Dạng Legendre và ứng dụng.pdf

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ NGỌC MAI
DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2018

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ NGỌC MAI
DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội - Năm 2018

3. Mục lục
Lời cảm ơn 3
Danh sách ký hiệu 4
Mở đầu 5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Giả thiết và kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Minh họa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Minh họa II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Minh họa III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Tính chất J-transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của dạng toàn phương . . . . . . . . 21
1.5 Dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu hạn . . . . . . . . 23
1.6 Dạng toàn phương xác định dương và không kỳ dị . . . . . . . . 25
Kết luận 27
Chương 2. Dạng Legendre 28
2.1 Dạng Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Dạng toàn phương tựa không kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Cặp Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận 41
Chương 3. Ứng dụng của dạng Legendre 42
3.1 Sơ lược về giải tích biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Ứng dụng của dạng Legendre trong giải tích biến phân . . . . . 45
1

4. 3.2.1 Quy tắc nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Dạng tựa Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Lý thuyết tiêu điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Một ứng dụng của lý thuyết tiêu điểm . . . . . . . . . . 56
3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không
lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kết luận 61
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63
2

5. Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan
tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ -
Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng
như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, đã có công lao
dạy dỗ em trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường.
Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, ngày 23 tháng 9 năm 2018
Học viên
Vũ Thị Ngọc Mai
3

6. Danh sách ký hiệu
A Không gian tuyến tính
B Lớp con của A
B0 Tập các véctơ Q-tranversal của B
(x, y) Tích trong của x và y
|x| Chuẩn của x
|x − y| Khoảng cách từ x tới y
xq → x0 Dãy véctơ {xq} hội tụ yếu tới x0
xq ⇒ x0 Dãy véctơ {xq} hội tụ mạnh tới x0
L(x) Dạng tuyến tính
B(x, y) Dạng song tuyến tính
Q(x) Dạng toàn phương
K(x, y) Dạng song tuyến tính liên tục
J(x) Dạng Legendre
L2 Không gian các hàm bình phương khả tích
S Đoạn aj
≤ tj
≤ bj
, j = 1, . . . , p trong không gian p chiều
(a) Tập các số a1
, . . . , ar
mq Căn bậc 2 dương của độ đo của Sq
i Chỉ số của dạng toàn phương Q(x)
n Số khuyết của dạng toàn phương Q(x)
Ajk(s, t) Hàm bình phương khả tích Lebesgue trên S × S
Rjk(t) Hàm khả tích bị chặn cốt yếu trên S
Pjk(t) Hàm khả tích
Qjk(t) Hàm bình phương khả tích
H Không gian Hilbert
T Toán tử tuyến tính tự liên hợp
4

7. Mở đầu
Giải tích biến phân là một lĩnh vực của toán giải tích mà sử dụng biến phân,
mà là sự thay đổi nhỏ của hàm và phiếm hàm, để tìm cực đại và cực tiểu của
phiếm hàm. Các phiếm hàm thường được biểu diễn bằng tích phân xác định
của hàm số cùng các đạo hàm của chúng.
Một trong những chương thú vị của giải tích biến phân là lý thuyết chỉ số.
Nó có hai khía cạnh, lý thuyết trong toàn cục và lý thuyết trong bộ phận nhỏ.
Một phần quan trọng của lý thuyết trong bộ phận nhỏ là lý thuyết chỉ số của
biến phân cấp hai. Lý thuyết về biến phân cấp hai có thể được tiếp cận từ
nhiều quan điểm.
Hestenes [5] là người đã nghiên cứu sự liên hệ giữa dạng toàn phương trong
không gian Hilbert với lý thuyết biến phân cấp hai. Một dạng toàn phương
J(x) được gọi là thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre nếu nó có thể được
biểu diễn dưới dạng J(x) = D(x) − K(x), trong đó D(x) xác định dương và
K(x) liên tục đối với tôpô yếu. Về bản chất, điều kiện này được thỏa mãn khi
và chỉ khi sự hội tụ yếu và sự hội tụ của các giá trị tương ứng của J(x) kéo
theo sự hội tụ mạnh. Dạng J(x) mà thỏa mãn điều kiện thứ hai được gọi là
dạng Legendre.
Trong Chương 3 ta sẽ thấy rằng dạng Legendre có chỉ số (âm) hữu hạn và
số khuyết hữu hạn. Các số này là cơ bản trong giải tích biến phân. Ví dụ số
khuyết được dùng để miêu tả số nghiệm độc lập tuyến tính của một phương
trình vi phân nhất định hoặc phương trình vi tích phân thỏa mãn điều kiện
biên cho trước. Chỉ số có thể được dùng để miêu tả số dao động của nghiệm
của các phương trình vi phân này. Kết quả này là hệ quả của lý thuyết tiêu
điểm.
5

8. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương là một câu hỏi quan
trọng và thú vị trong lý thuyết tối ưu. Trong bài toán quy hoạch toàn phương
lồi hoặc không lồi, tính chất Legendre của dạng toàn phương trong trong hàm
mục tiêu là không thể bỏ qua để đảm bảo bài toán luôn có nghiệm.
Các dẫn chứng bên trên chỉ là một phần rất nhỏ trong sự liên hệ đa dạng
của dạng Legendre với lý thuyết giải tích biến phân và minh họa một cách ứng
dụng của dạng Legendre trong bài toán quy hoạch toàn phương. Trong luận
văn này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, chúng tôi trình
bày đề tài “Dạng Legendre và ứng dụng” dựa theo bài báo “Applications of the
thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations” của
Hestenes [5] và bài báo “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic
Programming Problems in Hilbert Spaces” của V.V Dong và N.N. Tam [3].
Mục đích của luận văn là hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về dạng
toàn phương trong không gian Hilbert, một số tính chất cơ bản của dạng toàn
phương, khái niệm chỉ số và số khuyết của dạng toàn phương, khái niệm dạng
Legendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre cùng một số ứng dụng của chúng.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Dạng Legendre
Chương 3. Ứng dụng của dạng Legendre
6

9. Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trước tiên, chúng tôi xin trình bày các khái niệm cơ sở nền tảng như tích
trong, tính trực giao, tính Q-trực giao, hàm liên tục, hàm liên tục yếu, hàm nửa
liên tục dưới yếu, dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương,
tính chất J-transversality, tính nửa liên tục dưới yếu, khái niệm chỉ số và số
khuyết của dạng toàn phương, khái niệm xác định dương và không kỳ dị của
dạng toàn phương.
1.1 Giả thiết và kiến thức chuẩn bị
Cho A là một không gian tuyến tính trên trường số thực. Các phần tử của
A, được gọi là các véctơ, được ký hiệu bằng x, y, z, . . .. Số thực, được gọi là
số vô hướng, được ký hiệu bằng a, b, c, . . .. Tổng của hai véctơ x và y được
ký hiệu bằng x + y, và tích của x với số vô hướng b được ký hiệu bằng bx
hoặc xb. Lớp con B của A mà đóng kín đối phép cộng và phép nhân vô hướng
được gọi là lớp con tuyến tính của A. Số chiều của B là số véctơ độc lập tuyến
tính trong B trong tập lớn nhất gồm các véctơ độc lập tuyến tính. Tập véctơ
x1, . . . , xn được gọi là sinh ra lớp con tuyến tính B của A gồm tất cả các véctơ
có dạng a1x1 + · · · + anxn. Nếu các véctơ x1, . . . , xn độc lập tuyến tính, chúng
tạo thành một cơ sở của lớp con B mà chúng sinh ra. Một lớp con tuyến tính
B của A được gọi là tổng trực tiếp của các lớp con tuyến tính B1, . . . , Bn nếu
mọi véctơ x trong B biểu diễn duy nhất thành tổng x = x1 +· · · xn với xi trong
Bi (i = 1, . . . , n) và nếu mọi véctơ tổng như này thuộc B.
7

