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Nearest Neighbor Search(NNS)
NGUYEN ANH TUAN
Bachelor 4th year
The Engineering Falcuty, the University of Tokyo
May 14, 20...
自己紹介
2008 年 来日
2009 年∼2012 年 兵庫県明石高専
卒論:「エッジ方向のヒストグラムを利用した電子透かしの手
法」(対象:文章画像)
2012 年 東大 2 年に編入
好きなプログラミング言語:C/C++、Java、最近は...
本日の流れ
1 概要
問題の定義
定義の解説
空間と距離
次元
課題:次元の呪縛
関連問題
k 近傍法
ボロノイ図
近似最近傍探索
2 アルゴリズム
線形探索
kd 木
Locality Sensitive Hashing
その他
3 最近の研...
問題の定義
Nearest Neighbor Search(NNS problem)
D 次元ユークリッド空間 RD
において
ベクトル x =
(
x1, x2, . . . xD
)
距離 d
(
x, y
)
=
√
(x1 − y1)2...
解説
空間と距離
高次元と低次元
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 5 / 45
ユークリッド空間内の距離
ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離
→Minkowski 距離 dp(x, y) =
( D∑
i=1
|xi − yi|p
)1
p
→ p = 2 の時、ユークリッド距離
NGUYEN ANH TUAN Gr...
ユークリッド空間内の距離
ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離
→Minkowski 距離 dp(x, y) =
( D∑
i=1
|xi − yi|p
)1
p
→ p = 2 の時、ユークリッド距離
p = 1 の時、マンハッタン距離
...
ユークリッド空間内の距離
ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離
→Minkowski 距離 dp(x, y) =
( D∑
i=1
|xi − yi|p
)1
p
→ p = 2 の時、ユークリッド距離
p = 1 の時、マンハッタン距離
...
Hamming Space
Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ
ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 7 ...
Hamming Space
Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ
ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD
Hamming 距離 → 二つのビット列の相違度
dH(x, y) =...
Hamming Space
Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ
ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD
Hamming 距離 → 二つのビット列の相違度
dH(x, y) =...
解説
空間と距離
高次元と低次元
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 8 / 45
高次元と低次元
参考文献 1
定理 1(引用)
Let F is an arbitrary distribution of n points (from a database of N
uniformly distributed points)...
高次元と低次元
k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
高次元と低次元
k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、
空間の次元 D を増加させると、
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
高次元と低次元
k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、
空間の次元 D を増加させると、
dmax − dmin が 0 に収束
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
高次元と低次元
k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、
空間の次元 D を増加させると、
dmax − dmin が 0 に収束
→ 高次元で k > 2 の Minkowski 距離の時、データセットの中の...
次元の呪縛
ざっくり見ると、普通な問題
一番簡単な手法:線形探索 → 時間計算量 O(nD)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 11 / 45
次元の呪縛
ざっくり見ると、普通な問題
一番簡単な手法:線形探索 → 時間計算量 O(nD)
次元の一定の値を超えると、いかなるアルゴリズムでも線形
探索 (全探索) と等価である。
NGUYEN ANH TUAN Group study me...
関連問題
k 近傍法
ボロノイ図
近似最近傍探索 (ANN)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 12 / 45
k 近傍法の例
学習用のデータが二つカテゴリ A, B に
分けた時、問い合わせデータ “?”はどの
カテゴリに入るか?→ データの分類問題
アルゴリズム:
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 13 / 45
k 近傍法の例
学習用のデータが二つカテゴリ A, B に
分けた時、問い合わせデータ “?”はどの
カテゴリに入るか?→ データの分類問題
アルゴリズム:
1 k を適切に選ぶ
2 “?”と学習用のデータとの距離を
計算
3 距離でデータを並...
k 近傍法の例
学習用のデータが二つカテゴリ A, B に
分けた時、問い合わせデータ “?”はどの
カテゴリに入るか?→ データの分類問題
アルゴリズム:
1 k を適切に選ぶ
2 “?”と学習用のデータとの距離を
計算
3 距離でデータを並...
