Fluid Dynamics Concepts Explained

Facultad de Ciencias y Tecnología

Hidrodinámica
- Definición
El estudio y análisis de líquidos por medio de las leyes de conservación
macroscópicas de la física. A veces el término se aplica a flujos de vapor y gas
incompresibles, pero cuando el fluido es aire, por lo general se usa el término
aerodinámica.
3
- Qué es un flujo incompresible
Este comportamiento asume que el cambio de la densidad del fluido es
despreciable con lo que se puede considerar que el flujo tiene una densidad
constante.

Clasificación de los movimientos
4
Movimiento
Permanente
Uniforme
No uniforme
Acelerado
Retardado
No
permanente
- Qué es el movimento permanente
El movimiento permanente es aquel cuyas características (fuerza, velocidad,
presión) son función exclusiva de punto e independencia del tiempo. Con el
movimiento permanente, el caudal es constante en un punto de la corriente.
- Qué es el movimento no permanente
El movimiento no permante es aquel cuyas características cambian de punto
para punto, varian de instante en instante, en función del tiempo.

Clasificación de los movimientos
5
- Qué es el movimento permanente uniforme
El movimiento permanente es uniforme cuando la velocidad media permanece
constante a lo largo de la corriente. En este caso, las secciones transversales de
la corriente son iguales.
- Qué es el movimento permanente acelerado/retardado
El movimiento permanente es uniforme cuando la velocidad media varia
constante a lo largo de la corriente.
- Representación
Uniforme
Q1=Q2, A1=A2, V1=V2
Acelerado
Q1=Q2, A1≠A2, V1≠V2
No permanente
Q1≠Q2, A1≠A2, V1≠V2

Lineas de corriente
6
- Definición
Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un fluido
en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del
flujo fluido. La tangente en un punto de la curva representa la dirección
instantánea de la velocidad de las partículas fluidas en dicho punto. Las
tangentes a las líneas de corriente pueden representar de esta forma la
dirección media de la velocidad. Como la componente de la velocidad normal a
la línea de corriente es nula, queda claro que no existe en ninguno de sus
puntos flujo perpendicular a la línea de corriente.

Lineas de corriente
7
- Tubos de corriente
Un tubo de corriente está constituido por una región parcial del flujo
delimitada por una familia de líneas de corriente, que lo confinan. Si la sección
recta del tubo de corriente es suficientemente pequeña, la velocidad en el
punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad
media en dicha sección.
- Link
https://www.youtube.com/watch?v=lMZxJCD0_gw&ab_channel=PUCP

Regímenes de flujo
- El movimento de los fluidos se pueden distinguir dos tipos de flujo
8
• Laminar
• Turbulento
- Características del flujo laminar
Es laminar cuando las pequeñas porciones de fluido
se mueven ordenadamente, manteniendo una
estructura de capas regulares que no se cruzan
entre sí.
- Características del flujo turbulento
El flujo turbulento se caracteriza por un movimiento
desordenado de las distintas partes del fluido
formando muchos remolinos
https://www.youtube.com/watch?v=MjujI72P
X-k&ab_channel=eliasdesouza

Caudal (gasto)
- Definición
El caudal se puede definir como la cantidad volumétrica o másica de un fluido
que fluye a través de una sección de una tubería o canal por unidad de tiempo.
9
- Definición de caudal volumétrico
Se define como la cantidad en volumen que fluye a través de una determinada
sección en un período de tiempo considerado.
ሶ
𝑉 = 𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
ሶ
𝑉 = 𝑄 =
∀
Δ𝑡
∀: volumen
Δ 𝑡: tiempo
V: velocidad
A: área

10
Ejemplo:
Un líquido fluye a través de una tubería, cuya sección recta tiene un área
A = 0,030m², con velocidad v = 6 m/s. Calcule el flujo (caudal) de este líquido a
través de la tubería.
𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
𝑄 =
6𝑚
𝑠
𝑥0,03𝑚2 = 0,18𝑚3/𝑠
Ejemplo:
Un grifo vierte agua a razón de 3,0 litros por segundo. ¿Cuánta
agua se vierte en 2 minutos?
ሶ
𝑉 = 𝑄 =
∀
Δ𝑡
∀= 𝑄𝑥Δ𝑡 ∀=
3𝑙
𝑠
𝑥 2 min 𝑥
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
= 360𝑙

Ecuación de la continuidad
- Definición
La ecuación de continuidad, para un fluido incompresible, establece que la
masa total de un fluido que circula por un tubo, sin pérdidas ni ganancias, se
mantiene constante. En otras palabras, la masa se conserva sin cambios a
medida que el fluido se desplaza.
11
- Fórmula para un flujo permanente
𝑄 = 𝜌1𝐴1𝑉1 = 𝜌2𝐴2𝑉2
- Fórmula para un flujo incompresible
𝑄 = 𝐴1𝑉1 = 𝐴2𝑉2

12
Ejemplo:
Un caudal de agua circula por una tubería de 1 cm de sección interior a una
velocidad de 0,5 m/s. Si deseamos que la velocidad de circulación aumente
hasta los 1,5 m/s, ¿qué sección ha de tener tubería que conectemos a la
anterior?
𝑄 = 𝐴1𝑉1 = 𝐴2𝑉2
𝜋
4
𝐷1
2
𝑉1 =
𝜋
4
𝐷2
2
𝑉2
𝐷2 = 𝐷1
𝑉1
𝑉2
𝐷2 = 1𝑐𝑚
0,5𝑚/𝑠
1,5𝑚/𝑠
= 0,58𝑐𝑚

Número de Reynolds
- Definición
Número dimensional utilizado para determinar si el flujo está en régimen
laminar o turbulento. Su determinación es importante como parámetro para
modificar el coeficiente de descarga.
13
𝑅𝑒 =
𝑉𝑥𝐷
𝑣
V: velocidad
D: diámetro del tubo
𝑣 ∶ viscosidad cinemática del fluido
𝑣 =
µ
𝜌
µ ∶ viscosidad dinámica del fluido
𝜌 ∶ densidad del fluido

Número de Reynolds
- Clasificación
Re ≤ 2000 Laminar
2000 < Re < 2400 Transición
Re >= 2400 Turbulento
14

15
Ejemplo:
Calcule el máximo flujo volumétrico de combustóleo a 4˚C, en la que el flujo
permanecerá como laminar en tubería de 100mm de diámetro. Viscosidad
dinámica es 4x10¯²Pa.s, y densidad 895 kg/m³.
𝑣 =
µ
𝜌 𝑣 =
4𝑥10−2𝑃𝑎. 𝑠
895𝑘𝑔/𝑚3
=
1𝑚2
22375𝑥𝑠
Paso 1. Determinar la viscosidad cinemática
Paso 2. Determinar la velocidad
𝑉 =
𝑅𝑒𝑥𝑣
𝐷
𝑉 =
2000𝑥
1𝑚2
22375𝑥𝑠
0,1𝑚
=
0,894𝑚
𝑠

16
Ejemplo:
Calcule el máximo flujo volumétrico de combustóleo a 4˚C, en la que el flujo
permanecerá como laminar en tubería de 100mm de diámetro. Viscosidad
dinámica es 4x10¯²Pa.s, y densidad 895 kg/m³.
Paso 3. Determinar el caudal (flujo)
𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
𝑄 =
0,893𝑚
𝑠
𝑥
π𝑥(0,1𝑚)2
4
= 7𝑥10−3𝑚/𝑠

Ecuación de Bernoulli
- Definición
La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la
velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e
incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son depreciables.
17
- En que casos se puede utilizar la ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli es una ecuación aproximada
que sólo es válida en regiones no viscosas del flujo,
donde las fuerzas viscosas netas son despreciablemente
pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia,
gravitacionales y de presión. Ese tipo de regiones se
presentan por fuera de las capas límite y de las estelas.