10. Giả sử ta có một hàm đối xứng (x, y) ánh xạ A × A vào tập số thực, nó
được gọi là tích trong của x và y nếu nó có các tính chất sau:
(a) (x, x) ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0,
(b) (x, ay + bz) = a(x, y) + b(x, z),
(c) tất cả dãy Cauchy có giới hạn, tức là cho một dãy {xq} thỏa mãn
lim
p,q→∞
|xp − xq| = 0,
trong đó |x| = (x, x)1/2
, tồn tại một véctơ x0 trong A sao cho
lim
q→∞
|xq − x0| = 0. (1.1)
Đại lượng |x| ≡ (x, x)1/2
được gọi là chuẩn hay độ dài của x và thỏa mãn các
hệ thức
|x| ≥ 0, |ax| = |a||x|, |(x, y)| ≤ |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y|.
Đại lượng |x − y| ký hiệu khoảng cách từ x tới y.
Hai véctơ x và y gọi là trực giao nếu (x, y) = 0. Véctơ x gọi là trực giao với
lớp con B của A nếu nó trực giao với mọi véctơ y trong B. Hai lớp con B và C
gọi là trực giao nếu mọi véctơ x trong B trực giao với mọi véctơ y trong C. Tập
tất cả các véctơ trực giao với lớp con B được gọi là phần bù trực giao của B.
Định nghĩa 1.1.1 ([5]). Dãy véctơ {xq} được gọi là hội tụ mạnh tới véctơ
x0, ký hiệu xq ⇒ x0, nếu
lim
q→∞
|xq − x0| = 0.
Nó được gọi là hội tụ yếu tới x0, ký hiệu xq → x0, nếu
lim
q→∞
(xq, y) = (x0, y) (1.2)
với mọi véctơ y trong A. Nó bị chặn nếu dãy chuẩn của nó {|xq|} bị chặn.
Ký hiệu aq → a0 thường được dùng để biểu thị rằng dãy số {aq} hội tụ tới
a0. Một tập con đóng của A được hiểu là tập đóng với phép hội tụ mạnh.
8

11. Định nghĩa 1.1.2 ([5]). Hàm giá trị thực f(x) xác định trên A được gọi là
liên tục nếu f(xq) → f(x0) khi xq ⇒ x0. Nó được gọi là liên tục yếu nếu
f(xq) → f(x0) khi xq → x0. Nếu
lim inf
q→∞
f(xq) ≥ f(x0)
khi xq → x0, thì f(x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên A, tức là nửa liên
tục dưới trên A đối với sự hội tụ yếu.
Hàm f(x) được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn đẳng thức
f(ax + by) = af(x) + bf(y).
Một hàm cộng tính liên tục được gọi là tuyến tính và thường được ký hiệu
bằng L(x).
Ta sẽ thường xuyên sử dụng các tính chất cơ bản của sự hội tụ yếu và mạnh.
Chú ý, lớp con tuyến tính đóng của A mà trên đó mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ
mạnh có số chiều hữu hạn. Cũng nhắc lại rằng nếu L1(x), . . . , Lk(x) là k dạng
tuyến tính, thì lớp B gồm tất cả các véctơ x sao cho Li(x) = 0 (i = 1, . . . , k)
là lớp con tuyến tính đóng của A. Mọi dạng tuyến tính L(x) bị triệt tiêu trên
B có thể được biểu diễn dưới dạng
L(x) = h1L1(x) + · · · + hkLk(x). (1.3)
Các hệ số h1, . . . , hk là duy nhất nếu L1(x), . . . , Lk(x) độc lập tuyến tính.
Cho dạng tuyến tính L(x), khi đó tồn tại duy nhất véctơ y thuộc A sao cho
L(x) = (y, x).
Định nghĩa 1.1.3 ([5]). Hàm T(x) : A → A được gọi là phép biến đổi tuyến
tính nếu nó liên tục và cộng tính theo nghĩa
T(ax + by) = aT(x) + bT(y). (1.4)
Với phép biến đổi tuyến tính T(x) kiểu như này, tồn tại một số M sao cho
|T(x)| ≤ M|x|. (1.5)
Nếu T(xq) ⇒ T(x0) khi xq → x0, thì T(x) được gọi là hoàn toàn liên tục trên
A.
9

12. Định nghĩa 1.1.4 ([5]). Một hàm giá trị thực B(x, y) xác định trên A × A
được gọi là dạng song tuyến tính nếu nó tuyến tính theo y với mỗi x và tuyến
tính theo x với mỗi y.
Với mỗi dạng song tuyến tính B(x, y) tồn tại tương ứng duy nhất một cặp
phép biến đổi tuyến tính T và T∗
, được gọi là liên hợp của nhau, sao cho
B(x, y) = (T(x), y) = (x, T∗
(y)). (1.6)
Chú ý rằng |B(x, y)| ≤ M|x||y| với M thích hợp. Ngoài ra, nếu xq ⇒ x0, và
yq → y0, thì B(xq, yq) → B(x0, y0).
Định nghĩa 1.1.5 ([5]). Dạng song tuyến tính B(x, y) được gọi là hoàn toàn
liên tục nếu B(xq, yq) → B(x0, y0) khi xq → x0 và yq → y0, ký hiệu K(x, y).
Nếu K(x, y) = K(y, x) thì K(x, y) là hoàn toàn liên tục khi và chỉ khi
K(x) = K(x, x) là liên tục yếu trên A dựa theo đẳng thức
2K(x, y) = K(x, y) − K(x) − K(y).
Định nghĩa 1.1.6 ([5]). Cho dạng song tuyến tính đối xứng Q(x, y) : A×A →
R, khi đó Q(x) = Q(x, x) được gọi là một dạng toàn phương trên A ứng với
dạng song tuyến tính đối xứng Q.
Với dạng toàn phương, ta có đẳng thức cơ bản
Q(ax + by) = a2
Q(x) + 2abQ(x, y) + b2
Q(y).
Một dạng toàn phương là một hàm liên tục theo x nhưng trong tổng quát
không liên tục yếu. Một dạng toàn phương liên tục yếu thường được ký hiệu
bằng K(x) và dạng song tuyến tính tương ứng được ký hiệu bằng K(x, y).
Phép biến đổi tuyến tính T(x) tương ứng với dạng toàn phương đồng nhất
với liên hợp của nó và do đó nó được gọi là tự liên hợp. Do đó, việc nghiên cứu
dạng toàn phương tương đương với việc nghiên cứu phép biến đổi tuyến tính
tự liên hợp. Khi ứng dụng vào giải tích biến phân ở phần bên dưới, có vẻ như
sẽ đơn giản hơn nếu ta phát biểu kết quả của chúng ta dưới dạng toàn phương
thay vì theo dạng phép biến đổi tuyến tính tương ứng.
10

13. 1.2 Một số ví dụ
1.2.1 Minh họa I
Ví dụ 1.2.1 ([5]). Cho A là không gian gồm các véctơ x là hàm giá trị véctơ
x(t) = [x1
(t), . . . , xr
(t)], trong đó t = (t1
, . . . , tp
) là một điểm trong không gian
Euclide p chiều nằm trong khoảng cố định S : aα
≤ tα
≤ bα
(α = 1, . . . , p).
Mỗi thành phần xj
(t) được giả sử là hàm bình phương khả tích Lebesgue trên
S. Tích trong của hai véctơ x và y xác định bởi công thức
(x, y) =
Z
S
r
X
j=1
xj
(t)yj
(t)dt.
Từ đây về sau, nếu không có gì đặc biệt, chỉ số lặp của số hạng có nghĩa là
tổng đối với chỉ số đó. Chuẩn của x là
|x| =
Z
S
xj
(t)xj
(t)dt
1/2
.
Sự hội tụ mạnh là tương đương với sự hội tụ bậc hai và sự hội tụ yếu là sự
hội tụ yếu trong lớp L2 gồm các hàm bình phương khả tích Lebesgue. Thật ra,
xq → x0 khi và chỉ khi các tích phân
Z
S
xj
q(t)xj
q(t)dt (q = 1, 2, 3, . . .)
bị chặn đều và
lim
q→∞
Z
S0
xj
q(t)dt =
Z
S0
xj
0(t)dt (j = 1, . . . , r)
với mọi khoảng con S0 của S.
Ta chứng minh ba định lý mà sẽ dùng trong áp dụng vào giải tích biến phân.
Định lý 1.2.2 ([5]). Cho A là không gian như trong Ví dụ 1.2.1. Cho Ajk(s, t) (j, k =
1, . . . , r) là r2
hàm bình phương khả tích Lebesgue trên S ×S. Khi đó dạng song
tuyến tính
K(x, y) =
Z
S
Z
S
Ajk(s, t)xj
(s)yk
(t)dsdt (1.7)
là dạng song tuyến tính hoàn toàn liên tục trên A.
11

