chuyen de khoi da dien le-van-vinh

4,221 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,221
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
130
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

chuyen de khoi da dien le-van-vinh

  1. 1. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNI. Ôn tập kiến thức cơ bản: ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2 A b) BA2  BH .BC; CA2  CH .CB c) AB. AC = BC. AH c b 1 1 1 d) 2  2  AH AB AC 2 H M C e) BC = 2AM B a b c b c f) sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b b b g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =  , sin B cos C b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * Định lý hàm số Sin:    2R sin A sin B sin C 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 a.b.c a bc S  a.ha = a.b sin C   p.r  p.( p  a )( p  b )( p  c ) với p  2 2 4R 2 2 1 a 3 Đặc biệt :* ABC vuông ở A : S  AB. AC ,* ABC đều cạnh a: S  2 4 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 1 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) 2 1 d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S   .R 2 ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11A.QUAN HỆ SONG SONG Trang 1
  2. 2. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONGI. Định nghĩa:Đường thẳng và mặt aphẳng gọi là song song a/ /(P) a(P) với nhau nếu chúng (P)không có điểm nàochung.II.Các định lý:ĐL1:Nếu đường thẳng d dkhông nằm trên mp(P) vàsong song với đường d  (P)  athẳng a nằm trên mp(P) d / /a  d / /(P) (P)thì đường thẳng d song a  (P)song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a (Q) a/ /(P) asong song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt a  (Q)  d / /a dmp(P) thì cắt theo giao (P)  (Q)  dtuyến song song với a.  (P)ĐL3: Nếu hai mặt phẳngcắt nhau cùng song song (P)  (Q)  d dvới một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (P)/ /a  d / /a asong song với đường (Q)/ /a Q  Pthẳng đó. §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONGI. Định nghĩa:Hai mặt phẳng được gọilà song song với nhau nếu (P)/ /(Q) (P) (Q)  Pchúng không có điểm nào Qchung.II.Các định lý:ĐL1: Nếu mp(P) chứa a,b  (P)hai đường thẳng a, b cắt  anhau và cùng song song a  b  I  (P)/ /(Q) P b Ivới mặt phẳng (Q) thì a/ /(Q),b/ /(Q)  Q(P) và (Q) song song vớinhau.ĐL2: Nếu một đường athẳng nằm một trong hai (P) / /(Q) Pmặt phẳng song song thì   a / /(Q)  a  (P)song song với mặt phẳng Q Trang 2
  3. 3. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103kia.ĐL3: Nếu hai mặt phẳng R(P) và (Q) song song thìmọi mặt phẳng (R) đã (P) / /(Q) a  Pcắt (P) thì phải cắt (Q) (R)  (P)  a  a / / bvà các giao tuyến của (R)  (Q)  b Q bchúng song song. B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGI.Định nghĩa:Một đường thẳng được agọi là vuông góc với một a  mp(P)  a  c,c  (P)mặt phẳng nếu nó vuônggóc với mọi đường thẳng P cnằm trên mặt phẳng đó.II. Các định lý:ĐL1: Nếu đường thẳng d dvuông góc với hai đường d  a ,d  bthẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì a ,b  mp(P) d  mp(P)đường thẳng d vuông góc a,b caét nhau b  P avới mp(P).ĐL2: (Ba đường vuônggóc) Cho đường thẳng akhông vuông góc với amp(P) và đường thẳng b a  mp(P),b  mp(P)nằm trong (P). Khi đó,điều kiện cần và đủ để b b  a b  avuông góc với a là b a bvuông góc với hình chiếu Pa’ của a trên (P). §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓCI.Định nghĩa:Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.II. Các định lý: Trang 3
  4. 4. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103ĐL1:Nếu một mặt Qphẳng chứa một đường athẳng vuông góc với a  mp(P)một mặt phẳng khác thì   mp(Q)  mp(P) a  mp(Q)hai mặt phẳng đó vuông  Pgóc với nhau.ĐL2:Nếu hai mặt phẳng P(P) và (Q) vuông góc (P)  (Q)với nhau thì bất cứ a đường thẳng a nào nằm (P) (Q)  d a  (Q)  a  (P),a  dtrong (P), vuông góc vớigiao tuyến của (P) và d Q(Q) đều vuông góc vớimặt phẳng (Q).ĐL3: Nếu hai mặt Pphẳng (P) và (Q) vuông (P)  (Q)góc với nhau và A là a một điểm trong (P) thì  A  (P) A   a  (P)đường thẳng a đi qua  Aađiểm A và vuông góc  Qvới (Q) sẽ nằm trong (P) a  (Q)ĐL4: Nếu hai mặt Qphẳng cắt nhau và cùng (P)  (Q)  a P avuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao (P)  (R)  a  (R)tuyến của chúng vuông (Q)  (R) Rgóc với mặt phẳng thứ ba. §3.KHOẢNG CÁCH1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường Othẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường Othẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) làkhoảng cách giữa hai điểm M và H,trong đó H là hình chiếu của điểm M H H a Ptrên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Trang 4
