S07.s1 - Problemas Resueltos en Energia y Perdidas de Carga.pdf

UTP AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
MECÁNICA DE FLUIDOS Mg. Ing. María del Carmen Manchego Casapia
1

2
OBJETIVOS
➢ Definir número de Reynolds.
➢ Establecer la clasificación de los flujos de fluidos de acuerdo al número de Reynolds.
➢ Definir rugosidad relativa y rugosidad equivalente.
➢ Establecer la ecuación de Darcy para cálculo de pérdidas por fricción.
➢ Definir factor de fricción (coeficiente de fricción).
➢ Determinar el factor de fricción para un flujo turbulento, utilizando el diagrama de Moody.
➢ Determinar el factor de fricción y las pérdidas de energía para un flujo en secciones
transversales no circulares.

3
CARACTERÍSTICAS GENERALES DE FLUJO EN TUBERÍAS
Aunque no todos los conductos usados para transportar fluidos de un sitio a otro son de sección transversal
redonda, la mayor parte sí lo son. Ejemplos de estos tipos de conductos son los tubos de agua, las mangueras
hidráulicas y otros conductos diseñados para resistir una considerable diferencia de presión a través de sus
paredes sin excesiva distorsión en su forma. Algunos conductos representativos de sección transversal no
circular son los ductos de calefacción y acondicionamiento del aire que a menudo tienen sección transversal
rectangular. Normalmente, la diferencia de presión entre el interior y el exterior de estos ductos es
relativamente pequeña. Casi todos los principios básicos que intervienen son independientes de la forma de
la sección transversal, aunque los detalles del flujo pueden depender de ésta. Amenos que se especifique
otra cosa, se supondrá que el conducto es redondo, aunque se mostrará cómo trabajar con otras formas.
Para todos los flujos que se mencionarán en este capítulo se supondrá que la tubería está completamente
lleno del fluido transportado, como se muestra en la figura 1.a. Así, no se considerará una tubería en
concreto a través del que circula agua de lluvia sin llenar por completo la tubería, como se muestra en la
figura1.b. Este tipo de flujo, denominado flujo en canal abierto, se considerará en el posterior curso de
Mecánica de Fluidos II.
Figura 1 a) Flujo en una tubería. b) Flujo en un canal abierto.
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO
El flujo de un fluido en una tubería puede ser laminar o turbulento. Osborne Reynolds (1842-1912),
científico y matemático británico, fue el primero en distinguir la diferencia entre estas dos clasificaciones
de flujo usando un aparato sencillo como se muestra en la figura 2.a. Si por una tubería de diámetro D
circula agua a una velocidad media V, al inyectar un colorante neutralmente boyante se observan las
siguientes características. Para “caudales suficientemente pequeños”, la estela del colorante permanece
como una línea bien definida a medida que fluye, viéndose sólo ligeramente borrosa debido a la difusión
molecular del colorante en el agua circundante. Para un “caudal intermedio” algo mayor, la estela del
colorante fluctúa en el tiempo y el espacio, y a lo largo de la estela se observan destellos intermitentes de
comportamiento irregular. De otra parte, para “caudales suficientemente grandes”, la estela del colorante
se vuelve borrosa casi de inmediato y se dispersa por todo la tubería de manera aleatoria. Estas tres

4
características, denominadas flujo laminar, de transición y turbulento, respectivamente, se ilustran en la
figura 2.b.
Figura 2 a) Experimento para ilustrar el tipo de flujo. b) Estelas de colorante representativos
Número de Reynolds(Re): Se puede mostrar experimentalmente y verificar analíticamente que el carácter
del flujo en un conducto redondo depende de cuatro variables: la densidad del fluido,  , la viscosidad
dinámica del fluido,  , el diámetro del conducto, D , y la velocidad promedio de flujo, V . A partir de un
número adimensional, conocido ahora como número de Reynolds ( Re ). La siguiente ecuación muestra la
definición básica del número de Reynolds.


VD
=
Re
También se conoce que 

 /
= , donde  es la viscosidad cinemática; por lo tanto la ecuación anterior
queda también:

VD
=
Re
La fórmula para obtener el número de Reynolds toma una forma diferente para conductos con secciones
transversales no circulares. La dimensión característica de las secciones transversales no circulares se
conoce como diámetro hidráulico, h
D , definido como el cociente del área neta de la sección transversal de
una corriente de flujo entre el perímetro mojado, PM, de la sección. Esto es,
mojado
perímetro
área
PM
A
Dh =
=
La unidad de h
D es el metro en el SI. En el sistema Británico de Unidades, h
D se expresa en pies.
Por lo tanto el número de Reynolds para secciones transversales no circulares viene dado por la siguiente
ecuación:

h
VD
=
Re

5
A continuación se explicará cómo es posible obtener resultados prácticos fáciles de usar. Sin importar la
forma de la sección transversal, en el flujo laminar totalmente desarrollado en tuberías no hay efectos
inerciales. Así, el factor de fricción se pude escribir como h
C
f Re
/
= , donde la constante C depende de la
forma particular del ducto, y h
Re es el número de Reynolds, 
 /
Re h
h VD
= , basado en el diámetro
hidráulico. El diámetro hidráulico definido por P
A
Dh /
4
= es cuatro veces la razón del área de la sección
transversal de flujo dividida entre el perímetro mojado, P. Representa una longitud característica que define
el tamaño de una sección transversal de forma específica. En la definición de h
D se incluye el factor 4 de
modo que para tuberías redondas el diámetro y el diámetro hidráulico son iguales,
D
D
D
P
A
Dh =
=
= )
/(
)
4
/
(
4
/
4 2


Valores de h
f
C Re
= para varias formas han sido obtenidas teórica o experimentalmente. En la siguiente
tabla se proporcionan valores representativos junto con el diámetro hidráulico.
Tabla 1

6
PÉRDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN
ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH
En la ecuación general de la energía:
g
V
z
p
h
h
h
g
V
z
p
L
R
A
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
+
+
=
−
−
+
+
+


el término L
h se define como la pérdida de carga entre las secciones (1) y (2). Una componente de la pérdida
de energía se debe a la fricción en el fluido en movimiento. Lo anterior se expresa de manera matemática
en la ecuación de Darcy-Weisbach:
g
V
D
L
f
hL
2
2


=
Donde:
L
h : Pérdida de energía debido a la fricción (m, pie)
f ó : Factor de fricción (adimensional)
L : Longitud de la tubería (m)
D : Diámetro de la tubería (m)
V : Velocidad de flujo promedio (m/s)
La ecuación de Darcy-Weisbach, es válida para cualquier flujo estable incompresible totalmente
desarrollado en tubos, sin importar que la tubería sea horizontal o esté inclinada. Parte del cambio de presión
se debe al cambio de elevación y parte se debe a la pérdida de carga asociada con efectos de fricción, que
están dados en términos del factor de fricción, f .
La dependencia del factor de fricción viene dado por:
( )
D
f /
Re,

=
donde:  es una función, Re es el número de Reynolds,  es una medida de rugosidad equivalente de la
pared de la tubería, y D
/
 viene a ser la rugosidad relativa.
A continuación se muestran rugosidades equivalentes para tubos nuevos.

7
USO DEL DIAGRAMA DE MOODY
El diagrama de Moody se utiliza como ayuda para determinar el valor del factor de fricción, f , para flujo
turbulento. Deben conocerse los valores del número de Reynolds 
 /
Re VD
= y la rugosidad relativa
D
/
 . Por consiguiente, los datos básicos requeridos son el diámetro interior del conducto, el material con
el que el conducto está hecho, la velocidad de flujo y el tipo de fluido y su temperatura, con los cuales se
puede encontrar la viscosidad.
Diagrama de Moody:
ECUACIÓN EXPLÍCITA PARA EL FACTOR DE FRICCIÓN
La siguiente ecuación, que permite el cálculo directo del valor del factor de fricción, fue desarrollada por
P.K.Swamee y A.K.Jain.
2
9
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0












+
=
D
f

La ecuación produce valores para f que se encuentren entre ±1% del valor de los correspondientes a la
ecuación de Colebrook, la cual es válida para los rangos del intervalo de:
( ) 2
6
10
/
10 −
−

 D
 8
3
10
Re
10
5 



8
PROBLEMAS RESUELTOS
Petróleo de y viscosidad cinemática s
m
x /
10
2
.
2 2
4
−
=
 circula por la tubería vertical que se
muestra en la figura a razón de s
m
x /
10
4 3
4
−
. Determinar la lectura del manómetro, h.
SOLUCIÓN:
Determinación de la velocidad en el ducto
s
m
D
Q
V 27
.
1
)
02
.
0
(
)
10
4
(
4
4
2
4
2
1
1 =

=
=
−


Determinación del número de reynols
2100
Re
116
10
2
.
2
)
02
.
0
)(
27
.
1
(
Re 4


=

=
=
= −


 VD
VD
¡Flujo laminar!
Como el flujo es laminar
L
D
LQ
p
p
p
L
D
L
p
Q 





−
=
−
=


+

= 4
2
1
4
128
128
)
(
…(I)
Determinamos el peso específico y la viscosidad dinámica del petróleo
Reemplazando en (I)
m
m
N
m
s
m
m
m
s
N
p
p
p 4
8535
)
02
.
0
(
10
4
4
.
191
.
0
128
3
4
3
4
2
2
1 
−




=
−
=

−

Por lectura del manómetro
…(II)
Donde del gráfico:
Reemplazando valores en (II)
Rpta.
87
.
0
=
DR
3
3
8535
9810
87
.
0
.
m
N
m
N
DR agua =

=
= 

2
3
2
4 .
191
.
0
1000
87
.
0
10
2
.
2
.
.
.
m
s
N
m
kg
s
m
DR agua =



=
=
= −





2
4
2
1 10
37
.
4
m
N
p
p
p 
=
−
=

)
(.
.
.
.
. 2
1
2
2
1
1 h
h
h
p
p
h
h
h
p m
m +
−
=


=
+
−
+ 




L
h
h
h
L
h
h
h +
=
+

+
−
= 2
1
2
1
)
4
)(
8535
(
)
)(
9810
3
.
1
(
10
37
.
4 4
+
−

=
 h
h
m
h 5
.
18
=

9
Petróleo de 87
.
0
=
DR y viscosidad cinemática s
m
x /
10
2
.
2 2
4
−
=
 circula por la tubería vertical que se
muestra en la figura a razón de s
m
x /
10
4 3
4
−
. Determinar la lectura del manómetro (h), si el flujo es hacia
arriba y no hacia abajo.
SOLUCIÓN:
Determinación de la velocidad en el ducto
Determinación del número de reynols
¡Flujo laminar!
Como el flujo es laminar
L
D
LQ
p
p
p
L
D
L
p
Q 





+
=
−
=


−

= 4
2
1
4
128
128
)
(
…(I)
Determinamos el peso específico y la viscosidad dinámica del petróleo
3
3
8535
9810
87
.
0
.
m
N
m
N
DR agua =

=
= 

2
3
2
4 .
191
.
0
1000
87
.
0
10
2
.
2
.
.
.
m
s
N
m
kg
s
m
DR agua =



=
=
= −





Reemplazando en (I)
m
m
N
m
s
m
m
m
s
N
p
p
p 4
8535
)
02
.
0
(
10
4
4
.
191
.
0
128
3
4
3
4
2
2
1 
+




=
−
=

−

2
4
2
1 10
20
.
11
m
N
p
p
p 
=
−
=

Por lectura del manómetro
h
h
h
p
p
p
p
h
h
h
p m
m .
)
(.
.
.
. 2
1
2
1
2
2
1
1 



 −
+
=

=
−

=
−
+
−
Donde del gráfico: L
h
h
h
L
h
h
h +
=
+

+
−
= 2
1
2
1
h
L
h
p m .
)
(. 
 −
+
=

 …(II)


−
+
=
 )
)(
9810
3
.
1
(
)
4
)(
8535
(
10
20
.
11 4
h
h m
h 5
.
18
−
= Rpta.
s
m
D
Q
V 27
.
1
)
02
.
0
(
)
10
4
(
4
4
2
4
2
1
1 =

=
=
−


2100
Re
116
10
2
.
2
)
02
.
0
)(
27
.
1
(
Re 4


=

=
=
= −


 VD
VD
El signo menos indica que el fluido del manómetro se desplaza hacia arriba.

