Statistika - Ushtrime

STATISTIKA
Dr. Rahmije Mustafa
Ushtrime
Fakulteti
Ekonomik
Universiteti i Prishtinës
Fakulteti Ekonomik

| Dr. Rahmije Mustafa
2STATISTIKA
1. Çka është statistika?
Statistika definohet si shkencë e cila përmes madhësive (vlerave) numerike bën hulumtimin e
karakteristikave të dukurive masive. Statistika është shkencë e cila përcjellë zhvillimin e dukurive
në natyrë, ekonomi dhe shoqëri.
2. Cka është objekt i hulumtimit të statistikës?
Objekt i hulumtimit të statistikës është studimi i anës sasiore dhe cilësore të dukurive massive si
dhe karakteristikave të variacionit të tyre në një kohë dhe vend të caktuar.
3. Cilat janë metodat e statistikës?
1) Induksioni (nga individualja tek e përgjithshmja)
2) Deduksioni ( nga e përgjithshmja tek individualja)
3) Analiza (shpërndahen dukuritë)
4) Sinteza (bashkon dukuritë)
5) Metodae analogjisë (lidhshmërisë)
6) Metoda representative
7) Metoda grafike
4. Cilët janë parimet e shoqeatës statistikore?
1) Aftësimi i ekspertëve të statistikës
2) Këmbimi i zbulimeve shkencore dhe përvojës
3) Miratimi i metodologjisë unike
4) Objekti dhe përmbajtja e veprimtarisë statistikore
5) Harmonizimi i afateve në hulumtimin statistikorë
6) Çështja e publikimeve statistikore si dhe format e këmbimit ndërkombëtarë.
5. Cka kuptoni me dukurinë masive?
Dukuria masive ( popullimi) paraqet çdo bashkësi të ndryshme njerëzish, objektesh, sendesh,
rastesh etj.Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore.
6. Cka kuptoni me njesinë statistikore?
Njesia statistikore (individi) paraqet njesitë përbërëse të popoullimit. Psh. Njesia statistikore
(individi):
1) Suksesi i studentëve në fakultet,
2) Punëtorët e një lëmie të ekonomisë kombëtare,
3) Harxhimet mujore të telefonit në ndërmarje,
4) Harxhimet ditore të energjisë etj.
7.Në sa njesi matëse të vecanta e hulumton statistika njesinë statistikore?
Statistika hulumton njesinë statistikore në këto njesi matëse të veçanta:
1) Njesia e vëllimit të dukurisë (regjistrimit, numrimit, raportimit të një dukurie)
2) Njesia e raportimit (evidentimit)
3) Njesia për matjen e variacionit (variance, devijimi standard dhe disperzioni)
8.Cka është tipari dhe sa lloje të tipareve dallojmë?
Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njesitë quhet TIPAR. Kemi dy lloje të
tiparëve:
1) Tipare sasiore
2) Tipare cilësore

3STATISTIKA
Tiparet i ndajmë:
 Sipas tipit (mosha, pasha, numri I studentëve)
 Sipas formës (mënyrës së krijimit)
 Sipas përmbajtjes (brendisë)
9.Cka paraqet variacioni?
Variacioni paraqet lëviyjet që shprehin ndryshimin e sasisë ose të cilësisë së tiparit dhe dukurive
masive në tërësi.
10.Në sa forma paraqitet variacioni?
Variacioni paraqitet në dy forma:
1) Variacioni si ndryshim dhe
2) Variacioni si koeficient
11.Nga se varen rezulltatet e fituara nga analiza statsitikore?
Rezultatet e fituara nga analiza statistikore varen:
 Nga aplikimi i metodave kërkimore dhe
 Nga cilësia e të dhënave të grupuara të dukurisë
12.Cilët janë fazat e punës kërkimore?
 Vrojtimi statistikor
 Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave
 Përpunimi dhe analiza statistikore
 Publikimi i rezultateve
13.Cka kuptoni me fazën e vrojtimit statistikor?
Vrojtimi statistikor bën regjistrimin dhe grumbullimin e të dhënave për dukurit masive dhe
tipareve të tyre të llojllojshme.
 Këtu bëhet verifikimi i tër dokumentacionit
 Bëhet pregaditja rreth organizimit më të mirë
 Bëhet kontrollimi dhe verifikimii qëllimit dhe detyrës së dhënë
 Bëhet grumbullimi i materialit i cili do të jetë lëndë e përpunimit në fazat e tjera të
hulumtimit.
14.Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë sa lloje të vrojtimit dallojme?
Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë:
 Vrojtimi i drejtëpërdrejt
 Vrojtimi përms dokumenteve
 Vrojtimi sipas deklarimit.
15.Sipas menyrës së vrojtimit, grumbullimi i të dhënave kryhet përmes këtyre formave:
 Mënyra ekspeditive (ekspertët statistikor)
 Përmes thyerjes zyrtare
 Mënyra postelegrafike
 Përmes korespodentëve
 Mënyra e vetëregjistrimit përmes pyetësorëve.

4STATISTIKA
16.Varesisht nga qëllimi i kërkimit, natyra e dukurisë dhe rethanat në tëcilat gjendet dukuria
dallojm këto lloje të vrojtimit.
 Vrojtimi sipas kohës – (të vazhdueshme dhe jo të vazhdueshme)
 Vrojtimi sipas vëllimit – (vrojtim i përgjithshëm dhe i pjesshëm)
17.Cilët janë format kryesore të vrojtimit të pjesshem?
Format kryesore të vrojtimit të pjesëshëm janë:
 Mostra (merret vetëm një pjesë e rastësishme)
 Anketa (ankohet vetëm një pjesë e rastësishme)
 Monografia (hulumtohet detalisht një njësi)
18.Cilët janë llojet e gabimeve statistikore?
 Gabimet e reprezentimit (përfaqësimit)- e rastësishme dhe të qëllimta
 Gabimet e regjistrimit
19.Grupimi i të dhenave sipas kriterit të pergjithshem bazohet ne tri mënyra edhe ate:
 Grupimi sipas qëllimit (grupimi tipologjik-sipas tipareve ), (grupimi i variacionit-
ndryshimet brenda një tipari), (grupimi analitik-lidhje e ndërsjellë shkakë pasojë)
 Grupimi sipas llojit të tiparit (grupimet cilësore, sipas tiparëve sasiore, sipas tiparëve
kohore dhe hapsinore).
 Grupimi sipas vëllimit të tiparit (grupimi i thjeshtë-vetëm një tipar, i kombinuar- dy a më
shumë tipare dhe rigrupimi- një numër i madh grupesh shëndrohet në më të vogla).
20.Radhitja e të dhënave statistikore mundë të kryhet?
 Radhitja me dorë
 Radhitja me mjete teknike dhe
 Radhitja e kombinuar
21.Varësisht nga tipari që tregojnë variacionet seritë munde ti ndajme:
 Seri të thjeshta (të dhëna për një tipar)
 Seri të përbëra (të dhëna për më shumë tipare)
 Seri hapsinore (teritoriale)
 Seri kohore ose kronologjike
 Seri të shpërndarjes
23.Cka janë pasqyrat statistikore?
Pasqyrat statistikore janë formë ku paraqiten seritë dhe rezultatet nga materiali i përmbledhur
dhe i grupuar statistikor.
24.Sipas përmbajtjes të pasqyrës statistikore dallojmë?
 Pasqyra të thjeshtastatistikore (për një tipar)
 Pasqyra të përbëra (dy a më shumë tipare)
 Pasqyra të kombinuara statistikore
25.Ne bazë të përmbajtjes, natyrës, ecurisë së dukurisë dhe menyrës së ndërtimit, grafet
statistikore mundë të ndahen ?
Grafet statistikore mundë të ndahen në 3 grupe:
1) Diagrame (grafe me figura gjeometrike)
2) Kartograme dhe

