1. OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR; ALPHA CUT DAN SIFAT-SIFATNYA
Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Teori Himpunan Samar
Dosen : Prof. Dr. Agus Maman Abadi, M.,Si
Disusun oleh:
Arma Wangsa 20309251009
Nadya Amalia Juana 20309251021
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2021
2. OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR; ALPHA CUT DAN SIFAT-SIFATNYA
Operasi dasar pada himpunan klasik memuat komplemen, gabungan dan irisan.
Begitupun pada himpunan samar memuat operasi fuzzy standar seperti, komplemen,
gabungan dan irisan. Ketiganya merupakan operasi yang paling umum dalam aplikasi praktis
teori himpunan fuzzy.
A. Himpunan yang sama
Himpunan samar A dan B pada himpunan universal S dikatakan sama jika dan
hanya jika ๐๐ด(๐ฅ) = ๐๐ต(๐ฅ) untuk setiap ๐ฅ anggota himpunan universal S.
B. Komplemen
Komplemen dilambangkan c pada himpunan tegas. Diberikan himpunan samar A
dituliskan ๐๐ดฬ . Untuk setiap ๐ฅ โ ๐, maka ๐๐ด(๐ฅ) merepresentasikan derajat keanggotaan x
pada himpunan samar A, sedangkan ๐๐ดฬ (๐ฅ) merepresentasikan derajat keanggotaan yang
tidak termasuk ke dalam himpunan samar A. Fungsi keanggotaan komplemen pada
himpunan samar didefinisikan sebagai:
๐๐ดฬ (๐ฅ) = 1 โ ๐๐ด(๐ฅ)
Contoh:
1. Didefinisikan himpunan samar C adalah himpunan internet kecepatan tinggi pada
himpunan universal [0,100] dalam mbps dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
๐๐ถ (๐ฅ) = {
0 ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ โค 5
1 โ 2 [
25 โ ๐ฅ
20
]
2
๐ข๐๐ก๐ข๐ 5 < ๐ฅ โค 25
1 ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ > 25
Grafik untuk fungsi keanggotaan himpunan C dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1. Contoh Komplemen
3. C. Gabungan
Gabungan himpunan samar A dan B merupakan himpunan samar pada himpunan
universal S yang dilambangkan dengan ๐๐ด โช ๐๐ต , dengan fungsi keanggotaan yang
didefinisikan sebagai berikut:
๐๐ด โช ๐๐ต(๐ฅ) = ๐๐x [๐๐ด(๐ฅ),๐๐ต(๐ฅ)]
Contoh :
1. Diberikan himpunan universal S dari n pasien, yang disimbolkan dengan 1,2,โฆ,n.
Diberikan A dan B himpunan samar yang menunjukkan pasien pada himpunan
universal S yang memiliki tekanan darah yang tinggi dan demam tinggi. Maka kita
dapat menentukan ๐๐ด โช ๐๐ต seperti pada ilustrasi Tabel 1 di bawah ini.
Tabel 1. Ilustrasi Standar Gabungan Fuzzy
Pasien A (tekanan darah) B (demam) ๐๐ด โช ๐๐ต
1 1.0 1.0 1.0
2 0.5 0.6 0.6
3 1.0 0.1 1.0
โฆ โฆ โฆ โฆ
n 0.1 0.7 0.7
2. Misalkan terdapat gabungan antara himpunan samar mahasiswa berpengalaman dengan
komplemennya, dan himpunan siswa yang tidak memiliki pengalaman wisuda waktu
Sekolah Dasar SD. Perhatikan pada gambar di bawah ini pada area garis yang
ditebalkan.
Gambar 2. Contoh Gabungan dan komplemennya
๐ด โช ๐ดฬ = ๐
4. Pada teori himpunan klasik tidak berlaku pada himpunan samar. Kita dapat dengan
mudah melihat bahwa aturan tersebut kontradiksi dengan himpunan samar. untuk
semua elemen x pada himpunan universal S bahwa ๐ด(๐ฅ) โ [0.1]
Misal : ๐ด(๐ฅ) = 0.6
Maka ๐ดฬ (๐ฅ) = 1 โ 0.6 = 0.4
๐ด โช ๐ดฬ (๐ฅ) = max[0.6,0.4] = 0.6
Maka x bukan merupakan bagian dari himpunan universal S karena telah melanggar
aturan.