10
Durante una fuerte tormenta, el agua que sale de un estacionamiento llena por completo una alcantarilla
lisa de concreto de 18 pulg de diámetro. Si el caudal es de , determinar la caída de presión en
una sección horizontal de 100pies de la tubería. Repetir el problema si por cada 100 pies de longitud hay
un cambio de elevación de 2 pies. Temperatura 60ºC
SOLUCIÓN:
❖ Caso tubería horizontal:
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2)
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: p
p
p 
=
− 2
1 , 2
1 Z
Z = y 2
1 V
V =
…(I)
Determinación de V
Determinación de Re
¡Flujo turbulento!
Determinación de
000667
.
0
)
12
/
18
(
001
.
0
=
=
D

Determinación de  , por fórmula
0185
.
0
)
10
02
.
7
(
74
.
5
7
.
3
000667
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0
2
9
.
0
5
2
9
.
0
=















+
=












+
=
D


Reemplazando valores en (I)
2
.
32
2
66
.
5
)
12
/
18
(
100
0185
.
0
4
.
62
2



=
p
psi
pie
lb
p 266
.
0
3
.
38 2
=
=
 Rpta.
❖ Caso tubería oblicua:
Considerando: p
p
p 
=
− 2
1 , 2
1 V
V = y pies
Z
Z
Z 2
2
2 =
−
=

…(I)
Determinación de V
s
pies /
10 3
g
V
D
L
p
2
.
2


=

s
pies
D
Q
V
V
V 66
,
5
)
12
/
18
(
)
10
(
4
4
2
2
2
1 =
=
=
=
=


5
5
10
02
.
7
10
21
.
1
)
12
/
18
)(
66
.
5
(
Re 
=

=
= −

VD
D
/

g
V
D
L
f
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+


g
V
D
L
f
Z
Z
p
2
.
)
(
2
1
2 
 +
−
=


11
s
pies
D
Q
V
V
V 66
,
5
)
12
/
18
(
)
10
(
4
4
2
2
2
1 =
=
=
=
=


5
5
10
02
.
7
10
21
.
1
)
12
/
18
)(
66
.
5
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de D
/

000667
.
0
)
12
/
18
(
001
.
0
=
=
D

Determinación de , por fórmula
2
.
32
2
66
.
5
)
12
/
18
(
100
0185
.
0
4
.
62
2
4
.
62
2



+

=
p
psi
pie
lb
p 133
.
1
1
.
163 2
=
=
 Rpta.
Bióxido de carbono a una temperatura de 0º C y presión de 600kPa (abs) circula por una tubería horizontal
de 40mm de diámetro a una velocidad media de 2m/s. Determinar el factor de fricción si la caída de presión
es de 2
/
235 m
N por 10m de longitud de la tubería.
SOLUCIÓN:
Considerando: , y
2
2
1
V
D
L
p 

=

…(I)
Determinación de
Reemplazando en (I)
0404
.
0
=
 Rpta.
PROBLEMA 8.37 (MUNSON)

0185
.
0
)
10
02
.
7
(
74
.
5
7
.
3
000667
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0
2
9
.
0
5
2
9
.
0
=















+
=












+
=
D


g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
p
p
p 
=
− 2
1 2
1 Z
Z = 2
1 V
V =
2
2
LV
p
D



=


3
2
3
63
.
11
)
º
273
)(
º
.
9
.
188
(
10
600
m
Kg
K
K
Kg
m
N
m
N
RT
p
=

=
=

2
2
10
63
.
11
235
04
.
0
2




=


12
Por una tubería de hierro fundido de 200mm de diámetro circula agua a razón de s
m /
10
.
0 3
. Determinar
el factor de fricción para este flujo.
SOLUCIÓN:
Determinación de V
s
m
D
Q
V 18
.
3
)
2
.
0
(
)
10
.
0
(
4
4
2
2
=
=
=


Para el agua a T º ambiente: s
m
agua /
10
15
.
1 2
6
−

=

5
6
10
5
.
5
10
15
.
1
)
2
.
0
)(
18
.
3
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería de hierro fundido: mm
26
.
0
=

0013
.
0
2
.
0
00026
.
0
=
=
D

2
9
.
0
5
2
9
.
0
)
10
5
.
5
(
74
.
5
7
.
3
0013
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


0215
.
0
=
 Rpta.
Por una tubería horizontal de 6pulg de diámetro circula agua a razón de s
pies /
2 3
y una caída de presión
de 4.2psi por cada 100pies de tubería. Determinar el factor de fricción.
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: p
p
p 
=
− 2
1 , 2
1 Z
Z = y 2
1 V
V =
2
2
1
V
D
L
p 

=

…(I)
pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=
 y
3
/
94
.
1 pie
slugs
agua =

Determinación de V
s
pies
D
Q
V 2
.
10
)
12
/
6
(
)
2
(
4
4
2
2
=
=
=


2
2
.
10
100
94
.
1
)
144
2
.
4
(
5
.
0
2





=

03
.
0
=
 Rpta.
D
/

2
2
LV
p
D



=


13
Por una tubería de 24pulg de longitud y 0.108pulg de diámetro que se muestra en la figura, circula aire.
Determinar el factor de fricción si el caudal es s
pies
Q /
00191
.
0 3
= cuando h =1.70pulg. Comparar los
resultados con la expresión Re
/
64
=
 . El flujo, ¿es laminar o turbulento?
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: 0
2 
p , 2
1 Z
Z = y 0
1 
V








−
= 2
2
1
2
2 V
p
LV
D

 …(I)
Determinación de V
s
pies
D
Q
V
V 30
)
12
/
108
.
0
(
)
00191
.
0
(
4
4
2
2
2
2 =
=
=
=


Determinación de 1
p , por lectura del manómetro
2
1 84
.
8
)
12
/
7
.
1
(
4
.
62
pie
lb
h
p agua =

=

= 






−


= 2
2
30
00238
.
0
84
.
8
2
30
)
12
/
24
(
)
12
/
108
.
0
(

0326
.
0
=
 Rpta.
Determinación de Re y 
Para el aire a T º ambiente:
¡Flujo laminar!
1720
64
Re
64
=
=
 
0372
.
0
=
 Rpta.
s
pies
aire /
10
57
.
1 2
4
−

=

1720
10
57
.
1
)
12
/
108
.
0
)(
30
(
Re 4
=

=
= −

VD

14
Una manguera de 70 pies de longitud y 0.5pulg de diámetro con rugosidad de pies
0009
.
0
=
 se sujeta
a un grifo de agua en que la presión es 1
p . Determinar 1
p si no hay boquilla sujeta y la velocidad media
en la manguera es de 6pies/s. Ignorar las pérdidas menores y los cambios de elevación.
SOLUCIÓN:
Gráfico del problema
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: 0
2 
p , 2
1 Z
Z = y 2
1 V
V =
2
1
2
1
V
D
L
p 

= …(I)
pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

4
5
10
07
.
2
10
21
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
6
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
0216
.
0
12
/
5
.
0
0009
.
0
=
=
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
07
.
2
(
74
.
5
7
.
3
0216
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


0525
.
0
=

2
1 6
94
.
1
2
1
12
/
5
.
0
70
0525
.
0 



=
p
psi
pie
lb
p 4
.
21
3080 2
1 =
= Rpta.
D
/


15
Repetir el problema 8.46 si el extremo de la manguera está sujeta a una boquilla de 0.25 pulgadas de
diámetro.
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: 0
2 
p y 2
1 Z
Z =
)
(
2
1
2
1 2
2
2
2
1 V
V
V
D
L
p −
+
= 

 …(I)
Determinación de 2
V
s
pies
D
D
V
V 24
25
.
0
5
.
0
6
2
2
2
1
2 =







=








=
pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

4
5
10
07
.
2
10
21
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
6
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
0216
.
0
12
/
5
.
0
0009
.
0
=
=
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
07
.
2
(
74
.
5
7
.
3
0216
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


0525
.
0
=

)
6
24
(
94
.
1
2
1
6
94
.
1
2
1
12
/
5
.
0
70
0525
.
0 2
2
2
1 −


+




=
p
psi
pie
lb
p 03
.
25
3604 2
1 =
= Rpta.
D
/


16
Por un ducto horizontal de hierro galvanizado de sección transversal rectangular de 12pulg por 6pulg
circula aire a temperatura y presión normales a razón de s
pies /
0
.
7 3
. Calcular la caída de presión por
200 pies de ducto.
SOLUCIÓN:
Considerando: p
p
p 
=
− 2
1 , 2
1 Z
Z = y 2
1 V
V =
2
2
1
V
D
L
p
h


=
 …(I)
Determinación de V
s
pies
A
Q
V 14
)
12
/
6
(
)
12
/
12
(
0
.
7
=

=
=
pie
p
A
D
m
h 667
.
0
5
.
0
5
.
0
1
1
)
5
.
0
1
(
4
4
=
+
+
+


=
=
4
4
10
95
.
5
10
57
.
1
)
667
.
0
)(
14
(
Re 
=

=
= −

h
h
VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de h
D
/

Para una tubería de hierro galvanizado: pie
0005
.
0
=

00075
.
0
667
.
0
0005
.
0
=
=
h
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
95
.
5
(
74
.
5
7
.
3
00075
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=
















+
=
h
D


0228
.
0
=

2
14
00238
.
0
2
1
667
.
0
200
0228
.
0 



=
p
psi
pie
lb
p 011
.
0
59
.
1 2
=
=
 Rpta.
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
s
pies
aire /
10
57
.
1 2
4
−

=


17
Un aceite viscoso de DR =0.85 y viscosidad de 0.10Pa.s fluye del depósito A al B a través de seis ranuras
rectangulares como se indica en la figura: Si el caudal total es de s
mm /
30 3
y las pérdidas menores no son
importantes, determinar la presión en el depósito A.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre A y B
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p r
c
h
B
B
B
A
A
A
2
2
2
2
/
2
2



+
+
+
=
+
+
Considerando: 0

B
p , B
A Z
Z = y 0

= B
A V
V
2
/
2
1
r
c
h
A V
D
L
p 

= …(I)
Determinación del caudal y velocidad en cada ranura rectangular
s
m
Q
Q total
r
c
3
9
9
/ 10
5
6
10
30
6
−
−

=

=
=
s
m
A
Q
V
r
c
r
c
r
c
3
9
/
/
/ 10
67
.
1
001
.
0
003
.
0
10
5 −
−

=


=
=
Para el aceite: 85
.
0
=
aceite
DR y
2
/
.
1
.
0
.
1
.
0 m
s
N
s
Pa
aceite =
=

m
p
A
D
m
h 0015
.
0
)
001
.
0
003
.
0
(
2
)
001
.
0
003
.
0
(
4
4
=
+



=
=
0213
.
0
1
.
0
)
0015
.
0
)(
10
67
.
1
)(
1000
85
.
0
(
Re
3
=


=
=
−

 h
h
VD
¡Flujo laminar!
Determinación de 
De la tabla 8.3 (Munson)
Interpolando:
3
.
69
9
.
72
2
.
62
2
.
62
25
.
0
50
.
0
333
.
0
50
.
0
=

−
−
=
−
−
C
C
Como: 3253
0213
.
0
3
.
69
Re
. =


=

= 

 h
C
2
3
)
10
67
.
1
(
)
1000
85
.
0
(
2
1
0015
.
0
6
.
0
3253 −






=
A
p
KPa
m
N
pA 54
.
1
1542 2
=
= Rpta.
b
a / h
C Re
.

