Optimisasi 2

Teori dan aplikasi
optimisasi
Firmanto Hadi

RENCANA MATERI KULIAH
• Pendahuluan
• Linear Programing
– Solusi Grafis
– Solusi Matematis
• Assignment Problem
• Transportation Problem
• Integer Programing
• Non-Linear Programing
• Project Management
Sistem Penilaian
UAS 30%
UTS 30%
Tugas 20%
miniproject 20%
Kamis, 20 November 2014 2

Pendahuluan
• Pengertian Metode Optimisasi (Riset Operasi)
– Optimisasi adalah suatu metode yang digunakan sebagai alat bantu dalam
proses pegambilan keputusan.
– Tujuan metode ini adalah untuk mencari alternatif terbaik (optimum) dengan
menerapkan model matematis atas suatu permasalahan dengan
memperhatikan batasan-batasan tertentu
– Bagian terpenting dari metode ini adalah menerjemahkan permasalahan ke
dalam model matematis.  (art and science)
• Proses pengambilan keputusan:
– Defining the problem
– Determining the objective
– Exploring the alternatives
– Predicting consequences
– Making a choice
– Performing sensitivity analysis

Pendahuluan
• Contoh:
– Seorang manajer pabrik harus mengambil keputusan
untuk membeli mesin otomatis atau semi-otomatis
untuk proses produksi di pabriknya. Informasi biaya
untuk kedua alternatif mesin tersebut adalah sebagai
seperti tabel di bawah. Keputusan yang harus diambil,
mesin jenis manakah yang harus di beli?
Cost in Dollar
semi-automatic automatic
Set up cost 20 50
Unit variable cost 0.6 0.4

Pendahuluan
• Untuk memformulasikan persoalan tersebut,
maka:
– Identifikasi alternatif solusi yang tersedia
– Menentukan kriteria untuk mengevaluasi kelayakan
masing-masing alternatif
– Menggunakan kriteria tersebut sebagai dasar untuk
menentukan pilihan terbaik
• Tujuan yang diinginkan
– biaya produksi minim
• Alternatif yang tersedia:
– Membeli mesin otomatis
– Membeli mesin semi otomatis

Pendahuluan
• Untuk mengevaluasi kedua alternatif tersebut,
maka digunakan kriteria biaya produksi (yang
terdiri atas biaya tetap, dan biaya variabel) dengan
tujuan untuk meminimalisasi biaya produksi
• Misalkan, x adalah jumlah produksi dalam satu
batch, maka formulasi perhitungan biaya produksi
adalah sebagai berikut:
– Biaya produksi = setup cost + (variable cost)x
= 50 + 0,4 x  mesin otomatis
= 20 + 0,6x  mesin semiotomatis

• Tahap berikutnya adalah mengambil keputusan, yang dilakukan
dengan break-even chart seperti berikut
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Breakeven
point
Buy semiautomatic Buy automatic
0 50 100 150 200 250
Biaya Produksi
Jumlah Produksi
Otomatis Semiotomatis

Pendahuluan
• Contoh sebelumnya mengasumsikan bahwa production
rate dari kedua jenis mesin tersebut adalah sama.
• Bagaimana jika production rate keduanya tidak sama?
(agar lebih realistis)
• Informasi tambahan, production rate mesin otomatis
adalah 25 unit/jam dan semiotomatis adalah 15 unit/jam.
Pabrik beroperasi hanya 8 jam sehari (satu shift) dan
permintaan atas hasil produksi mesin ini adalah 100
unit/hari dan ada kemungkinan meningkat menjadi 150
unit/hari.

Pendahuluan
140
120
100
80
60
40
20
Feasible range for automatic
Feasible range
for semiautomatic Infeasible range
Buy semiautomatic Buy automatic
Do not buy
either machine
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Biaya Produksi
Jumlah Produksi
Otomatis Semiotomatis

LINEAR PROGRAMMING

Contoh Persoalan LP Sederhana
• Sebuah pabrik cat memproduksi 2 jenis cat (exterior dan interior). Untuk
memproduksi cat tersebut dibutuhkan material A dan B. Jumlah material A yang
tersedia maksimum adalah 6 ton/hari dan material B 8 ton/hari. Jumlah
kebutuhan material yang dibutuhkan untuk menghasilkan cat tersebut adalah
sebagai berikut:
Kebutuhan material
untuk 1 ton cat
Exterior Interior
Jml Maksimum
Material yang
tersedia
Material A 1 2 6
Material B 2 1 8
• Hasil survei menunjukkan bahwa perbedaan permintaan antara cat interior dan
exterior tidak lebih dari 1 ton per hari, sedangkan permintaan untuk cat interior
sendiri adalah 2 ton per hari. Harga jual untuk cat exterior adalah $3.000 dan cat
interior adalah $2.000 per ton. Berapakah jumlah cat interior dan exterior yang
harus diproduksi oleh pabrik tersebut sedmikian sehingga pendapatan pabrik
semaksimum mungkin.

Menyusun Model
• Variabel
– Apakah yang ingin dicari (tidak diketahui)  jumlah cat
interior dan ekterior yang harus diproduksi
• xE = jumlah cat exterior yang harus diproduksi
• xI = jumlah cat interior yang harus diproduksi
• Objective Function (fungsi tujuan)
– Berapa cat interior dan ekterior yang harus diproduksi
sedemikian sehingga pendapatan maksimum
• Z = 3xE + 2xI

Menyusun Model
• Constraint (batasan)
– Batasan ketersediaan material
• xE + 2xI ≤ 6  Material A
• 2xE + xI ≤ 8  Material B
– Batasan kondisi pasar
• xI – xE ≤ 1  Selisih demand interior dan ekterior
• xI ≤ 2  kebutuhan cat interior
– Batasan Non-negatif
• xI ≥ 0
• xE ≥ 0

Menyusun Model
• Stadard penulisan model optimisasi
z x x
maximize  3 
2
subject to:
x x
 
2 6
E I
x x
2 8
1
2
0
0
 
E I
x x
  



E I
I
x
E
I
E I
x
x
1
2
3
4
5
6

Solusi Grafis
• Contoh model di atas dapat diselesaikan secara grafis (karena terdiri
atas 2 variabel)
• Penyelesaian model dengan 3 atau lebih variabel akan sangat sulit
dilakukan
• Meskipun dalam praktek penyelesaian persoalan, penggunaan
metode grafis jarang dilakukan, namun pemahaman atas metode ini
menjadi penting agar anda dapat membayangkan bagaimana proses
ini berjalan
• Langkah pertama dalam metode grafis adalah mengambar feasible
solution yaitu yang memenuhi semua constraint yang telah
ditentukan

Gambar Solusi Grafis
9
8
7
5
6
5
4
3
2
1
0
Solusi Optimum
xE = 10/3
xI = 4/3
Z = 38/3
1
2
3
4
6
E D
feasible region
C
F
A B
Garis Objective
Function
Z=9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Analisis Sensitivitas
• Analisis ini dilakukan setelah hasil optimum
diperoleh
• Berguna untuk mengetahui seberapa sensitif hasil
optimum tadi jika terjadi perubahan data atau
informasi pada model
– Bagaimana jika harga jual berubah
– Bagaimana jika ketersediaan material berubah
– Bagaimana jika kebutuhan pasar berubah, dll
• Analisis sensivitas adalah bagian yang tidak
terpisahkan dalam proses optimisasi
– Mampu menjawab what-if scenario

Analisis Sensitivitas
• Sensitivitas 1
– Seberapa banyak material dapat ditingkatkan untuk
meningkatkan pendapatan dari hasil optimum?
– Seberapa banyak material dapat dikurangi tanpa
mengurangi pendapatan dari hasil optimum?
• Sensitivitas 2
– Material manakah yang merupakan prioritas utama jika
kondisi budget terbatas
• Sensitivitas 3
– Seberapa besar koefisien objective function dapat
diubah (dinaik/turunkan) tanpa merubah titik optimum
 harga

