2015年度秋学期　応用数学（解析）　第１０回　生存時間分布と半減期 (2015. 11. 26)

A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期応用数学（解析）
浅野晃
関西大学総合情報学部
第３部・微分方程式に関する話題
生存時間分布と半減期
第１０回

A.Asano,KansaiUniv.
今日は
「寿命」を扱う微分方程式

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命は「確率変数」
人間の寿命は，各個人によってばらばら
機械の寿命も，同じ型でも個体によって
ばらばら

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ばらばら
その理由は「偶然」

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ばらばら
寿命は［確率変数］であるという

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ばらばら
寿命は［確率変数］であるという
寿命がいくらである確率がどのくらい
であるかを表すのが［確率分布］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
寿命の確率分布を考える
寿命を表す確率変数 T
（時刻0に誕生した人が死亡する時刻）
これを寿命の確率分布といいます。
誕生した人が死亡する時刻は，確率変数であり，これ
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「T > t である
」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が
します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後
の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，
つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存し

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
時刻 t までは確かに生存している人が
時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する
確率

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
確率
単位時間
あたり

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
確率
単位時間
あたり
次の瞬間

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t).
確率
単位時間
あたり
次の瞬間
l(t) は
時刻tまで生存している人が
次の瞬間に死ぬ危険の度合
［ハザード関数］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
累積分布関数と「生存関数」
確率変数 T に対して
を［累積分布関数］
の確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます
F(t) = P(T ≤ t)
命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼び
危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関
で時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法
(t) は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／
すこともできます。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
この場合
寿命が t 以下である確率

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
この場合
て，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
る確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード
のに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あ
き，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現し
個体の集団について考えると，大数の法則によって，累
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている
［生存関数］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
時刻 t の時点で
まだ生きている確率
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
この場合
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
［生存関数］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
この場合
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
［生存関数］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
この場合
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
［生存関数］
生存関数は，ある時間がたったとき，まだ生きている
確率

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
生存関数とハザード関数
に出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
れるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
寿命 T ハザード関数 l(t)
累積分布関数 F(t)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
（条件付確率の定義）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
含まれる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
含まれる
次のような関数 l(t) を定義します。
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
この関数のうち，条件付き確率 P(t < T < t + ∆|T > t) は，「
t < T < t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存
に死亡する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったも
密度であり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存して
ということになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは
死亡する危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
さて，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考え
F(t) = P(T ≤ t)
F(t) は「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
含まれる
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
f(t)
(4)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t) (4)
含まれる
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t
（累積分布関数の定義）
出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
1 ′

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確率は 1 ですか
て (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
（微分の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
とする［確率密度関数］関数を f(t) = F′(t) として，これまでに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
（条件付き確率の定義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
（T > t は t < T < t + ∆に含まれるので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
でに出てきた式を用いると
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
t + ∆ である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時
する確率」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の
あり，その ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の
ことになります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存して
る危険の度合」で，これをハザード関数といいます。
，この確率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
「寿命が t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
刻 t の時点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハ
亡の危険を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t)
刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を
立に死亡する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって
である確率」，すなわち「時刻 t までは確かに生存している人が，時刻 t 以後 ∆
」を意味します 1。ですから，それを ∆ で割ったものは，t 以後の時間あたりの
の ∆ → 0 の極限は「時刻 t までは確かに生存していた人の，次の瞬間の死亡確
ります。つまり，この関数 l(t) は「時刻 t までは確かに生存している人が，次
度合」で，これをハザード関数といいます。
率変数 T に対して，次の累積分布関数 F(t) を考えます。
F(t) = P(T ≤ t)
t 以下である確率」です。さらに
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
点でまだ生きている確率」であり，これを生存関数と呼びます。ハザード関数が
を表現しているのに対して，累積分布関数 F(t) や生存関数 S(t) は「あるひと
時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている確率」を表現していま
する十分多くの個体の集団について考えると，大数の法則によって，累積分布関
は「時刻 t まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる／まだ生きている個体の