5STATISTIKA
3) Ideograme (grafe me figura natyrale).
26.Cka kuptoni me fazën e analizes statistikore?
Analiza statistikore paraqet fazën e tretë dhe të fundit të dukurisë masive, kjo fazë pëson pas
hulumtimeve të bëra rreth vrojtimit, përmbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike të të dhënave
të sistemuara.
27.Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si?
 Analiza statike (gjendja se si është dukuria)
 Analiza dinamike (zhvillimi i dukurisë)
 Analiza reprezentative (mostra, anketa)
 Analiza regressive (raportet në mes dukurive të ndryshme)
28.Gjate analizes se distribuimite te serive me se shumti perdoren keto elemente:
 Madhësitë mesatare
 Treguesit e variabilitetit
 Invariantet bazë
 Invariantet e momenteve statistikore
29. Cka paraqesin momentet statistikore?
Momentet statistikore janë tregues relative të asimetrisë dhe kurtozisit, të cilat paraqesin
devijimin e nivelizuar mesatar të të dhënave në seri nga mesatarja e tyre.
30. Cka paraqet probabilitetit?
Teoria e probabilitetit meret me aplikimin e metodave te ndryshme ne analizen e raporteve te
dukurive stohastike.
31. Cilet jane llojet e probabilitetit?
Llojet e Probabilitetit:
- Prova e rastit
- Ngjarja
- Probabilitetiingjarjes
- Probabiliteti me kusht
- Probabiliteti pa kusht
- Ndryshoret e rastit dhe llojet e tyre
32. Cka paraqet prova?
Prova paraqet, parasheh ose përcakton dukuri potenciale (hudhja e monedhës).
33. Per cka perdoret analiza e regresionit?
Analiza e regresionit me se shpeshti perdoret per hulumtimin e
variabilitetit te dy fenomeneve, nga te cilat njera paraqitet si variabel e
pavarur kurse tjetra e varur.
34. Cka quajme teresi e pergjithshme dhe cka quajm moster?
Dukurin te cilen deshirojme ta studijojme dhe analizojme quhet teresie pergjithshme, ndersa
pjesa e nejsive qe zgjidhet per vrojtim konkret quhet moster.
35. Cilet jane metodat kryesore te zgjedhjes se njesive ?
Metodat kryesore te zgjedhjes se njesive jane:

6STATISTIKA
Metoda e rastit (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme)
Mostra e kualifikuar (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme me pare e regulluar apo
kualifikuar)
Panel mostra (zgjedhet ne menyre te rastesishme).
USHTRIME
KOEFIÇIENTI I VARIACIONIT- Variacioni paraqet lëvizjet apo ecuritë që shprehin
ndryshimin e sasisë ose cilësisë së atributit të individit (njësitë statistikore) dhe dukurisë
masive(popullimi) në tërësi.
Përmes variacionit si lëvizje, si ecuri dhe si ndryshim zbulohen ligjshmëritë në natyrë, në
ekonomi dhe në shoqëri.(gjatë vrojtimit të fenomeneve të ndryshme , ecuritë e variacionit mund
të analizohen në hapësirë, dhe në një periudhë të caktuar)
STATISTIKA si shkencë merret me studimin e ligjshmërive të variacionit të atributit në
kuadër të njësisë statistikore masive në tërësi
Kemi dy lloje:
Variacioni si ndryshim-paraqet ndryshimin(diferencën) në mes madhësis raportuese dhe paraprake
të një atributi apo tipari.
Përmes formulës aritmetike ndryshimi i dy niveleve të atributit të vrojtuar tregon
variacionin për periudha (nivele) të caktuara kohore.
Nëse nivelet (të dhënat) e atributit (tiparit) i shënojmë me N
Variacioni i ndryshimit Ë1 = N2-N1,N2,N3,.....Ni(i =1,...n) dhe variacionin me
:Ë1rË2rË3r....Ëi(i=1...n) atëherë variacioni si ndryshim përmes formulës do të shprehet si vijon
Vd1=N2-N1
Vd2=N2-N1
Vd3=N2-N1
Vdi=Ni+1-Ni
Vdn_1=Nn-Nn_1
Rezultat e fituara nga raportet e paraqitura në formulë, përmes niveleve të periudhave
të ndryshme kohore, tregojnë shtimin, stagnimin apo rënien e dukurisë së vrojtuar.
Shembull : Procesi i regjistrimit të studentëve në vitn e parë pranë Fakultetit të
Administratës publike - USHT gjatë periudhës kohore 2006/2010 është si më poshtë.
1.Në vitin shkollor 2006/2007 u regjistruan 500 studentë (N1)
2. --------------------- 2007/2008 u regjistruan 460 studentë (N2)
3. -------------------- 2008/2009 u regjistruan 460 studentë (N3)
4. -------------------- 2009/2010 u regjistruan 480 studentë (N4)
Nga llogaritja e maleve të serisë së dhënë në vijim fitohet
variacioni si ndryshim Vd1
Vd1=N2-Nl= 460-500 = -40 (zbritje)
Vd2=N3-N2= 460-460 = 0 (stagnim)
Vd3=N4-N3= 480-460 = 20 (rritje)
Rezultatet e fituara tregojnë ecuri të ndryshme të variacionit nëpër periudha të ndryshme të
krahasimit të niveleve:

7STATISTIKA
1. N2 < N1
2. Ë = 0
3. N4 > N3 ku Vd3 > 0
VARIACIONI SI KOEFICIENT - është shprehje relative dhe paraqet raportin në mes dy
niveleve të vrojtuara të atributit, njësisë statistikore ose dukurisë masive.
Rezultatet e fituara nga raporti i dy të dhënave, përkatësisht i nivelit raportues dhe atij
paraprak paraqet koeficientin e ndryshimit të vlerave relative, i cili shpreh karakteristikat
cilësore të dukurisë së vrojtuar.
• Simbolet e atributit, të njësisë ose dukurisë statistikore të vrojtuara janë :
N1,N2,N3,...Ni(i=1..n), ndërsa variacioni si koeficient :
Vk1,Vk2,Vk3,...Vki(i=1.n) ku kemi këto shprehje :
- Vkl =N2/N1 , Vk2 =N3/N2, Vk3 =N4/N3............. Vk1 =Ni+1/Ni
-Edhe te koeficientët e fituar të variacionit nga ecuritë e dukurisë së vrojtuar mund të paraqesin
variacionin në rritje, stagnim ose rënie.Mirëpo, koeficienti nuk mund të jetë më i vogël se zero, por
sillet prej zero deri në plus pa kufij (0,+&)
Shembull.Seria e e prodhimit të këpucëve në një ndërmarrje, e shprehur në palë:
• Viti 2006 prodhuar 8000 (Nl) Viti 2008 prodhuar 10000 (N3)
• Viti 2007 prodhuar 10000 (N2) Viti 2009 prodhuar 9 000 (N4)
Nga seria e dhënë e dukurisë së vrojtuar, në vijim llogaritetvariacioni si koeficient: Vk1
=N2/N1 =10 000/8000 = 1.25 (rritje)
Vk2 =N3/N2 = 10000/10000=1,00 (stagnim)
Vk3 =N4/N3 = 9000/1000 =0,9 (zbritje)
Nga të dhënat(nivelet) e krahasuara, duke i vën në raport N2 me N1 fitohet variacioni si koeficient
më i lartë se një (Vkl >1), çka do të thotë se dukuria e vrojtuar, përkatësisht prodhimi i i
këpucëve vitin 2007, në raport me vitin 2006, ishte më i lartë për 0,25 të vlerës së koeficientit, ose
shprehur në përqindje, ishte 25% më i lartë/D.m.th në këtë rast dukuria tregon tendencë rritje
edhe përmes shprehjes së variacionit të koeficientit,sepse Vk1 >1.Në rastin tjetër Vk2 >1,0, cka do
të thotë se dukuria stagnon, ndërsa Vk3 <1, ku dukuria rezulton fakti se dukuria në krahasim me
periudhën paraprake është në rënie e sipër.

8STATISTIKA
FAZAT E STUDIMIT STATISTIKOR -SERITË STATITISTIKORE
Frekuenca absolute, relative dhe komulative
Seritё statistikore formohen prej dy madhёsive: varianteve dhe modaliteteve tё njё tipari.
Seritё formohen varёsiht nga qёllimi i hulumtimit dhe natyra e njёsisё sё vrojtuar nё bazё tё
rednitjes sё tё dhёnave nё mёnyrё vertikale dhe horizontale.
Të dhënat (modalitetet) e tiparit (x) Frekuencat /denduritë (f)
X1 f 1
X2 f 2
X3 f 3
X4 f 4
Xn f n
∑ ∑F
Kolona e parë , te seria e variacionit , paraqet të dhënat , përkatësisht variantet e tiparit, ndërsa
shtylla e dytë paraqet dendurinë, shpërndarjen , frekuencën.Frekuenca paraqesin numrin
përsëritës të modalitetit të tiparit në serinë e dhënë statistikore.
Fazat e studimit statistikor
Shembull. Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar
kanë blerë një shitore.Karakteristikë elementare e popullatës është masa , numri i këpucëve të
blera. Frekuenca absolute gjendet duke numëruar se sa blerës ka me numër të caktuar këpucësh.
Të dhënat e blerësve (numrat e këpucëve të shitura):
Koment : 1 blerës ka blerë këpucë me nr.36
Faza1
36 37 38 39 40
38 39 38 40 41
40 41 42 40 42
40 40 41 40 42
41 42 43 41 42
41 43 44 41 43
41 41 41 44 42
44 41 42 41 41
Nr. I X
Blerësit
fa
36 1
37 1
38 3
39 2
40 7
41 13
42 7
43 3
44 3
∑ 40

9STATISTIKA
FREKUENCA RELATIVE fr1 = fa1/∑fa
Shembull : Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar
kanë blerë një shitore këpucësh.karakteristikë elemenare t[ popullacionit ështa masa 0 numri i
këpucëve të blera. Të gjendet frekuenca relative dhe procentuale (përqindja).
Fr1 = 1/40 = 0,025 ku % llogaritet
0,025*100 = 2,5 %
Nr. I
X
Blerësit
fa
fr %
36 1 0,025 2,5 %
37 1 0,025 2,5 %
38 3 0,075 7,5%
39 2 0,05 5%
40 7 0,175 17,5%
41 13 0,325 32,5%
42 7 0,175 17,5%
43 3 0,075 7,5%
44 3 0,075 7,5%
∑ 40 100%
1237
13
7
3
2
136 37 38 39 40
41 42 43 44 Nr. i
kёpucёve
poligon
Mënyra grafike
f(a) Blerёsit

10STATISTIKA
FREKUENCA KOMULATIVE
Shembull : Popullacioni e përbën 200 nxënës të një shkolle të mesme gjatë vitit shkollor
2008/2009.Karakteristikë është pesha e nxënësve të dhënë në interval prej 3 kg.Të gjendet
frekuenca përmbledhëse, frekuenca relative nga ajo komulative , mesi i intervalit si dhe të
paraqiten grafikisht të dhënat.
Pesha X
Nr. i nxënësve
fa
fk fr Mesi i intervalit
Gjer 40 0 0 0:200=0 0
40-43 2 2 2:200=0,01 41.5
43-46 7 9 9:200=0,045 44.5
46-49 40 49 49:200=0,245 47.5
49-52 87 136 136:200=0,680 50.5
52-55 58 194 194:200=0,970 53.51
55-58 5 199 199:200=0,995 56.50
58-61 1 200 200:200=1 59.5
∑ 200
Që ta gjejmë frekuencën komulative duhet që nr. e parë të fab ta përshkruajmë.psh 0 -, pastaj e
mbledhim numrin e parë të fk dmth 0 me numrin e dytëtë fr.absolute psh.2 atëherë 0+2=2 ,
2+7=9.............kur arrijm në fund duhet që nr. i fundit të jetë në përputhje me shumën e
frekuencës absolute dmth 200=200.
Mesi i intervalit llogaritet si mesatare e thjeshtё nё mes tё dy niveleve tё njё intervali (psh.
40+43/2=41.5).
Mënyra grafike :
Paraqitja grafike e frekuencave komulative
40 43 46 49 52 55 58 61 Pesha
1257405887
7
3
2
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Mёnyra e poligonit
(nё mesin e brinjёve
tё drejtkёndёshit)
Mёnyra e histogramit
(drejtkёndёshi)
Nr. i nxёnёsve