関連問題
k 近傍法
ボロノイ図
近似最近傍探索 (ANN)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 14 / 45
ボロノイ図:2点のみ
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 15 / 45
ボロノイ図:2点のみ
→ A, B それぞれに近い領域に分割
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 15 / 45
ボロノイ図:3点の場合
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 16 / 45
ボロノイ図
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 17 / 45
関連問題
k 近傍法
ボロノイ図
近似最近傍探索 (ANN)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 18 / 45
近似最近傍探索(ANN)
次元の呪いへの対策
正確な解を求めるよりも、ある確率以上でそのベクトルが最
近傍となるものを求めたい。
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 19 / 45
手法
線形探索
kd 木
Locality Sensitive Hashing(LSH)
その他
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 20 / 45
線形探索
すべてのデータをスキャンして、クエリベクトルとの距離を
計算する。
計算した距離の中の最小値とそれに対する位置を求める。
時間計算量 O(nD)、追加メモリなし
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 21 ...
手法
線形探索
kd 木
Locality Sensitive Hashing(LSH)
その他
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 22 / 45
kd木
二分木の探索 → 平均時間計算量:O(D log n)、最悪時 (偏りの
木):O(nD)
空間分割を表現する。
(a) 二次元空間データ (b) kd 木
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 23 / 45
kd木:探索アルゴリズム
1 二分探索木と同じ探索になるが、
2 一致するものではなく、近いものをもとめる。
3 葉へ到着する直前のノードを暫定的な最近傍 temp
4 back track を行い、temp から root へ戻る道で、que...
kd木:次元の呪い
平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる
が、その時でも 4 の計算量が生じる。
2
D.T. Lee, C. K. Wong, “Worst-case analysis for region...
kd木:次元の呪い
平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる
が、その時でも 4 の計算量が生じる。
次元の呪い:参考文献 2
では、最悪時 kd 木での探索の時間計算
量は O(Dn1−1/D
) となる。
2...
kd木:次元の呪い
平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる
が、その時でも 4 の計算量が生じる。
次元の呪い:参考文献 2
では、最悪時 kd 木での探索の時間計算
量は O(Dn1−1/D
) となる。
D...
kd木:最悪時の例
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 26 / 45
kd木:もう一つの問題点
暫定解を格納するメモリが生じる。→ データを葉につめる。
データを葉につめる。一個のデータを一つの箱にいれる。→
箱の分け方?
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 27 / 45
手法
線形探索
kd 木
Locality Sensitive Hashing(LSH)
その他
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 28 / 45
手法
線形探索
kd 木
Locality Sensitive Hashing(LSH)
その他
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 29 / 45
AESA
距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら
OK
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 30 / 45
AESA
距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら
OK
アルゴリズム
1 全データでペアの距離を計算する。
2 表で計算結果をまとめる。
3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去
する。
NGUYEN...
AESA
距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら
OK
アルゴリズム
1 全データでペアの距離を計算する。
2 表で計算結果をまとめる。
3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去
する。
→ 問題点:...
AESA
距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら
OK
アルゴリズム
1 全データでペアの距離を計算する。
2 表で計算結果をまとめる。
3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去
する。
→ 問題点:...
ボロノイ分割
ボロノイ分割を行ってから、クエリベクトルはどのボロノイ
領域になるかを調べて、その領域の母点を最近傍となる。
ボロノイ分割を行うのに O(n2
D) の時間がかかる。
NGUYEN ANH TUAN Group study mem...
最近の研究
Product Quantization3
3
H. Jegou et al., “Product Quantization for Nearest Neighbor
Search”, IEEE TRANSACTIONS ON PA...
