1. www.laisac.page.tl
Tuyển chọn Đề và đáp án :
Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.
Môn: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
M n H N H
ô
Ì
Ọ K Ô
H N G A
I
(laisac cắt và dán)
HÌNH CHÓP
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều , tam
giác SCD vuông cân tại S.Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA .
Chứng minh rằng ( SIJ ) ^ ( ABCD .Tính thể tích khối chóp K.IBCD.
)
Giải.
Từ giả thiết ta có:
S
AB ^ SI ü
ý Þ AB ^ (SIJ )
AB ^ IJ þ
Do AB Ì ( ABCD Þ ( ) ^ ( ABCD .
)
SIJ
)
K
A
D
K '
I
J
H
B
C
( ) ^ ( ABCD
SIJ
)
ü
)
ý Þ SH ^ ( ABCD
( ) Ç ( ABCD = IJ þ
SIJ
)
+Goi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên (ABCD) khi đó KK ' // SH do K là trung điểm SA nên K’ là trung
1
điểm AH & KK ' = SH .
2
1
Từ đó ta có: V K . IBCD = KK '. àIBCD
S
3
a 3
1
a
Dễ thấy: SI =
; SJ = CD =
; IJ = a Þ DSIJ vuông tại Svì: SI 2 + SJ 2 = IJ 2
2
2
2
SI .
SJ a 3
a 3
ừ hệ thức SI.SJ=SH.IJ Þ SH =
=
Þ KK ' =
IJ
4
8
( IB + CD ).
BC 3 2
a
Ta có à
=
IBCD là hình thang vuông tai B và C nên S à IBCD =
2
4
3
a . 3
Thay vào ta được V . IBCD =
K
32
+Kẻ SH ^ IJ do
Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết
rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt đáy, SC = a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng ( SHC ) bằng 2a 2
(ở đây H là trung điểm AB ). Hãy tính thể tích khối chóp theo a
.

2. S
Giải
Từ giả thiết suy ra SH ^ ( ABCD ) và
2a
B a C
a 5
2a
A
a 45°
H
D
SH =
a
a
2a 3
= a 3
2
H
Theo định lý Pythagoras ta có
a
C
CH = SC 2 - SH 2 = a 2 .
4a
C'ºC
Do đó tam giác HBC vuông cân tại B và BC = a
Gọi E = HC Ç AD thế thì tam giác HAE cũng vuông cân và do đó
CE = 2a 2 = d ( D; HC ) = d ( D; ( SHC ) ) suy ra DE = 2a 2 × 2 = 4a Þ AD = 3a.
45°
E
A
a
a
D B
2a 2
1
( BC + DA ) × AB = 4 a 2 (đ.v.d.t.). Vậy
2
1
4 3
a
VS . ABCD = × SH × S ABCD =
(đ.v.t.t.)
3
3
Suy ra S ABCD =
0
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 và cạnh đáy
bằng a.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
(P) cắt hình chóp S.ABCD.
Giải.
a) * SABCD = a 2
*
Ð SBO = 60 0 Þ SO = AO tan 60 0 =
S
=
M
E
B
I
F
O
A
D
a 2
a 6
. 3 =
2
2
1
* V S . ABCD = SO S ABCD
.
3
1 a 6 2
C
= .
.
a
3 2
a 3 6
=
6
b)
* Giả sử ( P) Ç SC = M
Vì ( P) ^ SC và A Î (P nên AM ^ SC
)
Mặt khác,gọi EF = ( P Ç ( SBD với E Î SB F Î SD thì EF // BD và EF qua I với I = AM Ç SO
)
)
;
(do BD ^ SC ; ( P ^ SC nên BD //(P ).
)
)
* Ta thấy mặt phẳng (P cắt S. ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF có tính chất AM ^ EF .
)
1
2
Do đó S AEMF = AM .
EF
a 6
2
Và AM là trung tuyến của D
SAC . Mặt khác AO cũng là trung tuyến của D
SAC nên I là trọng
tâm của D
SAC
EF
SI 2
2
2 2
a
* Ta có
=
= Þ EF = BD =
BD SO 3
3
3
* Ta thấy D
SAC = 60 0 , SA = SC ), mà AM ^ SC nên AM =
.
SAC đều (vì góc Ð

