MEMAHAMMI PROGRAM LINIER

2. Persamaan Linier (PL)
• Penyelesaian PL dg
eleminasi
• Penyelesaian PL dg
subtitusi
• Penyelesaian PL dg
matriks
• Penyelesaian PL dg
gafis
• Penyelesaian PL dg
metode simplex
Contoh:
Carilah Penyelesaian
a. persamaan
3x + 4y = 2
2x – 3y = 7
b. persamaan
3x + 2y = 19
4x + 3y = 26

3. Penyelesaian Persamaan Linier
dengan Matriks
Misalkan persamaan linier:
ax + by = c
dx + ey = f
1. Tuliskan matriks dari konstanta-2 persamaan linier








f
e
d
c
b
a
2. digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi








f
c
1
0
0
1 Sehingga dpt disimpulkan penyelsaian sistem
persamaan tsb. adalah (c, f)

4. Contoh:
dik: sistem persamaan linier
3x + 4y = 2
2x – 3y = 7








 7
3
2
2
4
3
1. Matriks dari konstanta-konstanta









 7
3
2
3
/
2
3
/
4
3
/
3








 7
3
2
3
/
2
3
/
4
1
2. Kalikan baris pertama dg 1/3








 3
/
17
3
/
17
0
3
/
2
3
/
4
1
3. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

5. 







1
1
0
3
/
2
3
/
4
1
4. Kalikan baris kedua dg -3/17








 3
/
17
3
/
17
0
3
/
2
3
/
4
1








1
1
0
2
0
1
5. Kalikan baris kedua dg -4/3 kemudian tambahkan kpd baris pertama
6. Jadi penyelesaian sistem
3x + 4y = 2
2x – 3y = 7
Adalah (2, -1)

6. Latihan
Carilah penyelesaian sistem:
3x + 2y = 19
4x + 3y = 26
Dengan bantuan matriks

7. Sistem Persamaan Linier dg 3 variabel










r
q
p
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Perhatikan:
a1x + b1y + c1z = p
a2x + b2y + c2z = q
a3x + b3y + c3z = r
Maka dari sistem persamaan linier 3 varibel di atas perlu diusahakan
memperoleh matriks:
Ini berarti penyelesaian sistem persamaan di atas (p, q, r)

8. Contoh:
x - 4z = 5
2x - y + 4z = -3
6x – y + 2z = 10
Matriks dari konstanta-konstanta adalah:














10
2
1
6
3
4
1
2
5
4
0
1
1. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua














10
2
1
6
13
12
1
0
5
4
0
1

9. 













10
2
1
6
13
12
1
0
5
4
0
1
2. Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kpd baris ketiga















20
26
1
0
13
12
1
0
5
4
0
1
3. Kalikan baris kedua dengan -1














20
26
1
0
13
12
1
0
5
4
0
1
4. Tambahkan baris kedua kpd baris ketiga, sehingga menjadi

10. 












7
14
0
0
13
12
1
0
5
4
0
1
5. Kalikan baris ketiga dengan 1/14













2
/
1
1
0
0
13
12
1
0
5
4
0
1
6. Kalikan baris ketiga dg 12 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris kedua












2
/
1
1
0
0
7
0
1
0
5
4
0
1
7. Kalikan baris ketiga dg 4 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris pertama










 2
/
1
1
0
0
7
0
1
0
3
0
0
1
didapat x = 3, y = 7, dan z = -1/2. jadi
penyelesaiannya (3, 7, -1/2)

11. Latihan
Selesaikan persamaan linier berikut
dengan bantuan matriks:
2x – y + z = -1
x – 2y + 3z = 4
4x + y + 2z = 4

12. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Hukum Cramer
d
c
b
a
1. Determinan dari matriks:








d
c
b
a
adalah:
d
c
b
a
didefinisikan…
= (ad – bc)
2. determinan dari
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
adalah:
2
2
1
1
3
3
3
1
1
2
3
3
2
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a




