1. The document discusses different types of linear first order differential equations including separable, exact, and non-exact equations. Formulas are provided for solving each type. 2. Bernoulli differential equations are introduced, which have the form dy/dx + p(x)y = Q(x)yn where n ≠ 1. They are transformed into linear equations to solve. 3. Methods for solving Lagrange and Clairaut differential equations are outlined, which involve transforming the equations into linear differential equations. Examples of each type are presented.

1. PRIMERA UNIDAD
SEGUNDA PARTE

31. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Sea la ecuación diferencial ordinaria.
𝒂𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂𝟐(𝒙)𝒚 = 𝒇 𝒙 … . . (𝟏)
Donde 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 y 𝒇 𝒙 son funciones solamente de 𝒙 o constantes.
Suponiendo que 𝒂𝟏 𝒙 ≠ 𝟎, luego al dividir, se tiene
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝒂𝟐(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
𝒚 =
𝒇(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
, entonces
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝑸 𝒙 … (2)
Es una ecuación diferencial lineal de primer orden en 𝒚.
Si 𝑸 𝒙 = 𝟎, la ecuación diferencial (2) toma la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝟎, ecuación diferencial lineal homogénea de variable separable
⟹
𝒅𝒚
𝒚
= −𝒑 𝒙 𝒅𝒙 ⇒ න
𝒅𝒚
𝒚
= න −𝒑 𝒙 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝒆− ‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
Es solución de la ecuación diferencial lineal homogénea.
Si 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎, entonces
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 ⇒
𝒑 𝒙 𝒚 − 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎 ..(3),
𝝏𝑴
𝝏𝒚
= 𝒑 𝒙 𝒊
𝝏𝑵
𝝏𝒙
= 𝟎

32. La ecuación (3), no es una ecuación diferencial exacta. Si multiplicamos por el factor integrante 𝑼(𝒙) la ecuación (3), se
convierte en una ecuación diferencial exacta.
Es decir, se tiene
𝑼(𝒙) 𝒑 𝒙 𝒚 − 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑼 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎…(4), es exacta, luego se tiene
𝑴 𝒙 = 𝑼(𝒙) 𝒑 𝒙 𝒚 − 𝑸 𝒙 , 𝑵(𝒙) = 𝑼 𝒙 ,
Entonces se tiene
𝝏𝑴
𝝏𝒚
= 𝑼(𝒙)𝒑 𝒙 Y
𝝏𝑵
𝝏𝒙
=
𝒅𝑼(𝒙)
𝒅𝒙
por ser exacta se cumple
𝑼 𝒙 𝒑 𝒙 =
𝒅𝑼(𝒙)
𝒅𝒙
,
integrando se tiene ‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = ‫׬‬
𝒅𝑼(𝒙)
𝑼(𝒙)
⇒ 𝒍𝒏𝑼(𝒙) = ‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 ⇒ 𝑼 𝒙 = 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
en la ecuación diferencial (4) se Tiene
𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒑 𝒙 𝒚 − 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒚 = 𝟎 ⇒ 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒑 𝒙 𝒚𝒅𝒙 + 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒚 = 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝑸(𝒙)𝒅𝒙 ⇒
𝒅(𝒚𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
) = 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝑸(𝒙)𝒅𝒙
integrando se tiene
𝒚𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
= ‫׬‬ 𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 ⇒ 𝒚 = 𝒆− ‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
( ‫׬‬𝒆‫׬‬ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 ),
es la solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea (2).

33. EJEMPLO:
Resolver la ecuación diferencial 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟐𝒚 = 𝒙𝟐
Solución:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
−
𝟐
𝒙
𝒚 = 𝒙, donde 𝒑 𝒙 = −
𝟐
𝒙
y 𝑸 𝒙 = 𝒙, luego la solución general es:
𝒚 = 𝒆− ‫׬‬ −
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
(‫׬‬ 𝒆‫׬‬ −
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄) ⇒ 𝒚 = 𝒙𝟐(𝒍𝒏𝒙 + 𝒄), solución de la ecuación diferencial propuesta.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI.
Son de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚𝒏, 𝒏 ≠ 𝟏 … … (𝟏) , es una ecuación diferencial de Bernoulli.
La ecuación (1) no es una ecuación diferencial lineal, entonces la ecuación (1) se transforma en una ecuación
diferencial línea.
Se multiplica por 𝒚−𝒏
𝒚−𝒏 𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑 𝒙 𝒚𝟏−𝒏 = 𝑸 𝒙 ⇒ (𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏 𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒑 𝒙 (𝟏 − 𝒏)𝒚𝟏−𝒏 = (𝟏 − 𝒏)𝑸 𝒙 , sea 𝒁 = 𝒚𝟏−𝒏 ⇒
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
(𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏 𝒅𝒚
𝒅𝒙
⇒
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝟏 − 𝒏 𝒑 𝒙 𝒛 = 𝟏 − 𝒏 𝑸(𝒙),
es una ecuación diferencial lineal en 𝒁 de primer orden.

34. EJEMPLO:
Resolver la ecuación diferencial
𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚𝟑
Solución: 𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚𝟑 (−𝟐) 𝒚−𝟑 ⇒ −𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚
𝒅𝒙
−
𝟐
𝒙
𝒚 = −𝟏 … (2), sea 𝒁 = 𝒚−𝟐 ⇒
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
− 𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚
𝒅𝒙
, en (2) se tiene
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+
𝟐
𝒙
𝒛 = −𝟏 es una ecuación diferencial en 𝒁. Y la solución general es:
𝒁 = 𝒆− ‫׬‬
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
( ‫׬‬ 𝒆‫׬‬ −
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
(−𝟏)𝒅𝒙 + 𝒄 ) ⇒ 𝒚−𝟐 = 𝒙 + 𝒄 𝒙𝟐.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIROUTS.
a). Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son de la forma:
𝒚 = 𝒙 𝒇 𝒚, + 𝒈( 𝒚, ) …(1), para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se transforme en otra
ecuación diferencial lineal en x, haciendo
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒑 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒑𝒅𝒙, luego reemplazando en la ecuación (1), se obtiene una ecuación diferencial
lineal.
b). Las ecuaciones de Clairouts son de la siguiente forma:
𝒚 = 𝒙 𝒚, + 𝒈( 𝒚, ), se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ecuación diferencial
de Lagrange.
EJEMPLO: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1). 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚, + 𝒚, 𝒍𝒏𝒚, 2). 𝒚 = 𝒙𝒚, + (𝒚, )𝟐