3. Þ S AEMF
1
1 a 6 2 2 a 2 3
a
= AM . = .
EF
.
=
.
2
2 2
3
3
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I là
trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
uu
r
uuu
r
0
IA = -2 IH . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Giải uu
r
uuu
r
*Ta có IA = -2 Þ H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2
IH
IH
BC = AB 2 = 2
a
uu
r
uuu
r
*Ta có IA = -2 IH Þ H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2 IH
BC = AB 2 = 2
a
a
3
a
Suy ra IA = a, IH = Þ AH = IA + IH =
2
2
a 5
0
Ta có HC 2 = AC 2 + AH 2 - 2 AC. AH .cos 45 Þ HC =
2
0
Vì SH ^ ( ABC ) Þ ( SC , ( ABC ) ) = ÐSCH = 600 Þ SH = HC.tan 60 =
0
Ta có HC 2 = AC 2 + AH 2 - 2 AC. AH .cos 45 Þ HC =
a 5
2
0
Vì SH ^ ( ABC ) Þ ( SC , ( ABC ) ) = ÐSCH = 600 Þ SH = HC.tan 60 =
1
3
a 15
2
Thể tích khối chóp S.ABCD là: VS . ABC = S DABC . =
SH
a 15
2
3
a 15
( dvtt )
6
ì BI ^ AH
Þ BI ^ ( SAH )
í
î BI ^ SH
d ( K , ( SAH ) ) SK 1
1
1
a
Þ
=
= Þ d ( K , ( SAH ) ) = d ( B, ( SAH ) ) = BI =
2
2
2
d ( B, ( SAH ) ) SB 2
Bài 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B ; SA vuông góc với đáy,
AB = a , SA = BC = 2 . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho · = a (00 < a < 900 ) .
a
ACM
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AC và SC , H là hình chiếu của S lên CM . Xác định
a để thể tích khối chóp AHIK đạt GTLN. Tính thể tích khối chóp khi đó.
Giải.
ìCM ^ SH
Þ CM ^ AH Þ CH ^ AH Þ H chạy trên nửa đường tròn đường kính AC phần
CM ^ SA
î
Có í
1
1
a 5
AC =
AB 2 + BC 2 =
2
2
2
1 1
1
1
1
a 5 a 5 5 3
a
VAHIK = . SA.SDAIH = ( SA. AI ).d ( H , AC ) £ ( SA. AI ) HI = .2a.
.
=
. Dấu “=” xảy ra
3 2
12
12
12
2
2
24
khi và chỉ khi HI ^ AI kết hợp với HI = AI suy ra a = 450
có chứa điểm B Þ HI = AI = IC =
(Đã tới đề 39)

4. Bài 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền bằng 3a . G
a 14
là trọng tâm tam giác ABC , SG ^ ( ABC ) , SB =
. Tính thể tích hình chóp S . ABC và
2
khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) .
S
A
B
I
G
K
3
a
a
Þ IG =
2
2
2
10
a
Tam giác vuông BIG Þ BG 2 = BI 2 + IG 2 =
4
14a 2 10 2
a
SG = SB 2 - BG 2 =
= a
4
4
1
11
3a
3 3
a
VSABC = S ABC .SG =
3a. . =
a
3
32
2
4
Kẻ GK ^ AC , K Î AC , (GK / / BC ) Þ SK ^ BC
Giải. Gọi I là trung điểm AB , CI =
M
C
a
a 2 a 3
3
a
Þ SK = SG 2 + GK 2 = a 2 +
=
; AC =
2
2
2
2
2
3 3a 3a 3
. =
2 2
4
3
V
h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) Þ h = SABC = a 3
S SAC
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SA = SB
2
=SC = 3cm . Tam giác SBD có diện tích bằng 6 cm .Tính thể tích của khối chóp SABCD .
Giải.
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì SA = SB = = SC, BD là trung
trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD
; Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA = SC = DA = DC nên SO = DO suy ra tam giác
SBD là tam giác vuông tại S. Vì dt(SBD) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5, SH = 12/5.
GC
=
2
1
Þ S SAC = a
2
GK =
ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = 5/2 nên AO =
suy ra dt(ABCD) =
11
2
5 11
2
1
SH .dt ( ABCD ) = 2 11 . Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2 11
3
0
Bài 8. Cho hình chóp SABC có SA = 3 (với a > 0 ); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 60 .
a
Tam giác ABC vuông tại B, · = 30 0 . G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và
ACB
VS . ABCD =
(SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Giải Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ^ ( ABC ); ÐSAG = 600 , AG =
3
a
.
2
9a
3a 3
; SG =
. Trong tam giác ABC đặt AB = x Þ AC = 2 x; BC = x 3.
4
2
9a 7
1
243 3
Ta có AK 2 = AB 2 + BK 2 nên x =
. Suy ra VS . ABC = SG. ABC =
S
a (đvtt)
14
3
112
Từ đó AK =
Bài 9 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng
(AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.