=
0.25 72.9
0.333 C
0.50 62.2

18
Por una tubería lisa de 40mm de diámetro circula gasolina a un régimen de .Si fuese posible
evitar que ocurra turbulencia, ¿Cuál sería el régimen de la pérdida de carga para el flujo turbulento real
en comparación con la que habría si el flujo fuese laminar?
SOLUCIÓN:
Determinación de turbulento
L
h ,
g
V
D
L
h turbulento
turbulento
L
2
2
, 
=
Determinación de ar
la
L
h min
,
Determinación de la relación:
…(I)
Determinación de
s
m
D
Q
V 796
.
0
)
04
.
0
(
001
.
0
4
4
2
2
=


=
=


Para la gasolina a T º ambiente:
2
4
/
.
10
1
.
3 m
s
N
gasolina
−

=
 y
3
/
680 m
Kg
gasolina =

4
4
10
984
.
6
10
1
.
3
)
04
.
0
)(
796
.
0
)(
680
(
Re 
=

=
= −

VD
Determinación de ar
la min

Determinación por fórmula del o
lturbulent
 ; considerando tubería lisa 0


4
min
,
,
10
16
.
9
0193
.
0
−

=
ar
la
L
turbulento
L
h
h
07
.
21
min
,
,
=
ar
la
L
turbulento
L
h
h
Rpta.
s
m /
001
.
0 3
g
V
D
L
h ar
la
ar
la
L
2
2
min
min
, 
=
ar
la
turbulento
ar
la
turbulento
ar
la
L
turbulento
L
g
V
D
L
g
V
D
L
h
h
min
2
min
2
min
,
,
2
2




=
=
V
4
min
4
min 10
16
.
9
10
984
.
6
64
Re
64 −

=


=
= ar
la
ar
la 

0193
.
0
)
10
984
.
6
(
74
.
5
7
.
3
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0
2
9
.
0
4
2
9
.
0
=
















+
=












+
= turbulento
turbulento
D




19
Un ducto de 3 pies de diámetro se usa para transportar aire de ventilación hacia un túnel vehicular a
razón de min
/
9000 3
pies .Pruebas efectuadas muestran que la caída de presión es de 1.5pulg de agua por
1500 pies de ducto. ¿Cuáles son el valor del factor de fricción para este ducto y el tamaño aproximado de
la rugosidad equivalente de la superficie del ducto?
SOLUCIÓN:
Considerando: , y
…(I)
Determinación de p
 del dato del problema
Determinación de V
s
pies
D
Q
V 22
.
21
)
3
(
)
60
/
9000
(
4
4
2
2
=


=
=


3
3
/
10
38
.
2 pie
slugs
aire
−

=
 y s
pie
aire /
10
57
.
1 2
4
−

=

4
4
10
55
.
40
10
57
.
1
)
3
)(
22
.
21
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
2
3
22
.
21
1500
10
38
.
2
8
.
7
3
2





= −

0291
.
0
=
 Rpta.
Determinación de 
De la fórmula
2
9
.
0
4
)
10
55
.
40
(
74
.
5
7
.
3
3
/
log
25
.
0
0291
.
0















+
=

Resolviendo
pie
0132
.
0
=
 Rpta.
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
p
p
p 
=
− 2
1 2
1 Z
Z = 2
1 V
V =
2
2
1
V
D
L
p 

=

2
2
LV
p
D



=

2
8
.
7
)
12
/
5
.
1
(
4
.
62
pie
lb
p =

=


20
Por una tubería horizontal de hierro fundido de 6pulg de diámetro se bombea gas natural (
3
/
0044
.
0 pie
slugs
gas =
 y s
pies
gas /
10
2
.
5 2
5
−

=
 ) a 800lb/h. Si la presión en la sección (1) es de
2
lg
/
50 pu
lb (abs), determinar la presión en la sección (2) 8 millas corriente abajo si se supone que el flujo
es incompresible.
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: 2
1 Z
Z = y 2
1 V
V =
2
1
2
2
1
V
D
L
p
p 

−
= …(I)
Determinación de Q y V
s
pies
Q
Q
h
lb
Q
g
h
lb
Q
3
57
.
1
)
0044
.
0
(
)
2
.
32
(
)
3600
/
800
(
800
)
.
(
800
. =


=

=

= 

s
pies
V
D
Q
V 8
)
12
/
6
(
)
57
.
1
(
4
4
2
2
=



=
=


4
5
10
69
.
7
10
2
.
5
)
12
/
6
)(
8
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería de hierro fundido pie
00085
.
0
=

0017
.
0
12
/
6
00085
.
0
=
=
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
69
.
7
(
74
.
5
7
.
3
0017
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


025
.
0
=

2
2 8
0044
.
0
2
1
12
/
6
)
5280
8
(
025
.
0
144
50 




−

=
p
psi
pie
lb
p 48
6903 2
1 =
= Rpta.
D
/


21
¿Que potencia se agrega al agua para bombearla verticalmente por una tubería estirada de 200 pies de
longitud y 1.0pulg de diámetro a un régimen de s
pies /
060
.
0 3
si las pérdidas en la entrada y en la salida
son las mismas?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2) Gráfico del problema
g
V
D
L
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
B
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
+
Considerando: 2
1 p
p = y 2
1 V
V =
g
V
D
L
Z
Z
hb
2
2
1
2 
+
−
= …(I)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 11
)
12
/
1
(
)
060
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=


pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

4
5
10
576
.
7
10
21
.
1
)
12
/
1
)(
11
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería estirada: pie
000005
.
0
=

00006
.
0
12
/
1
000005
.
0
=
=
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
576
.
7
(
74
.
5
7
.
3
00006
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


019
.
0
=

2
.
32
2
11
12
/
1
200
019
.
0
200
2



+
=
B
h
pies
hB 7
.
285
=
Determinación de la potencia suministrada por la bomba
B
h
Q
P .
.

=
7
.
285
060
.
0
4
.
62 

=
P
s
pie
lb
P
−
= 7
.
1069
hp
P 94
.
1
= Rpta.
D
/


22
Desde un lago fluye agua a razón de s
pies /
0
.
4 3
, como se muestra en la figura. El dispositivo dentro de
la casa, ¿es una bomba o una turbina? Explicar la respuesta y determinar la potencia del dispositivo.
Ignorar todas las pérdidas menores y suponer que el factor de fricción es igual a 0.025.
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
a
c
2
2
2
2
2
2
2
2
arg
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
+
Considerando: 0
2
1 
= p
p , V
V =
2 y 0
1 
V
g
V
D
L
Z
Z
h a
c
2
)
1
(
2
1
2
arg 
+
+
−
= …(I)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 8
.
31
)
4
.
0
(
)
4
(
4
4
2
2
=



=
=


2
.
32
2
8
.
31
4
.
0
300
025
.
0
1
525
495
2
arg









+
+
−
=
a
c
h
pies
h a
c 280
arg =
Como a
c
h arg es positivo, se entrega energía al sistema, entonces se trata de una BOMBA
B
h
Q
P .
.

=
280
4
4
.
62 

=
P
s
pie
lb
P
−
= 69888
hp
P 127
= Rpta.

23
En una estación para esquiar se bombea agua a 40º F a través de una tubería de acero de 2000 pies de
longitud y 3pulg de diámetro desde un depósito que está a una elevación de 4286 pies hasta una máquina
productora de nieve situada a una elevación de 4623 pies a un régimen de s
pie /
26
.
0 3
. Si es necesario
mantener una presión de 2
lg
/
180 pu
lb en la máquina productora de nieve, determinar la potencia
agregada al agua por la bomba. Ignorar las pérdidas menores.
SOLUCIÓN:
Gráfica del problema
g
V
D
L
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
B
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
+
Considerando: 0
1 
p , 0
1 
V y V
V =
2
 
g
V
D
L
Z
Z
p
hb
2
1
2
1
2
2


+
+
−
+
= …(I)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 3
.
5
)
12
/
3
(
)
26
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=


Para el agua a 40º F: s
pies
agua /
10
67
.
1 2
5
−

=

4
5
10
93
.
7
10
67
.
1
)
12
/
3
)(
3
.
5
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería de acero: pie
00015
.
0
=

0006
.
0
12
/
3
00015
.
0
=
=
D

2
9
.
0
4
2
9
.
0
)
10
93
.
7
(
74
.
5
7
.
3
0006
.
0
log
25
.
0
Re
74
.
5
7
.
3
/
log
25
.
0















+
=












+
=
D


021
.
0
=

2
.
32
2
3
.
5
12
/
3
2000
021
.
0
1
4286
4623
4
.
62
144
180 2









+
+
−
+

=
B
h
pies
hB 826
=
826
26
.
0
4
.
62
.
. 

=
= B
h
Q
P 
s
pie
lb
P
−
=13401
hp
P 4
.
24
= Rpta.
D
/


24
A través de dos secciones de la tubería vertical que se muestra en la figura fluye agua. La conexión en el
fuelle no es capaz de resistir ninguna fuerza en la dirección vertical. La tubería de 0.4 pies de diámetro
pesa 0.2 lb/pie y se supone que el factor de fricción es 0.02. ¿A qué velocidad será igual a cero la fuerza,
F, necesaria para sostener la tubería?
SOLUCIÓN:
g
V
D
L
Z
g
V
p
Z
g
V
p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1



+
+
+
=
+
+
Considerando: 0
2 
p , V
V
V =
= 2
1 y 0
1 =
Z
g
V
D
L
Z
p
2
2
2
1


+
=
2
1 94
.
1
2
1
4
.
0
020
.
0
. V
L
L
p 



+
= 
2
1 0485
.
0
. LV
L
p +
=  …(I)
Por principio de la conservación de la cantidad de movimiento en fluidos
1
2
1
1 .
. QV
QV
W
W
A
p tubo
agua 
 −
=
−
−
como: 0
1
1
1
2 =
−
−

= tubo
agua W
W
A
p
V
V
1
1
1
1
A
W
LA
A
W
W
p tubo
tubo
agua +
=
+
=

1
1
A
W
L
p tubo
+
= 
2
1
4
.
0
4
2
.
0

+
=


L
L
p
L
L
p 59
.
1
1 +
=  …(II)
Determinación de V
Igualando (I) y (II)
L
L
LV
L 59
.
1
0485
.
0
. 2
+
=
+ 

s
pies
V 73
.
5
= Rpta.

25
PROBLEMAS PROPUESTOS
En la figura se muestra una bomba que hace recircular 300 gal/min de aceite de lubricación para
máquinas-herramientas pesadas, a 104 ºF con el fin de probar la estabilidad del aceite. La longitud total
del conducto de 4 pulg es de 25 pies, y la longitud total del conducto de 3 pulg es de 75 pies. Calcule la
potencia transmitida por la bomba al aceite.
El acondicionamiento de aire en el campus de la Univeridad de Purdue se proporciona mediante agua
refrigerada bombeada a través de una tubería de alimentación principal. La tubería forma un anillo de 3
millas de largo. El diámetro de la tubería es de 2 pies y el material es acero. El flujo volumétrico de diseño
máximo es 11200 gpm. La bomba de circulación es accionada por un motor eléctrico. Las eficiencias de
la bomba y el motor son 0.80 y 0.90, respectivamente. El costo de la electricidad es 0.067 dólares/kW.hr.
Determine a) la caída de presión, b) la potencia de bombeo mínima que se requiere y c) el costo anual de
la energía eléctrica para bombeo.
Un vehículo de bomberos tiene su manguera conectada a un hidrante donde la presión manométrica es
4
10
7 Pa. Luego, la manguera se conecta a una bomba movida por el motor del vehículo; de allí en
adelante, la manguera se extiende hasta un bombero quien, agachado, dirige el agua con un ángulo de 60º
con respecto al terreno para que ésta entre a través de una ventana de un tercer piso, 13 m por encima de
la boquilla localizada en el extremo de la manguera. Cuando el agua pasa a través de la ventana se mueve
paralela al terreno. La longitud total de la manguera es 65 m con un diámetro de 200 mm. El diámetro de
salida de la boquilla es 100 mm. Suponga que e/D para la manguera es 0.0001. ¿Cuál es la potencia
requerida por la bomba para mover el agua? Suponga que la boquilla de salida se localiza a la misma
elevación que la salida del hidrante. Ignore las perdidas menores. Suponga que s
m /
10
113
.
0 2
5
−

=
 .
¿Qué presión manométrica 1
p , se requiere para hacer circular s
pies /
5 3
de agua a través del sistema?
Suponga que el depósito es grande. Ignore las pérdidas menores. Suponga que s
pies /
10
11
.
2 2
5
−

=
 .

