1. Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o
Hμ Nam
§Ò chÝnh thøc
Kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 THPT
N¨m häc: 2013 – 2014
M«n: To¸n (Chuyªn To¸n)
Thêi gian lμm bμi: 150 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bμi 1. (2,0 ®iÓm)
Cho biÓu thøc M = 2  2 - 3  3 2 - 3 - 2
a a  a b 
b a b a a
a 2 
3
ab
a) T×m ®iÒu kiÖn cña a vμ b ®Ó M x¸c ®Þnh vμ rót gän M.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña M khi a = 1 3 2 , b = 10 11 8
3

Bμi 2. (2,0 ®iÓm)
Cho ph­
¬ng tr×nh x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m lμ tham sè.
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­
¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt x, x, x.
123b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x2 + x2 + x2 = 11.
1
2
3
Bμi 3. (1,0 ®iÓm)
Cho sè nguyªn d­
¬ng n vμ c¸c sè A =
444.... 4
(A gåm 2n ch÷ sè 4); B = 888.....8
2
n
 (B gåm n
n
ch÷ sè 8). Chøng minh r»ng A + 2B + 4 lμ sè chÝnh ph­
¬ng.
Bμi 4. (4,0 ®iÓm)
Cho ®­êng
trßn (O), ®­êng
th¼ng d c¾t (O) t¹i hai ®iÓm C vμ D. Tõ ®iÓm M tuú ý trªn d
kÎ c¸c tiÕp tuyÕnMA vμ MB víi (O) (A vμ B lμ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lμ trung ®iÓm cña CD.
a) Chøng minh tø gi¸c MAIB néi tiÕp.
b) C¸c ®­êng
th¼ng MO vμ AB c¾t nhau t¹i H. Chøng minh H thuéc ®­êng
trßn ngo¹i
tiÕp COD.
c) Chøng minh r»ng ®­
¬ng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M thay ®æi trªn
®­êng
th¼ng d.
d) Chøng minh
2
2
MD = HA
MC HC
Bμi 5. (1,0 ®iÓm)
Cho ba sè thùc a, b, c > 0 tho¶ m·n a + b + c = 2013.
Chøng minh a + b + c 1
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
 .
DÊu ®¼ng thøc s¶y ra khi nμo?
HÕt
Hä tªn thÝ sinh:…………………………………….Sè b¸o danh:……………………….………….…….
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1:………………….….....Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 2:…………………………..

2. Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o
Hμ Nam
Kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 THPT
N¨m häc: 2013 – 2014
M«n: To¸n (Chuyªn To¸n)
H­íng
dÉn chÊm
(H­íng
dÉn nμy gåm 4 trang)
C©u Néi dung §iÓm
a) M = 2  2 - 3  3 2 - 3 - 2
a a  a b 
b a b a a
a 2 
3
ab
§K x¸c ®Þnh cña M:
a b a
a b
, 0 0
0 0
   
     
0,25
a a ab ab b a
2  2 2   M = 2 3 2 3  3 
2 2
a 2 
3
ab
0,25
a b a b a b a b
= 2  3 ( 2   3 )( 2  3 ) 
2 
3
a 2  3 ab a ( 2 a 
3 b )
a
0, 5
b) Ta cã M = 2 3b
 víi a = 1 3 2 , b = 10 11 8
a
 0,25
3
3 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2
1 3 2 (1 3 2)(3 2 1) 17
b
a
   
   
  
0,25
VËy  3 2 b 6 4 2 2 2 2 2
a
      0,25
C©u 1
(2,0 ®)
Tõ ®ã M = 2  (2  2)  2 0,25
a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)
   
2
        
2
    2
2 ( 3 2 1) 0
3 2 1 0(*)
x
x x x m
x x m
x
x x m
NÕu 2
2
3 2 1 0
 
    
trõ
0,25 ®iÓm
0,25
§Ó (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt th× pt (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 0,25
0 13 8 m
0 §iÒu kiÖn lμ
3 13
    
    m
    m    m

4 6 2 1 0 2 3 2 8
0,5
b) Ta cã ba nghiÖm ph©n biÖt cña ph­
¬ng tr×nh (1) lμ x= 2; x; xtrong ®ã x;
1 23 2xlμ hai nghiÖm ph©n biÖt cña pt (*) 0,25
3 Khi ®ã x2 + x2 + x2 = 11  2  2
1
2
3
2 3 2 3 2 3 2 3 4  x  x  2x x 11 x  x  2x x  7(**) 0,25
C©u 2
(2,0 ®)
x x
x x m
  