D. Irisan
Irisan himpunan samar A dan B merupakan himpunan samar pada himpunan universal S
yang dilambangkan dengan ๐๐ด โฉ ๐๐ต, yang dapat didefinisikan pada fungsi keanggotaan
sebagai berikut:
๐๐ด โฉ ๐๐ต(๐ฅ) = ๐๐๐ [๐๐ด(๐ฅ), ๐๐ต(๐ฅ)]
Contoh:
Diberikan A yang menunjukkan himpunan fuzzy dari sungai-sungai terpanjang dan B yang
menunjukkan himpunan fuzzy sungai-sungai yang dapat dilalui untuk berlayar. Ilustrasi
pada Tabel 2 di bawah ini yang menunjukkan contoh dari 5 sungai-sungai tersebut.
Tabel 2. Ilustrasi Standar Irisan Fuzzy
Sungai
A (sungai
terpanjang)
B (sungai untuk
berlayar)
๐๐ด โฉ ๐๐ต
Amazon 1.0 0.8 0.8
Nil 0.9 0.7 0.7
Yang-Tse 0.8 0.8 0.8
Danube 0.5 0.6 0.5
Rhein 0.4 0.3 0.3
5. E. Alpha Cut, Support, Core dan Hight
1. ๐ถ-cut pada Himpunan Samar
Diberikan himpunan samar A dengan universal X, untuk semua ๐ผ ฯต [0,1], ๐ผ-
cut dari suatu himpunan samar A adalah himpunan tegas yang memuat semua elemen
dari X dengan derajat keanggotaan dalam A yang lebih besar atau sama dengan ๐ผ.
๐ผ๐ด = {x ฯต X | A(x) โฅ ๐ผ}
Contoh:
Diberikan himpunan samar E yaitu himpunan buku yang mahal. Harga buku tersebut
berkisar dari harga 0 sampai 100 dolar. Derajat keanggotaan ditulis dalam bentuk
berikut.
X = {0,10, 20, ... 100}
E = {
0
0
+
0
10
+
0
20
+
0,2
30
+
0,4
40
+
0,6
50
+
0,8
60
+
1
70
+
1
80
+
1
90
+
1
100
}
Gambar 3. Grafik contoh himpunan E
Himpunan samar yang diberikan selalu dihubungkan dengan himpunan bagian
dari himpunan tegas dari X. Setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari elemen-
elemen dari X yang derajat keanggotaannya di himpunan samar adalah termasuk ke
dalam himpunan bagian dari himpunan tegas yaitu [0,1]. Sebagai contoh, perhatikan
himpunan samar E, dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa rentang harga buku yang
termasuk dalam himpunan dengan derajat keanggotaan pada interval tertutup [0.2,0.6]
digambarkan oleh interval tertutup [30,50], di mana itu adalah himpunan bagian dari
6. himpunan universal [0,100]. Sama halnya dengan rentang buku dari himpunan samar
dengan derajat keanggotaan kurang dari 0,8 yaitu [0,60]. Sedangkan untuk derajat
keanggotaan 0,8 atau lebih yaitu [0,0.6]. Pada umumnya, untuk setiap pembatasan
derajat keanggotaan, kita dapat menentukan himpunan bagian unik dari himpunan
universal [0,100].
0 E= [0,100] atau 0E = {0, 10,...., 100}
0,2E= [30,100] atau 0,2E = {30, 40,...., 100]
0,6E= [50,100] atau 0,6E = {50, 60,...., 100]
0,8E= [60,100] atau 0,8E = {60, 70,...., 100]
1E = [70,100] atau 1E = {70, 80,...., 100]
Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa jika nilai ๐ผ bertambah maka ukuran ๐ผ-
cut tidak bertambah, namun justru tetap atau berkurang. Sehingga untuk setiap
himpunan samar A, jika ๐ผ1 < ๐ผ2 maka ๐ผ1๐ด
โ ๐ผ2๐ด
dan berakibat:
๐ผ1๐ด
โฉ ๐ผ2๐ด
= ๐ผ2๐ด
๐ผ1๐ด
โช ๐ผ2๐ด
= ๐ผ1๐ด
2. Strong ๐ถ-cut
Strong ๐ผ-cut dari suatu himpunan samar A dilambangkan dengan ๐ผ +๐ด dan
didefinisikan sebagai berikut:
๐ผ +๐ด = {x ฯต X | A(x) > ๐ผ}
Jadi strong ๐ผ-cut merupakan himpunan tegas yang memuat semua anggota
pada himpunan universal dari himpunan samar A yang memiliki derajat keanggotaan
lebih dari nilai ๐ผ tertentu.
Contoh:
Menggunakan himpunan samar E pada contoh sebelumnya maka kita dapat
menentukan beberapa strong ๐ผ-cut.