14. Chứng minh. Chú ý rằng
L(z) =
Z
S
Z
S
Ajk(s, t)zjk
(s, t)dsdt
là một dạng tuyến tính trên lớp A∗
gồm các hàm bình phương khả tích Lebesgue
zjk
(s, t) (j, k = 1, . . . , r) trên S × S. Theo tiêu chuẩn của sự hội tụ yếu miêu tả
ở trên ta thấy rằng quan hệ xq → x0, yq → y0 kéo theo quan hệ zq → z0 trên
A∗
, trong đó zjk
q (s, t) = xj
q(s)yk
q (t) (q = 0, 1, 2, . . .). Do đó
L(zq) = K(xq, yq) → L(z0) = K(x0, y0),
điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.3 ([5]). Cho Rjk(t) = Rkj(t) (j, k = 1, . . . , r) là r(r + 1)/2 hàm
khả tích bị chặn cốt yếu trên S, và đặt
Q(x, y) =
Z
S
Rjk(t)xj
(t)yk
(t)dt. (1.8)
Khi đó dạng toàn phương Q(x) = Q(x, x) là nửa liên tục dưới yếu trên A khi
và chỉ khi tại hầu hết các điểm của S bất đẳng thức
Rjk(t)aj
ak
≥ 0 (1.9)
đúng với mọi tập (a) 6= (0). Thật ra, Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A khi
và chỉ khi Q(x) ≥ 0 trên A.
Trong giải tích biến phân, điều kiện (1.9) thường được gọi là điều kiện
Legendre yếu.
Chứng minh. Giả sử Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A. Nhắc lại rằng với
hầu hết các điểm trong t0 của S, hệ thức
lim
q→∞
m−2
q
Z
Sq
Rjk(t)dt = Rjk(t0) (1.10)
đúng, trong đó Sq là tập các điểm trong S có khoảng cách với t0 nhiều nhất là
1/q, và mq là căn bậc hai dương của độ đo của Sq. Gọi t0 là nột điểm trong
của S mà tại đó giới hạn tồn tại. Xét tập các số a1
, . . . , ar
sao cho aj
aj
= 1.
12

15. Với mỗi số nguyên q đặt xj
q(t) = aj
/mq trên Sq và xj
q(t) = 0 nếu ngược lại. Dãy
{xq} như vậy xác hội tụ yếu tới x0 = 0, và ta có |xq| = 1. Ngoài ra,
Q(xq) = aj
ak
m−2
q
Z
Sq
Rjk(t)dt.
Từ (1.10) ta suy ra
lim
q→∞
Q(xq) = Rjk(t0)aj
ak
.
Vì Q(x) là nửa liên tục dưới yếu, ta cũng có
lim
q→∞
Q(xq) ≥ Q(x0) = 0.
Do đó hệ thức (1.9) đúng tại t0 và cho nên đúng tại hầu hết các điểm trên S.
Ngược lại, điều kiện (1.9) kéo theo Q(x) ≥ 0 trên A và do đó Q(x) là nửa liên
tục dưới yếu trên A, như ta sẽ thấy trong Bổ đề 1.4.3 dưới đây.
Định lý 1.2.4 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) xác định bởi (1.8) thỏa mãn hệ
thức
Q(x) ≥ h|x|2
(1.11)
trên A với h là hằng số dương khi và chỉ khi bất đẳng thức
Rjk(t)aj
ak
≥ haj
aj
(1.12)
đúng hầu khắp nơi trên S.
Chứng minh. Kết quả này thu được bằng cách áp dụng Định lý 1.2.3 cho dạng
toàn phương
Q(x) − h|x2
| =
Z
S
[Rjk(t) − hδjk]xj
(t)xk
(t)dt,
trong đó δjj = 1 và δjk = 0 (j 6= k). Điều kiện (1.12) được gọi là điều kiện làm
mạnh của Legendre.
Dạng toàn phương
J(x) = K(x) + Q(x), (1.13)
13

16. trong đó dạng song tuyến tính Q(x, y) và K(x, y) tương ứng với Q(x) và K(x)
được xác định bởi (1.8) và (1.7) với Ajk(s, t) = Akj(t, s) được đặc biệt quan
tâm. Trong trường hợp r = 1, ta có dạng toàn phương đặc biệt
J(x) =
Z b
a
[x(t)]2
dt −
Z b
a
Z b
a
A(s, t)x(s)x(t)dsdt (1.14)
có hạt nhân đối xứng A(s, t) = A(t, s). Dạng toàn phương này đóng vai trò
quan trọng trong lý thuyết Hilbert-Schmidt về phương trình tích phân có hạt
nhân đối xứng.
1.2.2 Minh họa II
Ví dụ 1.2.5 ([5]). Xét A là không gian gồm toàn bộ các cung x trong không
gian (t, x1
, . . . , xp
) xác định bởi tập p hàm giá trị thực
x : xj
(t) (a ≤ t ≤ b, j = 1, . . . , p)
liên tục tuyệt đối và có đạo hàm ẋj
(t) bình phương khả tích trên a ≤ t ≤ b.
Các số a và b cố định. Tích trong của x và y là
(x, y) = xj
(a)yj
(a) +
Z b
a
ẋj
(t)ẏj
(t)dt. (1.15)
Chuẩn |x| = (x, x)1/2
của x là
|x|2
= xj
(a)xj
(a) +
Z b
a
ẋj
(t)ẋj
(t)dt. (1.16)
Dựa vào các kết quả dưới đây, ta dễ dàng kiểm tra được các giả thiết trong
Mục 1.1 được thỏa mãn.
Định lý 1.2.6 ([5]). Cho Pjk(t) = Pkj(t) (j, k = 1, . . . , r) là các hàm khả tích
và Qjk(t) là các hàm bình phương khả tích trên a ≤ t ≤ b, và đặt
H(x) = Ajkxj
(a)xk
(a) + 2Bjkxj
(a)xk
(b) + Cjkxj
(b)xk
(b). (1.17)
Khi đó dạng toàn phương
K(x) = H(x) +
Z b
a
(Pjkxj
xk
+ 2Qjkxj
ẋk
)dt (1.18)
là dạng toàn phương liên tục yếu trên A.
14

17. Dạng toàn phương liên tục yếu loại hai được miêu tả như sau:
Định lý 1.2.7 ([5]). Cho Ω(s, t, x, ẋ, y, ẏ) xác định bởi công thức
Ω = Ajk(s, t)xj
yk
+ Bjk(s, t)(xj
ẏk
+ yj
ẋk
) + Cjk(s, t)ẋj
ẏk
,
trong đó Ajk(s, t) = Akj(t, s) là hàm khả tích của s và t và Bjk(s, t) = Bkj(t, s)
là hàm bình phương khả tích của s và t, và Cjk(s, t) = Ckj(t, s) là các hàm khả
tích bị chặn cốt yếu của s và t. Khi đó dạng song tuyến tính đối xứng
K(x, y) =
Z b
a
Z b
a
Ω(s, t, x(s), ẋ(s), y(t), ẏ(t))dsdt (1.19)
hoàn toàn liên tục.
Định lý 1.2.8 ([5]). Cho Rjk(t) = Rkj(t) (j, k = 1, . . . , r) là các hàm khả tích
bị chặn cốt yếu trên a ≤ t ≤ b và gọi K(x) là dạng toàn phương liên tục yếu
trên A. Khi đó dạng toàn phương
J(x) = K(x) +
Z b
a
Rjk(t)ẋj
(t)ẋk
(t)dt (1.20)
là nửa liên tục dưới yếu trên A khi và chỉ khi bất đẳng thức
Rjk(t)πj
πk
≥ 0 (j, k = 1, . . . , r) (1.21)
đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b với mọi tập (π) 6= (0).
Điều kiện (1.21) được gọi là điều kiện Legendre.
Định lý 1.2.9 ([5]). Cho D(x) là dạng toàn phương
D(x) = xj
(a)xj
(a) +
Z b
a
Rjk(t)ẋj
ẋk
(t)dt, (1.22)
trong đó Rjk(t) = Rkj(t) bị chặn cốt yếu và khả tích trên a ≤ t ≤ b. Khi đó bất
đẳng thức
D(x) ≥ h|x|2
đúng, với h 1 là hằng số dương, khi và chỉ khi bất đẳng thức
Rjk(t)πj
πk
≥ hπj
πj
(1.23)
đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b với mọi tập (π) 6= (0).
15