11STATISTIKA
Dijagramet sipërfaqësore (histogramet) -paraqitet madhësia,struktura apo vëllimi
studiuara statistikore.
Në boshtin e abshisës vendosen periudhat kohore ndërsa në boshtin e ordinatës vendoset
vëllimi apo madhësia e dukurisë.
Distribucioni komulativ i frekuencave(ogiva) shfrytёzohet pёr tё pёrcaktuar se sa ose çfarё pjese
e tё dhёnave sjell nёn apo mbi vlerёn e caktuar.
Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija qё paraqet lidhjen e pikave tё formuara nё mes tё
frekuencave dhe klasёve.
Prezentimi grafik i distribucionit tё frekuencave
Janё 3 forma pёr paraqitjen grafike tё distribucionit tё frekuencave:
 HISTOGRAMI
 POLIGONI I FREKUENCAVE
 DISTRIBUCIONI KOMULATIV I FREKUENCAVE
Histogrami – paraqet grafikun nё tё cilёn klasёt shёnohen nё abshisё(boshtin horizontal) , kurse
frekuencat e klasave shёnohen nё boshtin ordinatё (boshtin vertikal) tё sistemit koordinativ.
2949136194199200
7
3
2
1
40 43 46 49 52
55 58 61 Pesha
Lakorja
Komulative
Nr.f(x)
Mesi i
intervalit
41,5 44,5 47,5 50,5 53,5 56,5 59,.5

12STATISTIKA
PASQYRAT STATISTIKORE
Diagramet sipërfaqësore(histogramet)-
- Diagramet sipërfaqësore të katrorit
- Diagramet sipërfaqësore të rrethit
- Diagramet strukturale të sipërfaqes së rrethit
Shembull: Gjat periudhës 3 vjecare në një bashkësi komunale të Maqedonisë kan bërë
kontrollime sistematike sipas viteve dhe familjeve si në vijim:
- në vitin 2006 janë kontrolluar 450 familje
Numri i familjeve për çdo vit paraqet sipërfaqen e katrorit , ndërsa ndërtimi i katrorit varet prej
bazës (brinjës) llogaritëse të tij e cila është e barabartë me rrënjën katrore të sipërfaqes.
Formula e sipërfaqes së katrorit është S=a2
, atëherë brinja është e barabartë me √S përkatësisht
a=√a2
.
Nga formula dhe të dhënat e dukurisë së krahasuar nëpër periudha kohore, rezultojnë llogaritjet
në vijim:
Viti 2006 S=450 a=√S = √450 = 21,2 cm (shkalla e zvoglimit 21,2 : 10 = 2,12 cm)
Viti 2007 S=1150 a=√S = √1150 = 33,9 cm (shkalla e zvoglimit 33,9 : 10 = 3,39 cm)
Viti 2008 S=1450 a=√S = √1450 = 38,1 cm (shkalla e zvoglimit 38,1 : 10 = 3,81 cm
Me rastin e ndërtimit të grafikëve duhet përdorur edhe shkallën e zvogëlimit të të dhënave të
krahasuara.
Në rastin konkret, brinjët e katrorëve do të ndërtohen me shkallën 1:10 cm, atëherë në bazë të
elementeve të llogaritura,paraqitja grafike përmes katrorëve dhe krahasimi i shtimit të vëllimit
sipas periudhave kohore jepet si në vijim:
Viti 2006 Viti 2007 Viti 2008
a = 21,2 (2,12)
a = 33,9 (3,39)
a = 38,1 (3,81)
Sic shihet nga katrorët paraqitja grafike përmes këtyre diagrameve, mundëson zbulimin e
dukurisë përmes krahasimit të shtimit të vëllimit të saj nëpër periudha kohore.
S = 450
S = 1150 S = 1450

13STATISTIKA
Diagramet sipërfaqësore të rrethit
Përdoren për paraqitjen grafikë të dy a më tepër dukurive masive.Rrethi mund të ndërtohet nëse
rrespektohen rregullat e gjeometrisë(π=3,14).
E rëndësishme e këtij diagrami është që cdo paraqitje grafike me anë të rrethit duhet të
llogaritet rrezja e rrethit (r).
Në bazë të formulës gjeometrike të rrethit, sipërfaqja e rrethit zgjidhet përmes formulës: S=r2
ndërsa rrezja e rrethit
Viti 2006 S=450 S=r2
x π ; 450=r2
x π ; r = √ ------ ; r =11,5
Viti 2007 S=1150 S=r2
x π ; 1150=r2
x π ; r = √ ----- ; r =19,1
Viti 2008 S=1450 S=r2
x π ; 1450=r2
x π ; r = √ ------ ; r =21,5
2006 2007 2008
Në bazë të llogaritjeve rezultojnë vlerat e rrezeve për 3 rrathë:
11,5 : 10 = 1,15
19,1 : 10 = 1,91
21,5 : 10 = 2,15
Pos si tërësi krahasuese grafet e formës së rrethit mund të paraqesin edhe strukturën e dy a më
shumë dukurive statistikore .
Pra paraqitjet e elementeve përbërëse të dukurisë masive në sipërfaqen e tërësishme të rrethit
quhen DIAGRAME STRUKTURALE TË SIPËRFAQES SË RRETHIT
Si bazë për llogaritjen e strukturës së elementeve të një dukurie masive statistikore shërben
vëllimi i saj i barazuar me 100% e sipërfaqes së rrethit.
Shembull: Struktura e mjeteve kryesore të disa ndërmarjeve ekonomike në Republikën e
Maqedonisë, sipas periudhave kohore të viteve: 2006, 2007, 2008 dhe 2009.
Elementet
Mjetet kryesore në mijë euro € Struktura në %
2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009
Mjetet kryesore
Gjithsejt
100.000 200.000 300.000 400.000 100 100 100 100
Objektet ndërtimi 60.000 100.000 150.000 280.000 60 % 50 % 50 % 70 %
Pajisje 30.000 50.000 90.000 80.000 30 % 25 % 30 % 20 %
Të tjera 10.000 50.000 60.000 40.000 10 % 25% 20 % 10 %
Të gjindet shuma e përgjithshme e mjeteve kryesore dhe të paraqitet struktura e tyre në % për
çdo vit. Të gjenden shkallët e sipërfaqes së rrethit duke shumëzuar numrin relativ të përqindjes,
të secilit element të mjeteve kryesore me 3,6 %.
r=√(π=3,14)
S
π
450
3,14
1150
3,14
1450
3,14
r= 11,5 r= 19,1 r=21,5

