1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức P(x)  (3x  2)3  (1 2x)3  (1 x)3 thành nhân tử.
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  4.
Tính giá trị của biểu thức:
A  a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b)  abc
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình 4  x2  6  2 2  x  3 2  x .
2) Giải hệ phương trình

 x 2  y
2
 5
 xy x 2  y
2

( ) 6
.
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện x2  4xy  5y2  2(x  y) .
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p  p2  p3  p4 là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay
đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
2) Chứng minh AO  EF.
3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
x  xy  S y y  yz  z  
  
z zx x
x  y  2 z y  z  2 x z  x 
2
y
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................
Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ...........................

2. ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu Ý Nội dung
I 1 Phân tích P(x)  (3x  2)3  (1 2x)3  (1 x)3 thành nhân tử
Đặt a  3x  2, b 1 2x, c 1 xa  b  c  0 P  a3  b3  c3
P  (a  b)3  c3  3ab(a  b)
 (   ) (  )2  (  )  2   3 (  ) a b c  a b a b c c  ab a b
 3ab(c)  3abc  3(3x  2)(1 2x)(1 x)
I 2 A  a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b)  abc
a b c abc a b c abc
4 4 4 4 4 16
        
      
a b c a b c bc
(4 )(4 ) (16 4 4 )
 a(4a  4b  4c  4 abc  4b  4c  bc)  a(4a  4 abc  bc)
 a(2 a  bc)2  a(2 a  bc)  2a  abc
Tương tự b(4  c)(4  a)  2b  abc, c(4  a)(4  b)  2c  abc
 A  2(a  b  c)  3 abc  abc  2(a  b  c  abc )  8
II 1 Giải phương trình 4  x2  6  2 2  x  3 2  x
ĐK: 2  x  2. Pt  (2  x)(2  x)  3 2  x  23 2  x   0
 2  x  2  x  3 2 2  x  3  0
    2  x
 3 
0
2 3 2 2 0
2 2 0
       
   
x x
x
Giải pt 2  x  3  0 x  7 (Loại)
Giải pt 2  x  2  0 x  2 (TM). Vậy x = -2
II 2 Giải hệ phương trình

 x 2  y
2
 5
 xy x 2  y
2

( ) 6
Hệ
 2  2   2   2
     
x y x xy y xy
xy x y x y x xy y xy
5 ( ) ( ) 5
( )( ) 6 ( )( ) 6
     2  2
 
Đặt a  x2  xy, b  y2  xy ta được hệ
5
6
a b
ab
  
 

3. Giải hệ pt này ta được
 a  b   x 2  xy  y 2
 xy

   a  b    x  xy  y  xy

2, 3 2, 3
3, 2 2 3, 2
2
TH 1.
 2
  2
  2   2   2   2

 2
 
3 3 2 2 3 5 2 0
3
x xy
x xy y xy x xy y
y xy
   2
     
2 1 1, 2
3 2
1 1 , 3
2 2 2

       


x y y y x
y x x x y
TH 2.
 2
  3
  2   2   2   2

 2
 
2 2 3 3 2 5 3 0
2
x xy
x xy y xy x xy y
y xy
3 1 1 , 3
   
2
      x y y y x
2 2 2
y   2 x  x 2
 1  x   1, y
 
2
Vậy hệ pt có tám nghiệm là
(2;1), ( 2; 1), 1 ; 3 , 1 ; 3 , (1; 2), ( 1;2), 3 ; 1 
, 3 ; 1
                       
2 2 2 2 2 2 2 2
       
III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2  4xy  5y2  2(x  y)
Pt  x2  2(1 2y)x  5y2  2y  0
Tồn tại x  '  (1 2y)2  (5y2  2y)  0
 y2  2y 1 0( y 1)2  2 y 1  2 1 2  y  1 2
Do y là số nguyên nên y  0, y 1, y  2
2
y  0  x  2 x  0  x  0, x

2
y  1  x 2
 6 x  7  x
 3 
2
y  2  x 2
 10 x  24  0  x  4, x

6
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0;0), (2;0), (4;2), (6;2)
III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho 1 p  p2  p3  p4 là số hữu tỷ
1 p  p2  p3  p4 là số hữu tỷ 1 p  p2  p3  p4  n2 , n
2 3 4 2
p p p p n
4 4 4 4 4 4 (1)
     
 2  3  4  2    2  3  4 
2
           
p 4 p 4 p 4 n 4 4 p 4 p 4 p 4 p 5
p
p 2 p 2 n 2 p 2 p 2 p 2 p n p 2
p
(2 ) (2 ) (2 2) 2 2 2 2
2n  2 p2  p 1. Thế vào (1) ta được

4. 4  4 p  4 p2  4 p3  4 p4  (2 p2  p 1)2  p2  2 p  3  0
Giải pt tìm được p  1 (loại) và p  3
Với p  3 1 p  p2  p3  p4 11. Vậy p  3
IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra HDE  HCE
Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra HDF  HBF
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra HCE  HBFHDE  HDF
Suy ra DH là tia phân giác của góc EDF
Tương tự EH là tia phân giác của góc DEF . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác DEF.
IV 2 Chứng minh AO  EF
Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A
Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra AFE  AHE
Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra AHE  DCE
DCE  xAB (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một
cung)
Suy ra AFE  xABAx // EF
AO  xAy  AO  EF
IV 3 Chứng minh AO  EF
AO  EF  SAEOF = 1 AO.EF
2
Tương tự
BO  DF  S  1 BO.DF, CO  DE  S 
1 CO.DE
BDOF CDOE
2 2
S = S + S S 1 (AO.EF BO.DF+CO.DE)
   
ABC AEOF BDOF CDOE
2
= 1 R(EF 
DF+DE)
2
Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất  ABC S lớn nhất  khoảng cách từ A đến
BC lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

5. V Tìm GTNN của
2 2 2 2 2 2
x  xy  S y y  yz  z  
  
z zx x
x  y  2 z y  z  2 x z  x 
2
y
Ta có x 2  xy  y 2  1 ( x  y )2  3 ( x  y )2  1 ( x  y )2  1 ( x  y
)
4 4 4 2
Tương tự suy ra 2
S x  y y  z 
  
z x
x  y  2 z y  z  2 x z  x 
2
y
Đặt
a  x  y  2 z , b  y  z  2 x , a  z  x 
2
y
x y b  c  a y z c    
, a b ,
z x a b c
      
2 2 2
2
S b  c  a c  a  b a  b 
c
   
a b c
2 2 2
S b a c a c b
4              3  2  2  2  3  3
a b a c b c
     
Do đó 3
S  . Đẳng thức xảy ra x  y  z . Vậy GTNN của S là 3
4
4
H
F
E
D
H
F
E
D
A
O O
A
B C
B C
X
Y
Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b