  5. 5. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 09876901032. Khoảng cách giữa đường thẳng vàmặt phẳng song song: a OKhoảng cách giữa đường thẳng a vàmp(P) song song với a là khoảng cách Htừ một điểm nào đó của a đến mp(P). P d(a;(P)) = OH3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng Osong song: Plà khoảng cách từ một điểm bất kỳ trênmặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Q H d((P);(Q)) = OH4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng a Achéo nhau:là độ dài đoạn vuông góc chung của haiđường thẳng đó. b d(a;b) = AB B §4.GÓC1. Góc giữa hai đường thẳng a và b a alà góc giữa hai đường thẳng a’ và b’cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng b bphương với a và b.2. Góc giữa đường thẳng a không avuông góc với mặt phẳng (P)là góc giữa a và hình chiếu a’ của nótrên mp(P).Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt aphẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường Pthẳng a và mp(P) là 900.3. Góc giữa hai mặt phẳnglà góc giữa hai đường thẳng lần lượtvuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm a b a btrong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với P Qgiao tuyến tại 1 điểm P Q Trang 5
  6. 6. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 09876901034. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện Stích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ làdiện tích hình chiếu (H’) của (H) trênmp(P’) thì S  Scos  A C trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng(P),(P’). B ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNI/ Các công thức thể tích của khối đa diện:1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h h  B : d ie än tíc h ñ a ùyvới   h : c h ie àu c a o Ba) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước a c b) Thể tích khối lập phương: a b V = a3 a a với a là độ dài cạnh2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 1 V= Bh h 3  B : dieän tích ñaùyvới  B  h : chieàu cao3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: SCho khối tứ diện SABC và A’, CB’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt Athuộc SA, SB, SC ta có: A B VSA BC SA SB SC C  VSA B C SA SB SC B Trang 6
  7. 7. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 09876901034. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: A B h V 3 B  B BB  A C B B, B : dieän tích hai ñaùyvới  h : chieàu cao CChú ý:1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a 2  b2  c 2 , a 32/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 23/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.II/ Bài tập: Nội dung chính LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáyVí dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuôngcân tại A có cạnh BC = a 2 và biết AB = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC ABC là lăng trụ đứng  AA  AB AA B  AA 2  A B2  AB2  8a2  AA  2a 2 a 2 Vậy V = B.h = SABC .AA = a3 2Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D có cạnh bên bằng 4a vàđường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. ? Trang 7
  8. 8. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 C Lời giải: D ABCD ABCD là lăng trụ đứng nên A BD2 = BD2 - DD2 = 9a2  BD  3a B 3a 4a ABCD là hình vuông  AB  5a 2 2 D C 9a Suy ra B = SABCD = 4 A B Vậy V = B.h = SABCD.AA = 9a3Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. C Lời giải: A Gọi I là trung điểm BC .Ta có ABC đều nên B AB 3 AI   2 3 & AI  BC 2  A I  BC(dl3 ) 1 2S SABC  BC.AI  AI  ABC  4 2 BC A C AA  (ABC)  AA  AI . A AI  AA  A I 2  AI 2  2 I B Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA= 8 3Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góctấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhậtkhông có nắp. Tính thể tích cái hộp này. D C Giải D C Theo đề bài, ta có C C AA = BB = CC = DD = 12 cm D D A nên ABCD là hình vuông có B D C AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm A A B B Vậy thể tích hộp là B V = SABCD.h = 4800cm3 A A BVí dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Trang 8
  9. 9. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Tính thể tích hình hộp . Lời giải: C Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a D a2 3 và SABCD = 2SABD = 2 B A a 3 Theo đề bài BD = AC = 2 a 3 D C 2 DDB  DD  BD2  BD2  a 2 a3 6A 60 B Vậy V = SABCD.DD = 2 Bài tập tương tự:Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh củalăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. a3 3 ĐS: V  ; S = 3a2 4Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a biếtrằng BD  a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cmvà 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổngdiện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuôngcân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AABB có đường chéolà 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổngdiện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao củakhối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2888Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thểtích khối lập phương Đs: V = 8 m3Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độdài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m3Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượtlà 5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6 Trang 9
