1. Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o
H­ng
yªn
®Ò chÝnh thøc
(§Ò thi cã 01 trang)
kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 thpt chuyªn
N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi: To¸n
Thêi gian lμm bμi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
(Dμnh cho thÝ sinh thi vμo c¸c líp chuyªn: To¸n, Tin)
Bμi 1: (2,0 ®iÓm)
a) Cho
2 3 5 13 48
A
  
6 2


, chøng minh A lμ mét sè nguyªn.
b) Gi¶i hÖ ph­
¬ng tr×nh:

 2
    
x 12y 6
2y 2
x 1
Bμi 2: (2,0 ®iÓm)
a) Cho parabol (P): y 1 x2
 vμ ®­êng
3
th¼ng (d): y x 4
   . Gäi A, B lμ giao ®iÓm
3
cña ®­êng
th¼ng (d) vμ parabol (P), t×m ®iÓm M trªn trôc tung sao cho ®é dμi MA + MB
nhá nhÊt.
b) Gi¶i ph­
¬ng tr×nh: x2  5x 8  3 2x3  5x2  7x  6 .
Bμi 3: (2,0 ®iÓm)
a) Cho f x lμ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. BiÕt f 1.f 2  2013, chøng minh
ph­
¬ng tr×nh f x  0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b) Cho p lμ mét sè nguyªn tè. T×m p ®Ó tæng c¸c ­íc
nguyªn d­
¬ng cña p4 lμ mét
sè chÝnh ph­
¬ng.
Bμi 4: (3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän (AB < AC) néi tiÕp ®­êng
trßn t©m
O. §­êng
trßn (K) ®­êng
kÝnh BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît
t¹i E vμ F. Gäi H lμ giao
®iÓm cña BF vμ CE.
a) Chøng minh AE.AB = AF.AC.
b) Chøng minh OA vu«ng gãc víi EF.
c) Tõ A dùng c¸c tiÕp tuyÕn AM, AN ®Õn ®­êng
trßn (K) víi M, N lμ c¸c tiÕp ®iÓm.
Chøng minh ba ®iÓm M, H, N th¼ng hμng.
Bμi 5: (1,0 ®iÓm) Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn: ac  bd 1. Chøng minh r»ng:
a2  b2  c2  d2  ad  bc  3
------------ HÕt ------------
ThÝ sinh kh«ng sö dông tμi liÖu; c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vμ tªn thÝ sinh:...........................................................
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ:......................................................
Sè b¸o danh:.................Phßng thi sè:......................
thøc

2. H­íng
dÉn chÊm thi
(H­íng
dÉn chÊm thi gåm 04 trang)
I. H­íng
dÉn chung
1) H­íng
dÉn chÊm thi nμy chØ tr×nh bμy c¸c b­íc
chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶. Trong
bμi lμm, thÝ sinh ph¶i tr×nh bμy lËp luËn ®Çy ®ñ.
2) NÕu thÝ sinh lμm bμi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mμ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh­h­íng
dÉn quy ®Þnh.
3) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h­íng
dÉn ph¶i ®¶m b¶o
kh«ng sai lÖch víi h­íng
dÉn chÊm vμ ®­îc
thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi.
4) C¸c ®iÓm thμnh phÇn vμ ®iÓm céng toμn bμi ph¶i gi÷ nguyªn kh«ng ®­îc
lμm trßn.
II. §¸p ¸n vμ thang ®iÓm
Bμi 1: (2,0 ®iÓm)
a) Chøng minh A lμ mét sè nguyªn. 1,0 ®
Ta cã:
 2
2 3 5 13 48 2 3 5 2 3 1
A
     
 
6  2 6 
2
0,25 ®
 2
2 3  4  2 3 2 3  3 
1
 
6  2 6 
2
0,25 ®
2 2  3 4 
2 3
6 2 3 1
 
 
0,25 ®
 2
3 1
1

 
3 
1
VËy A lμ mét sè nguyªn.
0,25 ®
b) Gi¶i hÖ ph­
¬ng tr×nh:
 x 2
 y
  y 2
 x


12 6 (1)
2 1 (2)
1,0 ®
 x 2  12y  6  x 2
 12y  6
   2  2
  
 2    2
 
x 4y 12y 2x 8
2y x 1 4y 2x 2
0,25 ®
 2  2  x  2y 
2
x 1 2y 3
         
x 2y 4
0,25 ®
Víi x = 2y + 2, thay vμo ph­
¬ng tr×nh (2) ta cã: 2y2  2y 1  0
 
 
y 1 3
2
y 1 3
2

 
 
0,25 ®

3.      
     
