『予測にいかす統計モデリングの基本』
の売上データの分析をトレースしてみた
2013.12.22
@berobero11
BUGS/Stan勉強会 #2 於 ドリコム

良書です！
買いましょう.

本発表のデータは書籍を参考にデータをゼロか
ら作成したものであり, 分析手法も異なります.
それらについて書籍の著者や統計数理研究所
に問い合わせたりしてはいけません.

仮想売上データ
オフィス街の近くのレストラン
• 2012/1/1～2013/12/31
• 繁忙期（8月）は欠損
売上
[千円]
day

Year Month Day
Wday
Weather
Head.count
2012
1
1
0
1
0
2012
1
2
1
1
7800
2012
1
3
2
1
0
2012
1
4
3
2
19400
2012
1
5
4
1
32000
2012
1
6
5
3
0
…
…
…
…
…
…
2013
12
27
5
5
14100
2013
12
28
6
3
6300
2013
12
29
0
1
17700
2013
12
30
1
1
0
2013
12
31
2
2
0
天気
曜日
0: 日
1: 月
…
6: 土
1:
2:
3:
4:
5:
晴れ
曇り
雨
大雨
雪
Sale
39.225
44.043
51.804
92.846
126.064
99.976
…
148.769
49.090
126.074
67.274
56.311
近くのイベント
の参加人数

売上
[千円]
イベントの参加人数
lm(formula = d$Sale ~ Sun + Mon + Tue + Wed + Thu + Fri + Sat
+ d$Weather + d$Head.count)
?

そこで統計モデリングですよ！

今回はStan, RStanを使いました
http://www.slideshare.net/berobero11/bugs-26159695

売上データの分解モデル
𝑆𝑎𝑙𝑒 𝑡 = 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡 + 𝑤𝑒𝑒𝑘 𝑡 + 𝑟𝑎𝑖𝑛 𝑡 + 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡 + 𝑎𝑟 𝑡 + 𝜀 𝑡
トレンド
雨効果
週効果
先頭が
AR項
イベント
効果
残差
小文字の変数: 推定すべきパラメータ
大文字の変数: すでに与えられているデータ・数値
とします.

モデル | トレンド
長期的変動を表す. 二次トレンドモデルを使う.
𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡 − 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡−1 ≈ 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡−1 − 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡−2
𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡 = 2𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡−1 − 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡−2 + 𝜀1 𝑡
𝜀1 𝑡 ~𝒩 0, 𝜎 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑

モデル | 週効果
𝑤𝑒𝑒𝑘 𝑡 = 𝑠 𝑡
+ 𝐷1 𝑡 𝑏1 𝑠 日,𝑡 − 𝑠 𝑡
+ 𝐷2 𝑡 𝑏2 𝑠 金,𝑡 − 𝑠 𝑡 + 𝑏3 𝑠 土,𝑡 − 𝑠 𝑡
値=１
値=0
𝐷1 𝑡
月～金の祝日
それ以外
𝐷2 𝑡
祝日でない月～木
かつ翌日が祝日
それ以外

モデル | 週効果
基本パターン （周期7）
7
𝑠 𝑡−𝑙 ≈ 0
𝑙=1
6
𝑠𝑡 = −
𝑠 𝑡−𝑙 + 𝜀2 𝑡
𝑙=1
𝜀2 𝑡 ~𝒩 0, 𝜎 𝑠

モデル | 週効果
祝日効果
祝日の売上がどのくらい直近の日曜の売上に似ているか
類似度 0 ≤ 𝑏1 ≤ 1
祝前日効果
祝前日の売上がどのくらい直近の金曜 or 土曜の売上に似ているか
類似度 0 ≤ 𝑏2, 𝑏3 ≤ 1

モデル | 雨効果
『悪天候になればなるほど・・・』
経験で変換: 天気数値
推定する係数 [千円]
Rain_val
𝑟𝑎𝑖𝑛 𝑡 = 𝑐_𝑟𝑎𝑖𝑛 ∗ 𝑅𝑎𝑖𝑛_𝑣𝑎𝑙
𝑡