  10. 10. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 09876901032)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết AB hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. A C Lời giải: Ta có A A  (ABC)  AA  AB& AB là hình chiếu của AB trên đáy ABC . B Vậy góc[A B,(ABC)]  ABA  60o ABA  AA  AB.tan 600  a 3 1 a2 SABC = BA.BC  A C 2 2 60o a3 3 Vậy V = SABC.AA = 2 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB = 60 o biết BC hợp với (AACC) một góc 300. Tính AC và thể tích lăng trụ. A C Lời giải: ABC  AB  AC.tan60o  a 3 . Ta có: AB  AC;AB  AA  AB  (AACC) nên AC là hình chiếu của BC trên (AACC). B Vậy góc[BC;(AA"C"C)] = BCA = 30o 30o AB ACB  AC   3a t an30o V =B.h = SABC.AA A a C AAC  AA  AC2  AC2  2a 2 o 60 a2 3 ABC là nửa tam giác đều nên SABC  B 2 3 Vậy V = a 6 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Trang 10
  11. 11. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 C B Giải: D A Ta có ABCD ABCD là lăng trụ đứng nên ta có: DD  (ABCD)  DD  BD và BD là hình chiếu của BD trên ABCD . o Vậy góc [BD;(ABCD)] = DBD  300 C 30 B a 6 D A BDD  DD  BD.tan 300  3 3 a a 6 4a 2 6 Vậy V = SABCD.DD = S = 4SADDA = 3 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o biết AB hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp. B C Giải a2 3 ABD đều cạnh a  SABD  A D 4 a2 3 C  SABCD  2SABD  o B 2 30 ABB vuông tạiB  BB  ABt an30o  a 3 A 60 o D 3a3 a Vậy V  B.h  SABCD .BB  2 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC vuông cân tại B biết AC = a và AC hợp với mặt bên (AABB) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ a3 2 ĐS: V  16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC vuông tại B biết BB = AB = a và BC hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ. a3 3 ĐS: V  2 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB hợp với mặt bên (BCCB) một góc 30o . 3 Tính độ dài AB và thể tích lăng trụ . ĐS: AB  a 3 ; V  a 3 2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và ACB  60o biết BC hợp với mặt bên (AACC) một góc 30o . 3a 2 3 Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC. ĐS: V  a 3 6 , S = 2 Trang 11
  12. 12. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC ABC có khoảng cách từ A đến mặtphẳng (ABC) bằng a và AA hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 300 . 32a 3 Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  9Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có đường chéo AC = a và biếtrằng AC hợp với (ABCD) một góc 30 o và hợp với (ABBA) một góc 45o . a3 2 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: V  8Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình vuông . GọiO là tâm của ABCD và OA = a .Tính thể tích của khối hộp khi: 1) ABCD ABCD là khối lập phương . 2) OA hợp với đáy ABCD một góc 60o . 3) AB hợp với (AACC) một góc 30o. 2a 3 6 a3 3 4a 3 3 Đs:1) V  ;2) V  ;3) V  9 4 9Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình vuông vàBD = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) BD hợp với đáy ABCD một góc 60 o . a3 3 a3 2 2) BD hợp với mặt bên (AADD) một góc 30o . Đs: 1)V = 2)V = 16 8Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phátxuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổngdiện tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = a ; AD = b ; AA = cvà BD = AC = CA = a 2  b2  c2 1) Chúng minh ABCD ABCD là hộp chữ nhật. 2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo. Chứng minh rằng sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  1 . 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (ABC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Trang 12
  13. 13. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 A C Lời giải: Ta có A A  (ABC) & BC  AB  BC  A B B Vậy góc[(A BC),(ABC)]  ABA  60o ABA  AA  AB.tan 600  a 3 1 a2 A SABC = BA.BC  o C 2 2 60 a3 3 Vậy V = SABC.AA = B 2Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: ABC đều  AI  BC mà AA  (ABC) A C nên AI  BC (đl 3  ). Vậy góc[(ABC);)ABC)] = A IA = 30o B 2x 3 Giả sử BI = x  AI   x 3 .Ta có 2 2 AI 2 x 3 A AI : A I  AI : cos 30 0    2x 3 3 3 A’A = AI.tan 300 = x 3. x A 30o C 3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3 I x Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2 B Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD ABCD có cạnh đáy a và mặt phẳng(BDC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. C D Gọi O là tâm của ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên OC  BD A CC  (ABCD) nên OC  BD (đl 3  ). Vậy B góc[(BDC);(ABCD)] = COC = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 D a 6 C 60 0 OCC vuông nên CC = OC.tan60o = O 2 3 A a 6 B a Vậy V = 2 Trang 13