- Ecuaciones
1. Flujo estacionario
18
2. Flujo estacionario y compresible
3. Flujo no estacionario e incompresible

- Ecuaciones
19
La ecuación de Bernoulli también puede escribirse entre dos puntos
cualesquiera sobre la misma línea de corriente como:
Energía de flujo
Energía cinética
Energía potencial

- Ecuaciones
20
Cada término de esta ecuación tiene unidades de presión y, por tanto, cada uno
representa alguna clase de presión
• P es la presión estática (no incorpora efectos dinámicos); representa la presión
termodinámica real del fluido. Ésta es la misma que la presión usada en la
termodinámica y las tablas de propiedades.
• ƿV²/2 es la presión dinámica, representa el aumento en la presión cuando el fluido en
movimiento se detiene de manera isentrópica.
• ƿgz es la presión hidrostática, la cual no es presión en un sentido real, porque su
valor depende del nivel de referencia seleccionado; explica los efectos del aumento, es
decir, del peso del fluido sobre la presión

- Limitaciones en el uso
21
1. Flujo estacionario
No debe usarse en los periodos de arranque y de paro
2. Flujo sin fricción
No debe ser aplicada a lo largo de la línea de corriente cercana a la superficie
3. Ningún trabajo en la flecha
No se aplica en una sección del flujo en el que intervenga una bomba, una
turbina o cualquier otra máquina o impulsor
4. Ninguna transferencia de calor
No se aplica a secciones del flujo en el que se tenga un cambio significativo en
la temperatura

Línea de gradiente hidráulico (LGH)
y línea de energía (LE)
22
Cada término de la ecuación de Bernoulli tiene las dimensiones de longitud y
representa algún tipo de “carga” de un fluido fluyente:
• P/ƿg es la carga de presión: representa la altura de una columna de fluido que
produce la presión estática P,
• V²/2g es la carga de velocidad: representa la elevación necesaria para que un fluido
alcance la velocidad V durante una caída libre sin fricción,
• z es la carga de elevación: representa la energía potencial del fluido.

Línea de gradiente hidráulico (LGH)
y línea de energía (LE)
23
- Línea de gradiente hidráulica (LGH) y línea de energía (LE) para la descarga
libre desde un depósito por un tubo horizontal con un difusor

24
Ejemplo:
Fluye agua de una manguera que está conectada a una tubería
principal que está a 400 kPa de presión manométrica. Un niño
coloca su dedo pulgar para cubrir la mayor parte de la salida de
la manguera, y hace que salga un chorro delgado de agua a alta
velocidad. Si la manguera se sostiene hacia arriba, ¿a qué altura
máxima podría llegar el chorro?
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2

25
Ejemplo:
Fluye agua de una manguera que está conectada a una tubería
principal que está a 400 kPa de presión manométrica …
𝑉1
2
2𝑔
La velocidad dentro de la manguera es más o menos baja V1≈ 0
𝑧1
Se toma la salida de ella como el nivel de referencia Z1=0
𝑉2
2
2𝑔
En la punta de la trayectoria del agua V2=0 y corresponde a la presión
atmosférica
𝑧2 =
𝑃1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
=
𝑃𝑚𝑎𝑛𝑜
𝜌𝑔
𝑧2 =
400𝑘𝑃𝑎
1000𝑘𝑔
𝑚3 𝑥
9,81𝑚
𝑠2
𝑥
1000𝑁/𝑚2
1𝑘𝑃𝑎
𝑥
1𝑘𝑔. 𝑚/𝑠2
1𝑁
= 40,8𝑚

26
Ejemplo:
Un tanque grande está abierto a la atmósfera y lleno con agua
hasta una altura de 5 m, proveniente desde la toma de salida.
Ahora se abre una toma cercana al fondo del tanque y el agua
fluye hacia afuera por la salida lisa y redondeada. Determine la
velocidad del agua en la salida.
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2
𝑃1
𝜌𝑔
P1 = Patm abierto a la atmósfera
𝑉1
2
2𝑔
El tanque es grande con relación con la salida V1= 0
𝑧1 Z1 = 5m al considerar Z2=0
𝑃2
𝜌𝑔

27
Ejemplo:
Un tanque grande está abierto a la atmósfera y lleno con agua
hasta una altura de 5 m, proveniente desde la toma de salida.
Ahora se abre una toma cercana al fondo del tanque y el agua
fluye hacia afuera por la salida lisa y redondeada. Determine la
velocidad del agua en la salida.
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
𝑧1 =
𝑉2
2
2𝑔
𝑉2 = 2𝑔𝑧1
𝑉2 = 2𝑥
9,81𝑚
𝑠2 𝑥 5𝑚 = 9,9𝑚/𝑠
ECUACIÓN DE TORRICELLI

28
2
https://www.google.com.br/books/edition/Mec%C3%A1nica_de_
los_fluidos_e_hidr%C3%A1ulica/3jHhWwwQqp4C?hl=pt-
BR&gbpv=1&dq=mecanica+de+los+fluidos+e+hidraulica&printsec
=frontcover
https://www.google.com.br/books/edition/Mec%C3%A2nica_dos
_Fluidos/3D1LDwAAQBAJ?hl=pt-
BR&gbpv=1&dq=mec%C3%A2nica+dos+fluidos&printsec=frontcov
er
https://www.google.com.br/books/edition/Hidrodinamica_
ambiental/PIZfXiaovuEC?hl=pt-
BR&gbpv=1&dq=hidr%C3%A1ulica+ambiental&pg=PA9&pri
ntsec=frontcover

Aplicaciones del teorema de Bernoulli
- Principales aplicaciones
3
Teorema de Torricelli
Sifón
Contador de Venturi
Tubo de Pitot
Aerógrafo

- El Teorema de Torricelli
4
Mediante la aplicación del teorema de Bernoulli
calcularemos la velocidad de salida del líquido de un
recipiente. Consideremos un depósito de
dimensiones mucho mayores que la del diámetro del
orificio de salida del líquido como el que se indica en
la figura. Vamos a plantear la ecuación de Bernoulli
en dos puntos extremos del sistema, el punto A en el
borde superior del líquido y el punto B en el orificio
de salida del recipiente. La ecuación de Bernoulli
para este caso es:

- El Teorema de Torricelli
5
Con la ecuación así planteada para resolverla debemos reemplazar por los
valores que corresponden al problema. Los valores de las variables para el
punto A son pA = p0, ya que la superficie del líquido está sometida a la acción
de la presión atmosférica, la altura es un dato del problema yA. La velocidad vA
requiere una consideración especial. Si las dimensiones del recipiente son
grandes respecto de las del orificio de salida, la velocidad con que baja el nivel
del líquido en el depósito es muy lenta, por tal motivo vamos a considerarla, en
este tipo de problemas, vA ≈0.
https://www.youtube.com/watch?v=5PIO90KbYMQ

6
Ejemplo 1:
¿Con qué velocidad sale un líquido por un orificio que se encuentra a una profundidad de 1,4 m?
Considere g=9,8m/s²
𝑣 = 2𝑔ℎ
𝑣 = 2𝑥
9,8𝑚
𝑠2
𝑥1,4𝑚 = 5,24𝑚/𝑠
Ejemplo 2:
Determine a qué altura se debe abrir un orificio de un estanque, para que el líquido salga con una
velocidad de 9 m/s.
Paso 1. Despejar h
𝑣 = 2𝑔ℎ 𝑣2
= 2𝑔ℎ
ℎ =
𝑣2
2𝑔
=
9𝑚
𝑠
2
2𝑥 9,8𝑚/𝑠2
= 4,13𝑚

- Sifón
7
Este es un dispositivo para trasvasar líquidos de un
recipiente a otro, y consiste en un tubo en U invertido que
conecta ambos recipientes. El extremo de salida de líquido
debe estar a menor altura que el de ingreso, tal como se ve
en la figura. Si aplicamos el Teorema de Bernoulli a los
puntos A y C tenemos:
Pero, pA = pc = po por lo que los términos que los contiene se simplifican,
por otra parte, a la velocidad vA=0 por ser la sección del recipiente mucho
mayor que la del tubo, (vA ≈ 0). Reemplazando tenemos;
https://www.youtube.com/watch?v=CZmP0vsRBZ8&ab_channel=ScienceOnline

- Contador de Venturi
8
Es otra aplicación del Teorema de Bernoulli, y consiste en un dispositivo que
permite medir el caudal y, como derivación, la velocidad, de un líquido que
fluye en una tubería. El mecanismo consiste en un estrechamiento de la tubería
por donde circula el líquido diseñado de forma que la disminución de la sección
sea gradual para asegurar el mantenimiento del régimen laminar y se evite que
el sistema entre en régimen turbulento y en consecuencia se pierda energía. Se
incorporan dos tubos laterales para medir la presión del fluido en cada una de
las secciones.

