1. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
CHƢƠNG III. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
I. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP
* Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) đúng, n  p, (p * cho
trước) bằng pp quy nạp ta làm như sau:
+ Bước 1: Kiểm tra xem A(n) đúng với n  p.
+ Bước 2: Giả sử A(n) đúng với n  k, ( k  p , k   ). Chứng minh A(n) đúng
với n  k + 1.
Kết luận A(n) đúng n  p, p * .
* Áp dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng n * : u n  n3 11n chia hết cho 6. (1)
Giải.
+ Với n  1 ta có u1  1 + 11  12  6 hay (1) đúng.
+ Giả sử (1) đúng với n=k, k  1 , k  * tức là u k = ( k3 11k )  6.
Ta cần CM (1) đúng với n=k+1, nghĩa là chứng minh u k  1  6
Ta có : u k 1  (k  1)3  11(k  1)  k 3  3k 2  3k  1  11k  11
 (k 3  11k)  3k(k  1)  12  u k  3k(k  1)  12
Vì u k  6; 3k(k 1)  6; 12  6 nên uk+1  6.
Vậy n * , u n  n3 11n chia hết cho 6.
Ví dụ 2. Chứng minh : 2n > 2n + 1 ( n * , n ≥ 3) ,(2)
Giải.
3
+ Với n = 3, ta có 2 > 7 (đúng).
+ Giả sử (2) đúng khi n  k  3 , ( k ), nghĩa là 2k > 2k + 1.
Ta chứng minh (2) đúng khi n  k +1, nghĩa là:
2k 1 > 2(k+1) + 1 . Thật vậy  2k 1 = 2. 2k > 2k + 2k
2k  2k  1

Mà  nên (2) đúng với n  k + 1.

 2k  2
Vậy 2n > 2n + 1 , ( n * , n ≥ 3).
Bài tập.
Bài 1. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:
a. 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n ‒ 1)  n2. b. 2 + 4 + 6 + 8 +...+ (2n)  n(n+1)
n(n  1)(n  2)(n  3)
c. 1.2.3  2.3.4    n(n  1)(n  2) 
4
n(n  1)(n  2)
d. 1.2 + 2.3 +…+ n.(n+1) 
3
1 1 1 1 n 1 1 1 1 n
e.    ...   f.    
1.2 2.3 3.4 n.(n  1) n  1 1.3 3.5 5.7 (2n 1).(2n 1) 2n 1
n(n  1)(2n  1) n 2 (n  1)2
g. 1  2  3  ...  n 
2 2 2 2
h. 1  2  3    n 
3 3 3 3
6 4
3(3  1)
n
i. 21  22  23  ...  2n  2(2n 1) . k. 31  32  33    3n 
2
3 2
l. (n +3n +5n) chia hết cho 3. m. 4  15n  1 chia hết cho 9.
n
Bài 2. Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng.
a. Chứng minh số vectơ khác vectơ không tạo thành từ n điểm đó bằng n(n ‒ 1).
Trang 1

2. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
n(n 1)
b. Số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm đó là .
2
Bài 3. Chứng minh n * :
n n n 
a. 5 ≥ 3 + 2 . c. 2  2    2  2cos (n dấu căn)
2n1
n n‒1 n
b. n ≥ (n + 1) . d. n  1  1  .
2
II. PHƢƠNG PHÁP XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
+ Cách 1
 ( un ) tăng  un < un1  un ‒ un1 < 0, n * .
 ( un ) giảm  un > un1  un ‒ un1 > 0 , n * .
+ Cách 2: Áp dụng với un > 0, n *
u
 ( un ) tăng  un < un1  n 1 > 1,
un
u
 ( un ) giảm  un < un1  n 1 < 1
un
III. DÃY SỐ BỊ CHẶN
 Dãy ( un ) bị chặn trên  M  : un ≤ M, n * .
 Dãy ( un ) bị chặn dưới  m  : un ≥ m, n * .
(u ) bò chaën treân
 Dãy ( un ) bị chặn   n   M,m  : m ≤ un ≤ M,
(un ) bò chaën döôùi