Sensitivitas 1
• Terdapat 2 jenis constraint dalam LP
– Binding  adalah constraint yang melewati titik optimum
– Non-binding  constraint yang tidak melewati titik optimum
• Dalam solusi grafis terlihat bahwa constraint 1 dan 2 adalah yg
melewati titik optimum  binding
• Jika suatu constraint adalah binding, maka dapat dikatakan sebagai
scarce resource karena seluruh yang tersedia terpakai habis
• Sebaliknya, constraint yang nonbinding  abundant resource 
tidak habis terpakai
• Oleh karena itu:
– Binding constraint  seberapa besar scarce resource itu dapat ditingkatkan untuk
meningkatkan hasil optimum
– Nonbinding constraint  seberapa besar kita dapat mengurangi abundant
resource tanpa menurunkan hasil optimum

Sensitivitas 1
• Hasil optimisasi  material A dan B termasuk
binding constraint
Pers. garis 1 (constraint material A=6 ton) digeser sejajar hingga menyentuh
Perpotongan antara constraint 4 dan 2 (titik K), ketika titik K tercapai, maka
constraint 2 dan 4 menjadi binding dan constraint 1 menjadi nonbinding, dan
feasible region menjadi ABKEF. Titik optimum menjadi K, yang merupakan
perpotongan antaran constraint 2 dan 4
2xE + xI = 8
xI = 2
C
E D
A B
F
1
2
3
4
5
6
K
xE = 3 dan xI = 2
Substitusi ke pers. Constraint 1
xE + 2xI = 3 + 2(2) = 7 ton
C: (10/3,4/3)  Z = 38/3
K: (2,3)  Z = 13

Sensitivitas 1
• Constraint Material B dapat dilakukan dg cara yang sama
Dengan cara yang sama seperti pada material A, maka material B dapat ditingkatkan
hingga 12 ton (perpotongan antaran constraint 1 dan 6  titik J)
C
E D
A B
C: (10/3,4/3)  Z = 38/3
J: (6,0)  Z = 18
F
1
2
3
4
5
6
J

Sensitivitas 1
• Mengurangi nonbinding constraint (constraint 4 dan 3)
– Constraint 4 dapat dikurangi maksimum hingga melewati titik optimum (C) tanpa
mengurangi nilai optimum  karena C (10/3,4/3), maka maksimum pengurangan
demand untuk cat interior adalah hingga 4/3 ton  xI ≤ 4/3
– Constraint 3 dpt dilakukan dengan menggeser pers 3 sejajar hingga melewati titik
C tanpa mengurangi nilai optimum  -xE + xI = (-10/3) + (4/3) = - 2  xE- xI ≥ 2 
yang berarti bahwa solusi optimum tidak akan berubah jika permintaan cat
exterior melebihi cat interior hingga 2 ton
C
E D
A B
F
1
2
3
4
5
6

Sensitivitas 1
• Summary
Perubaham Max Perubahan Max
Constraint Tipe pd nilai constraint pd nilai optimum
1 Binding 7 - 6 = +1 13 - 38/3 = +1/3
2 Binding 12 - 8 = +4 18 - 38/3 = +16/3
3 Nonbinding -2 - 1 = -3 38/3 - 38/3 =0
4 Nonbinding 4/3 - 2 = -2/3 38/3 - 38/3 =0

Sensitivitas 2
• Berguna untuk menjawab material manakah yang memiliki prioritas
tertinggi (budget terbatas)
– Hal ini dilakukan dengan cara menambahkan satu satuan pada scarce resource
dan bagaimana perubahan terhadap objective function
– Scarce resource yang memberikan nilai perubahan pada objective function lebih
tinggi memiliki prioritas yang lebih tinggi
– Rumus umumnya :
maksimum perubahan pada nilai optimum
maksimum perubahan pada masing -masing resource
 i y
– Misalnya material A  dari tabel summary pada sensitivitas sebelumnya:
–
1
3
2

13 
12 3
7 
6
 i y
Material A memiliki nilai $ 1/3 ribu per ton
– Dengan cara yang dilakukan untuk constraint-constraint yang lain
Constraint Tipe Nilai Yi
1 Binding y1 = 1/3
2 Binding y2 = 4/3
3 Nonbinding y3 = 0
4 Nonbinding y4 = 0
Material B memiliki prioritas tertinggi

Sensitivitas 3
• Berguna untuk mengetahui seberapa besar koefisien objective
function dapat diubah
• Perubahan koefisien pada objective function berakibat pada
berubahnya slope persamaan objective function, oleh karena itu
sensitivitas ini berhubungan dengan:
– Seberapa besar koefisien objective function dapat berubah tanpa merubah titik
optimum
– Seberapa besar perubahan koefisien objective function yang akan menyebabkan
constraint yang tadinya binding menjadi nonbinding atau sebaliknya
• Misal cE dan cI masing-masing adalah pendapatan per ton dari cat
exterior dan interior, maka objective function dapat ditulis sebagai :
z = cExE + cIxI
• Sensitivitas ini berkaitan dengan bagaimana jika nilai cE dan cI
dibesarkan atau dikecilkan  pers. Objective function akan
berputar dengan tumpuan titik optimum (C)

Sensitivitas 3
• Nilai optimum (C) tidak akan berubah sepanjang slope pers z
tersebut bervariasi antara constraint 1 dan 2.
– Ketika slope z sama dengan pers. 1, kita memiliki alternative optima yaitu pada C
dan D
– Ketika slope z sama dengan pers. 2, kita memiliki alternative optima yaitu pada B
dan C
Misal nilai cI = 2 (nilai asal)  cE akan membesar sampai z berhimpit dengan
pers. 2 dan akan mengecil sampai z berhimpit dengan pers. 1
Dengan demikian, variasi nilai maksimum dan minimum perubahan pada cE dapat dicari dengan
menyamakan slope z dengan slope 2 dan 1
C
E D
A B
F
1
2
3
4
5
6
Decrease cE
or
increase cI
Increase cE
or
decrease cI

Sensitivitas 3
• Karena slope z = cE/2 dan slope 1 dan 2 masing-masing adalah ½ dan 2, maka nilai
minimum cE dapat ditentukan dengan cara:
1
 E c
• nilai minimu cE = 1
2
2
• Dengan cara yang sama, maka nilai maksimum cE = 4
• Dengan kata lain 1 < cE < 4
– Jika cE = 1, maka titik optimum terjadi di C atau D dan jika cE dibawah 1, maka titik optimum menjadi D
– Jika cE = 4, maka titik optimum terjadi di C atau B dan jika cE diatas 4, maka titik optimum menjadi B
• Jika cE dibawah 1  resource 2 menjadi abundant dan resource 4 menjadi scarce
 jika revenue per ton dari cat exterior turun dibawah $1000, maka lebih
menguntungkan untuk memproduksi cat interior hingga batas maksimumnya
• Dengan cara yang sama, maka bila cE diatas 4  lebih menguntungkan
memproduksi cat exterior
• Variasi cI dapat dilakukan dengan cara sama dengan membuat nilai cE fixed (anda
dapat mencoba sendiri!!)

Tugas 1-a
• A small plant makes two types of automobile parts. It buys castings
that are machined, bored, and polished. The data shown in table
below
Part A Part B
Machining Capacity 25 per hour 40 per hour
Boring Capacity 28 per hour 35 per hour
Polishing Capacity 35 per hour 25 per hour
• Casting for part A cost $2 each; for part B they cost $3 each. They
sell for $5 and $6 respectively. The three machines have running
costs of $20, $14 and $17.5. Assuming that any combination of parts
A and B can be sold, what product mix maximizes profit?

Tugas 1-b
• A company makes desk organizers. The standard model requires 2
hours of the cutter’s and 1 hour of the finisher’s time. The deluxe
model requires 1 hour of the cutter’s time and 2 hours of the
finisher’s time. The cutter has 104 hours of time available for this
work per month, while the finisher has 76 hours of time available
for work. The standard model brings a profit of $6 per unit, while
the deluxe one brings a profit of $11 per unit. The company, of
course, whishes to make the most profit. Assuming they can sell
whatever is made, how much of each model should be made in
each month?