- Contador de Venturi
9
La aplicación del teorema de Bernoulli, a un tubo de flujo que pase por el eje
de la sección A1 y de la sección A2, da:
Igual que en la aplicación anterior del teorema debemos reemplazar los
términos de la ecuación por los valores que disponemos. Como en nuestro caso
la tubería tiene un eje horizontal los valores de y1 y y2 son iguales y se pueden
simplificar. Las presiones p1 y p2 resultan;
https://www.youtube.com/watch?v=R1kjfHtl9xc&ab_channel=ProfessorRafaelCampos

- Tubo de Pitot
10
Es un instrumento destinado a medir la velocidad de los
gases que circulan por una tubería. Consiste en un tubo
manométrico que se conecta, como indica la figura, a la
tubería por la que circula el gas. La presión en la rama
izquierda del manómetro, cuya abertura es paralela a la
dirección del movimiento del gas, es igual a la presión
de la corriente gaseosa. La presión en la rama derecha,
cuya abertura es perpendicular a la corriente, puede
calcularse aplicando el teorema de Bernoulli a los
puntos a y b.

- Tubo de Pitot
11
Hay que tener en cuenta que para este problema de circulación de gas la
densidad δ es la del gas por otra parte, como, igual que en el caso anterior, los
puntos a y b se encuentran a la misma altura ya = yb los términos que los
contienen son iguales y se pueden simplificar.
La velocidad va es la velocidad v de circulación del gas que debemos medir, y
como el ingreso al tubo manométrico en el punto b está limitado por el líquido
manométrico, la velocidad vb es cero, reemplazando queda
Si δ0 es la densidad del líquido del manómetro, y h es la diferencia de alturas
del líquido entre sus ramas, se tiene:
https://www.youtube.com/watch?v=BIRyiMZfqNw&ab_channel=F%C3%A
DsicadoEnsinoM%C3%A9dio

12
Ejemplo 1:
Para medir la magnitud de la velocidad de la corriente en un
rio se introduce un tubo de Pitot, la altura a la que llega el
agua dentro del tubo es de 0.70 m ¿a qué magnitud de
velocidad va la corriente?
𝑣 = 2𝑔ℎ
𝑣 = 2𝑥
9,8𝑚
𝑠2 𝑥0,7𝑚 = 3,7𝑚/𝑠

- El aerógrafo
13
El aerografo es un dispositivo muy simple para pintar superficies no muy
extensas. Consiste en dos tubos de uno a dos milímetro de diámetro interior
conectados en ángulo recto, cuando se sopla por uno de ellos el aire que sale a
velocidad alta origina una depresión en los alrededores, si el otro tubo se
encuentra con un extremo sumergido en pintura esta es elevada por la
diferencia de presión originada y el mismo aire la impulsa formando pequeñas
gotitas. Este dispositivo es el mismo que se emplea en las pistolas para pintar
aunque estas recurren al aire comprimido para producir la corriente de aire.
Este procedimiento de aspiración ha sido muy empleado en gran número de
dispositivos, como el carburador de los automóviles, bombas de vacío,
pulverizadores de insecticida, etc.

14
Ejemplo 1:
1. El pequeño tubo de salida de un tanque de agua está a 3 m por debajo de la superficie del
agua. Calcule la velocidad de salida del agua.
2. Suponiendo que el tubo de salida del tanque del ejercicio anterior, tiene un diámetro de 1
cm, calcule el caudal de salida de agua.
3. Determine a qué altura está la superficie libre del agua en un recipiente si se sabe que en un
orificio en el fondo del recipiente, el agua sale a 10 m/s.
Paso 1. Calcular v
𝑣 = 2𝑔ℎ 𝑣 = 2𝑥9,8𝑚/𝑠2𝑥3𝑚 = 7,67𝑚/𝑠
Paso 2. Calcular el área
A = 𝜋𝑟2 A = 𝜋
0,01𝑚
2
2
= 7,85𝑥10−5
𝑚2
Paso 3. Calcular el caudal
Q = 𝐴𝑥𝑣 Q =
7,85𝑥10−5
𝑚2
𝑥7,67𝑚
𝑠
= 6,02𝑥10−4
𝑚3
/𝑠

15
Ejemplo 1:
1. El pequeño tubo de salida de un tanque de agua está a 3 m por debajo de la superficie del
agua. Calcule la velocidad de salida del agua.
2. Suponiendo que el tubo de salida del tanque del ejercicio anterior, tiene un diámetro de 1
cm, calcule el caudal de salida de agua.
3. Determine a qué altura está la superficie libre del agua en un recipiente si se sabe que en un
orificio en el fondo del recipiente, el agua sale a 10 m/s. Considere g=9,8m/s²
Paso 4. h
𝑣 = 2𝑔ℎ
ℎ =
𝑣2
2𝑔
=
10𝑚
𝑠
2
2𝑥 9,8𝑚/𝑠2
= 5,10𝑚

16
Ejemplo 2:
En un viaje a la playa (Patm = 1 atm = 101.3 kPa), a un automóvil se le acaba la
gasolina y es necesario extraer gasolina por acción de un sifón del automóvil de
un buen samaritano. El sifón es una manguera con diámetro pequeño y para
iniciar la acción es necesario introducir uno de los extremos en el tanque lleno
de gasolina, llenar la manguera de ésta mediante succión y, enseguida, poner el
otro extremo en una lata que está colocada abajo del nivel del tanque. La
diferencia en la presión entre el punto 1 (en la superficie libre de la gasolina en
el tanque) y el punto 2 (a la salida del tubo) hace que el líquido fluya de la
mayor elevación hacia la menor. En este caso, el punto 2 está ubicado 0.75 m
abajo del punto 1, y el 3 está 2 m arriba del 1. El diámetro del sifón es de 4 mm
y deben descartarse las pérdidas por fricción en él. Determine: a) el tiempo
mínimo para llevar 4 L de gasolina del tanque a la lata y b) la presión en el
punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3

17
Ejemplo:
a) el tiempo mínimo para llevar 4 L de gasolina del tanque a la lata
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2
𝑃1
𝜌𝑔
𝑉1
2
2𝑔
El tanque es grande con relación al diámetro del tubo V1= 0
𝑧2 Z2=0 el punto 2 se toma como el nivel de referencia
𝑃2
𝜌𝑔
Paso 1. Determinar la velocidad

18
Ejemplo:
𝑧1 =
𝑉2
2
2𝑔
𝑉2 = 2𝑔𝑧1
𝑉2 = 2𝑥
9,81𝑚
𝑠2
𝑥 0,75𝑚 = 3,84 𝑚/𝑠
Paso 2. Determinar el área
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
𝐴 =
𝜋(4𝑥10−3𝑚)2
4
= 1,25𝑥10−5
𝑚2