Quantization
量子化
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 33 / 45
Quantization
量子化
スカラ量子化
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 33 / 45
Vector Quantization
スカラ量子化 →1 次元データの表現 (数値だけ?)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 34 / 45
Vector Quantization
スカラ量子化 →1 次元データの表現 (数値だけ?)
ベクトル量子化
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 34 / 45
Vector Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k}
量子器 (quantizer) Q : RD
→ C
x ∈ RD
の時、Q(x) ∈ C
NGUYEN ANH TUAN Gro...
Vector Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k}
量子器 (quantizer) Q : RD
→ C
x ∈ RD
の時、Q(x) ∈ C
RD
を k 領域に分割する → ボロ...
Vector Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k}
量子器 (quantizer) Q : RD
→ C
x ∈ RD
の時、Q(x) ∈ C
RD
を k 領域に分割する → ボロ...
Vector Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k}
量子器 (quantizer) Q : RD
→ C
x ∈ RD
の時、Q(x) ∈ C
RD
を k 領域に分割する → ボロ...
Vector Quantization
コードブックのサイズ k
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 36 / 45
Vector Quantization
コードブックのサイズ k
各ベクトルを表現するのに ⌈log2 k⌉ ビットが必要
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 36 / 45
Vector Quantization
コードブックのサイズ k
各ベクトルを表現するのに ⌈log2 k⌉ ビットが必要
空間を k 領域に分割 → k-means 法の量子器
NGUYEN ANH TUAN Group study memo...
Vector Quantization:次元の呪い
コードブックのサイズ k
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
Vector Quantization:次元の呪い
コードブックのサイズ k
k はどのぐらいとれば良いか?
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
Vector Quantization:次元の呪い
コードブックのサイズ k
k はどのぐらいとれば良いか? → k ≈ exp(D)
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
Vector Quantization:次元の呪い
コードブックのサイズ k
k はどのぐらいとれば良いか? → k ≈ exp(D)
→ 次元が増えると、コードブックのサイズが指数的に増加
NGUYEN ANH TUAN Group stud...
Product Quantization
ベクトル量子化の欠点を補いたい → 直積量子化
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 38 / 45
Product Quantization
発想
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
Product Quantization
発想
64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264
264
個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ
は
NGUYEN ANH TUAN Group stud...
Product Quantization
発想
64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264
264
個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ
は 264
× 32[bit]≈ 64, 000, 00...
Product Quantization
発想
64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264
264
個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ
は 264
× 32[bit]≈ 64, 000, 00...
Product Quantization
発想
64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264
264
個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ
は 264
× 32[bit]≈ 64, 000, 00...
Product Quantization
発想
64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264
264
個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ
は 264
× 32[bit]≈ 64, 000, 00...
Product Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} の D = log2 k
次元の空間を m 個 Cj の子空間 (次元が D/m) に分割する。
C = C1 × C2 × ....
Product Quantization
コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} の D = log2 k
次元の空間を m 個 Cj の子空間 (次元が D/m) に分割する。
C = C1 × C2 × ....
Searching algorithm(By H. Jegou et al.)
1 Indexing
2 Searching
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 41 / 45
Indexing
前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y)
入力:ベクトル y ∈ RD
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 42 / 45
Indexing
前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y)
入力:ベクトル y ∈ RD
アルゴリズム
1 y を Qc(y) に量子化
2 距離 r(y) = y − Qc(y) を計算
3 r(y) を Qp(r(y)) に量子化。r(...
Searching algorithm(By H. Jegou et al.)
1 Indexing
2 Searching
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 43 / 45
Searching
前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y)
入力:ベクトル x ∈ RD
出力:最近傍 NN(x) ∈ RD
NGUYEN ANH TUAN Group study memo 44 / 45
Searching
前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y)
入力:ベクトル x ∈ RD
出力:最近傍 NN(x) ∈ RD
アルゴリズム
1 y を Qc(y) に量子化
2 距離 r(y) = y − Qc(y) を計算
3 r(y)...
