2. Els POLIEDRES són cossos
geomètrics limitats per
cares planes en forma de
polígons
2
3. ELEMENTS D’UN POLIEDRE
1. CARES:
Són els polígons que limiten el poliedre
2. ARESTES:
Són els costats de les cares.
Cada dues cares contigües comparteixen
una aresta
3. VÈRTEXS:
Són els vèrtex de les cares.
En cada vèrtex concorren tres o més cares
3
4. EXERCICI
Quins dels següents cossos no són poliedres?
RESPOSTA:
Els cossos F, G i H no són poliedres
perquè algunes cares són corbes 4
5. POLIEDRES REGULARS
Un poliedre es diu que és REGULAR si
compleix les condicions següents:
2.Totes les seves cares són polígons
regulars iguals
3.Cada vèrtex comparteix el mateix
nombre de cares
5
7. TETRAEDRE REGULAR
Cares?
•Té 4 cares
Com són?
•Triangles equilàters
Arestes?
•Té 6 arestes
Vèrtexs?
•Té 4 vèrtexs
Cares a cada vèrtex?
•Cada vèrtex comparteix 3 cares
7
8. HEXAEDRE REGULAR ò CUB
Cares?
•Té 6 cares
Com són?
•Quadrats
Arestes?
•Té 12 arestes
Vèrtexs?
•Té 8 vèrtexs
Cares a cada vèrtex?
•Cada vèrtex comparteix 3 cares
8
9. OCTAEDRE REGULAR
Cares?
•Té 8 cares
Com són?
•Triangles equilàters
Arestes?
•Té 12 arestes
Vèrtexs?
•Té 6 vèrtexs
Cares a cada vèrtex?
•Cada vèrtex comparteix 4 cares
9
10. DODECAEDRE REGULAR
Cares?
•Té 12 cares
Com són?
•Pentàgons regulars
Arestes?
•Té 30 arestes
Vèrtexs?
•Té 20 vèrtexs
Cares a cada vèrtex?
•Cada vèrtex comparteix 3 cares
10
11. ICOSAEDRE REGULAR
Cares?
•Té 20 cares
Com són?
•Triangles equilàters
Arestes?
•Té 30 arestes
Vèrtexs?
•Té 12 vèrtexs
Cares a cada vèrtex?
•Cada vèrtex comparteix 5 cares
11
12. Desenvolupament dels
poliedres regulars
Si desplegam un poliedre i
l’extenem en el pla, obtenim el
seu desenvolupament
12
13. Desenvolupament del
tetraedre
Desenvolupament del
cub
Desenvolupament de
l’octaedre
Desenvolupament del
dodecaedre
Desenvolupament de
l’icosaedre
13
15. PRISMA
Un prisma és un poliedre limitat per dos
polígons iguals i paral·lels (denominats bases)
i uns quants paral·lelograms (denominats
cares laterals)
L’altura del prisma és la distància entre les bases
Si les cares laterals són perpendiculars a les
bases, tenim un prisma recte
Si les cares laterals no són perpendiculars a les
bases, tenim un prisma oblic
15
16. CLASSIFICACIÓ DELS PRISMES
segons els polígons de les bases
Segons que les bases siguin: els prismes es denominen:
Triangles Triangular
Quadrats Quadrangular
Pentàgons Pentagonal
Hexàgons Hexagonal
Els primes rectes les bases dels quals són polígons
regulars, els denominem prismes regulars
16
17. EXERCICI:
Posa el nom als següents prismes
RESPOSTA
a) Prisma Triangular Regular c) Prisma Pentagonal Regular
b) Prisma Quadrangular d) Prisma Hexagonal Regular
17
19. EXERCICI
Calcula l’àrea total d’un prisma hexagonal regular, l’aresta
lateral del qual fa 10cm, l’aresta de a base 4cm i
l’apotema 3’5cm
RESPOSTA
AL = perímetre de la base x altura = 24 x 10 = 240 cm2
perímetre x apotema 24 x 3'5
AB = = = 42 cm 2
2 2
AT = 240 + 2 x 42 = 324 cm2
19
20. PARALEL·LEPÍPEDES. ORTOEDRE
Un paral·lelepípede és un
prisma les bases del qual són
paral·lelograms. Cada dues cares
oposades són iguals.