19
Ejemplo:
Paso 3. Determinar el caudal (gasto)
ሶ
𝑉 = 𝑄 = 𝑉2𝑥𝐴
ሶ
𝑉 =
3,84𝑚
𝑠
𝑥 1,25𝑥10−5
𝑚2
=
4,83𝑥10−5𝑚3
𝑠
Paso 4. Determinar el tiempo
ሶ
𝑉 = 𝑄 =
∀
Δ𝑡
Δ𝑡 =
∀
ሶ
𝑉
Δ𝑡 =
4𝐿
0,0483𝑙/𝑠
= 82𝑠

20
Ejemplo:
b) la presión en el punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3
Paso 1. Determinar la presión en el punto 3 cuando se describe la
ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 =
𝑃3
𝜌𝑔
+
𝑉3
2
2𝑔
+ 𝑧3
𝑉2
2
2𝑔
=
𝑉3
2
2𝑔
Conservación de la masa
𝑃2
𝜌𝑔
𝑧2 Z2=0 el punto 2 se toma como el nivel de referencia

21
Ejemplo:
b) la presión en el punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3
Paso 1. Determinar la presión en el punto 3 cuando se describe la
ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 =
𝑃3
𝜌𝑔
+
𝑉3
2
2𝑔
+ 𝑧3
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
=
𝑃3
𝜌𝑔
+ 𝑧3
𝑃3 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝜌𝑔𝑧3
𝑃3 = 101,3𝑘𝑃𝑎 − 750
𝑘𝑔
𝑚3 𝑥
9,81𝑚
𝑠2 𝑥 2,75𝑚 𝑥
1𝑁/𝑚2
1𝑘𝑔 𝑥
𝑚
𝑠2
𝑥
1𝑘𝑃𝑎
1000𝑁/𝑚2
𝑃3 = 81,1𝑘𝑃𝑎

22
2
=frontcover
er
ntsec=frontcover

Introducción
En qué situaciones se utilizan los sistemas complejos de tuberías?
3
Generalmente los sistemas de conducción de un flujo, involucran situaciones
más complicadas que la conducción en una tubería simple. Esto puede
apreciarse en las conducciones que suministran agua a una población, las
instalaciones de un complejo industrial o el suministro de agua a los cultivos
bajo sistemas de aplicación de agua localizada.

Pérdidas en las tuberías
4
Pérdidas localizadas
La pérdida de carga localizada ocurre en secciones de la tubería donde hay accesorios,
tales como: válvulas, codos, derivaciones, válvulas o conexiones, bombas, turbinas y
otros. La presencia de estos accesorios contribuye a cambiar el módulo o dirección de
la velocidad promedio del flujo y, en consecuencia, la presión en el sitio, es decir, actúa
cambiando la uniformidad del flujo.

5
Pérdidas localizadas
- Fórmula general
k: valor experimental para cada pieza o acessorio
V: velocidad, m/s
g: gravedad, m/s²

6
Pérdidas por atrito, continua o distribuída
El flujo de un fluido a través de las tuberías está influenciado por las paredes y
obstáculos en su interior, debido al rozamiento del fluido con la pared de la tubería, se
produce una disipación de energía o pérdidas de presión.
- Fórmula general
Creado por Darcy, fue la primera fórmula para considerar la naturaleza y el estado de
conservación de las paredes del tubo.
ϵ: rugosidad absoluta de la
tubería
hf: pérdida de carga, m
L: longitud de la tubería, m
V: velocidad de flujo, m/s
J: pérdida de carga unitária, m/m
n, m: constantes numéricas

7
- Naturaleza de la rugosidad absoluta
Depende del tipo de material
utilizado en la fabricación, proceso
de fabricación, número de juntas,
estado de conservación de las
paredes, etc.

8
- Fórmula universal o de Darcy Weisbach
hf: pérdida de carga, m
f: coeficiente de atriro
L: longitud de la tubería, m
D: diámetro, m
V: velocidad, m/s
- Diagrama de Moody
En 1939, buscando cubrir el rango de rugosidad transicional, Colebrook combinó las
relaciones para pared lisa y flujo totalmente rugoso en una fórmula de interpolación
ingeniosa.

Tuberías equivalentes
Qué es una tubería equivalente?
10
Una tubería es equivalente a otra y otras, cuando se presenta una pérdida de
energía similar, cuando circula a través de ellas el mismo caudal.

Tuberías en serie
Qué es una tubería en serie?
11
Son aquellas tuberías que se conectan
una a continuación de otra, sin que
exista ningún ramal intermedio y en las
cuales, la pérdida de energía se puede
determinar como la suma de las
pérdidas en cada uno de los tramos,
cuando el caudal conducido es el mismo
a lo largo de todo el sistema.

Tuberías en serie
Caudal
12
La regla dice que el caudal es el mismo en todos los puntos
Pérdida de carga
La regla dice que la pérdida de carga total a través del sistema es igual a la
suma de las pérdidas de carga en cada tubería

Tuberías en serie
Pérdida de carga por atrito y localizadas
13
Como las velocidades V2, V3 son proporcionales a V1, la ecuación asume la siguiente
forma
Importante: Si se da la pérdida de carga, se necesitará algún cálculo iterativo, ya que f1,
f2 y f3 dependen de V1 a través del número de Reynolds. Comience calculando f1, f2 y
f3, asumiendo un flujo totalmente turbulento, y la solución para V1 convergerá en una
o dos iteraciones.

Tuberías en serie
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en serie, como la figura mostrada a
continuación. La caída total de presión es PA-PB= 150000Pa y la caída de elevación ZA-
ZB=5m. Los datos de la tubería son:
14
Tubería Largo
L, m
Diámetro
d, cm
Rugosidad absoluta
equivalente
ϵ, mm
1 100 8 0,24
2 150 6 0,12
3 80 4 0,20
El fluido es agua, ρ= 1000kg/m³ y 𝑣 = 1,02𝑥10−6
m²/s. Calcule el caudal Q en
m³/h

Tuberías en serie
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en serie, como la figura mostrada a
15
Paso 1. Calcular la pérdida de carga total
Δℎ𝑃𝐴→𝐵 =
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵
𝜌𝑔
+ 𝑍𝐴 − 𝑍𝐵
150 000
1000 𝑥 9,81
+ 5
Δℎ𝑃𝐴→𝐵 = 20,3𝑚 Eq.1

Tuberías en serie
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en serie ….
16
Paso 2. Dejar las velocidades (V2, V3) en función de V1
𝑉2 =
𝑑1
2
𝑥𝑉1
𝑑2
2
𝑉2 =
82𝑥𝑉1
62
𝑉2 =
16𝑥𝑉1
9
𝑉3 =
𝑑1
2
𝑥𝑉1
𝑑3
2
𝑉3 =
82
𝑥𝑉1
42
𝑉3 = 4𝑉1
Eq.2 Eq.3
V2 V3

Tuberías en serie
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en serie …
17
Paso 3. Dejar Reynolds en función de Re1 𝑅𝑒 =
𝑉𝑥𝑑
𝑣
Paso 3.1 Despejar V1 de Re1
𝑅𝑒1 =
𝑉1𝑥𝑑1
𝑣
𝑉1 =
𝑣𝑥𝑅𝑒1
𝑑1
Eq.4
Paso 3.2 Sustituir Eq. 2 en Re2
𝑅𝑒2 =
𝑉2𝑥𝑑2
𝑣
𝑅𝑒2 =
16𝑥𝑉1
9 𝑥𝑑2
𝑣
Eq.5

Tuberías en serie
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en serie
18
𝑉𝑥𝑑
𝑣
Paso 3.3 Sustituir Eq. 4 en Eq. 5
𝑅𝑒2 =
16𝑥
𝑣𝑥𝑅𝑒1
𝑑1
9
𝑥𝑑2
𝑣
𝑅𝑒2 =
16𝑥
𝑣𝑥𝑅𝑒1
8
9 𝑥6
𝑣
𝑅𝑒2 =
4
3
𝑅𝑒1 Eq.6