  
¸p dông ®Þnh lý Vi-Ðt ®èi víi pt (*) ta cã 2 3
2 3
3
. 2 1
(0,25 ®)
VËy (**) 9  2(2m1)  7m 1 (tho¶ m·n §K)
VËy m = 1 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m.
0,5
Ta cã  
C©u 3 A  444..... 4  444......4000...0 444..... 4  444.... 4. 10n  1 888.... 8
0,25
(1,0 ®)
2
n n n n n n
=
2
 
B B B
4.111....1.999....9 4.111....1.9.111....1 6.111....1
      
     0,25
n n n n  n


3.   =
         
0,25
    Khi ®ã
2 2 3 .888....8 3
4 4 n
B B B
2 2 2 2 4 3 2 4 3 2. 3 .2 4 3 2
A B    B  B  B    B  B    B  
4 4 4 4
     
     
=
           

      Ta cã ®iÒu ph¶I chøng minh.
2 2 2
3 .888....8 2 3.222....2 2 666....68
4 n n n
1
0,25
d
Q
H
I
B
A
C
O
D
M
a) MA, MB lμ c¸c iÕp tuyÕn cña (O)
 MAO  MBO  900
0,25
I lμ trung ®iÓm cña CD OI  CDMIO  900 0,25
 A, I, B cïng thuéc ®­êng
trßn ®­êng
kÝnh MO 0,25
 Tø gi¸c MAIB néi tiÕp ®­êng
trßn ®­êng
kÝnh MO.
b) MA = MB (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
OA = OB
 MO lμ ®­êng
trung trùc cña AB
0,25
 MO  AB
 MH.MO = MB2 (hÖ thøc l­îng
trong tam gi¸c vu«ng) (1)
  1
MBC  MBD  s® BC
2
 MBC  MDB(g.g)
 MB MD MC.MD MB2
   (2)
MC MB
0,25
Tõ (1) vμ (2)  MH.MO = MC.MD

MC  MO   MCH 
MOD(c.g.c)
MH MD
MHC  MDO

 
 0,25
C©u 4
(4,0 ®)
 tø gi¸c CHOD néi tiÕp 0,25

4.  H thuéc ®­êng
trßn ngo¹i tiÕp COD.
c) Gäi Q lμ giao ®iÓm cña AB vμ OI
Hai tam gi¸c vu«ng MIO vμ QHO cã IOH chung
 MIO  QHO
0,25
MO OQ
OI OH
OQ MOOH OA R
 . 2 2
OI OI OI

   
(R lμ b¸n kÝnh (O) kh«ng ®æi) 0,25
O, I cè ®Þnh  ®é dμi OI kh«ng ®æi
 l¹i cã Q thuéc tia OI cè ®Þnh
 Q lμ ®iÓm cè ®Þnh  ®pcm.
0, 5
d)     0
AHC 900 900 900 180

MHC ODC COD
      ( COD c©n t¹i O)
2
= 1800 1 1 3600  1 
 COD   sdCBCB  sdCAD
2 2 2
= CBD (3)
0,25
CAH  CDB (4) (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BC)
Tõ (3) vμ (4) AHC  DBC(g.g)
 HA BD
 (5)
HC BC
0,25
MBC  MDB(g.g) (chøng minh trªn)
MD MB BD
MB MC BC
BD 2
MD .
MB MD
BC MB MC MC
  
     
 
(6) 0,25
Tõ (5) vμ (6)
2
2
MD HA
MB HC
  0,25
Ta cã 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)
Theo B§T C«-Si cho hai sè d­
¬ng ta cã a2 + bc  2a bc . Tõ ®ã
a2 + bc + a(b + c)  2a bc +a(b + c) = a(b + c + 2 bc ) = a( b  c )2
0,25
VËy
a a a a
  
2013  2  
a  a  bc a  a b  c a a  b  c a  b 
c
(1) 0,25
C©u 5
(1,0 ®)
Chøng minh t­
¬ng tù ®­îc
b b
b 2013
b ca a b c

   
(2) vμ
c c
c 2013
c ba a b c

   
(3)
Céng tõng vÕ cña (1); (2); (3) ta ®­îc
a + b + c 1
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
a  b 
c
a b c
 
 
0,25

5. Dêu “=” x¶y ra
 2


 2
     
2 671
2013
a bc
b ca
a b c
c ab
a b c
 
   
0,25