Un ortoedre és un paral·lelepípede en el que
la totalitat de les cares són rectangles. Les
lletres a, b i c reben el nom de dimensions o
arestes de l’ortoedre.
Un cub és un ortoedre en què les tres
dimensions són iguals. Les sis cares del
cub són quadrats iguals.
20
21. CÀLCUL DE LA DIAGONAL DE L’ORTOEDRE
La d és la diagonal de l’ortoedre.
La calcularem aplicant dos cops
els teorema de Pitàgores:
d = a +b +c 2 2 2
Exemple: Calcula la diagonal
del següent ortoedre
Resposta: d = 4 2 + 3 2 + 12 2 = 13 21
22. PIRAMIDES
Una PIRÀMIDE és un poliedre que té com a
base un polígon qualsevol, i com a cares
laterals, triangles amb un vèrtex comú, que
es denomina vèrtex de la piràmide.
L’altura de la piràmide és la distància del
vèrtex al pla de la base.
Una PIRÀMIDE és REGULAR quan la base
és un polígon regular i el vèrtex es projecta
sobre el centre d’aquest polígon.
En una piràmide regular totes les arestes
laterals són iguals i les cares laterals són
triangles isòsceles iguals. Les altures dels
triangles es denominen apotemes de la
piràmide. Però alerta, ja que la base també
té una apotema que es denomina apotema
de la base.
Les piràmides es denominen triangulars,
quadrangulars, pentagonals,..., segons
que el polígon de la base sigui un triangle, 22
un quadrilàter, un pentàgon,...
23. DESENVOLUPAMENT D’UNA PIRÀMIDE
REGULAR. SUPERFÍCIE
ATOTAL = ALATERAL + ABASE
Exemple: Calcula la superfície de la següent piràmide en la
que h=160m ; l=240m i a'=120m
AB = l x l = 240 x 240 = 57600 m 2
a = h 2 − a′2 = 160 2 − 120 2 = 105'8 m
l x a 240 x 105'8
AL = = = 12696 m 2
2 2
23
AT = 57600 + 6 x 12696 = 133776 m 2
24. TRONC DE PIRAMIDE
Si tallem una piràmide per un pla
paral·lel al de la base, el cos comprès
entre els dos plans es denomina tronc
de piràmide.
Un tronc de piràmide té dues bases,
la distància entre les quals rep el
nom d’altura del tronc.
Si la piràmide és regular, el tron de
piràmide corresponent també és regular.
Les cares laterals són trapezis isòsceles
iguals. L’altura de cadascun es denomina
apotema del tronc de piràmide.
24
25. DESENVOLUPAMENT LATERAL D’UN
TRONC DE PIRÀMIDE. SUPERFÍCIE
ATOTAL = ALATERAL + ABASES
Exemple: Calcula l’àrea total del següent tronc de piràmide
AB major = l x l = 4 x 4 = 16 m 2
AB menor = l x l = 2 x 2 = 4 m 2
h = 32 − 12 = 2'8 m
AL =
( B + b ) x h = ( 4 + 2) x 2'8 = 8'4 m 2
2 2
AT = 4 x 8'4 + 16 + 4 = 53'6 m 2 25
26. MESURES DE CILINDRES
ATOTAL = ALATERAL + ABASES
ALATERAL = 2πr x h
ABASE = πr2
ATOTAL = 2πr x h + πr2
Exemple: Calcula l’àrea total d’un cilindre, de radi 2cm i
alçada 10cm
AB = π · r 2 = 3'14 x 4 = 12'56 cm 2
AL = 2πr · h = 2 x 3'14 x 2 x 10 = 125'6 cm 2
AT = 125'6 + 2 x 12'56 = 150'72 cm 2
26
27. MESURES DE CONS
ATOTAL = ALATERAL + ABASE
ALATERAL = πr x g
ABASE = πr2
ATOTAL = πr x g + πr2
Exemple: Calcula l’àrea total d’un con,
de radi 2cm i alçada 10cm
AB = π · r 2 = 3'14 x 4 = 12'56 cm 2
g = 10 2 + 2 2 = 10'39 cm
AL = π ·r · g = 3'14 x 2 x 10'39 = 65'31 cm 2
AT = 12'56 + 65'31 = 77'87 cm 2 27
28. TRONC DE CON
Si tallem un con per un pla paral·lel al
de la base, el cos comprès entre els dos
plans es denomina tronc de con.