5. Giải
Chứng minh SC ^ AI : Ta có
S
N
I
M
D
A
C
B
SV MAB =
a2
Þ VMBAI
4
ì AM ^ SB
ì AN ^ SD
Þ AM ^ SC; í
Þ AN ^ SC Þ SC ^ (AMN) Þ SC ^ AI
í
AN
î AM ^ BC
î ^ CD
1
Kẻ IH // BC Þ IH ^ (SAB) (vì BC ^ (SAB) ) Þ VMBAI = SV MAB .IH
3
2
2
2
SA
a
a
a
SI.SC = SA 2 Þ SI =
=
=
=
2
2
2
SC
3
SA + AC
3a
SI
IH
SI.BC a
=
Þ IH =
=
SC BC
SC
3
3
1
a
= SV MAB .IH =
3
36
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 4 góc tạo bởi các
o
mặt bên và đáy bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải.
S
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); M, N, K lần lượt là hình chiếu của
H lênh cạnh AB, AC, BC. Khi đó thể tích V của khối chóp được tính
bởi công thức
N
A
M
H
C
K
1
V = S DABC .
SH
3
1
mà S DABC = AB. AC = 6
2
­Tính SH.
Xét các tam giác SHM, SHN,
SHK vuông tại H,
có các góc SMH, SNH, SKH
0
bằng 60 do đó HM = HN = HK => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC =>
B
2 ABC
S
0
HM =
= 1 =>SH = HM.tan60 = 3
AB + BC + CA
1
Vậy V =
3.6 = 2 3
3
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại
đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x.
Giải .Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
S
1
2
Ta có DSBD = DCBD (c.c.c) Þ SO = CO = AC
Vậy tam giác SCA vuông tại S.
C
D
2
Þ CA = SC 2 + SA2 = 1 + x
Mặt khác ta có AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2
Þ BD = 3 - x 2 (do 0 < x < 3)
H
O
B
A
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a , BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

6. Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a 3
, tính thể tích khối chóp S.ABCD
4
theo a.
Giải. Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của
·
mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD = 600
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao
tuyến của chúng là SO ^ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ^ AB
và DH = a 3 ; OK // DH và OK =
1
a 3
DH =
Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)
2
2
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng
S
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ
1
1
1
a
=
+
Þ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2
Diện tích đáy S ABC D = 4S DABO = 2.OA.OB = 2 3a 2 ;
a
đường cao của hình chóp SO = .
2
I
D
O
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
3
a
S ABC D . =
SO
3
3
H
a
3
VS . ABCD =
A
3a
C
B
K
Bài 13.
0
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc ÐBAC = 60 ; AB = a;
0
AC = 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; SD tạo với đáy góc 45 .
1, Tính thể tích khối chóp.
2, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và
CF.
Giải. Ta có:
(SAB) ^ (ABCD)
ü
ý Þ SA ^ (ABCD)
(SAC) ^ (ABCD þ
Þ Ð
SDA là góc giữa SD và (ABCD)
Þ Ð
SDA = 450
Trong ΔABC có:
BC2 = AB2 + AC2 ­ 2AB.ACcos ( Ð
BAC )
= 13a 2 Þ AD = BC = a 13
B
F
H J
D
K
A
E
Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có:
SA = ADtan(Ð
SDA) = a 13
SABCD = 2SΔABC = AB.ACsin(BAC) = 2a 2 3
1
2a 3 39
Þ VS.ABCD = SA.SABCD =
3
3
2, Tính khoảng cách giữa DE, CF
Trong mp(ABCD), dựng CI // ED ( I Î AD ) Þ ED // (CFI)
I
C