Solusi Matematis
• Jika persoalan optimisasi memiliki variable 3 atau lebih, maka solusi
secara grafis sulit untuk diterapkan  perlu solusi matematis
• Solusi matematis untuk LP yang paling umum digunakan akan
METODE SIMPLEX
• Metode ini menyelesaikan persoalan optimisasi secara iterasi
(perhitungan yang sama dilakukan berulang-ulang) sampai titik
optimum diketemukan
• Karena sifatnya yang iteratif  penggunaan software akan sangat
membantu  banyak software yang dirancang untuk
menyelesaikan persoalan LP ini
• Metode Simplex ini adalah contoh yang paling mudah untuk
dipahami bagaimana logika percarian titik optimum dalam
persoalan LP

Bentuk Standar LP Model
• Pada contoh sebelumnya, kita berhadapan dengan constraint dalam
bentuk ≤,= dan ≥
• Untuk menyelesaikan LP secara matematis, maka ada suatu format
khusus yang harus dipenuhi yang disebut dengan Bentuk Standar LP
Model. Bentuk standar tersebut harus memenuhi hal-hal sebagai
berikut:
– Semua constraint harus berbentuk persamaan (=) dan ruas kanan harus
berbentuk non-negative
– Semua variabel harus non-negative
– Objective function harus berbentuk maximumkan atau minimumkan
• Bagaimana menuliskan persoalan optimisasi kita dalam bentuk
Standard LP Model sehingga bisa diselesaikan secara matematis?

• Constraint  merubah constraint dari pertidak-samaan menjadi persamaan
– Constraint berbentuk ≤ dapat diubah menjadi bentuk = dengan jalan menambahkan
slack variabel pada ruas kiri persamaan
2 6 1 2 x  x  2 6; 0 1 2 1 1 x  x  s  s 
– Constraint berbentuk ≥ dapat diubah menjadi bentuk = dengan jalan mengurangi
dengan surplus variabel pada ruas kiri persamaan
3 2 3 5 1 2 3 x  x  x  3 2 3 5; 0 1 2 3 2 2 x  x  x  s  s 
• Ruas kanan harus non-negative  dapat dilakukan dengan
mengalikan kedua ruas dengan -1
2 3 7 5 1 2 3 x  x  x   2 3 7 5 1 2 3  x  x  x 
• Tanda pertidak-samaan akan berganti arah ketika dikalikan dengan -1
2 5 1 2 x  x   2 5 1 2  x  x 

• Variable
– Unrestricted variable yi
 dapat dinyatakan dalam bentuk dua non-negative
variabel dengan menggunakan subsitusi  yi=yi’-yi” dimana yi’ dan yi” non-negative
– Substitusi ini harus berlaku untuk semua constraint dan objective function
• Objective function
– Objective function berbentuk maximumkan atau minimumkan
– Namun, jika diperlukan maka bentuk maximumkan dapat dikonversikan
menjadi bentuk minimumkan dengan jalan mengalikan fungsi tersebut
dengan -1
1 2 3 maksimumka n z  5x  2x  3x
1 2 3 Minimumkan  z  5x  2x 3x

Contoh
• Ubah persamaan LP berikut dalam bentuk standar
z x x
minimumkan  2 
3
subject to:
x
x  
10
1 2
1 2
x x
   
2 3 5
1 2
x x
7 4 6
unrestricted
0
 
1 2
x
1
2


x
1. Constraint 2  kalikan dengan -1 dan kurangi dengan
surplus variable s2 pada ruas kirinya
2. Constraint 3  tambahkan slack variable s3 pada ruas
kirinya
3. Substitusikan x1 = x1’ – x1” dimana x1’, x1” ≥ 0 pada
pers. Objective function dan semua constraint
"
1
'
1
z x x x
minimumkan  2  2 
3
10
subject to:
x x x
"
1
'
1
  
2
"
1
'
1
x x x s
2  2  3  
5
"
1
'
1
2 2
x x x s
7  7  4  
6
"
1
2 3
x x x x s s
, , , , , 0
2 3 2 3
'
1
2


Metode Simplex
• Ingat penyelesaian secara grafis  titik optimum selalu berada pada
titik ekstrem dari feasible region  metode simplex menggunaka
logika ini untuk mencari titik optimum
• Pencarian titik optimum pada metode simplex selalu diawali dari
titik origin (0,0) untuk dilakukan pengujian apakah titik optimum
sudah tercapai, kemudian pindah ke titik ekstrem lainnya
selanjutnya dilakukan pengujian, demikian seterusnya hingga titik
optimum tercapai
C
E D
A B
F
1
2
3
4
5
6
Titik A (origin) sebagai starting solution,
kemudian pindah ke titik terdekat berikutnya
(bisa F atau B). Pilihan berikunya F atau B
tergantung pada koefisien dalam Objective
function. Karena koefisien xE lebih besar dari
xI dan persoalan kita maksimumkan, maka
pilihan berikutnya adalah titik B

Metode Simplex
• Pada contoh sebelumnya, jika persoalan diubah menjadi bentuk standard, maka:
z x x s s s s
maximize  3  2  0  0  0 
0
subject to:
x x s
  
2 6
1
E I
x x s
2 8
1
2
  
2
E I
x x s
   
3
E I
x s
 
1 4
x x s s s s
, , , , , 0
1 2 3 4
1 2 3 4

E I
E I
Ada 4 persamaan dengan 6 yang tidak diketahui
Secara umum, dalam bentuk standar, model LP
akan memiliki m persamaan dengan n yang tidak
diketahui dimana m < n.
• Hal-hal yang harus diingat pada metode simplex
– Buat n-m variabel sama dengan nol, dan selesaikan variabel lainnya
– Dengan memasukkan n-m variabel sama dengan nol, maka variabel lainnya harus non-negative
– Dalam contoh sebelumnya  titik A ketika xE=xI=0 menghasilkan s1=6, s2=8, s3=1 dan s4=2
– Secara matematis hasil yang diperoleh dari m-n variabel sama dengan nol disebut dengan BASIC
SOLUTION
– Jika basic solution ini memenuhi kriteria non-negative maka disebut FEASIBLE BASIC SOLUTION
– Variabel yang diset sama dengan nol disebut dengan NON-BASIC VARIABLES, sedangkan sisanya disebut
dengan BASIC VARIABLES.
– Metode simplex hanya bekerja dengan feasible basic solution ketika bergerak dari satu titik ke titik
lainnya.
– Penyelesaian untuk satu basic solution disebut satu kali iterasi, sehingga jumlah iterasi maksimum tidak
akan melebihi jumlah basic solution dari bentuk standard  max iterasi
n
!
 !( )!

m 
m n m
Cn

Metode Simplex
• Pada contoh sebelumnya, berikut adalah daftar basic variables and
non-basic variables
Extreme Non-basic (zero) Basic
Point Variable Variable
A xE, xI s1, s2, s3, s4
B s2, xI s1, xI, s3, s4
– Titik B dapat diperoleh dari A dengan jalan melakukan pertukaran variable 
non-basic xE diganti dengan basic s2 sehingga pada titik B, s2 berubah menjadi
non-basic variable dan xE menjadi basic variable
– Konsep pertukaran variable ini membawa kita pada 2 kelompok istilah:
• Entering variable  non-basic variable yang “masuk” menjadi basic variable
• Leaving variable  basic variable yang “keluar” menjadi non-basic variable
– Dalam contoh kita pergerakan dari titik A ke titik B  xE adalah entering variable
dan s2 adalah leaving variable

Metode Simplex
• Langkah-langkahnya:
1. Tentukan basic feasible solution awal dengan membuat n-m variabel (non-basic
variable) sama dengan nol
2. Pilih entering variable dari non-basic variable yang jika nilainya ditambah (di atas
nol) akan meningkatkan nilai objective function saat ini. Jika tidak ada maka
berarti sudah optimum. Hentikan perhitungan. Jika belum maka, lanjutkan ke
langkah 3
3. Pilih leaving variable dari basic variable saat ini dan harus di set sama dengan
nol ketika entering variable “masuk” menjadi basic variable
4. Tentukan basic feasible solution yang baru dengan membuat entering variable
menjadi basic variable dan leaving variable menjadi non-basic variable. Kembali
ke langkah 2
E I Objective function
z x x
  