n * .
Rút ra : ( un ) tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì bị chặn.
n 1
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số ( un ) với u n  là dãy giảm.
n
Giải.
(n  1)  1 n  2
Ta có : u n 1   .
n 1 n 1
n  2 n 1 1
u n 1  u n     0, n  * .
n 1 n n(n 1)
 ( un ) là dãy số giảm.
n 1
Ví dụ 2. Chứng minh dãy số ( un ) với u n  là dãy bị chặn.
n
Giải.
n 1 1
Ta có : u n   1   1 , n  *  ( un ) bị chặn trên.
n n
n 1
un   0, n  *  ( un ) bị chặn dưới.
n
Vậy ( un ) là dãy bị chặn.
Bài tập
Bài 1. Xét tính tăng, giảm của các dãy ( un ) với
3n 1 n
a. u n  b. u n  n  n 2 1 c. u n  (1)n
5n  2 n 1
3n 3n  2n  1
2
d. u n  n e. u n  f. u n  (1)n .(2n 1)
2 n 1
Trang 2

3. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Bài 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
cos (n2 ) n  (1)n 2n  3
a/ u n  3n  2 , b/ u n  (1)n . , c/ u n  , d/ u n 
 2
2n  1 3n  2

Bài 3. Cho dãy (un) với u n  sin  (4n 1)  .

 6
a. Chứng minh rằng un  un+3 , n  1
b. Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của các dãy (un) được cho như sau
u1  2
u1  5
a/  , n 1 , b/ 
 1 , n 1
un1  3un  un 1  2 
 un
n 1
ĐS: a/ un  5.3n1 b/ un 
n
IV. CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
 (un) CSC  un+1  un + d , ( n * ) (u1 : số hạng đầu tiên, d : công sai).
 Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, ta có : un = u1+ (n ‒ 1).d
u u
 u k  k 1 k 1 (k ≥ 2)
2
 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
n
+ Tính theo u1, d: Sn  u1  u 2  .....  u n  [2u1  (n 1)d]
2
n
+ Tính theo u1, un : Sn  u1  u 2  .....  u n  [u1  u n ]
2
Vài ví dụ áp dụng:
u  u  u  10
Ví dụ 1. Xác định số hạng đầu và công sai của CSC thỏa  2 5 3 
u 4  u 6  26

Giải.
u  u  u  10 u  d  u1  4d  u1  2d  10

Ta có :  2 5 3
   1
u 4  u 6  26
 u1  3d  u1  5d  26

u  3d  10
 u  1

 1   1 .

 2u1  8d  26 d  3

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng u1  1 và công sai d = 3.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng : 35, 40,…, 2000. Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số
hạng? Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.
Giải.
Đặt un = 2000. Ta có: un=u1 +(n ‒ 1)d =2000  35+(n ‒ 1).5 = 2000  n  394.
Cấp số cộng có 394 số hạng.
n 394
Tổng các số hạng : Sn  (u1  u n )  (35  2000)  400895 .
2 2
Ví dụ 3. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số
hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số cộng đó.
Giải.
Trang 3

4. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
11
S  S  176  (u1  u11 )  176 u11  u1  32
 u1  1