まとめ
最近傍探索問題
空間と距離、次元・次元の呪い
k 近傍法、ボロノイ図、ANN
最近傍探索の手法
木構造、表、ボロノイ図、ハッシュ
Product Quantization
VQ、PQ、直積、次元の分割
NGUYEN ANH TUAN G...
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最近傍探索と直積量子化(Nearest neighbor search and Product Quantization)

最近傍探索の問題と手法についての説明です。木構造や表構造などを使用するkd木探索、LSHの手法について説明します。次元の呪いという問題を解決するための直積量子化(Product Quantization)も含めます。

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最近傍探索と直積量子化(Nearest neighbor search and Product Quantization)

  1. 1. Nearest Neighbor Search(NNS) NGUYEN ANH TUAN Bachelor 4th year The Engineering Falcuty, the University of Tokyo May 14, 2014 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 1 / 45
  2. 2. 自己紹介 2008 年 来日 2009 年∼2012 年 兵庫県明石高専 卒論:「エッジ方向のヒストグラムを利用した電子透かしの手 法」(対象:文章画像) 2012 年 東大 2 年に編入 好きなプログラミング言語:C/C++、Java、最近は Ruby を 触っています。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 2 / 45
  3. 3. 本日の流れ 1 概要 問題の定義 定義の解説 空間と距離 次元 課題:次元の呪縛 関連問題 k 近傍法 ボロノイ図 近似最近傍探索 2 アルゴリズム 線形探索 kd 木 Locality Sensitive Hashing その他 3 最近の研究 Vector Quantization Product Quantization 最近傍探索との関連 4 まとめ NGUYEN ANH TUAN Group study memo 3 / 45
  4. 4. 問題の定義 Nearest Neighbor Search(NNS problem) D 次元ユークリッド空間 RD において ベクトル x = ( x1, x2, . . . xD ) 距離 d ( x, y ) = √ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . . + (xD − yD)2 と表記すると、 入力:部分集合 Y ⊂ RD とベクトル x ∈ RD 出力:Y の要素の中で x と “一番近い”要素 NN(x)。 要するに、入力 ( Y, x ) が与えられた時、 NN(x) = arg min y∈Y d(x, y) (1) を求める問題 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 4 / 45
  5. 5. 解説 空間と距離 高次元と低次元 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 5 / 45
  6. 6. ユークリッド空間内の距離 ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離 →Minkowski 距離 dp(x, y) = ( D∑ i=1 |xi − yi|p )1 p → p = 2 の時、ユークリッド距離 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 6 / 45
  7. 7. ユークリッド空間内の距離 ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離 →Minkowski 距離 dp(x, y) = ( D∑ i=1 |xi − yi|p )1 p → p = 2 の時、ユークリッド距離 p = 1 の時、マンハッタン距離 dM (x, y) = D∑ i=1 |xi − yi| (2) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 6 / 45
  8. 8. ユークリッド空間内の距離 ユークリッド距離 → 直感的、通常の距離 →Minkowski 距離 dp(x, y) = ( D∑ i=1 |xi − yi|p )1 p → p = 2 の時、ユークリッド距離 p = 1 の時、マンハッタン距離 dM (x, y) = D∑ i=1 |xi − yi| (2) Question: p > 2 の Minkowski 距離を利用するか? NGUYEN ANH TUAN Group study memo 6 / 45
  9. 9. Hamming Space Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD NGUYEN ANH TUAN Group study memo 7 / 45
  10. 10. Hamming Space Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD Hamming 距離 → 二つのビット列の相違度 dH(x, y) = {i|xi ̸= yi} (3) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 7 / 45
  11. 11. Hamming Space Hamming Space:H = {0, 1} の時、すべての長さ D のビッ ト列からなる空間を D 次元 Hamming Space HD Hamming 距離 → 二つのビット列の相違度 dH(x, y) = {i|xi ̸= yi} (3) 例: 00011 と 00101 の相違度が 2 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 7 / 45
  12. 12. 解説 空間と距離 高次元と低次元 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 8 / 45