3 2 0
x x s
  
2 6
1
E I
x x s
2 8
1
2
  
2
E I
x x s
   
3
E I
x s
 
4
I
Pers. Constraint

Metode Simplex
Starting feasible solution
m-n = 6-4 = 2 variable diset = 0  xE = xI = 0  s1=6, s2=8, s3=1 dan s4=2
Solusi  z = 0
Entering
variable
Basic z xE xI s1 s2 s3 s4 Solution
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
s1 0 1 2 1 0 0 0 6
s2 0 2 1 0 1 0 0 8
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Check optimality:
Check kondisi z equation, koefisien pada xE dan xI masih bertanda negatif
Oleh karena masih ada yang bertanda negatif  belum optimal  harus memilih
entering variable
Optimum tercapai jika semua nilai non-basic variable pada pers. Z adalah non-negative
Entering variable dipilih dari koefisien yang memiliki nilai negatif terbesar  xE

Metode Simplex
• Selanjutnya memilih leaving variable (dari basic variable saat ini; s1,s2,s3 dan s4) yang
akan berfungsi sebagai leaving variable yang akan digantikan oleh entering variable
• Leaving variable dipilih salah satu dari basic variable saat ini yang akan mencapai nilai nol
tercepat ketika entering variable mencapai harga maksimum
• Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung ratio antara ruas kanan persamaan constraint
dengan nilai positif dari koefisien yang ada pada kolom entering
• Yang terpilih sebagai leaving variable adalah yang memiliki ratio terkecil
Entering
column
Basic z xE xI s1 s2 s3 s4 Solution ratio
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
s1 0 1 2 1 0 0 0 6 6
s2 0 2 1 0 1 0 0 8 4
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 -
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 -
Leaving
Variable
Pivot
Equation
Pivot
Element
Diabaikan
krn ≤ 0

Metode Simplex
• Setelah menentukan entering dan leaving variable, maka langkah
selajutnya dilakukan operasi baris (row operation) dengan
menggunakan metode Gauss-Jordan
– Tipe 1  pivot equation  new pivot equation = old pivot equation / pivot
elemen
– Tipe 2  semua pers. termasuk z :
• New equation = old equation – (its entering column coefficient) x new pivot equation
• Operasi tipe 1  membuat pivot elemen = 1 pada new pivot
equation
• Operasi tipe 2  membuat koefisien (selain elemen pivot) menjadi
nol pada entering column.

Metode Simplex
• Feasible solution iterasi ke-2
Entering
variable
z 1 0 - 1/2 0 1 1/2 0 0 12
s1 0 0 1 1/2 1 - 1/2 0 0 2
xE 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
s3 0 0 1 1/2 0 1/2 1 0 5
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Check optimality !!!
Basic z xE xI s1 s2 s3 s4 Solution ratio
z 1 0 - 1/2 0 1 1/2 0 0 12
s1 0 0 1 1/2 1 - 1/2 0 0 2 1 1/3
xE 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 8
s3 0 0 1 1/2 0 1/2 1 0 5 3 1/3
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2

Metode Simplex
• Feasible solution iterasi ke-3
z 1 0 0 1/3 1 1/3 0 0 12 2/3
xI 0 0 1 2/3 - 1/3 0 0 1 1/3
xE 0 1 0 - 1/3 2/3 0 0 3 1/3
s3 0 0 0 -1 1 1 0 3
s4 0 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
– Check optimality  sdh tidak ada variable yang berharga negatif pada z equation
 kondisi optimum tercapai
• Solusi:
– xI = 1 1/3
– xE = 3 1/3
– Z = 12 2/3

Metode Simplex
• INGAT!!!
– Memilih entering variable:
• Persoalan maksimum  dipilih yang paling negatif pada z equation
• Persoalan minimumkan  dipilih yang paling positif pada z equation
– Memilih leaving variable:
• Baik pada persoalan maksimumkan maupun minimumkan, leaving
variable dipilih dari ratio yang terkecil
– Kondisi optimum:
• Persoalan maksimumkan  jika semua non-basic coefficient berharga
non-negative
• Persoalan minimumkan  jika semua non-basic coefficient berhaga non-positive

Metode Simplex – Artificial Starting Solution
• Dalam contoh sebelumnya, kita menggunakan slack variable sebagai
starting solution
• Namun jika constraint yg kita miliki berbentuk ≥ atau = maka kita
tidak memiliki starting solution
• Perhatikan contoh berikut
z x x
minimize 4
 
subject to:
x
3x  
3
1 2
x x
4  3 
6
1 2
x x
 
2 4
1 2
x x
, 0
1 2
1 2

z x x
minimize 4
 
subject to:
x
3x  
3
1 2
x x x
4  3  
6
1 2 3
x x x
  
2 4
1 2 4
x x x x
, , , 0
1 2 3 4
1 2

Bentuk standard
Kita memiliki 3 pers. Dg 4
variable  hanya 1 variable
yang dapat menjadi non-basic
variable
Dengan hanya 1 variable sebagai non-basic variable kita tidak dapat yakin bahwa dengan
membuat vairable tersebut = 0 akan menghasilkan basic variable yang non-negative. Kita bisa
menggunakan jalan trial and error, namun cara ini kurang efektif. Oleh karena itu perlu ada metode
khusus yang dapat menangani kasus seperti ini dengan menggunakan artificial variable.

Metode Simplex – Artificial Starting Solution
• Dilakukan dengan menambahkan non-negative variable pada ruah kiri persamaan
yang tidak memiliki starting basic variable.
• Variable yang ditambahkan tersebut akan berfungsi sebagai slack variable dalam
starting basic variable.
• Namun karena variable ini tidak memiliki arti fisik dalam soal, maka persedur
hanya valid jika variabel ini dipaksa untuk menjadi nol ketika titik optimum
tercapai
• Dengan kata lain, kita hanya menggunakan variable tersebut pada starting
solution dan harus dipaksa menjadi nol pada solusi akhir, jika tidak maka
hasilanya akan infeasible
• Hal ini dilakukan dengan memberikan “penalti” pada variable tersebut pada
objective function. Dua metode yang sering digunakan:
– Metode Penalti (M-Technique)
– Two-phase Technique

Metode Simplex – Metode Penalti
• Perhatikan contoh sebelumnya
z x x Pers. 1 dan 2 tidak memiliki
minimize 4
 
subject to:
x
3x  
3
1 2
x x x
4  3  
6
1 2 3
x x x
  
2 4
1 2 4
x x x x
, , , 0
1 2 3 4
1 2

variable yg dpt berfungsi
sebagai slack  perlu
adanya artificial variable,
misalnya dinotasikan R1 dan
R2
x x R
3   
3
1 2 1
x x x R
4  3   
6
1 2 3 2
Kita dapat mem”penalti” R1 dan R2 dalam
objective function dengan jalan memberikan
very large positive coefficient
z x x MR MR Kita memiliki 3 pers dg 6 variabel  ada 3 variable yang = 0
minimize 4
   
subject to:
x R
3x   
3
1 2 1
x x x R
4  3   
6
1 2 3 2
x x x
  
2 4
1 2 4
x x x R R x
, , , , , 0
1 2 3 1 2 4
1 2 1 2

Misalnya x1,x2 dan x3 kita nol kan, maka kita akan dapatkan
R1=3, R2=6 dan x4=4  starting feasible solution
Untuk dapat menyelesaikan persoalan ini dg table simplex,
maka hal ini dapat dilakukan dengan menghilangkan
komponen R dalam objective function
R x x
 3  3
 Dengan mensubstitusikan
1 1 2
R  6  4 x  3
x 
x
2 1 2 3
pers ini dalam objective function
z 4 7Mx 1 4Mx Mx 9M 1 2 3      
z 4 7Mx 1 4Mx Mx 9M 1 2 3      