18. Điều kiện (1.23) được gọi là điều kiện làm mạnh của Legendre.
Trong phần sau ta sẽ xét phép mở rộng của Định lý 1.2.8 và 1.2.9 cho trường
hợp khi các cung phải thỏa mãn điều kiện vi phân.
Dạng tuyến tính trên A ta mà khảo sát có dạng
L(x) = akxk
(a) + bkxk
(b) +
Z b
a
[Ak(t)xk
(t) + Bk(t)ẋk
(t)]dt, (1.24)
trong đó A1(t), . . . , Ar(t) là các hàm khả tích và B1(t), . . . , Br(t) là các hàm
bình phương khả tích trên a ≤ t ≤ b. Liên quan tới dạng này, ta có
Định lý 1.2.10 ([5]). Dạng tuyến tính (1.24) có thể được biểu diễn duy nhất
dưới dạng L(x) = (y, x), trong đó y là cung trong A xác định bởi
yk
(a) = ak + bk +
Z b
a
Ak(s)ds,
ẏk
(a) = Bk(t) +
Z b
t
Ak(s)ds + bk. (1.25)
Định lý 1.2.11 ([5]). Dạng tuyến tính (1.24) đồng nhất bằng không trên lớp
B gồm các cung trong A có xj
(a) = xj
(b) = 0 khi và chỉ khi tồn tại các hằng
số ck sao cho điều kiện
Bk(t) =
Z t
a
Ak(s)ds + ck (k = 1, . . . , r) (1.26)
đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b.
Ta không xét dạng toàn phương tổng quát nhất có thể xây dựng được mà
chỉ giới hạn vào dạng toàn phương thông thường được nghiên cứu trong giải
tích biến phân. Dạng toàn phương này là có kiểu (1.20) với K(x) xác định bởi
(1.18). Nó thường được ký hiệu bằng
J(x) = 2q[x(a), x(b)] +
Z b
a
2ω(t, x, ẋ)dt, (1.27)
trong đó 2q là thành phần bên phải của (1.17) và
2ω = Pjkxj
xk
+ 2Qjkxj
ẋk
+ Rjkẋj
ẋk
. (1.28)
16

19. Dạng song tuyến tính tương ứng là
J(x, y) = qka(x)yk
(a) + qkb(x)yk
(b) +
Z b
a
(ωxk yk
+ ωẋk ẏk
)dt, (1.29)
trong đó qka(x), qkb(x) lần lượt là đạo hàm của 2q[x(a), x(b)] đối với xk
(a), xk
(b).
1.2.3 Minh họa III
Ví dụ 1.2.12 ([5]). Ký hiệu S là đoạn
aj
≤ tj
≤ bj
(j = 1, . . . , r)
trong không gian (t1
, . . . , tr
), và ký hiệu A là lớp các hàm giá trị thực
x : x(t) = x(t1
, . . . , tr
) (t ∈ S)
có các tính chất sau:
(a) Các hàm x(t) liên tục tuyệt đối theo mỗi thành phần tk
với hầu hết
(t1
, . . . , tk−1
, tk+1
, . . . , tr
).
(b) Các hàm x(t) bị triệt tiêu trên biên của S. Ta có thể giả sử x(t) = 0
trên phần bù của S.
(c) Đạo hàm ẋk(t) đối với tk
(và do đó x(t)) là bình phương khả tích trên
S.
Hai hàm số là đồng nhất nếu chúng khác nhau nhiều nhất trên một tập có
độ đo không trên S.
Tích trong của hai hàm x và y trong A là
(x, y) =
Z
S
ẋk(t)ẏk(t)dt.
Ta thấy rằng không gian A với tích trong (x, y) như trên xác định một không
gian Hilbert.
Cho P(t), Qk
(t), R
j
k
(t) = Rkj
(t), (j, k = 1, . . . , p) là các hàm liên tục theo
t trên S. Ta sẽ quan tâm tới các tính chất của dạng toàn phương
J(x) =
Z
S
(Px2
+ 2Qk
xẋk + Rjk
ẋjẋk)dt. (1.30)
17

20. Định lý 1.2.13 ([5]). Dạng toàn phương
K(x) =
Z
S
(Px2
+ 2Qk
xẋk)dt (1.31)
liên tục yếu trên A.
Định lý 1.2.14 ([5]). Dạng toàn phương
D(x) =
Z
S
Rjk
ẋjẋkdt (1.32)
là nửa liên tục dưới yếu trên A khi và chỉ khi điều kiện Legendre
Rjk
(t)πjπk ≥ 0 (1.33)
đúng trên S với mọi (π) 6= (0).
Định lý 1.2.15 ([5]). Dạng toàn phương D(x) xác định bởi (1.32) thỏa mãn
bất đẳng thức có dạng
D(x) ≥ h|x2
| (h 0) (1.34)
trên A khi và chỉ khi điều kiện làm mạnh của Legendre
Rjk
(t)πjπk 0 (1.35)
đúng trên S với mọi tập (π) 6= (0).
1.3 Tính chất J-transversality
Định nghĩa 1.3.1 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) được gọi là không âm trên
lớp con B của A nếu bất đẳng thức Q(x) ≥ 0 đúng trên B. Nếu Q(x) 0 với
mọi x 6= 0 thì Q(x) được gọi là dương trên B. Thuật ngữ “không dương” và
“âm” được định nghĩa tương tự bằng cách đổi dấu bất đẳng thức.
Định nghĩa 1.3.2 ([5]). Hai véctơ x và y được gọi là Q-trực giao nếu Q(x, y) =
0. Nếu x là Q-trực giao với tất cả véctơ y trong lớp con B của A, thì x được
gọi là Q-trực giao với B. Tập tất cả các véctơ Q-trực giao với B được gọi là
phần bù Q-trực giao của B. Hai lớp B và C được gọi là Q-trực giao nếu mỗi
véctơ trong B là Q-trực giao với C.
18

21. Định nghĩa 1.3.3 ([5]). Gọi B là lớp con tuyến tính của A. Véctơ x được gọi
là Q-transversal của B nếu nó thuộc B và Q-trực giao với B. Ký hiệu B0 là tập
các véctơ Q-transversal của B, tức là
B0 = {x ∈ B : Q(x, y) = 0 ∀y ∈ B}.
Từ định nghĩa Q-transversal ta suy ra kết quả sau.
Bổ đề 1.3.4 ([5]). Cho C là tập tất cả các véctơ x trong A thỏa mãn tập m
phương trình
Lα(x) = 0 (α = 1, . . . , m) (1.36)
xác định bởi dạng tuyến tính Lα(x). Nếu y là Q-transversal của C thì tồn tại
một tập các bội h1, . . . , hm sao cho ta có
Q(y, x) + hαLα(x) = 0 (1.37)
với mọi x trong A. Nếu L1(x), . . . , Lm(x) là độc lập tuyến tính trên A, các bội
là duy nhất.
Bổ đề 1.3.5 ([5]). Cho B là lớp con tuyến tính của A có số chiều hữu hạn
và gọi C là phần bù Q-trực giao của nó. Gọi A0, B0, C0 tương ứng là các tập
Q-transversal của A, B, C. Khi đó:
(a) Véctơ z thuộc C0 khi và chỉ khi nó là tổng z = x + y gồm véctơ x thuộc
A0 và y thuộc B0.
(b) Nếu dạng tuyến tính L(x) triệt tiêu trên B0 thì tồn tại duy nhất véctơ y
trong B trực giao với B0 sao cho L(x) = Q(y, x) trên B.
(c) Với mọi véctơ x trong A Q-trực giao với B0, tồn tại tương ứng duy nhất
một véctơ y trong B trực giao với B0 sao cho z = x − y thuộc C.
(d) Gọi B∗
là lớp con tuyến tính của A sao cho mọi véctơ chung của B0 và
B∗
là Q-trực giao với B∗
. Nếu số chiều của B∗
lớn hơn số chiều của B thì
tồn tại véctơ x 6= 0 trong B∗
mà Q-trực giao với B nhưng không thuộc B.
Ví dụ 1.3.6 ([5]). Quay trở lại Ví dụ 1.2.1 với J(x) xác định bởi (1.14):
J(x) =
Z b
a
[x(t)]2
dt −
Z b
a
Z b
a
A(s, t)x(s)x(t)dsdt
19