26
C

27
OBJETIVOS
➢ Definir perdidas menores.
➢ Definir que es el coeficiente de pérdida.
➢ Establecer la ecuación de coeficiente de pérdida.
➢ Determinar la pérdida de energía para el flujo a través de componentes o accesorios que
generan pérdidas menores en sistemas de tuberías.
➢ Resolver problemas de sistemas de tuberías mediante iteración.
➢ Identificar la aplicación ingenieril de perdidas menores en sistemas de tuberías.

28
PÉRDIDAS MENORES
Como se analizó en la sección anterior, la pérdida de carga en largas secciones rectas de tubería se pueden
calcular usando el factor de fricción obtenido con el diagrama de Moody o con la ecuación de Colebrook.
Sin embargo, casi todos sistemas de tuberías contienen considerablemente más que tubos rectos. Estos
componentes adicionales (válvulas, codos, conexiones en T, etc.) contribuyen a la pérdida de carga global
del sistema. Estas pérdidas se denominan pérdidas menores, con la consecuencia aparente de que la mayor
parte de pérdida del sistema está asociada con la fricción en las porciones rectas de las tuberías, las pérdidas
mayores. En muchos casos es cierto lo anterior. En otros casos las pérdidas menores son mayores que las
pérdidas mayores. En cualquier sistema de tuberías, además de la pérdida de carga por fricción a lo largo
de aquellas, existen pérdidas menores o localizadas debidas a:
✓ Entrada o salida de tuberías.
✓ Ensanchamiento o contracción brusca.
✓ Curvas, codos, tes y otros accesorios.
✓ Válvulas, abiertas o parcialmente cerradas.
✓ Ensanchamiento o contracciones graduales.
La pérdida de carga asociada con el flujo a través de una válvula es una pérdida menor común. El objeto
de una válvula es proporcionar una manera de regular el caudal. Esto se logra cambiando la configuración
geométrica del sistema (es decir, cerrar o abrir la válvula modifica el patrón de flujo a través de la válvula),
lo que a la vez modifica las pérdidas asociadas con el flujo que pasa por la válvula. La resistencia al flujo
o pérdida de carga a través de la válvula puede ser una porción importante de la resistencia en el sistema.
De hecho, con la válvula cerrada, la resistencia al flujo es infinita: el fluido no puede circular. Estas
“pérdidas menores” pueden ser realmente importantes. Con la válvula totalmente abierta, la resistencia
extra debida a la presencia de la válvula puede o no ser insignificante.
Figura 1 Flujo a través de una válvula
En la figura 1 se muestra el patrón de flujo a través de una componente representativa como una válvula.
No es difícil darse cuenta de que aún no es posible realizar un análisis teórico para predecir los detalles de
tales flujos a fin de obtener la pérdida de carga para estas componentes. Así, la información de la pérdida

29
de carga para esencialmente todos los componente se proporciona en forma adimensional y se basa en datos
experimentales. El método más común usado para determinar las pérdidas de carga o caídas de presión es
especificar el coeficiente de pérdida, L
K , como:
( ) 2
2
2
1
2
/
V
p
g
V
h
K L
L


=
=
de modo que:
2
2
1
V
K
p L 
=

o bien, como:
La caída de presión a través de un componente que tiene un coeficiente de pérdida de 1
=
L
K es igual a la
presión dinámica, 2
/
2
V
 .
El valor de L
K depende bastante de la geometría del componente considerando. También puede depender
de las propiedades del fluido, es decir,
Re)
,
(geometría
KL 
=
donde Re es el número de Reynolds del tubo. En muchas aplicaciones prácticas el número de Reynolds es
suficientemente grande, de modo que el flujo a través de un componente es dominado por efectos de inercia,
donde los efectos viscosos tienen una importancia secundaria. Así, en la mayoría de los casos de interés
práctico los coeficientes de pérdida para componentes es función sólo de la geometría,
)
(geometría
KL 
= .
Algunas veces las pérdidas menores están dadas en términos de una longitud equivalente, .
eq
l .En esta
terminología, la pérdida de carga a través de un componente está dada en términos de la longitud
equivalente de tubería que produce la misma pérdida de carga con el componente. Es decir,
g
V
D
l
f
g
V
K
h
eq
L
L
2
2
2
.
2
=
=
o bien,
f
D
K
l L
eq =
.
donde D y f se basan en la tubería que contiene al componente.
En la tabla 1 se proporcionan coeficientes de pérdida para válvulas comunes. Así como con muchos
componentes del sistema, la pérdida de carga en válvulas es principalmente resultado de la disipación de
energía cinética de una porción de alta velocidad del flujo. Este hecho se ilustra en la figura 2.
g
V
K
h L
L
2
2
=

30
TABLA 1
Figura 2 La pérdida de carga en una válvula se
debe a la disipación de la energía cinética del
fluido a gran velocidad cerca del asiento de la
válvula.

31
PROBLEMAS RESUELTOS
Para ahorrar agua y energía, en la regadera que se muestra en la figura se ilustra un “reductor de flujo”.
Si la presión en el punto (1) permanece constante y se ignoran todas las pérdidas, excepto las que hay en
el “reductor de flujo”, determinar el valor del coeficiente de pérdida (con base en la velocidad en la
tubería) del “reductor de flujo” si su presencia es para reducir el caudal por un factor de 2. Ignorar la
fuerza de gravitación.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2), sin considerar el reductor de flujo
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
=
+
+


Considerando: 0
2 
p y 2
1 Z
Z =
)
(
2
1 2
1
2
2
1 V
V
p −
=  …(I)
Determinación de 1
V y 2
V
s
pies
Q
Q
D
Q
V 4
.
733
)
12
/
5
.
0
(
4
4
2
2
1
1 =

=
=


s
pies
Q
Q
D
Q
V
V
orificio
o
c 8
.
1466
)
12
/
05
.
0
(
50
4
50
4
2
2
/
2 =

=
=
=


  2
5
1
2
2
1 10
07
.
8
)
4
.
733
(
)
8
.
1466
(
2
1
Q
p
Q
Q
p 
 
=

−
= … )
(
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2), considerando el reductor de flujo con factor de 2
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
r
r
2
2
2
2
2
2
2
,
2
1
2
1
,
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: 0
2 
p , 1
,
r
V
V = y 2
1 Z
Z =
 
2
1
,
2
2
,
1 )
1
(
2
1
r
L
r V
K
V
p −
+
=  …(II)
Determinación de 1
,
r
V y 2
,
r
V
s
pies
Q
Q
V
Vr 7
.
366
2
4
.
733
2
1
1
, =
=
=
s
pies
Q
Q
V
Vr 4
.
733
2
8
.
1466
2
2
2
, =
=
=
 
2
2
1 )
7
.
366
)(
1
(
)
4
.
733
(
2
1
Q
K
Q
p L −
+
=  … )
(
Comparando )
( y )
(
 
2
2
2
5
)
7
.
366
)(
1
(
)
4
.
733
(
2
1
10
07
.
8 Q
K
Q
Q L −
+
=
 

03
.
9
=
L
K Rpta.

32

33
A través de una criba en el tubo que se muestra en la figura fluye según se indica. Determinar el coeficiente
de pérdida para la criba.
SOLUCIÓN:
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =

−
= 2
2
1 )
(
2
V
p
p
KL
 2
)
(
2
V
p
KL


= …(I)
Determinación de p
p
p 
=
− 2
1
De la lectura del manómetro
2
1 ))
12
/
6
(
(
)
12
/
6
(
)
.
( p
l
R
D
l
p =
−
−


−

+ 


2
2
1 /
64
.
68
)
1
2
.
3
(
4
.
62
5
.
0
)
1
.
(
5
.
0
5
.
0
5
.
0
)
.
( pie
lb
R
D
R
D
p
p
p =
−

=
−
=

−


=

=
− 




= 2
20
94
.
1
)
64
.
68
(
2
L
K 177
.
0
=
L
K Rpta.
Aire a 80ºF y presión atmosférica normal circula a través del filtro de un horno a una velocidad media
de 2.4 pies/s. Si la caída de presión a través del filtro es de 0.11 pulg de agua, ¿cuál es el coeficiente de
pérdida para el filtro?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre dos puntos (entrada y salida del filtro)
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =

−
= 2
2
1 )
(
2
V
p
p
KL
 2
)
(
2
V
p
KL


= …(I)
Determinación de p
p
p 
=
− 2
1
2
2
1 /
572
.
0
)
12
/
11
.
0
(
4
.
62 pie
lb
h
p
p
p agua =

=
=

=
− 
Determinación de la 
 
3
2
2
2
00228
.
0
460
80
.
.
1716
lg
144
lg
7
.
14
. pie
slug
R
R
slug
pie
lb
pie
pu
pu
lb
T
R
p
=
+














=
=


34


= 2
20
00228
.
0
)
572
.
0
(
2
L
K 254
.
1
=
L
K Rpta.

35
)
Supóngase que el sistema de expulsión de gases de un automóvil se puede aproximar por medio de 14 pies
de tubo de hierro fundido de 0.125 pies de diámetro con el equivalente de seis codos embridados de 90º y
un silenciador del escape. El silenciador de escape actúa como un resistor con un coeficiente de pérdida
de 5
.
8
=
L
K . Determinar la presión al inicio del sistema de expulsión de gases si el caudal es de s
pie /
10
.
0 3
y la temperatura es igual a 250ºF.
SOLUCIÓN:
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =
PS
PP H
H
p
+
=

1
…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
Pérdidas secundarias (Para los seis codos de 90º)
g
V
K
g
V
K
H r
silenciado
L
L
PP
2
2
6
2
,
2
+
=
Reemplazando en (I)
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
p
silenc
L
codo
L
2
2
6
2
2
,
2
,
2
1
+
+
= 







+
+
= silenc
L
codo
L K
K
D
L
V
p ,
,
2
1 6
2
1

 …(II)
 R
R
slug
pie
lb
pie
pu
pu
lb
T
R
p
460
250
.
.
1716
lg
144
lg
7
.
14
.
2
2
2
+














=
=

3
00174
.
0
pie
slug
=

Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 15
.
8
)
125
.
0
(
)
10
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=



36
Para el gas de combustión:
2
7
/
.
10
7
.
4 pie
s
lb
gas
−

=

3
7
10
77
.
3
10
7
.
4
125
.
0
15
.
8
00174
.
0
Re 
=



=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería de hierro fundido: pie
00085
.
0
=

0068
.
0
125
.
0
00085
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
 = , por diagrama de Moody
048
.
0
=







+

+



= 5
.
8
3
.
0
6
125
.
0
14
048
.
0
15
.
8
00174
.
0
2
1 2
1
p
2
1 9
.
0
pie
lb
p = Rpta.
Por los serpentines del intercambiador de calor que se muestra en la figura circula agua a 40ºF a un
régimen de min
/
9
.
0 gal . Determinar la caída de presión entre la entrada y la salida del dispositivo
horizontal.
SOLUCIÓN:
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z = (Horizontal)
PS
PP H
H
p
p
p
+
=

=
−


2
1
…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
Pérdidas secundarias (Para los siete codos de 180º)
g
V
K
H codo
L
PP
2
7
2
,
= ………..( 5
.
1
, =
codo
L
K )
D
/


37
Reemplazando en (I)
g
V
K
g
V
D
L
p
codo
L
2
7
2
2
,
2
+
=









+
=
 codo
L
K
D
L
V
p ,
2
7
2
1

 …(II)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 47
.
1
)
12
/
5
.
0
(
)
449
/
9
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=


pies
agua /
10
67
.
1 2
5
−

=

3
5
10
67
.
3
10
67
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
47
.
1
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
000005
.
0
=