Metode Simplex – Metode Penalti
Basic z x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solution ratio
z 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M
R1 0 3 1 0 0 0 0 3 1
R2 0 4 3 -1 0 1 1 6 1.5
x4 0 1 2 0 0 0 1 4 4
z 1 0 (-1+5M)/3 -M (4-7M)/3 0 0 4+2M
x1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1 3
R2 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 1.2
x4 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 1.8
z 1 0 0 1/5 8/5-M -1/5-M 0 18/5
x1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 3
x2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 -2
x4 0 0 0 1 1 -1 1 1 1
Basic z x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solution
z 1 0 0 0 7/5-M -M -1/5 17/5
x1 0 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5
x2 0 0 1 0 -1/5 0 -3/5 9/5
x3 0 0 0 1 1 -1 1 1
optimum

Metode Simplex – Kasus2 Spesial
• Degeneracy
– Ingat, cara menentukan leaving variable  memilih ratio terkecil
– Bagaimana jika nilai ratio yang terkecil lebih dari satu?  satu atau lebih
variable akan bernilai nol pada iterasi berikutnya
– Kondisi demikian disebut dengan degeneracy
– Contoh:
z x x Dg menggunakan x3 dan x4 sbg
maximize  3 
9
subject to:
x x
 
4 8
1 2
x x
 
2 4
1 2
x x
, 0
1 2
1 2

slack variable maka:
Pada iterasi 0  terdapat 2
leaving variable (x3 dan x4) 
x4 akan bernilai 0 pada iterasi 1
 degeneracy  optimum
tercapai pada iterasi 1 meskipun
msh terdapat koefisien z
berharga negative
Iteration Basic x1 x2 x3 x4 Solution ratio
0 z -3 -9 0 0 0
x2 enter x3 1 4 1 0 8 2
x3 leave x4 1 2 0 1 4 2
1 z -0.75 0 2.25 0 18
x1 enter x2 0.25 1 0.25 0 2 8
x4 leave x4 0.5 0 -0.5 1 0 0
2 z 0 0 1.5 1.5 18
optimum x2 0 1 0.5 -0.5 2
x1 1 0 -1 2 0

• Degeneracy
– Apakah implikasi dari problem degeneracy ini dalam prakteknya?
– Perhatikan garfik di bawah  tiga garis melalui titik optimum  salah satu
constraint bersifat redundant.
– Sayangnya kita tidak dapat mengetahui constraint yang redundant dari table
simplex
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
const. 1
Const. 2
obj.function
x1
x2
0 2 4 6 8 10 12 14

• Degeneracy
– Secara teoritis, degeneracy memiliki 2 implikasi:
• Terjadinya fenomena cycling atau circling  jika anda lihat iterasi 1 dan 2 pada
tabel simplex sebelumnya, maka nilai objective function tidak berubah (z=18) 
prosedur simplex akan melakukan iterasi yang sama dan tidak akan meningkatkan
nilai optimum dari objective function  perhitungan tidak akan berhenti
(khususnya jika dilakukan dengan menggunakan program/software)
• Oleh karena itu biasanya dalam program komputer ada teknik untuk tidak
memasukkan kondisi cycling ini yaitu pencarian nilai optimum akan dihentikan jika
ditemui kondisi degeneracy meskipun pada pers z masih terdapat nilai koefisien
yang masih negatif (untuk maksimumkan) atau positif (untuk minimumkan)

• Alternative Optima
– Terjadi jika persamaan objective function paralel dengan binding constraint
– Pada kondisi demikian  kondisi optimum terjadi pada lebih dari satu titik
– Contoh:
z x x
maximize  2 
4
subject to:
x x
 
2 5
4
1 2
x x
 
1 2
x x
, 0
1 2
1 2

5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
const. 1
const. 2
obj. function
Optimal basic
soulution
0 2 4 6 8 10

• Alternative Optima
– Secara matematis
Iteration Basic x1 x2 x3 x4 Solution ratio
0 z -2 -4 0 0 0
x2 enter x3 1 2 1 0 5 2.5
x3 leave x4 1 1 0 1 4 4
1 z 0 0 2 0 10
x1 enter x2 0.5 1 0.5 0 2.5 5
x4 leave x4 0.5 0 -0.5 1 1.5 3
2 z 0 0 2 0 10
alternative x2 0 1 1 -1 1
optima x1 1 0 -1 2 3
– Pada iterasi 1 terlihat bhw titik optimum (x1=0, x2=2.5, z=10) titik B (pada
gambar)
– Bagaimana kita mengetahui adanya alternative optima pada tabel?
– Lihat koefisien non-basic variable pada pers. Z pada iterasi 1  koefisien dari
non-basic x1 =0 yang mengindikasikan bahwa x1 dpt masuk menjadi basic
variable tanpa merubah nilai optimum
– Iterasi ke 2 hanya berfungsi untuk merubah x1 menjadi basic variable dan
menggantikan x4 tanpa merubah nilai optimum dan ini merupakan titik C
pada gambar (x1=3, x2=1, z=10)

• Unbounded Solution
– Kadang-kadang persoalan LP memiliki variable yang memiliki
nilai meningkat tak terhingga solution space menjadi tak
terhingga
– Hal ini menyebabkan objective function akan meningkat terus
(kasus maksimukan) atau menurun terus (kasus minimumkan)
tak terhingga
– Oleh karena itu, pada kasus demikian dikatakan bahwa nilai
optimum adalah tak terhingga (unbounded solution)
– Jika kita berhadapan pada kondisi yang unbounded solution,
maka kita harus waspada apakah hal ini disebabkan karena
model kita yang salah atau memang persoalan ini adalah
unbounded solution

z x x
maximize 2
 
subject to:
x
x  
10
1 2
1 2
x
2 40
1

x x
, 0
1 2

– Secara Matematis
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
const. 1
const. 2
obj. fuction
0 5 10 15 20 25 30 35 40
• Pada iterasi 0, x1 dan x2 merupakan kandidat entering variable, namun
karena x1 paling negative, maka seharusnya dipilih sbg entering var.
• Seharusnya x1 menggantikan x3, namun perhatikan koefisien dibawah x2
yang semuanya bernilai negatif dan nol  x2 dapat meningkat tak
terhingga  yang meningkatkan z juga tak terhingga
• Kesimpulannya  unbounded solution
Basic x1 x2 x3 x4 Solution ratio
z -2 -1 0 0 0
x3 1 -1 1 0 10 10
x4 2 0 0 1 40 20

– Secara umum untuk mengetahui bahwa model kita unbounded
solution:
• Jika dalam setiap iterasi koefisien constraint dari non-basic variable adalah
non-positive maka adalah merupakan unbounded solution
• Jika koefisien objective function adalah negatif (dalam kasus
maksimumkan) atau positif (dalam kasus minimumkan) maka nilai
optimumnya juga tak terhingga

• Infeasible Solution
– Terjadi jika constraint-constraint tidak dapat dipenuhi
secara bersamaan  no feasible solution (infeasible
solution)
– Situasi ini tidak akan pernah terjadi jika seluruh
constraint berbentuk ≤ (dg asumsi sisi ruas kanan
adalah konstan dan non-negative)  karena slack
variabel akan selalu memberikan feasible solution

Analisis Sensitivitas dg Metode Simplex
• Iterasi terakhir dari metode simplex, disamping berguna untuk
mengetahui nilai optimum, juga berguna untuk analisis sensitivitas
• Ingat !!
– Sensitivitas 1
• Seberapa banyak material dapat ditingkatkan untuk meningkatkan pendapatan
dari hasil optimum?
• Seberapa banyak material dapat dikurangi tanpa mengurangi pendapatan dari
hasil optimum?
– Sensitivitas 2
• Material manakah yang merupakan prioritas utama jika kondisi budget terbatas
– Sensitivitas 3
• Seberapa besar koefisien objective function dapat diubah (dinaik/turunkan) tanpa
merubah titik optimum  harga
• Bagaimana melakukan analisis sensitivitas ini dg menggunakan
tabel simplex??