  14. 14. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AA = 2a ; mặt phẳng(ABC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và AC hợp với đáy (ABCD) mộtgóc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Ta có AA  (ABCD)  AC là hình chiếu A D của AC trên (ABCD) . C Vậy góc[AC,(ABCD)] = A CA  30o B BC  AB  BC  AB (đl 3  ) . 2a Vậy góc[(ABC),(ABCD)] = A BA  60o AAC  AC = AA.cot30o = 2a 3 A D 2a 3 60 o o AAB  AB = AA.cot60o = 30 C 3 B 4a 6 ABC  BC  AC2  AB2  3 3 16a 2 Vậy V = AB.BC.AA = 3Bài tập tương tự:Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD ABCD có AA = a biết đường chéo AC hợpvới đáy ABCD một góc 30o và mặt (ABC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . 2a 3 2Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs: V  3Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình vuông vàcạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABCD) hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tíchkhối lăng trụ. Đs: V = 3a3Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Bvà AC = 2a biết rằng (ABC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăngtrụ. Đs: V  a 3 2Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC là tam giác cân tại A vớiAB = AC = a và BAC  120o biết rằng (ABC) hợp với đáy ABC một góc 45o. a3 3Tính thể tích lăng trụ. Đs: V  8Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B vàBB = AB = h biết rằng (BAC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích h3 2lăng trụ. Đs: V  4Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC đều biết cạnh bên AA = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (ABC) hợp với đáy ABC một góc 60o . 2) AB hợp với đáy ABC một góc 45o. 3) Chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. a3 3 Đs: 1) V  a 3 3 ; 2) V = ; V = a3 3 4 Trang 14
  15. 15. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD ABCD có cạnh bên AA = 2a .Tínhthể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD) hợp với đáy ABCD một góc 45o . 2) BD hợp với đáy ABCD một góc 600 . 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD) bằng a . 16a 3 Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V = 3Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC) hợp với đáy ABCD một góc 60o . 2)Tam giác BDC là tam giác đều. 3)AC hợp với đáy ABCD một góc 450 a3 6 Đs: 1) V  ; 2) V = a 3 ; V = a 3 2 2Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a vàgóc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC) hợp với đáy ABCD một góc 60o . a 2)Khoảng cách từ C đến (BDC) bằng 2 3)AC hợp với đáy ABCD một góc 450 3a 3 3 3a 3 2 3a 3 Đs: 1) V  ; 2) V = ;V= 4 8 2Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có BD = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD hợp với AADD một góc 30o 3) (ABD) hợp với đáy ABCD một góc 300 Đs: 1) V  8a 3 2 ; 2) V = 5a 3 11 ; V = 16a 3 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ. Trang 15
  16. 16. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Lời giải: A C Ta có CH  (ABC)  CH là hình chiếu B của CC trên (ABC) Vậy góc[CC,(ABC)]  C CH  60o 3a C o CHC  CH  CC.sin 600  A 60 2 2 H a 3 3a 3 3 a B SABC =  .Vậy V = SABC.CH = 4 8 Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA hợp với đáy ABC một góc 60 . 1) Chứng minh rằng BBCC là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ . Lời giải: A C 1) Ta có A O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA trên (ABC) Vậy góc[AA ,(ABC)]  OAA  60o Ta có BBCC là hình bình hành ( vì mặt B bên của lăng trụ) AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A H (đl 3  )  BC  (AA H)  BC  AA mà AA//BB A 60 o nên BC  BB .Vậy BBCC là hình chữ nhật. C 2 2a 3 a 3 O 2) ABC đều nên AO  AH   3 3 2 3 a H AOA  A O  AO t an60o  a B a3 3 Vậy V = SABC.AO = 4 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật vớiAB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáynhững góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Trang 16