7. Þ d (DE,CF) = d (DE,(CFI)) = d (D,(CFI))
1
2
Gọi H là trung điểm của AD Þ D là trung điểm HI Þ d (D,(CFI)) = d
(H,(CFI))
Hạ HK vuông góc với CI tại K; HJ vuông góc với FK tại J
Ta có:
FH // SA Þ FH ^ (ABCD) Þ FH ^ CI Þ CI ^ (FHK) Þ (FCI) ^ (FHK)
Þ HJ ^ (FCI) Þ HJ = d (H,(FCI))
1
2
2S
ΔHCI
CI
2
2
2
AD +CD ­AC
1
1
Ta có: cos(ÐADC) =
= ­
Þ cos(Ð
BCD)=
2AD.CD
13
13
a 13
CI = DE = DE 2 +CD 2 ­2DE.CD.cos(BCD) =
2
4a 3
Þ HK =
13
1
a 13
HF = SA =
2
2
1
1
1
13
4
361
Trong tam giác FHK vuông tại H, có: 2 =
+
=
+
=
2
2
2
2
HJ
HK
HF
48a
13a
624a 2
4a 39
2a 39
Þ HJ =
Þ d ( D,(CFI) ) =
19
19
2a 39
Vậy: d (DE, CF) =
19
Ta thấy: SΔHCI = SABCD = a 2 3 Þ HK =
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a,
CD = 2a; hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cạnh bên SB
0
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 ; gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt (SBC).
Giải.
+) Từ giải thiết ta có SD ^ ( ABCD)
S
0
·
suy ra (SB, (ABCD)) = SBD = 60
1
2
Ta có S ABCD = ( AB + CD) AD =
3 2
a
(đvdt)
2
H
+) do tam giác ABD vuông cân tại A ,AB= a
K
=> BD = a 2 Þ SD = BD tan 600 = a 6
1
3
Vậy VS . ABCD = SD. ABCD =
S
D
C
G
3
a 6
(đvtt)
2
E
A
) chứng minh được BC ^ ( SBD) , kẻ DH ^ SB=>
Có
1
1
1
a 6
=
+
Þ DH =
2
2
2
DH
SD
DB
2
) Gọi E là trung điểm BC ,kẻ GK // DH, K thuộc HE =>GK ^ (SBC) và
GK EG 1
a 6
a 6
=
= Þ GK =
Vậy d( G, (SBC) = GK =
DH ED 3
6
6
B
DH ^ (SBC)

8. Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
=> N’( 4;­5)=> Pt đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
d=
4.2 + 3.1 - 1
2
42 + 3
= 2
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
1
1
1
= 2 + 2 suy ra x = 5 suy ra BI = 5
2
d
x
4 x
Từ đó ta có B thuộc ( C): ( x - 2) 2 + ( y - 1)2 = 5
Điểm B là giao điểm của đt AB: 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5
0
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · = 60 , hai mặt
ABC
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)
0
bằng 30 .Tínhthể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
Giải.
Gọi O = AC I BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm của
AM.
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên:
CM ^ AB, OI ^ AB và
CM =
2
a 3
a 3
a 3
, OI =
, S ABCD =
2
4
2
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO ^ ( ABCD )
· · ·
0
Do AB ^ OI Þ AB ^ SI . Suy ra: é( SAB ) , ( ABCD ) ù = ( OI , SI ) = SIO = 30
ë
û
Xét tam giác vuông SOI ta được: SO = OI .t an300 =
a 3 3 a
. =
4 3
4
3
1
1 a 2 3 a a 3
Suy ra: V = .S ABCD .SO = .
. =
.
3
3 2 4
24
Gọi J = OI I CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI
a 3
và JH ^ ( SAB )
2
Do CD / / AB Þ CD / / ( SAB ) . Suy ra:
Suy ra: IJ = 2 =
OI
d ( SA, CD ) = d éCD, ( SAB ) ù = d é J , ( SAB ) ù = JH
ë
û
ë
û
Xét tam giác vuông IJH ta được: JH = IJ .s in300 =
Vậy d ( SA, CD ) =
a 3 1 a 3
. =
2 2
4
a 3
.
4
Bài 16. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền
AB = 2a. Trên đương thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S, sao cho
0
mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SABC.