14STATISTIKA
2006
216o
108 o
36
o
2007
180
o
90 o
90o
2008
180o
108
o
72
o
2009
252
o
72 o
36
o
Nëse aplikohet metodologjia e llogaritjes, atëherë nga shembulli i analizauar do të fitohen
këto rezultate:
Llogaritja e rrethit në aspektin logjik:
216-180=36 o
108-90=18 o
90-36=54 o
54-18=36 o
ANALIZA STATISTIKORE
Kjo faze peson pas hulumtumeve te bera rethvrojtimit, permbledhjes,grupimit dhe paraqitjesgrafike te
te dhenave te sistemuara.Mbështetet në zbatimin e metodava shkencore.Analiza rëndësi të veçantë ka,
sidomos në krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore të dy e më tepër dukurive, në kohë dhe
hapsirë.
• Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si:
- Analiza statike (gjendja se si eshte dukuria)
- Analiza dinamike (zhvillimin e dukurise)
- Analiza reprezentative (mostra, anketa)
- Analiza regresive (raportet ne mes dukurive te ndryshme)
Rëndësia e madhësive absolute dhe relative
o Madhesit absolutejane tregues qe shprehin sasine e nje dukurie te caktuar te cilet
paraqesin baze per cdo hulumtim statistikor.
Madhesit absolute jane te dhena te fituara nga fazat paraprake te vrojtimit.
o Ato jane konkrete, ne forme te numrave dhe tregojne madhesine e tiparit te dukurise se
studiuar
o Madhesit absolute paraqiten si:
o Madhesi individuale (madhesia e dukurise ne kohe te caktuar) o
Madhesi te pergjithshme
o Madhesit relativeshprehin raportin ne mes te madhesise se nje treguesi ndaj
madhesise se treguesit tjeter
Për vitin 2006
360o
: 100 = 3,6
60 x 3,6 = 216 o
30 x 3,6 = 108 o
10 x 3,6 = 36o
---------------------
100 x 3,6 = 360
o
Për vitin 2007
360o
: 100 = 3,6
50 x 3,6 = 180 o
25 x 3,6 = 90 o
25 x 3,6 = 90o
---------------------
100 x 3,6 = 360
o
Për vitin 2008
360o
: 100 = 3,6
50 x 3,6 = 180 o
30 x 3,6 = 108 o
20 x 3,6 = 72o
---------------------
100 x 3,6 = 360
o
Për vitin 2009
360o
: 100 = 3,6
70 x 3,6 = 252 o
20 x 3,6 = 72 o
10 x 3,6 = 36o
---------------------
100 x 3,6 = 360
o

15STATISTIKA
MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE

16STATISTIKA
Mesataret algjebrike(llagaritura): janë ato të cilat llogariten me ndihmën e formulave të
caktuara matematikore, dhe të cilat gjatë llogaritjes përfshijnë të gjitha të dhënat të një serie
statistikore.
Quhen mesatare algjebrike sepse përllogaritjet e tyre bazohen në formulat algjebrike.
Mesataret e pozicionitpërcaktohen varësisht nga pozita e tyre që kanë në serinë statistikore,
respektivisht caktohen në mënyrë emperike prej vlerave konkrete të serisë statistikore.
Mesataria aritmetike (hulumtimi i dukurive statistikore): perdorim me cilesor ka te serite
homogjene(te ngjajshme) te njesive statistikore.
Mesatarja aritmetike e thjeshtë përfitohet në bazë të pjesëtimit të shumës së mbledhur të
varianteve(të dhënave) individuale me numrin e tyre në tërësi.(numëruesi/emëruesi)
ose shkurtimisht
Kjo formulë e shprehur me numra të një serie duket kështu:
P.Sh.Nëse kemi dhjetë(10) konteste ekonomike të paraqitura në një gjykatë, të shprehura në mijëra
euro : X : 15,26,42,48,54,57,62,63,70,83.
Pra vlera emesatare e kontesteve ekonomike të paraqitura ësht 52 mijë euro.Mesatarja e fituar
plotëson kushtet më parë të plotësuara, sepse ësht caktuar në mënyrë objektive dhe gjendet
në mes të vlerës minimale (15) dhe vlerës maksimale(83) të serisë statistikore. 5
Mesatarja aritmetike e ponderuar - paraqet raportin e shumës së fituar si rezultat, nga shumëzimi i
të dhënave me frekuencat e tyre, pjesëtuar me shumën e madhësive të frekuencave të
varianteve të serisë.
P.Sh. Të dhënate anketës së zbatuar mbinumrin mesatar të anëtarëvetë familjeve në Kumanovë.(Sipas
dendurive absolute)
Të dhënat numerike në tabelë prezantojnë 100 familje të anketuara në Kumanovë, përkrah numri i
anëtarëve të familjes.

17STATISTIKA
MESATARJA HARMONIKE
Definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurive të caktuara.
Mesatarja harmonike e thjeshtë – paraqet raportin në mes të varianteve dhe shumës së vlerave
të tyre.
E devijueshme – kur të dhënat nuk janë të grupuara përdoret mestarja e thjeshtë harmonike(4)
sipas formulës:
Shembull
Koha e harxhuar e 4 punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi është;
Nëse përdoret mesatarja e thjeshtë harmonike do të
fitohet një mesatare e gabuar, sepse 79:4=19,75
minuta.Nga kjo mesatare do të rezultonin më tepër se 4
produkte:
0,68103 + 1,09722 + 1,10955 + 1,3908 = 4,2786
Nr. i anëtarëve të
familjes(x)
Numri i familjeve (f) Gjithsej (x+f)
9 2 18
8 3 24
7 8 56
6 24 144
5 31 155
4 18 72
3 9 27
2 4 8
1 1 1
Gjithsej 100 505
Puntoret Koha e harxhuar
per njesi
I 29,0
II 18,0
III 17,8
IV 14,2
Gjithsej 79.0
=21,64