00012
.
0
12
/
5
.
0
000005
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
042
.
0
=








+



=
 5
.
1
7
12
/
.
0
12
/
144
042
.
0
47
.
1
94
.
1
2
1 2
p
psi
pie
lb
p 33
.
0
36
.
47 2
1 =
= Rpta.
D
/


38
Del contenedor que se muestra en la figura sale agua. Determinar el coeficiente de pérdida necesario en
la válvula si el agua debe llegar hasta 3 pulg por arriba de la salida de la tubería.
SOLUCIÓN:
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
=
+
+


Considerando: 0
3
2 
= p
p y 0
3 
V
)
(
2
2
2
3
2
3
2
2
2
Z
Z
g
V
Z
Z
g
V
−
=

=
+
)
12
/
3
(
2
.
32
2
2 
=
V
s
pies
V /
01
.
4
2 =
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 3
2
3
3
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
3
1 
= p
p y 0
3
1 
=V
V
PS
PP H
H
Z
Z +
+
= 3
1 …(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
Pérdidas secundarias
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H válvula
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
Donde para los accesorios roscados: 2
.
0
, =
entrada
L
K y 5
.
1
, =
codo
L
K
Reemplazando las pérdidas primarias y secundarias en (I)
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
Z válvula
L
codo
L
entrada
L
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
3
1 +
+
+
+
= 
g
V
K
K
K
D
L
Z
Z válvula
L
codo
L
entrada
L
2
2
2
,
,
,
3
1 





+
+
+
+
=  …(II)

39
Determinación de V
s
pies
V
V 01
.
4
2 =
=
pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

4
5
10
38
.
1
10
21
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
01
.
4
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
0005
.
0
=

012
.
0
12
/
5
.
0
0005
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
044
.
0
=

2
.
32
2
01
.
4
5
.
1
2
2
.
0
12
/
5
.
0
12
/
52
044
.
0
)
12
/
5
(
)
12
/
45
(
2
,







+

+
+

+
= válvula
L
K
6
.
5
, =
válvula
L
K Rpta.
La presión en la sección (2) que se muestra en la figura no debe descender por debajo de 2
lg
/
60 pu
lb
cuando el caudal que sale del recipiente varía desde 0 hasta s
pie /
0
.
1 3
y la línea derivada está cerrada.
Determinar la altura mínima, h, del agua en el recipiente con la hipótesis de que a) las pérdidas menores
son importantes, b) las pérdidas menores no son importantes.
D
/


40
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
1 
p y 0
1 
V
PS
PP H
H
g
V
p
Z +
+
+
=
2
2
2
2
1

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H uniónT
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
15
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
Donde para los accesorios embridados: 5
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y 2
.
0
, =
uniónT
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
g
V
p
Z uniónT
L
codo
L
entrada
L
2
2
15
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
2
2
2
1 +
+
+
+
+
= 

g
V
K
K
K
D
L
p
Z uniónT
L
codo
L
entrada
L
2
15
1
2
,
,
,
2
1 





+
+
+
+
+
= 

…(II)
Determinación de 2
V
V =
s
pies
V
D
Q
V
V 09
.
5
)
12
/
6
(
)
1
(
4
4
2
2
2 =



=
=
=


pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

5
5
10
10
.
2
10
21
.
1
)
12
/
6
)(
09
.
5
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Del dato del problema
0

D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
0155
.
0
=

a) Caso considerando las pérdidas primarias
2
.
32
2
09
.
5
2
.
0
3
.
0
15
5
.
0
5
.
0
)
1506
(
0155
.
0
1
4
.
62
144
60
16
2







+

+
+
+

+
+

=
+
h
h
pies
h 55
.
145
= Rpta.
D
/


41
b) Caso sin considerar las pérdidas primarias
2
.
32
2
09
.
5
5
.
0
)
1506
(
0155
.
0
1
4
.
62
144
60
16
2






 +

+
+

=
+
h
h
pies
h 43
.
143
= Rpta.

42
La bomba que se muestra en la figura agrega 15 pies de carga al agua que está siendo bombeada cuando
el caudal es de s
pie /
5
.
1 3
. Determinar el factor de fricción para la tubería.
SOLUCIÓN:
Para la solución de este problema existen dos casos, ya que no indica la dirección del flujo
CASO 1(Considerando dirección del flujo de 1 a 2)
PS
PP
B H
H
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
1 
p , 0
1 
V y 0
2 
V
PS
PP
B H
H
Z
p
h
Z +
+
+
=
+ 2
2
1

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H salida
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y 1
, =
salida
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
p
h
Z salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
2
2
1 +
+
+
+
+
=
+ 

g
V
K
K
K
D
L
Z
p
h
Z salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
,
,
,
2
2
1 





+
+
+
+
+
=
+ 

…(II)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 64
.
7
)
5
.
0
(
)
5
.
1
(
4
4
2
2
=



=
=


2
.
32
2
64
.
7
1
3
.
0
2
6
.
0
5
.
0
200
195
4
.
62
144
3
15
200
2







+

+
+

+
+

=
+ 
0306
.
0
=
 Rpta.

43
PS
PP
B H
H
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+
+ 1
2
1
1
2
2
2
2
2
2 

Considerando: 0
1 
p , 0
1 
V y 0
2 
V
PS
PP
B H
H
Z
h
Z
p
+
+
=
+
+ 1
2
2

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H salida
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y 1
, =
salida
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
h
Z
p
salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
1
2
2
+
+
+
+
=
+
+ 

g
V
K
K
K
D
L
Z
h
Z
p
salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
,
,
,
1
2
2






+
+
+
+
=
+
+ 

…(II)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 64
.
7
)
5
.
0
(
)
5
.
1
(
4
4
2
2
=



=
=


2
.
32
2
64
.
7
1
3
.
0
2
6
.
0
5
.
0
200
200
15
195
4
.
62
144
3 2







+

+
+

+
=
+
+


0412
.
0
=
 Rpta.

44
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ITERACIÓN
SISTEMAS CLASE II CON UNA TUBERÍA
Siempre que se desconozca la velocidad de flujo de volumen en el sistema, analizaremos el funcionamiento
del sistema por un procedimiento llamado iteración. Esto se requiere debido a que hay muchas cantidades
desconocidas para utilizar el procedimiento de solución directa para los problemas típicos ya desarrollados.
Específicamente, si la velocidad del flujo de volumen se desconoce, entonces la velocidad de flujo también
se desconoce. Se deduce que el número de Reynolds se desconoce puesto que éste depende de la velocidad.
Si no se puede encontrar el número de Reynolds, entonces el factor de fricción f no se puede determinarse
directamente. Puesto que las pérdidas de energía debido a la fricción dependen tanto de la velocidad como
del factor de fricción, el valor de estas pérdidas no puede calcularse en forma directa. La iteración supera
estas dificultades.
PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN:
1. Escriba la ecuación de energía del sistema.
2. Evalúe las cantidades conocidas tales como las cabezas de presión y las cabezas de elevación.
3. Exprese las pérdidas de energía en términos de la velocidad desconocida V y el factor de fricción
f .
4. Despeje la velocidad en términos de f .
5. Exprese el número de Reynolds en términos de la velocidad.
6. Calcule la rugosidad relativa D
/
 .
7. Seleccione un valor de prueba f basado en el valor conocido de D
/
 y un número de Reynolds
en el rango de turbulencia.
8. Calcule la velocidad, utilizando la ecuación del paso 4.
9. Calcule el número de Reynolds de la ecuación del paso 5.
10. Evalúe el factor de fricción f para el número de Reynolds del paso 9 y el valor conocido de D
/

, utilizando el diagrama de Moody.
11. Si el valor de f es diferente del valor utilizado en el paso 8, repita los pasos 8 a 11 utilizando el
nuevo valor de f .
12. Si no se presenta ningún cambo significativo en f del valor asumido, entonces la velocidad que
se encontró en el paso 8 es correcta.

45
PROBLEMA 11.11M (R. MOTT)
Se encuentra fluyendo agua a 15ºC, hacia abajo en una tubería vertical de 7.5m de longitud. La presión es
de 550 kPa en la parte superior y de 585 kPa en la parte inferior. Una válvula check tipo bola se instala
cerca del fondo. La tubería es de acero con diámetro externo de 1 ¼ pulg y un grosor de pared de 0.083
pulg. Calcule la velocidad de flujo de volumen del agua.
SOLUCIÓN:
Datos obtenidos de tablas:
Agua a 15ºC: s
m /
10
15
.
1 2
6
−

=
 viscosidad cinematica
Tubería de acero: m
5
10
6
.
4 −

=

Tubería de acero con diámetro externo de 1 ¼ pulg y un grosor de pared de 0.083 pulg:
(Del apéndice G, del libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott, pagina 551)
mm
D 53
.
27
int = y 2
4
10
954
.
5 m
A −

=
Válvula check tipo bola:
(De tablas de libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott, Tabla 10.4 - pag.283 y Tabla10.5 -
pag.284)
150
/ =
D
Le y 022
.
0
'
¼'
1 =
f
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
V
p
H
Z
g
V
p
total +
+
=
−
+
+


Como: 2
1 V
V =
( )
2
1
2
1
2
2
1
1
Z
Z
p
p
H
Z
p
H
Z
p
total
total −
+
−
=

+
=
−
+



Reemplazando valores tenemos,
( ) m
H
H total
total 93
.
3
5
.
7
9810
10
585
10
550 3
3
=

+

−

=
Expresamos la pérdida de energía total en términos de la velocidad desconocida V y el factor de fricción
f
g
V
D
L
f
g
V
D
L
f
H
H
H e
T
ps
pp
total
2
2
2
2






+






=
+
=

46
81
.
9
2
150
022
.
0
81
.
9
2
10
53
.
27
5
.
7
93
.
3
2
2
3



+








= −
V
V
f
2
2
168
.
0
885
.
13
93
.
3 V
f
V +
=
2
/
1
168
.
0
885
.
13
93
.
3








+
=
f
V …(Ecuación de iteración)
Para determinar f necesitamos:
V
V
D
V 4
6
3
10
3939
.
2
10
15
.
1
10
53
.
27
.
Re 
=



=
= −
−

y 00167
.
0
10
53
.
27
10
6
.
4
3
5
=


= −
−
D

Primera iteración: Para 030
.
0
=
f
s
m
V /
59
.
2
168
.
0
030
.
0
885
.
13
93
.
3
2
/
1
=






+

=
Con esta velocidad,
4
4
10
2
.
6
59
.
2
10
3939
.
2
Re 
=


= y 00167
.
0
/ =
D
 , al diagrama de Moody: 025
.
0
=
f
Segunda iteración: Para 025
.
0
=
f
s
m
V /
76
.
2
168
.
0
025
.
0
885
.
13
93
.
3
2
/
1
=






+

=
Con esta velocidad,
4
4
10
61
.
6
76
.
2
10
3939
.
2
Re 
=


= y 00167
.
0
/ =
D
.
0
=
f
No se presenta ningún cambo significativo en f del valor asumido, entonces la velocidad que se encontró
en la segunda iteración es correcta, entonces el caudal es:
( )
6
10
954
.
5
76
.
2
. −


=
= A
V
Q
s
m
Q
3
3
10
64
.
1 −

= Rpta.