• Ingat kembali hasil optimum kita pada contoh pabrik cat
z 1 0 0 1/3 1 1/3 0 0 12 2/3
xI 0 0 1 2/3 - 1/3 0 0 1 1/3
xE 0 1 0 - 1/3 2/3 0 0 3 1/3
s3 0 0 0 -1 1 1 0 3
s4 0 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3
Decision
Optimum Solution
Decision
Variable
Optimum
Value
xE 3 1/3 Produce 3 1/3 ton of exterior paint
xI 1 1/3 Produce 1 1/3 ton of interior paint
z 12 2/3 Resulting profit of 12 2/3 thousand dollars

• Status of Resources
Resources Slack Status of Resources
Raw Material A s1 = 0 Scarce
Raw Material B s2 = 0 Scarce
Limit on excess of interior over exterior s3 = 3 Abundant
Limit on demand of interior s4 = 2/3 Abundant
• Unit of Worth of a Resources
z 1 0 0 1/3 1 1/3 0 0 12 2/3

LP dengan Spreadsheet
• Selain dengan metode grafis dan matematis (secara manual), kita
dapat menyelesaikan persoalan LP dengan bantuan software
– Spreadsheet (Ms Excel) dengan add-in solver
– Tora
– Lindo
– MatLab
– Dll
• Contoh persoalan produksi cat ekterior dan interior

LP dengan Spreadsheet
Contoh Lain
• Sebuah perusahaan memproduksi 4 tipe frame kacamata (tipe 1,2,3 dan 4). Ke-4
tipe tersebut berbeda dari sisi ukuran, bentuk dan material yang digunakan.
Masin-masing tipe memerlukan sejumlah tertentu tenga manusia (labor), logam
(metal) dan kaca (glass) seperti terlihat pada tabel berikut
Labor Metal Glass Selling Price
Frame 1 2 4 6 $28.50
Frame 2 1 2 2 $12.50
Frame 3 3 1 1 $29.25
Frame 4 2 2 2 $21.50
• Selama 1 minggu kedepan, perusahaan tersebut mampu membeli (mengadakan)
4.000 jam labor, 6.000 ons metal dan 10.000 ons glass. Unit cost masing-masing
resources adalah $8,0 per labor, $0,5 per ons metal dan $0,75 per ons glass.
• Dari sisi pasar, dapat diketahui bahwa maksimum permintaan pasar adalah 1.000
frame tipe 1, 2.000 frame tipe 2, 500 frame tipe 3 dan 1.000 frame tipe 4
• Berapakah masing-masing tipe frame kacamata yang harus diproduksi selama
minggu depan agar profit maksimum??

Contoh Soal LP
• The Red Tomato Company operates two plants for canning their tomatoes
and has three warehouse for storing the finished products. The company
wants to arrange its shipments from the plants to the warehouses so that
the requirements of the warehouse are met and show that shipping costs
are kept at a minimum. The unit shipping cost is shown at table A.
• Each week, plant I can produce up to 850 cases and plant II can produce up
to 650 cases of tomatoes. Also, each week warehouse A requires 300
cases, warehouse B requires 400 cases and warehouse C requires 500
cases. If the number of cases shipped from plant I to warehouse A is
represented by x1, from plant I to warehouse B by x2, and so on (see table
B). Solve this problem.
Table A
WH-A WH-B WH-C
Plant 1 $ 0.25 $ 0.17 $ 0.18
Plant 2 $ 0.25 $ 0.18 $ 0.14
Table B
WH-A WH-B WH-C
Plant 1 x1 x2 x3
Plant 2 x4 x5 x6

Blending Problem
• Chandler oil has 5.000 barrels of crude oil 1 and 10.000 barrels of
crude oil 2 available. Chandler sells gasoline and heating oil. These
products are produced by blending together the two crude oils.
Each barrel of crude oil 1 a “quality level” of 10 and each barrel of
crude oil 2 has a “quality level” of 5. gasoline must have an average
quality level of at least 8, whereas heating oil must have an average
quality level of at least 6. Gasoline sells for $25 per barrels and
heating oil sells for $20 per barrel. The advertising cost to sell one
barrel of gasoline is $0,20 and the advertising cost to sell one barrel
of heating oil is $0,10. Assume that demand for heating oil dan
gasoline is unlimited. Chandler wants to maximize its profit

Persoalan Jaringan (Network)
• Transportation problem
– Persoalan transportasi  mencari pola transportasi dari
beberapa sumber menuju beberapa tujuan dengan biaya yang
paling minim
– Umumnya, informasi yang harus ada pada persoalan transportasi
adalah:
• Jumlah supply pada masing-masing sumber dan jumlah demand pada
masing-masing tujuan.
• Unit biaya transportasi yang dibutuhkan untuk mengangkut komoditi dari
asal tertentu ke tujuan tertentu  seringkali unit biaya transportasi ini
harus dicari sendiri
– Bentuk yang paling sederhana  single commodity  tujuan
dapat menerima dari satu atau beberapa sumber
– Tujuan model transportasi  menentukan berapa yang harus
dikirim dari sumber mana ke tujuan mana sedemikian sehingga
total biaya pengiriman seminimal mungkin

• Transportation problem (lanjutan)
– Asumsi dasar dari persoalan transportasi  biaya transportasi
pada satu rute tertentu proporsional dengan jumlah yang
diangkut (seringkali tidak realistis, hati-hati!!!)
Sources Destinations
1
2
...
m
1
2
...
n
C11 : x11
Cmn : xmn
a1
a2
am
b1
b2
bn
Units of
supply
Units of
demand

– Misalkan xij adalah jumlah yang diangkut dari titik i ketitik j, maka
persoalan transportasi dapat dituliskan sebagai berikut:
m
n

z c x
i
j
ij ij
minimize
subject to:
 
1 1


x  a i 
m
ij i
1,2,

x b j n
n

j

1
m

i
 
ij j
1,2,

1
x i j
ij
0 for all and

n
m
– Jika kondisi  a 
1

b
j
terpenuhi, maka kondisi ini disebut dengan
i
 1 j

1
balanced transportation model  semua constraint berbentuk
sama dengan
– Pada kondisi unbalanced  perlu dummy variables

– Contoh
• Balanced transport problem  sudah kita kerjakan minggu lalu
• Unbalanced transport  coba anda kerjakan lagi untuk persoalan yang
kita bahas minggu lalu tetapi dengan kondisi supply tidak mencukupi
(supply lebih kecil daripada demand) dengan menggunakan konsep
penalty cost (demand yang tidak terpenuhi akan muncul biaya penalti)
– Contoh lain  transhipment problem
• Sebuah perusahaan memproduksi saus tomat di 3 (tiga) lokasi
pabrik yang berbeda. Produk ini dapat dikirim oleh
perusahaan tersebut langsung dari masing-masing pabrik ke
konsumen, atau dapat dikirim dahulu ke gudang (warehouse)
untuk selanjutnya baru dikirim ke konsumen. Perusahaan
memiliki 2 (dua) gudang. Terdapat 2 lokasi demand yang
harus disupply. Gambar jaringan (network) kasus ini dapat
dilihat seperti gambar berikut:

• Asumsikan bahwa biaya untuk
memproduksi saus tomat tersebut
adalah sama untuk semua pabrik,
sehingga tujuan perusahaan adalah
meminimumkan biaya pengiriman.
• Biaya pengiriman per ton saus tomat
diberikan pada tabel di bawah (ribu
dolar), tanda “ –” menunjukkan
bahwa pengiriman pada rute tersebut
tidak mungkin dilakukan, dan
diasumsikan maksimum kapasitas
pengiriman antar dua titik adalah 200
ton.
• Perusahaan ingin menentukan pola
distribusi yang memberikan biaya
pengiriman yang paling minim
T: 0
TUJUAN
S: 200
1
2
3
S: 100
S: 300
4
5
T: 0
6
7
D: 400
D: 180
1 2 3 4 5 6 7
1 - 5.00 3.00 5.00 5.00 20.00 20.00
2 9.00 - 9.00 1.00 1.00 8.00 15.00
3 0.40 8.00 - 1.00 0.50 10.00 12.00
4 - - - - 1.20 2.00 12.00
5 - - - 0.80 - 2.00 12.00
6 - - - - - - 1.00
7 - - - - - 7.00 -
ASAL

