1. BÀI TẬP MŨ VÀ LOGARIT
1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa
1.1 Rút gọn các biểu thức sau trong miền xác định của nó
a) P =
x
3
2 + y
3
2
(x2 − xy)
2
3
:
x
−2
3 3
√
x − y
x
√
x − y
√
y
.
b) Q = a3 ( 4
√
a + 4
√
b)2
+ ( 4
√
a − 4
√
b)2
a +
√
ab
. 3
a
√
a.
ĐS: a) P = x2
y + y2
; b) Q = 32a.
1.2 Cho x < 0, chứng minh rằng
−1 + 1 + 1
4
(2x − 2−x)2
1 + 1 + 1
4
(2x − 2−x)2
=
1 − 2x
1 + 2x
1.3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
2x
+ 2−x
2
.
ĐS: Đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (−∞; 0).
1.4 Xét hàm số f(x) =
2x
+ 2−x
2
và g(x) =
2x
− 2−x
2
. Chứng minh rằng ∀x1, x2 ta có các hệ
thức sau:
a) f(x1 + x2) + f(x1 − x2) = 2f(x1)f(x2).
b) g(2x1) = 2g(x1)f(x1).
c) f(2x1) = 2f2
(x1) − 1.
1.5 Cho hàm số f(x) =
4x
4x + 2
. Tính tổng
S = f
1
1993
+ f
2
1993
+ . . . + f
1992
1993
ĐS: S = 996.
2 Hàm số logarit
2.1 Rút gọn các biểu thức sau
a) A = 92 log3(4)+4 log81(2)
b) B = loga
a2 3
√
a
5
√
a4
4
√
a
với a > 0, a = 1.
1

2. ĐS: a) A = 1024; b) B =
31
20
.
2.2 Cho log12(27) = a. Tính theo a giá trị của log6(16).
ĐS: log6(16) =
12 − 4a
3 + a
.
2.3 Cho log14(28) = a. Tính theo a giá trị của log49(16).
2.4 Cho lg(392) = a; lg(112) = b. Tính log5(7) theo a và b.
ĐS: log5(7) =
4a − 3b
a − 2b + 5
.
2.5 Cho log2(3) = a; log3(5) = b; log7(2) = c. Tính log140(63) theo a, b và c.
ĐS: log140(63) =
2ac + 1
abc + 2c + 1
.
2.6 Cho log4(75) = a; log8(45) = b. Tính log 3√
25(135) theo a và b.
ĐS: log 3√
25(135) =
45b − 6a
8a − 6b
.
2.7 Cho a, b > 0 và a2
+ b2
= 7. Chứng minh rằng ∀α > 0, α = 1 ta có
logα
a + b
3
=
1
2
(logα a + logα b)
2.8 Chứng minh rằng 2014 = − log5


log5
5 5
. . .
5
√
5
2014 dấu căn


.
2.9 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền. Giả sử c ± b = 1.
Chứng minh
logc+b(a) + logc−b(a) = 2 logc+b(a). logc−b(a)
2.10 Cho log12(18) = α; log24(54) = β. Chứng minh rằng: α.β + 5(α − β) = 1.
2.11 Giả sử
x(y + z − x)
lg z
=
y(x + z − y)
lg y
=
z(y + x − z)
lg z
. Chứng minh rằng
xy
yx
= zy
yz
= zx
xz
2.12 Cho N > 0, N = 1. Chứng minh rằng
1
log2 N
+
1
log3 N
+ . . . +
1
log2014 N
=
1
log2014! N
2.13 Cho y = 10
1
1−lg x ; z = 10
1
1−lg y . Chứng minh rằng x = 10
1
1−lg z .
2.14 Tính các giới hạn sau
a) A = lim
x→0
e5x+3
− e3
2x
b) B = lim
x→0
ex
− 1
√
x + 1 − 1
c) C = lim
x→0
ln(1 + x3
)
2x
d) C = lim
x→0
ln(1 + 2x)
tan x
ĐS: A =
5e3
2
; B = 2; C = 0; D = 2.
2.15 Cho hàm số y = ln
1
1 + x
. Chứng minh rằng xy + 1 = ey
.
2