47
Se encuentra fluyendo agua a 15ºC, hacia abajo en una tubería vertical de 7.5m de longitud. La presión es
de 550 kPa en la parte superior y de 585 kPa en la parte inferior. Una válvula check tipo bola se instala
cerca del fondo. La tubería es de acero con diámetro externo de 1 ¼ pulg y un grosor de pared de 0.083
pulg. Calcule la velocidad de flujo de volumen del agua.
SOLUCIÓN:
Agua a 15ºC: s
m /
10
15
.
1 2
6
−

=

5
10
6
.
4 −

=

mm
D 53
.
27
int = y 2
4
10
954
.
5 m
A −

=
(De tablas de libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott, Tabla 10.4 - pag.283 y Tabla10.5 -
pag.284)
150
/ =
D
Le y 022
.
0
'
¼'
1 =
f
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
V
p
H
Z
g
V
p
total +
+
=
−
+
+


Como: 2
1 V
V =
( )
2
1
2
1
2
2
1
1
Z
Z
p
p
H
Z
p
H
Z
p
total
total −
+
−
=

+
=
−
+



( ) m
H
H total
total 93
.
3
5
.
7
9810
10
585
10
550 3
3
=

+

−

=
Expresamos la pérdida de energía total en términos de la velocidad desconocida V y el factor de fricción
f

48
g
V
D
L
f
g
V
D
L
f
H
H
H e
T
ps
pp
total
2
2
2
2






+






=
+
=
81
.
9
2
150
022
.
0
81
.
9
2
10
53
.
27
5
.
7
93
.
3
2
2
3



+








= −
V
V
f
2
2
168
.
0
885
.
13
93
.
3 V
f
V +
=
2
/
1
168
.
0
885
.
13
93
.
3








+
=
f
Para determinar f necesitamos:
V
V
D
V 4
6
3
10
3939
.
2
10
15
.
1
10
53
.
27
.
Re 
=



=
= −
−

y 00167
.
0
10
53
.
27
10
6
.
4
3
5
=


= −
−
D

.
0
=
f
s
m
V /
59
.
2
168
.
0
030
.
0
885
.
13
93
.
3
2
/
1
=






+

=
Con esta velocidad,
4
4
10
2
.
6
59
.
2
10
3939
.
2
Re 
=


= y 00167
.
0
/ =
D
.
0
=
f
.
0
=
f
s
m
V /
76
.
2
168
.
0
025
.
0
885
.
13
93
.
3
2
/
1
=






+

=
Con esta velocidad,
4
4
10
61
.
6
76
.
2
10
3939
.
2
Re 
=


= y 00167
.
0
/ =
D
.
0
=
f
No se presenta ningún cambo significativo en f del valor asumido, entonces la velocidad que se encontró
en la segunda iteración es correcta, entonces el caudal es:
( )
6
10
954
.
5
76
.
2
. −


=
= A
V
Q
s
m
Q
3
3
10
64
.
1 −

= Rpta.

49
SISTEMAS CLASE II CON DOS TUBERÍAS
Presentamos ahora otro sistema Clase II en el cual es más complicado. Éste incluye pérdidas menores
además de pérdidas por fricción y tiene dos tuberías de diferentes tamaños en serie. Estos factores requieren
que se modifique el procedimiento se solución. Debido a que existen dos tuberías, hay dos factores de
fricción desconocidos y dos velocidades desconocidas. Aunque se requiere de mayores cálculos, el
siguiente procedimiento de solución es un proceso de iteración directo, similar al que acabamos de utilizar.
Bajo condiciones promedio de flujo en la tubería, el procedimiento proporcionará el resultado final en dos
ciclos de iteración.
PROCEDIMIENTO DE ITERACIÓN:
2. Evalúe las cantidades conocidas, tales como las cabezas de presión y las cabezas de elevación.
3. Exprese las pérdidas de energía en términos de dos velocidades desconocidas y los dos factores de
fricción.
4. Utilizando la ecuación de continuidad, exprese la velocidad en la tubería más pequeña en términos
de los de la tubería más grande: 
= 2
2
1
1 V
A
V
A ( )
1
2
2
1 / A
A
V
V =
5. Sustituya la expresión del paso 4 en la ecuación de energía, por ende, eliminando una velocidad
desconocida.
6. Despeje la velocidad que queda en términos de los dos factores de fricción.
7. Exprese el número de Reynolds de cada tubería en términos de la velocidad de esa tubería.
/
 para cada tubería.
9. Seleccione un valor de prueba f en cada tubería, utilizando valores conocidos de D
/
 como guía.
En general, los dos factores de fricción no serán iguales.
10. Calcule la velocidad en la tubería más grande, utilizando la ecuación del paso 6.
11. Calcule la velocidad en la tubería más pequeña, utilizando la ecuación del paso 4.
12. Calcule los dos números de Reynolds.
13. Determine el nuevo valor del factor de fricción en cada tubería.
14. Compare los nuevos valores de f con aquellos asumidos en el paso 9 y repita los pasos 9 a 14 hasta
que no se detecten cambios significativos. Si no se presenta ningún cambo significativo en f del
valor asumido, entonces las velocidades que se encontraron en los pasos 10 y 11 son correctas
entonces.

50
Se encuentra fluyendo agua a 40ºC de A hacia B a través del sistema mostrado en la figura. Determine la
velocidad de flujo de volumen del agua si la distancia vertical entre las superficies de los dos depósitos es
de 10 m. Ambas tuberías son de hierro cubiertas de asfalto. Los codos son estándar.
SOLUCIÓN:
Agua a 40ºC: s
m /
10
56
.
6 2
7
−

=
 , Tuberías de hierro cubiertas de asfalto: m
4
10
2
.
1 −

=

De tablas del libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott, Tabla 10.4 - pag.283 y Tabla10.5 -
pag.284
(1) Salida del tanque superior: 0
.
1
1 =
K
(2) Dos codos estándar de 90º (tubería de 3’’): 30
/ =
D
Le y 018
.
0
'
T,3' =
f
(3) Alargamiento repentino: ( )
  ( )
  5
.
0
2
.
165
/
9
.
90
1
/
1
2
2
2
2
3 =
−
=
−
= II
I D
D
K
(4) Codo estándar de 90º (tubería de 6’’): 30
/ =
D
Le y 015
.
0
'
6' =
f
(5) Válvula de mariposa completamente abierta: 45
/ =
D
Le y 015
.
0
'
T,6' =
f
(6) Entrada al tanque inferior: 0
.
1
6 =
K
Aplicando la ecuación de la energía entre (A) y (2)
B
B
B
total
A
A
A
Z
g
V
p
H
Z
g
V
p
+
+
=
−
+
+
2
2
2
2


Como: atm
B
A p
p
p =
= y 0

= B
A V
V
m
H
Z
Z
H total
B
A
total 10
=

−
=
Expresamos la pérdida de energía total en términos de velocidades y factores de fricción desconocidos
ps
pp
total H
H
H +
= ...(1)
Determinación de pp
H
81
.
9
2
10
2
.
165
30
81
.
9
2
10
9
.
90
55
2
2
2
3
2
3
2
2
'
'
6
,
'
'
3
,




+




=
+
=
+
= −
−
II
II
I
I
II
II
II
II
I
I
I
I
L
L
pp
V
f
V
f
g
V
D
L
f
g
V
D
L
f
h
h
H
2
2
256
.
9
839
.
30 II
II
I
I
pp V
f
V
f
H +
= …(2)
Determinación de ps
H
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, 2 s
s
s
s
s
s
ps h
h
h
h
h
h
H +
+
+
+
+
=

51
g
V
K
g
V
D
L
f
g
V
D
L
f
g
V
K
g
V
D
L
f
g
V
K
H II
II
e
T
II
e
T
I
I
e
T
I
ps
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
5
'
'
6
,
2
4
'
'
6
,
2
3
2
2
'
'
3
,
2
1 +






+






+
+






+
=
g
V
K
D
L
f
D
L
f
g
V
K
D
L
f
K
H II
e
T
e
T
I
e
T
ps
2
2
2
2
6
5
'
'
6
,
4
'
'
6
,
2
3
2
'
'
3
,
1 





+






+






+






+






+
=
   
81
.
9
2
0
.
1
45
015
.
0
30
015
.
0
81
.
9
2
5
.
0
30
018
.
0
2
0
.
1
2
2

+

+

+

+


+
= II
I
ps
V
V
H
2
2
1083
.
0
1315
.
0 II
I
ps V
V
H +
= …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1)
2
2
2
2
108
.
0
131
.
0
256
.
9
839
.
30 II
I
II
II
I
I
total V
V
V
f
V
f
H +
+
+
= …(4)
Por continuidad
2
2
2
2
4
4
II
II
I
I
II
II
I
I
II
II
I
I D
V
D
V
D
V
D
V
A
V
A
V =









=









=


( ) ( ) 2
2
2
2
092
.
0
303
.
0
2
.
165
9
.
90 I
II
I
II
II
I V
V
V
V
V
V =

=


=

Reemplazando valores en (4)
( ) ( )
2
2
2
2
092
.
0
108
.
0
131
.
0
092
.
0
256
.
9
839
.
30
10 I
I
I
II
I
I V
V
V
f
V
f +
+
+
=
2
2
2
2
01
.
0
131
.
0
852
.
0
839
.
30
10 I
I
I
II
I
I V
V
V
f
V
f +
+
+
=
( ) 2
.
141
.
0
852
.
0
839
.
30
10 I
II
I V
f
f +
+
=
2
/
1
141
.
0
852
.
0
839
.
30
10








+
+
=
II
I
I
f
f
Para determinar I
f y II
f necesitamos:
I
I
I
I
I V
V
D
V 5
7
3
10
3857
.
1
10
56
.
6
10
9
.
90
Re 
=



=
= −
−

y 00132
.
0
10
9
.
90
10
2
.
1
3
4
=


= −
−
I
D

I
I
II
II
II V
V
D
V 5
7
3
10
7630
.
0
10
56
.
6
10
2
.
165
303
.
0
Re 
=



=
= −
−

y 000726
.
0
10
2
.
165
10
2
.
1
3
4
=


= −
−
II
D

.
0
=
I
f y 025
.
0
=
II
f
s
m
VI /
58
.
3
141
.
0
025
.
0
852
.
0
020
.
0
839
.
30
10
2
/
1
=






+

+

=
Con esta velocidad,
5
5
10
9608
.
4
58
.
3
10
3857
.
1
Re 
=


=
I y 001320
.
0
/ =
I
D
 , por fórmula: 0216
.
0
=
I
f
5
5
10
7315
.
2
58
.
3
10
7630
.
0
Re 
=


=
II y 000726
.
0
/ =
II
D
.
0
=
II
f
.
0
=
I
f y 0196
.
0
=
II
f
s
m
VI /
48
.
3
141
.
0
0196
.
0
852
.
0
0216
.
0
839
.
30
10
2
/
1
=






+

+

=
Con esta velocidad,
5
5
10
8222
.
4
48
.
3
10
3857
.
1
Re 
=


=
I y 001320
.
0
/ =
I
D
.
0
=
I
f
5
5
10
6552
.
2
48
.
3
10
7630
.
0
Re 
=


=
II y 000726
.
0
/ =
II
D
.
0
=
II
f
No se presenta ningún cambo significativo en I
f y II
f del valor asumido, entonces la velocidad que se
encontró en la segunda iteración es correcta, entonces el caudal es:








 

=








=
=
4
0909
.
0
48
.
3
4
2
2

 I
I
I
I
D
V
A
V
Q
s
m
Q
3
2
10
26
.
2 −

= Rpta.

52
PROBLEMAS PROPUESTOS
¿Qué presión 1
p se necesita para hacer circular 100 L/s de agua hacia el aparato con una presión
manométrica 2
p =40 kPa? El diámetro de la tubería de acero comercial es 150 mm. Suponga que
s
m /
10
113
.
0 2
5
−

=
 .
En la figura hay 200 pies de tubo de 2 pulg, 40 pies de 6 pulg y 120 pies de 3 pulg, todos de hierro estirado.
Hay dos codos de 90º y una válvula de esfera abierta, todos ellos roscados. Si la salida está a altura cero,
¿Qué potencia extrae la turbina cuando el caudal de agua es s
pies /
15
.
0 3
?
(SUGERENCIA: Utilice tablas y diagramas del libro Mecánica de Fluidos - Frank M. White)
¿Cual es el caudal q desde A hasta B para el sistema que se muestra? Llegue hasta una segunda iteración.
Suponga que s
m /
10
113
.
0 2
5
−

=

¿Cuál es el caudal q para el sistema que se muestra en la figura? La bomba tiene las características que
se ilustran en la figura. ¿Cuál es la potencia requerida?