Non Linear Programming
• Dalam persoalan optimisasi yang komplek, seringkali
objective function dan/atau constraint tidak
berbentuk persamaan linear.
• Persoalan yang demikian disebut dengan NLP (Non
Linear Programming)
• Persoalan menjadi nonlinear disebabkan oleh
beberapa hal antara lain:
– Pengaruh dari satu input terhadap output tidak berbentuk
linear  contoh, penerapan discount pada pembelian
barang jika melebihi jumlah tertentu, persoalan iklan yang
memiliki pengaruh besar pada saat awal iklan muncul dsb.
– Dalam persoalan ekonomi (bisnis)  maximize revenue
(profit)  R = P.Q (P adalah decision variable)

Basic Idea of NLP
• Ketika anda menyelesaikan LP  dijamin solver akan dapat
menemukan titik optimumnya, tetapi ketika anda berhadapan
dengan NLP  kadang2 solver gagal untuk menemukan titik
optimumnya (jika bisa kadang2 titik itu adalah sub optimal).
Perhatikan fungsi berikut
4.00
3.00
2.00
1.00
-
(1.00)
(2.00)
(3.00)
(4.00)
A
C
- 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
B
D
Titik C  local maximum
Titik A  global maximum
Titik B  local minimum
Titik D  global minimum
Y=(x-1)(1-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Convex and Concave Function
• Solver dapat juga digunakan untuk menyelesaikan beberapa NLP 
perlu pemahaman fungsi convex dan concave
Line joining any two
points is above the curve
points is above the curve
Convex Function
Line joining any two Concave Function
points is below the curve
points is below the curve

Convex and Concave Function
• Gambar di atas menunjukkan bahwa solver akan dapat
mencari titik minimum jika fungsi berbentuk convex, dan
mencari titik maksimum jika fungsi berbentuk concave
• Hal ini terjadi karena pada fungsi convex, tidak ada local
mimimum, dan pada fungsi concave tidak ada local
maximum.
• Dengan kata lain
– Solver akan dapat mencari titik global maximum jika:
• Objective function adalah concave atau logaritma objective function berbentuk
concave
• Constraint berbentuk linear
– Solver akan dapat mencari titik global minimum jika:
• Objective function adalah convex
• Constraint berbentuk linear

Jika asumsi tersebut tidak terpenuhi??
• Seringkali kita tidak dapat mengetahui apakah
fungsi kita berbentuk convex atau concave.
• Lantas bagaimna solusinya??
• Langkah yang umum digunakan:
– Mencoba beberapa nilai awal yang berbeda
– Menjalankan solver pada setiap nilai awal yang berbeda
– Mengambil solusi terbaik dari hasil running solver
tersebut
• Contoh  maximize (x-1)(1-2)(x-3)(x-4)(x-5),
subject to x ≥ 1 dan x ≤ 5

Contoh Lain – Pricing Model
• Sebuah perusahaan memproduksi sesuatu dan
menjualnya secara retail. Perusahaan ingin
menentukan price yang akan memaksimumkan
profit. Unit cost dan biaya marketing adalah $50,
maka untuk mendapatkan profit, perusahaan
tersebut harus memasang harga paling tidak
sebesar $50. Untuk mendapatkan profit yang
tinggi, maka perusahaan harus menjual dengan
harga yang lebih tinggi, jumlah permintaan akan
segera menurun jika harga jual naik karena
persaingan. Apa yang harus dilakukan oleh
perusahaan tersebut??

Pricing Model
• Model penyelesaian untuk perusahaan tersebut:
– Input variable  unit cost, demand function
– Decision variable  unit price
– Objective (target cell)  profit
– Other output variables  revenue, cost
– Constraints  unit price ≥ unit cost
• Jika perusahaan tersebut memasang tarif sebesar P, maka profitnya
adalah (P-50)D dimana D adalah demand (jumlah produk terjual).
Persoalannya adalah bahwa D juga tergantung dari P  ketika P
naik maka D turun dan sebaliknya.
• Oleh karena itu, langkah pertama adalah mengestimasi bagaimana
D bervariasi terhadap perubahan P  mengestimasi fungsi
demand.
• Kita asumsikan bentuk demand memiliki 2 kemungkinan, yaitu
linear (D=a-bP) atau demand dengan constant elasticity D=aPb.

Pricing Model
• Ingat ekonomi mikro (PTE)!!
– Elastisitas mengukur persentasi perubahan demand akibat
perubahan harga sebesar 1%
– Semakin tinggi nilai elastisitas, maka demand semakin
terpengaruh atas perubahan harga (elastis)
– Pada constant elasticity (D=aPb)  nilai elastisitas konstan pada
semua variasi P
– Pada fungsi demand linear  nilai elastisitas bervariasi
• Tidak tergantung bentuk fungsi demand seperti apa, tetapi
yang jelas nilai a dan b pada fungsi tersebut harus diestimasi
sebelum menentukan P
• Estimasi ini dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan
excel trend line dengan dasar data historis. Misalnya
diketahui ketika P= $70 jumlah D= 400 dan ketika P=$80
jumah D=300

Tugas Pricing Model
• Sebuah perusahaan memproduksi sesuatu dan menjualnya
secara retail. Perusahaan ingin menentukan price yang akan
memaksimumkan profit. Unit cost dan biaya marketing adalah
$50, maka untuk mendapatkan profit, perusahaan tersebut harus
memasang harga paling tidak sebesar $50. Untuk mendapatkan
profit yang tinggi, maka perusahaan harus menjual dengan harga
yang lebih tinggi, jumlah permintaan akan segera menurun jika
harga jual naik karena persaingan.
• Misalnya lokasi perusahaan di Amerikan dan market yang dituju
adalah Inggris, dan diketahui bahwa demand di Inggris untuk
produk ini berbentuk constant elasticity dengan parameter a=
27.556.760 dan b = -2,4
• Jika diketahi bahwa kurs $ terhadap £ (poundsterling) adalah ($/
£)=1,52
• Berapakah harga jual di Inggris yang harus ditetapkan oleh
perusahaan tersebut???

Persoalan Combinatorial
• Adalah merupakan salah satu contoh untuk
persoalan yang non-linear
• Tujuan dari persoalan ini adalah untuk
menentukan kombinasi dari beberapa alternative
pilihan yang mungkin yang akan memenuhi fungsi
tujuan

Persoalan Combinatorial
Contoh:
• PT. Pertamina mendapat tugas untuk men-supply 3 jenis product oil (Premium,
Kerosene, Solar) ke satu lokasi tertentu.
• Untuk melakukan pengiriman tersebut Pertamina menggunakan tanker yang
memiliki 5 cargo hold yang akan digunakan untuk mengangkut 3 jenis produk
tersebut, dimana 1 cargo hold hanya boleh diisi oleh 1 jenis produk oil saja.
• Jika diketahui ke-5 cargo hold tersebut memiliki kapasitas sebagai berikut:
– CH 1 = 2.700 ton, CH 2 = 2.800 ton, CH 3 = 1.100 ton, CH 4 = 1.800 ton, dan CH 5 =
3.400 ton
• Dan jika diketahui bahwa demand untuk produk oil tersebut adalah sebagai
berikut:
• Jika kekurangan melibihi dari yang diijinkan, maka ada penalty cost sebesar Rp.
100 Juta per ton kekurangan.
• Bagaimanakah tanker tersebut harus diisi agar total cost (biaya kekurangan dan
penalty cost) adalah yang paling minim

Project Management
• What is a project?
– Organizations perform work. Work generally involve either
operations or projects, although the two may overlap.
Operations and projects share many characteristics, for example:
• Performed by people
• Constrained by limited resources
• Planned, executed and controlled
– Operations and projects differ primarily in that operations are
ongoing and repetitive while projects are temporary and unique.
– Projects has a beginning, an end and one or more well-defined
goals.
– The project could be the development of a software, building of
a new house, building of a new ship and many others
– Typically, a team of employees is assigned to a project and one
member of the team is designated as a project manager.
– The team is assigned to complete the project within a certain
time, certain budget, and certain specification.

