BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ SGK MỚI

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916
--------------------------------------------------
Tuyển tập 280 bài toán ôn thi VMTC lớp 6 – Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và
Tuyển tập 22 chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 | Thầy Thích – Tel: 0919.281.916 (Zalo)
1
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN BỒI DƢỠNG TOÁN 6
BỒI DƢỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ
(Theo chương trình SGK mới)
Mọi thông tin về tư vấn học tập, đăng ký đặt mua các tài liệu bồi dưỡng Toán 6 bao
gồm: Toán 6 cơ bản dành cho HS Trung Bình – Khá, Tuyển tập 14 chuyên đề luyện thi
Violympic Toán lớp 6, Tuyển tập 22 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6, Tuyển tập 280
bài toán ôn thi Thách thức tài năng Toán học Việt Nam (VMTC) lớp 6 vui lòng liên hệ
trực tiếp theo:
 Tel: 0919.281.916 (Zalo Thầy Thích) hoặc 0948.228.325 (Zalo Cô Trang)
 Email: HoctoanIQ@gmail.com
 Website: www.toaniq.com
 Facebook: www.facebook.com/hoctoanthaythich

--------------------------------------------------
2
PHỤ LỤC TÀI LIỆU
BỒI DƢỠNG HSG TOÁN LỚP 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ
 Chuyên đề 1 - Tập hợp và Đếm số tự nhiên
 Chuyên đề 2 - Lũy thừa với số mũ tự nhiên
 Chuyên đề 3 - Dãy số tự nhiên Viết theo quy luật
 Chuyên đề 4 - Tính chất và dấu hiệu chia hết
 Chuyên đề 5 - Chữ số tận cùng
 Chuyên đề 6 - Số nguyên tố - Hợp số
 Chuyên đề 7 - Số chính phương
 Chuyên đề 8 - Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất
 Chuyên đề 9 - Điểm - Đường thẳng - Đoạn thẳng - Góc
 Chuyên đề 10 - Số nguyên
 Chuyên đề 11 - Tổng quan về phân số và các bài toán liên quan
 Chuyên đề 12 - Dãy phân số viết theo quy luật
 Chuyên đề 13 – Số thập phân
 Chuyên đề 14 - Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

--------------------------------------------------
3
 Chuyên đề 15 - Phương pháp giải toán - Nguyên lí dirichlet
 Chuyên đề 16 - Phương pháp giải toán lựa chọn
 Chuyên đề 17 - Phương pháp Logic
 Chuyên đề 18 - Phương pháp tính ngược từ cuối
 Chuyên đề 19 - Phương pháp giả thiết tạm
 Chuyên đề 20 - Nguyên lý Bất biến và cực hạn
 Chuyên đề 21 - Toán chuyển động
 Chuyên đề 22 - Đồng dư thức

--------------------------------------------------
4
PHẦN BÀI TẬP MẪU
NÂNG CAO PHÁT TRIỂN & BỒI DƢỠNG HSG THEO CHUYÊN ĐỀ
MÔN TOÁN LỚP 6 THEO CHƢƠNG TRÌNH MỚI
(Tài liệu tham khảo Bồi dưỡng HSG Toán 6 theo 22 chuyên đề dành cho các em HS trên toàn quốc)
CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN
 Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích
 Tel: 0919.281.916 (Zalo)
 Email: HoctoanIQ@gmail.com
 Website: www.ToanIQ.com
A.LÝ THUYẾT BỔ TRỢ VỀ TẬP HỢP
- Hợp của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai
tập hợp đó.
Với m ∈ A ∪ B ⇔ m ∈ A hoặc m ∈ B.
- Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Với n ∈ A ∩ B ⇔ n ∈ A và n ∈ B.
- Nếu m là số phần tử của A, n số phần tử của B, số phần tử A ∩ B là số p thì số
phần tử của A ∪ B là: m + n – p.
- Hai tập hợp bằng nhau: Nếu A là tập hợp con của B và B là tập hợp con của A
thì hai tập hợp A và B bằng nhau, kí hiệu A = B.