3. 2.16 Cho hàm số y =
1
1 + x + ln x
. Chứng minh rằng xy = y(ln x − 1).
2.17 Cho hàm số y = e−x
sin x. Chứng minh rằng y + 2y + 2y = 0.
2.18 Cho hàm số y = sin(ln x) + cos(ln x). Chứng minh rằng y + xy + x2
y = 0.
2.19 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số y = 3x2−3x+1
và y =
1
3
2−x
.
2.20 Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1 và x < y. Chứng minh rằng
1
y − x
ln
y
1 − y
− ln
x
1 − x
> 4.
2.21 Cho x > y > 0. Chứng minh
x + y
2
>
x − y
ln x − ln y
.
2.22 Chứng minh nếu x > 0 thì ln x <
√
x.
2.23 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =
ln2
x
x
trên [1; e3
].
3 Phương trình mũ và logarit
3.1 Giải các phương trình sau
a) (2 +
√
3)2x
= 2 −
√
3 b) 2x2−3x+2
= 4
c) 2.3x+1
− 6.3x−1
− 3x
= 9 d) 9x+1
= 272x+1
e) log2
1
x
= log1
2
(x2
− x − 1) f) log4(x + 12). logx 2 = 1
g) log3 x + log9 x + log27 x = 11 h) log3(3x
+ 8) = 2 + x
3.2 Giải các phương trình sau
a) log2[x(x − 1)] = 1 b) log2 x + log2(x − 1) = 1
c) log2 x + log4 x = log1
2
√
3 d) log2(3 − x) + log2(1 − x) = 3
e) 1 −
1
2
log(2x − 1) =
1
2
log(x − 9) f)
1
6
log2(x − 2) −
1
3
= log1
8
√
3x − 5
3.3 Giải các phương trình sau
a) 3x−1
.2x2
= 8.4x−2
b) 2x
.5x
= 0, 2. log(10x−1
)5
c) 0, 125.42x−3
= (4
√
2)x
d) 2x+1
.5x
= 200
e) 3x
.8
x
x−1 = 36 f) 32−log3 x
= 81x
g) 34x
= 43x
h) 5x−1
= 10x
.2−x
.5x+1
3.4 Giải các phương trình sau
a) 32x+5
= 3x+2
+ 2 b) 3.4x
− 2.6x
= 9x
c) 3x+1
+ 18.3−x
= 29 d) 27x
+ 12x
= 2.8x
e) log2
2 x − 3 log2 x + 2 = 0 f) logx−1 4 = 1 + log2(x − 1)
g)
1
5 − log x
+
2
1 + log x
= 1 h) log1
2
x + log2
2 x
3

4. 3.5 Giải các phương trình sau
a) 8.3x
+ 3.2x
= 24 + 6x
b) 12.3x
+ 3.15x
− 5x+1
= 20
c) 4x2−3x+2
+ 4x2+6x+5
= 42x2+3x+7
+ 1 d) 4x2+2x
+ 21−x2
= 2(x+1)2
+ 1
e) 2 log2
9 x = log3 x. log3(
√
2x + 1 − 1) f) log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x. log7 x
3.6 Giải các phương trình sau
a) 2x
= 3 − x b) 2x
= 2 − log3 x
c) log2 x = 3 − x d) 3x
+ 4x
= 5x
e) 4x
− 3x
= 1 f)
1
3
x
= x + 4
4 Bất phương trình mũ và logarit
4.1 Giải các bất phương trình sau
a) 23−6x
> 1 b) 16x
> 0, 125
c) 2x+2
− 2x+3
− 2x+4
> 5x+1
− 5x+2
d) log5(3x − 1) < 1
e) log1
3
(5x − 1) > 0 f) log0,5(x2
− 5x + 6) ≥ 1
g) log3 log1
2
(x2
− 1) < 1 h) log3
1 − 2x
x
≤ 0
i) log0,5(4x + 11) < log0,5(x2
+ 6x + 8) j) log1
3
(x + 1) > log3(2 − x)
4.2 Giải các bất phương trình sau
a) 9x
< 2.3x
+ 3 b) 52x+1
> 5x
+ 4
c) log2
0,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0 d) 2x
+ 2−x+1
− 3 < 0
e) 4x
− 2.52x
< 10x
f) 4x
− 3.2x
+ 2 > 0
g) log2
3 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0 h) log2
0,2 x − 5 log0,2 x < −6
i) 3 + x2
(2x−1
+ 22−x
) > 3x2
+ 22−x
+ 2x−1
5 Mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh đại học
5.1 (CĐ 2008). Giải phương trình log2
2(x + 1) − 6 log2
√
x + 1 + 2 = 0.
ĐS: x = 1; 3.
5.2 (Khối A - 2002). Cho phương trình log2
3 x + log2
3 +1 − 2m − 1 = 0 (với m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√
3
].
4