Tuberías en serie
19
𝑉𝑥𝑑
𝑣
Paso 3.4 Sustituir
Eq. 3 en Re3
𝑅𝑒3 =
4𝑉1𝑥𝑑3
𝑣
Paso 3.5 Sustituir Eq. 4 en Eq. 7
Eq.7 𝑅𝑒3 =
4𝑥
𝑣𝑥𝑅𝑒1
𝑑1
𝑥𝑑3
𝑣
𝑅𝑒3 = 4𝑥
𝑅𝑒1
8
𝑥4
𝑅𝑒3 = 2𝑅𝑒1 Eq.8

Tuberías en serie
20
Paso 4. Calcular las pérdidas despreciando las pérdidas localizadas
Δℎ𝑃𝐴→𝑃𝐵 =
𝑉1
2
2𝑔
𝑓1𝐿1
𝑑1
+
𝑉2
2
2𝑔
𝑓2𝐿2
𝑑2
+
𝑉3
2
2𝑔
𝑓3𝐿3
𝑑3
𝑉1
2
2𝑔
𝑓1𝑥100
0,08
+
16𝑥𝑉1
9
2
2𝑔
𝑓2𝑥150
0,06
+
4𝑉1
2
2𝑔
𝑓3𝑥80
0,04
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 +
𝑉1
2
2𝑔
7901,23𝑥𝑓2 +
𝑉1
2
2𝑔
32000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 +
𝑉1
2
2𝑔
7901,23𝑥𝑓2 +
𝑉1
2
2𝑔
32000𝑥𝑓3
Eq.9

21
Paso 5.1 Determinar ϵ/d
Tubería Rugosidad absoluta
equivalente
ϵ, mm
Diámetro
d, mm
ϵ/d
1 0,24 80 0,003
2 0,12 60 0,002
3 0,20 44 0,005
Paso 5.2.1 Estimativa 1: f1, f2, f3 → diagrama de Moody (asume que todos los
Re están en régimen turbulento)

23
Paso 5.2.1 Estimativa 1
f1: 0,026
f2: 0,024
f3: 0,030
Paso 5.2.2 Encontrar V1 de la eq. 9
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 +
𝑉1
2
2𝑔
7901,23𝑥𝑓2 +
𝑉1
2
2𝑔
32000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑥9,81
1250𝑥0,026 +
𝑉1
2
2𝑥9,81
7901,23𝑥0,024 +
𝑉1
2
2𝑥9,81
32000𝑥0,03
𝑉1 = 0,58𝑚/𝑠
Paso 5.2.3 Calcular Re
𝑅𝑒1 =
𝑉1𝑥𝑑1
𝑣
𝑅𝑒1 =
0,58𝑚
𝑠
𝑥 0,08𝑚
1,02𝑥10−6𝑚2/𝑠
𝑅𝑒1 = 45490
𝑅𝑒2 =
4
3
𝑅𝑒1 𝑅𝑒2 =
4
3
𝑥45490 𝑅𝑒2 = 60653
𝑅𝑒3 = 2𝑅𝑒1 𝑅𝑒3 = 2𝑥45490 𝑅𝑒3 = 90980
Paso 5.2.4 Diagrama de Moody

25
Paso 5.2.4 Estimativa 1.2
f1: 0,028
f2: 0,026
f3: 0,031
Paso 5.2.5 Encontrar V1 de la eq. 9
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 +
𝑉1
2
2𝑔
7901,23𝑥𝑓2 +
𝑉1
2
2𝑔
32000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑥9,81
1250𝑥0,028 +
𝑉1
2
2𝑥9,81
7901,23𝑥0,026 +
𝑉1
2
2𝑥9,81
32000𝑥0,031
𝑉1 = 0,57𝑚/𝑠
Paso 5.2.6 Calcular Q
𝑄1 = 𝐴1𝑥𝑉1
𝑄1 =
1
4
𝜋𝑑1
2
𝑉1 𝑄1 =
1
4
𝜋𝑥 0,08𝑚 2
𝑥0,57𝑚/𝑠 𝑄1 =
2,86𝑥10−3
𝑚3
𝑠
=
10,31𝑚3
ℎ
Observación: Se tiene que realizar más estimativas hasta que no
exista diferencia significativa

26
2
=frontcover
er
ntsec=frontcover

Tuberías en paralelo
Qué es una tubería en paralelo?
3
Existen situaciones que ameritan la conexión
de distintas tuberías de manera paralela y
son aquelllas cuando el flujo se ramifica,
volviendo a unirse de nuevo en un punto que
se localiza hacia aguas abajo.

Cuáles son los 3 principios de las tuberías en paralelo?
4
1. El caudal total en un punto inmediatamente posterior a la unión (nudo),
debe ser igual al caudal en un punto inmediatamente posterior a la unión
(nudo);
2. La pérdida de energía que se produce en los ramales colocados entre los
nudos inicial y final del sistema paralelo, debe ser la misma;
3. El porcentaje del caudal total que circula por cada una de los ramales del
Sistema paralelo se matendrá constante, independientemente de la
pérdida de carga que exista entre el nudo inicial y final del Sistema.

5
Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en paralelo, como la figura mostrada a
Tubería Largo
L, m
Diámetro
d, cm
Rugosidad absoluta
equivalente
ϵ, mm
1 100 8 0,24
2 150 6 0,12
3 80 4 0,20
El fluido es agua, ρ= 1000kg/m³ y 𝑣 = 1,02𝑥10−6
m²/s. Calcule el caudal Q en
m³/h

Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en paralelo, como la figura mostrada a
6
Paso 1. Calcular la pérdida de carga total
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵
𝜌𝑔
+ 𝑍𝐴 − 𝑍𝐵
150 000
1000 𝑥 9,81
+ 5
Δℎ𝑃𝐴→𝐵 = 20,3𝑚 Eq.1

Ejemplo: Es dado un Sistema con tres tuberías en paralelo
7
Paso 2. Calcular las pérdidas despreciando las pérdidas localizadas
𝑉1
2
2𝑔
𝑓1𝐿1
𝑑1
=
𝑉2
2
2𝑔
𝑓2𝐿2
𝑑2
=
𝑉3
2
2𝑔
𝑓3𝐿3
𝑑3
𝑉1
2
2𝑔
𝑓1𝑥100
0,08
=
𝑉2
2
2𝑔
𝑓2𝑥150
0,06
=
𝑉3
2
2𝑔
𝑓3𝑥80
0,04
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 =
𝑉2
2
2𝑔
2500𝑥𝑓2 =
𝑉3
2
2𝑔
2000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 =
𝑉2
2
2𝑔
2500𝑥𝑓2 =
𝑉3
2
2𝑔
2000𝑥𝑓3
Eq.9

8
Paso 3 Determinar ϵ/d
Tubería Rugosidad absoluta
equivalente
ϵ, mm
Diámetro
d, mm
ϵ/d
1 0,24 80 0,003
2 0,12 60 0,002
3 0,20 44 0,005
Paso 4 Estimativa 1: f1, f2, f3 → diagrama de Moody (asume que todos los Re
están en régimen turbulento)

10
Paso 4.1 Estimativa 1
f1: 0,026
f2: 0,024
f3: 0,030
Paso 4.2 Determinar las velocidades
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑥9,81
1250𝑥0,026 𝑉1 =3,50m/s
20,3𝑚 =
𝑉2
2
2𝑔
2500𝑥𝑓2
20,3𝑚 =
𝑉2
2
2𝑥9,81
2500𝑥0,024 𝑉2 = 2,58m/s
20,3𝑚 =
𝑉3
2
2𝑔
2000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉3
2
2𝑥9,81
2000𝑥0,030 𝑉3 = 2,58m/s