13. Perhatikan sistem persamaan linier
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
apabila persamaan pertama kita kalikan dengan b2, dan persamaan kedua
dikalikan dengan –b1, kemudian kita jumlahkan kedua persamaan itu, maka
diperoleh (a1b2 - a2b1)x = c1b2 – c2b1, atau……
0
2
2
1
1
,
2
2
1
1
2
2
1
1


b
a
b
a
syarat
b
a
b
a
b
c
b
c
x Analog, kita peroleh:
0
2
2
1
1
,
2
2
1
1
2
2
1
1


b
a
b
a
syarat
b
a
b
a
c
a
c
a
y

14. kalau
2
2
1
1
b
a
b
a
D 
2
2
1
1
b
c
b
c
Dx 
2
2
1
1
c
a
c
a
Dy 
maka
D
Dx
x  dan D
Dy
y  ; D≠0
Sistem persamaan tiga varibel
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3 dan determinan dari
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
D 
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
d
c
b
d
c
b
d
Dx 
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
d
a
c
d
a
c
d
a
Dy 
3
3
3
2
2
2
1
1
1
d
b
a
d
b
a
d
b
a
Dz 
D
Dx
x 
D
Dy
y 
D
Dz
z 

15. Latihan:
Selesaikan dengan menggunakan cara
cramer persamaan linier berikut:
1. 2x + 5y = 7
5x – 2y = -3
2. x – 3y + 7z = 13
x + y + z = 1
x – 2y + 3z = 4

16. Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Diketahui Pertidaksamaan Linier
2x + y ≥ 2
4x + 3y ≤ 12
1/2 ≤ x ≤ 2
y ≥ 0
Diktanyakan:
1. Gambar tiap persamaan tsb
2. Arsir daerah tiap pertidaksamaan
3. Gambar dalam satu bidang xoy kemudian arsir daerah yg memenuhi semua
syarat di atas.

17. Jawab untuk pertidaksamaan
2x + y ≥ 2
1
2

18. Jawab untuk pertidaksamaan
4x + 3y ≤ 12
3
4

19. Jawab untuk pertidaksamaan
1/2 ≤ x ≤ 2, 4x + 3y ≤ 12, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
4
3
2
1
1/2
2
x
y

20. Nilai Ekstrem Fungsi Linier
Misalkan sistem pertidaksamaan linier sbb:
5x + 6y ≤ 30 , x ≥ 0
3x + 2y ≤ 12 , y ≥ 0
dan relasi T = x + 5y,
Carilah sepasang nilai (x, y) yang merupakan anggota penyelesaian
pertidaksamaan di atas dan membuat nilai T optimum.
6
6
5
4
(3/2, 15/4)
x y T= x + 5y
0 5 25
4 0 4
0 0 0
3/2 15/4 20,25

21. Diketahui sistem pertidaksamaan:
x – y + 1 ≤ 0
x – y + 3 ≥ 0
2 ≤ x ≤ 5
Carilah nilai maksimum dan minimum dari T = 9x + 40 y jika (x, y)
merupakan anggota himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier di atas.

22. Uraian dan Contoh:
Peternak ayam potong memiliki sejumlah ayam yg tiap waktu tertentu dijual kepada
konsumen berdasarkan berat badannya. Karena itu peternak tersebut berusaha
memberi makanan yang memenuhi syarat agar ayam-ayam menjadi lebih berat dan
harga per ekornya menjadi lebih mahal. Berdasarkan saran petugas kesehatan
hewan, peternak perlu menggunakan bahan A dan bahan B yang harus dicampur
sendiri supaya lebih ekonomis. Kedua bahan makanan tersebut mengandung
sejumlah tertentu protein, mineral, vitamin, dan kalori. Bagaimana kombinasi kedua
bahan itu agar biaya yang ditanggung serendah mungkin dan hasil yang diperoleh
akan memenuhi syarat.
Model Matematika:
Misal: bahan A adalah x
bahan B adalah y, dan
harga perunit bahan A adalah p
harga perunit bahan B adalah q
Total biaya yang perlu dikeluarkan oleh peternak
T = px + qy