18STATISTIKA
Mesatarja harmonike e ponderuar– në rastet kur të gjitha variantet e ndryshme të cilët
nuk janë të një rëndësie të njejtë, atëherë sikurse llojet e tjera të mesatares përdoret mesatarja
e ponderuar e cila llogaritet nvpërmjet formulës:
Të supozojmë: Nr. i banorëve dhe numri i banorëve në 1 km2
në katër vende është:
MESATARJA GJEOMETRIKE
Përdoret për llogaritjen e ritmit të mesatares të zhvillimit të dukurisë së analizuar.
Metoda e mesatares gjeometrike përdoret kur seritë e të dhënave posedojnë vecori të
progresionit gjeometrik ose kur kemi tregues relativ.
përkatësisht formula e përgjithshme:
Territori Numri i banorëve në 1 km2
(X)
Numri i banorëve
(f)
A 94 5.250,000
B 91 1.953,000
C 114 1.245,000
D 38 530,000
Gjithsej 8,978,000
P

19STATISTIKA
1.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
2.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
X f X*f x-x (x-x)2
F(x-x)2
40 4 160 40-32.3 = 7.7 7.72
= 59.29 4*59.29 = 237.16
36 24 864 36-32.3 = 3.7 3.72
= 13.69 24*13.69 = 328.54
32 23 736 32-32.3 = -0.3 -0.32
= 0.09 23*0.09 = 2.07
18 8 144 18-32.3 = -14.3 -14.32
= -204.49 8*204.49 =
1635.92
126 59 1904
Mosha Nr i
punëtorëve
18-22 15 15
22-26 18 33
26-30 22 55
30-34 14 69
34-38 12 81
38-42 20 101
Gjithsejt 101
15+18=33
33+22=55
55+14=69
69+12=81
81+20=101
Σfi-w1)

20STATISTIKA
3.paraqiten ne menyre grafike keto te dhena ne tabele .
Viti Produkti
shoqërorë
E ardhura
kombëtare
Amortizimi
2001 650 450 80
2002 720 520 120
2003 450 350 60
2004 750 850 140
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
2001 2002 2003 2004
80
60
120
140
520
720
Produkti shoqërorë
E ardhura kombëtare
Amortizimi

21STATISTIKA
Fig.1 Paraqitja grafike e të dhënave
I N D E K S A T
shembulli:Investimet në fondet themelore të sektorit privat të zejtarisë në RM në periudhën
2003-2007 ka lëvizur në këtë drejtim
Viti Investimet Ib -In. Bazë Iv- In.vargor
2003 218067 100 /
2004 334678 153.47 153.47
2005 452024 207.28 135.06
2006 494378 226.70 109.36
2007 547248 250.95 110.69
Llogaritni Indeksat bazik nëse baza është viti 2003 dhe pastaj llogaritni indeksat zinxhir(vargor).
Indeksi bazik
Indeksi vargor(zinxhir)

22STATISTIKA
Shembull.Të dhënat mbi donacionet të SHBA-ve në Kosovë gjat periudhës 1999 – 2005 janë
dhënë në tabelën që vijon, të llogariten indeksat bazik ku për vit bazë merret
a) Viti 1999
b) Viti 2003
c) Viti 2005
Si dhe të gjendet indeksi zinxhir.
Viti Shuma Ib -1999 Ib -2003 Ib -2005 Iv
1999 120.125 100 306.36 546.02 /
2000 75.010 62.44 191.30 340.95 62.44
2001 95.000 79.08 242.28 431.81 126.64
2002 21.000 17.48 53.55 95.45 22.10
2003 39.210 32.64 100 178.22 186.71
2004 25.000 20.81 63.75 113.63 63.75
2005 22.000 18.31 56.10 100 88
a) Viti 1999 b) Viti 2003 c) Viti 2005
Indeksi zinxhir (vargor)

23STATISTIKA
Shembull.Të llogaritet indeksi individual dhe grupor të vëllimit fizik ku si bazë të merret viti 2005
Viti
Produkti
A
Produkti
B
Produkti
C
Produkti
D
2005 420 220 360 540
2006 340 440 380 480
2007 540 380 420 620
2008 620 520 280 38
Çmimet
Produkti
A
Produkti
B
Produkti
C
Produkti
D
220 180 160 240
180 140 180 220
320 220 240 180
240 240 140 140
Viti
Produkti
A
Produkti
B
Produkti
C
Produkti
D
2005 100 100 100 100
2006 80,95 200 105,5 88,88
2007 128,5 172,7 116,6 114,8
2008 147,6 236,3 77,77 70,37
ÇMIMET
Produkti
A
Produkti
B
Produkti
C
Produkti
D
Produkti A
Produkti B
Produkti C
Produkti D
Produkti A
2005420 220 = 92400
2006 340 220 = 74800
2007 540 220 =118000
2008 620 220 = 136400
Produkti B
2005 220 = 33000
2006 440 150 = 66000
2007 380 150 =57000
2008 520 150 = 78000
Produkti C
2005 360 160 = 57600
2006 380 160 = 60800
2007 420 160 =67200
2008 280 160 = 48000
Produkti D
2005 540 240
129600
2006 480 240
115200
2007 620 240
148800
2008 380 240 = 91200

24STATISTIKA
A + B + C + D =
92400 + 33000 + 37800 + 129600 = 312600
74800 + 66000 +60800 + 115200 = 316800
118000 + 57000 + 67200 + 148800 = 391800
136400 + 78000 + 48000 + 91200 = 345600
Shembull. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten
indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër
produktet.
Produktet
Produktet e realizuara Çmimet në kg
2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008
q0 q1 q2 q3 p0 p1 p2 p3
A 20 18 19 22 20 16 24 22
B 14 16 13 19 35 18 22 16
C 18 13 18 14 38 19 18 24
D 16 12 22 16 42 22 14 28
Produktet
2005
q0 p0
2006
q1 p1
2007
q2 p2
2008
q3 p3
A 400 288 456 489
B 490 288 286 304
C 684 247 324 336
D 672 264 308 448
2246 1087 1374 1572
92400 33000 57600 129600 312600
74800 66000 60800 115200 316800
118000 57000 67200 148800 391800
136400 78000 48000 91200 345600
VITI 2007
VITI 2008
q0 p0
A q0 p0 = 20
B q0 p0 = 14
C q0 p0 = 18
D q0 p0 = 16
q2 p2
A q2 p2 = 19
B q2 p2 = 13
C q2 p2 = 18
D q2 p2 = 16
q1 p1
A q1 p1 = 18
B q1 p1 = 16
C q1 p1 = 13
D q1 p1 = 12
q3 p3
A q3 p3 = 22
B q3 p3 = 19
C q3 p3 = 14
D q3 p3 = 16
Produkti A Produkti B
Produkti C Produkti D