11
Paso 4.3 Determinar Re 𝑅𝑒 =
𝑉𝑥𝑑
𝑣
𝑅𝑒1 =
𝑉1𝑥𝑑1
𝑣
𝑅𝑒1 =
3,50𝑚
𝑠
𝑥0,08𝑚
1,02𝑥10−6𝑚2/𝑠
𝑅𝑒1 = 274509
𝑅𝑒2 =
𝑉2𝑥𝑑2
𝑣
𝑅𝑒2 =
2,58𝑚
𝑠
𝑥0,06𝑚
1,02𝑥10−6𝑚2/𝑠
𝑅𝑒2 = 151764
𝑅𝑒3 =
𝑉3𝑥𝑑3
𝑣
𝑅𝑒3 =
2,58𝑚
𝑠
𝑥0,04𝑚
1,02𝑥10−6𝑚2/𝑠
𝑅𝑒1 = 101176
Paso 4.4 Diagrama de Moody

13
Paso 4.5 Estimativa 2
f1: 0,026
f2: 0,024
f3: 0,031
Paso 4.6 Determinar las velocidades
20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑔
1250𝑥𝑓1 20,3𝑚 =
𝑉1
2
2𝑥9,81
1250𝑥0,026 𝑉1 =3,50m/s
20,3𝑚 =
𝑉2
2
2𝑔
2500𝑥𝑓2
20,3𝑚 =
𝑉2
2
2𝑥9,81
2500𝑥0,024 𝑉2 = 2,58m/s
20,3𝑚 =
𝑉3
2
2𝑔
2000𝑥𝑓3
20,3𝑚 =
𝑉3
2
2𝑥9,81
2000𝑥0,031 𝑉3 = 2,53m/s

14
Paso 4.7 Calcular Q
𝑄1 =
1
4
𝜋𝑑1
2
𝑉1 𝑄1 =
1
4
𝜋𝑥 0,08𝑚 2
𝑥3,5𝑚/𝑠 𝑄1 =
1,76𝑥10−3
𝑚3
𝑠
=
63,33𝑚3
ℎ
Observación: Se tiene que realizar más estimativas hasta que no exista
diferencia significativa
𝑄2 =
1
4
𝜋𝑑2
2
𝑉2 𝑄2 =
1
4
𝜋𝑥 0,06𝑚 2
𝑥2,58𝑚/𝑠 𝑄2 =
7,29𝑥10−3𝑚3
𝑠
=
26,26𝑚3
ℎ
𝑄3 =
1
4
𝜋𝑑3
2
𝑉3 𝑄3 =
1
4
𝜋𝑥 0,04𝑚 2𝑥2,53𝑚/𝑠 𝑄3 =
3,18𝑥10−3
𝑚3
𝑠
=
11,44𝑚3
ℎ
𝑄𝑡 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3
𝑄𝑡 =
101,03𝑚3
ℎ
𝑄𝑡 =
63,33𝑚3
ℎ
+
26,26𝑚3
ℎ
+
11,44𝑚3
ℎ

Tuberías ramificada
Qué es una tubería ramificada?
15
En la práctica muchos de los sistemas de tuberías que
se encuentran en la vida diaria, están constituidos por
muchas tuberías conectadas de forma compleja, en la
cual existen muchos puntos con caudales entrantes y
salientes, en un complejo conjunto de tuberías
instaladas en forma paralela. El análisis numérico de
estos sistemas es extremadamente complejo, pero
pueden obtenerse soluciones mediante métodos
estandarizados para lo cual existen soluciones
computaciones, como las propuestas por el método
de Hardy Cross.

Introducción
- Definición
La turbomáquina se refiere a las máquinas que tiene como aparato principal un
rodete, por medio del cual transita un fluido de manera continua, variando éste
sus medidas de movimiento por la actividad de la máquina.
17
- Clasificación
Las turbomáquinas se dividen naturalmente en aquellas que adicionan energía
(bombas) y aquellas que extraen energía (turbina).

Historia
- Bombas
La bomba es la máquina más antigua conocida para transferir energía a un
fluido. Hay al menos dos proyectos que se remontan a antes de Cristo: (1) las
ruedas de agua con conchas impulsadas en la parte inferior de la rueda, o
ruedas, utilizadas en Asia y África (1000 a. C.) y (2) la Bomba de tornillo de
Arquímedes (250 a. C.), que todavía se fabrica hoy para mover mezclas líquido-
sólido.
18
- Turbinas
Los romanos utilizaron turbinas de ruedas con remos en el 70 a. C., y los
molinos de viento de Babilonia se remontan al 700 a. C.

Bombas
- Clasificación
Hay dos tipos básicos de bombas: bombas de desplazamiento positivo y
bombas de movimiento dinámico o variable. Hay una multitud de cada tipo en
uso en el mundo de hoy.
19
- Bombas de desplazamiento positivo (BDP)
Las bombas de desplazamiento fuerzan el movimiento del fluido a través de
cambios de volumen, donde, se abre una cavidad y se admite líquido a través
de una entrada. Luego, la cavidad se cierra y el fluido se comprime a través de
una salida. El corazón de los mamíferos es un buen ejemplo y hay muchos
diseños mecánicos en uso.

Bombas
20
- Bombas de movimiento dinámico o variable
Las bombas dinámicas simplemente agregan cantidad de movimiento al fluido
por medio de palas o aletas que se mueven rápidamente o ciertos diseños
especiales. No hay volumen cerrado: el fluido aumenta su cantidad de
movimiento a medida que se mueve a través de pasajes abiertos y luego
convierte su alta velocidad en aumento de presión, saliendo a través de una
sección en forma de difusor.

Bombas centrífugas
21
- Definición
La bomba consta de un rotor que gira dentro de una
carcasa. El fluido entra axialmente a través de la
brida de entrada de la carcasa, es aspirado por las
palas del rotor, gira tangencialmente y fluye
radialmente hacia afuera hasta que sale por todas las
partes periféricas del rotor llegando al difusor de la
carcasa. El fluido gana velocidad y presión a medida
que pasa por el rotor. La sección en forma de caracol
o en forma de voluta de la carcasa ralentiza el flujo y,
por lo tanto, aumenta la presión aún más.
carcasa
rotor
Sección creciente
de la voluta

Bombas centrífugas
22
- Parámetros básicos de salida
Admitiendo flujo permanente, la bomba básicamente aumenta la altura de
carga del flujo, desde Bernoulli, entre el punto 1, en la entrada, y el punto 2, en
la salida.
ℎ𝑏: altura de carga por la bomba
ℎ𝑝: perdidas de carga
Por lo general, V2 y V1 son aproximadamente iguales, z2-z1 no es más de un
metro más o menos, y la altura de carga neta de la bomba es esencialmente
igual al cambio en la altura de presión:
𝐻 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑝 =
𝑃1
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 + ℎ𝑏

Bombas centrífugas
23
La potencia entregada al fluido es simplemente igual al peso específico
multiplicado por el flujo multiplicado por la altura de carga neta.
Esto se llama tradicionalmente potencia hidráulica. La potencia necesaria para
impulsar la bomba es la potencia del eje.
𝑤: velocidad angular del eje
𝑇: torque del eje
𝑃ℎ = 𝛾𝑄𝐻

Bombas centrífugas
24
Si no hubiera pérdidas, Ph y la potencia del eje Pe serían iguales, pero, por
supuesto, Ph es menor y la eficiencia de la bomba ƞ se define como:
𝜂 =
𝑃ℎ
𝑃𝑒
=
𝛾𝑄𝐻
𝑤𝑇

Ejemplos
25
1. El siguiente diagrama muestra una bomba hidráulica que presiona (eleva)
agua de un depósito (R1) a otro (R2).
Se solicita:
a.1) La energía por unidad de peso suministrada al agua por la bomba.
a.2) La potencia transferida al agua por la bomba (potencia hidráulica).