  13. 13. 高次元と低次元 参考文献 1 定理 1(引用) Let F is an arbitrary distribution of n points (from a database of N uniformly distributed points), the distance function is an k-norm Minkowski distance function inside an Euclidean space RD . Therefore, Ck ≤ lim D→+∞ E [ dmax − dmin D1/k−1/2 ] ≤ (N − 1)Ck (4) , where dmax, dmin are the farthest and nearest distance from a point in F to the query point, respectively. Ck is a constant value that depends on k. 1 A. Hinneburg et al , “What Is the Nearest Neighbor in High Dimensional Spaces?”, Proceedings of the 26th International Conference on Very Large Data Bases, pp.506-515, 2000 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 9 / 45
  14. 14. 高次元と低次元 k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
  15. 15. 高次元と低次元 k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、 空間の次元 D を増加させると、 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
  16. 16. 高次元と低次元 k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、 空間の次元 D を増加させると、 dmax − dmin が 0 に収束 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
  17. 17. 高次元と低次元 k > 2 の Minkowski 距離 dk(x, y) を利用した時、 空間の次元 D を増加させると、 dmax − dmin が 0 に収束 → 高次元で k > 2 の Minkowski 距離の時、データセットの中の最 短距離と最長距離はほぼ一致してしまう NGUYEN ANH TUAN Group study memo 10 / 45
  18. 18. 次元の呪縛 ざっくり見ると、普通な問題 一番簡単な手法:線形探索 → 時間計算量 O(nD) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 11 / 45
  19. 19. 次元の呪縛 ざっくり見ると、普通な問題 一番簡単な手法:線形探索 → 時間計算量 O(nD) 次元の一定の値を超えると、いかなるアルゴリズムでも線形 探索 (全探索) と等価である。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 11 / 45
  20. 20. 関連問題 k 近傍法 ボロノイ図 近似最近傍探索 (ANN) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 12 / 45
  21. 21. k 近傍法の例 学習用のデータが二つカテゴリ A, B に 分けた時、問い合わせデータ “?”はどの カテゴリに入るか?→ データの分類問題 アルゴリズム: NGUYEN ANH TUAN Group study memo 13 / 45
  22. 22. k 近傍法の例 学習用のデータが二つカテゴリ A, B に 分けた時、問い合わせデータ “?”はどの カテゴリに入るか?→ データの分類問題 アルゴリズム: 1 k を適切に選ぶ 2 “?”と学習用のデータとの距離を 計算 3 距離でデータを並び替える NGUYEN ANH TUAN Group study memo 13 / 45
  23. 23. k 近傍法の例 学習用のデータが二つカテゴリ A, B に 分けた時、問い合わせデータ “?”はどの カテゴリに入るか?→ データの分類問題 アルゴリズム: 1 k を適切に選ぶ 2 “?”と学習用のデータとの距離を 計算 3 距離でデータを並び替える 4 学習用のデータから k 個だけを選 別する。選択されたデータで多数 決投票を行う 5 最多となるデータのカテゴリが、 “?”の推測されたカテゴリとなる。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 13 / 45
  24. 24. 関連問題 k 近傍法 ボロノイ図 近似最近傍探索 (ANN) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 14 / 45
  25. 25. ボロノイ図:2点のみ NGUYEN ANH TUAN Group study memo 15 / 45
  26. 26. ボロノイ図:2点のみ → A, B それぞれに近い領域に分割 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 15 / 45
  27. 27. ボロノイ図:3点の場合 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 16 / 45
  28. 28. ボロノイ図 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 17 / 45
  29. 29. 関連問題 k 近傍法 ボロノイ図 近似最近傍探索 (ANN) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 18 / 45
  30. 30. 近似最近傍探索(ANN) 次元の呪いへの対策 正確な解を求めるよりも、ある確率以上でそのベクトルが最 近傍となるものを求めたい。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 19 / 45
  31. 31. 手法 線形探索 kd 木 Locality Sensitive Hashing(LSH) その他 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 20 / 45
  32. 32. 線形探索 すべてのデータをスキャンして、クエリベクトルとの距離を 計算する。 計算した距離の中の最小値とそれに対する位置を求める。 時間計算量 O(nD)、追加メモリなし NGUYEN ANH TUAN Group study memo 21 / 45
