calculus 2 exams for engineers

1. Analisi Matematica 2 (Informatica, Universit`a di Cagliari), 2006/2007
Parziale n. 1, 13. 04. 2007 VERSIONE A
Cognome e nome: .................................................................................. Matricola: ..................
1. Studiare la convergenza mediante criteri di convergenza) per le seguenti seri numeriche.
a)
∞
n=0
2n − 5
7n
. Potete trovare la somma?
b)
∞
n=1
(−2)3n + 5
n7n
2. Dare definizioni equivalenti della convergenza uniforme per successioni di funzioni fn(x), x ∈ I,
n ∈ IN. Inoltre, per la serie di potenze
∞
n=1
(−7)n + 23n
n
x +
1
7
n
trovare:
i) il suo raggio di convergenza ρ.
ii)∗ l’insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.
iii)∗∗ Per quali a < b la serie converge uniformemente in [a, b] (giustificare la risposta). 1
3. Sia f(x), x ∈ IR, 2π periodica e pari definita da f(x) = −3|x|/2, x ∈ [−π, 0].
a) Disegnare il grafico di f(x) (in modo approssimativo). Trovare f(−123π/4).
b) Trovare la serie di Fourier
a0
2
+
∞
k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) di f e studiare la convergenza.
4. Scrivere la definizione di: gradiente, differenziabilit`a, l’equazione del piano tangente in un punto
del grafico di una funzione differenziabile. Inoltre, se f(x, y) = 8x3 − y3 + 24xy.
i) Trovare le derivate parziali fx, fy e la derivata direzionale Dνf nel punto (1/2, −1) , dove ν =
(cos(2π/3), sin(2π/3)). Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel (1/2, −1, f(1/2, −1)).
ii) Trovare i massimi e minimi locali di f. Esistono massimi e minimi assoluti?
5. Risolvere le seguenti equazioni differenziali:
a)∗ y (x) = (1 − 2y)3
cos(4x), y(π/8) = 1.
b) y (x) = −5y(x) +
cos(3x)
e5x
.
6. Risolvere le seguenti equazioni differenziali del secondo ordine:
a) y − 4y + 8y = 0.
b)∗ ¨x(t) + 9x(t) = −36 cos2
(3t/2), x(0) = −2, ˙x(0) = 0. 2
1
Facoltativo: Potete trovare la somma della serie, usando la serie di McLaurin ln(1 + t) =
∞
n=1
(−1)n−1
n
tn
?
2
Formulario pertinente: cos2
ϕ = 1+cos(2ϕ)
2
.