モデル | イベント効果
経験で変換: 参加人数数値
推定する係数 [千円]
𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡 = 𝑐_𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡 ∗ 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡_𝑣𝑎𝑙
Event_val
イベントの参加人数
[万人]
𝑐_𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡 = 𝑐_𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡−1 + 𝜀3 𝑡
𝜀3 𝑡 ~𝒩 0, 𝜎 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡
𝑡

モデル | AR項
𝑎𝑟 𝑡 は 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡 よりは短く 𝑤𝑒𝑒𝑘 𝑡 よりは長い時間スケール、
具体的には1ヶ月程度の周期を担う成分
このような他の項では説明できない時間スケール変動を表す
項をあらかじめ入れておくことが, モデリングに基づくデータ分
析の秘訣である.
[書籍より]
2
𝑎𝑟 𝑡 =
𝑐_𝑎𝑟𝑙 𝑎𝑟 𝑡−𝑙 + 𝜀4 𝑡
𝑙=1
𝜀4 𝑡 ~𝒩 0, 𝜎 𝑎𝑟

Stanコード （data, parametersブロック）
欠損値を別ループで回すため
範囲の制限

Stanコード （modelブロック）
モデルで事前分布を指定しなければ,
無情報事前分布が自動で設定されるので,
これだけでOK！
欠損値を別ループで回す

現在のマイポリシー
『Stanコードはなるべく減らす』
• transformed dataブロック
• generated quantitiesブロック
– なるべく使わないでRで計算

kickするRコード （RStanを使用）
今回, 欠損値は自分で入れました
{doParallel}を使って並列計算！
環境:
Windows 7 64 bit
R 3.0.2
Stan 2.0.1

分解の結果
売上データ, トレンド
週
雨
イベント
AR
売上
[千円]
残差
day
真の値
MCMCサンプル （n=1500）
MCMCサンプルの中央値

結果: トレンド
𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡
2年間
𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑 𝑡
2013
2012
1年間

結果: 週効果 | 基本パターン
𝑠𝑡
売上
[千円]
真の値
MCMCサンプルの中央値
週末に売上が減る.
ビジネス街の影響.

結果: 週効果 | 祝日効果
類似度
真の値
MCMCサンプルの密度関数
MCMCサンプルの中央値, 95%CI
𝐷2 𝑡 = 1の日は3日だけだったので 𝑏2, 𝑏3の推定は厳しかった.
0 ≤ 𝑏1 ≤ 1の範囲の境界の値(=1.0)を推定させるのも厳しい様子.

結果: 雨効果
係数
[千円]
真の値
MCMCサンプルの密度関数
MCMCサンプルの中央値, 95%CI
悪天候になると売上が伸びる.
ビジネス街の影響.

結果: イベント効果
𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡
𝑐_𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡 𝑡
売上
[千円]
day
真の値
MCMCサンプル （n=1500）
MCMCサンプルの中央値

結果: AR項, 残差
𝑎𝑟 𝑡
欠損値のあるところ
𝜀𝑡
売上
[千円]
day

気になる計算時間は・・・
☹
残念ながら約24時間とちょっと長い.
–
–
–
–
𝜎 𝑠 （s_s）だけが収束しにくかった.
このパラメータ以外は iter=10000 あればOK.
収束をよくする余地はあるのか？要調査.
vector化？

まとめ
• Stanで売上データの分解モデルを試しました.
割とうまくいきました. Stanと時系列データは相性良さそう.
• GARCH, ARIMAなどの時系列分析の手法と比べて, 様々な知
見やデータを組み合わせることで現象の理解がすすみそう.

Web上の情報（予定含む）
• Small Data Scientist Memorandum
– http://heartruptcy.blog.fc2.com/blog-entry-90.html
– R Advent Calendar 2013の26日目の記事になります.
• 書籍の元となった研究はこちら.
– 状態空間モデルを用いた飲食店売上の要因分解
• http://ci.nii.ac.jp/naid/110001183787
– 状態空間モデルによる 時系列データ解析 樋口知之 - 統計数理研究所
• http://tswww.ism.ac.jp/higuchi/index_e/papers/Kouza-TSA-Higuchi.pdf‎