  33. 33. 手法 線形探索 kd 木 Locality Sensitive Hashing(LSH) その他 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 22 / 45
  34. 34. kd木 二分木の探索 → 平均時間計算量:O(D log n)、最悪時 (偏りの 木):O(nD) 空間分割を表現する。 (a) 二次元空間データ (b) kd 木 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 23 / 45
  35. 35. kd木:探索アルゴリズム 1 二分探索木と同じ探索になるが、 2 一致するものではなく、近いものをもとめる。 3 葉へ到着する直前のノードを暫定的な最近傍 temp 4 back track を行い、temp から root へ戻る道で、query と より近いものがあれば、temp を更新する。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 24 / 45
  36. 36. kd木:次元の呪い 平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる が、その時でも 4 の計算量が生じる。 2 D.T. Lee, C. K. Wong, “Worst-case analysis for region and partial region searches in multidimensional binary search trees and balanced quad trees”, Acta Informatica 13. XII. 1977, Volume 9, Issue 1, pp 23-29 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 25 / 45
  37. 37. kd木:次元の呪い 平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる が、その時でも 4 の計算量が生じる。 次元の呪い:参考文献 2 では、最悪時 kd 木での探索の時間計算 量は O(Dn1−1/D ) となる。 2 D.T. Lee, C. K. Wong, “Worst-case analysis for region and partial region searches in multidimensional binary search trees and balanced quad trees”, Acta Informatica 13. XII. 1977, Volume 9, Issue 1, pp 23-29 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 25 / 45
  38. 38. kd木:次元の呪い 平衡木にすれば、1∼3 の平均時間計算量が O(D log n) になる が、その時でも 4 の計算量が生じる。 次元の呪い:参考文献 2 では、最悪時 kd 木での探索の時間計算 量は O(Dn1−1/D ) となる。 D → +∞ の時 Dn1−1/D → Dn (5) 2 D.T. Lee, C. K. Wong, “Worst-case analysis for region and partial region searches in multidimensional binary search trees and balanced quad trees”, Acta Informatica 13. XII. 1977, Volume 9, Issue 1, pp 23-29 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 25 / 45
  39. 39. kd木:最悪時の例 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 26 / 45
  40. 40. kd木:もう一つの問題点 暫定解を格納するメモリが生じる。→ データを葉につめる。 データを葉につめる。一個のデータを一つの箱にいれる。→ 箱の分け方? NGUYEN ANH TUAN Group study memo 27 / 45
  41. 41. 手法 線形探索 kd 木 Locality Sensitive Hashing(LSH) その他 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 28 / 45
  42. 42. 手法 線形探索 kd 木 Locality Sensitive Hashing(LSH) その他 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 29 / 45
  43. 43. AESA 距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら OK NGUYEN ANH TUAN Group study memo 30 / 45
  44. 44. AESA 距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら OK アルゴリズム 1 全データでペアの距離を計算する。 2 表で計算結果をまとめる。 3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去 する。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 30 / 45
  45. 45. AESA 距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら OK アルゴリズム 1 全データでペアの距離を計算する。 2 表で計算結果をまとめる。 3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去 する。 → 問題点:距離のデータを格納する表の作成に時間がかかる。 探索時、蓄積データのためにメモリ量がかかる。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 30 / 45
  46. 46. AESA 距離の三公理を使う。→ 距離の選択:Minkowski 距離なら OK アルゴリズム 1 全データでペアの距離を計算する。 2 表で計算結果をまとめる。 3 距離の三公理と表のデータで最近傍になり得ないものを除去 する。 → 問題点:距離のデータを格納する表の作成に時間がかかる。 探索時、蓄積データのためにメモリ量がかかる。 →LAESA:蓄積データの一部のみを使用する。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 30 / 45