23. T = px + qy adalah fungsi tujuan (objektif)
1. bahan A dan B bersifat non negatif variabel atau x ≥ 0 ; y ≥ 0
2. zat-zat yg terdapat bahan A dan B harus terpenuhi
misalkan: jumlah minimum protein adalah c1
jumlah minimum mineral adalah c2
jumlah minimum vitamin adalah c3
jumlah minimum kalori adalah c3
dalam satu unit bahan A terpenuhi dalam satu unit bahan B terpenuhi
protein sebanyak a1 ; protein sebanyak b1
mineral sebanyak a2 ; mineral sebanyak b2
vitamin sebanyak a3 ; vitamin sebanyak b3
kalori sebanyak a4 ; kalori sebanyak b4

24. Sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut:
a1x + b1y ≥ c1…………………….
a2x + b2y ≥ c2…………………….
a3x + b3y ≥ c3…………………….
a4x + b4y ≥ c4…………………….
Nilai minimum dapat diperlihatkan dengan gambar berikut:
A
B
C
D
E

25. LATIHAN
1. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari bahan
tersebut akan membuat setelan jas dan rok untuk untuk dijual. Satu setel
jas memerlukan 3 m wol dan 1 meter katun; satu rok memerlukan 2 m wol
dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok yg harus ia buat agar mendapat
keuntungan sebesar-besarnya, bila satu stel jas harganya Rp 80.000,00
dan satu stel rok harganya Rp 40.000,00.
Terjemahkan dalam model matematika:
a. aktivitas (variabel)
b. fungsi tujuan
c. fungsi pembatas (constraints)

26. Jawab
a. x adalah jumlah stelan jas
y adalah jumlah stelan rok
b. fungsi tujuan f(x,y) = 80.000x + 40.000y
c. fungsi pembatas adalah: 3x + 2y ≤ 60; x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 0
d. Agar mencapai keuntungan sebesar-besarnya stel jas dan rok yg harus
dibuat adalah:
30
20
20
40
x y f(x,y)=80000x + 40000y
0 20 800.000
20 0 1.600.000
10 15 1.250.000

27. Latihan
1. Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, C
berturut turut 20 kg, 18 kg dan 12 kg, untuk
memupuk kebun sayurnya. Dlm stiap kaleng
pupuk cair mengandung zat A = 1 kg,; B = 2 kg
dan C = 3 kg. Pupuk kering tiap kantong
mengandung zat A = 5 kg; B = 3 kg dan C = 1
kg. Harga 1 kaleng pupuk cair Rp 1000,- dan 1
kantong pupuk kering Rp 1.500,-. Berapa
banyak tiap jenis pupuk harus dibeli dg harga
paling murah dengan zat yg diperlukan
terpenuhi?

28. 2. Seorang agen sepeda ingin membeli sepeda 25 buah untuk persediaan, ia
ingin membeli sepeda biasa (jenis I) dg harga 60.000/buah, dan sepeda
balap (jenis II) dg harga 80.000/buah. Ia merencanakan tidak akan
mengeluarkan uang lebih dari Rp. 1.680.000,- dg harapan untung Rp
10.000 utk sepda biasa dan Rp 12.000 utk sepeda balap.
Ditanyakan:
a. aktivitas (variabel)
b. fungsi tujuan (objektif)
c. fungsi pembatas (constraints)
3. Suatu perusahaan bangunan merencanakan membangun rumah-2 untuk
540 org. Banyak rumah yg akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah
jenis I dg biaya sewa Rp 90.000/tahun dan ditempati oleh 4 org; rumah jenis
II dg sewa tiap tahun Rp 107.000 dan dapat ditempati 6 orang.
Ditanyakan:
a. aktivitas
b. fungsi tujuan
c. fungsi pembatas