Ta có :  n 11
  2     .
u n  u1  30
 u  u  31 u11  u1  31
 u11  31

 11 1
u11  u1  30  u1 10d  u1  3  d  3 .
Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1  1 và công sai d  3 .
V. CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ :
* (u n ) CSN  u n 1  u n .q , n  * , q là công bội
* Số hạng tổng quát của một cấp số nhân : u n  u1.qn 1 (q  0).
* u 2  u k 1.u k 1 (k ≥ 2).
k
q n 1
* Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Sn  u1  u 2  .....  u n  u1 , (q  1).
q 1
Vài VD áp dụng
1
Ví dụ 1. Tìm số hạng thứ 9 của cấp số nhân có u1 = 1 và q   .
2
Giải.
8
1 1
Ta có : u9  u1.q  1   
8
.
2 256
Ví dụ 2. Tìm x để dãy số ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân.
Giải.
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có :
( x 1)2  4x  x2  2x 1  0  ( x 1)2  0  x  1.
Vậy x  1 thì ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân.
2 32
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân có q   và u 6  . Tính tổng 6 số hạng đầu tiên S6.
3 81
Giải.
u6 32 243
Ta có : u 6  u1.q5  u1  5     3.
q 81 32
 64 
 q6 1   1 
133
Do đó : S6  u1  q 1 
 3  729   .
    5  81

 3  
Bài tập
Bài 1. Cho cấp số cộng ‒3, x, 7, y. Hãy tìm các giá trị x, y.
Bài 2. Cho cấp số cộng (un) có u 2  2 ; u50  74 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai
d của (un).
4 3
Bài 3. Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1   và công sai d  . Tìm số hạng u 7 .
5 4
Bài 4. Cho cấp số cộng (un) có u 4  15 và u10  39 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai d.
Bài 5. Cho cấp số cộng biết u3  u13  80 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên S15 của
CSC.
Bài 6. Xen kẽ giữa 3 và 19 còn có ba số và dãy số này lập thành CSC. Tìm ba số đó.
Trang 4

5. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Bài 7. Ba góc A, B, C của một tam giác lập thành 1 CSN vừa là CSC. Tìm số đo góc
A?
Bài 8. Số đo 3 góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc đó.
Bài 9. Một cấp số nhân gồm 6 số hạng. Xác định cấp số nhân biết tổng 3 số hạng đầu
là 168 và tổng 3 số hạng cuối là 21.
u  u  144
Bài 10. Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết :  5 3
 .
u 4  u 2  72

u  u  u  10
Bài 11. Xác định cấp số cộng (un), biết rằng :  2 5 3
 .
u1  u 6  7

Bài 12. Cho dãy (un) xác định bởi u1  1, u n 1  2u n  5 với mọi n > 0.
a. Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn  un + 5 là một cấp số nhân.
b. Xác định số hạng tổng quát của dãy (un). Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy
(un).
Bài 13. Cho dãy (un) xác định bởi u1  3, un+1  u n  6 , với mọi n > 0. Chứng
minh rằng dãy (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
u1  2004,u 2  2005
Bài 14. Cho dãy (un) xác định bởi :  2u n  u n 1 , với mọi n > 1.
u n 1 
 3
a. Lập dãy (vn) với vn = un+1 ‒ un . Chứng minh rằng dãy (vn) là cấp số nhân.
b. Lập công thức tính un theo n.
CHƢƠNG IV. GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Nhớ: ĐN và một số ĐL về dãy số có giới hạn 0, dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số
có giới hạn vô cực,…
Bài tập. Tính các giới hạn sau
 n3 sin 3n   n  2n5  7n2  3
a. lim 3  4
  b. lim  2  2  c. lim
 n 1    n 1  n2  3n5
2n3  7n2 sin 3n  3 5.3n  4n
d. lim e. lim n1 n1 f. lim ( 2n2  3  n2 1)
n2  3n4 3 4
1 1
g. lim h. lim 2 i. lim n ( n  2  n )
n 1  n n n2
2n  3 n2  2n 1 n2  3n  2
j. lim (2n 1) 4 2 k. lim l. lim
n n 2 n 1 n3  n2  n 1
n2  2003n  n 2n  3n
m. lim n. lim ( n2  n 1  n) o. lim n n
2004n 2 3
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Nhớ: ĐN và một số ĐL về giới hạn của hs tại một điểm, giới hạn tại vô cực, giới
hạn một bên, một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực, các dạng vô định.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
Trang 5

6. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
5x  4 x2  2 x - 3
a. li1 (2x 4  5x2  7 x - 3)
m b. lim c. li1
m
x x 4 x 1 x x2  1
x2  4 x  3 1  2 x 1 x3  3x 2  9 x  2
d. lim e. lim f. li2
m
x 3 9 - x2 x 0 3x x x3  x  6
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
x2  7 x  6 x  3x  2 x 1
a. lim
x 1 ( x 1)( x 2  5 x  6)
b. li1
m c. xlim1

x
x 7 2
3 3
6 x  3  3x
2
x3  3x 2  2 x x  x
2
x 1 1
d. xl2
im e. lim f. lim 3
x2  x  6 x 1 x 1 x 2 3  2x 1
3
1 x  1 x 3
x 2 8 x3  1
g. lim h. lim i. lim 2
x 0 x x 8 x 1  3 x1 6 x  5x  1
2
4x  2
3
5x  2  x  2
3
x2  2
j. lim k. lim l. lim
x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2  x  2  2
2 x 1 x  13x  30
2
m. xlim1 2
 x  2 x  5
n. lim
x 3
( x  3)( x2  5)
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
5x2  7 x  1
a. xlim
 2 x 2  3x  5
b. xlim ( x2 1  x)

c. xlim ( 4 x2  2 x  2 x)

4 x3  2 x 2  3 2 x 2  x 1  x 2 x2  x  2 x
d. xlim e. xlim f. xlim
 2 x3  3x  5  x4  x2  2 x  8
 x 3
x 2 
( x  2)3 (2 x  1)2  3x 2 x2  6 
g. xlim  2 
  2 x  1 2 x  1 
 h. xlim i. xl 
im   2 

 4 x  5 x  5x  4 
 (2 x  3)2 (2 x  4)3
 
j. xlim x( x2  2003  x)

k. xlim ( 3 x3  2 x2  x)

l. xlim ( x2  x 1  x2  x 1)

5  3x
m. lim ( 3 x3  x2  x2  2 x ) n. lim ( 5x2  2 x  x 5) o. lim .
x  x  x 
4 x 2  3x  1
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Nhớ. ĐN hàm số liên tục tại một điểm, hslt trên một khoảng (đoạn), ĐL về giá trị
trung gian của hslt và hệ quả.
Áp dụng.
 x2  5x
,neáu x  5
Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x)  10 x  50

a ,neáu x  5

Xác định a để hàm số liên tục trên  .
Giải.
x2  5x
+ Với x < ‒5 hoặc x > ‒5 thì f ( x)  xác định  f(x) liên tục trên các khoảng
10 x  50
( ; 5) và (5 ; ) .
+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x  ‒5.
x2  5x x( x  5) x 5 1
Ta có : xlim5 f ( x)  xlim5
  10 x  50
 xlim5
 10( x  5)
 xlim5
 10
  .
10 2
1
Mặt khác f(‒5) = a. Vậy f(x) liên tục tại x = ‒5 thì xlim5 f ( x)  f (5)  a   .
 2
Trang 6

7. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
1
+ Vậy a   thì hàm số đã cho liên tục trên  .
2
ax 2 , neáu x  2
Ví dụ 2. Cho f ( x)    . Tìm a để f(x) liên tục trên  .
3
 , neáu x > 2
Giải.
+ Với x < 2, f(x) = ax2 xác định  f(x) liên tục trên ( ; 2) .
+ Với x > 2, f(x) = 3 xác định  f(x) liên tục trên (2 ; ) .
+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x = 2.
lim f ( x)  lim ax2  4a . lim f ( x)  lim 3  3 . f(2) = 4a.
x 2 x 2 x 2 x 2
3
để f(x) liên tục tại điểm x = 2 thì lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  4a  3  a  .
x 2 
x 2 
4
3
Vậy với a  thì hàm số đã cho liên tục trên  .
4
Bài tập
3x  a 2  a ,khi x  1
Bài 1. Cho hàm số f ( x)   2 .