Ejemplos
26
a.1) La energía por unidad de peso suministrada al agua por la bomba.
𝐻 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑝 =
𝑃1
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 + ℎ𝑏
𝐻 =
0
𝛾
+
0
2𝑔
+ 50 + 20 =
0
𝛾
+
0
2𝑔
− 5 + ℎ𝑏
ℎ𝑏 = 75 𝑚. 𝑐. 𝑎

Ejemplos
27
a.2) La potencia transferida al agua por la bomba (potencia hidráulica).
𝑃ℎ = 𝛾𝑄𝐻
𝑃ℎ =
9810𝑁
𝑚3 𝑥
60𝑙
𝑠
𝑥
1𝑚3
1000𝑙
𝑥 75𝑚
𝑃ℎ = 44145
𝑁. 𝑚
𝑠

Ejemplos
28
2. Una bomba aspirante está instalada en un pozo a 8m sobre el nivel del agua
y tiene las siguientes características.
• Diámetro del embolo 15cm
• Altura de caída 8m
• Velocidad 120dm/min
Calcular:
a) El caudal
b) Potencia hidráulica suponiendo un rendimiento ƞ=0,6

Ejemplos
29
a) El caudal
𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
Paso 1. Determinar el área
𝐴 =
π𝑥𝐷2
4
𝐴 =
π𝑥15𝑐𝑚2
4
= 176,71𝑐𝑚2
Paso 2. Transformar unidades velocidad
𝑉 =
120𝑑𝑚
𝑚𝑖𝑛
𝑥
10𝑐𝑚
1𝑑𝑚
𝑥
1𝑚𝑖𝑛
60𝑠
=
20𝑐𝑚
𝑠

Ejemplos
30
a) El caudal
𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
Paso 3. Determinar el caudal
𝑄 =
20𝑐𝑚
𝑠
𝑥176,71𝑐𝑚2 =
3534,2𝑐𝑚3
𝑠
=
0,003534𝑚3
𝑠
b) Potencia hidráulica suponiendo un rendimiento ƞ=0,6
𝑃𝑒 =
𝛾𝑄𝐻
𝜂
𝑃𝑒 =
9810𝑁
𝑚3 𝑥
0,003534𝑚3
𝑠
𝑥 8𝑚
0,6
𝑃𝑒 = 462,2472
𝑁. 𝑚
𝑠
= 462,2472𝑊𝑎𝑡𝑡

31
3
=frontcover
er
ntsec=frontcover

3
La energía total de cualquier línea de corriente que pasa a través de una
sección se define como la suma de las energías de posición, más la de presión y
más la de velocidad, es decir:
Principio de energía
- Energía total
• Fórmula de la energía total

4
Si en un canal que conduce agua con un tirante
“d” consideramos una partícula cualquiera “M”
animada de la velocidad media “v” y queremos
expresar sus tres formas de energía según la
ecuación de Bernoulli, haciendo pasar el plano
horizontal de referencia por el fondo del canal
tenemos
- Tipos de energía
• Fórmula de los tres tipos de energía
Energía cinética

5
La suma de 𝑧 +
𝑃
𝛾
= 𝐸𝑝 = 𝑑, Energía potencial llamada también mecánica o de
presión se representa con el tirante (d) o profundidad del agua en el canal, en
metro. La energía cinética (Ec), se representa por la carga de velocidad (hv) en
el canal. Puede suceder que el agua circule con una velocidad V1, mucho
mayor, y con un tirante menor d1, pero en ambos casos la suma de energía 𝑧 +
𝑑1 +
𝑉1
2𝑔
es la misma, entonces se dice que el contenido de la energía especifica
es la misma
- Energía potencial

6
En la figura podemos observar otra forma de la presencia de las tres energías
existentes en el canal y que la línea piezométrica, lugar geométrico de los
extremos de los segmentos (z + d), coinciden con la superficie libre del agua y
su pendiente se llama gradiente hidráulico o línea de energía.

7
Cada línea de corriente que pasa a través de una sección de canal tendrá una
altura de velocidad diferente, debido a la distribución no uniforme de
velocidades en flujos reales. Solo en un flujo paralelo ideal con distribución
uniforme de velocidades la altura de velocidad puede ser idéntica para todos
los puntos de la sección transversal. En el caso del flujo gradualmente variado,
sin embargo, para propósitos prácticos, puede suponerse que las alturas de
velocidad para todos los puntos de la sección del canal son iguales y, con el fin
de tener en cuenta la distribución no uniforme de velocidades, puede utilizarse
el coeficiente de energía para corregir este efecto. Luego la energía total en la
sección es:

8
Para canales con pendientes bajas θ = 0 luego, la energía total en la sección del
canal es:
Donde:
Z1 = carga de posición o de elevación en el punto 1 por encima del plano horizontal de
referencia
d1 = altura o profundidad del agua en el punto 1 por debajo de la superficie del agua
medida a lo largo de la sección del canal, en metros o pies, en este caso el cos θ es
despreciable.
𝑉1
2
2𝑔
= carga o altura de velocidad del flujo en la línea de corriente que pasa en el punto
1, en metros o pies. La pendiente de la superficie libre del agua se representa por SW y
la pendiente del fondo del canal por S0 = sen θ. En el flujo uniforme Sf = SW = S0= sen∅

9
De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la altura de energía
total en la sección 1 localizada aguas arriba debe ser igual a la altura de energía
total en la sección 2 localizada agua abajo más la pérdida de carga por fricción
hf1-2 entre las dos secciones 1 y 2.
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Por un
canal de pendiente pequeña, esta se convierte en:

10
Cuando Hf = 0, la ecuación de energía se convierte en:
Como la energía por unidad de peso (m-kg/kg) se expresa en unidades de
longitud, entonces los elementos de la ecuación se expresan de la siguiente
forma:
E = altura total de sección
Z = altura de posición
d= altura de presión
𝑉1
2
2𝑔
= altura de velocidad
siendo: Z + d la altura piezométrica

11
Si la energía total se expresa por unidad de
peso, se obtiene la forma más conocida de
la ecuación de Bernoulli, la cual se
representa como:
Donde :
E = energía total en la sección
Z = energía de posición o de elevación
d = tirante en la sección
V = velocidad media que lleva el flujo en esa sección.
De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura
de energía total en la sección (1) localizada aguas arriba debe ser
igual a la altura de energía en la sección (2) localizada aguas abajo.
- Ecuación de Bernoulli

12
En el caso de un fluido ideal, la energía E en (1) es igual a la energía en (2).
Para el caso de un fluido real hay una perdida de energía entre (1) y (2) .En
realidad no es energía pérdida, sino transformada a calor debido a la fricción.
En este caso, la ecuación de la energía para el tramo (1) y (2) se muestra en la
Figura y se representa como:
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o
gradualmente variados. Para un canal de
pendiente pequeña (θ ≈ 0 y Cosθ ≈ 1), esta se
convierte en:
- Fluido ideal

13
Energía específica
La energía específica se define como la cantidad de energía por unidad de
peso es decir por kilogramo de agua que fluye a través dela sección de canal,
medida con respecto al fondo del canal.
La energía especifica es, pues la suma del tirante y la carga de velocidad.
Como está referida al fondo del canal va a cambiar cada vez que éste ascienda
o descienda, en pocas palabras la energía especifica depende del tirante del
agua.
- Energía específica

14
Energía específica
También expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección
transversal, que es función del tirante d (𝑉 =
𝑄
𝐴
), y sustituyendo el valor de la
velocidad en la ecuación de la energía específica, se tiene:
En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas:
energía específica, gasto y tirante:
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la
constancia de cada una de las dos variables del segundo miembro de la
ecuación. Así, si aceptamos que el gasto es constante:

15
Flujo crítico, subcrítico, y supercrítico
- Tipos de flujo
• Crítico
• Subcrítico
• Supercrítico
El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la cual el
número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que este
es el estado de flujo para el cual la energía específica es mínima para un
caudal determinado.
• Estado crítico de flujo

16
• Flujo subcrítico
Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son mayores que los
críticos, las velocidades menores que las críticas y los números de Froude
menores que 1.Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales
principales o de navegación.
• Flujo supercrítico
Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los
críticos, las velocidades mayores que las críticas y los números de Froude
mayores 1. Es un régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable,
puede usarse en canales revestidos.