  17. 17. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 D Lời giải: C Kẻ A’H  (ABCD ) ,HM  AB , HN  AD  A M  AB , A N  AD (đl 3  ) A  A MH  45o ,A NH  60o Đặt A’H = x . Khi đó B 2x A’N = x : sin 60 0 = 3 D 3  4x 2 C AN = AA 2  A N 2   HM N 3 H Mà HM = x.cot 450 = x A M 3  4x 2 3 B Nghĩa là x = x 3 7 Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x 3 = 3. 7. 3 7 Bài tập tương tự:Bài 1: Cho lăng trụ ABC ABCcó các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bênbằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = a 3 2Bài 2: Cho lăng trụ ABCD ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biếtcạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30 o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336Bài 3: Cho hình hộp ABCD ABCDcó AB =a;AD =b;AA = c và BAD  30o vàbiết cạnh bên AA hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ. Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và 2a 3 a3 3điểm A cách đều A,B,C biết AA = .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V  3 4 Bài 5: Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb BBCC hợp vớio đáy ABC một góc 60o . 1) Chứng minh rằng BBCC là hình chữ nhật. 3a 3 3 2) Tính thể tích lăng trụ ABC ABC. Đs: V  8 Bài 6: Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C có hình chiếu trên ABC trùng với O . 1) Chứng minh rằng AABB là hình chữ nhật. Tính diện tích AABB. a2 3 3a 3 3 2) Tính thể tích lăng trụ ABCABC. Đs: 1) S  2) V  2 8 Bài 7: Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chânđường vuông góc hạ từ A trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA = a. 1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. a3 3 2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2) V  8 Trang 17
  18. 18. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC là a và 2 mặt bên AACCvà BBCC hợp với nhau một góc 90o 27a 3 Đs: V  4 2 Bài 9: Cho hình hộp ABCD ABCD có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o . 1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. 2) Tính diện tích các mặt chéo ACCA và BDDB. a3 2 3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2) SACCA  a 2 2;SBDDB  a 2 . 3) V  2Bài 10: Cho hình hộp ABCD ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và gócA = 60o chân đường vuông góc hạ từ B xuông ABCD trùng với giao điểm 2đường chéo đáy biết BB = a. 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. 3a 3 Đs: 1) 60o 2) V  &S  a 2 15 4 LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp . A Lời giải: Ta có a_ (ABC)  (SBC)    AC  (SBC) C B  (ASC)  (SBC)  / / 1 1 a2 3 a3 3 Do đó V  SSBC .AC  a S 3 3 4 12Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B vớiAC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp . Trang 18
  19. 19. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Lời giải: S 1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC). C Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB  60o . A a a ABC vuông cân nên BA = BC = 60o 2 2 1 a SABC = BA.BC  B 2 4 a 6 SAB  SA  AB.t an60o  2 1 1 a a 6 a3 6 2 Vậy V  SABC .SA   3 34 2 24Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SAvuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.Tính thể tích hình chóp . S Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) . Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA  60o . 1 1 Ta có V = B.h  SABC .SA A C 3 3 60 o 3a SAM  SA  AM tan60o  a M 2 1 1 a3 3 B Vậy V = B.h  SABC .SA  3 3 8Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SAvuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. 1) Tính thể tích hình chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) và CD  AD  CD  SD ( đl 3  ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o . SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3 1 1 a3 3 Vậy V  SABCD .SA  a2a 3  3 3 3 Trang 19
  20. 20. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) S nên CD  AH  AH  (SCD) H Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD). 1 1 1 1 1 4 SAD  2  2  2  2 2 2 AH SA AD 3a a 3a o A 60 D a 3 Vậy AH = 2 B a CBài tập tương tự:Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. a3 2 Tính thể tích hình chóp . Đs: V = 6Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biếtrằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể h3 3tích khối chóp SABC . Đs: V  3Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáyABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) mộtgóc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp. a3 3 Đs: V  27Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,BC = 5 cm. 1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3 12 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d = 34 Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc BAC  120o , biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . a3 Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: V  9 Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA  (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp. a3 3 Đs: V  48 Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA  (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3 Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A Trang 20