 x  3x  1 ,khi x  1
a. Tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
 
x 1 x 1
b. Xác định a để hàm số liên tục trên  .
 3 3x  2  2
 , khi x  2
Bài 2. Cho hs f ( x)   x  2
 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax  1
,khi x  2

 4
 9 x 3
, neáu x  0
Bài 3. Cho hs f ( x)   4 x
 . Xác định a để hàm số liên tục tại x  0.
 x  2a , neáu x  0

 4 x 2  3x  7
, neáu x  1
Bài 4. Cho hs f ( x)   4 x  4
 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax 2  2ax  2 , neáu x  1

 3x  x
 , neáu x  0
Bài 5. Cho hs f ( x)   2 x . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
a  2 , neáu x  0

 x 2  3x  2
, neáu x  1
Bài 6. Cho hs f ( x)   x  1
 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax 2  2ax  2 , neáu x  1

2 x  1 , neáu x  2


Bài 7. Cho hs f ( x)  5 , neáu x  2 . Hãy xét tính liên tục của hàm số.

3x 1 , neáu x  2

0 , neáu x  1


Bài 8. Cho hs f ( x)  ax  b , neáu 1  x  0 . Định a, b để hàm số liên tục trên  .

1

, neáu x  0
Trang 7

8. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
 ( x 1)3
 ,khi x  1
Bài 9. Cho hs f ( x)   x 1 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .

a ,khi x  1
1 , neáu x  3

Bài 10. Cho hs f ( x)  ax  b
 , neáu 3  x < 5 .

7

, neáu x  5
Định a, b để hàm số liên tục trên  . Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
 x 2  3x  4
,khi x  1
Bài 11. Cho hàm số f ( x)   x 1
 .
2a 2  3ax ,khi x  1

a. Tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
 
x 1 x 1
b. Tìm a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.
 2 3
ax  4 ,khi x  2

Bài 12. Xác định a để hs f(x) liên tục trên  , với f ( x)   3 .
 3x  2  2
 x2
,khi x  2

ax  5 ,khi x  4

Bài 13. Cho hs f ( x)   x  2 . Xác định a để hàm số liên tục tại x  4.
 ,khi x  4
 x 5 3
 x2  x  2
Bài 14. Cho hs f ( x)   x  1
,khi x < 1
 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax  2 ,khi x  1

 x32
 ,khi x  1
Bài 15. Cho hs f ( x)   x  1 . Định a để hàm số liên tục tại điểm x  1 .
a  4 ,khi x  1

 x2  x  6
 ,khi x  2
Bài 16. Cho hs f ( x)   x  2 . Định a để hàm số liên tục tại điểm x  2 .
2 x  a ,khi x  2

* ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì c  (a;b) sao cho
f(c) = 0 hay c là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ. Chứng minh phương trình 2x3 ‒ 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên đoạn [‒2 ; 2].
Giải.
Đặt f(x) = 2x3 ‒ 6x + 1. Hàm số f(x) xác định và liên tục trên  .
Ta có : f(‒2)  ‒3; f(‒1)  5; f(1)  ‒3; f(2)  5.
f (2).f (1)  0  Phöông trình f( x)  0 coùmoät nghieäm x1(2; 1).
f (1).f (1)  0  Phöông trình f( x)  0 coùmoät nghieäm x2 (1;1).
f (1).f (2)  0  Phöông trình f( x)  0 coùmoät nghieäm x3 (1;2).
Vậy phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x1, x2 , x3 [2;2] .
Bài tập
Bài 1. Chứng minh ptrình : 4x4  2x2  x  3  0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (‒1 ; 1).
Bài 2. Chứng minh rằng mọi phương trình bậc lẻ đều có ít nhất 1 nghiệm.
Trang 8

9. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Bài 3. Chứng minh phương trình : x  5x  4x 1  0 có đúng 5 nghiệm.
5 3
Bài 4. Chứng minh phương trình : sin x ‒ x + 1  0 luôn có nghiệm.
Bài 5. Chứng minh phương trình : m( x 1)2 ( x  2)  2x 1  0 có nghiệm với mọi m.
Bài 6. Chứng minh rằng phương trình : sin x  msin 2x  0 có nghiệm với mọi m.
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình : cos x  mcos2x  0 có nghiệm với mọi m.
CHƢƠNG V. ĐẠO HÀM
I. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a ; b) , điểm x0  (a;b) .
Để tính đạo hàm của hàm f tại điểm x0 theo ĐN ta thực hiện như sau:
+ Bước 1. Tính Δy  f ( x0  x)  f ( x0 ) , trong đó x = x - x0 là số gia của biến số tại x0
y
+ Bước 2. Tính A  x0lim , nếu A hữu hạn thì f '( x0 )  A
x
Hoặc
f ( x)  f ( x0 )
+ Bước 1. Tìm A  xx lim
0 x  x0
+ Bước 2. Nếu giới hạn trên hữu hạn thì f '( x0 )  A
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x3  2 x 1 tại x  1 .
Giải.
Ta có Δy  f ( x)  f (1)  x3  2x 1 4  x3  2x  3  ( x 1)( x2  x  3) .
y ( x 1)( x2  x  3)
  x2  x  3
x x 1
Do đó y '(1)  lim ( x2  x  3)  5
x 1
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x 1 tại điểm x  3 .
Giải.
Đặt Δx  x  3 , Δy  f (3  x)  f (3)  x  4  2
y x  4  2 x 1
Ta có   
x x x( x  4  2) x  4  2
1 1
Do đó y '(3)  x0
lim  .
x  4  2 4
Bài tập
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm tương ứng.
x 1
a. y  x3 1 tại x  1 b. y  tại x  0 c. y  x  3  x tại x  1
x 1
d. y  x  x tại x  4 e. y  x2  3x  2 tại x  2
II. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG QUY TẮC
Nhớ quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp (SGK).
Bài tập
Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng quy tắc
x3  1
a. y  3x2  2 x  5 tại x  1 b. y  2 tại x  1 c. y  (4x -7)( x2  5x 1)
x 2
x3  23
d. y  (1  4 x)12 e. y  (3x2  4x  5)15 f. y  2
x x4
Trang 9

10. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
1
g. y  7 x( x2  1)6 h. y  x3  x x   1 i. y  (sin3 x  1)4
x
 x
j. y  cos3 ( x4  1) k. y  tan (3x  5) l. y  cot  3x2  
 2
2x 1 x x
m. y  x3  2 x2 1 n. y  o. y  tan  cot
x 1
2 2 2
p. y = x tan x q. y  ( x  2)(2x  3)4 (3x  7)5 tại x  2 .
r. y  x2  1 tại x  1 s. y  ( x 1)( x  2)( x  3) t. y  sin x (1 cos x)

u. y  sin5 x cos x  cos5 x sin x tại x 
12
III. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Bài tập
Bài 1. Tính đạo hàm cấp hai các hàm số sau
1
a. y  ( x  3)(2 x2  x 1) b. y  3x2  1 c. y  cos4 x d. y 
x
Bài 2. Tính đạo hàm cấp 4 các hàm số
1 1
a. y  3x3  4 x2  5x  1 b. y  sin 2 2x c. y  d. y 
x x 1
Bài 3. Bằng phương pháp quy nạp, tính đạo hàm cấp n của các hàm số :
1
a. y  sin x b. y  cos x c. y  d. y  2sin x cos x
x( x  1)
5x2  3x  20
Bài 4. Cho hàm số y  2
x  2x  3
3 4
a. Chứng minh rằng y  5  
x 1 x  3
b. Tìm y với n  1, n  .
(n)
Bài 5. Chứng minh rằng
x 3
a. Với hàm số y  ta có 2(y ')2  ( y  1) y ''.
x4
b. Với hàm số y  2 x  x2 , ta có y3 y ''1  0 .
Bài 6. Cho hàm số y  x2 1 . Giải phương trình y '. y  2 x  3 .
2
Bài 7. Cho hàm số y  .
1  x2
a b
a. Tìm hai số a,b sao cho y   .
x 1 x  1
b. Tìm y ' .
III. PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Các dạng bài tập thường gặp
1. Phƣơng trình tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số
Cách giải. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm ( x0 ; y0 ) là :
y  y0  f '( x0 ).( x  x0 )
Ví dụ. Cho hàm số y  x3  x  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
tại điểm
M(‒1 ; ‒5).
Giải.
Trang 10

11. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Ta có : y '  3x 1, suy ra hệ số góc tiếp tuyến tại M(‒1 ; ‒5) là y '(1)  4 .
2
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M(‒1 ; ‒5) là : y  5  4( x 1) hay y  4 x 1 .
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc
Cách giải
+ Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, khi đó hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là
f '( x0 )  k .
+ Giải phương trình f '( x0 )  k , ta được x0 và y0 .
+ Phương trình tiếp tuyến là : y  y0  k( x  x0 ) .
1
Ví dụ. Cho hàm số y  f ( x)  x 2  2 x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
2
hàm số, biết :
a. Hoành độ tiếp điểm bằng ‒2.
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  2 x  3 .
Giải:
a. Tung độ tiếp điểm f (2)  7 .
Ta có : f '( x)  x  2 , do đó f '(2)  4 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (‒2 ; 7) là : y  7  4( x  2)  y  4x 1.
b. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng
y  2x  3
nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến f '( x0 )  x0  2  2  x0  4 và y0  f (4)  1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y 1  2( x  4) hay y  2x  7 .
3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trƣớc
Cho đường cong y  f ( x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến đi qua A ( xA ; yA ) cho trước.
Cách giải
*Gọi Δ là đường thẳng qua A và có hsg là k, suy ra pt Δ là y  k ( x  xA )  y A
 f ( x)  k ( x  xA )  y A (1)
* Δ tiếp xúc với (C) kvck hệ pt sau có nghiệm 
 f ' x   k (2)
Thay k từ (2) vào (1) giải tìm x rồi thay lại vào (2) để tìm k
Cách khác.
+ Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( x0 ; y0 ) : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) . (*)
+ Vì tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) nên yA  y0  f '( x0 )( xA  x0 ) . Giải phương trình này
ta tìm được x0, thay vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ. Cho hàm số y  x3  3x2  2 có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (0;3) .
Giải.
Gọi ( x0 ; y0 )  (C) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với y0  x03  3x02  2 .
Ta có y '  3x2  6 x , suy ra y '( x0 )  3x02  6x0 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( x0 ; y0 ) : y  y '( x0 ).( x  x0 )  y0 . (*)
Trang 11

12. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Vì tiếp tuyến qua A (0;3) nên
 x0  1
3  y '( x0 ).(0  y0 )  y0  2 x0  3x0  1  0  
3 2
x  1 .
 0 2

Với x0  1, thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y  3x  3 .
1 15
Với x0  , thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y  x  3 .
2 4
Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị sau đây tại các điểm tương ứng :
1
a. f ( x)  x2  x  3 tại x  2 . b. f ( x)  2 x3  x2  5x  2 tại x  2 .
3
x  2x  2
2
Bài 2. Cho hàm số y  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
x 1
mỗi giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài 3. Tìm b và c sao cho đồ thị hàm số y  x2  bx  c tiếp xúc với đường thẳng
y  x tại điểm (1 ; 1).
( x  1)2
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  , biết tiếp tuyến đi
x 1
qua điểm A (1;2) .
x 2  3x  3
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  :
1 x
a. Tại điểm có hoành độ x  3 .
b. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình x  3 y  21  0 .
Bài 6. Tìm hệ số góc tiếp tuyến với parabol y  x2  3x tại điểm (1 ; 4).
Bài 7. Cho đường cong (C) có phương trình y  x3 . Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại tiếp điểm có hoành độ bằng ‒1.
1
Bài 8. Cho hàm số y   x3  3x 2  5x  1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
3
của (C) có hệ số góc lớn nhất.
Bài 9. Cho hàm số y  x2  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm có hoành độ bằng ‒1.
 x 2  x ,khi x  1
Bài 10. Cho hàm số f ( x)    . Xác định a, b để hàm số có đạo hàm
ax  b ,khi x  1