  47. 47. ボロノイ分割 ボロノイ分割を行ってから、クエリベクトルはどのボロノイ 領域になるかを調べて、その領域の母点を最近傍となる。 ボロノイ分割を行うのに O(n2 D) の時間がかかる。 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 31 / 45
  48. 48. 最近の研究 Product Quantization3 3 H. Jegou et al., “Product Quantization for Nearest Neighbor Search”, IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE,VOL. 33, NO. 1,JANUARY 2011, pp 117-126 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 32 / 45
  49. 49. Quantization 量子化 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 33 / 45
  50. 50. Quantization 量子化 スカラ量子化 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 33 / 45
  51. 51. Vector Quantization スカラ量子化 →1 次元データの表現 (数値だけ?) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 34 / 45
  52. 52. Vector Quantization スカラ量子化 →1 次元データの表現 (数値だけ?) ベクトル量子化 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 34 / 45
  53. 53. Vector Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} 量子器 (quantizer) Q : RD → C x ∈ RD の時、Q(x) ∈ C NGUYEN ANH TUAN Group study memo 35 / 45
  54. 54. Vector Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} 量子器 (quantizer) Q : RD → C x ∈ RD の時、Q(x) ∈ C RD を k 領域に分割する → ボロノイ図のイメージ NGUYEN ANH TUAN Group study memo 35 / 45
  55. 55. Vector Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} 量子器 (quantizer) Q : RD → C x ∈ RD の時、Q(x) ∈ C RD を k 領域に分割する → ボロノイ図のイメージ Q(x) = arg min ci∈C d(x, ci) (6) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 35 / 45
  56. 56. Vector Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} 量子器 (quantizer) Q : RD → C x ∈ RD の時、Q(x) ∈ C RD を k 領域に分割する → ボロノイ図のイメージ Q(x) = arg min ci∈C d(x, ci) (6) ボロノイ領域を Vi = {x ∈ RD : Q(x) = ci} とすると、 ci = E[x|i] = ∫ Vi p(x)xdx (7) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 35 / 45
  57. 57. Vector Quantization コードブックのサイズ k NGUYEN ANH TUAN Group study memo 36 / 45
  58. 58. Vector Quantization コードブックのサイズ k 各ベクトルを表現するのに ⌈log2 k⌉ ビットが必要 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 36 / 45
  59. 59. Vector Quantization コードブックのサイズ k 各ベクトルを表現するのに ⌈log2 k⌉ ビットが必要 空間を k 領域に分割 → k-means 法の量子器 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 36 / 45
  60. 60. Vector Quantization:次元の呪い コードブックのサイズ k NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
  61. 61. Vector Quantization:次元の呪い コードブックのサイズ k k はどのぐらいとれば良いか? NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
  62. 62. Vector Quantization:次元の呪い コードブックのサイズ k k はどのぐらいとれば良いか? → k ≈ exp(D) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
  63. 63. Vector Quantization:次元の呪い コードブックのサイズ k k はどのぐらいとれば良いか? → k ≈ exp(D) → 次元が増えると、コードブックのサイズが指数的に増加 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 37 / 45
  64. 64. Product Quantization ベクトル量子化の欠点を補いたい → 直積量子化 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 38 / 45
