7 cares i 15 arestes
• És cert que el nou cos té tres
vèrtexs que abans no tenia
però ha perdut un del vèrtexs
antics per tant només s’han
afegit 2 vèrtexs i el total ara és
de 10.

39. Icosaedre
• Té 20 cares triangulars, cada
cara té 3 arestes, multiplicant
20x3 podem pensar que té un
total de 60 arestes però així
comptem cada aresta dos
cops, per tant el nombre
d’arestes és 30.
• Cada cara té 3 vèrtexs però
com que cada vèrtex pertany
a 5 cares el nombre de vèrtexs
és 20x3:5, o sigui, 12.

40. Comentari 4
També és important que els
alumnes comptin cares, arestes i
vèrtexs d’un poliedre a partir del
seu desenvolupament pla.

41. Diagrames de Schlegel

42. C A V
Cub 6 12 8
Comentari 5 Prisma de base
5 9 6
triangular
Hi ha algun poliedre amb més Piràmide
pentagonal 6 10 6
cares que vèrtexs?
Tetraedro 4 6 4
Bipiràmide
quadrangular 8 12 6

43. C A V
Cub 6 12 8
Comentari 5 Prisma de base
5 9 6
triangular
Hi ha algun poliedre amb més Piràmide
pentagonal 6 10 6
cares que vèrtexs?
Tetraedro 4 6 4
Bipiràmide
quadrangular 8 12 6

44. C A V
Cub 6 12 8
Tetraedre 4 6 4
Comentari 5 Bipiràmide
triangular 6 9 5
Antiprisma
Què hi ha més en un poliedre hexagonal 14 24 12
convex: cares, arestes o Piràmide
vèrtexs? pentagonal 7 15 10
truncada
Bipiràmide
heptagonal 21 35 16
elongada
Icosaedre 20 30 12

45. C A V
Cub 6 12 8
Tetraedre 4 6 4
Comentari 5 Bipiràmide
triangular 6 9 5
Antiprisma
Què hi ha més en un poliedre hexagonal 14 24 12
convex: cares, arestes o Piràmide
vèrtexs? pentagonal 7 15 10
truncada
Bipiràmide
heptagonal 21 35 16
elongada
Icosaedre 20 30 12

46. C A V C+V
Cub 6 12 8 14
Tetraedre 4 6 4 8
Comentari 5 Bipiràmide
triangular 6 9 5 11
Antiprisma
Hi ha més arestes que cares i hexagonal 14 24 12 26
vèrtexs junts? Piràmide
pentagonal 7 15 10 17
truncada
Bipiràmide
heptagonal 21 35 16 37
elongada
Icosaedre 20 30 12 32

47. C A V C+V
Cub 6 12 8 14
Tetraedre 4 6 4 8
Comentari 5 Bipiràmide
triangular 6 9 5 11
Antiprisma
Hi ha més arestes que cares i hexagonal 14 24 12 26
vèrtexs junts? Piràmide
pentagonal 7 15 10 17
truncada
Bipiràmide
heptagonal 21 35 16 37
elongada
Icosaedre 20 30 12 32

48. Comentari 5
El teorema de Euler

49. Comentari 5
El teorema d’Euler es compleix
per a poliedres convexos
C=16, V=16 y A=32

50. Quines fotografies
tiraries per descriure
aquest objecte?
http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723

51. torres
structuro
amagades
tridio
Materials manipulatius

52. http://goo.gl/9dBQy http://goo.gl/EUgCg
9dBQy EUgCg
http://goo.gl/lDtQd
l (ela) D t Q d
Applets

53. Exercicis

54. Exercicis
Problemes a l'esprint
Cicle superior de Primària
Edició 2012

55. http://puntmat.blogspot.com.es/2012/02/
visualitzacio-amb-cubets-iii.html

56. Un altre exemple:
Davant Dreta

57. Un altre exemple:
Davant Dreta
Com volem la solució: en dues dimensions o en tres?

58. Un altre exemple:
Davant Dreta
En perspectiva isomètrica o cavallera?

59. Un altre exemple:
Davant Dreta
Amb quines eines volem que facin la representació?

60. Un altre exemple:
Davant Dreta
Quantes solucions volem?

61. Un altre exemple:
Davant Dreta
Amb quin grau d’exhaustivitat?

62. Un altre exemple:
Davant Dreta
Permetent cubs voladors?

63. per acabar...

64. geometria materials manipulables
mesura regle i compàs
àlgebra fotografies
plastilina
origami
applets
Espai i forma ...
a través d’activitats
al pla
a l’espai identificar
estàtics descriure/definir
en moviment representar
comunicar