examination for engineers; calculus 2

1. Analisi Matematica 2 (Informatica, Universit`a di Cagliari), 2007/2008
Parziale n. 1, 21. 04. 2008 VERSIONE B
Cognome e nome: .................................................................................. Matricola: ..................
1. (4 pt) Studiare la convergenza e la convergenza assoluta per le seguenti serie numeriche.
a)
∞
n=0
(−4)n − 7
6n
. Potete trovare la somma?
b)
∞
n=1
(−2)3n + 9
n8n
2. (6 pt) Dare definizioni equivalenti della convergenza uniforme di una successione di funzioni
fn(x), n = 1, 2, . . ., x ∈ I. Inoltre, per la serie di potenze
∞
n=1
(−8)n+1 + 32n
n2
x +
1
9
n
trovare:
i) il suo raggio di convergenza ρ;
ii) l’insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.
iii) Per quali a < b la serie converge uniformemente in [a, b] (giustificare la risposta).
3. (5 pt) Sia f(x), x ∈ IR, 2π periodica e pari definita da f(x) = −|x|/3, x ∈ [−π, 0].
a) Disegnare il grafico di f(x) (in modo approssimativo). Trovare f(−203π/4).
b) Trovare la serie di Fourier
a0
2
+
∞
k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) di f e studiare la convergenza.
4. (6 pt) Scrivere la definizione di: derivata direzionale, derivate parziali, gradiente, differenziabilit`a.
Inoltre, se f(x, y) = x3 + 8y3 + 24xy,
i) trovare le derivate parziali fx, fy e la derivata direzionale Dνf nel punto (2, −1) , dove ν =
(cos(2π/3), sin(2π/3)). Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel (2, −1, f(2, −1));
ii) trovare i massimi e minimi locali di f. Esistono massimi e minimi assoluti?
5. (5 pt) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:
a) y (x) = (3 − 4y)3
e8x
, y(0) = 1.
b) y (x) = −
2
x
y(x) +
cos(3x)
x2
, x > 0, y(π) = 0.
6. (4 pt) Risolvere le seguenti equazioni differenziali del secondo ordine:
a) y (x) − 6y (x) + 13y(x) = 0;
b) ¨x(t) + 16x(t) = cos2
(2t). 1
1
Formulario pertinente: cos2
ϕ =
1 + cos(2ϕ)
2
.