--------------------------------------------------
5
B.BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho tập hợp: A = {5; 6; 7; 9}
a. Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b. Viết các tập hợp con của A.
Giải:
a. Tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn: {6}.
b. Tập hợp con của A là:
+) Tập hợp con không phần tử: Tập rỗng: ∅
+) Tập hợp con gồm một phần tử: {5}; {6}; {7}; {9}
+) Tập hợp con gồm hai phần tử: {5; 6}; {5; 7}; {5; 9}; {6; 7}; {6; 9}; {7; 9}.
+) Tập hợp con gồm ba phần tử: {5; 6; 7}; {5; 6; 9}; {6; 7; 9}.
+) Tập hợp con gồm bốn phần tử: {5; 6; 7; 9}.
Bài 2: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 3.
B là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 9.
C là tập hợp các số tự nhiên khác 0, nhỏ hơn 30, chia hết cho 5.
a) Tìm các phần tử của B ∪ C, A ∩ C, B ∩ C.
b) Hãy xác định tập hợp A ∪ B, A ∩ B.
c) Trong ba tập hợp A, B, C, tập hợp nào là tập hợp con của một trong hai tập hợp còn
lại.
Giải:
+) Ta có: Tập hợp A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27}
+) Tập hợp B = {9; 18; 27}
+) Tập hợp C = {5; 10; 15; 20; 25}
a) +) B ∪ C = {9; 18; 27; 5; 10; 15; 20; 25}
+) A ∩ C = {15}
+) B ∩ C = ∅
b) +) A ∪ B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27}
+) A ∩ B = {9; 18; 27}
c) Trong ba tập hợp A, B, C, tập hợp B ⊂ A.
Bài 7: Viết 999 số tự nhiên liên tiếp kể từ 1.
Hỏi:
a) Chữ số 2 có mặt bao nhiêu lần?

--------------------------------------------------
6
b) Chữ số 0 có mặt bao nhiêu lần?
Giải:
a) Chữ số 2 được viết bao nhiêu lần?
Cần đếm số chữ số 2 trong 1 dãy:
1, 2, 3, …, 999 (1)
Ta xét dãy: 000, 001, 002, …, 999 (2)
Số chữ số 2 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy (2) có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ
số, số lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9) đều có
mặt:
3. 1000 : 10 = 300 (lần)
Vậy ở dãy (1) chữ số 2 cũng được viết 300 lần.
b) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Ở dãy (2) chữ số 0 có mặt 300 lần.
So với dãy (1) thì ở dãy (2) ta viết thêm các chữ số 0:
- Vào hàng trăm 100 lần ( chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099);
- Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số thừ 000 đến 009);
- Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000).
Vậy chữ số 0 ở dãy (1) được viết là: 300 – 111 = 189 (lần)
…………
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, có bốn chữ số và tận cùng bằng 5?
Giải:
Gọi số có 4 chữ số và có chữ số tận cùng bằng 5 có dạng: ̅̅̅̅̅̅̅.
Ta có: ̅̅̅̅̅̅̅ chia hết cho 3 nên suy ra: a + b + c + 5 chia hết cho 3.
 a + b + c chia cho 3 dư 1.
Xét dãy số: 100; 103; 106; …; 997 => Trong dãy số trên có 300 số chia cho 3 dư 1.
 Có 300 số có 4 chữ số chia hết cho 3 và có chữ số tận cùng bằng 5.
Bài 19: Tìm tổng các số tự nhiên có ba chữ số lập bởi các chữ số 2, 3, 0, 7 trong đó:
a) Các chữ số có thể giống nhau
b) Các chữ số đều khác nhau.
Giải:
a) Gọi số có ba chữ số ̅̅̅̅̅. Ta có: Chữ số a có 3 cách chọn, chữ số b có 4 cách chọn,
chữ số c có 4 cách chọn. Vậy, có 3.4.4 = 48 số thỏa mãn.
+) Các chữ số 2, 3, 7 xuất hiện ở hàng trăm là: 48 : 3 = 16 lần.

--------------------------------------------------
7
+) Các chữ số 2, 3, 0, 7 xuất hiện ở hàng chục là: 48 : 4 = 12 lần.
+) Các chữ số 2, 3, 0, 7 xuất hiện ở hàng đơn vị là: 48 : 4 = 12 lần.
 Tổng các số tự nhiên có ba chữ số được lập bởi cac chữ số 2, 3, 0, 7 có thể giống
nhau là: (2 + 3 + 0 + 7).(1600 + 120 + 12) = 20784.
b) Gọi số có ba chữ số ̅̅̅̅̅. Ta có: Chữ số a có 3 cách chọn, chữ số b có 3 cách chọn,
chữ số c có 2 cách chọn. Vậy, có 3.3.2 = 18 số thỏa mãn.
+) Các chữ số 2, 3, 7 xuất hiện ở hàng trăm là: 18 : 3 = 6 lần.
+) Các chữ số 2, 3, 0, 7 xuất hiện ở hàng chục là: 4 lần.
+) Các chữ số 2, 3, 0, 7 xuất hiện ở hàng đơn vị là: 4 lần.
 Tổng các số tự nhiên có ba chữ số được lập bởi cac chữ số 2, 3, 0, 7 khác nhau là: (2
+ 3 + 0 + 7).(600 + 40 + 4) = 7728.
Bài 28: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10 000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau.
Giải:
+) Số 10 000 là số duy nhất có 5 chữ số, số này có hơn 3 chữ số giống nhau nên không
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy số cần tìm chỉ có thể có dạng là: ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ trong đó a, b là các chữ số
và a ≠ b.
+) Xét số ở dạng: ̅̅̅̅̅̅̅, có 9 cách chọn chữ số a (a ≠ 0), mỗi cách chọn a có 9 cách chọn
chữ số b (b ≠ a). Vậy có 9.9 = 81 số có dạng ̅̅̅̅̅̅̅.
+) Tương tự như vậy cho các số có dạng ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅, mỗi dạng có 81 số.
Vậy, các số tự nhiên từ 1000 đến 10 000 có 81.4 = 324 số có đúng 3 chữ số giống nhau.