   
HÖ ph­
¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: 3 3;1 3 ; 3 3;1 3
2 2
Víi x = - 2y - 4, thay vμo ph­
¬ng tr×nh (2) ta cã: 2y2  2y  5  0 (v« nghiÖm)
VËy hÖ ph­
¬ng tr×nh cã hai nghiÖm.
0,25 ®
Bμi 2: (2,0 ®iÓm)
a) Cho parabol (P): 1 2
y  x vμ ®­êng
3
th¼ng (d): 4
y  x  . Gäi A, B lμ
3
giao ®iÓm cña ®­êng
th¼ng (d) vμ parabol (P), t×m ®iÓm M trªn trôc tung
sao cho ®é dμi MA + MB nhá nhÊt.
1,0 ®
1 4  x 
1 Ph­
¬ng tr×nh hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d) vμ (P) lμ: x 2 x
       
3 3 x 4
0,25 ®
Täa ®é hai giao ®iÓm lμ: A 1; 1 ;B 4;16
     3    
   3

NhËn xÐt: A, B n»m vÒ hai phÝa so víi trôc tung.
0,25 ®
Suy ra MA + MB nhá nhÊt khi M lμ giao ®iÓm cña AB víi trôc tung. 0,25 ®
Täa ®é M lμ: M 0; 4
 
  3


0,25 ®
b) Gi¶i ph­
¬ng tr×nh: x2  5x  8  3 2x3  5x2  7x  6 . 1,0 ®
NhËn xÐt: 2x3  5x2  7x  6  2x  3x2  x  2
§iÒu kiÖn: x 2
3
 
1x2  x  2  22x  3  3 2x  3x2  x  2
0,25 ®
§Æt:
     
 
 
x2 x 2 a a 0
2x 3 b b 0
   
.
Ph­
¬ng tr×nh trë thμnh: 2 2 a b
a 3ab 2b 0
 
      
a 2b
0,25 ®
Víi a = b, trë l¹i phÐp ®Æt ta cã: x2  x  2  2x  3  x2  x 1  0
1  5 
Ph­
¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x  TM;x 
1 5 TM
2 2
0,25 ®
Víi a = 2b, trë l¹i phÐp ®Æt ta cã: x2  x  2  2 2x  3  x2  7x 10  0
7  89 Ph­
¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x  
TM;x 
7 89 (L)
2 2
0,25 ®

4. 1  5 1  5 7 
89
VËy ph­
¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm: x ;x ;x    .
2 2 2
Bμi 3: (2,0 ®iÓm)
a) Cho f x lμ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. BiÕt f 1.f 2  2013 ,
chøng minh ph­
¬ng tr×nh f x  0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
1,0 ®
Gi¶ sö ph­
¬ng tr×nh f x  0 cã nghiÖm nguyªn x = a
Suy ra: f x  x  a .gx víi gx lμ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn
0,25 ®
Ta cã: f 1  1 a.g1;f 2  2  a .g2
Suy ra f 1.f 2  1 a.2  a .g 1.g2  2013
0,25 ®
Do 1 - a vμ 2 - a lμ hai sè nguyªn liªn tiÕp nªn f 1.f 2 lμ sè nguyªn ch½n 0,25 ®
Mμ 2013 lμ mét sè lÎ suy ra v« lý
VËy ph­
¬ng tr×nh f x  0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
0,25 ®
b) Cho p lμ mét sè nguyªn tè. T×m p ®Ó tæng c¸c ­íc
nguyªn d­
¬ng cña p4 lμ
mét sè chÝnh ph­
¬ng.
1,0 ®
Do p lμ sè nguyªn tè nªn c¸c ­íc
sè nguyªn d­
¬ng cña p4 lμ: 1; p; p2; p3; p4 0,25 ®
§Æt S = 1+ p + p2 + p3 + p4
Gi¶ sö S = n2 4n2  4p4  4p3  4p2  4p  4 1 n
0,25 ®
Ta cã: 4p4  4p3  p2  2n2  4p4  p2  4  4p3  8p2  4p
       2p2  p 2  2n 2  2p2  p  2 2
0,25 ®
     4n2  2p2  p 1 2 2
Tõ (1) vμ (2) suy ra p2  2p  3  0 p  3
Thö l¹i víi p = 3 tháa m·n. VËy sè nguyªn tè cÇn t×m lμ: p = 3.
0,25 ®
Bμi 4: (3,0 ®iÓm)
x
F N
O
H
A
S K
E
M
B C