  21. 21. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 bằng 60o và SA  (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. a3 2 Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: V  4 Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o a3 6 Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs: V  2 Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD 3R 3 một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: V  4 2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáyVí dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. Lời giải: S 1) Gọi H là trung điểm của AB. SAB đều  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H là chân đường cao của khối chóp. D A a 3 2) Ta có tam giác SAB đều nên SA = 2 3 B H 1 a 3 a suy ra V  SABCD .SH  C 3 6 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD. Trang 21
  22. 22. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 A Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) . a Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a 3 a 3 B & HD = AD.cot60o = o 3 H 60 D 2a 3 BCD  BC = 2HD = suy ra C 3 1 1 1 a3 3 V = SBCD .AH  . BC.HD.AH  3 3 2 9 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặtđáy một góc 450. a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC. b) Tính thể tích khối chóp SABC. S Lời giải: a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o H Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là A 45 C đường phân giác của ABC ừ đó suy ra H là trung I điểm của AC. J a 1 a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC .SH  B 2 3 12 Bài tập tương tự:Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). 1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC. a3 3 2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: V  24Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biếttam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng a3(SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: V  12 Trang 22
  23. 23. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC  90o ;ABC  30o ; SBC là tam giác đều a2 2cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: V  24Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đườngcao SH = h và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính 4h3 3thể tích hình chóp SABC. Đs: V  9Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai a3 6mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs: V  36Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB làtam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 4h3 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: V  9Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đềucạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) a3 3một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: V  4Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a,SAB  (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 8a3 330o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: V  9Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a vàtam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính a3 5thể tích hình chóp SABCD. Đs: V  12Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc a3 3với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: V  2 3) Dạng 3 : Khối chóp đều Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC . Lời giải: Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên Trang 23
  24. 24. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 S 2 2a 3 a 3 AO = AH   3 3 2 3 2a 11a2 SAO  SO2  SA 2  OA 2  3 A C a 11 1 a3 11  SO  .Vậy V  SABC .SO  3 3 12 a O H BVí dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. Lời giải: S Dựng SO  (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông . D C Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 a 2 nên ASC vuông tại S  OS  O 2 3 1 1 2a 2 a 2 A  V  S ABCD .SO  a  a B 3 3 2 6 a3 2 Vậy V  6Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC. Lời giải: a) Gọi O là tâm của ABC  DO  ( ABC ) 1 V  S ABC .DO 3 a2 3 2 a 3 S ABC  , OC  CI  4 3 3 a 6 DOC vuông có : DO  DC 2  OC 2  3 2 3 1a 3 a 6 a 2 V  .  3 4 3 12 Trang 24
  25. 25. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 D b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH M 1 a 6 MH  DO  2 6 1 1 a 2 3 a 6 a3 2  VMABC  S ABC .MH  .  A C 3 3 4 6 24 3 H a 2 O Vậy V  24 I a B Bài tập tương tự:Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 3a3 60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: V  16Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. a 1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH = 3 a3 2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: V  6Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy a3 3 một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: V  24Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . h3 3 Tính thể tích hình chóp. Đs: V  3Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh h3 3 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: V  8 oBài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB  60 . a2 3 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs: S  3 3 a 2 2) Tính thể tích hình chóp. Đs: V  6Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên 2h3 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: V  3 oBài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Trang 25