9. Giải.
Từ giả thiết suy ra D
ABC
vuông tại C kết hợp với d ^ (SAC ) .
Suy ra BC ^ ( SAC )
S
0
·
Do đó SCA = 60
Do D
ABC vuông tại C và AB =2a
Þ AC = BC = a 2
Trong tam giác vuông SAC ta có
A
B
SA = AC.tan 600 = a 6
Trong tam giác SAB có: SB = SA2 + AB 2 = a 10
C
0
·
· = SAB = 90 nên tứ diện SABC nội tiếp trong mặt cầu đường kính SB.
Do SCB
Suy ra bán kính mặt cầu bằng
SB a 10
=
2
2
Vậy S mc = 4p R 2 = 10 a 2 (Đ.V.D.T)
p
LĂNG TRỤ
Bài 1.Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng
1
cách giữa hai đường thẳng AB và BC .
1
1
Giải. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC .
1
1
Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5
Þ AB1 = BC1 = 5 2 .Dựng hình bình hành
BDB1C1 Þ DB1 = BC1 = 5 2, BD = C1 B1 = 5 , AD = CD.sin 600 = 5 3
(do D
ACD vuông tại A vì BA = BC = BD) Þ a = ( AB1 ; BC1 ) = ( AB1 ; DB1 )
(
2
) (
2
2
) (
)
2
5 2 + 5 2 - 5 3
AB12 + DB1 - AD 2
1
AB1 D
cos · =
AB1 D
=
= Þ · nhọn từ đó
2 AB1.DB2
4
2.5 2.5 2
1
a = · Û cos a = . Ta thấy BC1 / / mp ( AB1 D ) , AB1 Ì mp ( AB1 D ) từ đó
AB1 D
4
3 B. AB1D
V
3 B1 . ABC
V
d ( BC1 , AB1 ) = d ( BC1 , mp ( AB1 D ) ) = d ( B, mp ( AB1 D ) ) =
=
1
dtD AB1 D
AB1.DB1 .sin a
2
25 3
5.
4
1
ì
1
ïcos a = ( a = ( AB1 ; BC ) )
4
=
=
= 5 .Đáp số í
1
ï d ( AB , BC ) = 5
AB1. AD1 sin a 1 .5 2.5 2. 15
1
1
î
2
2
4
BB1 dt ABC
D
A'
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC . A' B 'C ' có thể
Các mặt phẳng ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) cắt
O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V.
C'
B'
I
Giải. Gọi I = AC Ç ’A’C, J = A’B Ç AB’
J
O
A
C
H
M
B
tích V.
nhau tại

10. (BA'C) Ç (ABC') = BI ü
ï
(BA'C) Ç (AB'C) = CJ ý Þ O là điểm cần tỡm
ï
Goi O = BI Ç CJ
þ
Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C
Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC)
Do V ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của V BA’C trờn (ABC) nờn H là trọng tõm V ABC
OH HM 1
=
=
A ' B AM 3
1
1
1
Þ VOABC = OH .SV ABC = A ' B. V ABC = V
S
3
9
9
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A
a
đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C '
2
Gọi M là trung điểm BC. Ta có:
Giải.Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A’M
BC ^ AM ü
ý Þ BC ^ ( AA ' M ) Þ BC ^ AH
BC ^ AA ' þ
a
Mà AH ^ A ' M Þ AH ^ ( A ' BC ) Þ AH = .
2
1
1
1
a 6
Mặt khác:
=
+
Þ AA ' =
2
2
2
4
AH
A ' A
AM
3
3a 2
KL: VABC . A ' B ' C ' =
.
16
Ta có:
Bài4. Cho hình lăng trụ ABC . A1B1C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và
1
A1 A = A1B = A1 C = 5 .Chứng minh rằng tứ giác BCC1B là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng
1
trụ ABC . A1B1C .
1
Giải. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Þ OA = OB = OC .
Ngoài ra ta có A1 A = A1B = A1 C = 5 Þ A1 O là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC Þ A1 O ^ ( ABC ) Þ AO là hình chiếu vuông góc của AA lên mp ( ABC ) .
1
Mà OA ^ BC Þ A1 A ^ BC do AA1 / / BB1 Þ BB1 ^ BC hay hình bình hành BCC1B là hình chữ
1
nhật.
2
æ2 5 3ö
5 6
Ta có A1O ^ ( ABC ) Þ A1O ^ CO; A1O = CA - CO = 5 - ç .
÷ =
ç3 2 ÷
3
è
ø
2
1
2
2
52 3 5 6 125 2
.
=
4
3
4
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD
1
Thể tích lăng trụ : V = dtDABC . A1 O =
lấy lần lượt các điểm M, N sao cho BM = CN = x. Xác định ví trí điểm M sao cho khoảng cách
a
3
Giải. Ta có MN / / BC Þ MN / / ( A1 BC ) Þ d ( MN , A1C ) = d ( MN , ( A1 BC ) )
giữa hai dường thẳng A1 C và MN bằng .