29. Penyelesaian Program Linier dengan cara Grafis
a. Persoalan dengan jawaban tunggal
contoh:
sebuah pabrik baja mempunyai persdiaan 18 ton bahan mentah yg akan
diproseskan menjadi besi beton dengan kontrak pembuatan 7,6 ton dari
bahan yg tersedia dan menjual sebagian bahan mentah kepada pabrik
lain. Tercatat selama proses pembuatan besi beon berlangsung, 5% baja
hilang. Berapa banyak bahan mentah yg dijual kepada pabrik lain?
Jawab:
1. misal baja yg akan dijual adalah x ton
2. jumlah baja yg diproses menjadi besi beton (18 – x) ton
3. bahan mentah yg hilang selama proses menjadi besi beton (18 – x) – 5% (18 –
x) = 95% (18 – x) = 7,6.
dengan demikian diperoleh : 18 – x = (7,6) : (0,95) = 10 ton
jadi jumlah besi beton yg dpt dijual kepada pabrik lain adalah 10 ton.

30. Penyelesian sistem persamaan linier (PL)
tiga variabel dengan cara grafis
Tahapan proses penyelesaian dg 3 variabel:
1. Terjemahkan data persoalan PL menjadi sistem
pertidaksamaan sebagai pembatas dan fungsi linier T
= ax1 + bx2 + cx3 sbg fungsi tujuan.
2. Lukis bidang datar dari tiap pembatas dan arsir ruang
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier
3. Menentukan titik dalam ruang penyelesaian yg
memungkinkan fungsi tujuan mencapai nilai optimum

31. Persoalan tiga variabel:
Fungsi tujuan:
T =c1x1 + c2x2 + c3x3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
yang mencapai optimum
Pembatasan:
a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ h1 atau ≥ h1
a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ h2 atau ≥ h2
a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ h3 atau ≥ h3

32. Contoh:
Gambar bidang datar yang ditunjuk oleh:
2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
Maka titik potong sumbu koordinat adalah:
Pd. Sb x1, bila x2 = 0, x3 = 0 mk P1(60,0,0)
Pd. Sb x2, bila x1 = 0, x3 = 0 mk P2(0,40,0)
Pd. Sb x3, bila x1 = 0, x2 = 0 mk P3(0,0,20)
Gambarlah bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120

33. Gambar bidang datar 2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
p1
P2
P3

34. Latihan 1:
Gambar dalam satu sistem koordinat,
ketiga bidang datar yg ditunjukkan oleh
sistem persamaan linier berikut:
2x1 + 3x2 + 6x3 = 120
6x1 + 2x2 + 3x3 = 120
3x1 + 6x2 + 2x3 = 120

35. Latihan 2:
Suatu perusahaan mempunyai 3 bahan mentah yaitu jenis I 480 unit, jenis II
sebanyak 960 dan jenis III sebanyak 600 unit. Dari bahan mentah yg
tersedia akan diproduksi tiga macam barang dg perincian, satu unit barang
produksi memerlukan bahan mentah sbb:
1 unit brg A memerlukan 4 unit bahan I, 6 unit bahan II dan 6 unit bahan III.
1 unit brg B memerlukan 3 unit bahan I, 12 unit bahan II dan 5 unit bahan III
1 unit brg C memerlukan 6 unit bahan I, 8 unit bahan II dan 6 unit bahan III
Harga penjualan brg A, 1 unit menghasilkan Rp 90.000,-
Harga penjualan brg B, 1 unit menghasilkan Rp 60.000,-
Harga penjualan brg C, 1 unit menghasilkan Rp 120.000,-
Ditanyakan: Nilai maksimum fungsi tujuan…

36. Sistem Persamaan Linier lanjutan
(persiapan simplex)
Perhatikan sistem persamaan:
2x1 + 3x2 + 4x3 = 12
X1 + 2x2 + 2x3 = 4
Jumlah baris m = 2 dan jumlah n = 3, atau
jumlah variabel lebih dari jumlah
persamaan, jika x3=0 maka x1 dan x2 dpt
dicari:
2x1 + 3x2 = 12
x1 + 2x2 = 4

37. 


























4
12
2
1
3
2
2
1
x
x
X1 = 12; x2 = -4; x3 = 0










2
1
3
2
Adalah invers dari 







2
1
3
2
Jika x1 = 0, maka x2 dan x3 dapat dicari
3x2 + 4x3 = 12
2x2 + 2x3 = 4




























4
12
3
2
4
2
2
1
3
2
x
x
Sehingga diperoleh x1 = 0; x2 = -4; x3 = 6
Bagaimana bila x2 = 0, berapa nilai x1 dan x3 ?