0+ E = (20,100]
0,2+E= (30,100]
7. 0,6+E= (50,100]
1+ E = โ
Pada strong ๐ผ-cut suatu himpunan samar juga berlaku sifat ๐ผ-cut yaitu, untuk setiap
himpunan samar A, jika ๐ผ1 < ๐ผ2, maka ๐ผ1+๐ด
โ ๐ผ2+๐ด
dan berakibat :
๐ผ1+๐ด
โฉ ๐ผ2+๐ด
= ๐ผ+2๐ด
๐ผ+1๐ด
โช ๐ผ2+๐ด
= ๐ผ1+๐ด
Contoh ๐ถ-cut dan strong ๐ถ-cut
Dalam universal R diketahui himpunan samar B dengan fungsi keanggotaan sebagai
berikut:
B(x) = {
0 ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ < 1
0,4 (๐ฅ โ 1) ๐ข๐๐ก๐ข๐ 1 โค ๐ฅ โค 3
0,8 ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ > 3
Maka:
0,5B= {x ฯต R | 2.25 โค ๐ฅ < โ}
Dan
0,5+B= {x ฯต R | 2.25 < ๐ฅ < โ}
3. Support
Support dari himpunan samar A yang dilambangkan dengan Supp(A), adalah
himpunan tegas yang memuat semua unsur dari universal yang mempunyai derajat
keanggotaan lebih besar dari nol dalam himpunan samar A. Dapat juga di definisikan
sebagai strong ฮฑ-cut untuk ฮฑ = 0.
Supp(A) = 0+A = {x ฯต X | A(x) > 0}
Support himpunan samar E adalah (20,100]
4. Core
Core dari himpunan samar A, yang dilambangkan dengan core(A), adalah
himpunan tegas yang memuat semua unsur dari universal yang mempunyai derajat
8. keanggotaan sama dengan 1 (satu). Dapat juga di definisikan sebagai ฮฑ-cut dengan ฮฑ =
1.
Core(A) = 1A = {x ฯต X | A(x) โฅ 1} = {x ฯต X | A(x) = 1}
Core dari himpunan samar E adalah [70,100].
5. Hight
Height dari suatu himpunan samar A, yang dilambangkan dengan h(A). Dapat
juga didefinisikan sebagai nilai terbesar dari ฮฑ-cut yang tidak kosong. Himpunan samar
yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan samar normal, sedangkan himpunan
samar yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan samar subnormal. Tinggi (height)
dari himpunan samar E adalah 1 (normal).
Untuk visualisasi dari ฮฑ-cut, support, core, dan height dapat dilihat pada gambar
berikut:
Gambar 3. Visualisasi Dari ฮ-Cut, Support, Core, dan Height
6. Representasi ๐ถ-cut
Salah satu cara untuk merepresentasikan himpunan samar adalah dengan
menggunakan ๐ผ โ ๐๐ข๐ก.
Contoh:
Diketahui himpunan samar A pada himpunan universal ๐ = {๐ฅ1, ๐ฅ2,๐ฅ3, ๐ฅ4,๐ฅ5}, ๐ด =
0.2
๐ฅ1
+
0.4
๐ฅ2
+
0.6
๐ฅ3
+
0.8
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
. Dapat direpresentasikan pada himpunan samar dengan menggunakan
9. ๐ผ-cut, dengan cara menunjukkan apakah elemen tersebut masuk ke dalam ๐ผ-cut yang
didefinisikan oleh nilai ๐ผ. Himpunan A mengikuti nilai karakteristik fungsi seperti di
bawah ini:
0.2๐ด =
1
๐ฅ1
+
1
๐ฅ2
+
1
๐ฅ3
+
1
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
0.4๐ด =
0
๐ฅ1
+
1
๐ฅ2
+
1
๐ฅ3
+
1
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
0.6๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
1
๐ฅ3
+
1
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
0.8๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
0
๐ฅ3
+
1
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
1๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
0
๐ฅ3
+
0
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
Selanjutnya konversikan ๐ผ โ ๐๐ข๐ก menjadi himpunan samar ๐ผA khusus yang didefiniskan
untuk setiap x โ X sebagai berikut:
๐ผ๐ด = ๐ผ x ๐ผ
๐ด
Sehingga dengan menggunakan rumus di atas didapat:
0.2๐ด =
0.2
๐ฅ1
+
0.2
๐ฅ2
+
0.2
๐ฅ3
+
0.2
๐ฅ4
+
0.2
๐ฅ5
0.4๐ด =
0
๐ฅ1
+
0.4
๐ฅ2
+
0.4
๐ฅ3
+
0.4
๐ฅ4
+
0.4
๐ฅ5
0.6๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
0.6
๐ฅ3
+
0.6
๐ฅ4
+
0.6
๐ฅ5
0.8๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
0
๐ฅ3
+
0.8
๐ฅ4
+
0.8
๐ฅ5
1๐ด =
0
๐ฅ1
+
0
๐ฅ2
+
0
๐ฅ3
+
0
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
Gabungan khusus dari kelima himpunan samar di atas merupakan himpunan samar A itu
sendiri.