25STATISTIKA
TRENDI LINEAR
Shembull.1
Viti y1 x1 x x1
2
yc
2001 12 0 0 0 8.8
2002 10 1 10 1 13.4
2003 18 2 36 4 18.8
2004 20 3 60 9 22.6
2005 30 4 120 16 27.2
90 10 226 30
n - numri i viteve
y = na + b x
x y = a x + b x2
90 = 5a + 10b
226 = 10a + 30b / : -2
-23 = 0 - 5b
b =
b = 4.6
90 = 5a + 10b
90 = 5a 10 4.6
90 = 5a + 4.6
a = (-1)
a =
a =
a = 8.8
yc/2001 = a + bx
yc/2002 = 8.8 4.6 0 = 8.8
yc/2003 = 8.8 4.6 1 = 13.4
yc/2004 = 8.8 4.6 2 = 18.8
yc/2005 = 8.8 4.6 3 = 22.6
yc/2006 = 8.8 4.6 4 = 27.2
35
30
25
20
15
dukuria
trendi

26STATISTIKA

27
27STATISTIKA
Shembull.2
Viti y1 x1 x x1
2
yc
2001 8 0 0 0 8.4
2002 12 1 12 1 11.4
2003 16 2 32 4 14.4
2004 14 3 48 9 17.4
2005 22 4 88 16 20.4
72 10 174 90
y = na + b x
x y = a x + b x2
72 = 5a + 10b
174 = 10a + 30b / : - 2
-15 = 0 - 5b
5b = 15
b =
b =5
72 = 5a + 10b
72 = 5a 10 3
72 = 5a + 30
-a =
(-1)
a =
a =
a = 8.4
yc/2001 = a + bx
yc/2002 = 8.4 3 0 = 8.4
yc/2003 = 8.4 3 1 = 11.4
yc/2004 = 8.4 3 2 = 14.4
yc/2005 = 8.4 3 3 = 17.4
yc/2006 = 8.4 3 4 = 20.4
25
20
15
10
5
Fig.3 Paraqitja grafike e trendit linear
2001 2002 2003 2004 2005
dukuria
trendi

28
28STATISTIKA
ANALIZA DINAMIKE
Viti
seria e të
dhënave
3 të dhëna 5 të dhëna
1991 55 - -
1992 58 56.3 -
1993 56 58.3 58.6
1994 61 60 59.6
1995 63 61 -
1996 60 - -
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
Fig.4 Paraqitja grafike
1991 1992 1993 1994 1995
1996
65
60
55
50
te dhenat
me 3 te dhena
me 5 te dhena

29
29STATISTIKA
TRENDI I PARABOLLËS
Shembull.1
Viti
Të
dhënat
y1
Shenjat e
periudhës
x1
x1
2 x
X3 X2
y
X4
yc
2001 9 -2 4 -18 -8 36 16 8.6
2002 14 -1 1 -14 -1 14 1 15.9
2003 22 0 0 0 0 0 0 18.8
2004 15 1 1 15 1 15 1 17.3
2005 12 2 4 24 8 48 16 11.4
72 0 10 7 0 113 34 -
Muajt
Seritë sipas viteve
Gjithsej
Mesatarja
mujore(xi)
Indekset
stinore2000 2001 2002
1 2 3 4 5 6 7
I 108 102 120 330 110.0 88.0
II 102 100 115 317 105.7 84.6
III 113 109 135 357 119.0 95.2
IV 124 119 160 403 134.3 107.5
V 155 135 175 465 155.0 124.0
VI 164 138 171 473 157.7 126.2
VII 154 140 162 456 152.0 121.6
VIII 141 132 134 407 135.7 108.6
IX 118 140 112 344 114.7 91.8
X 112 107 110 329 109.7 87.8
XI 90 100 106 296 98.7 79.0
XII 95 105 122 322 107.2 85.8
1476 1401 1622
4499:36
= 124.98
1499.7:12
= 124.98
-
y = na + b x+c x
2
x y = a x +b x
2
+c x
3
x
2
y = a x
2
+ b x3
+c
x
4
72 = 5a + 0b+10c
7 = 0a +10b+0c
113 = 10a + 0b+34c /:-2
72 = 5a + 0b +10c
-56.5 = -5a - 0b -17c
72 = 5a + 0b+10c
72 = 5a + 0b +10 (-2.2)
-a =
-a = -18.8 / (-1)
a = 18.8
7 = 0a +10b+0c
7 = 0 18.8 +10b+0 (-2.2)
7 = 0 +10b+0
- b = / (-1)
b = 0.7

30
30STATISTIKA
yc= a + bx-cx2
yc/2001 = 18.8+0.7 (-2) (-2.2) 4
yc/2001 = 18.8 - 1.4 - (-8.8)
yc/2001 = 18.8 - 8.8 - 1.4
yc/2001 = 8.6
yc/2003 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0
yc/2003 = 18.8
yc/2002 = 18.8+0.7 (-1) (-2.2) 1
yc/2002 = 18.8 – 0.7 – 2.2
yc/2002 = 15.9
yc/2004 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0
yc/2004 = 18.8 – 0.7 – 2.2
yc/2004 = 17.3
yc/2005 = 18.8+0.7 2 (-2.2) 4
yc/2005 = 18.8 – 1.4– 8.8
yc/2005 = 11.4
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
Te dhenat
Trendi i parabolles

31
31STATISTIKA
Në bazë të të dhënave të gjindet mesatarja aritmetike, moda e serisë, të bëhet llogaritja e sakt e
asimetrisë(momenti i tretë), devijimi standard dhe të bëhet paraqitja grafike, grupi prej 40
studentëve ka arritur këtë sukses.
Notat
(x)
Numri i
studentëv
e
(y)
fi xi x-x (x-x)2
(x-x)3
fi (x-x)2
fi (x-x)2
5 5 (fm1)
25 -2.35 5.52 -12.97 27.6 -64.85
6 12 72 -1.35 1.82 -2.45 21.84 -29.4
7 6 (fm2)
42 -0.35 0.12 -0.042 0.72 -0.252
8 4 32 0.65 0.42 0.273 1.68 28.39
9 7 63 1.65 2.72 4.488 19.04 31.41
10 6 60 2.65 7.02 18.603 42.12 111.6
40 294 0.9 17.62 7.092 113 76.89
x y = fi
xi
5 5 = 25
6 12 = 72
7 6 = 42
8 4 = 32
9 7 = 63
10 6 = 60
Mesatarja aritmetike
MODA
Mo = 6+0
Mo = Mo 3.23
(x – x)2
(-2.35) (-2.35) = 5.52
(-1.35) (-1.35) = 1.82
(-0.35) (-0.35) = 0.12
0.65 0.65 = 0.42
1.65 1.65 = 2.72
2.65 2.65 = 7.02
fi (x – x)3
5 (-12.97) = -64.85
12 (-2.45) = -29.4
6 (-0.042) = -0.252
4 0.273 = 28.39
7 4.488 = 31.41
6 18.603 = 111.6
(x – x)3
5.52 (-2.35) = -12.97
1.82 (-1.35) = -2.45
0.12 (-0.35) = -0.042
0.42 0.65 = 0.273
2.72 1.65 = 4.488
7.02 2.65 = 18.603
x - x
5 - 7.35 = -2.35
6 - 7.35 = -1.35
7 - 7.35 = -0.35
8 - 7.35 = 0.65
9 - 7.35 = 1.65
10 - 7.35 = 2.65
fi (x – x)2
5 5.52 = 27.6
12 1.82 = 21.84
6 0.12 = 0.72
4 0.42 = 1.08
7 2.72 = 19.04
6 7.02 = 42.12VARIANCA DEVIJIMI STANDARD
=