22. có hạt nhân đối xứng A(s, t) = A(t, s). Ta thấy rằng véctơ x là J-transversal
của A khi và chỉ khi phương trình
x(t) =
Z b
a
A(t, s)x(s)ds (1.38)
đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b.
Ví dụ 1.3.7 ([5]). Quay trở lại Ví dụ 1.2.5 với J(x) xác định bởi (1.27):
J(x) = 2q[x(a), x(b)] +
Z b
a
2ω(t, x, ẋ)dt,
trong đó 2q là thành phần bên phải của (1.17) và
2ω = Pjkxj
xk
+ 2Qjkxj
ẋk
+ Rjkẋj
ẋk
.
Theo Định lý 1.2.11 ta thấy rằng cung x là J-trực giao với lớp B gồm các cung
mà bị triệt tiêu tại t = a và t = b khi và chỉ khi tồn tại hằng số ck sao cho
ωẋk =
Z t
a
ωxk dt + ck (k = 1, . . . , p) (1.39)
hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b. Các phương trình này là phương trình Euler dạng
tích phân, nghiệm của chúng được gọi là các đường cực trị. Khi điều kiện làm
mạnh của Legendre (1.23) đúng, theo lý thuyết của phương trình vi phân ta
suy ra rằng các đường cực trị tạo thành một lớp con tuyến tính của A có số
chiều 2p. Cho một đường cực trị x ta ký hiệu thành phần bên phải của (1.39)
bằng ξk(t), khi đó
ξk(t) =
Z t
a
ωxk dt + ck. (1.40)
Ví dụ 1.3.8 ([5]). Trong Ví dụ 1.2.5, ký hiệu B là lớp các cung x trong A thỏa
mãn m phương trình tuyến tính
Lα(x) = aαkxk
(a) + bαkxk
(b) = 0 (α = 1, . . . , m). (1.41)
Gọi J(x) xác định bởi (1.27). Một cung x trong B là J-transversal của B khi
và chỉ khi nó thỏa mãn (1.39) với các hằng số ck và ngoài ra nó thỏa mãn điều
kiện transversality
− ξk(a) + qka + hαaαk = 0,
20

23. ξk(b) + qkb + hαbαk = 0, (1.42)
trong đó ξk(t) xác định bởi phương trình (1.40), và qka, qkb tương ứng là các
đạo hàm riêng của q[x(a), x(b)] theo xk
(a), xk
(b). Theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại các
hằng số hα sao cho phương trình
J(x, y) + hαLα(y) = 0
đúng với mọi y trong A. Theo kết quả của Ví dụ 1.3.7, phương trình (1.39)
đúng hầu khắp a ≤ t ≤ b. Do đó ta có
J(x, y) = qkayk
(a) + qkbyk
(b) +
Z b
a
{ωxk yk
+ ωẋk ẏk
}dt
= [qka − ξk(a)]yk
(a) + [qkb + ξk(b)]yk
(b),
trong đó ξk(t) xác định bởi (1.40). Sử dụng hai phương trình cuối ta thu được
(1.42). Các bội hα là duy nhất nếu ma trận kaαkbαkk có hạng m.
1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của dạng toàn phương
Một phần quan trọng của các kết quả tìm được trong Chương 3 dựa vào
định lý sau:
Định lý 1.4.1 ([5]). Cho dạng toàn phương Q(x) trên A, lớp A biểu diễn được
một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của ba lớp con tuyến tính A−, A0, A+
có các tính chất sau:
(a) Các lớp A−, A0, A+ trực giao từng đôi và Q-trực giao từng đôi,
(b) Q(x) âm trên A−, bằng không trên A0, và dương trên A+.
Lớp A0 là lớp Q-transversal của A. Kết quả trên có thể được phát biểu lại
như sau:
Định lý 1.4.2 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) trên A có thể được biểu diễn duy
nhất thành hiệu
Q(x) = P(x) − N(x)
gồm hai dạng toàn phương P(x) và N(x) với tính chất rằng
21

24. (a) P(x) = 0 trên phần bù trực giao của lớp N-transversal của A,
(b) N(x) = 0 trên phần bù trực giao của lớp P-transversal của A,
(c) P(x) = N(x) = 0 trên lớp Q-transversal của A.
Dạng toàn phương mà ta quan tâm là dạng toàn phương nửa liên tục dưới
yếu. Kết hợp các kết quả trong phần sau đây với Định lý 1.2.3, 1.2.8 và 1.2.14,
ta sẽ thấy rằng trong các ví dụ bên trên, dạng toàn phương là nửa liên tục
dưới yếu khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện Legendre dạng yếu hơn.
Đầu tiên ta có kết quả:
Bổ đề 1.4.3 ([5]). Nếu Q(x) không âm trên lớp con tuyến tính đóng B của A
thì Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên B.
Bổ đề 1.4.4 ([5]). Nếu Q(x) không dương và nửa liên tục dưới yếu trên lớp
con tuyến tính đóng B của A thì Q(x) là liên tục yếu trên B.
Kết hợp kết quả này với Định lý 1.4.1 ta thu được:
Định lý 1.4.5 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A
khi và chỉ khi nó liên tục yếu trên lớp A−. Nói riêng, nếu A− có số chiều hữu
hạn thì Q(x) là nửa liên tục dưới yếu.
Hệ quả là ta có:
Định lý 1.4.6 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) liên tục dưới yếu trên A khi và
chỉ khi nó thể được biểu diễn duy nhất thành hiệu
Q(x) = P(x) − K(x) (1.43)
gồm một dạng P(x) không âm và dạng K(x) liên tục yếu. Thật ra, ta có thể
đổi thành K(x) không âm và triệt tiêu trên lớp trực giao với các P-transversal
của A.
Hệ quả 1.4.7 ([5]). Nếu Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A và Q∗
(x) ≥ Q(x)
trên A, khi đó Q∗
(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A.
Định lý 1.4.8 ([5]). Nếu Q(x) không âm trên phần bù trực giao (Q-trực giao)
của lớp con tuyến tính C của A có số chiều hữu hạn, khi đó Q(x) là nửa liên
tục dưới yếu trên A.
22

25. 1.5 Dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu
hạn
Định nghĩa 1.5.1 ([5]). Cho một dạng toàn phương Q(x), số chiều i của lớp
A− được miêu tả trong Định lý 1.4.1 được gọi là chỉ số của Q(x) trên A. Số
chiều n của A0 được miêu tả trong Định lý 1.4.1 được gọi là số khuyết của
Q(x) trên A.
Trong mục này ta quan tâm tới trường hợp khi i là hữu hạn và trường hợp
khi i + n là hữu hạn. Trong các trường hợp này Q(x) là nửa liên tục dưới yếu
trên A. Hệ quả là trong các ví dụ trong Mục 1.2, điều kiện Legendre được thỏa
mãn trong dạng yếu hơn miễn là dạng toàn phương có chỉ số hữu hạn.
Định nghĩa bên trên về chỉ số và số khuyết vẫn thỏa mãn khi A được thay
bằng lớp con tuyến tính đóng B. Nó không thỏa mãn nếu B không đóng vì
phép phân tích trong Định lý 1.4.1 dựa vào tính đầy đủ của không gian. Do đó
ta sẽ định nghĩa:
Định nghĩa 1.5.2 ([5]). Số khuyết của Q(x) trên lớp con tuyến tính B của A
là số chiều của lớp các Q-transversal của B. Chỉ số của Q(x) trên B là số chiều
của lớp con tuyến tính cực đại của B mà Q(x) âm.
Định nghĩa về chỉ số là xác định đúng (well-defined) theo bổ đề sau:
Bổ đề 1.5.3 ([5]). Cho B là lớp con tuyến tính của A và gọi B0 là lớp các
Q-transversal của nó. Giả sử tồn tại một lớp con tuyến tính cực đại C của B
có số chiều hữu hạn mà Q(x) âm trên đó. Khi đó Q(x) ≥ 0 trên lớp D gồm các
véctơ x ∈ B mà Q-trực giao với C, bất đẳng thức chỉ đúng trong trường hợp x
thuộc B0. Nếu C∗
là lớp con tuyến tính cực đại của B mà trên đó Q(x) ≤ 0 và
thỏa mãn C∗
không chứa véctơ x 6= 0 chung với B0, khi đó số chiều của C∗
bằng
số chiều của C.
Định lý 1.5.4 ([5]). Chỉ số i của Q(x) trên A nếu hữu hạn thì bằng một trong
các đại lượng sau:
(a) số chiều của lớp con tuyến tính cực đại B của A mà trên đó Q(x) âm;
23