53
Para el sistema mostrado en la figura, calcule la distancia vertical entre las superficies de los dos depósitos
cuando el agua a 10 ºC fluye de A hacia B a una velocidad de s
m /
03
.
0 3
. Los codos son estándar. La
longitud total de la tubería de 3 pulg es de 100 m. Para la tubería de 6 pulg es de 300 m. Utilice
m
5
10
0
.
6 −

=
 para la rugosidad de la tubería.
(SUGERENCIA: Utilice tablas y diagramas del libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott)
El agua del tanque mostrado en la figura se va a hacer fluir hacia un drenaje. Determine el tamaño de la
tubería de acero Calibre 40 que transportará al menos 400 gal/min del agua a 80 ºF a través del sistema
mostrado. La longitud total de tubería es de 75 pies.
(SUGERENCIA: Utilice tablas y diagramas del libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott)

54
En el sistema de la figura 11.15 fluye aceite a razón de 0.015 m /s. Los datos del sistema son:
■ Peso específico del aceite = 8.80 kN/m3
.
■ Viscosidad del fluido (aceite) 2.12 X 10-5
m2
/s.
■ Longitud de la tubería de 6 pulgadas = 180 m
■ Longitud de la tubería de 2 pulgadas = 8 m.
■ Los codos son del tipo de radio largo.
■ Presión en B = 12.5 MPa.
Calcule la presión en el punto A. Considere todas las perdidas primarias y locales en la tubería.
Para el sistema de la figura 11.16, calcule la distancia vertical entre las superficies de los dos
depósitos cuando fluye agua a 10 °C del punto A al B. a razón de 0.03 m3/s. Los codos son
estándar. La longitud total del tubo de 3 pulgadas es de 100 m. La del tubo de 6 pulgadas es de
300 m.

55

UTP AREQUIPA FACULTAD DE
INGENIERÍA CIVIL
MECÁNICA DE FLUIDOS Mg. Ing. María del Carmen
Manchego Casapia
56
CAPÍTULO VII

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
57

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
58
OBJETIVOS
➢ Definir perdidas menores.
➢ Definir que es el coeficiente de pérdida.
➢ Establecer la ecuación de coeficiente de pérdida.
➢ Determinar la pérdida de energía para el flujo a través de componentes o
accesorios que generan pérdidas menores en sistemas de tuberías.
➢ Resolver problemas de sistemas de tuberías mediante iteración.
➢ Identificar la aplicación ingenieril de perdidas menores en sistemas de
tuberías.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
59
PÉRDIDAS MENORES
Como se analizó en la sección anterior, la pérdida de carga en largas secciones rectas de
tubería se pueden calcular usando el factor de fricción obtenido con el diagrama de
Moody o con la ecuación de Colebrook. Sin embargo, casi todos sistemas de tuberías
contienen considerablemente más que tubos rectos. Estos componentes adicionales
(válvulas, codos, conexiones en T, etc.) contribuyen a la pérdida de carga global del
sistema. Estas pérdidas se denominan pérdidas menores, con la consecuencia aparente de
que la mayor parte de pérdida del sistema está asociada con la fricción en las porciones
rectas de las tuberías, las pérdidas mayores. En muchos casos es cierto lo anterior. En
otros casos las pérdidas menores son mayores que las pérdidas mayores. En cualquier
sistema de tuberías, además de la pérdida de carga por fricción a lo largo de aquellas,
existen pérdidas menores o localizadas debidas a:
✓ Entrada o salida de tuberías.
✓ Ensanchamiento o contracción brusca.
✓ Curvas, codos, tes y otros accesorios.
✓ Válvulas, abiertas o parcialmente cerradas.
✓ Ensanchamiento o contracciones graduales.
La pérdida de carga asociada con el flujo a través de una válvula es una pérdida menor
común. El objeto de una válvula es proporcionar una manera de regular el caudal. Esto se
logra cambiando la configuración geométrica del sistema (es decir, cerrar o abrir la
válvula modifica el patrón de flujo a través de la válvula), lo que a la vez modifica las
pérdidas asociadas con el flujo que pasa por la válvula. La resistencia al flujo o pérdida
de carga a través de la válvula puede ser una porción importante de la resistencia en el
sistema. De hecho, con la válvula cerrada, la resistencia al flujo es infinita: el fluido no
puede circular. Estas “pérdidas menores” pueden ser realmente importantes. Con la
válvula totalmente abierta, la resistencia extra debida a la presencia de la válvula puede o
no ser insignificante.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
60
Figura 1 Flujo a través de una válvula
En la figura 1 se muestra el patrón de flujo a través de una componente representativa
como una válvula. No es difícil darse cuenta de que aún no es posible realizar un análisis
teórico para predecir los detalles de tales flujos a fin de obtener la pérdida de carga para
estas componentes. Así, la información de la pérdida de carga para esencialmente todos
los componente se proporciona en forma adimensional y se basa en datos experimentales.
El método más común usado para determinar las pérdidas de carga o caídas de presión es
especificar el coeficiente de pérdida, L
K , como:
( ) 2
2
2
1
2
/
V
p
g
V
h
K L
L


=
=
de modo que:
2
2
1
V
K
p L 
=

o bien, como:
La caída de presión a través de un componente que tiene un coeficiente de pérdida de
1
=
L
K es igual a la presión dinámica, 2
/
2
V
 .
El valor de L
K depende bastante de la geometría del componente considerando. También
puede depender de las propiedades del fluido, es decir,
Re)
,
(geometría
KL 
=
g
V
K
h L
L
2
2
=

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
61
donde Re es el número de Reynolds del tubo. En muchas aplicaciones prácticas el número
de Reynolds es suficientemente grande, de modo que el flujo a través de un componente
es dominado por efectos de inercia, donde los efectos viscosos tienen una importancia
secundaria. Así, en la mayoría de los casos de interés práctico los coeficientes de pérdida
para componentes es función sólo de la geometría, )
(geometría
KL 
= .
Algunas veces las pérdidas menores están dadas en términos de una longitud equivalente,
.
eq
l .En esta terminología, la pérdida de carga a través de un componente está dada en
términos de la longitud equivalente de tubería que produce la misma pérdida de carga con
el componente. Es decir,
g
V
D
l
f
g
V
K
h
eq
L
L
2
2
2
.
2
=
=
o bien,
f
D
K
l L
eq =
.
donde D y f se basan en la tubería que contiene al componente.
En la tabla 1 se proporcionan coeficientes de pérdida para válvulas comunes. Así como
con muchos componentes del sistema, la pérdida de carga en válvulas es principalmente
resultado de la disipación de energía cinética de una porción de alta velocidad del flujo.
Este hecho se ilustra en la figura 2.
TABLA 1
Figura 2 La pérdida de carga en una válvula se
debe a la disipación de la energía cinética del
fluido a gran velocidad cerca del asiento de la
válvula.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
62

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
63
PROBLEMAS RESUELTOS
Para ahorrar agua y energía, en la regadera que se muestra en la figura se ilustra un
“reductor de flujo”. Si la presión en el punto (1) permanece constante y se ignoran todas
las pérdidas, excepto las que hay en el “reductor de flujo”, determinar el valor del
coeficiente de pérdida (con base en la velocidad en la tubería) del “reductor de flujo” si
su presencia es para reducir el caudal por un factor de 2. Ignorar la fuerza de
gravitación.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2), sin considerar el reductor de flujo
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
=
+
+


Considerando: 0
2 
p y 2
1 Z
Z =
)
(
2
1 2
1
2
2
1 V
V
p −
=  …(I)
Determinación de 1
V y 2
V
s
pies
Q
Q
D
Q
V 4
.
733
)
12
/
5
.
0
(
4
4
2
2
1
1 =

=
=


s
pies
Q
Q
D
Q
V
V
orificio
o
c 8
.
1466
)
12
/
05
.
0
(
50
4
50
4
2
2
/
2 =

=
=
=


  2
5
1
2
2
1 10
07
.
8
)
4
.
733
(
)
8
.
1466
(
2
1
Q
p
Q
Q
p 
 
=

−
= … )
(
Aplicando la ecuación de la energía entre (1) y (2), considerando el reductor de flujo con
factor de 2
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
r
r
2
2
2
2
2
2
2
,
2
1
2
1
,
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: 0
2 
p , 1
,
r
V
V = y 2
1 Z
Z =
 
2
1
,
2
2
,
1 )
1
(
2
1
r
L
r V
K
V
p −
+
=  …(II)
Determinación de 1
,
r
V y 2
,
r
V
s
pies
Q
Q
V
Vr 7
.
366
2
4
.
733
2
1
1
, =
=
=
s
pies
Q
Q
V
Vr 4
.
733
2
8
.
1466
2
2
2
, =
=
=

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
64
 
2
2
1 )
7
.
366
)(
1
(
)
4
.
733
(
2
1
Q
K
Q
p L −
+
=  … )
(
Comparando )
( y )
(
 
2
2
2
5
)
7
.
366
)(
1
(
)
4
.
733
(
2
1
10
07
.
8 Q
K
Q
Q L −
+
=
 

03
.
9
=
L
K Rpta.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
65
A través de una criba en el tubo que se muestra en la figura fluye según se indica.
Determinar el coeficiente de pérdida para la criba.
SOLUCIÓN:
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =

−
= 2
2
1 )
(
2
V
p
p
KL
 2
)
(
2
V
p
KL


= …(I)
Determinación de p
p
p 
=
− 2
1
De la lectura del manómetro
2
1 ))
12
/
6
(
(
)
12
/
6
(
)
.
( p
l
R
D
l
p =
−
−


−

+ 


2
2
1 /
64
.
68
)
1
2
.
3
(
4
.
62
5
.
0
)
1
.
(
5
.
0
5
.
0
5
.
0
)
.
( pie
lb
R
D
R
D
p
p
p =
−

=
−
=

−


=

=
− 




= 2
20
94
.
1
)
64
.
68
(
2
L
K 177
.
0
=
L
K Rpta.
Aire a 80ºF y presión atmosférica normal circula a través del filtro de un horno a una
velocidad media de 2.4 pies/s. Si la caída de presión a través del filtro es de 0.11 pulg de
agua, ¿cuál es el coeficiente de pérdida para el filtro?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de la energía entre dos puntos (entrada y salida del filtro)
g
V
K
Z
g
V
p
Z
g
V
p
L
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
+
+
+
=
+
+


Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =

−
= 2
2
1 )
(
2
V
p
p
KL
 2
)
(
2
V
p
KL


= …(I)
Determinación de p
p
p 
=
− 2
1
2
2
1 /
572
.
0
)
12
/
11
.
0
(
4
.
62 pie
lb
h
p
p
p agua =

=
=

=
− 

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
66
 
3
2
2
2
00228
.
0
460
80
.
.
1716
lg
144
lg
7
.
14
. pie
slug
R
R
slug
pie
lb
pie
pu
pu
lb
T
R
p
=
+














=
=



= 2
20
00228
.
0
)
572
.
0
(
2
L
K 254
.
1
=
L
K Rpta.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
67
)
Supóngase que el sistema de expulsión de gases de un automóvil se puede aproximar por
medio de 14 pies de tubo de hierro fundido de 0.125 pies de diámetro con el equivalente
de seis codos embridados de 90º y un silenciador del escape. El silenciador de escape
actúa como un resistor con un coeficiente de pérdida de 5
.
8
=
L
K . Determinar la presión
al inicio del sistema de expulsión de gases si el caudal es de s
pie /
10
.
0 3
y la temperatura
es igual a 250ºF.
SOLUCIÓN:
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z =
PS
PP H
H
p
+
=

1
…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
Pérdidas secundarias (Para los seis codos de 90º)
g
V
K
g
V
K
H r
silenciado
L
L
PP
2
2
6
2
,
2
+
=
Reemplazando en (I)
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
p
silenc
L
codo
L
2
2
6
2
2
,
2
,
2
1
+
+
= 







+
+
= silenc
L
codo
L K
K
D
L
V
p ,
,
2
1 6
2
1

 …(II)
 R
R
slug
pie
lb
pie
pu
pu
lb
T
R
p
460
250
.
.
1716
lg
144
lg
7
.
14
.
2
2
2
+














