л

1. www.emust.edu.mn
Мэдээллийн Технологийн
хэрэглээ - I
ВИРТУАЛ ТЕХНОЛОГИЙН ТЭНХИМ,
Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
Код: U.IT101 1

2. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
IT101- Мэдээллийн Технологийн хэрэглээ - I
Сэдэв: Үндсэн Онол
2

3. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Агуулга
Тооллын систем
Хэрэглээний математик
Мэдээллийн онол
3

4. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Зорилго: Компьютерийн системийн үндсэн математик, тоон
систем, код, логик гэсэн ойлголтуудтай танилцах.
Чадвар: Тооллын системүүдийн хооронд тоог хөрвүүлэх, 2-тын
тооллын системд арифметикийн үйлдэлүүдийг хийх
Зорилго| Мэдлэг| ЧАДВАР
4

5. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээллийн онол
5
Мэдээллийн онол гэж аливаа мэдээллийг тоолж болох тоон хэлбэрт
шилжүүлж тооцоолол хийдэг хэрэглээний математикийн нэг салбар
юм. Компьютерийн тооцоололд оролцдог тоон утга ба өгөгдлийн
суурь логикийг ойлгохын тулд мэдээллийн нэгжийг тодорхойлох,
дижиталчилах, тэмдэгтийн код зохион байгуулах гэх мэт янз бүрийн
ойлголтыг ойлгох нь чухал юм.
https://www.khanacademy.org/computing/computer-
science/informationtheory

6. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Энгийнээр тодорхойлбол, нэг оюун ухаан нөгөө нэгэндээ нөлөөлөх
боломж олгож байгаа зүйлийг мэдээлэл гэж болно. Өөрөөр хэлбэл
хэн нэгэн өөрийн санаагаа өөр нэгэнд ойлгомжтойгоор
илэрхийлэхийн тулд ашиглаж байгаа
Мэдээлэл гэж юу вэ?
6
дохио зангаа дуу авиа
хэл яриа бичиг үсэг дүрс зураг зэрэг юм.
Мэдээллийн ийм олон хэлбэрийг хэмжиж болох нэг үндсэн нэгжтэй
болох боломжийг тоон технологийн тусламжтай бий болгосон.

7. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээллийн технологид мэдээллийн тоо ширхэгийг
bit-ээр хэмждэг. Мэдээллийн технологийн тооцоололд
bit нь хамгийн бага нэгж бөгөөд хоёртын тооллын
системийн 0 эсвэл 1-ээр илэрхийлэгддэг ба bit нь
дангаараа ямар нэг утга илэрхийлэхгүй, харин 8 bit нь
1 Byte болдог ба Byte-ийг нэг багц код хэлбэрээр
хэрэглэдэг. 1 Byte нь 28 буюу 256 ширхэг өөр өөр
кодын комбинац үүсгэдэг. Зурагт үзүүлсэн 11111110
код нь þ тэмдэгтийг, харин 11111111 код нь ÿ
тэмдэгтийг ASCII кодын хувьд тус тус илэрхийлнэ.
http://www.ascii-code.com/
Мэдээлэл гэж юу вэ?
7

8. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Хүний ойлгох дүрс тэмдэгтийг илэрхийлэхийн тулд компьютер
тухайн тэмдэгтийг илтгэх хоёртын код хэрэглэдэг ба түүнийг
тэмдэгтийн код /character code/ гэдэг. Олон янзын тэмдэгтийн код
байдаг, жишээ нь: ASCII код нь 28 буюу 256 тэмдэгтийг кодлох
боломжтой хэдий ч энэ нь Азийн орнуудын ханз бичиг, өргөн
хэрэглэгддэггүй бичиг соёлыг бүрэн багтаах боломжгүй юм. Иймээс
өнөө үед 216 буюу 65536, 232 буюу 4294967296 тэмдэгтийг кодлох
боломжтой UNICODE тэмдэгтийн кодыг ашиглаж байна.
https://unicode-table.com/en/
Тэмдэгтийг илэрхийлэх
8

9. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тэмдэгтийг илэрхийлэх
9

10. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
10
Мэдээллийг ихэвчлэн байтаар хэмждэг ба түүний нэгжийг латин
цагаан толгойн том B үсгээр тэмдэглэдэг, харин битийг жижиг b
үсгээр тэмдэглэдэг. СИ-системийн аравтын угтваруудад харгалзах
мэдээллийн хэмжээг үзүүлэв.
KB Кило байт 10241=210 1 024 байт
MB Мега байт 10242=220 1 048 576 байт
GB Гига байт 10243=230 1 073 741 824 байт
TB Тера байт 10244=240 1 099 511 627 776 байт
PB Пета байт 10245=250 1 125 899 906 842 624 байт
EB Экса байт 10246=260 1 152 921 504 606 846 976 байт
ZB Зетта байт 10247=270 1 180 591 620 717 411 303 424 байт
YB Йотта байт 10248=280 1 208 925 819 614 629 174 706 176байт

11. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
11
ASCII кодын нэг ширхэг
тэмдэгт, жишээ нь “А” үсэг нь
1 байт.

12. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
12
“Халуун элгэн
нутаг” дууны үг
txt форматаар
ойролцоогоор
4 кило байт.

13. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
13
5х7 харьцаатай,
300dpi нягтралтай
фото зураг
ойролцоогоор 1
мега байт.

14. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
14
7 минутын HDTV видео
бичлэг ойролцоогоор 1 гига
байт.

15. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
15
CD-ний форматаар 1 тера
байт аудио ойролцоогоор
2000 цаг үргэлжилнэ. Өдөрт
5 минутын 1 дуу сонсоно
гэвэл 66 жил шаардлагатай.

16. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
16
Хүний тархи ойролцоогоор
2.5 пета байт багтаамжтай.
Мөн mp3 форматаар 1 пета
байт аудио ойролцоогоор
2000 жил үргэлжилнэ.

17. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
17
Хүн төрөлхтний хэлсэн бүх үг
текст форматаар 5 экса
байтад багтана.

18. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
18
1 зетта байт хэмжээтэй өндөр
нягтралтай видео бичлэг нь
152 сая жил үргэлжилнэ.

19. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Мэдээлэл хэмжих нэгж
19
Йотта байт?
https://en.wikipedia.org/wiki/Yottabyte

20. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Байгаль дээрх аливаа юмс үзэгдлийг илэрхийлэх мэдээлэл эсвэл
өгөгдөл нь аналог буюу үргэлжилсэн шинж чанартай байдаг ба
түүнийг мэдээллийн технологийн төхөөрөмжөөр дамжуулан
тооцоолол, боловсруулалтанд оруулахын тулд тоон буюу дижитал
шинж чанартай болгох шаардлагатай байдаг. Аналогийг дижитал
болгож хөрвүүлэх процессийг дижиталчилах гэнэ.
Дижиталчлал
20

21. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Аналог дохиог тодорхой
хугацааны мөчүүдэд
хувааж тодорхой
давтамжтайгаар анхны
дохиог тасалдсан дохио
болгоно /discretization/.
Агуургын утгыг тэнцүү
түвшинд хувааж тасалдсан
дохионы тухайн түвшинд
агуургын ойролцоо утгыг
тодорхойлно /quantization/.
Дижиталчлал
21

22. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Квантлалын утгыг тоон /дижитал/ утга руу
хөрвүүлэхдээ квантлалын түвшинд харгалзах хоёртын код
хэрэглэдэг /Encoding/. Уг хоёртын кодыг буцаагаад анхны дохиог
илэрхийлэх эквивалент дохио болгож болно /Decoding/.
22
Дижиталчлал

23. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Юмс үзэгдлийн тоо ширхэг, дараалал эсвэл өөрийн системд эзлэх
жинд нь ноогдуулан өгсөн нэр, тэмдэглэгээний тогтолцоог тооллын
систем гэнэ. Хүн арван хуруутай учраас аравтын тооллын системийг
хэрэглэж заншсан байна. Бид арвын дотор юмсыг ширхэглэн тоолж,
арифметик үйлдлүүдийг төвөггүй гүйцэтгэж чадна. Харин хагас
дамжуулагч дээр суурилсан электрон хэлхээ нь хоёртын тооллын
системийг үндэс болгож ажилладаг учир дижитал /digital, тоон
систем/ буюу компьютер, гар утас гэх мэт төхөөрөмжүүд хоёртын
системийг ашигладаг.
Тооллын Систем
23

24. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тухайн тооллын системийг бүрдүүлэгч гишүүд, цифрүүд нь хэдэн
ширхэг байна тэдтийн тооллын систем гэж нэрлэдэг, жишээ нь:
аравтын тооллын системийн хувьд “0” – ”9” хүртэл арван ширхэг
гишүүнтэй учраас аравтын тооллын систем гэдэг. Дурын N тоог аль
тооллын системийн тоо болохыг тодотгохдоо дараах байдлаар
тэмдэглэдэг NR, энд R нь аравтын тооллын системийн /бидний
хэрэглэж заншсан/ эерэг бүхэл тоо байх ёстой ба тухайн тооллын
системийн нэрийг илэрхийлдэг мөн суурь эсвэл жингийн
коэффициент гэж нэрлэгддэг. Жишээ нь: 1010=10102; 10102=128;
128=A16;
Тооллын Систем Төрөл
24

25. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Төрөл
25
хэдтийн тооллын
систем хэрэглэдэг
бол?

26. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Төрөл
26
Binary 0 1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Octal 0 1 2 3 4 5 6 7
10
11
12
13
14
15
16
17
Decim
al
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
Hexad
ecimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

27. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Дурын NR тооны цифрүүд нь аль оронд байрлаж байгаагаас нь
хамааруулан зэрэгтийн цуваанд задалж, доорх байдлаар илэрхийлж
болно.
NR=(dn…d0.d-1…d-m)R=dn*Rn+dn-1*Rn-1+...+d2*R2+
+d1*R1+d0*R0+d-1*R-1+d-2*R-2+…+d-m*R-m
Энэ аргыг бусад тооллын системийн тоог аравтын тооллын систем
рүү хөрвүүлэхэд хэрэглэдэг. Учир нь энэ аргын үед ашиглагдаж
байгаа цифрүүд нь зорьж буй тооллын системийнх байдаг.
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
27

28. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
28
Жишээ нь:
25810=
2*102+5*101+8*100=
200+50+8=25810;
10102=
1*23+0*22+1*21+0*20=
8+0+2+0=1010;

29. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Хуваалтын аргыг ашиглан R суурьтай дурын бүхэл N тоог B суурь
руу хөрвүүлэхдээ доорх байдлаар хуваана. Хуваалтын алхам бүрт
үлдэх di ууд нь NR тооны эквивалент B суурьтай NB тоог илэрхийлэх
цифрүүд юм.
NR/BR=H1 үлдэгдэл d0
H1/BR=H2 үлдэгдэл d1…
…Hn/BR= 0 үлдэгдэл dn
Хуваалтын аргыг аравтын тооллын системийн бүхэл тоог бусад
тооллын систем рүү хөрвүүлэхэд хэрэглэдэг. Учир нь энэ аргын үед
ашиглагдаж байгаа цифрүүд нь эх тооллын системийнх байдаг.
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
29

30. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Үржвэрийн аргыг ашиглан R суурьтай дурын бутархай F тоог B
суурь руу хөрвүүлэхдээ доорх байдлаар үржүүлнэ. Үржвэрийн
алхам бүрт гарах i ууд нь FR бутархай тооны эквивалент B суурьтай
FB бутархай тоог илэрхийлэх цифрүүд юм.
FR*BR=i1.f1
f1*BR=i2.f2…
…fn*BR=in.fn f-ийг тэг болтол үржүүлнэ.
Үржвэрийн аргыг аравтын тооллын системийн бутархай тоог бусад
тооллын систем рүү хөрвүүлэхэд хэрэглэдэг. Учир нь энэ аргын үед
ашиглагдаж байгаа цифрүүд нь эх тооллын системийнх байдаг.
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
30

31. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
31
Жишээ нь:
10.310 –ийг хоёрт руу хөрвүүлье
Бүхэл
10/2=5 ; үлдэгдэл 0
5/2=2 ; үлдэгдэл 1
2/2=1 ; үлдэгдэл 0
1/2=0 ; үлдэгдэл 1
1010.0(1001)
Бутархай
0.3*2=0.6 ; 0 бүхэл
0.6*2=1.2 ; 1 бүхэл
0.2*2=0.4 ; 0 бүхэл
0.4*2=0.8 ; 0 бүхэл
0.8*2=1.6 ; 1 бүхэл
0.6*2=1.2 ; 1 бүхэл

32. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
2-ийн 3 болон 4 зэрэг нь 8 болон 16 гэдэг үүднээс наймтын болон
арван зургаатын тооллын системийн нэг ширхэг цифрийг хоёртын
тооллын системийн 3 болон 4 оронтой комбинацаар эсвэл хоёртын
3 болон 4 оронтой комбинацуудыг наймт болон арван зургаатын
цифрүүдээр шууд орлуулж болно. Хоёрт, наймт болон арван
зургаатын тооллын системүүдийн хооронд хөрвүүлэлтийг хялбар
хийдэг энэ аргыг аравт, наймт болон арван зургаатын тооллын
системүүдийн хооронд хоёртын тооллын системээр дамжуулж
хөрвүүлэлт хийхэд хэрэглэдэг.
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
32

33. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
33
Жишээ нь:
10.310 –ийг хөрвүүлье
Наймт
10.310=1010.0100112
1 010 . 010 011
1 2 . 2 3
10.310=12.238
Арван зургаат
10.310=1010.0100112
1010 . 0100 1100
A . 4 C
10.310=A.4C16

34. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тооллын Систем Хөрвүүлэх
34

35. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Тоог төлөөлөх тооллын системийн төрөл нь арифметикийн аливаа
үйлдэл, үр дүнд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй гэдгийг ойлгох нь чухал
юм. Хоёртын нэгж оронтой тоон дээрх арифметикийн дөрвөн
үйлдлийн хувилбаруудыг үзүүлэв. Хоёртын тооллын систем нь
хоёрхон цифртэй учраас нэгжийн орон нь “1”-ээр дүүрч хоёртын
орон /дараагийн орон/ эхэлнэ.
Арифметик
35
Нэмэх Хасах Үржих Хуваах
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
0-0=0
10-1=1
1-0=1
1-1=0
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
0/0=NA
0/1=0
1/0=NA
1/1=1

36. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Компьютер нь хасах үйлдлийг гүйцэтгэхдээ хасах тоог нэмэх замаар
гүйцэтгэдэг. Хасах тоог илэрхийлэх one’s complement болон two’s
complement гэдэг хоёр арга байдаг. Жишээ болгож нэг байтаар
илэрхийлэгдэх 000010102 тооноос 000010012 тоог хасъя.
000010012 Анхны утга.
100010012 One’s complement. Хамгийн ахлах битийг 1 болгоно.
111101102 Two’s complement. Хамгийн ахлах битээс бусдыг нь
111101112 эсрэг хөрвүүлнэ. Хамгийн бага бит дээр нэгийг нэмнэ.
000010102
+111101112 илүү гарасан битийг халисан бит гэж нэрлэдэг ба энэ
1000000012 битийг хаяна.
Арифметик
36

37. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Олонлог гэдэг нь тодорхой нөхцлийг хангасан элементийн
цуглуулга юм. Олонлогуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлох
боломжтой ба Венн диаграммыг ашиглан өөр өөр олонлогуудын
боломжит логик хамаарлыг дүрсэлж үзүүлдэг.
Логик хамаарал гэдэг нь тодорхой нөхцөл үл биелэх “худал” эсвэл
биелэх “үнэн” гэсэн бодит утгаар илэрхийлэгддэг ба мэдээллийн
технологид хоёртын тооллын системийн утга болох 0, 1-ээр
орлуулан үнэний хүснэгтээр илэрхийлдэг. Үнэний хүснэгт гэдэг нь
тухайн системийн хувьд оролтын боломжит бүх хувилбараас үүсэх
гаралтын хувилбарыг үзүүлсэн хүснэгт юм.
Олонлогийн онол
37

38. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Олонлогийн онол
38
Тоон системийн үндсэн гурван логик элемент болох NOT, AND, OR-
ийн логик хамаарлыг тус бүр нь зөвхөн хоёр элементтэй байх хоёр
олонлогийн Венн диаграммаар үзүүлэв. Энд логик NOT-ийг логик
NOR-оор төлөөлүүлсэн болно.
Логик AND Логик ORЛогик NOR

39. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Логик Хэлхээ
Тоон системийн электрон хэлхээ нь цахилгаан гүйдлийн хувьд
хоёртын тооллын системийн “0”, “1”-ээр орлуулан тооцоолол хийх
боломжтой нээлттэй, хаалттай гэсэн хоёр төлөв үзүүлдэг. Үүний
тулд элекрон хэлхээнд хагас дамжуулагч элемент ашигладаг. Хагас
дамжуулагч нь орчны цахилгаан орон, дулаан зэрэг хүчин
зүйлүүдээс хамаарч цахилгаан дамжуулах чадвар нь өөрчлөгддөг,
цахилгаан орны хувьд саармаг шинж чанар үзүүлдэг материал юм.
Хагас дамжуулагчийн энэ шинж чанар дээр үндэслэн мэдээллийн
технологийн төхөөрөмжүүдийн гол цахилгаан хэлхээ болох логик
хэлхээ буюу электроникийн суурь элемэнтүүдийг бүтээдэг.
https://www.youtube.com/watch?v=IcrBqCFLHIY
39

40. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Логик Хэлхээ
NOT, AND болон OR гэсэн үндсэн
гурван логик хэлхээ байдаг ба
эдгээрийн төрөл бүрийн комбинацууд
нь өгөгдөл боловсруулах үйлдлүүдийг
гүйцэтгэх олон янзын цахилгаан
хэлхээг үүсгэдэг. Karnaugh map болон
Boolean-ийн алгебр зэрэг тооцоолон
бодох аргуудаар логик хэлхээг
зохиодог.
https://www.youtube.com/watch?v=Ffe
BuGJbsSI
40

41. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
NOT Логик
7404
NOT /биш/ логик нь
оролтын өгөгдлийг invert
/инверс, үгүйсгэх, эргүүлэх,
хөмрөх, тонгорох/ хийдэг,
нэг оролттой нэг гаралттай
цахилгаан хэлхээ юм.
41

42. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
AND Логик
7408
AND /ба/ логик нь оролтын
өгөгдлийн хооронд логик
үржих үйлдэл хийдэг, олон
оролттой нэг гаралттай
цахилгаан хэлхээ юм.
42

43. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
OR Логик
7432
OR /эсвэл/ логик нь оролтын
өгөгдлийн хооронд логик
нэмэх үйлдэл хийдэг, олон
оролттой нэг гаралттай
цахилгаан хэлхээ юм.
43

44. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Хэрэглээний математик
Хэрэглээний математик нь математикийн нэг салбар бөгөөд
математикийн бус салбарт математикийг түгээх зорилготой.
Өөрөөр хэлбэл: Шинжлэх ухаан, бизнес болон бусад салбарт
математикийн абстракт аппаратыг ашиглах явдлыг хэрэглээний
математикт авч үздэг. Хэрэглээний математик нь:
– Магадлалын онол
– Математик статистик
гэсэн 2 салбартай.
44

45. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Магадлалын онол математик статистикийн аргууд нь физик
техникийн шинжлэх ухаан, тооцон бодох техник, астрономи,
автомат удирдлагын онол, цаг уур судлал, цэрэгжилтийн ухаан,
эдийн засаг, хэл шинжлэл, нийгэм судлал, биологи гэх мэт орчин
үеийн мэдээллийн бүх салбарт нэвтэрсэнээс гадна мэдээллийн
онол, нийтийн үйлчилгээний онол, найдварын онол, тоглоомын
онол, нөөцийн онол, сүйрлийн онол зэрэг шинэ шинэ салбарууд
үүсэн хөгжиж байна.
45
Хэрэглээний математик

46. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Комбинаторик
Түүвэр
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 гэсэн 𝑛 элементтэй олонлогийг 𝑛 хэмжээст эх олонлог
гэнэ. Энэ олонлогоос тодорхой эрэмбээр сонгон авсан 𝑘 ширхэг
элемент бүхий 𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, … , 𝑎𝑖𝑘 олонлогийг к хэмжээст түүвэр гэнэ.
Таамгаар авсан элементийг эх олонлогт буцааж хийх түүврийг
буцаалттай түүвэр , эс хийх түүврийг буцаалтгүй түүвэр гэнэ.
46

47. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Комбинаторик
Гүйлгэмэл
𝑛 элементтэй эх олонлогоос зохиосон 𝑘 хэмжээст буцаалтгүй
түүврийг гүйлгэмэл гэнэ. Гүйлгэмлийг дараах томъёогоор
илэрхийлнэ.
𝐴 𝑛
𝑘
= 𝑛 𝑛 − 1 … 𝑛 − 𝑘 + 1 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
Жишээ: Нэг ангийн 20 оюутнаас ангийн ахлагч , оюутны зөвлөлийн
гишүүн, спортын багийн ахлагч нарыг хэдэн янзаар сонгох вэ?
𝐴20
3
= 20 ∙ 19 ∙ 18 = 6840
47

48. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Комбинаторик
Сэлгэмэл
𝑛 = k байх гүйлгэмлийг сэлгэмэл гэж нэрлэдэг. Ө.х
Бүрэлдэхүүнээрээ ижил, эрэмбээрээ ялгаатай гүйлгэмлийг сэлгэмэл
гэнэ.
Нэг сэлгэмэл нь нөгөөгөөсөө зөвхөн элементийн эрэмбээрээ
ялгагдана. Сэлгэмэл нь
𝑃𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 … 𝑛 − 𝑛 + 1 = 𝑛! байна.
Жишээ: Оюутан Дорж, Оюун, Бат нар зэрэгцээ 3 сандал дээр хэдэн
янзаар сууж болох вэ?
𝑃3 = 3! = 6
48

49. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Комбинаторик
Хэсэглэл
𝑛 элементтэй эх олонлогоос зохиосон 𝑘 хэмжээст буцаалтгүй
түүврүүд дотроос ядаж нэг элементээрээ ялгагдах түүврүүдийн тоог
𝑛 элементтэй олонлогоос 𝑘 элементээр зохиосон хэсэглэл гэнэ.
Ө.х 𝑛-ээс 𝑘-аар авсан хэсэглэл нь 𝑛 элементтэй эх олонлогоос 𝑘
элементтэй дэд олонлогуудын тоо юм. Хэсэглэлийг дараах
томъёогоор илэрхийлнэ.
𝐶 𝑛
𝑘
=
𝐴 𝑛
𝑘
𝑘!
=
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
49

50. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Жишээ:
Нэг ангийн 30 оюутны 12 нь эмэгтэй бол 3 эмэгтэй 5 эрэгтэй нийт 8
гишүүнтэй спортын багийг хэдэн янзаар байгуулж болох вэ?
12 эмэгтэйгээс 3 эмэгтэй сонгон авах боломжийн тоо - 𝐶12
3
18 эрэгтэйгээс 5 эрэгтэй сонгон авах боломжийн тоо - 𝐶18
5
𝑛 = 𝐶12
3
∙ 𝐶18
5
=188496
50
Комбинаторик

51. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Магадлал
Магадлал нь санамсаргүй үзэгдлийг судалдаг. Байгаль ертөнц,
хүний нийгэмд явагдаж байгаа аливаа үйл явдлын үр дүнг үзэгдэл
гэж нэрлэдэг. Үзэгдэл явагдах ба эс явагдахыг нь урьдчилан хэлэх
боломжгүй үзэгдлийг санамсаргүй үзэгдэл гэнэ. Бидний амьдралд
магадлалын хэрэглээ нь ямар нэг үзэгдлийг хэр амжилттай эсвэл
амжилтгүй болохыг хэмжихэд хэрэглэгддэг.
51

52. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Магадлал
Магадлалын онолд санамсаргүй үзэгдэл бүрд түүний явагдах
боломжийн хэр хэмжээг харуулсан тоог харгалзуулдаг. Энэ тоог уг
үзэгдлийн магадлал гэж нэрлээд:
𝑃 𝐴 =
𝑘
𝑛
гэж тэмдэглэдэг.
Энд: 𝑃 𝐴 - A үзэгдэл явагдах магадлал
𝑘 - тухайн үзэгдлийн явагдах боломжийн тоо
/ивээлт цэг/
𝑛 - нийт үзэгдлийн тоо
52

53. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Магадлал
Жишээ нь:
Шоо хаях туршилтанд 5 нүдтэй талаараа буух үзэгдлийн
магадлалыг ол.
Бодолт:
A - шоо 5 нүдтэй талаараа буух үзэгдэл
𝑛=6 - нийт үзэгдлийн тоо /шоо 6 талтай/
𝑘=1 - 5 нүдтэй талаараа буух үзэгдлийн тоо
𝑃 𝐴 =
1
6
53

54. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
Статистик /Statistics/
Магадлалын онолын аргууд дээр тулгуурласан математикийн биеэ
даасан салбар бол математик статистик юм. Санамсаргүй үзэгдэл,
процессийн ямар ч судалгаа шууд ба шууд бусаар статистик
туршилт дээр тулгуурладаг. Математик статистик нь онолын ба
практик дүгнэлт хийх зорилгоор статистик түршилтын өгөгдөл ба үр
дүнг боловсруулан системчилж, судалж буй обьектдоо тохирсон
арга, математик загварыг сонгон авах асуудлыг судалдаг. Ө.х
Санамсаргүй үзэгдлийг ажиглах явцад гарган авсан туршилтын
статистик өгөгдлүүдийг бүртгэх, боловсруулах, шинжлэх аргуудыг
судална.
54

55. Виртуал Технологийн Тэнхим, Е-НЭЭЛТТЭЙ ИНСТИТУТ
www.emust.edu.mn
?
Анхаарал тавьсанд баярлалаа
55