26. (b) số chiều của lớp con tuyến tính cực đại C của A mà trên đó Q(x) ≤ 0 và
không chứa Q-transversal khác không của A;
(c) số nguyên bé nhất k thỏa mãn Q(x) ≥ 0 trên phần bù Q-trực giao của lớp
con tuyến tính C của A có số chiều k;
(d) số nguyên bé nhất k sao cho Q(x) ≥ 0 trên phần bù trực giao của lớp con
tuyến tính D của A có số chiều k;
(e) số nguyên bé nhất k sao cho tồn tại k dạng tuyến tính L1(x), . . . , Lk(x)
sao cho Q(x) ≥ 0 miễn là Lα(x) = 0 (α = 1, . . . , k).
Hệ quả 1.5.5 ([5]). Nếu Q(x) không âm trên phần bù trực giao (hoặc Q-trực
giao) của lớp con tuyến tính C của A có chiều số hữu hạn k, khi đó Q(x) có
chỉ số i ≤ k.
Ta cũng có kết quả mạnh hơn như sau.
Định lý 1.5.6 ([5]). Tổng m = i + n của chỉ số i và số khuyết n của Q(x)
trên A nếu hữu hạn thì được xác định bởi một trong các đại lượng sau:
(a) số chiều của lớp con tuyến tính cực đại B của A mà Q(x) ≤ 0;
(b) số nguyên k bé nhất sao cho Q(x) dương trên phần bù trực giao của lớp
con tuyến tính B của A có số chiều k;
(c) số nguyên k bé nhất sao cho tồn tại k dạng tuyến tính L1(x), . . . , Lk(x)
sao cho Q(x) 0 miễn là x 6= 0 và Lα(x) = 0 (α = 1, . . . , k).
Chứng minh. Kết quả này được thiết lập nhờ Định lý 1.5.4. Tổng trực tiếp B
của các lớp A− và A0 được miêu tả trong Định lý 1.4.1 có các tính chất trong
Định lý 1.5.6.
Hệ quả 1.5.7 ([5]). Nếu Q(x) dương trên phần bù trực giao của lớp con tuyến
tính C của A có số chiều hữu hạn, tổng của chỉ số và số khuyết của Q(x) trên
A không lớn hơn k.
Kết quả sau được suy ra trực tiếp.
24

27. Định lý 1.5.8 ([5]). Nếu A∗
là lớp con tuyến tính của A, và i, i∗
là các chỉ số
và n, n∗
là các số khuyết tương ứng của Q(x) trên A, A∗
, khi đó
i∗
≤ i, i∗
+ n∗
≤ i + d ≤ i + n, (1.44)
trong đó d là số chiều của lớp D gồm các véctơ mà đồng thời Q-transversal với
A và A∗
.
Một kết quả tương tự như sau:
Định lý 1.5.9 ([5]). Giả sử Q∗
(x) ≥ Q(x) trên A. Nếu i, i∗
tương ứng là chỉ
số và n, n∗
tương ứng là số khuyết của Q(x), Q∗
(x) trên A, khi đó (1.44) đúng,
trong đó d là số chiều của lớp D gồm các véctơ x mà đồng thời là Q-transversal
và Q∗
-transversal với A. Nếu Q∗
(x) Q(x) với mọi x 6= 0, thì
i∗
+ n∗
≤ i. (1.45)
Ta có thể thu được một tập các bất đẳng thức đầy đủ hơn các bất đẳng
thức trong Định lý 1.5.8 khi A∗
là phần bù trực giao của một lớp con tuyến
tính A có số chiều hữu hạn. Kết quả này được trình bày như sau:
Định lý 1.5.10 ([5]). Cho L1(x), . . . , Lk(x) là k dạng tuyến tính độc lập tuyến
tính trên A và gọi A∗
tập tất cả các véctơ x thỏa mãn
Lα(x) = 0 (α = 1, . . . , k).
Khi đó các số i, i∗
, n, n∗
, d trong Định lý 1.5.8 ngoài thỏa mãn (1.44) còn thỏa
mãn hệ thức
i + n ≤ i∗
+ d + k. (1.46)
1.6 Dạng toàn phương xác định dương và không kỳ
dị
Định nghĩa 1.6.1 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) được gọi là không kỳ dị trên
lớp con tuyến tính B của A nếu cho một dạng tuyến tính L(x), tồn tại duy
nhất véctơ y trong B sao cho hệ thức
L(x) = Q(y, x) (1.47)
25

28. đúng với mọi x ∈ B. Nó được gọi là xác định dương trên B nếu tồn tại một số
dương h sao cho bất đẳng thức
Q(x) ≥ h|x|2
(1.48)
đúng trên B.
Thông thường, dạng toàn phương xác định dương trên A sẽ được ký hiệu
bằng D(x) và dạng song tuyến tính tương ứng ký hiệu bằng D(x, y).
Tiêu chuẩn của tính xác định dương được đưa ra như sau:
Định lý 1.6.2 ([5]). Nếu một dạng toàn phương dương D(x) có một trong các
tính chất sau trên A thì nó có tất cả các tính chất này:
(a) D(x) xác định dương.
(b) xq ⇒ 0 nếu D(xq) → 0.
(c) xq ⇒ x0 nếu xq → x0 và D(xq) → D(x0).
(d) Nếu {D(xq)} bị chặn thì {xq} hội tụ yếu theo dãy con (in subsequence).
(e) Nếu {D(xq, y)} bị chặn với mỗi y trong A, thì {xq} hội tụ yếu theo dãy
con.
(f) D(x) không kỳ dị trên A.
(g) Nếu B là không gian con tuyến tính đóng của A, thì A là tổng trực tiếp
của B và phần bù D-trực giao của B.
Bổ đề 1.6.3 ([5]). Gọi B và C là các lớp con Q-trực giao của A mà tổng trực
tiếp của chúng là A. Khi đó Q(x) không kỳ dị trên A khi và chỉ khi Q(x) không
kỳ dị trên B và trên C.
26

29. Kết luận chương 1
1. Trong chương 1, luận văn đã hệ thống lại các khái niệm về giải tích hàm,
giải tích lồi như: tích trong, chuẩn, tính trực giao, sự hội mạnh, hội tụ yếu
trong, liên tục yếu, nửa liên tục dưới yếu trong không gian tuyến tính;
các dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu hạn. Dạng toàn phương
xác định dương và không kỳ dị.
2. Chương 1 trình bày tổng quan một số công cụ để giải quyết bài toán sau
này như tính chất J-transversality, tính nửa liên tục dưới yếu của dạng
toàn phương,...
27

30. Chương 2
Dạng Legendre
Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức chính của luận văn là
định nghĩa dạng Legendre và các tính chất liên quan của nó, ví dụ như dạng
Legendre dương là xác định dương, chỉ số và số khuyết của dạng Legendre là
hữu hạn. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày điều kiện để dạng toàn phương là
dạng Legendre.
2.1 Dạng Legendre
Định nghĩa 2.1.1 ([5]). Dạng toàn phương J(x) được gọi là dạng Legendre
nếu
(a) nó nửa liên tục dưới yếu trên A
(b) xq ⇒ x0 nếu xq → x0 và J(xq) → J(x0).
Ví dụ 2.1.2. Dạng toàn phương T : H → R xác định bởi T(x) = |x|2
là một
dạng Legendre. Thật vậy, vì T(x) là một dạng toàn phương liên tục không âm
nên nó là nửa liên tục dưới yếu. Giả sử xk → x khi k → ∞, khi đó
kxk − xk2
= (xk − x, xk − x) = (xk − x, xk) − (xk − x, x)
= (xk, xk) − (x, xk) − (xk, x) + (x, x)
= (xk, xk) − (x, x) + 2(x, x) − 2(xk, x)
= T(xk) − T(x) + 2(x − xk, x).
Vì (x − xk, x) → 0 khi k → ∞ nên nếu T(xk) → T(x) khi k → ∞ thì
|xk − x|2
→ 0. Vậy T(x) là dạng Legendre.
28