tại x  1.
 x2
 ,khi x  1
Bài 11. Tìm a và b để hàm số f ( x)   2 có đạo hàm tại x  1 .

  x  bx  c ,khi x  1
Trang 12

13. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
Phần hình học
CHƢƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vectơ.
 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
 Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lý ba
đường vuông góc.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng.
 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc.
 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc.
II. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và SD.
a) Chứng minh (OMN)//(SBC).
b) Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ// (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và CD
a) CMR (OMN)//(SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SC, J là một điểm trên mp (ABCD) và cách đều AB và CD.
Chứng minh IJ //(SAB)
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi () là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua các trung điểm
I, K của các cạnh DA và DB. Các cạnh CA, CB lần lượt cắt () tại M, N.
a) Tứ giác MNKI có tính chất gì ? Khi nào tứ giác đó là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của MI và NK Chứng tỏ rằng điểm O luôn nằm trên một đường
thẳng cố định.
c) Gọi d là giao tuyến của mp() và (OAB). CMR Khi () thay đổi thì đường thẳng d
luôn nằm trên một mặt phẳng cố định và có phương không đổi.
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’.

 

Điểm K thuộc B’C’ sao cho KC'  2 KB' . Chứng minh rằng A, I, J, K đồng phẳng.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là
điểm bất kỳ trên cạnh AC, đặt AM  x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) qua M và
song song với AB, CD.
a. Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá
trị lớn nhất.
b. Chứng minh rằng chu vi của thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ
khi AB  CD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác
vuông tại A. M là một điểm tùy ý thuộc AD (M khác A và D), mặt phẳng (α) qua M
và song song với SA và CD.
a. Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a và b biết AB  a, SA  b, M là trung điểm của
AD.
Bài 7. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trên hai
mặt phẳng khác nhau.
Trang 13

14. THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010
a. Chứng minh rằng AD  BC.
b. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho

  
 
MA  k.MB , ND  k.NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA  SC, SB  SD. Gọi
O là giao điểm của AC và BD.
a. Chứng minh SO  (ABCD).
b. Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD); d’ là giao tuyến của (SBC) và (SAD).
Chứng minh rằng SO  (α), trong đó (α) là mặt phẳng chứa cả d và d’.
Bài 9. Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không đồng phẳng sao cho AC 
BF. Gọi CH và FK lần lượt là 2 đường cao của ΔBCE và ΔADF. Chứng minh rằng :
a. ACH và BFK là các tam giác vuông.
b. BF  AH và AC  BK.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB 
BC  a, AD  2a. Cạnh SA  2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là
điểm trên cạnh AB với AM  x (0 < x < a); (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc
với AB.
a. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (P). Thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a và x.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với
đáy (BCD). Vẽ các đường cao BE, DF của ΔBCD, đường cao DK của ΔACD.
a. Chứng minh AB  (BCD).
b. Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ACD).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh SA  (ABCD)
và SA = a 3 . Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a. Xác định (α).
b. Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
c. Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 13. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA  OB 
OC  a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của các cặp đường thẳng
a. OA và BC.
b. AI và OC.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh AB  a.
Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy và SO  a. Tính khoảng cách từ AB
đến (SCD).
Bài 15. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo
thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 600. Hình chiếu H của A lên mặt phẳng (A’B’C’)
trùng với trung điểm cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABC) và
(A’B’C’).
------------------------------------hết--------------------------------------------
Trang 14