5. ĐS: a) x = 3
√
3
; b) 0 ≤ m ≤ 2.
5.3 (Khối A - 2004). Giải hệ phương trình



log1
4
(y − x) − log4
1
y
= 1
x2
+ y2
= 25.
.
ĐS: (3; 4).
5.4 (Khối A - 2006). Giải phương trình 3.8x
+ 4.12x
− 18x
− 2.27x
= 0.
ĐS: x = 1.
5.5 (Khối A - 2007). Giải bất phương trình 2 log3(4x − 3) + log1
3
(2x + 3) ≤ 2.
ĐS: 3
4
< x ≤ 3.
5.6 (Khối A - 2009). Giải hệ phương trình



log2(x2
+ y2
) = 1 + log2(xy)
3x2−xy+y2
= 81.
ĐS: (2; 2) và (−2; 2).
5.7 (Khối B - 2002). Giải bất phương trình logx (log3(9x
− 72)) ≤ 1.
ĐS: log9 73 < x ≤ 2.
5.8 (Khối B - 2005) Giải hệ phương trình



√
x − 1 +
√
2 − y = 1
3 log9(9x2
) − log3 y3
= 3.
ĐS: (1; 1) và (2; 2).
5.9 (Khối B - 2006). Giải bất phương trình log5(4x
+ 144) − 4 log5 2 < 1 + log5(2x−2
+ 1).
ĐS: 2 < x < 4.
5.10 (Khối B - 2007). Giải phương trình (
√
2 − 1)x
+ (
√
2 + 1)x
− 2
√
2 = 0.
ĐS: x = ±1.
5.11 (Khối B - 2008). Giải bất phương trình log0,7 log6
x2
+ x
x + 4
< 0
ĐS: x ∈ (−4; −3) ∪ (8; +∞).
5.12 (Khối B - 2010). Giải hệ phương trình



log2(3y − 1) = x
4x
+ 2x
= 3y2
(x, y ∈ R).
5.13 (Khối D - 2002). Giải hệ phương trình



23x
= 5y2
− 4y
4x
+ 2x+1
2x + 2
= y.
ĐS: (0; 1) và (2; 4).
5.14 (Khối D - 2003). Giải phương trình 2x2−x
− 22+x−x2
= 3.
ĐS: x = −1; x = 2.
5.15 (Khối D - 2006). Chứng minh rằng ∀a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất



ex
− ey
= ln(1 + x) − ln(1 + y)
y − x = a.
5.16 (Khối D - 2006) Giải phương trình 2x2+x
− 4.2x2−x
− 22x
+ 4 = 0.
5

6. ĐS: x = 0; 1.
5.17 (Khối D - 2007). Giải phương trình log2(4x
+ 15.2x
+ 27) + 2 log2
1
4.2x − 3
= 0
ĐS: x = log2 3.
5.18 (Khối D - 2008). Giải bất phương trình log1
2
x2
− 3x + 2
x
≥ 0.
ĐS: x ∈ [2 −
√
2; 1) ∪ (2; 2 +
√
2]
5.19 (Khối D - 2010). Giải phương trình 42x+
√
x+2
+ 2x3
= 42+
√
x+2
+ 2x3+4x−4
.
ĐS: x = 1; 2.
5.20 (Khối D - 2010). Giải hệ phương trình



x2
− 4x + y + 2 = 0
2 log2(x − 2) − log√
2 y = 0
ĐS: (3; 1).
6