Project Management
• Management science (operation management) tends to focus on the
quantitative tools that have been developed to manage projects.
• These go under the twin acronyms of PERT (Program Evaluation and
Review Technique) and CPM (Critical Path Method).
• These methods were developed independently about a half century ago.
• PERT was developed jointly by the U.S. Navy, Lockheed, and the consulting
firm of Booz, Allen, and Hamilton in their work on the Polaris nuclear
missile
• CPM was developed at DuPont and Remington-Rand to improve the
construction of new production facilities and the shut-down of existing
facilities.
• The main difference between PERT and CPM is that CPM was developed
for projects with a set of commonly performed tasks, where the task times
are fairly well known.
• In contrast, PERT was developed for projects with tasks where scien-tists
had little experience and could not estimate their times with much
certainty.

Project Management
• Over the years, the two methods have tended to merge, so
that people now often speak of PERT/CPM models. In either
case, the emphasis is on a project that starts at some point
and ends some time later.
• The project consists of a number of tasks that must be
completed for the project to be completed.
• These tasks have durations (the time it takes to complete
them, assumed known for CPM, random for PERT), they
typically cost money, and they often require nonfinancial
resources such as people and facilities. They also have
precedence relationships.
• For example, task G might not be able to start until tasks B,
D, and F are finished.
• These precedence relationships put constraints on what can
be done when.

Project Management
• Projects have three dimensions: time, resources, and
scope.
• The usual discussion of PERT/CPM focuses primarily
on the time dimension.
• How long will the project take to complete if
everything goes according to schedule, which tasks
form bottlenecks that pre-vent the project from being
completed earlier, and which tasks have some slack, in
the sense that they can be delayed to some extent
without delaying the project?
• These questions are the usual focus of PERT/CPM
models, and we too focus primarily on the time
dimension. However, we also discuss the resource
dimension.

The Basic CPM Model
• The basic CPM procedure assumes that we know (1)
the activities that comprise the project, (2) the
precedence relationships among activities, and (3) the
time required to complete each activity.
• This time, called the activity duration, is assumed to
be known with certainty.
• To proceed, we need a list of the activities that make
up the project. The project is complete when all of the
activities have been completed.
• Each activity has a set of activities called its
immediate predecessors that must be completed
before the activity begins. It also has a set of activities
called its immediate successors that cannot start until
it has finished.

The Basic CPM Model
• A project network diagram is usually used to represent
the precedence relationships among activities.
• Two types of diagrams do this, activity-on-node (AON)
networks and activity-on-arc (AOA) networks, and
proponents of each type have rather strong feelings.
• We favor AON networks because we believe they are
more intuitive.
• In the AON representation of a project, there is a node
for each activity.
• Then there is an arc from node i to node j if node i is
an immediate predecessor of node j.

The Basic CPM Model
• To illustrate this, consider a project that consists of five activities,
labeled A, B, C, D, and E. Activities A and B can start immediately.
• Activity C cannot start until activity B is finished, activity D cannot
start until activity A is finished, and activity E cannot start until
activities A and C are both finished. The project is finished when all
activities are finished.

The Basic CPM Model
• The rules for drawing an AON network are as
follows:
– Include a node for each activity and place its duration
next to the node.
– Include an arc from node i to node j only if node i is
an immediate predecessor of node j.
– Include a Start and a Finish node with zero durations.
There is an arc from the Start node to each node that
has no predecessors. These activities can all start
immediately. There is an arc into the Finish node from
each node that has no successors. When all of these
activities have been finished, the project is finished.

The Basic CPM Model
• Two problems are typically analyzed in project
scheduling. In the first, the goals are to find the time
to complete the project and locate the bottleneck
activities.
• In the second, the goal is to find cost-efficient ways to
complete the project within a given deadline.
• In each of these problems, a key concept is a
bottleneck activity, called a critical activity.
• More precisely, a critical activity is an activity that, if
its duration increases, the time to complete the
project necessarily increases.
• The set of critical activities is called the critical path.

The Basic CPM Model
• The critical path through a project network is the longest path
from the Start node to the Finish node, using the durations as
“distances.”
• If the project network is not too complex, this longest path can
be determined easily.
• For example, there are three paths from Start to Finish in
previous figure : Start  A  D  Finish; Start  A  E 
Finish; and Start B  C  E  Finish.
• The lengths of these paths are 8 + 12 = 20, 8 + 6 = 14, and 10 + 3
+ 6 = 19, respectively. Therefore, the critical path is the longest
path, Start  A  D  Finish, the critical activities are A and D,
the time to complete the project is 20, and all activities other
than A and D have some slack.
• Although this “longest path through a network” approach is
appealing and can be implemented fairly easily with Solver, it
doesn’t generalize easily to the case where the activity durations
are random. Therefore, we do not pursue this approach

The Basic CPM Model
• We first require some basic insights. Let ESj be the
earliest time activity j can start, and let EFj be the
earliest time activity j can finish.
• Clearly, the earliest an activity can finish is the
earliest time it can start plus its duration.
• For example, if the earliest activity D can start is
time 8, and its duration is 12, then the earliest D
can finish is time 20.
• In general, if dj is the duration of activity j, we
have EFj = ESj + dj …. (1)

The Basic CPM Model
• Now, if activity i is an immediate predecessor of
activity j, activity j cannot start until activity i
finishes.
• In fact, activity j cannot start until all of its
immediate predecessors have finished, so the
earliest time activity j can start is the maximum of
the earliest finish times of its immediate
predecessors: ESj = max(EFi) … (2)
• Here, the maximum is over all immediate
predecessors i of activity j.

The Basic CPM Model
• The earliest start time for the Start node is 0—it
can start right away.
• The earliest start time of the Finish node: Project
completion time = ESFinish node …(3)
• This calculation of the earliest start and finish
times through Equations (1) to (3) is usually called
the forward pass of the CPM algorithm. The
reason for this term is that the calculations are
performed in “forward” chronological order of the
activities.

The Basic CPM Model
• To find the critical activities and the critical path,
two other equations are required.
• Let LSj and LFj be the latest time activity j can
start and the latest time it can finish without
increasing the project completion time.
• Again, analogous to Equation (1), we have
• LSj = LFj – dj …(4)
• The equation is written in this form because you
find LFj first and then use it to find LSj

The Basic CPM Model
• Now suppose activity j is an immediate successor of activity
i . Then activity i must be finished before activity j can start.
In fact, a bit of thought should convince you that the latest
time activity i can finish is the minimum of the latest start
times of all its successors:
• LFi = min(LSj) …(5)
• For example, suppose activity F has two successors, G and H,
and you somehow find that the latest start times for G and H
are 26 and 30. In this case, the bottleneck, at least for this
part of the network, is activity G. The latest it can start
without delaying the project is 26; activity H can start later.
Therefore, activity G’s predecessor, activity F, has to be
finished no later than time 26.

The Basic CPM Model
• You can use Equations (4) and (5) to calculate the latest start times and
latest finish times for all activities, beginning with the fact that the latest
finish time for the Finish node is the project completion time.
• This set of calculations is called the backward pass of the CPM algorithm
because you work through the activities in “backward” chronological
order.
• Then you can calculate the slack of each activity j as the difference
between the latest start time and the earliest start time of activity j:
• Slack of activity j = LSj – Esj …(6)
• The idea behind slack is simple. If an activity has any positive slack, this
activity has some room to maneuver—it could start a bit later without
delaying the project. In fact, its duration could increase by the amount of
its slack without delaying the project. However, if an activity has zero
slack, any increase in its duration necessarily delays the project. Therefore,
the critical path consists of activities with zero slack.

Example - Creating an Office LAN
• An insurance company has decided to construct a
LAN. The project consists of 15 activities, labeled A
through O, as listed in Table below. This table
indicates the immediate predecessors and
immediate successors of each activity, along with
each activity’s expected duration. (At this point
these durations are assumed known.) Note that
activity A is the only activity that can start right
away, and activity O is the last activity to be
completed. The company wants to know how long
the project will take to complete, and it also wants
to know which activities are on the critical path.

Example - Creating an Office LAN

Optimisasi 2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Optimisasi 2

Similar to Optimisasi 2 (15)

Optimisasi 2