31. Ví dụ 2.1.3. Ký hiệu `2
là không gian Hilbert gồm tất cả các dãy số thực
khả tổng. Định nghĩa T : `2
→ `2
bởi Tx = (0, x2, x2, . . . , xn, . . .), trong đó
x = (x1, x2, x3, . . . , xn, . . .) ∈ `2
. Khi đó (x, Tx) = 1
2
= (|x|2
− x2
1). Theo [2,
Mệnh đề 3.79], (x, Tx) là một dạng Legendre.
Dạng Legendre thường được ký hiệu bởi J(x) và dạng song tuyến tính tương
ứng được ký hiệu bởi J(x, y). Ta sẽ thấy rằng trong ứng dụng vào giải tích biến
phân, dạng Legendre là các dạng thỏa mãn điều kiện làm mạnh của Legendre.
Theo ý (c) của Định lý 1.6.2 ta có
Định lý 2.1.4 ([5]). Dạng Legendre dương là xác định dương.
Định lý 2.1.5 ([5]). Không gian con tuyến tính B của A mà trên đó có dạng
Legendre J(x) không dương có số chiều hữu hạn.
Chứng minh. Trong trường hợp này, theo Bổ đề 1.4.4 J(x) là liên tục yếu trên
B. Do đó, nếu hệ thức xq → x0 đúng trên B ta cũng có J(xq) → J(x0) cho nên
theo tính chất (b) của J(x), xq ⇒ x0. Từ đó suy ra rằng sự hội tụ yếu và hội
tụ mạnh trên B là tương đương. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu B có số chiều
hữu hạn, điều phải chứng minh.
Dựa theo kết quả này, các lớp A0, A− liên hệ với dạng Legendre J(x) như
miêu tả trong Định lý 1.4.1 có số chiều hữu hạn. Do vậy ta có
Định lý 2.1.6 ([5]). Dạng Legendre có chỉ số và số khuyết hữu hạn.
Kết hợp Định lý 2.1.6 và 2.1.4 ta thu được
Định lý 2.1.7 ([5]). Dạng toàn phương J(x) là dạng Legendre trên A khi và
chỉ khi tồn tại một tập con tuyến tính B của A có số chiều hữu hạn sao cho
J(x) là xác định dương trên phần bù trực giao của B. Nếu J(x) là một dạng
Legendre trên phần bù trực giao của lớp con tuyến tính B của A có số chiều
hữu hạn, khi đó J(x) là một dạng Legendre trên A.
Định lý 2.1.8 ([5]). Tổng J(x) + K(x) của dạng Legendre J(x) và dạng toàn
phương liên tục yếu K(x) cũng là một dạng Legendre.
29

32. Sử dụng kết quả này ta có thể chứng minh:
Định lý 2.1.9 ([5]). Dạng toàn phương J(x) là dạng Legendre trên A khi và
chỉ khi nó có thể được biểu diễn thành hiệu
J(x) = D(x) − K(x) (2.1)
gồm dạng xác định dương D(x) và một dạng liên tục yếu K(x). Thật ra, K(x)
có thể được giới hạn là không âm trên A.
Chứng minh. Nếu J(x) có dạng (2.1), theo Định lý 2.1.8 nó là một dạng
Legendre. Để chứng minh điều ngược lại, gọi x1, . . . , xn là cơ sở J-trực giao
của A. Chọn P(x), N(x) liên hệ với J(x) như trong Định lý 1.4.2. Khi đó
J(x) = P(x) − N(x), và
D(x) = P(x) + N(x) + (xα, x)(xα, x)
dương trên A. Như ta đã thấy trong chứng minh của Định lý 1.4.6, dạng N(x)
là liên tục yếu trên A và do đó dạng
K(x) = D(x) − J(x) = 2N(x) + (xα, x)(xα, x)
cũng liên tục yếu. Vì D(x) sai khác J(x) bằng một dạng liên tục yếu, D(x) là
một dạng Legendre trên A. Vì D(x) dương, theo Định lý 2.1.4 nó là xác định
dương và định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1.10 ([5]). Nếu J(x) là một dạng Legendre thì tồn tại một dạng liên
tục yếu không âm K(x) sao cho J(x) 0 với mọi x 6= 0 thuộc A có K(x) = 0.
Hệ quả 2.1.11 ([5]). Nếu J(x) là một dạng Legendre trên A và J∗
(x) là
một dạng toàn phương thỏa mãn J∗
(x) ≥ J(x) trên A thì J∗
(x) là một dạng
Legendre trên A.
Chứng minh. Vì nếu D(x), K(x) liên hệ với J(x) như trong định lý thì
D∗
(x) = J∗
(x) + K(x) ≥ J(x) + K(x) = D(x).
Do đó D∗
(x) xác định dương trên A, và J∗
(x) là một dạng Legendre, điều phải
chứng minh.
30

33. Điều kiện (b) trong định nghĩa dạng Legendre đặc trưng dạng Legendre
ngoại trừ dấu như sau:
Định lý 2.1.12 ([5]). Nếu dạng toàn phương Q(x) có tính chất nếu xq → x0
và Q(xq) → Q(x0) kéo theo xq ⇒ x0 thì Q(x) hoặc −Q(x) là dạng Legendre
trên A.
Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ ra Q(x) hoặc −Q(x) nửa liên tục dưới yếu trên A.
Nếu điều này không xảy ra ta có thể chọn các dãy {yq}, {zq} hội tụ yếu tới các
véctơ y0, z0 sao cho Q(yq), Q(yq, zq), Q(zq) hội tụ yếu tới các số A, B, C sao cho
A Q(y0), C Q(z0). (2.2)
Khi đó, phương trình
[A − Q(y0)]a2
+ 2a[B − Q(y0, z0)] + C − Q(z0) = 0 (2.3)
có hai nghiệm thực phân biệt a1 và a2. Khi đó ta có
xqα = aαyq + zq → x0α = aαy0 + z0 (α = 1, 2).
Ngoài ra, vì
Q(xqα) = Q(yq)a2
α + 2aαQ(yq, zq) + Q(zq),
theo (2.3) ta có
lim
q→∞
Q(xqα) = Aa2
α + 2aαB + C = Q(x0α).
Theo giả thiết, xqα → x0α. Vì a1 6= a2, điều này chỉ xảy ra khi yq ⇒ y0 và
zq ⇒ z0. Nhưng điều này kéo theo A = Q(y0), C = Q(z0), mâu thuẫn với (2.2).
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1.13 ([5]). Quay trở lại Ví dụ 1.2.5, theo Định lý 1.2.6 và (1.18) ta
thấy rằng tích phân J(x) xác định bởi (1.20) là một dạng toàn phương trên
A khi và chỉ khi điều kiện làm mạnh của Legendre (1.23) đúng. Thật ra theo
Định lý 2.1.7 dạng toàn phương J(x) là dạng Legendre trên lớp con tuyến tính
B gồm các cung trong A thỏa mãn tập điều kiện
Lα(x) = aαjxj
(a) + bαjxj
(b) +
Z b
a
{Ajα(t)xj
+ Bjα(t)ẋj
}dt = 0
(α = 1, . . . , m) khi và chỉ khi điều kiện làm mạnh của Legendre (1.23) đúng.
31

34. Ví dụ 2.1.14 ([5]). Quay trở lại Ví dụ 1.2.12 trong phần 1.2.3, theo Định
lý 1.2.13 và 1.2.15 ta thấy tích phân J(x) xác định bởi (1.30) là một dạng
Legendre khi và chỉ khi điều kiện làm mạnh của Legendre (1.35) đúng trên S.
2.2 Dạng toàn phương tựa không kỳ dị
Định nghĩa 2.2.1 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) được gọi là không suy biến
trên lớp con tuyến tính B của A nếu không tồn tại Q-transversal khác không
của B. Nó được gọi là tựa không kỳ dị trên A nếu nó là không kỳ dị trên mỗi
lớp con tuyến tính đóng mà trên đó nó không suy biến.
Nếu Q(x) là tựa không kỳ dị trên A, nó là tựa không kỳ dị trên mọi tập
con tuyến tính đóng của A.
Điều kiện tựa không kỳ dị có thể được phát biểu lại như sau:
Định lý 2.2.2 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) là tựa không kỳ dị trên A khi và
chỉ khi cho một lớp con đóng tuyến tính B của A và một dạng tuyến tính L(x)
mà triệt tiêu đồng nhất trên lớp B0 gồm các Q-transversal của B, tồn tại véctơ
y ∈ B sao cho phương trình
L(x) = Q(y, x)
đúng với mọi x ∈ B. Véctơ y có thể được chọn sao cho trực giao với B0, và nếu
chọn như vậy thì là duy nhất.
Tiêu chuẩn thứ hai của tựa không kỳ dị như sau:
Định lý 2.2.3 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) là tựa không kỳ dị trên A khi và
chỉ khi, cho lớp con đóng tuyến tính B của A mà trên đó Q(x) không suy biến,
A là tổng trực tiếp của B và phần bù Q-trực giao của nó.
Chứng minh. Điều kiện cần của tiêu chuẩn này được suy ra từ Định lý 1.6.2.
Để chứng minh điều kiện đủ, gọi B là một lớp con đóng tuyến tính của A mà
trên đó Q(x) không suy biến, và xét dạng tuyến tính L(x) mà không bị đồng
nhất triệt tiêu trên B. Ký hiệu C là tập con của B mà trên đó L(x) = 0. Đầu
32