11. C1
D1
A1
B1
x 2
2
· Vì A1 B ^ AB1 Þ MK ^ A1 B và CB ^ ( ABB1 A1 ) Þ CB ^ MK .
Gọi H = A1 B Ç AB1 và MK / / HA,K Î A1 B Þ MK =
· Từ
D
N
C
đó
suy
ra
MK ^ ( A1 BC ) Þ MK = d ( MN , ( A1 BC ) ) = d ( MN , A1 C )
a
x 2 a
a 2
a 2
Þ
= Þ x =
. Vậy M thỏa mãn BM =
3
2
3
3
3
Bài 6. Cho lăng trụ ABCA¢B ¢C ¢ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a, AA¢ vuông góc
0
với mặt phẳng (ABC) .Góc giữa ( AB¢ ) và ( BB¢ ) bằng 60 .Tính thể tích lăng trụ ABCA¢B ¢C ¢ .
C
C
Giải Từ A kẻ AI ^ BC Þ I là trung điểm BC
¢
Þ AI ^ ( BC CB¢ ) Þ AI ^ B¢ C (1)
B¢
Từ I kẻ IM ^ B¢ C
(2)
A
M
B
Nên MK =
Từ (1) (2) Þ B¢ C ^ ( IAM)
Þ B¢ C ^ MA (3)
Từ (2) (3) Þ góc giữa (A B¢ C) và ( B¢ CB)
0
bằng góc giữa IM và AM = · = 60
AMI
(Do tam giác AMI vuông tại I)
1
Ta có AI = BC = a
2
AI
a
=
IM =
0
tan 60
3
M
A
C
I
B
B¢
D IMC : D B¢ BC
IM
IC
IM . ¢C
B
¢
=
Û BB =
Þ
B
I
BB¢ B¢C
IC
a
1
1
B¢C Û BB¢ =
B¢B 2 + 4 2
a
Û BB¢ = 3 B¢C =
a
3
3
2
B
B
Û 3 B¢ 2 = B¢ 2 + 4a Û BB¢ = a 2
1
1
S DABC = AI .BC = a.2 = a 2
a
2
2
VABC A¢B¢C ¢ = a 2.a 2 = a 3 2
M
C
0
Bài 7.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, · = 120 và đường thẳng
ACB
0
A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ' góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
)
giữa hai đường thẳng A ' B, CC ' theo a.
Giải
Trong (ABC), kẻ CH ^ AB ( H Î AB ) , suy ra CH ^ ( ABB ' A ' nên
)
A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó:
· · ·
0
é A ' C , ( ABB ' A ') ù = ( A ' C , A ' H ) = CA ' H = 30 .
ë
û
1
a 2 3
0
AC.BC .s in120 =
2
2
2
2
2
· AB = AC + BC - 2 AC.BC .cos1200 = 7 a 2 Þ AB = a 7
· S DABC =
· CH =
2. DABC a 21
S
=
AB
7

12. Suy ra: A ' C =
CH
2a 21
=
.
0
s in30
7
Xét tam giác vuông AA’C ta được: AA ' = A ' C 2 - AC 2 =
a 35
.
7
3
a 105
Suy ra: V = SDABC . AA ' =
.
14
Do CC '/ / AA ' Þ CC '/ / ( ABB ' A ' . Suy ra:
)
d ( A ' B, CC ' ) = d ( CC ', ( ABB ' A ') ) = d ( C , ( ABB ' A ' ) = CH =
)
a 21
7
Bài 8. Cho khối lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1 cách
đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc a . Hãy tìm a , biết thể tích
khối lăng trụ ABCA1B1C1 bằng 2 3a 3 .
B1
A1
Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên SABC= a 2 3
Mặt khác A1A= A1B= A1C Þ A1ABC là tứ diện đều.
C1
A
B
G
I
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A1G là đường cao.
H
C
2
3
2a 3
3
Trong tam giác ABC có AG= AH=
2a 3
.tan a
3
Trong tam giác vuông A1AG có: Ð A1AG= a A1G=AG.tan a =
VLT=A1G.SABC= 2 3a 3 Þ tan a = 3 Þ a = 600
Ta có:
3
3
1
1
1
M = 2 a + b + ab + bc + 3 abc = 2 a + b +
a.4b +
b.4c + 3 a.4b.16
c
4
4
2
2
4
3
a + 4b b + 4c a + 4b + 16
c 28( a + b + c)
£ 2 + b +
a
+
+
=
= 7
4
4
4
12
12
16
4
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = , b = , c =
7
7
7