  26. 26. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 8a3 3 Tính thể tích hình chóp . Đs: V  3Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. a3 3 Tính thề tích hình chóp. Đs: V  12Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của 9a3 2 nó bằng V  . Đs: AB = 3a 2 4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 , SA vuông góc với đáy ABC , SA  a 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN Lời giải: S 1 a)Ta có: VS . ABC  S ABC .SA và SA  a 3 + ABC cân có : AC  a 2  AB  a 1 2 1 1 a3 N  S ABC  a Vậy: VSABC  . a 2 .a  2 3 2 6 A G C b) Gọi I là trung điểm BC. SG 2 M G là trọng tâm,ta có :  I SI 3 SM SN SG 2 B  // BC  MN// BC     SB SC SI 3 V SM SN 4  SAMN  .  VSABC SB SC 9 4 2a 3 Vậy: VSAMN  VSABC  9 27 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. ? Trang 26
  27. 27. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Lời giải: 3 D 1 a a)Tính VABCD : VABCD  SABC .CD  F 3 6 b)Tacó: a AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD ) E  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD ) B C VDCEF DE DF c) Tính VDCEF :Ta có:  . (*) VDABC DA DB a Mà DE.DA  DC 2 , chia cho DA2 A DE DC 2 a2 1   2  2  DA DA 2a 2 2 DF DC a2 1 Tương tự:  2  2 2  DB DB DC  CB 3 VDCEF 1 1 a3 Từ(*)   .Vậy VDCEF  VABCD  VDABC 6 6 36Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B vàtrung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chiabởi mặt phẳng đó. Lời giải: S Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). N VSAND SN 1 1 1 +    VSANB  VSADB  VSABCD VSADB SD 2 2 4 M D A VSBMN SM SN 1 1 1 1 1  .  .   VSBMN  VSBCD  VSABCD VSBCD SC SD 2 2 4 4 8 O 3 Mà V SABMN = V SANB + VSBMN = VSABCD . 8 5 Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD C B 8 VSABMN 3 Do đó :  V ABMN . ABCD 5Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và songsong với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hảy xác định mp(AEMF) Trang 27
  28. 28. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: S a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD 1 b) VS . ABCD  S ABCD .SO với S ABCD  a 2 M 3 E  a 6 + SOA có : SO  AO.tan 60  2 I B C a3 6 F Vậy : VS . ABCD  6 O c) Phân chia chóp tứ giác ta có A D VS . AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS . ABCD = 2VSACD = 2 VSABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD SM 1 Ta có :   SC 2 SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: SI SF 2 V SM SF 1     SAMF  .  SO SD 3 VSACD SC SD 3 1 1 a3 6  VSAMF  VSACD  VSACD  3 6 36 a3 6 a3 6  VS . AEMF  2  36 18Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuônggóc đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặtphẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh SC  ( AB D ) c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Trang 28
  29. 29. GV: LÊ VĂN VINH --- CHUYÊN TOÁN LÝ LTDH --- ĐT: 0987690103 Lời giải: 1 a3 2 S a) Ta có: VS . ABCD  S ABCD .SA  3 3 b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB & SB  AB Suy ra: AB  ( SBC ) nên AB  SC .Tương tự AD  SC. Vậy SC  (ABD) C B c) Tính VS . A B C D D I VSABC SB SC +Tính VS . AB C : Ta có:  . (*) A B VSABC SB SC SC 1 O SAC vuông cân nên  SC 2 2 2 D C SB SA 2a 2a 2 2 Ta có:     SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3 V S A B C 1 Từ (* )   V SA B C 3 1 a3 2 a3 2  VSAB C  .  3 3 9 2a 3 2 + VS . A B C D  2VS . A B C  9 Bài tập tương tự:Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B và C lần lượt là trung điểm của AB và AC. 1Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ABCD và khối tứ diên ABCD. Đs: k  4Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểmB,C,D sao cho AB = 2AB ;2AC = 3AD ;AD = 3AD. Tính tể tích tứ diệnABCD. Đs: V = 2 m3Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B;C trên AB và AC sao a 2a a3 2cho AB  ;AC  . Tính thể tích tứ diên ABCD . Đs: V  2 3 36Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CDvà lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường caoSA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích a3 3hình chóp SAHK. Đs: V  40Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy Atrên SA sao choSA = 3SA. Mặt phẳng qua A và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lầnlượt tại B,C,D .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: V = 1 m3 Trang 29

×