5. a) Chøng minh AE.AB = AF.AC. 1,0 ®
Ta cã: BEC  BFC  900 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng
trßn)
Nªn AFB  AEC  900
0,5 ®
AF AE
XÐt hai tam gi¸c AEC, AFB vu«ng t¹i E vμ F cã: cosBAC  
AB AC
AE.AB  AF.AC (®pcm)
0,5 ®
b) Chøng minh OA vu«ng gãc víi EF. 1,0 ®
Dùng tiÕp tuyÕn Ax cña ®­êng
trßn t©m (O) t¹i A  OA  Ax (1) 0,25 ®
BCA  BAx (gãc néi tiÕp vμ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vμ d©y cung) 0,25 ®
Mμ BCA  FEA (cïng bï víi BEF) nªn BAx  FEA 0,25 ®
Suy ra EF // Ax (hai gãc so le trong b»ng nhau) (2)
Tõ (1) vμ (2) ta cã: OA vu«ng gãc víi EF (®pcm) 0,25 ®
c) Tõ A dùng c¸c tiÕp tuyÕn AM, AN ®Õn ®­êng
trßn (K) víi M, N lμ c¸c
1,0 ®
tiÕp ®iÓm. Chøng minh ba ®iÓm M, H, N th¼ng hμng.
Ta cã: CE  AB;BF  AC nªn H lμ trùc t©m tam gi¸c ABC
Gäi S lμ giao ®iÓm cña AH vμ BC. Suy ra: AMK  ASK  ANK  900
Do ®ã: M, S, N cïng thuéc ®­êng
trßn ®­êng
kÝnh AK:
ANM  ASM  AMN3
0,25 ®
AFN,ANC ®ång d¹ng (g.g) AF AN AN2 AF.AC
    0,25 ®
AN AC
cosSAC AF AS AF.AC AH.AS
    AN2 AH.AS AN AS
AH AC
    0,25 ®
AH AN
Do ®ã: ANH,ASN ®ång d¹ng ANH  ASN  AMN 4
Tõ (3) vμ (4) ta cã: ANH  ANM. VËy M, H, N th¼ng hμng (®pcm).
0,25 ®
Bμi 5: (1,0 ®iÓm)
Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn: ac  bd 1. Chøng minh r»ng:
a2  b2  c2  d2  ad  bc  3
1,0 ®
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:
a2  b2  c2  d2  ad  bc  2 a2  b2 c2  d2   ad  bc
0,25 ®
 2  2  2    2 ad  bc  ac  bd  ad  bc  2 ad  bc 1  ad  bc 1 0,25 ®
§Æt ad  bc  x , ta chøng minh: S  2 x2 1  x  3 víi mäi x.
ThËt vËy, do 2 x2 1  x  0 víi mäi x nªn:
 2
S2  4x2  4x x2 1  x2 1 3  2x  x2 1  3
0,25 ®

6. Suy ra: S2  3S  3 2 .
Tõ (1) vμ (2) ta cã: a2  b2  c2  d2  ad  bc  3 (®pcm)
0,25 ®
------------ HÕt ------------