  65. 65. Product Quantization 発想 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  66. 66. Product Quantization 発想 64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264 264 個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ は NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  67. 67. Product Quantization 発想 64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264 264 個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ は 264 × 32[bit]≈ 64, 000, 000, 000, 000[GB]=64[Zettabyte] NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  68. 68. Product Quantization 発想 64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264 264 個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ は 264 × 32[bit]≈ 64, 000, 000, 000, 000[GB]=64[Zettabyte] 例えば、各 ci を二つの 32 ビットの ci1, ci2 に分割すると、必 要な個数は NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  69. 69. Product Quantization 発想 64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264 264 個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ は 264 × 32[bit]≈ 64, 000, 000, 000, 000[GB]=64[Zettabyte] 例えば、各 ci を二つの 32 ビットの ci1, ci2 に分割すると、必 要な個数は 2 × 232 = 233 個 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  70. 70. Product Quantization 発想 64 bit のコードブック ↔ log2 k = 64 ↔ k = 264 264 個の整数型データを保存するのに、コードブックのサイズ は 264 × 32[bit]≈ 64, 000, 000, 000, 000[GB]=64[Zettabyte] 例えば、各 ci を二つの 32 ビットの ci1, ci2 に分割すると、必 要な個数は 2 × 232 = 233 個 コードブックのサイズは 233 × 32[bit]≈ 32, 000[GB]=32[TB] NGUYEN ANH TUAN Group study memo 39 / 45
  71. 71. Product Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} の D = log2 k 次元の空間を m 個 Cj の子空間 (次元が D/m) に分割する。 C = C1 × C2 × . . . × Cm (8) NGUYEN ANH TUAN Group study memo 40 / 45
  72. 72. Product Quantization コードブック (codebook) C = {pi|0 ≤ i < k} の D = log2 k 次元の空間を m 個 Cj の子空間 (次元が D/m) に分割する。 C = C1 × C2 × . . . × Cm (8) 子量子器 Qj : RD/m → Cj 子コードブックのサイズ k∗ = 2 D m = 2 log2 k m = k 1 m (9) 総コードブックのサイズは mk 1 m NGUYEN ANH TUAN Group study memo 40 / 45
  73. 73. Searching algorithm(By H. Jegou et al.) 1 Indexing 2 Searching NGUYEN ANH TUAN Group study memo 41 / 45
  74. 74. Indexing 前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y) 入力:ベクトル y ∈ RD NGUYEN ANH TUAN Group study memo 42 / 45
  75. 75. Indexing 前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y) 入力:ベクトル y ∈ RD アルゴリズム 1 y を Qc(y) に量子化 2 距離 r(y) = y − Qc(y) を計算 3 r(y) を Qp(r(y)) に量子化。r(y) を uj(y), j = 1, 2, . . . m に分 割。uj(y) → Qj(y) の対応づけ 4 (Q1, Q2, . . . Qm) をインデクスとする → 転置インデクス NGUYEN ANH TUAN Group study memo 42 / 45
  76. 76. Searching algorithm(By H. Jegou et al.) 1 Indexing 2 Searching NGUYEN ANH TUAN Group study memo 43 / 45
  77. 77. Searching 前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y) 入力:ベクトル x ∈ RD 出力:最近傍 NN(x) ∈ RD NGUYEN ANH TUAN Group study memo 44 / 45
  78. 78. Searching 前提条件:次元 D、距離関数 d(x, y) 入力:ベクトル x ∈ RD 出力:最近傍 NN(x) ∈ RD アルゴリズム 1 y を Qc(y) に量子化 2 距離 r(y) = y − Qc(y) を計算 3 r(y) を Qp(r(y)) に量子化。r(y) を uj(y), j = 1, 2, . . . m に分 割。uj(y) → Qj(y) の対応づけ 4 (Q1, Q2, . . . Qm) をインデクスとする NGUYEN ANH TUAN Group study memo 44 / 45
  79. 79. まとめ 最近傍探索問題 空間と距離、次元・次元の呪い k 近傍法、ボロノイ図、ANN 最近傍探索の手法 木構造、表、ボロノイ図、ハッシュ Product Quantization VQ、PQ、直積、次元の分割 NGUYEN ANH TUAN Group study memo 45 / 45

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