๐ด โช ๐ต(๐ฅ) = ๐๐x [๐๐ด(๐ฅ), ๐๐ต(๐ฅ)]
(0.2A โช 0.4A โช 0.6A โช 0.8A โช 1A)(x) = max [0.2A(x), 0.4A(x), 0.6A(x), 0.8A(x), 1A(x)]
0.2A โช 0.4A โช 0.6A โช 0.8A โช 1A =
0.2
๐ฅ1
+
0.4
๐ฅ2
+
0.6
๐ฅ3
+
0.8
๐ฅ4
+
1
๐ฅ5
= A
Secara umum aturan tersebut disebutkan dalam Teorema 5.1 atau yang dikenal dengan
10. teorema dekomposisi fuzzy.
Teorema Dekomposisi Fuzzy
Diketahui A dan ๐ด
ฬ๐ผ himpunan samar di P dan ๐ด
ฬ๐ผ didefinisikan sebagai ๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ) =๐ผ ๐ผ๐ด
ฬ๐ผ
,
maka:
๐ด = โ ๐ด
ฬ๐ผ
๐ผโ[0,1]
Dimana โช merupakan gabungan dari himpunan samar standar (yaitu, sup dari ๐ผ โ [0,1]).
Bukti:
๐โช๐ผโ[0,1]
๐ด
ฬ๐ผ (๐ฅ) = ๐ ๐ข๐๐ผโ[0,1]๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ) = max[๐ ๐ข๐๐ผโ[0,๐ผ] ๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ),๐ ๐ข๐๐ผโ[๐ผ,1] ๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ)]
Untuk setiap ๐ผ โ [0,1] kita dapatkan ๐๐ด(๐ฅ) = ๐ < ๐ dan ๐ฅ โ ๐ด
ฬ๐ผ hal tersebut berakibat
๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ) = 0. Jika ๐ผ โ [0,๐ผ] , maka ๐๐ด(๐ฅ) = ๐ โฅ ๐ dan ๐ฅ โ ๐ด
ฬ๐ผ dan kita dapatkan
๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ) = ๐ผ. Oleh karena itu:
๐โช๐ผโ[0,1]
๐ด
ฬ๐ผ(๐ฅ) = ๐ ๐ข๐๐ผโ[0,๐ผ] ๐ผ = ๐ผ = ๐๐ด
ฬ๐ผ
(๐ฅ)
Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa jika ๐ผ โ ๐๐ข๐ก dapat ditentukan dari
himpunan samar untuk semua ๐ผ โ [0,1] kita dapat menunjukkan himpunan samar itu
sendiri. Oleh karena itu menentukan himpunan samar sama dengan menentukan semua
๐ผ โ ๐๐ข๐ก pada himpunan tersebut ๐ผ โ [0,1].
7. Cutworthy Properties Of Fuzzy Sets
Representasi dari ๐ผ โ ๐๐ข๐ก menunjukkan hal penting yang menghubungkan teori
himpunan klasik dan teori himpunan samar. Hubungan kedua teori ini dapat memperluas
berbagai sifat dari himpunan klasik menuju himpunan samar. Sifat dari himpunan klasik
dapat diperluas menjadi sifat himpunan samar melalui ๐ผ โ ๐๐ข๐ก dari himpunan samar yang
relevan. Beberapa sifat himpunan samar yang diturunkan dari himpunan klasik ini
dinamakan cutworthy properties.
11. Contoh:
Definisi dari persamaan ini adalah
๐ด = ๐ต jika dan hanya jika ๐ผ๐ด(๐ฅ) = ๐ผ๐ต(๐ฅ)untuk semua ๐ผ โ [0,1]
Teorema 5.2
Untuk dua himpunan samar A, B dan ๐ผ โ [0,1]
a. ๐ผ(๐ด โช ๐ต) = ๐ผ๐ด โช ๐ผ๐ต
b. ๐ผ(๐ด โฉ ๐ต) = ๐ผ๐ด โฉ ๐ผ๐ต
Teorema tersebut dapat dipahami melalui ilustrasi di bawah ini:
a. ๐ผ(๐ด โช ๐ต) = ๐ผ๐ด โช ๐ผ๐ต
Gambar 4. ๐ถ(๐จ โช ๐ฉ) = ๐ถ๐จ โช ๐ถ๐ฉ
b. ๐ผ(๐ด โฉ ๐ต) = ๐ผ๐ด โฉ ๐ผ๐ต