17
- Curva de energía específica

18
- Pendientes
Crítica:
Subcrítica:
Supercrítica:
La pendiente del canal que mantiene un determinado caudal con
una profundidad uniforme y crítica.
Una pendiente de canal menor que la pendiente crítica producirá
un flujo mas lento de naturaleza subcrítica para el caudal
determinado.
Una pendiente mayor que la pendiente crítica producirá un flujo
más rápido de naturaleza supercrítica y se conoce como pendiente
empinada o supercrítica.

19
- Tirante
Si el tirante normal dn > dc el régimen es tranquilo lento o subcrítico.
Si el tirante normal dn = dc el régimen es crítico.
Si el tirante normal dn < dc el régimen es rápido o supercrítico

20
- Gasto y tirante

21
Flujo crítico
- Criterio
Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de la siguiente
definición: Como V = Q/A, la ecuación E = y + V2/2g, la cual es la ecuación para la
energía específica en un canal, puede escribirse como:
Al derivar con respecto a y y al notar que Q es constante
El diferencial de área mojada dA cerca de la superficie libre es igual a T·dd. Ahora
dA/ dd = T, y la profundidad hidráulica es d= A/T; luego la anterior ecuación se
convierte en:

22
Flujo crítico
- Criterio
En el estado crítico de flujo la energía especifica es mínima, o dE / dy = 0. La
anterior ecuación, por consiguiente, se convierte en:
Donde: d es la profundidad del agua
Este es el criterio para flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del
flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica. La
anterior ecuación también se escribe como:
Lo cual significa que F=1, esta es la definición de flujo crítico

23
Flujo crítico
- Condiciones que debe satisfacer el flujo crítico
▪ Flujo paralelo o gradualmente variado
▪ Canal con pendiente baja
- El flujo crítico se puede conseguir en forma práctica:
▪ Reduciendo la sección.
▪ Provocando una sobre elevación del fondo del cauce.
▪ Utilizando los dos criterios anteriores.

24
Flujo crítico
- Canal o sección trabaja en régimen crítico cuando
a) Posee la energía especifica mínima para un caudal dado, o
b) Posee el caudal máximo para una energía especifica dada, o
c) Posee la fuerza específica mínima para un caudal dado.
d) La altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica en un
canal de baja pendiente.
e) El número de Froude es igual a la unidad.
f) La velocidad de flujo en un canal de baja pendiente con distribución uniforme
de velocidades es igual a la celeridad de pequeñas ondas gravitacionales en
aguas poco profundas causadas por perturbaciones locales

25
- Relaciones entre los
parámetros para un
régimen crítico
Las condiciones teóricas en que se
desarrolla el régimen crítico están
dadas por la ecuación:
Esta ecuación indica que dada la
forma de la sección en un canal y el
gasto, existe un tirante crítico único y
viceversa.

26
Flujo crítico
- Cálculo del tirante crítico
El cálculo del flujo crítico comprende la determinación de la profundidad crítica y
la velocidad cuando se conocen el gasto y la sección de canal. si se conocen la
profundidad crítica y la sección del canal puede determinarse el gasto crítico por
los métodos a) método algebraico y b) el método gráfico.
• Método algebraico
Para una sección geometría simple de canal, el flujo crítico puede determinarse
mediante un cálculo algebraico con las ecuaciones básicas.

27
Flujo crítico
• Método de la curva d vs. Z (tirante vs. Factor de sección)
Para una sección de canal complicada o natural, por lo general se emplea un
procedimiento gráfico para el cálculo del flujo crítico. Mediante este procedimiento
se construye una curva de y versus Z. Luego se calcula el valor de Q / √g. A partir de
la ecuación se obtiene directamente la profundidad crítica de la curva, donde.

28
Flujo crítico
• Método gráfico o del cuadro de diseño
Este método del cuadro de diseño es el más simplificado y rápido.
𝐴𝑐3/2
𝑇𝑐1/2 tiene como dimensiones 𝐿2,5 , para que de cómo resultado un valor
adimensional.

29
Ejemplo
• Ejemplo 2.1
Determinar el tirante crítico (dc) para un canal rectangular de 4 m de plantilla;
gasto de 8 m3/seg, si el tirante varia de 0,30 m a 1,40 m. Trazar la curva de energía
especifica, potencial y cinética.
Datos: Q=8 m3/seg, b=4,0 m, variación de los tirantes 0,30 a 1,40 m
Paso 1. Determinar el tirante crítico
𝑑𝑐 =
3
8𝑚3
𝑠
2
9,81𝑚
𝑠2 𝑥 4𝑚 2
𝑑𝑐 = 0,74𝑚

30
Ejemplo
Paso 2. Calcular la energía especifica
Paso 2.1 Arbitrar valores del tirante dentro del intervalo 0,3 a 1,4m
d (m)
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
Calcular los otros parámetros de los valores señalados de color verde.

31
Ejemplo
Paso 2.2 Calcular el área
𝐴 = 𝑏𝑥𝑑
d (m) A (m²)
0,3 1,2
0,4 1,6
0,5 2
0,6 2,4
0,7 2,8
0,8 3,2
0,9 3,6
1,0 4
1,1 4,4
1,2 4,8
1,3 5,2
1,4 5,6
𝐴 = 0,3𝑚𝑥4𝑚 = 1,2𝑚2
𝐴 = 0,7𝑚𝑥4𝑚 = 2,8𝑚2
𝐴 = 1,1𝑚𝑥4𝑚 = 4,4𝑚2
𝐴 = 1,4𝑚𝑥4𝑚 = 5,6𝑚2
Paso 2.3 Calcular la velocidad
𝑄 = 𝑉𝑥𝐴
d (m) V (m/s)
0,3 6,67
0,4 5,00
0,5 4,00
0,6 3,33
0,7 2,86
0,8 2,50
0,9 2,22
1,0 2,00
1,1 1,82
1,2 1,67
1,3 1,54
1,4 1,43
𝑉 =
8𝑚/𝑠3
1,2𝑚2
=
6,67𝑚
𝑠

32
Ejemplo
Paso 2.4 Calcular la energía específica
d (m) V (m/s) E (m)
0,3 6,67 2,57
0,4 5,00 1,67
0,5 4,00 1,32
0,6 3,33 1,17
0,7 2,86 1,12
0,8 2,50 1,12
0,9 2,22 1,15
1,0 2,00 1,20
1,1 1,82 1,27
1,2 1,67 1,34
1,3 1,54 1,42
1,4 1,43 1,50
𝐸 = 0,3𝑚 +
6,67𝑚
𝑠
2
2𝑥9,81𝑚
𝑠
= 2,56𝑚

33
Ejemplo
Paso 3. Calcular la energía cinética
𝐸𝑐 =
6,672
2𝑥9,81
= 2,27𝑚
d (m) V (m/s) Ec (m)
0,3 6,67 2,27
0,4 5,00 1,27
0,5 4,00 0,82
0,6 3,33 0,57
0,7 2,86 0,42
0,8 2,50 0,32
0,9 2,22 0,25
1,0 2,00 0,20
1,1 1,82 0,17
1,2 1,67 0,14
1,3 1,54 0,12
1,4 1,43 0,10
𝐸𝑐 =
𝑉2
2𝑔
Paso 4. Calcular la energía potencial
𝐸𝑝 = 𝑑
d (m) Ep (m)
0,3 0,3
0,4 0,4
0,5 0,5
0,6 0,6
0,7 0,7
0,8 0,8
0,9 0,9
1,0 1,0
1,1 1,1
1,2 1,2
1,3 1,3
1,4 1,4

34
Ejemplo
Paso 5. Trazar las curvas
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
TIrante,
d(m)
Energía (m)
E (m) Ec (m) Ep (m) dc (m)
Flujo crítico
Flujo subcrítico o lento
Flujo supercrítico

35
3
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er
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