--------------------------------------------------
8
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tập hợp: A = {m; n; p; q}. Hỏi A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài 2: Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e; f; m; k}; B = {c; d; q; k}; C = {a; b; c}.
a) Tìm các phần tử của A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C.
b) Trong ba tập hợp A, B, C, tập hợp nào là tập hợp con của một trong hai tập hợp còn
lại.
….
Bài 14: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A.
a. Số A có bao nhiêu chữ số?
b. Tính tổng các chữ số của số A?
c. Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
d. Chứ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Bài 15: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
a) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5?
b) Chia hết cho 4, có chữa chữ số 4?
c) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
….
Chúc các em học tập tốt !
Thầy Thích.
Để xem tiếp các bài tập khác và các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 vui lòng
liên hệ trực tiếp tới Thầy Thích theo số máy: 0919.281.916 (Zalo) – Email:
doanthich@gmail.com để đặt mua tài liệu.

--------------------------------------------------
9
CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích
Tel: 0919.281.916 (Zalo)
Email: doanthich@gmail.com
Website: www.toanlop6.com
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
a. Định nghĩa:
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
b. Tính chất:
 Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng minh không chia hết
cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1
và a.
 Cách xác định số lượng các ước của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax
. by
…cz
thì số lượng
các ước của M là ( x + 1)( y + 1)…( z + 1).
 Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p.
 Đặc biệt nếu an
p thì a p
 Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 3n + 1 hoặc 3n + 2
 Mọi số nguyên tố a lớn hơn 3 thì a2
chia cho 3 dư 1
 Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
 Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’.
Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số
chẵn hay lẻ?
HƢỚNG DẪN:
Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số
chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 2: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.

--------------------------------------------------
10
HƢỚNG DẪN:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số
nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số
nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Bài 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
HƢỚNG DẪN:
Tổng của 4 số nguyên tố là một số nguyên tố => tổng của 4 số nguyên tố là 1 số lẻ =>
trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.
Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7
Bài 4: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?
HƢỚNG DẪN:
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố
chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001
chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố. => Tổng của hai số
nguyên tố không thể bằng 2003 .
…………………………………………
Bài 37: Tìm các số nguyên tố có bốn chữ số ̅̅̅̅̅̅̅ sao cho ̅̅̅, ̅̅̅ là các số nguyên tố và b2
+ c = ̅̅̅ + b.
Giải:
Ta có: ̅̅̅, ̅̅̅, ̅̅̅̅̅̅̅ là các số nguyên tố => b, c, d là các số lẻ.
Ta có: b2
+ c = ̅̅̅
<=> b2
– b = 10c + d – c
<=> b(b - 1) = 9c + d
<=> (b - 1).b = 9c + d
Vì b – 1, b là hai số tự nhiên liên tiếp, b là số lẻ, b là chữ số nên suy ra: (b - 1).b ∈ {6; 20;
42; 72}
+) Nếu 9c + d = 6, vì c là số lẻ nên 9c + d ≥ 9 loại.
+) Nếu 9c + d = 20, vì c là số lẻ nên: c = 2, d = 2 là thỏa mãn. Vì d là số lẻ nên d = 2 loại.
+) Nếu 9c + d = 42, vì c, d là số lẻ nên không có giá trị c, d nào thỏa mãn.
+) Nếu 9c + d = 72, vì c, d là số lẻ nên c = 7; d = 9 là thỏa mãn.
Vậy số ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅

--------------------------------------------------
11
Vì ̅̅̅̅̅̅̅ là số nguyên tố nên: a + 9 + 7 + 9 = a + 18 + 7 không chia hết cho 3 => a có thể
thuộc vào tập hợp: {1; 3; 4; 6; 7; 9}
a 1 3 4 6 7 9
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
1979 3979
= 23.173
4979
= 13.383
6979
= 7.997
7979
= 79.101
9779
=
7.11.127
Thỏa
mãn
Loại Loại Loại Loại Loại
Vì ̅̅̅̅̅̅̅ là số nguyên tố nên a = 1 là thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là: 1979.
Bài 38: Tìm 24 chữ số tận cùng của 100!.
Giải:
Ta có: 100! = 1.2.3.4.5…….100
Số thừa số 2 trong tích trên là: [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] = 50 + 25 + 12
+ 6 + 3 + 1 = 99.
Số thừa số 5 trong tích trên là: [ ] + [ ] = 20 + 4 = 24.
 24 chữ số tận cùng của 100! Là chữ số 0.
Bài 39: Cho số 100! được phân tích ra các thừa số nguyên tố là: 2x
.3y
.5z
.7t
.11m
.13n
….
Tìm x, y, z, t, m, n.
Giải:
- Bước 1: Các số nguyên tố nhỏ hơn 100 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Bước 2: Giá trị số mũ của từng lũy thừa là:
+) x = [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 99.
+) y = [ ] + [ ] + [ ] + [ ] = 33 + 11 + 3 + 1 = 48
+) z = [ ] + [ ] = 20 + 4 = 24
+) t = [ ] + [ ] = 14 + 2 = 16
+) m = [ ] = 9

--------------------------------------------------
12
+) n = [ ] = 7.
…

--------------------------------------------------
13
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƢƠNG TOÁN LỚP 6
 Giáo viên biên soạn: Thầy Thích
 Tel: 0919.281.916 (Zalo)
 Email: doanthich@gmail.com
 Website: www.toanlop6.com
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
Nếu A là số chính phương thì A = k2
(k ∈ N).
2. Tính chất:
a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có
chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
b. Một số chính phương khi chia cho 4 luôn có số dư là 1 hoặc 0.
Chứng minh:
Một số n khi chia cho 2 có dạng là: 2k hoặc 2k + 1
+) Với n = 2k => n2
= (2k)2
= 4k2
⋮ 4
+) Với n = 2k + 1 => n2
= (2k + 1)2
= 4k2
+ 4k + 1chia cho 4 dư 1.
Hoặc:
Chứng minh: Một số chính phương n2
, n khi chia cho 4 có dạng: 4k; 4k + 1; 4k +
2; 4k + 3.
+) Nếu n = 4k => n2
= (4k)2
= 16k2
⋮ 4
+) Nếu n = 4k + 1 => n2
= (4k + 1)2
= (4k + 1)(4k + 1) = 16k2
+ 8k + 1 chia 4 dư
1.
+) Nếu n = 4k + 2 => n2
= (4k + 2)2
= (4k + 2)(4k + 2) = 16k2
+ 16k + 4 ⋮ 4.
+) Nếu n = 4k + 3 => n2
= (4k + 3)2
= (4k + 3)(4k + 3) = 16k2
+ 24k + 9 chia 4
dư 1.
c. Một số chính phương khi chia cho 8 luôn có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4.
d. Nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục phải là
chữ số 2.
e. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn.
Ta có: a = n2
= (xa
.yb
....zc
)2
= x2a
.y2b
...z2c
=> Mỗi thừa số nguyên tố đều có số mũ
là số chẵn.
f. Số các ước của một số chính phương (khác 0) là số lẻ. Ngược lại, một số có số
các ước lẻ thì số đó là số chính phương.
Một số A khi phân tích ra các thừa số nguyên tố có dạng:

--------------------------------------------------
14
A = ax
.by
…cz
, A là số chính phương => x,y, z là số chẵn
=> Số lượng các ước của A là: (x + 1)(y + 1) … (z + 1) là một số lẻ.
Ví dụ: 120 = 23
.3.5 => Số lượng các ước của 120 là: (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1) =
4.2.2 = 16 ước là số chẵn => 120 không phải là số chính phương.
g. Nếu số A nằm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không là số
chính phương. (n2
) < A = a2
< (n + 1)2
h. Nếu n2
chia hết cho p là số nguyên tố thì n2
⋮ p2
.
i. Hai đẳng thức thường dùng:
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
a2
- 2ab + b2
= (a - b)2
Ta có: (4k + 1)2
= (4k)2
+ 2.4k.1 + 12
= 16k2
+ 8k + 1.
Ví dụ: (x + 2)2
= x2
+ 2.x.2 + 22
= x2
+ 4x + 4.
Ví dụ: x2
+ 6x + 9 = x2
+ 2.x.3 + 32
= (x + 3)2
.
Cách 2: x2
+ 6x + 9 = x2
+ 3x + 3x + 9 = (x2
+ 3x) + (3x + 9)
= x(x + 3) + 3(x + 3) = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)2
.
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH
TOÁN LỚP 6
 DẠNG 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phƣơng hay không
Phƣơng pháp giải:
Để chứng minh một số A không phải là số chính phương ta có thể chứng minh qua một
số cách như sau:
Cách 1: Chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các số: 2; 3; 7; 8.
Cách 2: Chứng minh A ⋮ (với p là số nguyên tố) nhưng A ⋮ p2
.
Cách 3: Chứng minh n2
< A < (n + 1)2
.
Cách 4: Chứng minh A chia 4 dư 2, 3…
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Các số sau đây có phải là số chính phương hay không? Vì sao?
a. A = 3 + 32
+ 33
+ … + 320
Giải:

--------------------------------------------------
15
Ta có:
(32
+ 33
+ … + 320
) chia hết cho 9,
3 chia hết cho 3, không chia hết cho 9 nên suy ra:
A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên: A không phải là số chính phương.
b. B = 1010
+ 8
Giải:
B = 10…08 (Có 9 chữ số 0)
Vì B có chữ số tận cùng là 8 nên suy ra: B không phải là số chính phương.
c. C = 100! + 7
Giải:
C = 1.2.3…100 + 7
 C có chữ số tận cùng là 7 nên B không phải là số chính phương.
d. D = 1010
+ 5
Giải:
C = 100…05 (Có 9 chữ số 0)
Vì D chia hết cho 5 nhưng D không chia hết cho 25 nên D không phải là số chính
phương.
e. E = 10100
+ 1050
+ 1
Giải:
E = ⏟
E có tổng các chữ số bằng 3 nên suy ra: E chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho
9. Nên suy ra: E không phải là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính
phương.
Giải:
Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3. Vậy tích của bốn số tự nhiên
liên tiếp cộng 1 là:
n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1 = (n2
+ 3n).(n2
+ 3n + 2) + 1
= (n2
+ 3n)2
+ 2. (n2
+ 3n) + 1
= (n2
+ 3n)2
+ (n2
+ 3n) + (n2
+ 3n) + 1
= (n2
+ 3n)[ (n2
+ 3n) + 1] + (n2
+ 3n) + 1
= [(n2
+ 3n) + 1] . [(n2
+ 3n) + 1]
= [(n2
+ 3n) + 1]2
là một số chính phương với mọi n thuộc N.
Hoặc:
Ta có: n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1 = (n2
+ 3n).(n2
+ 3n + 2) + 1

--------------------------------------------------
16
Đặt a = n2
+ 3n => n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) + 1 = a.(a + 2) + 1
= a2
+ 2a + 1 = (a)2
+ 2.a.1 + 12
= (a + 1)2
= (n2
+ 3n + 1)2
là số chính phương.
Bài 7: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính
phương không?
Giải:
Có ba trƣờng hợp xảy ra nhƣ sau:
TH1: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 60: Không phải là số chính phương.
Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 60 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho
25.
TH2: Số tự nhiên có hai chữ tận cùng là: 06: Không phải là số chính phương.
Vì: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 06 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
TH3: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng là: 66: Không phải là số chính phương. Vì: Số
tự nhiên có hai chữ số tận cùng là 66 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
Vậy: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là một số chính
phương.
Bài 8: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng
minh rằng: A – B là một số chính phương.
Giải:
A = ⏟ , B = ⏟
Đặt: C = ⏟ => B = 2C
 A – B = ⏟ - ⏟
 A – B = ⏟ .1050
+ ⏟ - 2. ⏟
 A – B = C.1050
+ C – 2C
 A – B = 1050
.C – C
 A – B = C.(1050
- 1)
 A – B = C. ⏟ = C.(9.C) = 9C2
= (3C)2
.
 A – B là một số chính phương.

--------------------------------------------------
17
Bài 9: Có hay không có một số chính phương mà số đó gồm 1995 chữ số 1 và các chữ
số còn lại là chữ số 0?
Giải:
Ta có:
Tổng các chữ số là: 1 + 1 + 1 + … + 1 + 0 + 0 + … + 0 = 1995.
1995 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên: Số theo yêu cầu đề bài không phả
là số chính phương.

BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ SGK MỚI

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ SGK MỚI

Similar to BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ SGK MỚI (20)

More from Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3

More from Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 THEO 22 CHUYÊN ĐỀ SGK MỚI