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
（生存関数の定義）
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
（微分の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
るので）= lim
∆→0 ∆
·
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
(3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
S(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T <
∆→0
1
∆
·
P{(t < T
∆→0
1
∆
·
P(t < T <
P(T >
1 F
l(t) = lim
∆→0 ∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
義より）= lim
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
るので）= lim
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
の定義より）=
1
P(T > t)
F′
(t)
3) 式より）=
f(t)
S(t)
(4)
(1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t) (5)
l(t) = −
S′(t)
(6)
l(t) = lim
∆→0
1
∆
P(t < T < t + ∆|T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t + ∆) and (T > t)}
P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t + ∆)
P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
F(t) = P(T ≤ t)
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
∆→0
1
∆
·
P{(t < T < t +
P(
∆→0
1
∆
·
P(t < T < t +
P(T > t)
（(2) 式と累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t +
1
P(T > t)
F′
(t)
（確率密度関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
得られます。ここで，(3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
すから，これを (4) 式に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
いう微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存
以上から
∆→0 ∆ P(T > t)
累積分布関数の定義より）=
1
P(T > t)
lim
∆→0
F(t + ∆) − F(t)
∆
1
P(T > t)
F′
(t)
関数の定義と (3) 式より）=
f(t)
S(t)
3) 式より
S′
(t) = (1 − F(t))′
= −F′
(t) = −f(t)
に代入すると
l(t) = −
S′(t)
S(t)
れます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している確
という微分方程式が
得られる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式を解く方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
l(u)du = log S(t) + C （C は積分定数）
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C
ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
こでハザード関数 l(t) を
l(t) = λp(λt)p−1
p は正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
（両辺を積分）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
う微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生
S(0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解くと，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
うに，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
て，ここでハザード関数 l(t) を
いて（λ, p は正の実数），(7) 式に代入すると，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
時刻0，つまり誕生の瞬間
に生存している確率は１
つまり S(0) = 1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
10

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
10
C = 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
よって
という解が得られる
l(t) = −
S(t)
微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬
0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解く
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0
に，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
，ここでハザード関数 l(t) を
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
10
C = 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
S(t) = exp −
t
λp(λu)p−1
du
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1
よって
という解が得られる
l(t) = −
S(t)
微分方程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬
0) = 1 です。これを初期条件として (6) 式の微分方程式を解く
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
−
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0
に，ハザード関数と生存関数との関係が得られます。
，ここでハザード関数 l(t) を
つまり S(0) = 1
t = 0 のとき S(0) = 1 だから
0
0
0
10
C = 0
ハザード関数と
生存関数の関係

A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布と
指数分布

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
ハザード関数を
ド関数と生存関数との関係が得られます。
ザード関数 l(t) を
正の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
u=0 = exp (−(λt)p
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
関数 F(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確
累積分布関数には λ と p の２つのパラメータがあります。
と仮定する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
と仮定する
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 な
ザード関数と生存関数との関係が得られます。
でハザード関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
に代入

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
と仮定する
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 な
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
に代入
= exp −
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
数と生存関数との関係が得られます。
ド関数 l(t) を
数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確率分布をワイ
布関数には λ と p の２つのパラメータがあります。 λ が大きいとハ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
と仮定する
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 な
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
に代入
= exp −
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
ド関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
微積分の関係

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
と仮定する
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 な
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
に代入
= exp −
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
ド関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
微積分の関係
0
と生存関数との関係が得られます。
関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確率分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布
この形の累積分布関数をもつ確率分布を
［ワイブル分布］とよぶ
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
と仮定する
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 な
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
に代入
= exp −
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
ド関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
微積分の関係
0
と生存関数との関係が得られます。
関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確率分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブル分布のパラメータ
パラメータは λ と p
との関係が得られます。
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
ます。このような累積分布関数をもつ確率分布をワイブル
と p の２つのパラメータがあります。 λ が大きいとハザ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
λ が大きいと，
ハザード関数が全体に大きくなる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
死亡・故障する危険が
どの時刻でも大きくなる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
p > 1 のときは，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
ード関数と生存関数との関係が得られます。
ハザード関数 l(t) を
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
布関数 F(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確率分布をワイ
の指数が正

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
時間が経つにつれて死亡・故障する危険が大きくなる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
［摩耗故障］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
［摩耗故障］
0 < p < 1 のときは，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
［摩耗故障］
0 < p < 1 のときは，
程式が得られます。ここで，時刻 0，すなわち誕生の瞬間に生存している
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C =
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
の指数が負