32
32STATISTIKA
a3 =
a3
a3= 0.40
m
3
=
=1.92
m
3
= 1.92
Fig.2 Paraqitja grafike
5 6 7 8 9
10 Nota
15
10
5
Nr i studenteve

33
33STATISTIKA
PYETJE DHE DETYRA
1.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2
f (x - ẋ) 2
32 12 384 32- 32.25 = -
0.25
0.0625 0.75
25 11 275 25 - 32.25 = -
7.25
52.5625 578.188
38 9 342 38 - 32.25 =
5.75
33.0625 297.563
36 8 288 36 - 32.25 =
3.75
14.0625 112.5
40 1289 2 99.75 989
2. Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2
f (x - ẋ) 2
25 12 300 -4.4 19.36 232.32
32 11 352 2.6 6.76 74.36
29 9 261 -0.4 0.16 1.44
33 8 264 3.6 12.96 103.68
40 1177 1.4 39.24 411.8
MESATARJA ARITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT
MESATARJA AJITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT

34
34STATISTIKA
3. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset individuale
të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.
Produktet
Produktet e
realizuara
Çmimet në kg
2008 2009 2008 2009
q0 q1 p0 p1
A 50 60 80 90
B 60 55 50 60
C 60 55 50 60
Produktet
2008
p1
q0
2009
q0 q1
2008
q1 p0
2008
p0
q0
2009
P1
q1
A 4500 3000 4800 4000 5400
B 3600 3300 2750 3000 3300
C 3600 3300 2750 3000 3300
11700 9600 10300 10000 12000
Indeksi i Laspajerit

35
35STATISTIKA
4.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
Mesi i intervalit
ẋ= = 4000
ẋ= = 6000
ẋ= = 8000
ẋ= = 10000
Paga (xi)
Nr i
punëtorëve
(fi)
Kumulativi
Mesi i
intervalit
(ẋ)
ẋ fi
Deri 3000 4 4 3000 12000
3000 – 5000 fm1 5 9 Ë1 4000 20000
5000 – 7000
X1
x2
fm2 7 16 ë2 6000 42000
7000 – 9000 fm3 3 19 8000 24000
9000 - 11000 6 25 10000 60000
Gjithsejt 25 158000
MODA

36
36STATISTIKA
5.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?
Viti
Të dhënat
(investime
t) yi
Shenjat
e
periudhë
s xi
x xi
2
yc
2004 35 0 0 0 34.8
2005 40 1 40 1 37.8
2006 38 2 76 4 40.8
2007 42 3 126 9 43.8
2008 49 4 196 16 46.8
204 10 438 30
n - numri i viteve
y = na + b x
x y = a x + b x2
204 = 5a + 10b
438 = 10a + 30b /: -2
-15 = 0 - 5b
-b = / (-1)
b = 3
204 = 5a + 10b
204 = 5a 10 3
204 = 5a + 30
a =
a =
a = 34.8
yc = a + bx
yc = 8.8 3 0 = 34.8
yc = 8.8 3 1 = 37.8
yc = 8.8 3 2 = 40.8
yc = 8.8 3 3 = 43.8
yc = 8.8 3 4 = 46.8
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
dukuria
trendi
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear

37
37STATISTIKA
6.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?
Viti
Të
dhënat
yi
Shenjat e
periudhës
xi
x x 2
X3
X4 X2
y
yc
2004 8 -2 -16 4 -8 16 32 7.4
2005 12 -1 -12 1 -1 1 12 15.2
2006 22 0 0 0 0 0 0 18.6
2007 11 1 11 1 1 1 11 19.6
2008 7 2 14 4 8 16 28 18.2
60 0 -3 10 0 34 83 78.6
y = na + b x+c x
2
x y = a x +b x
2
+c
x
3
x
2
y = a x
2
+ b x3
+c
x
4
60 = 5a + 0+10c
-3 = 0 +10b+0
83= 10a + 0b+34c /:-2
60 = 5a + 0 +10c
-41.5 = -5a - 0 -17c
18.5 = -7c
c =
c = -2.6
60 = 5a + 0+10c
60 = 5a + 10 (-2.6)
60 = 5a - 26
-a =
-a = -17.2 / (-1)
a = 17.2
-3 = 0 +10b+0
-3 = 10b
b =
b = - 0.3
yc= a + bx-cx2
yc/2004 = 17.2+ (-2) (-0.3) (-2.6)
4
yc/2004 = 17.2+0.6-10.4
yc/2004 = 7.4
yc/2006 = 17.2+(-1) (-0.3) (-2.6)
1
yc/2006 = 17.2+0.3 2.6
yc/2006 = 14.9
yc/2005 = 17.2+0 (-0.3) (-2.6) 0
yc/2005 = 17.2
yc/2007 = 17.2+1 (-0.3) (-2.6) 1
yc/2007 = 17.2– 0.3 – 2.6
yc/2007 = 14.3
yc/2008 = 17.2+ 2 (-0.3) (-2.6) 4
yc/2008 = 17.2–0.6– 10.4
yc/2008 = 6.2

38
38STATISTIKA
Metoda e trendit- Trendiështë tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së
vështruar.
Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar
Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare,
gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë
Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë
linear,parabollikdhe eksponencial.
Trendi lineari përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë
përafërsisht të barabartë.
Yc= a + bx
Trendi i parabollëszgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e
ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:
Yc = a+bx+cx2
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
Te dhenat
Trendi i parabolles

39
39STATISTIKA
TRENDI I PARABOLLËS
TRENDI I PARABOLLES- Y=a+bx+cx2
.
Mirepo per ti tjeshtuar llogaritjet kemi edhe metoden me thjseshtime ku periudha 0 gjindet ne
mes te seris kohore. Dhe athere kemi te bejem me gjetjen e parametrave ne menyre direkte.

Statistika - Ushtrime

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Statistika - Ushtrime

Similar to Statistika - Ushtrime (12)

More from Jozef Nokaj

More from Jozef Nokaj (12)

Statistika - Ushtrime