38. Contoh
Carilah pemecahan dasar dari sistem persamaan:
X1 + 2X2 + X3 = 4
2X1 + 5X2 + 5X3 = 5
Jawab:
1. Banyaknya pemecahan dasar 3C2 = 3
2. Pemecahan dasar itu adalah
a) x3 = 0; X1 = …, dan x2 = ….

























5
4
2
1
5
2
2
1
x
x




























5
4
1
2
2
5
3
1
2
1
x
x
x1 = 2; dan x2 = 1
b) x2 = 0, x1 = ? dan x3 = ?
c) x1 = 0, x2 = ? dan x3 = ?

39. Penyelsaian sistem persamaan linier dengan cara:
1. penghapusan dari Gauss
2. metode Gauss - Jordan
Contoh:
carilah penyelesaian daari sistem persamaan:
2x1 + x2 + 4x3 = 16
3x1 + 2x2 + x3 = 10
x1 + 3x2 + 3x3 = 16
Jawab:
a) dengan penghapusan Gauss
pers (1) diperoleh x1 + ½ x2 + 2x3 = 8 atau
x1= 8 – 1/2x2 – 2x3 ……………..(1’)
nilai x1 disubtitusikan ke dalam (2) dan (3) shg x1 hilang dari pers.
(2) dan (3)
dari (2) 3x1 + 2x2 + x3 = 10 menjadi………

40. 3(8 – 1/2x2 – 2x3) + 2x2 + x3 = 10
1/2x2 – 5x3 = -14………………………(2’)
dari (3)
x1 + 3x2 + 3x3 = 16 menjadi
(8 – 1/2x2 – 2x3) + 3x2 + 3x3 = 16
21/2x2 + x3 = 8………………………..(3’)
persamaan (2’) dikalikan dengan 2 sehingga menjadi
x2 - 10x3 = 28 atau x2 = -28 + 10x3………(2’’) kemudian
disubtitusikan kedalam (3’) sehingga menjadi
21/2(-28 + 10x3) + x3 = 8
-70 + 25x3 + x3 = 8
26x3 = 78 atau x3 = 3………(3’’)
x3 = 3 disubtitusikan kedalam (2’’) dan (1’’) sehingga merupakan
penyelesaian sistem persamaan tsb di atas

41. b) dengan metode Gaus – Jordan
langkah pertama kita gunakan cara penghapusan Gauss atau
perhatikan sistem persamaan:
x1 + 1/2x2 + 2x3 = 8 ………………(1’)
1/2x2 – 5x3 = -14…………………..(2’)
21/2x3 + x3 = 8…………………….(3’)
dari (2’) 1/2x2 – 5x3 = -14 kita cari x2 kemudian disubtitusikan
kedalam (1’) dan (3’) x2 = -28 + 10x3 kedalm (1’)
menjadi: x1 + 7x3 = 22 ………(1”)
x2 – 10x3 = -28…….(2”)
x3 = 3 ……………….(3”)
kemudian x3 = 3 disubtitusikan kedalam (1”) dan (2”) maka
diperoleh x1 = 1 dan x2 = 2 atau matriks segitiga dari penghapusan
Gaus diubah menjadi































3
2
1
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
x
x
x

42. Soal-soal
1. Diketahui sistem persamaan
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7
2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3
a. berapa banyak pemecahan dasar maksimum yang mungkin
diperoleh ?
b. cari tipa pemecahan dasar yang mungkin dari sistem
persamaan itu?
2. Diketahui:
3x1 + 2x2 + 4x3 = 7
2x1 + x2 + x3 = 4
x1 + 3x2 + 5x3 = 2
carilah pemecahan sistem persamaan itu dengan cara
a. penghapusan Gaus
b. Gauss-Jordan
c. Cramer
d. cari invers matriks dan cari pemecahan pers. itu










5
3
1
1
1
2
4
2
3