Ακολουθία Fibonacci

1. Η Ακολουθία Fibonacci
&
Ο χρυσός αριθμός φ

2. Ο ορισμός της ακολουθίας Fibonacci
με πρώτο όρο το 1.
• Η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά στην οποία κάθε
αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο
προηγούμενων.
• Δίνεται από τον αναδρομικό τύπο:
• Η σειρά εξελίσσεται ως εξής:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597…

3. Το πρόβλημα με τα κουνέλια
Ένας άνθρωπος βάζει ένα ζευγάρι κουνελιών σε ένα
κλουβί.Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουν
δημιουργηθεί από το αρχικό ζεύγος σε ένα χρόνο,
όταν από τη φύση τους κάθε ζευγάρι κουνελιών
κάθε μήνα γεννά ένα άλλο ζεύγος και μπορούν να
γεννήσουν από το δευτερο μήνα της ζωής τους;

4. Ιδιότητες
• Δύο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας είναι
πρώτοι μεταξύ τους.
• Ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της
ακολουθίας του Fibonacci, τείνει στον χρυσό
αριθμό φ ( όταν το n τείνει στο άπειρο).
• Οι αριθμοί του Fibonacci εμφανίζονται στο
τρίγωνο του Pascal.

6. Η ακολουθία Fibonacci στη φύση
• Την ακολουθία Fibonacci ακολουθεί το κέλυφος
των σαλιγκαριών.
• Στο φυτό ηλιοτρόπιο, ο αριθμός των σπειρών
προς τις δυο κατευθύνσεις είναι διαδοχικοί όροι
της ακολουθίας Fibonacci.

9. Το χρυσό ορθογώνιο σε μνημεία της
αρχαιότητας

10. Η χρυσή σπείρα
Πως κατασκευάσουμε τη χρυσή σπείρα;
• Φτιάχνουμε δύο τετράγωνα πλευράς 1 που
να εφάπτονται.
• Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο πλευράς 2
εφαπτόμενο από την πάνω πλευρά στο
προηγούμενο σχήμα.
• Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο πλευράς 3
εφαπτόμενο στη δεξιά πλευρά στο
προηγούμενο σχήμα.

11. Η χρυσή σπείρα
• Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο εφαπτόμενο
στην κάτω πλευρά, πλευράς 5 και στη συνέχεια
ένα τετράγωνο πλευράς 8 εφαπτόμενο στην
αριστερή πλευρά του προηγούμενου σχήματος.
• Τέλος, κατασκευάζουμε ένα τεταρτοκύκλιο
στο εσωτερικό κάθε τετραγώνου.

12. Η αναλογία της χρυσής τομής στο
ανθρώπινο σώμα

13. Η αναλογία της χρυσής τομής στις
τέχνες
Τη χρυσή τομή συναντά κανείς:
• Στη Τζοκόντα του Leonardo da Vinci
• Το θέατρο της επιδαύρου
• Το θέατρο του Βατικανού