=
=


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
68
3
00174
.
0
pie
slug
=

Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 15
.
8
)
125
.
0
(
)
10
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=



INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
69
Para el gas de combustión:
2
7
/
.
10
7
.
4 pie
s
lb
gas
−

=

3
7
10
77
.
3
10
7
.
4
125
.
0
15
.
8
00174
.
0
Re 
=



=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Para una tubería de hierro fundido: pie
00085
.
0
=

0068
.
0
125
.
0
00085
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
048
.
0
=







+

+



= 5
.
8
3
.
0
6
125
.
0
14
048
.
0
15
.
8
00174
.
0
2
1 2
1
p
2
1 9
.
0
pie
lb
p = Rpta.
Por los serpentines del intercambiador de calor que se muestra en la figura circula agua
a 40ºF a un régimen de min
/
9
.
0 gal . Determinar la caída de presión entre la entrada y
la salida del dispositivo horizontal.
SOLUCIÓN:
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: V
V
V =
= 2
1 y 2
1 Z
Z = (Horizontal)
PS
PP H
H
p
p
p
+
=

=
−


2
1
…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
D
/


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
70
g
V
D
L
HPP
2
2

=
Pérdidas secundarias (Para los siete codos de 180º)
g
V
K
H codo
L
PP
2
7
2
,
= ………..( 5
.
1
, =
codo
L
K )
Reemplazando en (I)
g
V
K
g
V
D
L
p
codo
L
2
7
2
2
,
2
+
=









+
=
 codo
L
K
D
L
V
p ,
2
7
2
1

 …(II)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 47
.
1
)
12
/
5
.
0
(
)
449
/
9
.
0
(
4
4
2
2
=



=
=


pies
agua /
10
67
.
1 2
5
−

=

3
5
10
67
.
3
10
67
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
47
.
1
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
000005
.
0
=

00012
.
0
12
/
5
.
0
000005
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
042
.
0
=








+



=
 5
.
1
7
12
/
.
0
12
/
144
042
.
0
47
.
1
94
.
1
2
1 2
p
psi
pie
lb
p 33
.
0
36
.
47 2
1 =
= Rpta.
D
/


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
71
Del contenedor que se muestra en la figura sale agua. Determinar el coeficiente de
pérdida necesario en la válvula si el agua debe llegar hasta 3 pulg por arriba de la salida
de la tubería.
SOLUCIÓN:
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
=
+
+


Considerando: 0
3
2 
= p
p y 0
3 
V
)
(
2
2
2
3
2
3
2
2
2
Z
Z
g
V
Z
Z
g
V
−
=

=
+
)
12
/
3
(
2
.
32
2
2 
=
V
s
pies
V /
01
.
4
2 =
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 3
2
3
3
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
3
1 
= p
p y 0
3
1 
=V
V
PS
PP H
H
Z
Z +
+
= 3
1 …(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H válvula
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
Donde para los accesorios roscados: 2
.
0
, =
entrada
L
K y 5
.
1
, =
codo
L
K

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
72
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
Z válvula
L
codo
L
entrada
L
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
3
1 +
+
+
+
= 
g
V
K
K
K
D
L
Z
Z válvula
L
codo
L
entrada
L
2
2
2
,
,
,
3
1 





+
+
+
+
=  …(II)
Determinación de V
s
pies
V
V 01
.
4
2 =
=
pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=

4
5
10
38
.
1
10
21
.
1
)
12
/
5
.
0
)(
01
.
4
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
0005
.
0
=

012
.
0
12
/
5
.
0
0005
.
0
=
=
D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
044
.
0
=

2
.
32
2
01
.
4
5
.
1
2
2
.
0
12
/
5
.
0
12
/
52
044
.
0
)
12
/
5
(
)
12
/
45
(
2
,







+

+
+

+
= válvula
L
K
6
.
5
, =
válvula
L
K Rpta.
La presión en la sección (2) que se muestra en la figura no debe descender por debajo
de 2
lg
/
60 pu
lb cuando el caudal que sale del recipiente varía desde 0 hasta s
pie /
0
.
1 3
y
la línea derivada está cerrada. Determinar la altura mínima, h, del agua en el recipiente
con la hipótesis de que a) las pérdidas menores son importantes, b) las pérdidas menores
no son importantes.
D
/


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
73
PS
PP H
H
Z
g
V
p
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
1 
p y 0
1 
V
PS
PP H
H
g
V
p
Z +
+
+
=
2
2
2
2
1

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H uniónT
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
15
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y
2
.
0
, =
uniónT
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
g
V
p
Z uniónT
L
codo
L
entrada
L
2
2
15
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
2
2
2
1 +
+
+
+
+
= 

g
V
K
K
K
D
L
p
Z uniónT
L
codo
L
entrada
L
2
15
1
2
,
,
,
2
1 





+
+
+
+
+
= 

…(II)
Determinación de 2
V
V =
s
pies
V
D
Q
V
V 09
.
5
)
12
/
6
(
)
1
(
4
4
2
2
2 =



=
=
=


pies
agua /
10
21
.
1 2
5
−

=


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
74
5
5
10
10
.
2
10
21
.
1
)
12
/
6
)(
09
.
5
(
Re 
=

=
= −

VD
¡Flujo turbulento!
Determinación de
Del dato del problema
0

D

Determinación de )
/
(Re, D
f 
0155
.
0
=

a) Caso considerando las pérdidas primarias
2
.
32
2
09
.
5
2
.
0
3
.
0
15
5
.
0
5
.
0
)
1506
(
0155
.
0
1
4
.
62
144
60
16
2







+

+
+
+

+
+

=
+
h
h
pies
h 55
.
145
= Rpta.
b) Caso sin considerar las pérdidas primarias
2
.
32
2
09
.
5
5
.
0
)
1506
(
0155
.
0
1
4
.
62
144
60
16
2






 +

+
+

=
+
h
h
pies
h 43
.
143
= Rpta.
D
/


INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
75
La bomba que se muestra en la figura agrega 15 pies de carga al agua que está siendo
bombeada cuando el caudal es de s
pie /
5
.
1 3
. Determinar el factor de fricción para la
tubería.
SOLUCIÓN:
Para la solución de este problema existen dos casos, ya que no indica la dirección del
flujo
PS
PP
B H
H
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+
+ 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2 

Considerando: 0
1 
p , 0
1 
V y 0
2 
V
PS
PP
B H
H
Z
p
h
Z +
+
+
=
+ 2
2
1

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H salida
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y
1
, =
salida
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
p
h
Z salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
2
2
1 +
+
+
+
+
=
+ 

g
V
K
K
K
D
L
Z
p
h
Z salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
,
,
,
2
2
1 





+
+
+
+
+
=
+ 

…(II)
Determinación de V

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
76
s
pies
V
D
Q
V 64
.
7
)
5
.
0
(
)
5
.
1
(
4
4
2
2
=



=
=


2
.
32
2
64
.
7
1
3
.
0
2
6
.
0
5
.
0
200
195
4
.
62
144
3
15
200
2







+

+
+

+
+

=
+ 
0306
.
0
=
 Rpta.
PS
PP
B H
H
Z
g
V
p
h
Z
g
V
p
+
+
+
+
=
+
+
+ 1
2
1
1
2
2
2
2
2
2 

Considerando: 0
1 
p , 0
1 
V y 0
2 
V
PS
PP
B H
H
Z
h
Z
p
+
+
=
+
+ 1
2
2

…(I)
Donde:
Pérdidas primarias
g
V
D
L
HPP
2
2

=
g
V
K
g
V
K
g
V
K
H salida
L
codo
L
entrada
L
PP
2
2
2
2
2
,
2
,
2
, +
+
=
.
0
, =
entrada
L
K , 3
.
0
, =
codo
L
K y
1
, =
salida
L
K
g
V
K
g
V
K
g
V
K
g
V
D
L
Z
h
Z
p
salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
2
1
2
2
+
+
+
+
=
+
+ 

g
V
K
K
K
D
L
Z
h
Z
p
salida
L
codo
L
entrada
L
B
2
2
2
,
,
,
1
2
2






+
+
+
+
=
+
+ 

…(II)
Determinación de V
s
pies
V
D
Q
V 64
.
7
)
5
.
0
(
)
5
.
1
(
4
4
2
2
=



=
=


2
.
32
2
64
.
7
1
3
.
0
2
6
.
0
5
.
0
200
200
15
195
4
.
62
144
3 2







+

+
+

+
=
+
+


0412
.
0
=
 Rpta.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
77
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ITERACIÓN
SISTEMAS CLASE II CON UNA TUBERÍA
Siempre que se desconozca la velocidad de flujo de volumen en el sistema, analizaremos
el funcionamiento del sistema por un procedimiento llamado iteración. Esto se requiere
debido a que hay muchas cantidades desconocidas para utilizar el procedimiento de
solución directa para los problemas típicos ya desarrollados. Específicamente, si la
velocidad del flujo de volumen se desconoce, entonces la velocidad de flujo también se
desconoce. Se deduce que el número de Reynolds se desconoce puesto que éste depende
de la velocidad. Si no se puede encontrar el número de Reynolds, entonces el factor de
fricción f no se puede determinarse directamente. Puesto que las pérdidas de energía
debido a la fricción dependen tanto de la velocidad como del factor de fricción, el valor
de estas pérdidas no puede calcularse en forma directa. La iteración supera estas
dificultades.
PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN:
14. Evalúe las cantidades conocidas tales como las cabezas de presión y las cabezas
de elevación.
15. Exprese las pérdidas de energía en términos de la velocidad desconocida V y el
factor de fricción f .
16. Despeje la velocidad en términos de f .
17. Exprese el número de Reynolds en términos de la velocidad.
/
 .
19. Seleccione un valor de prueba f basado en el valor conocido de D
/
 y un
número de Reynolds en el rango de turbulencia.
20. Calcule la velocidad, utilizando la ecuación del paso 4.
21. Calcule el número de Reynolds de la ecuación del paso 5.
22. Evalúe el factor de fricción f para el número de Reynolds del paso 9 y el valor
conocido de D
/
 , utilizando el diagrama de Moody.
23. Si el valor de f es diferente del valor utilizado en el paso 8, repita los pasos 8
a 11 utilizando el nuevo valor de f .

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
78
24. Si no se presenta ningún cambo significativo en f del valor asumido, entonces
la velocidad que se encontró en el paso 8 es correcta.

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
79
PROBLEMA 11.11M (R. MOTT)
Se encuentra fluyendo agua a 15ºC, hacia abajo en una tubería vertical de 7.5m de
longitud. La presión es de 550 kPa en la parte superior y de 585 kPa en la parte inferior.
Una válvula check tipo bola se instala cerca del fondo. La tubería es de acero con
diámetro externo de 1 ¼ pulg y un grosor de pared de 0.083 pulg. Calcule la velocidad
de flujo de volumen del agua.
SOLUCIÓN:
Agua a 15ºC: s
m /
10
15
.
1 2
6
−

=

5
10
6
.
4 −

=

mm
D 53
.
27
int = y 2
4
10
954
.
5 m
A −

=
(De tablas de libro Mecánica de Fluidos Aplicada - Robert Mott, Tabla 10.4 - pag.283 y
Tabla10.5 - pag.284)
150
/ =
D
Le y 022
.
0
'
¼'
1 =
f
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
V
p
H
Z
g
V
p
total +
+
=
−
+
+


Como: 2
1 V
V =
( )
2
1
2
1
2
2
1
1
Z
Z
p
p
H
Z
p
H
Z
p
total
total −
+
−
=

+
=
−
+



( ) m
H
H total
total 93
.
3
5
.
7
9810
10
585
10
550 3
3
=

+

−

=

INGENIERÍA CIVIL
Manchego Casapia
80
Expresamos la pérdida de energía total en términos de la velocidad desconocida V y el
factor de fricción f
g
V
D
L
f
g
V
D
L
f
H
H
H e
T
ps
pp
total
2
2
2
2






+






=
+
=

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