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
［摩耗故障］
0 < p < 1 のときは，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C =
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
の指数が負
時間が経つにつれて死亡・故障する危険が小さくなる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
= −
d
dt
(log S(t))
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C = 0
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
の指数が正
［摩耗故障］
0 < p < 1 のときは，
l(t) = −
S′(t)
S(t)
= −
d
dt
(log S(t))
t
0
S(t) = exp −
t
0
l(u)du （t = 0 のとき S(0) = 1 なので，C =
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
の指数が負
時間が経つにつれて死亡・故障する危険が小さくなる
［初期故障］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
t
F(t)
F(t) = 1 – e–t4
F(t) = 1 – e–t2
経過時間
累積分布関数
（ある時刻までに死亡・
故障したものの割合）
p = 2 の場合と p = 4 の場合
どちらも摩耗故障（時間につれて故障しやすくなる）
p = 4 のほうが，急激に故障が増える

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ワイブルプロット
実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い，
ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
関数と生存関数との関係が得られます。
ード関数 l(t) を
(8)
の実数），(7) 式に代入すると，
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
数 F(t) が得られます。このような累積分布関数をもつ確率分布をワイブル分布とよ
積分布関数には λ と p の２つのパラメータがあります。 λ が大きいとハザード関数
くなるわけですから，全ての時刻を通じて死亡する危険が大きくなり，全体として
ります。一方，p については，
）（2014 年度秋学期）第１０回 (2014. 12. 4) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
。このような累積分布関数をもつ確率分布をワイブル分布とよ
p の２つのパラメータがあります。 λ が大きいとハザード関数
，全ての時刻を通じて死亡する危険が大きくなり，全体として
ついては，
１０回 (2014. 12. 4) http://racco.mikeneko.jp/ 2/4 ページ
より
数」をプロットし，それらの点の並びを近似する直線の傾きを求めると
ものです。
うなことがなぜできるのかは，次の計算をしてみるとわかります。(9)
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
すから，この式の両辺の対数を２回とると
log log
1
S(t)
= log {log (exp ((λt)p
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
す。そこで，Y = log(log(1/S(t))), X = log t とおくと (11) 式は Y = p
り，その傾きがパラメータ p となります。ワイブルプロットを簡単に描
t を上の Y, X のように変換した目盛りを刻んだ，「ワイブル確率紙」も

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
数」をプロットし，それらの点の並びを近似する直線の傾きを求めると，
ものです。
うなことがなぜできるのかは，次の計算をしてみるとわかります。(9) 式か
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
す。そこで，Y = log(log(1/S(t))), X = log t とおくと (11) 式は Y = p(X
り，その傾きがパラメータ p となります。ワイブルプロットを簡単に描け
t を上の Y, X のように変換した目盛りを刻んだ，「ワイブル確率紙」も広く
両辺の対数を２回とる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
のです。
なことがなぜできるのかは，次の計算をしてみるとわかります。(9) 式
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
から，この式の両辺の対数を２回とると
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
。そこで，Y = log(log(1/S(t))), X = log t とおくと (11) 式は Y = p(
，その傾きがパラメータ p となります。ワイブルプロットを簡単に描
を上の Y, X のように変換した目盛りを刻んだ，「ワイブル確率紙」も広

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
のです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
のです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
のです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X
みるとわかります。(9) 式から
t)p
) (10)
g (exp ((λt)p
))}
λt)p
}
+ log λ)
(11)
おくと (11) 式は Y = p(X + log λ) という直線
ブルプロットを簡単に描けるように，縦横の軸
，「ワイブル確率紙」も広く用いられています。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
(8)
S(t) = exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
= exp − [(λu)p
]u=t
)
F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
(8)
入すると，
p −
t
0
λp(λu)p−1
du
p − [(λu)p
]u=t
)
− S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
(9)
ついては，
より
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
ものです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
のです。
1
S(t)
= exp ((λt)p
)
log log
1
S(t)
))}
= log {(λt)p
}
= p(log t + log λ)
Y
X
みるとわかります。(9) 式から
t)p
) (10)
g (exp ((λt)p
))}
λt)p
}
+ log λ)
(11)
おくと (11) 式は Y = p(X + log λ) という直線
ブルプロットを簡単に描けるように，縦横の軸
，「ワイブル確率紙」も広く用いられています。
時刻を上の X ，その時刻での生存割合を上の Y に変換
してプロット→並びを近似する直線の傾きが p

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
ハザード関数は式からハザード関数は l(t) = λ と時刻に依存しない定数
ても，死亡する危険は一定」「機械の故障率は，時間に関
す。このとき (9) 式から
) = 1 − e−λt
(12)
率分布を指数分布とよびます。指数分布は，「どの時刻に
その後一定時間内に死亡するものの割合は，常に同じ」
名です。原子核は，どの時刻においても，その時点で存