35. tiên, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một véctơ y0 6= 0 trong B mà Q-trực giao với
C. Một Q-transversal khác không của C có tính chất này. Nếu C không chứa
Q-transversal, theo giả thiết của chúng ta B là tổng trực tiếp của C và phần
bù Q-trực giao của nó liên hệ với B. Từ đó, trong trường hợp này tồn tại véctơ
y0 6= 0 trong B mà Q-trực giao với C. Theo Bổ đề 1.3.4 với A = B, tồn tại hằng
số h sao cho Q(y0, x) = hL(x) trên B. Ngoài ra h 6= 0 vì nếu ngược lại y0 phải
là Q-transversal của B. Đặt y = y0/h, ta có L(x) = Q(y, x) trên B. Vì Q(x)
không suy biến trên B, y là duy nhất và Q(x) không kỳ dị trên B, điều phải
chứng minh.
Tiêu chuẩn bên trên có thể được phát biểu lại như sau:
Định lý 2.2.4 ([5]). Dạng toàn phương Q(x) là tựa không kỳ dị trên A khi
và chỉ khi nó có tính chất sau: Cho B là lớp con đóng tuyến tính của A và ký
hiệu B0 là lớp các Q-transversal của B. Mọi véctơ x mà Q-trực giao với B0 có
thể được biểu diễn thành x = y + z, trong đó y ∈ B và z là Q-trực giao với B.
Véctơ y có thể được chọn để trực giao với B0, và nếu được chọn như vậy nó là
duy nhất.
Chứng minh. Cho Q(x) là tựa không kỳ dị trên A, B là một lớp con tuyến tính
đóng của A, B0 là lớp các Q-transversal của nó, và B1 là phần bù trực giao của
B0 liên hệ với B. Mọi véctơ x trong A có thể được biểu diễn thành x = y + z,
trong đó y ∈ B1 và z là Q-trực giao với B1. Ngoài ra, nếu x là Q-trực giao với
B0, thì z là Q-trực giao với B0 và do đó trực giao với B. Do đó, tiêu chuẩn
trong Định lý 2.2.4 là điều kiện cần của tính tựa không kỳ dị. Theo Định lý
2.2.3 nó cũng là điều kiện đủ.
Định lý 2.2.5 ([5]). Dạng toàn phương không âm Q(x) trên A là tựa không
kỳ dị trên A khi và chỉ khi nó xác định dương trên lớp véctơ trực giao với
Q-transversal của A.
Một kết quả sâu hơn như sau:
Định lý 2.2.6 ([5]). Nếu Q(x) là tựa không kỳ dị trên phần bù trực giao C của
một không gian con tuyến tính B có số chiều hữu hạn thì Q(x) là tựa không kỳ
dị trên A.
33
Tải bản FULL (65 trang): https://bit.ly/3TTeuli
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

36. Chứng minh. Gọi A∗
là lớp con tuyến tính đóng của A mà trên đó Q(x) không
suy biến. Ta sẽ chỉ ra Q(x) không kỳ dị trên A∗
. Với mục tiêu này gọi C∗
là lớp
con gồm các véctơ trong A∗
trực giao với B. Khi đó C∗
là lớp con của C. Ký
hiệu C∗
0 là lớp các Q-transversal của C∗
. Vì A∗
không suy biến và B có số chiều
hữu hạn, suy ra C∗
0 hữu hạn chiều. Ta có thể giả sử rằng C∗
0 có số chiều không,
vì ta có thể thay B bằng bao đóng đại số của B và C∗
0. Vì Q(x) không kỳ dị
trên C, nó không kỳ dị trên C∗
. Do đó A∗
là tổng trực tiếp của C∗
và lớp B∗
gồm các Q-transversal của C∗
trong A∗
. Lớp B∗
hữu hạn chiều. Ngoài ra Q(x)
không suy biến trên B∗
vì nếu ngược lại Q(x) phải suy biến trên A∗
. Theo Bổ
đề 1.3.5, Q(x) không kỳ dị trên B∗
. Áp dụng Bổ đề 1.6.3 với A = A∗
ta suy ra
định lý.
Hệ quả 2.2.7 ([5]). Cho L1(x), . . . , Lp(x) là các dạng tuyến tính, gọi Aαβ =
Aβα (α, β = 1, . . . , p) là tập p(p + 1)/2 số thực. Khi đó dạng toàn phương
P(x) = AαβLα(x)Lβ(x) + Q(x)
là tựa không kỳ dị trên A khi và chỉ khi Q(x) là tựa không kỳ dị trên A.
Kết hợp Định lý 2.2.6, 2.1.7, 1.6.2 và 1.5.6, ta thu được
Định lý 2.2.8 ([5]). Dạng toàn phương J(x) là dạng Legendre trên A khi và
chỉ khi nó là tựa không kỳ dị và có chỉ số và số khuyết hữu hạn trên A.
Kết quả này được phát biểu dưới dạng khác như sau:
Định lý 2.2.9 ([5]). Dạng toàn phương J(x) là dạng Legendre trên A khi và
chỉ khi nó là tựa không kỳ dị, nửa liên tục dưới yếu và có số khuyết hữu hạn
trên A.
Quy tắc nhân tử Lagrange là hệ quả của định lý sau:
Định lý 2.2.10 ([5]). Cho Q(x) là dạng toàn phương tựa không kỳ dị trên A,
và gọi B là tập các Q-transversal của A. Nếu P(x) là dạng toàn phương trên
A và x là một véctơ mà P-trực giao với B, khi đó tồn tại véctơ y trong A sao
cho hệ thức
P(x, z) = Q(y, z)
đúng với mọi véctơ z ∈ A.
34
Tải bản FULL (65 trang): https://bit.ly/3TTeuli
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

37. Chứng minh. Kết quả này được suy ra từ Định lý 2.2.2 với L(z) = P(x, z).
Định lý 2.2.11 ([5]). Cho Q(x) là dạng toàn phương tựa không kỳ dị và gọi
L1(x), . . . , Lp(x) là p dạng tuyến tính độc lập tuyến tính trên A. Ký hiệu B là
tập các véctơ thuộc A thỏa mãn điều kiện
Lα(x) = 0 (α = 1, . . . , p), (2.4)
ký hiệu C là phần bù Q-trực giao của B. Tập các véctơ chung của B và C là lớp
D gồm tất cả Q-transversal của A thỏa mãn (2.4). Lớp C là tổng trực tiếp của
D và một lớp tuyến tính P có số chiều p trực giao với D. Nếu D có số chiều
hữu hạn d thì C có số chiều p + d.
Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp khi D chứa các véctơ x = 0, vì ta có
thay A bằng phần bù trực giao của D. Khi đó số khuyết n của Q không lớn
hơn p. Gọi x1, . . . , xn là cơ sở của lớp A0 gồm các Q-transversal của A. Ta có
thể giả sử rằng m = p − n dạng tuyến tính đầu tiên L1(x), . . . , Lm(x) triệt tiêu
trên A0. Vì Q(x) là tựa không kỳ dị, tồn tại véctơ y1, . . . , ym trong A sao cho
Lβ(x) = Q(yβ, x) (β = 1, . . . , m)
trên A. Các véctơ y1, . . . , ym thuộc C, và các véctơ y1, . . . , ym, x1, . . . , xn tạo
thành một tập độc lập tuyến tính trong C. Theo đó, số chiều của C = P ít
nhất là p = m + n. Nó không lớn hơn p vì D là lớp không. Điều phải chứng
minh.
Ví dụ 2.2.12 ([5]). Xét Ví dụ 1.2.5 và gọi J(x) là dạng toàn phương (1.27).
Giả sử điều kiện làm mạnh (1.23) của Legendre đúng. Khi đó như ta đa thấy
ở mục trước, J(x) là dạng Legendre và theo Định lý 2.2.8, nó là tựa không kỳ
dị trên A. Gọi B là lớp tất cả các cung
x : xj
(t) (a ≤ t ≤ b, j = 1, . . . , r)
trong A mà cho triệt tại t = a và t = b. Phần bù J-trực giao C của B là lớp
các đường cực trị, tức là nghiệm của phương trình (1.39). Số chiều của nó là
2r. Lớp B0 gồm các J-transversal của B chứa tất cả các cực trị mà triệt tiêu
35
6731127