Un tronc de con té dues bases,
la distància entre les quals rep el nom
d’altura del tronc de con.
28
29. DESENVOLUPAMENT LATERAL D’UN
TRONC DE CON. SUPERFÍCIE
ATOTAL = ALATERAL + ABASES
Exemple: Calcula l’àrea total d’un tronc de con de radis
4cm i 3cm i altura 5cm
AB major = π x r 2 = 3'14 x 16 = 50'24 cm 2
AB menor = π x r 2 = 3'14 x 9 = 28'26 cm 2
g = 52 + 12 = 5'10 cm
AL = π · ( r − r ') g = 3'14 · ( 4 − 3) · 5'10 = 16.014 cm 2
AT = 16'014 + 28'26 + 50'24 = 94,414 cm 2 29
30. ESFERA I FIGURES ESFÈRIQUES
L’esfera és una figura de
revolució, que s’obté fent girar
un semicercle al voltant d’un
diàmetre.
L’àrea d’una superfície esfèrica
de radi R és: A = 4πR 2
Algunes figures interessants que s’obtenen a partir de l’esfera són:
30
31. GLOBUS TERRAQUI
La forma que té la Terra, que és quasi
esfèrica, s’anomena ESFERA TERRESTRE o
GLOBUS TERRAQUI.
MERIDIANS: Circumferències màximes que
passen pels pols.
MERIDIÀ ZERO: A partir del qual
comencem a contar-los, passa per Greenwich
(a prop de Londres).
PARAL·LELS: Circumferències que s’obtenen si tallem la superfície
terrestre per un pla perpendicular a l’eix terrestre.
EQUADOR: Paral·lel màxim.
31
32. COORDENADES GEOGRÀFIQUES
Tot punt de l’esfera terrestre, per poder-lo localitzar, té dues
coordenades geogràfiques: LATITUD I LONGITUD.
LATITUD: Valor en graus de l’arc que va des
de l’equador fins al paral·lel pel qual passa
pel punt.
LONGITUD: Valor en graus de l’arc que va
des del meridià zero fins al meridià que
passa pel punt.
32
36. VOLUM DE L’ORTOEDRE
I DEL CUB
El volum d’un ortoedre les dimensions del
qual siguin a,b i c és:
V = a · b · c
Un cub és un ortoedre amb les tres
dimensions iguals. Per tant:
V = a · a · a = a3
36
37. EL PRINCIPI DE CAVALIERI
Si dos cossos tenen la mateixa altura i en tallar-los per
plans paral·lels a les bases obtenim figures amb la mateixa
àrea els cossos tenen el mateix volum.
Aquest resultat és molt important, ja que permet calcular
de manera molt fàcil el volum de prismes,
paral·lelepípedes, cilindres i qualsevol figura prismàtica.
37
38. VOLUM DEL PARALEL·LEPÍPEDE
El volum d’un paral·lelepípede és igual al d’un ortoedre que
tingui la mateixa altura i una base amb la mateixa àrea:
V = Àrea de la base · Altura
38
39. VOLUM D’UNA FIGURA PRISMÀTICA
Una figura prismàtica és qualsevol figura
geomètrica amb dues bases iguals i
paral·leles entre si. El volum de qualsevol
figura prismàtica ve donat per:
V = Àrea de la base · Altura
El volum d’un prisma El volum d’un cilindre és:
recte o oblic és:
V = Àrea de la base · Altura
V = Àrea de la base · Altura V = π r2 · h
39
40. VOLUM DE PIRÀMIDE I CON
1 1
V = Abase · altura V = Abase · altura
3 3
1
V = π ·r ·h
2
3 40