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
時刻によらず一定
) = 1 − e−λt
(12)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
［偶発故障］
) = 1 − e−λt
(12)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
［偶発故障］
) = 1 − e−λt
(12)
累積分布関数は
= 1 の場合を考えると，(8) 式からハザード関数は l(t) = λ と時刻
誕生からいくら時間がたっても，死亡する危険は一定」「機械の故
故障）」ということになります。このとき (9) 式から
F(t) = 1 − e−λt
ような累積分布関数をもつ確率分布を指数分布とよびます。指数分
点で生存している個体のうちその後一定時間内に死亡するものの
の分布を表します。
，原子核の崩壊のモデルが有名です。原子核は，どの時刻において
ち一定の割合が崩壊すると考えられているので，ある時刻に残って
F(t) = 1 − e−λt
うな累積分布関数をもつ確率分布を指数分布とよびます。指数分布
で生存している個体のうちその後一定時間内に死亡するものの割
分布を表します。
原子核の崩壊のモデルが有名です。原子核は，どの時刻において
一定の割合が崩壊すると考えられているので，ある時刻に残ってい
) は指数分布で表現でき，(12) 式から
S(t) = e−λt
存在した原子核の数が半分になる時刻 t′ を考えてみましょう。こ
′ 1
生存関数は

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
［偶発故障］
) = 1 − e−λt
(12)
［指数分布］累積分布関数は
F(t) = 1 − e−λt
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
′ 1
生存関数は

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
［偶発故障］
) = 1 − e−λt
(12)
F(t) = 1 − e−λt
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
′ 1
生存関数は
放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で
存在する核のうち一定の割合が崩壊する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
指数分布
で p = 1 の場合
代入すると，
exp −
t
0
λp(λu)p−1
du
exp − [(λu)p
]u=t
)
1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p
)
［偶発故障］
) = 1 − e−λt
(12)
F(t) = 1 − e−λt
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
′ 1
生存関数は
放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で
存在する核のうち一定の割合が崩壊する
ハザード関数が一定で，指数分布にしたがう

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの
時間は，どの時刻でも一定

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
時刻 t に存在する原子核の数が半分になる時刻を t´ とする

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
存在した原子核の数が半分になる時刻 t′ を考えてみましょう。このと
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
指数分布の生存関数
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
となります。このような累積分布関数をもつ確率分布を指数分布とよびま
おいても，その時点で生存している個体のうちその後一定時間内に死亡す
という場合の寿命の分布を表します。
この例としては，原子核の崩壊のモデルが有名です。原子核は，どの時
在する原子核のうち一定の割合が崩壊すると考えられているので，ある時刻
すなわち生存関数 S(t) は指数分布で表現でき，(12) 式から
S(t) = e−λt
となります。
ここで，時刻 t に存在した原子核の数が半分になる時刻 t′ を考えてみま
S(t′
) =
1
2
S(t)
がなりたちますから，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
となり，両辺の対数をとると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
在した原子核の数が半分になる時刻 t′ を考えてみましょう。この
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
対数をとる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
存在した原子核の数が半分になる時刻 t′ を考えてみましょう。
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
とは，t′ − t すなわち「時刻 t に存在する原子核の数が半分にな
対数をとる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
原子核の数が半分に
なるまでの時間
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
対数をとる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
対数をとる
t によらず一定

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
半減期
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
F(t) = 1 − e−λt
S(t) = e−λt
となります。
S(t′
) =
1
2
S(t)
e−λt′
=
1
2
e−λt
S(t) = e−λt
S(t′
) =
1
2
S(t)
(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
とると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
S(t′
) =
1
2
S(t)
，(13) 式から
e−λt′
=
1
2
e−λt
をとると
−λt′
= − log 2 − λt
t′
− t =
log 2
λ
対数をとる
t によらず一定
［半減期］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
今日のまとめ
集団中の個体の数が
死亡・故障によって
減少して行く
この現象を
表す微分方程式
解に仮定を持ち込むことで，
ワイブル分布，指数分布といった
「死亡・故障による現象のモデル」
が導かれる

2015年度秋学期 応用数学（解析） 第１０回 生存時間分布と半減期 (2015. 11. 26)

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